（应用数学专业论文）辅助原理技术在解决两类非线性似变分不等式中的应用.pdf

摘要 内容摘要：辅助原理是一个有效的技术对于研究各种不相关问题，它 能以简单的形式来说明纯粹与应用科学中的基本原理。辅助原理技 术在解决变分不等式问题中是非常有效的，除此而外，它还有各种 各样的应用。这篇论文引入和研究自反巴拿赫空间中的两类非线性 似变分不等式，一类是广义非线性似变分不等式：另一类是广义强 非线性混合似变分不等式。首先，用辅助原理技术来研究广义强非 线性混合似变分不等式，在这部分中，说明了广义强非线性混合似 变分不等式的辅助问题解的存在性；通过使用辅助问题解的存在性 结果构造了一个迭代算法；展示了广义强非线性混合似变分不等式 解的存在性以及证明了由迭代算法所产生的迭代序列的收敛性。其 次，通过使用辅助似变分不等式技术，在这篇论文中，我们给出广义 强非线性似变分不等式辅助问题解的存在性，建立了广义非线性似 变分不等式解的存在性定理与唯一性定理，提出了一个新的二阶迭 代算法并且证明了由此二阶迭代算法产生的迭代序列的收敛性。 关键词：广义似变分不等式，迭代算法，辅助原理技术，压缩映射， 自反巴拿赫空间。 a b s t r a c t c o n t e n t ：v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yt h e o r yi sa l le f f i c i e n tt e c h n i q u et o s t u d yaw i d ec l a s so fu n r e l a t e dp r o b l e m s i tc a db eu s e dt oi n t e r p r e t t h eb a s i cp r i n c i p l e so fp u r ea n da p p l i e ds c i e n c e si nt h ef o r mo fs i m p l i c i t y t h ea u x i l i a r yp r i n c i p l et e c h n i q u ei sv e r yu s e f u li ns o l v i n gt h ep r o b - l e m so fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y , m o r e o v e r ，i th a sa l lk i n d so fa p p l i c a t i o n t h i sp a p e ri n t r o d u c ea n ds t u d yt w oc l a s s e so fn o n l i n e a rv a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t i e si nr e f l e x i v eb a n a c hs p a c e s o n ei st h e g e n e r a s z e dn o n l i n e a rv a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t y , t h eo t h e ri st h eg e n e r a l i z e ds t r o n g l y n o n l i n e a rm i x e dv a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t y f i r s t l y , t h e a u x i l i a r yp r i n - c i p l et e c h n i q u ei sa p p l i e dt os t u d yt h eg e n e r a l i z e ds t r o n g l yn o n l i n e a r m i x e dv a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t y , i nt h i sp a r t ，t h ee x i s t e n c eo fs o l u - t i o n so ft h ea u x i l i a r yp r o b l e mf o rt h eg e n e r a l i z e ds t r o n g l yn o n l i n e a r m i x e dv a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t yi ss h o w n ；a ni t e r a t i v ea l g o r i t h mi s c o n s t r u c t e db yu s i n gt h ee x i s t e n c er e s u l to ft h ea u x i l i a r yp r o b l e m ； t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so ft h eg e n e r a l i z e ds t r o n g l yn o n l i n e a rm i x e d v a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t yi ss h o w na n dt h e c o n v e r g e n c eo fi t e r a t i v es e - q u e n c e sg e n e r a t e db yt h ea l g o r i t h mi sp r o v e n s e c o n d l y , b ya p p l y i n g t h ea u x i l i a r yv a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t yt e c h n i q u e ，i nt h i sp a p e r ，w e g i v et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o no ft h ea u x i l i a r yp r o b l e mf o rt h eg e n e r - a l i z e ds t r o n g l yn o n l i n e a rv a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t y , e s t a b l i s ht h ee x - i s t e n c et h e o r e ma n du n i q u e n e s st h e o r e mo fs o l u t i o n sf o rg e n e r a l i z e d n o n l i n e a rv a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t y , s u g g e s tan e w t w o - s t e pa l g o r i t h m a n dp r o v et h ec o n v e r g e n c eo fi t e r a t i v es e q u e n c e sg e n e r a t e db yt h ea l - g o r i t h m k e yw o r d s ：g e n e r a l i z e dv a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t y ；i t e r a t i v ea l g o - r i t h m ；a u x i l i a r yp r i n c i p l et e c h n i q u e ；c o n t r a c t i o nm a p p i n g ；r e f l e x i v e b a n a c h s p a c e 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文中除特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同 志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做出了明确的声明并表示谢意 学位论文作者签名： 对敏篓 日期：2 0 0 7 岁刃 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权辽宁师 范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或其他复制手段保存、汇编学位论文保密的论文在解密后使用本授权书 学位论文作者签名：讨掀土 指导教师签名： 日 期：力 沁，力， 忆汐 垒旦巳! i ! 垒! ! 竺墅竺! ! 垒旦垒兰圣! ! i 垒翌旦! ! 里竺i 望! 呈! 宝竺垒翌! 旦旦旦 a p p l i c a t i o n so ft h ea u x i l i a r yp r i n c i p l et e c h n i q u e i ns o l v i n gt w oc l a s s e so tn o n l i n e a rv a r l a t l o n a l 一1 1 k e 11，1 110 1 i n e q u a l l t l e s 1 1i n t r o d u c t i o n v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yt h e o r yw a sf i r s ti n t r o d u c e da n ds t u d i e db ys t a m p a c - c h i a 【3 2 】a n df i c h e r a 1 8 1 ，w h i c hh a sb e e nu s e di nal a r g ev a r i e t yo fp r o b l e m s a r i s i n gi ne l a s t i c i t y , o p t i m i z a t i o n ，e c o n o m i c s ，s t r u c t u r a la n a l y s i s ，p h y s i c a la n d e n g i n e e r i n gs c i e n c e sa n ds oo n i tc a l lb eu s e dt oi n t e r p r e tt h eb a s i cp r i n c i p l e s o fp u r ea n da p p l i e ds c i e n c e si nt h ef o r mo fs i m p l i c i t ya n de l e g a n c e t h em o s t i n t e r e s t i n ga n di m p o r t a n tp r o b l e m si nt h ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t yt h e o r yi st h ed e - v e l o p m e n to fe f f i c i e n ti t e r a t i v ea l g o r i t h mt oc o m p u t ea p p r o x i m a t es o l u t i o n sa n d s h o wt h ec o n v e r g e n c eo ft h ea l g o r i t h m p r o j e c t i o n ，w i e n e r - h o p fe q u a t i o n s ，a u x - i l i a r yp r i n c i p l e ，r e s o l v e n to p e r a t o ro p e r a t i o n ，l i n e a ra p p r o x i m a t i o na r et h eb a s i c n u m e r i c a lm e t h o d si ns o l v i n gt h ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n dr e l a t e dp r o b l e m s t h em o s te f f e c t i v eo ft h e s en u m e r i c a lt e c h n i q u e si st h ep r o j e c tm e t h o d sa n di t s v a r i a n tf o r m s b yu s i n gt h ec o n c e p to fp r o j e c t i o n ，t h em a i ni d e ao fp r o j e c tt e c h - n i q u ei st oe s t a b l i s ht h ee q u i v a l e n c eb e t w e e nt h ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n dt h e f i x e dp o i n tp r o b l e m s o nt h eo t h e rh a n d ，t h eg e n e r a l i z e dv a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l - i t y , w h i c hh a v el o t so fa p p l i c a t i o n si nm a n yf i e l d s ，i st h ei m p o r t a n tg e n e r a l i z a t i o n o fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s h o w e v e r ，w eo b s e r v et h a tt h ep r o j e c tm e t h o dc a n n o t b ea p p l i e df o rv a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t i e s t h ef a c tm o t i v a t e dm a n ya u t h o r st o d e v e l o pa n o t h e rt e c h n i q u et os t u d yt h ee x i s t e n c ea n da l g o r i t h mo fs o l u t i o n sf o r v a r i a t i o n a l 1 i k ei n e q u a l i t i e s g l o w i n s k ie ta l 2 0 f i r s ts u g g e s t e dat e c h n i q u e ，w h i c h d o e sn o td e p e n do nt h ep r o j e c t i o n ，t h i st e c h n i q u ei sc a l l e dt h ea u x i l i a r yp r i n c i p l et e c h n i q u e t h ea u x i l i a r yp r i n c i p l et e c h n i q u eh a sa l lk i n d so fa p p l i c a t i o n s ， e g h a r k e ra n dp a n g 2 1 ，n o o r 3 0 ，d i n ga n dt a r a f d a r 11 a n dd i n g 1 2 i n2 0 0 8 ，t h ea u x i l i a r yp r i n c i p l et e c h n i q u ew a se x t e n d e dt os t u d yt h ee x i s t e n c e a n di t e r a t i v ea p p r o x i m a t i o no fs o l u t i o n so ft h ep r o b l e m ( 1 1 ) b yd i n g ，y a oa n d z e n g 1 4 ，w h e r ea a n dta r es e t v a l u e dm a p p i n g sw i t hb o u n d e dc l o s e dv a l u e s i n s e c t i o n3o ft h i sp a p e r ，w ee x t e n dt h ea u x i l i a r yp r i n c i p l et e c h n i q u et os t u d yt h e g e n e r a l i z e ds t r o n g l yn o n l i n e a rm i x e dv a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t y ( 3 1 ) i na r e f l e x i v e b a n a c hs p a c e sb f i r s t l y , w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so ft h ea u x i l i a r y p r o b l e mf o rt h ep r o b l e m ( 3 1 ) s e c o n d l y , w ec o n s t r u c ta ni t e r a t i v ea l g o r i t h mf o r s o l v i n gp r o b l e m ( 3 1 ) b yu s i n gt h i se x i s t e n c er e s u l t m o r e o v e r ，t h ee x i s t e n c eo f s o l u t i o n so ft h ep r o b l e m ( 3 1 ) a n dt h ec o n v e r g e n c eo fi t e r a t i v es e q u e n c e s g e n e r a t e d b yt h ea l g o r i t h ma r ep r o v e db yu s o u rr e s u l t si m p r o v ed i n g y a oa n dz e n g s m a i nr e s u l t s 1 4 】i nt h ef o l l o w i n ga s p e c t s ：( 1 ) o u rp r o b l e m ( 3 1 ) i sm o r eg e n e r a l t h a nd i n g ，y a oa n dz e n g so n e ( 1 1 ) ；( 2 ) o u ra u x i l i a r yp r o b l e mf o rt h e ( 3 1 ) i s v e r yd i f f e r e n tf r o md i n g ，y a oa n dz e n g so n e s ；( 3 ) o u ra l g o r i t h mi sd i f f e r e n tf r o m d i n g ，y a oa n dz e n g so n e f o rf i n d i n ga p p r o x i m a t es o l u t i o n s l i u ，g a o ，v e r m aa n dk a n g 【2 7 s t u d i e dt h eg e n e r a l i z e dn o n l i n e a rv a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t i e si nr e f l e x i v eb a n a c hs p a c e sb ya p p l y i n gt h ea u x i l i a r yp r i n c i p l e t e c h n i q u e m o t i v a t e da n di n s p i r e db ya b o v ew o r k s ，i ns e c t i o n4 ，w ei n t r o d u c e a n ds t u d yan e wc l a s so fg e n e r a l i z e dn o n l i n e a rv a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t i e s ，w h i c h i n c l u d e st h ev a r i a t i o n a la n dv a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t i e sd u et ob o s e 2 】，c o h e n 3 】 d i e n 6 】 f a r o u q 1 7 ，g l o w i n s k i 1 9 ，h a r k e r - p a n g 2 1 ，v e r m a 【3 3 ，y a o 【3 5 a n d s oo n m o r e o v e r ，t h ep r o b l e m ( 4 1 ) i nt h i sp a p e ri sv e r yd i f f e r e n tf r o mt h ep r o b l e m ( 1 6 ) i nl i u ，g a o ，v e r m aa n dk a n g 2 7 ，a n do u rr e s u l t sr e p r e s e n tas i g n i f i c a n t i m p r o v e m e n ta n dr e f i n e m e n to ft h ep r e v i o u s l yk n o w nr e s u l t si nl i t e r a t u r e 2 垒巳旦! ! 曼璺! ! 竺堕旦! ! 坠竺璺坚竖! ! 堑! 翌旦兰! 璺! ! 旦! 旦! 皇! ；垒望! 旦旦旦 2p r e l i m i n a r i e s t h r o u g h o u tt h i sp a p e r ，w ea s s u m et h a tb i sab a n a c hs p a c e sw i t hn o r m | i | i ， b + b et h et o p o l o g i c a ld u a ls p a c eo fb ， i st h ep a i r i n gb e t w e e nu b + a n dv b ，l e t2 b a n dc b ( b + ) r e p r e s e n tt h ef a m i l yo fa l ln o n e m p t ys u b s e t so f b + a n dt h eo n eo fa l ln o n e m p t yb o u n d e dc l o s e ds u b s e t so fb + ，r e s p e c t i v e l y l e t 日( ，) b et h eh a u s d o r f f m e t r i co nc b ( b + ) d e f i n e db y h ( a ，b ) = m a x ( s u p u ad ( u ，b ) ，s u p v bd ( a ，u ) ) ，v a ，b c b ( b + ) id e n o t e st h ei d e n t i t ym a p p i n g ，a n dr = ( + ，一) ，l e tdb ean o n e m p t yc l o s e d c o n v e xs u b s e to fba n da ：d d rb eac o n t i n u o u sf u n c t i o nw h i c hi sl i n e a r i nb o t ha r g u m e n t ss u c ht h a tt h e r ee x i s tc o n s t a n t sc 0 d 0s a t i s f y i n g ( 2 1 ) a ( x ，z ) c l l x l l 2 ，比d ； ( 2 2 ) a ( x ，y ) d l l x l l | ，比，y d i tf o l l o w sf r o m ( 2 1 ) a n d ( 2 2 ) t h a tc d l e tt h ef u n c t i o n a lb ：d d 一兄 s a t i s f yt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( 2 3 ) bi sl i n e a ri nt h ef i r s ta r g u m e n ta n di sc o n v e xi nt h es e c o n da r g u m e n t ； ( 2 4 ) t h e r ee x i s t sac o n s t a n t 王， 0s a t i s f y i n gb ( x ，y ) i i z i | i l 可| | ，v z ，y d ； ( 2 5 ) b ( x ，y ) 一b ( x ，z ) b ( x ，y z ) ，比，y ，z d d e f i n i t i o n2 1 l e td rb ean o n e m p t ys u b s e to fab a n a c hs p a c ebw i t h t h ed u a ls p a c eb + l e tz a ，m ：d 1 一c b ( b + ) ，叩：d 1 d 1 _ ba n dn ： b + b + b + 一b + b em a p p i n g s ( 1 ) ( ，) i ss a i dt ob el i p s c h i t zc o n t i n u o u si nt h ef i r s ta r g u m e n ti ft h e r ee x i s t s ac o n s t a n t8 0s u c ht h a t i i n ( u ，) 一n ( v ，) i l p i i 乱一叫l ，v u ，v b + ， s i m i l a r l y , w ec a nd e f i n et h el i p s c h i t zc o n t i n u i t yo f ( ，) i nt h es e c o n d a n dt h i r da r g u m e n t s ( 2 ) ti ss a i dt ob eh - l i p s c h i t zc o n t i n u o u si ft h e r ee x i s t sac o n s t a n tk 0 s u c h t h a t h ( t u l ，t u 2 ) k i i 让1 一u 2 1 1 ，v u l ，u 2 d 1 ( 3 ) 叩i ss a i dt ob el i p s c h i t zc o n t i n u o u si ft h e r ee x i s t sa c o n s t a n t6 0s u c ht h a t 叼( u ， ) i i j i i 饥一u i i ，v u ， d 1 3 d e f i n i t i o n2 2 l e tbb eab a n a c hs p a c ew i t ht h ed u a ls p a c eb 。a n dl e t g ：bxb _ b + ( 1 ) gi ss a i dt ob el i p s c h i t zc o n t i n u o u si nt h ef i r s ta r g u m e n ti ft h e r ee x i s t sa c o n s t a n tg l 0s u c ht h a t i i g ( u ，) 一g ( v ，) i i g lj 一v i i ，v u ，u b ( 2 ) gi ss a i dt ob es t r o n g l ym o n o t o n ei nt h ef i r s ta r g u m e n ti ft h e r ee x i s t sa c o n s t a n t 饥 0s u c ht h a t ( 9 ( 乱，z ) 一g ( v ，秒) ) 7 i l l u 一秽| 1 2 ，v z ，y ，钆，u b ( 3 ) gi ss a i dt ob eq u a s i s t r o n g l y m o n o t o n ei nt h ef i r s ta r g u m e n ti ft h e r ee x i s t s ac o n s t a n t7 2 0s u c ht h a t ( g ( u ，z ) 一g ( v ，秒) ，u 一秽) 伪i f 让一 1 1 2 ，比，y ，u ，v b d e f i n i t i o n2 3 1 4 l e td 2b ean o n e m p t yc o n v e xs u b s e to fa b a n a c hs p a c e b t h e naf u n c t i o nf ：d 2 _ ri ss a i dt ob e ： ( 1 ) c o n v e xi ff o ra n y 让，钞d 2a n da n yo 0 ，1 】，f ( o e u + ( 1 一口) 钉) q 厂( u ) + ( 1 一o ) 厂( ) ( 2 ) l o w e rs e m i c o n t i n u o u so n0 2i ff o ra n yo l r ，u d 2 ：( u ) q ) i sc l o s e d i nd 2 ( 3 ) c o n c a v ei f 一，i sc o n v e x ( 4 ) u p p e rs e m i c o n t i n u o u so nd 2i f fi sl o w e rs e m i c o n t i n u o u so nd 2 d e f i n i t i o n2 4 l e td 1b ea n o n e m p t ys u b s e to fab a n a c hs p a c ebw i t ht h e d u a ls p a c eb + ，l e tt ：d 1 _ b + ，叩：d 1 d 1 _ ba n dg ：d 1x d 1 一b b e m a p p i n g s ( 1 )t i ss a i dt ob er h a n t i m o n o t o n ei f ( t u t v ，叩( 乱，u ) ) 0 ，v u ，v d 1 ( 2 ) ti ss a i dt ob el i p s c h i t zc o n t i n u o u si ft h e r ee x i s t sac o n s t a n t1 0 s u c ht h a ti i t u t v l i l l l u u m v u ，v d 1 ( 3 ) g i ss a i dt ob eq - s t r o n g l ym o n o t o n ei nt h ef i r s ta r g u m e n ti ft h e r ee x i s t sa c o n s t a n t - y 0s u c ht h a t ( a ( u ，) 一a ( v ，) ，7 7 ( 乱，u ) ) 7 l | 乱一u i l 2 ，v u ， d 1 4 ( 4 ) gi ss a i dt ob es t r o n g l ym o n o t o n ei nt h ef i r s ta r g u m e n ti ft h e r ee x i s t s a c o n s t a n t 仇 0s u c ht h a t ( a ( u ，) 一a ( v ，- ) ，钍一移) ) 7 3 i l 乱一训1 2 ，v u ，v d 1 ( 5 ) gi ss a i dt ob el i p s c h i t zc o n t i n u o u si nt h ef i r s ta r g u m e n ti ft h e r ee x i s t sa c o n s t a n tg l 0s u c ht h a t ( a ( u ，) 一a ( v ，) ) 9 1 i i u u i i ，v u ，口d 1 d e f i n i t i o n2 5 l e td 1b ean o n e m p t ys u b s e to fab a n a c hs p a c eb w i t ht h e d u a ls p a c eb + ，l e tt ，a ，m ：d 1 _ b + ，叩：d 1x d l _ ba n dn ：b + x b + x b + _ b + b em a p p i n g s ( 1 ) ( 2 ) ni ss a i dt ob ey - s t r o n g l ym o n o t o n ew i t hac o n s t a n tq 0s u c ht h a t ( n ( t u ，a u ，m u ) 一n ( t v ，a v ，m y ) ，7 7 ( 钆，可) ) q i l u 一秒1 1 2 ，地，u d 1 ni ss a i dt ob el i p s c h i t zc o n t i n u o u si nt h ef i r s ta r g u m e n tw i t hr e s p e c tt ot i ft h e r ee x i s t sac o n s t a n tt 0s u c ht h a t l i n ( t u ，) 一n ( t v ，) | j t l l u u i i ，v u ，钞d 1 ， s i m i l a r l y , w ec a nd e f i n et h el i p s c h i t zc o n t i n u o u sc o n t i n u i t yi nt h es e c o n d a n dt h i r da r g u m e n t sr e s p e c tt oaa n dm ，r e s p e c t i v e l y ( 3 ) ni ss a i dt ob ev l - r e l a x e ds t r o n g l ym o n o t o n ei nt h es e c o n da r g u m e n tw i t h r e s p e c tt oa i ft h e r ee x i s t sac o n s t a n t 讹 0s u c ht h a t ( ( ，a u ，) 一( ，a v ，) ，叩( 让，秽) ) 一饥jj 缸一uj j 2 ， v u ，v d 1 ( 4 ) ni ss a i dt ob er l - s t r o n g l ym o n o t o n ei nt h e f i r s ta r g u m e n tw i t hr e s p e c tt ot i ft h e r ee x i s t sac o n s t a n tt 1 0s u c ht h a t ( n ( t u ，) 一n ( t v ，) ，卵( 乱，u ) ) 亡1 i i 乱一u l l 2 ，v 乱，u d 1 ( 5 )n i ss a i dt ob er t - c o c o e r c i v ei nt h ef i r s ta r g u m e n tw i t hr e s p e c tt oti ft h e r e e x i s t sac o n s t a n tt 2 0s u c ht h a t ( n ( t u ，) 一n ( t v ，) ，7 7 ( 乱，u ) ) t 2 1 1 t u t v l l 2 ，v u ，口d 1 d e f i n i t i o n2 6 l e td 2b ean o n e m p t yc o n v e xs u b s e to fab a n a c hs p a c e bw i t ht h ed u a ls p a c eb + ，l e tla ，m ，s ：d 2 _ b + ，叩：d 2 d 2 _ ba n d n ：b + b + b + 一b + b em a p p i n g s n ，t ，a ，m ，sa n d 叼a r es a i dt oh a v e o d i a g o n a l l yc o n c a v er e l a t i o no i ld 2i ft h ef u n c t i o n 矽：d 2 d 2 _ ru + 。) d e f i n e db y ( 口，) = ( n ( t u ，a u ，m u ) 一s ( u ) ，7 7 ( u ， ) ) i s0 - d i a g o n a l l yc o n c a v ei ne a c h v d 2 t h a ti s ，f o ra n yf i n i t es e tv 1 ，v 2 ，) d 2a n d f o ra n yu = 墨1 ) _ i v i 5 w i t h 九0a n d 墨1 凡= 1 ，銎1 九( 仇，u ) 0 d e f i n i t i o n2 7 l e td 2b ea n o n e m p t yc o n v e xs u b s e to fab a n a c hs p a c eb a n dk ：d 2 一rb eaf r 6 c h e td i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o n ki ss a i dt ob e ： ( 1 ) 叼- c o n v e x 【2 2 】i fg ( v ) 一g ( u ) ( k 7 ( 钆) ，? 7 ( u ，让) ) ，v u ，v d 2 ( 2 ) ，? - s t r o n g l yc o n v e x 1 】i ft h e r ee x i s t sa c o n s t a n tp 0 ，s u c ht h a t g ( v ) 一k ( u ) 一( k 7 ( 让) ，叩( 可，钍) ) 鸶i | 让一u i l 2 ，v u ，u d 2 i fm o r e o v e r ，? 7 ( 札，口) = u vf o ra l lu ，v d 2 ，t h e nki ss a i dt ob es t r o n g