（管理科学与工程专业论文）向量金融时间序列分形非线性协整研究.pdf

摘要向量金融时间序列分形非线性协整研究研究生：李容花导师：江孝感东南大学摘要金融时间序列协整理论研究有着深刻的国际经济背景。随着金融市场的全球化与复杂化，金融时间序列不断表现出非平稳性与分整性。金融理论也在不断创新，传统的计量经济学模型无法解决金融时间序列分形非线性的问题。协整理论体系是研究分整的基础，协整概念描述了向量时间序列之间的长期均衡关系，协整建模理论将数理统计方法与计量经济学中动态模型设定方法巧妙地结合，寻找发现未知数据生成的经济结构模型，使得金融时间序列建模更能反映金融时间序列的规律性。目前，线性协整理论已初步形成比较完整的系统，而非线性协整领域有很多问题有待解决，尤其是变结构非线性协整问题。同时协整领域向分整领域过度也是金融理论发展的自然延伸，分整领域兴起的时间较短，分整系统的建模还不够完善，目前主要集中在阶数相同的序列以及线性协整领域，并不能真正解决序列的长记忆性，或者只是解决了一些特殊的长记忆问题。本文在阅读了大量的国内外文献的基础上，总结了协整系统的基本理论，包括协整的概念、估计和检验等问题，协整理论是研究非线性、变结构、分整等问题的基础，文章在非线性变结构协整领域展开工作，拓展了非线性变结构协整的内涵；推导出了分段非线性交结构的误差校正模型；并给出了其基于c h o w 统计量的检验方法。对于分整领域，文章探索了分整序列非协整关系的存在性；给出了分整非线性协整序列的误差校正模型；并利用小波神经网络来逼近非线性协整函数；提出了分整非线性协整的非参数检验方法。关键词；变结构，非线性误差校正模型，分形协整，小波神经网络a b s t r a c tr e s e a r c ho nn o n l i n e a rc o i n t e g r a t i o ni 0 rv e c t o rf r a c t i o n a li n t e g r a t i o nt i m es e r i e s l d u a t e ：l ir o n g h u as u p e i s o r ：j l gx i a o g a l ls o u t h e a s tu n i v e r s 埘a b s t r a c tt h ec o i n t e 孕嘶o nt h e o r yo ff i n a n c i a lt i m es e r i e sh a sap r o f o l m db a c i 呵o i m do fi n t e m a t i o n a le o o n 砌i c w i t l lm e 哲o b a l i z a t i o n 锄dc o m p i 喇锣o ff 如a n c i a lm a r k e t s ，f i n a n c i a it i m es e 打岱s h o wt l l e 聊) p e 啊0 fn o n s t a t i o n a d ra n d 如“o n a li i l t e 刚i o n ( f i ) n ei 蚴o v a t i o no ff m a n c i a l 血e o r yh 船a l s ob e e no c ( = l l 疵g t | a d i t i o n a lc c o n o m 硎cm o d e lc a i ln o ts o l v et l l ep 怫锄o fn o n j i i l e a r缸撒l d a lt i 鹏僦e s c o m 舒a t i o nt h e 0 硎c a l 哪t e mi sm cb a s i so f t h es t l l d yo f f i n ec o n c 印to fc o i i l t e g 阻t i o nd e s c r f b 鹳m el o n g r u ne q u i l f 晡u mr c l a t i o n s h i pb e 押彻v e c t o r6 m es 硝e s t h ec o i i l t e g r a t i o nm o d e l i l l gm e o r yc o m b i i l e st h em a m e n l a t i c a ls t a t i s t i c sa n dd y n a i i l i cm o d e ls e to fe c 咖e t r i c ss k i l l m l i y ，l o o | 【i n gf o re c o n o m i c 蛐n l c t i i r eo fm em o d e lo ff o w l d i n gt b eu n k n o w i n gd a t e ，s 0 髂t om a k es u r et l l a tt l l em o d e i i n go ff m a n c i a lt i m es e f i c sr e f l e c t sm o o ft l l er 铭阻l a r i 锣o f痂a 觚c i a lt i m es c r i 懿t h er e s e a r c ho ft 1 1 e o l yo fc o h t e g r a t i o nm a i n l yf 0 饥s e so ns e d e sw h o s ev a r i a b l e sd i c e i si n t e g r a l锄ds 枷o n a d r ，w h 溯8 l et i i i l es 耐豁i su s u a l l y 螽a c t i o n a li n t e g r a _ t e d t l er e s e a r c ho nf ic a n tr e s o l v e ( h el o n gm e m o r yo ft i m es e f i 铝，o ro n l ys e t t l e dm e驰i a lo n e so f m 锄o nm eb 船i so fd o c u m c l l t s 丘d mb o t hh o m e 卸da b r o a d ，m i sp a p e r 跚m su pm eb a s i ct l l e o 巧o fc o i n t e 孕- a t i 伽，i n c l u d i n gm ec o n c q ) 协、伪t i m a t i o na n dt 翳t i l l g t h ec o i n t e g m t i o nm e o r yi st h eb a s i co fr e s e a r c ho nn o n l i n e a r 、s 讯l c t l l a lc h a n g e do r 砌c t i o n a li n t e g r a t i o ns e n 嚣t h i sp a p e r 臼秒t od o 代a r c ho n 也ef i e l do fr 1 0 n l i i l e a rs t f u c t 吼id l a i l g et i i n es e r i 娲。t h ec o 衄o t a t i o no fn o n i i n e a r8 仉l 咖r a lc ：h a n 星r e dc o i l l t e 毋m t i o ni se x p a l l d e d 锄dm en o n l i i l 铋re n 0 rc o 】c t i o nm o d e lo fs u b s t i o nn o n l m e a rs 饥l c t l l r a lc h a l l g et i i i l es e r i 船i sd e r i v e do u t t h ea u m o ra p p l yt l l et e s tm e m o d sb a s e do nc h o wv a r i a b l eo nt h et e s to fr e l a t i o i l s h i po fn o n l i n e a rs t m c m r a ic h a i l g es 缸e s d e a l i n g 谢mt l l ef i ，t l i ee x i s 劬c eo fn o m i i l e a rc o 毗g r a t i o no ff ii sa d v a n c c d a l s ot l l ee n o rc o f r 鳅i o nm o d e lo ff ii sg i v 锶o t t h e 踟也o r 缸yt ou s em ew a v e l e tn e u r a lm 觚o r kt oc o n s t r i l c tt h e 肿n l i i l e a rc o n i n t e g m t i o nf i l n c t i o n - t h en o n p 搬m e 雠ct e s t i n gm e t l l o df o rm en o n l i l l e a rc o i n t e 掣a t i o no ff ii sa l s o 百v i 瞰k e yw b r d s ：s t f l c t i l r a lo h a n g e ；n o n l i n e a re r r o rc o 坤e c t i o nm o d e l ；纳c t i o n a lc o i i l t e 铲a t i o n ；馏v e k - tn e u r i a ln e t 、】l ，0 1 k东南大学学位论文独创性声明本文声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。研究生签名：壅窒蓥。日期：东南大学学位论文使用授权声明东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理。研究生签名：蕉窒整导师签名第一章绪论1 1 论文的选题背景与意义第一章绪论自2 0 世纪7 0 年代以来，由于布雷顿森林体系的崩溃导致国际货币体系的瓦解，以及7 0 年代末美联储利率体制的调整( 即以货币总量管理代替利率管理的目标) ，造成了世界经济环境的剧烈动荡。个人、企业以及金融机构投资的风险也空前加大。加之不同国家利率差异与即期汇率和远期汇率的差异存在套利机会，又导致利率波动与汇率波动紧密结合在一起，并进一步加剧了国际市场和市场经济国家国内市场的不确定性。致使每一个投资者、企业或金融机构都被抛入了浮动汇率和浮动利率造成的不确定性的汪洋大海之中，市场各方面面临的风险压力进一步增大。在这样的背景下，一方面各种规避风险的金融产品应运而生，金融产品创新有利于资产向效益好的企业流动，这也促进了相关金融理论的诞生；另一方面，人们在对风险深感恐惧的同时，也迫切想了解风险这把悬在人们头顶之上的利剑背后所深藏的经济规律以及可能对其准确度量的方法和工具。1 9 2 6 年，挪威经济学家r f r i s h ( 弗里希) 模仿b i o m e t r i c s ( 生物计量学) 提出e c o n o m c t r i c s 标志着计量经济学的诞生。1 9 3 0 年1 2 月2 9 日，世界计量经济学会的成立与由r f r i s h 所创办的e o c n o l n c t r c i a 学术刊物于1 9 3 3 年正式出版，标志着计量经济学成为了一个独立学科。计量经济学作为经济学的一个分支学科，主要是将经济理论、统计学和数学三者相结合，用来揭示经济活动中客观存在的数量关系。计量经济学的主要任务是估计经济模型和检验经济模型，计量经济学的产生和发展过程也就是经济计量模型的建立、应用和发展过程。计量经济学模型的应用包括：结构分析、经济预测、政策评价、检验与发展经济理论。然而，面对日益复杂化并全球化的金融市场，传统的计量经济学由于其本身的缺陷，不可能为上述问题提供有力的分析工具。正是在这一深刻的社会经济背景下，现代计量经济学应运而生。现代计量经济学突破了传统计量经济学以经济理论为基础的从简单到复杂的研究方法，更加注重数据本身的动态结构的分析，强调模型设定的逻辑性和连贯性。而且现代计量经济学研究的核心是金融时间序列，后者也是宏观经济学和金融学经济学的研究基础，时间序列分析是一种重要的现代统计分析和建模方法。由于时间序列中客观存在着内在规律性，时间序列分析不仅可以从数量上揭示其发展变化规律或从动态的角度刻画时间序列之间的内在数量关系及其变化规律性，而且运用时序模型还可以预测并加以控制现象，主要是经济现象的未来行为，修正或重新设计系统以达到利用和改造客观之目的。时间序列分析是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律的统计方法，是统计学科的个分支。其基本思想是根据系统的有限长度的运行记录( 观察数据) ，建立能够比较精确地反映时间序列中所包含的动态依存关系的数学模型，并借以对系统的未来行为进行预测。传统的时间序列分析，通常都假设时间序列是平稳的，即没有随机趋势，或确定性趋势，以保证普通最小二乘法得到的估计量是一致的，具有渐近的正态分布。但是，现实中大量的经济时间序列通常都是非平稳的，即一个变量没有返回一个常数或一个线性过程的明确趋势，即其期望并非是个确定的数，或有限数，而方差也是个与时间有关，或是个非有限数，因此对非平稳的时问序列进行研究是很有必要的。最常用的方法是对其实行平稳化，常用的方法是对时间序列进行差分，然后对差分序列进行回归。时间序列的差分性质，专业的定义即是单整性，即考查时间序列经过最少多少次的差分，才能得到一个平稳的时间序列。在经东南大学硕士学位论文济数据中，一般表示流量的序列，如消费、收入等通常表现为一阶单整，表示存量的序列资产总值、储蓄余额等通常表现为二阶单整。大量的研究表明，非平稳时间序列之间也是有联系的，进一步说：两个甚至多个非平稳的时间序列的线性或非线性的组合可能是平稳的，这就是协整理论的内容，包括二维、多维时间序列的协整，线性、非线性的。1 2 论文主题的研究现状当许多模型在7 0 年代动荡的经济现实面前纷纷崩溃之际，有一种模型却表现出顽强的生命力、具有高度的稳定性和可靠性，那就是著名的“误差修正模型”。经济计量学家对这种模型能够经受动荡经济现实的严峻考验的原因进行了深入研究，发现误差修正模型中的非稳态单整变量( i n t e g r a t e dv a r i a b l e ) 之间存在着一种相当稳定的长期关系。g r a n g e r ( 1 9 8 1 ) l u 把这种长期稳定关系称为“协整”( c o i n t e g r a t i o n ) 。其后，许多经济学家、经济计量学家和统计学家对这一新理论表现出极大的兴趣和研究热情。他们的系统研究使这一理论迅速发展成为当今世界经济计量学界的一个热门的前沿研究领域【2 引。协整理论兴起于上世纪8 0 年代，在数量经济学领域具有广泛应用的建模理论。它着手于时间序列的非平稳性，探索非平稳经济变量间蕴含的长期均衡关系，对传统的数量经济模型，尤其是动态模型，进行了较为清晰的描述”j j ，澄清了传统的数量经济学统计推断中一些较为模糊的概念。协整理论建立的基础是序列的单整性，关于单整的研究主要包括单整的性质，包括不同阶单整序列的线性组合的单整性，单整序列非线性变换后的性状研究( 张喜彬、张世英1 9 9 8 ) 【6 、7 、8 1 。单整的检验，主要是d i c k e yf u l l e r ( 1 9 7 9 ) 【9 1 的d f 检验，以及后来在此基础上发展的a d f ( 1 9 8 1 ) 1 2 1 检验，再后来p h i l l i p 和p e r r o n ( 1 9 8 8 ) 提出的p p 【4 j 检验，这些检验的思想都是考查时间序列经过几阶差分可以消除序列中的时间趋势项，即经过几阶差分满足平稳序列的方差有限性。自从g r a n g e r l 9 8 1 年提出协整概念以来，此后的十多年里，协整理论和建模方法逐渐完善，在非平稳时间序列的建模实践中解决了很多实际问题。学术界对线性协整的研究大多集中于对，( o ) 和，( 1 ) 的研究，且这些研究主要集中在以下方面：单位根或协整过程以及有关的统计估计和检验理论；e g 两步法：g r a n g e r 表现定理；向量协整关系的检验和估计的渐进性研究等方面【l l 】。国内学者等在孙青华等g r a n g e r 整数阶协整概念基础上得出了向量序列的非线性协整概念12 1 ，对分整序列的非线性协整进行论证，并对长期均衡关系的存在性进行了分析和讨论，张喜彬等运用神经网络方法检验了非线性协整n 3 1 ，同时讨论了非线性协整关系检验的可行性，给出了非线性协整函数的算法并模拟实验说明检验方法的可行性和有效性。上述向量时间序列协整的研究是在向量每一分量阶数相同情况下，该向量才具有协整关2第一章绪论系，但在实际金融产品各种价格变动而组成的随机时间变量不一定都是阶数相同的，故上述不能很好地解决现实金融产品随机价格之间的关系。如果金融产品的部分随机时间序列阶数相同，则对向量进行分块，再对分块向量协整，可使其阶数下降至次高或更低的阶数，利用上述分块方法，依照多次协整会达到整个向量的协整。即不同阶数的金融资产可以对相同阶数的资产进行一定的组合从而得到降低整个组合资产的阶数，再次利用这种方法以至于达到最低的阶数，即投资组合的长记忆性逐渐衰减，也就是广义的协整关系l l 引。h u r s t 在物理学、水文学、气象学等领域的数据统计中发现了时间序列的长记忆性，并于1 9 5 1 、1 9 5 6 年第一次提出了时间序列的长记忆性问题【1 5 1 引，从此长记忆性的研究成为计量经济学的一个重要研究课题。m a n d e l b o r t 在1 9 6 8 年提出了分数布朗运动的概念【l ，为长记忆建模的研究工作奠定了理论基础；随后的a r f i m a 模型的w o l d 分解和其自相关系数均呈现双曲线衰减的特性，为长记忆时间序列的建模及应用研究提供了灵活的工具。金融资产收益波动的长记忆性主要讨论收益率序列的绝对值或幂的自相关呈现十分缓慢的衰减且相距较远的时间间隔仍然具有显著的自相关性，说明该历史事件会长期影响未来【l 引。在8 0年代以后，经济学家才运用长记忆模型，即经济学家将长记忆模型运用在失业率、g n p 、汇率等经济时间序列研究中1 1 9 1 。在计量经济学界对长记忆性的研究取得了丰硕的成果，如长记忆性序列的自相关函数呈缓慢的双曲衰减趋势，其性质不同于，( 0 ) 也不同于，( 1 ) 2 0 2 。大量的理论研究和实证分析表明金融系统中的变量大都表现为一种非平稳性和具有长记忆性的特性f l 、1 9 、2 2 】，且金融市场是一个系统，需要多个变量时间序列的协整来反应这种特性。传统的计量经济模型并不能完全解决金融系统的这种特性，因此如何寻找具有长记忆性和非平稳性变量之间的一种长期均衡关系是各国计量经济学家研究和解决的问题f 2 引。为此，g r a n g e r 与j o y e u s ( 1 9 8 0 ) ，h o s k i n g ( 1 9 8 1 ) 将分数差分噪声( f d n ) 和a r m a 模型相结合提出了自回归分整移动平均模型( a u t o r e g r e s s i v ef r a c t i o 舱ll yi n t e g r a t e dm o v i n ga v e r a g e ，a r f i m a ) ，用来描述长期记忆过程，该模型已成为检验长记忆性的最常用的工具【2 4 、2 5 】。分整序列之间的线性协整关系在国内也有一定的研究结果2 6 、2 7 1 ，包括分整序列之间协整关系的存在性研究，相同分整阶数、不同分整阶数之间的协整性，甚至是多维分整的研究，对于分整时间序列的估计、检验方面的研究都取得了显著的成果，g i l 一a l a n a 【2 8 、2 9 、3 0 】等给出了分整变结构的建模，并在众多经济问题中展开应用，如失业率问题、出口问题等。1 3 论文的研究内容与框架本文拟在国内外协整研究成果的基础上，继续探索非线性变结构协整问题，试图建立分段非线性变结构的误差校正模型，将基于咖d w 统计量的检验方法应用到该领域。并且延伸了分整时间序列的非线性协整研究，将小波神经网络的方法应用到非线性函数的逼近问题上，试图寻找出最优非线性协整函数。3东南大学硕士学位论文本文的框架结构如下：第一章，绪论。本章给出论文研究背景与意义、研究状况，以及本文所要做的主要工作，给出本文的内容与框架。第二章，金融时间序列协整理论综述。本章主要总结国内外对协整的概念、建模、估计和检验等问题进行综述，以及在协整基础上发展起来的非线性协整理论的向量时间序列变结构非线性协整和向量分整序列非线性协整的相关文献进行综述。第三章，非线性变结构协整的研究。本章主要在变结构协整理论基础上，探讨变结构非线性协整问题( 条件，性质，估计，检验) ，对分段非线性协整变结构展开工作，给出分段非线性协整变结构的误差校正模型及其非参数检验方法。第四章，向量分整序列非线性协整研究。在已有协整变结构理论以及分整理论基础上，试图继续延伸分整序列的变结构研究，研究分整序列的变结构性。给出了非线性函数的小波神经网络逼近方法。第五章，总结与展望。总结本文的研究成果，并在此基础上指出论文的一些未尽之处与展望未来的研究方向。1 4 论文的主要工作本文的主要工作有：在总结了协整的概念、建模、估计和检验基础上，以及归纳了分形基础上的长期均衡关系的估计、检验和性质以后，将协整理论研究方法应用到非线性变结构协整上来，提出了后者的误差校正模型以及检验方法，拓展了非线性变结构协整的内涵，研究了分段非线性变结构协整的存在性关系；对于时问序列的分整领域，研究了非线性分形协整，给出了分数维非线性协整的误差校正模型，将小波神经网络方法应用到非线性协整函数的逼近上来，最后提出了分整非线性协整的非参数检验方法4第二章金融时间序列协整理论综述第二章金融时间序列协整理论综述协整理论建模的思想是在基于系统均衡概念的基础上提出来的，本章首先介绍了平稳时间序列以及单整的基本理论，接下来阐述了单整时间序列之间均衡关系的协整理论。协整的概念是假设向量时间序列中每个分量序列都是单整的，如果这些分量序列的某种线性组合是一个平稳序列，那么这些分量称为协整的。所以向量时间序列中的协整关系反映了多变量时间序列的发展趋势，描述的是分量序列之间的长期线性均衡关系，并且可以通过误差校正模型表现出。e n g l e 和g r n a g e r ( 1 9 8 7 ) 通过协整系统的表现定理指出协整系统具有三种主要的表现形式：向量自回归( 刚尺) 模型，向量移动平均( 玢纠) 模型和误差校正模型( e c 膨) 。误差校正模型克服了传统的时间序列的建模缺点，它不仅反映了水平序列的长期均衡关系，而且可以避免伪回归现象【3 。基于线性协整技术的误差校正模型( e c m ) 用来提高经济预测质量方法，使得协整技术被广泛地应用到经济预测中3 2 1 。2 1 协整的理论方法一般的经济理论都假设时间序列是平稳的，时间序列的平稳性指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化，即生成时间序列的随机过程的特征不随时间的变化而变化。直观上，一个平稳的时间序列可以看作是一条围绕其均值上下波动的曲线。定义2 1 1 ：假定某个时间序列是由某一随机过程生产，即假定时间序列“) 的每个数值都是从某一概率分布中随机得到，若 五) 满足：( 1 )其均值e ( ) = “，与时间t 无关的常数；( 2 )其方差玩r ( 薯) 是有限的，并不随t 的推移产生系统的变化；( 3 )协方差c d l ，( 五+ + t ) = 以，只与时间间隔k 有关，与时间t 无关。则称该随机时间序列是平稳的，该随机过程是一平稳随机过程，平稳的时间序列又称为j ( o ) 。由此可见，平稳时间序列将以一种相对不变的振幅围绕均值波动。一个白噪声序列是典型的平稳序列，但如果平稳序列的均值不等于零，或者存在协方差，那么这个平稳序列也不是白噪声序列。但是实践证明并非所有的时间序列都是平稳的，事实上许多经济指标的时序数据不具备平稳时序特征，如g d p 的增长、货币供应量的增长、财政支出的增长等等。如果一个时间序列的均值或方差或两者都与时间有关，即该时间序列不存在可收敛的长期平均水平，且方差会随着时间推移而无限地增大，则称该时间序列是非平稳的，该随机过程是一非平稳随机过程。非平稳时间序列没有明显趋于回归到常数或线性的趋势，它是宏观经济和金融时间序列中普遍存在的特征。5东南大学硕士学位论文单整过程是一类特殊的非平稳随机过程。简言之，单整过程是指经过差分可以达到平稳的非平稳随机过程。定义2 1 2 ：如果一个时间序列非平稳，而经过一次差分变成平稳的，即缸= 一并且红，( o )我们就说时间序列“) 是一阶单整，记为j ( 1 ) 。如果一次差分变换后仍然是非平稳的时间序列，则还可以对差分序列再作差分变换，若是在进行了d 次差分后才变为平稳序列，这种经过矗次差分才平稳的时间序列称为矗阶单整，记为j ( d ) ，其中d 为整数。定义2 1 3 ：单位根过程：随机过程怯，f = 1 ，2 ， 称为单位根过程，若满足：、= 以一l + 吩，其中尸= l ，珥为一平稳过程上式可以改写为：( 1 一础) t = 哆，其中三为滞后算子，即如= 一l ，( 1 一肚) 称为滞后多项式，它的特征方程为1 一p z = 0 ，根为z = l p 当p = 1 时，特征方程有一个单位根，此即为“单位根过程( u n i tr o o tp r o c e s s ) ”。我们来考查一般的单变量p 阶自回归过程矽( 三) = q( 2 1 1 )其中妒( 三) = 1 一馈三一伤r 一一f 是滞后算子l 的多项式，乞是白噪声过程。p 阶自回归过程为乎稳或非平稳过程的充要条件是：特征方程妒( z ) = 1 一鲲忽一仍z 2 一一纬z p 的根全部落在单位圆外，则 薯) 过程为平稳过；若某个( 或某些) 根落在单位圆上或单位圆内，则“) 过程为非平稳过程。特别地，若某个根落在单位圆上，i 互i = 1 “= 1 ，2 ，p ) ，则称“) 过程含有d 个单位根过程，记为：，( j ) ，此时( 2 1 1 ) 式可以改写为：痧( ) ( 1 一d 矗薯= q( 1 一三) 矗= 为j 次差分算子，对应的特征方程为：( 2 1 2 )矽( z ) ( 1 一z ) d = o由此可见，单整过程即为单位根过程。单整的定义表明，对单整序列进行变换以达到平稳，至少要进行一次差分运算。在一个存在长期线性均衡关系的向量时间序列托，f = 1 ，2 ，) 中，如果其分量序列都是单整的，那6第二章金融时间序列协整理论综述么分量序列的某种线性组合的单整阶数可能会比任何一个分量的单整阶数都要小，在这种情况下，该系统的分量之间就存在协整关系。在一个处于均衡状态的动态随机系统中，系统的分量序列由于某种理论上的关系而联系在一起，并且在较长的时期内这些分量不会彼此偏离。但是在短期内，这些分量可能会偏离均衡状态，但随着时间的推移，最终还是会回到均衡状态。如果向量时间序列 x ，) 中存在长期均衡关系，那么系统偏离均衡状态的偏差应该是随机的、平稳的。现代计量经济学运用协整( c o 缸e g m t i o n ) 的概念对这种长期均衡关系进行统计描述。e n 西e g 删唱1 9 8 7 ) 指出，如果向量时问序列 置) 的每一个分量序列都可以经过一次差分两成为平稳序列，但是这些分量的某种线性组合口r z 是平稳的，那么向量时间序列 的分量序列岛) 称为可协整的，巧称为协整向量。e n g l e g r a i l g 呱1 9 8 7 ) 给出了协整的定义，对向量时间序列的协整关系进行了统计描述。定义2 1 4 ：对于n 维向量时间序列 墨，f = 1 ，2 ，阼) ，其分量序列 k ，f = 1 ，2 ，n ) 称为( d ，6 ) 阶协整的，记为置一c ，( j ，6 ) ，如果分量序列满足：( 1 ) 置，的每一个分量都是z ( d ) 序列；( 2 ) 存在一个非零向量口，使得毛= 口r 五，( d 一功( 6 0 ) 。当l f 2 时，协整向量口是唯一的：当i l 2 时，向量时间序列 置) 中可能存在多个协整关系，不妨设存在，个线性独立的协整向量，将这些线性独立的协整向量排列起来，就形成一个腕x 厂维矩阵么，称为协整矩阵( c o i n t e 窒阻娃o nm 柏叙) ，矩阵么的秩称为协整的秩( c o i i l t e g a t i o nr a l l l ( ) 。协整关系描述了 蕾) 中非平稳分量之润的长期线性均衡关系。也就是说，虽然每个分量序列都具有时变的矩，例如序列的均值、方差和协方差随着时间的变化而变化，但是这些分量序列的某种线性组合的矩却具有时不变的特征，这些特定的线性组合实际上定义了系统的长期线性均衡关系。协整关系的建立可以明确的让我们了解变量之间的长期关系。但是，对于变量在短期内所受到的冲击导致偏离长期均衡的情况，与如何对于短期的偏离作修正以达到长期均衡的过程并未加以考虑。鉴于此，e n g i e 和g 捌1 9 e r ( i9 8 7 ) 便提出了误差校正模型，其观念是修正前期协整关系失衡的部分，从而说明变量间短期的变动情况，使短期不均衡的状况调整至长期均衡的过程。也就是说，由误差校正模型就可同时考虑短期的调整过程与长期的均衡关系，人们对协整系统的认识就是从e c m 开始的，该模型在上世纪7 0 年代后期，面对动荡的经济现象，在非线性时间序列的建模理论和实践中显示了较强的生命力。，z 维向量时间序列 z ) 具有误差校正的表现形式，如果该序列可以表示为：彳( 曰) ( 1 一曰) 五= 一厂z f i + q7( 2 1 3 )东南大学硕士学位论文其中，q 是n 维的平稳随机扰动序列，彳( b ) 是关于滞后算子b 的矩阵多项式，并且彳( o ) = l ，彳( 1 ) 的元素都是有限的，互= 口r 五( 口是序列 置 的协整矩阵) ，它表示 工) 的，个协整关系所分别产生的均衡误差。z ，= ( z 2 ，z 2 f ，z ，) 2 是模型的误差校正项，7 是一个非零的柳，维参数矩阵。在e c m 的表达式中，对于任一协整向量口，乞= 口2 墨是序列 墨) 在t 时刻与线性均衡状态之间的偏差距离，称为均衡误差。误差校正模型表明，在每个时点上五的变化，受到前一个时点的均衡误差在大小和方向上的影响。不难看出，e c m 模型既包含了长期均衡机制，又允许短期非均衡的出现( 均衡误差z f l 的校正作用) ，保留了变量可能发生短期剧烈波动的特征。所以，e c m 在非平稳时间序列的建模实践中有很强的适应性和实用性。误差校正模型是序列 z 中分量序列之间协整关系的一种表现形式。只有当分量序列之间存在协整关系时，e 伽才有意义。因为模型( 2 1 1 ) 的右边是平稳时间序列，只有当左边的z f l 是平稳序列时，模型才是平衡的。而根据定义互= 口r 五，只有分量序列之间存在协整关系才能使互一l j ( o ) 。在e c m 的表达式中，只有f 一1 时刻的均衡误差具有调整作用。后来为了加强其误差校正的效果，对其表达式进行了调整。调整后的模型中乙的任意阶滞后项都可以作为模型的解释变量。所以当 墨) 的分量序列之间存在协整关系时，如果 暑 处于非均衡状态，那么e c m 描述了 置) 向均衡点逐渐调整的过程，很好的反映了向量时间序列的动态均衡过程。上述误差校正模型只有向量时间序z 中分量序列之间协整关系的一种表现形式，根据g i 锄g e r 的观点，向量时间序列协整关系共有三种表现形式：误差校正模型( e c m ) 、向量自回归模型( a r ) 和滑动平均模型( m a ) 。g r a n g 盯( 1 9 8 7 ) 证明了这三种表现形式的等价性。其中，g m n g e r 表现定理是协整关系估计和检验的基础。定理2 1 1 ：g r a n g e r 表现定理( g r a n g e rr e p r e s e n t a t i o nt h e o r e m ) ：若向量时间序列置c y ( 1 ，1 ) ，且协整的秩为，则：( 1 ) 嘁) 是平稳的；( 2 ) 缸r 必) 是平稳序列，它提供了分量序列毛o = l ，2 ，册) 协整组合的集合；( 3 ) 删南c ( 1 ) = ，摊一厂，c ( 1 ) = c r o + c j + g + ；( 4 ) 五有删表达式：彳( b ) 五= d ( b ) ( + q ) ，其中，朋，z 翩( 1 ) = ，彳( b ) 是8第二章金融时间序列协整理论综述| | 五) 的自回归多项式，如果 五 的自回归阶数为露；则彳( b ) = ，一丌；曰，彳( 曰) 是扛l数域上曰的矩阵多项式，且彳( 1 ) 有限，彳( o ) = 厶；( 5 ) 存在埘，矩阵口和，它们的秩均为，并且满足：口r q l ) = o ，c ( 1 ) 7 = 0 ，彳( 1 ) = 膨r ；( 6 ) 存在误差校正表达式：彳( 曰) ( 1 一b ) 五= 一，z ，一1 + d ( 曰) ( + g )其中，五( o ) = l ，z f = 口r 置j ( o )( 7 ) 向量时间序列 乃) 可由下式确定：z f = k ( 曰) ( + q )( 1 一召) 2 ：= 一口? 厂z f l + ，( b ) ( + 乞)其中，k ) ，了( 艿) 都是，i 班的滞后多项式，它由口7 c ( 雪) 确定，其中c ( 曰) = 一( g ) 2 1 1 单位根检验在使用时间序列数据进行总体实证分析时，所选取的数据必须是符合稳定性( s t a t i o a r y) ，即表示该数据的均值与方差不会随时间而改变，如果数据未符合稳定性而进行回归分析时，则会产生伪回归( s p u r i o u sr e g r e s s i o n ) 的情形。所谓的伪回归是由g r a n g e r 和n e w b 0 1 d( 1 9 7 4 ) p 2 j 提出，代表回归分析结果的r 2 可能会相当高，且f 统计量和f 统计量会相当显著，导致虚无假设容易被拒绝，使得结论产生偏差，而其d l l r b i l l j w 嬲t s o n 检验也会趋近于零。因此，为了避免上述所谓的伪回归，进行实证分析时通常应先进行稳定性检验，而检验数据是否为稳定则由单位根检验( u n i t r o o t t e s t ) 来进行确认。单位根检验用来检验时间序列数据是否为稳定，若数据不具备稳定性，可通过差分的方式使其成为稳定。一个非稳定的时间序列数据，若经过d 次差分后达到稳定，我们便称此序列数据具有d 个单位根，而此序列为一，( d ) 序列。常用的方法有d f ( d i c k e y 最l l l e r ) 检验、增广的d f ( a d f ) 检验和p p ( p h l i l l i p s p e n m )检验。d f 检验是在假设残差序列为独立且同方差情况下进行的。如果残差序列是自相关或异方差的，则d 瞪验失效。后来d i c k e y 和f u l l e f 把滞后差分项加到d f 模型中，从而克服了残差序列为独立且同方差的假设前提，使残差序列近似为白噪序列，并称改进后的d f 检验为a d f检验。9东南大学硕士学位论文d i c k e y 和f u l l e r ( 1 9 7 6 、1 9 8 1 ) 提出了d f 单位根检验法，即基于标准化偏差( s t a i l d a r d e db i 豁) 统计量的七检验、基于传统f 统计量的f 检验和基于w a l d 统计量的f 检验。其目的是区分单位根过程( 或差分平稳过程) 与( 趋势) 平稳过程。作为假设检验，d f 检验的势( p o w e r )是评价检验功效或可靠性的重要指标，一些学者通过模拟检验的势比较研究了d f 检验的可靠性，如e v 孤sa j l ds 捌n ( 1 9 8 1 ) 、d i c k e y 柚df u l l 一1 9 7 9 、1 9 8 1 ) 、d i c k e y ( 1 9 8 4 ) 、d e j o n g( 1 9 9 2 ) 等等。他们的研究结果表明由某一初始值生成的备择假设过程的样本序列得到的d f 检验的势与初始值的大小有关，而且不同d f 检验势的高低与初始值的范围有关。下面简单介绍d f 检验。考虑么r ( 1 ) 过程的一般形式：咒= 砒一l + 岛( 2 1 3 )若参数l p l l 时，序列是爆炸性的，没有实际意义。所以，只需检验ipi 是否严格小于1 。实际检验时，将( 2 。1 3 ) 式写成奶= f - l + f f( 2 1 4 )其中，7 = p 一1 。检验假设为：风：7 = o ；备择假设q ：7 1 ，c 1 是常数。如果瓴 是长期记忆序列，那么其自相关函数序列级随着负幂指数的速度下降，即l 级i 如2 纠( 尼专o o ) ，其中d o 5 。所以，通过观澳r 级随着后的增大而逐渐减小的速度，我们可以判断序列 a ) 是否为一个短记忆序列。1 4第二章金融时间序列协整理论综述2 2 2 非线性协整误差校正模型相对于线性协整理论及其误差校正模型，相应的非线性有两个方面的含义：第一，非线性的协整函数是关于个时间分量是非线性的：第二，函数关于被估计的函数是非线性的，甚至有的时候函数关于时间变量和参数都是非线性的，有些学者用非线性函数代替线性协整误差校正模型中的误差校正项，由此建立非线性的误差校正模型( n e c m ) 。h e i l d r yd f 和e r i c s s o i l j g ( 1 9 9 1 ) 对非线性协整函数采用了三次多项式的形式，建立英国货币需求模型，得到了比较好的拟合效果和预测效果，而国内一些学者则采用s i g m o i d 变换函数形式，运用神经网络方法进行拟合，建立了中国的广义货币需求模型，同样取得比较好的拟合效果和预测效果。下面我们来介绍非线性协整系统的误差校正模型。对于向量时间序列置= ( ，t ，吒，) f ，若 置) 的分量序列为非线性协整关系，则非线性协整向量 z ) 有非线性误差校正模型：k 1置= r 。+ r j 墨一，+ r k ( 置一i ；回+ qj = l( 2 2 1 )( ) 为非线性协整函数，口为参数向量，t = ( q 。，气，) r 为随机误差序列，r j ( ，= o ，l ，2 ，七) 为，z 1 的系数矩阵，后为滞后阶数。那么有为 墨) 第f 个分量的非线性误差校正模型( n e c m ) 。2 3 分整时间序列理论2 3 1 时间序列的长记忆性( 2 2 2 )长记忆时闯序列的研究主要集中在以下几个方面：( 1 ) 长记忆时间序列的建模，g 删1 9 一1 9 8 0 ) ，q 姐g e r 和j o y e i l x ( 1 9 8 0 ) 首先提出了分数维白噪声模型( f 【) n ) 【2 4 、2 5 1 通过对数据进行分数阶差分( 即分整) 来叙述序列的长记忆性，开创了长记忆时间序列的建模研究先河，但没有考虑到短记忆因素，因此( 妇n g e 1 9 8 0 ) 和h 0 s k i n 甙1 9 8 1 ) f 3 3 、2 5 1 将么足删( p ，g ) 系列模型和f d n 模型相结合，考虑了时间序列的短记忆性和长记忆性特征，提出分整自回归滑动平均模型刎杼：f 勉4 ( p ，d ，g ) 。通过将数据差分阶数d 从整数域扩展到实数域，爿尺心 纠模型即可利用p + g 个参数反映数据所包含的短记忆信息，同时通过分数维数d 来反映序列1 5毛+冶井墨，、+：p肼乃。芦+乃i i撕东南大学硕士学位论文的长记忆性。在彳尼吧坛4 模型的基础上，p o r t 昏h u d a l 【( 1 9 9 0 ) 进一步讨论了参数长记忆过程，提出了季节分数差分彳r 融s ! 幽模型。( 2 ) 长记忆的参数估计与检验。最初的长记忆检验方法是由h u r s t ( 1 9 5 1 ) 提出的刚s ( r e s c a l e dr 肌g e ) 统计量法，r o b i l l s o n ( 1 9 9 1 ) 提出了一种检验分数维白噪声的l m ( l a g 姐n g em u l t i p i l 衙) 统计量；w u ( 1 9 9 2 ) 、a g i a l ( 1 0 9 l o w和n e w b o l d ( 19 9 4 ) 将l m 统计量推广到一般的6 脚i m a 过程；g e w c i k e - p o n * h u d a k ( 1 9 8 3 )提出了g p h 方法进行长记忆检验。在给出长记忆定义前，必须给出短范围相依过程的定义，r o s e n b l a i t 在1 9 5 6 年给出了这样的定义【3 5 】：定义2 3 1 ：短范围相依过程：假设离散时间序列 z ) o = 1 ，2 ，丁) ，其部分和为r品= 五 工) 称为短范围相依过程( s h o r tr a n g ed e p e n d 髓c y ) ，若：f 卑i仃2 = 】j ；| = 要一( r 一1 霹) 存在且不为零，并且( 吾r ；) 一，列j 召( r ) ，对所有的，“o ，1 】r _ o同时 置) 称为大范围相依过程( h n gr a n g e d e p e n d e n c y ) ，若： 五) 自协方差 以) 满足：以u ( 后) 后2 日- 2 对于任意的尼而言其中：毗) 为缓变溅其定姚c r 22 謦 等 = c 其中c 为常数对所有的炒。f _ oil ，l定义2 3 2 ：长记忆时间序列( b r o c k w e l l ) ( 1 9 9 1 )如果平稳时间序列 五) 的自相关函数岛依负幂指数率( 双曲率) 随滞后阶数f 的增大而缓慢下降，满足：屏一仃2