（课程与教学论专业论文）从教学角度探讨数形转化思想.pdf

苏州大学学位论文使用授权声明 本人完全了解苏州大学关于收集、保存和使用学位论文的规定， 即：学位论文著作权归属苏州大学。本学位论文电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致。苏州大学有权向国家图书馆、中国社科院文献 信息情报中心、中国科学技术信息研究所( 含万方数据电子出版社) 、 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社送交本学位论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存和汇编学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索。 涉密论文口 本学位论文属 在年一月解密后适用本规定。 非涉密论文口 论文作者签名： 丛遂一日 导师签冬：与；7 p 垂日 期：之! 兰垒垒旦竺曰 期一竺李塑明 从教学角度探讨数形转化思想摘要 摘要 数学思想是我们在意识和观念层面上对某些具体的数学内容和方法的本质认识， 是数学的精髓和灵魂数形转化思想是较高层次的重要数学思想之一，它体现着等价 转化的基本精神，在初等数学阶段的课程标准中有着明确的要求，是初等数学重点考 查的数学思想之一此外，数形转化还是数学的解析表示与图、表表示这两种重要的 数学表示间的转化，是数学表示间转化的重要桥梁之一数形转化包括“以形助数” 和“以数解形”两个方面，“以数解形”是解析几何的基础，而“以形助数”没有固 定的模式，这是本文研究的重点因此，就数形转化思想的认识及其教育意义来讲， 研究数形转化思想具有一定价值 本文主要采取理论研究的方法，首先研究数形转化思想的理论结构，其次我们选 取绝对值与勾股定理这两类最典型的数形转化问题深入展开，较系统地探讨数形转 化思想的教学认识，最后我们就教学中渗透数形转化思想提出一些建议和思考本文 重在借助评析数形转化问题来探讨数形转化思想的教学认识，而非简单地通过例题 呈现数形结合的妙处 关键词：数学思想、数形转化、绝对值、勾股定理 作者：从品 指导教师：余红兵( 教授) a b s t r c t s t u d yo nt r a n s f o r m a t i o nb e t w e e nn u m b e ra n dg r a p h f r o mt h ep e r s p e c t i v e 。o 。f 。t e a c h i n g s t u d yo nt r a n s f o r m a t i o nb e t w e e nn u m b e r a n dg r a p h f r o mt h ep e r s p e c t i v eo ft e a c h i n g a b s t r c t m a t h e m a t i c a li d e ai so u ru n d e r s t a n d i n go ft h en a t u r eo ft h es p e c i f i cm a t h e m a t i c s c o n t e n ta n dm e t h o d so nt h el e v e lo fa w a r e n e s sa n dt h ec o n c e p t ，a n di ti st h ee s s e n c ea n d s o u lo fm a t h e m a t i c s t h ei d e ao ft r a n s f o r m a t i o nb e t w e e nn u m b e ra n dg r a p hi so n eo f h i g h e r l e v e lm a t h e m a t i c a li d e aa n di tr e f l e c t st h eb a s i cs p i r i to ft h ee q u i v a l e n t t r a n s f o r m a t i o n t h ec u r r i c u l u ms t a n d a r do fe l e m e n t a r ym a t h e m a t i c sh a sac l e a r r e q u i r e m e n to nt h et r a n s f o r m a t i o nb e t w e e nn u m b e ra n dg r a p hw h i c hi s o n eo ft h e i m p o r t a n tp a r to fe l e m e n t a r ym a t h e m a t i c se x a m i n a t i o n i na d d i t i o n ，t h et r a n s f o r m a t i o n b e t w e e nn u m b e ra n dg r a p hi sa l s oat r a n s f o r m a t i o nb e t w e e nt w oi m p o r t a n tm a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n s a n a l y t i c a lr e p r e s e n t a t i o na n dg r a p hr e p r e s e n t a t i o n ，s o i ti so n eo f i m p o r t a n tw a yo ft r a n s f o r m a t i o nb e t w e e nm a t h e m a t i c a lr e p r e s e n t a t i o n s t r a n s f o r m a t i o n b e t w e e nn u m b e ra n dg r a p hi n c l u d et w of o r m s - - t r a n s f o r m a t i o nf r o mg r a p ht on u m b e ra n d f r o mn u m b e rt og r a p h t r a n s f o r m a t i o nf r o mg r a p ht on u m b e ri st h eb a s i so fa n a l y t i c g e o m e t r y , w h i l et r a n s f o r m a t i o nf r o mn u m b e rt og r a p hd on o th a v ef i x e dm o d e ，w h i c h i st h ef o c u so ft h i ss t u d y t h e r e f o r e ，i nt e r m so ft h ec o g n i t i o no nt r a n s f o r m a t i o nb e t w e e n n u m b e ra n dg r a p ha n di t se d u c m i o ns i g n i f i c a n c e ，r e s e a r c ho nt h et r a n s f o r m a t i o nb e t w e e n n u m b e ra n dg r a p hi sv a l u a b l e i nt h i sp a p e r , w em a i n l yt a k et h em e t h o do ft h e o r e t i c a ls t u d i e sa n df i r s ts t u d yt h e t h e o r e t i c a ls t r u c t u r eo ft h et r a n s f o r m a t i o nb e t w e e nn u m b e ra n dg r a p h s e c o n d l y , w e m a i n l yd i s c u s s e dt h e m a t h e m a t i c a lc o g n i t i o no nt r a n s f o r m a t i o nb e t w e e nn u m b e ra n d g r a p ha n di t se d u c t i o ns i g n i f i c a n c eb a s e do nt w ot y p e so ft h em o s tt y p i c a lp r o b l e m s a b o u tt r a n s f o r m a t i o nb e t w e e nn u m b e ra n dg r a p h - - a b s o l u t ev a l u ea n dt h ep y t h a g o r e a n t h e o r e m a n df i n a l l y , w ep u tf o r w a r ds o m es u g g e s t i o n sa n dt h i n k i n go nt h ei s s u eo f b l e n dt h et r a n s f o r m a t i o nb e t w e e nn u m b e ra n dg r a p hi nt h et e a c h i n g t h i st h e s i sf o c u so n i i s t u d y o n t r a 。n s f o r m a t i o nb e t w e e nn u m b e ra n dg r a p h f r o mt h ep e r s p e c t i v eo ft e a c h i n g a b s t r c t t h ed i s c u s s i o no fc o g n i t i o no nt r a n s f o r m a t i o nb e t w e e nn u m b e ra n dg r a p ha n di t s e d u c a t i o ns i g n i f i c a n c ew i t ht h eh e l po fa n a l y z i n gs o m er e l a t e de x a m p l e s ，r a t h e rt h a n s i m p l ys h o w i n gt h eb e a u t yo ft r a n s f o r m a t i o nb e t w e e nn u m b e ra n dg r a p hb ye x a m p l e s k e yw o r d s ：m a t h e m a t i c a li d e a ，t r a n s f o r m a t i o nb e t w e e nn u m b e ra n dg r a p h ，a b s o l u t e v a l u e ，p y t h a g o r e a nt h e o r e m i i i w r i t t e nb yc o n gp i n s u p e r v i s e db yp r o f y uh o n g b i n g 目录 第1 章问题的提出。1 1 1 研究背景1 1 1 1 数学和数学思想的重要性1 1 1 2 数学课程对数学思想的高度重视1 1 1 3 为何研究数形转化思想方法3 1 2 数形转化思想研究的文献述评4 1 3 研究内容、方法及意义4 第2 章数学思想方法的结构体系5 2 1 关于数学方法论5 2 2 数学思想与数学方法6 2 3 关于化归和等价转化思想7 第3 章数形转化思想的概述1 2 3 1 数形转化思想的概述1 2 3 2 数形转化思想的内涵和重要性1 3 3 3 数形转化模式1 4 第4 章范例一绝对值相关的数形转化1 6 4 1 绝对值的序关系与距离之间的转化1 7 4 2 含绝对值的方程问题与距离之间的转化一1 8 4 3 含绝对值的不等式或最值与距离之间的转化2 0 4 4 函数的绝对值与图像翻折之间的转化2 5 4 5 本章小结一2 6 附录2 7 第5 章范例二勾股定理及其逆定理相关的数形转化。2 9 5 1 勾股定理的逆定理相关的数形转化2 9 5 2 本章小结3 5 第6 章教学上的思考和建议3 7 参考文献4 0 攻读硕士学位期间发表的论文4 2 致谢4 3 从教学角度探讨数形转化思想第1 章问题的提出 第1 章问题的提出 1 _ 1 研究背景 1 1 1 数学和数学思想的重要性 随着社会科技与科学理论文化知识的不断发展，数学在科技中的应用越来越广 泛，重要程度也不断提高，使得数学不再是一门单一的学科一方面，随着数学的社 会作用越来越凸显，使得在数学领域内形成了许多新的应用数学学科，如计算数学、 金融数学以及生物数学等等；另一方面，一些理工类学科对数学的依赖程度越来越高， 数学与其他学科之间的相互渗透也愈来愈强，尤其是数学思想对其他学科的影响，使 得在某些交叉学科领域新生的一些理论和技术具有着强烈的数学色彩，如密码理论 等等，这些理论和技术常常非常重要甚至不可替代特别是与计算机的结合，使得数 学在研究领域、研究方式和应用范围等方面得到了空前的拓展 数学在社会生活中的渗透和应用也正不断加强，现在许多行业都离不开数学，数 学成为每个人必需的文化素养，数学大众化的时代已经到来数学可以帮助人们更好 地探求客观世界的规律，面对世界中大量纷繁复杂的信息，数学有助于人们做出适当 的选择与判断，同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段数学作为一种普 遍适用的技术，有助于人们收集、整理和处理信息，建立数学模型，进而解决实际问 题，最终为社会创造价值而数学思想可以在更大程度上发挥数学的作用，帮助人们 学会用数学的思考方式处理问题、认识世界 数学正以其前所未有的力量影响着社会的方方面面，尤其是数学的思想，像灵魂 一样潜移默化地影响着人们的思维方式和行为方式，支撑且推动着科学与技术的发 展 1 1 2 数学课程对数学思想的高度重视 改革开放以来，我国的数学教育取得了辉煌的成就，但随着数学的广泛应用和其 重要性的逐渐提高，传统的数学课程已不能适应时代发展和教育现代化的要求，其包 括教学模式、教学目的、教学内容、教学手段等在这种背景下，我国和世界其他各 国一道纷纷开始对以往的数学教育进行总结，同时也开始探索、尝试提出适应时代发 展的新的数学课程标准和数学课程改革计划新时代的数学课程标准和数学课程改革 第1 页 第1 章问题的提出从教学角度探讨数形转化思想 计划对数学思想都提出了新的要求 义务教育阶段的数学课程标准的基本理念中提到“数学为其他科学提供了语言、 思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学是人类的一种文化，它的内容、 思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分”“教师应激发学生的学习积极性，向 学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正 理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验 这些理念在一定程度上纲领性地强调了数学思想在技术发展、人类文化以及数学教育 中的重要性 义务教育阶段的数学课程标准的总体目标之一是“通过义务教育阶段的数学学习， 学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识( 包括数学事 实、数学活动经验) 以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”该目标体现了数 学课程对数学思想的总体要求，阐述了数学思想对于学生发展的必要性在该课标的 正文内容中同样多次提到各种数学思想，如函数思想、样本估计总体的思想以及逼近 思想等等，体现了义务教育阶段的数学课程标准对数学思想的要求和重视，同时也做 出了适当的要求，如“反证法也是一种重要的证明方法，教学中可以通过生活实例和 简单的数学例子，使学生体会反证法的思想” 普通高中数学课程标准中开篇即提出“数学教育在学校教育中占有特殊的地位， 它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理， 使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问 题、认识世界”可见新的课程标准已经将数学思想上升到与数学知识、数学技能并 列的重要地位 课程具体目标也提出“获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概 念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学 思想和方法，以及它们在后续学习中的作用”甚至在评价理念中也提出“过程性评 价应关注对学生理解数学概念、数学思想等过程的评价，关注对学生数学地提出、分 析、解决问题等过程的评价，以及在过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流 的意识和探索的精神”这些提法都体现了数学课程对数学思想的要求达到了一个较 高的层次其后的内容更是前所未有地涉及了更多的各种层次的数学思想，如函数的 第2 页 从教学角度探讨数形转化思想 第1 章问题的提出 思想、分类的思想、数形结合的思想、转换的思想、数学建模的思想、统计与概率的 思想、算法的思想、有理数逼近无理数的思想、样本估计总体及其特征的思想、最小 二乘法的思想、线性规划的思想、导数的思想、回归的思想、公理化的思想、积分的 思想、离散变量的思想等等显而易见，普通高中数学课程标准将数学思想摆在了一 个更高的层面上，比义务教育阶段更加地重视数学思想的学习和体会 基础教育课程改革纲要( 试行) 的一个主要特点是强调数学课程应更加关注学 生的数学素养，关注人的发展“而数学思想方法是铭记在人们头脑中永恒作用的数 学观点和文化，数学的精神和态度，它使人思维敏捷，表达清楚，工作有条理，使人 实事求是，锲而不舍，使人更好的理解，领略和创造现代社会文明”1 因此引导学生 领悟和掌握建立在数学知识和技能上的数学思想方法既可提高学习者自身的数学素 养，也是建立科学的数学观念、发展和应用数学的重要保证 基础教育课程改革纲要( 试行) 中还提到“基础教育课程改革的具体目标是改变 课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，使获得基础知识与基 本技能的过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程”而了解和领会数学思想 能有助于学生更快速有效地的获得基础知识与基本技能，更重要的是可以帮助学生 学会学习和形成正确的价值观 1 1 3 为何研究数形转化思想方法 数学思想是我们的意识和观念层面上对某些具体的数学内容和方法的本质认识， 它是数学的精髓和灵魂数形转化思想是较高层次的重要数学思想之一，它体现着等 价转化的精神，具有较强的教育意义数形转化思想在课程标准中有着明确的体现， 在初等数学阶段的教材和教学内容中均有着较多的渗透和融合，高考也把数形转化 思想作为重点考查的内容之一数形转化思想不仅在初等数学阶段有着较多的体现， 它在高等数学阶段甚至其它学科方面也有着重要的体现和应用 但是在初等数学阶段的教师教学过程和学生学习过程中，数形转化思想均是薄 弱环节首先，大多数教育者常常仅在习题中向学生展示数形转化的妙处，但这种展 示是不够的，零星的习题中的展示不仅不能引导学生形成较系统的数形转化的方法 和观念，反而有可能使学生产生关于数形转化用法上的疑惑和思维定势其次，现在 的大多数学生的学习方式仍停留在接受学习的方式上，缺少自我总结的倾向和能力， 第3 页 第1 章问题的提出从教学角度探讨数形转化思想 这就使得学生可能不明白数形转化中这样一些问题：为何某一问题利用这种角度的 数形转化可以解决，而利用另一角度的数形转化却不能快速有效地得以解决? 为何 这一问题利用某种数形转化可以解决，而另一问题利用同样的数形转化却不能快速 有效地得以解决? 对于某一问题，当代数解法和某种数形转化均能解决这一问题时， 哪一种解法更具优势，为什么? 教学和学习的薄弱不足以满足课标和考纲对数形转化思想的要求，这就要求数 形转化思想甚至等价转化思想在常规教学和学习中的渗透不能只停留在习题的呈现 上，应该上升到更高的具有教学意义的层次由此，本文将从教学认识的角度来较系 统地探讨几类数形转化问题 1 - 2 数形转化思想研究的文献述评 关于数形转化思想方法，国内关于这方面的文献比较零散，大多数的工作都是从 例题的角度加以解析，少有工作从思想本身和教学认识的角度系统而完整地研究数 形转化这一重要的思想方法文献2 ，3 从心理的角度对数形转化思想方法进行了研究， 文献4 ，5 从教学的角度对数形转化思想方法进行了探讨，文献6 , 7 , 8 从解题的角度对数形 转化思想方法进行了探究本文将从对数形转化思想本身的认识及教学意义的角度较 系统地研究数形转化思想方法 1 3 研究内容、方法及意义 本文将从对数形转化思想本身的认识及教学意义的角度较系统地研究数形转化 思想方法首先，我们将从理论角度阐述等价转化思想方法的分支归属结构，界定它 们的内涵，分析它们之间的关系；其次，我们将从教学认识的角度展开，较系统地研 究初等数学中几类典型的数形转化问题；最后，我们就教学中渗透数形转化思想方法 提出一些建议和思考 针对期望的研究内容和目的，本文主要采取理论研究法和比较研究法，重点研究 分析等价转化思想方法的理论结构和数形转化思想方法在初等数学中的渗透和应用， 期望为在初等数学阶段的教学过程中渗透数形转化思想方法提供一定的参考 第4 页 从教学角度探讨数形转化思想第2 章数学思想方法的结构体系 第2 章数学思想方法的结构体系 2 1 关于数学方法论 爱因斯坦曾经谈及自己成功的秘诀时，提出了一个著名成功公式：“a = x + y + z ”，他还解释说：“a 代表成功，x 代表正确的方法，】，代表艰苦的劳动，z 代表少说空 话”这个例子说明成功离不开正确的方法，正确的方法是成功不可或缺的因素，方 法对于成功的重要性由此可见一斑 “方法，严格说应该是沿着道路前进的意思，其语义学的解释是指有关某 些调节原则的说明，这些调节原则是为了达到一定的目的而必须遵循的”9 这些调节 原则不是孤立存在的，它存在于人们认识世界和改造世界的活动中，是在某种前提下 为获得某种东西或达到某种目的而服务的从原则的语义学来讲，原则是观察问题、 处理问题的准则调节原则是高度抽象、概括的原则而调节原则的说明则可以理解 为是调节原则在操作上的指导和解释，是调节原则的具体化、可操作化因此，方法 也可以理解为是人们在认识客观世界和改造客观世界的活动中在给定的某种条件下 为获得某种东西或达到某种目的而采取的方式、手段、途径和程序等的统称 关于数学方法，则是人们从事数学活动时所使用的方法从表面来看，方法似乎 受制于目的和前提，但是目的和前提往往由客观因素决定，对于人类活动而言，最关 键的要素还是在于方法早在1 7 世纪德国著名数学家、哲学家莱布尼兹( l e i b n i z ) 就 曾指出，数学的本质不在于他的对象，而在于他的方法1 0 而存在于一定条件到某种目的间的方法多种多样，不同的方法都有着千差万别 的效率和意义，因此人们开始研究方法本身，研究某种方法本身所蕴含的规律和选择 某种方法的依据等等，于是逐渐形成了方法论我国最早倡导研究数学方法论的数学 家徐利治先生曾说：“方法论( m e t h o d o l o g y ) 就是把某种共同的发展规律和研究方法 作为讨论对象的一门学问”1 1 存在于数学领域的数学方法论是从方法论、数学以及数学哲学中孕育出来的，但 并非完全等同母体学科，而是具有自身特点的理论笛卡儿( 1 5 9 6 1 6 5 0 ) 1 6 3 7 年出 版了著名的方法论一书，书名虽未提及数学二字，但其内容明显带有数学方法的 痕迹与特征，后人也认为笛卡尔是数学方法论的先驱，他的方法论一书是现代数 第5 页 第2 章数学思想方法的结构体系 从教学角度探讨数形转化思想 学方法论的起源从这一年算起，数学方法论的研究已有三百多年的历史此后相继 出现了一些方法论研究者，如庞加莱、克莱因、希尔伯特、波利亚等都是方法论研究 者的杰出代表其中成就与影响最大的当属美国数学教育家波利亚( 1 8 8 7 1 9 8 5 ) ， 他继承并发展了笛卡儿的方法论思想，提出著名的化归策略，他的三本著名的方法论 著作怎样解题、数学的发现、数学与猜想至今仍有很大的影响，其中又 以怎样解题为甚我国最早研究数学方法论的是徐利治先生，他于1 9 8 0 年在浅 谈数学方法论一书中首先提出数学方法论概念1 2 ，他还曾明确定义数学方法论主要 是“研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等 法则的一门学问”1 1 2 2 数学思想与数学方法 数学思想方法属于方法论范畴，但数学思想和数学方法又有一定的区别数学思 想与数学方法的概念在不同文章和著作中的阐述皆不统一，国内也少有文献曾独立 而明确地阐述数学思想与数学方法的概念与关系除数学思想与数学方法外，还有数 学知识与数学能力的概念以及他们之间的关系是比较模糊的，只有极少数文献曾涉 及他们的概念和关系，如数学思想方法及其教育价值1 3 一文较浅显地阐述了数学 思想、数学方法、数学知识、数学能力的概念以及他们之间的关系 思想是客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果，属于理性认识， 一般也称“观念”通俗地讲，思想就是意识和精神层面上的观念、想法及基本看 法是只可意会，不可言传的意识和观念 数学思想是指人们对“数学事实、概念、理论与方法的本质认识”1 3 ，是在意识 和观念层面上对某些具体的数学内容和数学认识进行高度概括和提炼而得到的一般 性的理性认识和观点，它在数学认识活动中被反复运用，具有普遍的指导意义，是建 立数学观念和用数学解决问题的指导方针初等数学的主要数学思想有化归思想和顺 应思想 数学方法具体地讲则是在数学活动中在数学思想的指导下为解决某种问题而采 取的具体方式、手段、途径和程序等的总和 严格地讲，数学思想不同于数学方法，他们既相辅相成、紧密联系又有区别，实 第6 页 从教学角度探讨数形转化思想 第2 章数学思想方法的结构体系 际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题 数学思想是对数学理论和内容的本质的认识，而数学方法是在数学思想指导下 解决实际问题所采取的具体技术手段和途径；数学思想是数学的精髓和灵魂，是内隐 的、抽象的，具有高度的概括性和普遍性，而数学方法是思想的外显，是具体的、可 操作的；数学思想比数学方法更深刻，是数学方法的进一步提炼和升华，而数学方法 是数学思想的具体化和得以实现的手段 数学思想没有捷径快速传授给学生，只能在教师传授具体数学方法和学生学习 具体数学方法的过程中，通过指导学生认识和掌握具体数学方法，进而使其逐渐内化 为数学思想 但从一般意义上来讲，通常不对数学思想和数学方法做严格地区分，数学思想和 数学方法密切联系、相互依存的每一种数学思想都需要通过具体的数学方法才能得 以具体地体现其精神，所以抛开数学方法谈数学思想就显得十分空洞；而每一种数学 方法都由某种数学思想而指引，所以抛开数学思想谈数学方法则显得非常盲目一般 来讲，强调指导意义时称数学思想，强调具体的途径和手段时称数学方法所以初等 数学阶段的课标和考纲中大多说成“数学思想和方法”或“数学思想方法”是有道 理的 例如化归思想方法是一个基本的数学思想方法，我们在处理和解决数学问题时， 总的指导思想是把未知问题化归为能够解决的问题，这就是化归思想；而为了实现这 种化归，需要将问题不断地变换形式，通过不同的具体途径进行化归，这时就可称为 化归方法 所以，除非专门研究数学思想与数学方法的区别，一般意义下不对数学思想和数 学方法做严格地区分，统一称作“数学思想和方法”或“数学思想方法”，此处约定 在不至混淆的情况下，下文中单独提及的思想均包含思想和方法两个方面 2 3 关于化归和等价转化思想 我国较早研究数学方法沦的是徐利治教授和郑毓信教授，郑毓信教授于1 9 9 1 年 出版的数学方法论和徐利治教授于2 0 0 1 年出版的徐利治论数学方法学均系 统地讨论了数学方法论的初步体系结构除此之外，国内还有一些其他学者的著作 第7 页 第2 章数学思想方法的结构体系从教学角度探讨数形转化思想 1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 曾涉及数学方法沦的初步体系结构，参照这些著作可以将数学方法论的初 步体系结构整理如图2 1 1 9 ： 数学 方法论 宏观数学 方法论 微观数学 方法论 1 数学发展规律研究 2 数学活动论 3 数学文化论 4 数学人才成长规律研究 1 波利亚f ( 1 ) 波利亚数学启发 数学思想l ( 2 ) 合情推理发现观 2 数学思 想方法 ( 1 ) 数学抽象与抽象度分析法 ( 2 ) 数学中的逻辑方法( 分析与综合、 比较与分类、归纳与演绎等) ( 3 ) 数学中的非逻辑方法( 想象、 联想、数学直觉、数学审美等) ( 4 ) 形成数学体系的方法( r m i 原理、公理化 方法、数学模型方法、结构主义方法等) ( 5 ) 数学本身的方法( 逐次逼近法、 性质与结构分离法、对偶等) 3 数学中发现、发明与创新法则等 1 4 数学家与数学学派思想方法 图2 1 数学方法论的初步体系结构 由图2 一l 可以看出，数学思想方法是微观数学方法论的重要分支，是数学知识 的精髓，是数学研究的重要组成部分其中，r m i 原理( 即关系映射反演原则) 和公理 化方法、数学模型方法、结构主义方法等一起构成了形成数学体系的数学思想方法， 而r m i 原理实际上就是化归思想在数学领域中形式化和具体化由此可见，化归思想 是数学中最基本的思想之一，也是较高层次的数学思想初等数学阶段也以化归思想 的原始形态居多，而非映射和反演 所谓化归是转化与归结的简称，二者不可割裂我们在处理和解决数学问题时， 总的指导思想是把未知问题不断地转换形式，最后归结为另一个能够解决的问题，这 就是化归思想张奠宙和过伯祥所著的数学方法论稿一书曾形象地描述化归方法， 化归方法就是“将一个问题么进行变形，使其归结为另一已能解决的问题日，既然b 已可解决，那么彳也就解决了 ” 笛卡尔最初期望的通用的方程方法是：把一切实际问题划归为数学问题，再把一 第8 页 从教学角度探讨数形转化思想 第2 章数学思想方法的结构体系 切数学问题划归为代数问题，最后把一切代数问题化为单个方程的求解当然在今天 看来这样通用的方法是不存在的，但却在某种程度上反映了笛卡尔的化归想法 化归思想在波利亚的著名的怎样解题一书中得到了淋漓尽致的表现，书中提 出的至今仍广为称颂的探索法就是基于化归思想而建立的波利亚认为解题的主要工 作是变化题目，他提倡将原来的题目变化为一道类似的题目、一道相关的题目、一道 普遍化的题目、一道特殊化的题目等等，进而化归为能够解决的问题变化问题是波 利亚十分提倡的解题策略，波利亚在怎样解题一书中用专门一节讨论了变化问 题对于问题，他指出“我们必须一次又一次地变化、重述、变换，直到最终成功地 找到一些有用的东西”2 0 并给出一些典型有用的变化题目的方式，诸如“回到定义 上去、分解与重组、引入辅助元素、普遍化、特殊化、及使用类比等等”2 0 化归思想是变化问题方法的升华，是类似于变化问题的一类变换的观念，化归思 想可意会不可言传，而波利亚的变化问题具体地诠释了化归思想，通过变化问题我们 也可以很好的体会化归思想 按照化归前后的问题和概念范围是否相同，化归又可分为等价转化和非等价转 化“转化如同翻译，是把同一问题用不同的语言在不同的思维水平上反映 出来如果是等价转化，即翻译真实，那么所得解就是原问题的解，如对方程、 不等式的解的同解变形；如果是非等价转化，即翻译失真，必须对失真部分 另作处理，才能获得原问题的完全解 2 1 非等价转化前后的问题和概念范围是不同 的，概念范围扩大是普遍化，概念范围缩小是特殊化在解决生活中的实际问题时， 我们需要将其转化为一个理想化的数学模型，这就意味着需要抛弃一些次要因素而 仅考虑主要因素，这常常是非等价转化，也就是我们通常所说的数学建模思想 “普遍化是从对一个对象的考虑过渡到对包括此对象在内的一系列对象的考虑， 或者是从对一个限定的集合的考虑过渡到对包括这个限定的集合在内的一个更广泛 的集合的考虑”2 0 我们通常所说的从局部到整体即是普遍化，归纳与数学归纳是普 遍化典型的例子我们常常会想，是否存在一些我们已经解决的问题，如果扩大原来 问题的概念范围或者把原来问题放到更广泛的条件和背景中去考虑，仍有同样或者 类似的结论答案是肯定的，普遍化不仅有助于解题，而且在一些自然科学中，许多 结论都是由于侥幸的普遍化而发现的 第9 页 第2 章数学思想方法的结构体系 从教学角度探讨数形转化思想 “特殊化是从考虑一系列给定对象构成的集合过渡到考虑此集合的一个子集或 者仅仅一个对象”2 0 从定义上看，特殊化可以看作是普遍化的逆，我们通常所说的 从一般到特殊即是特殊化，某些数学问题中极端情况是特殊化典型的例子普遍化和 特殊化前后考虑对象的集合发生了的变化，因此化归前后的问题和概念范围不尽相 同，也就未必等价，所以常常是非等价转化 而等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，即“翻译”是真实的，才保 证转化后的结果仍为原问题的结果，数学中之所以特别重视充要条件，就是因为他有 利于问题的等价转化可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保 持转化前后命题的充要性数形转化思想、分类讨论思想等都在一定程度上体现了等 价转化的思想，我们更是经常在函数、方程、及不等式之间进行等价转化等价转化 思想有三种基本形式：数与数之间的转化，形与形之间的转化，及数与形之间的转 化如角度与弧度的变换则属于数与数之间的转化，函数图像的变换则属于形与形之 间的转化，而解析几何则是数与形之间转化的最典型的例子 解题实际问题时往往具有程序性和层次性特点，这是因为在一个解题过程中可 能包含多个部分和多个环节，每个部分和环节都具有自身独特的意义，每个部分和环 节不仅先后顺序不同，而且所属的思维能力层次和抽象程度也不尽相同，所以解题方 法存在着从客观现实到逐渐抽象等多个层次，当然，在不同层次间又有着交错相容的 关系例如，需要解决一个未知的数学模型时，是否需要转化是第一个层次( 最高层 次) ，为了转化问题和模型需要考虑是采用等价转化还是特殊化或是普遍化，这是第 二个层次，然后具体的转化过程和手段是第三个层次( 最低层次) 显而易见，层次越 高其内涵越丰富，要求的思维能力层次也越高，自然越难把握，层次越低可操作性越 强 综合以上分析，我们可以用图2 2 来表示化归思想及等价转化思想的分支归属 结构： 第1 0 页 从教学角度探讨数形转化思想 第2 章数学思想方法的结构体系 数学 方法论 宏观数学 方法论 微观数学 方法论 数学思 想方法 形成数学 体系的思 想方法 逻辑方法、 数学发明、发现等 化归思想 等价转化 蓁毒耄曼蒌莲 非等价转化 盖篡茬 公理化思想 数学模型思想 结构主义思想等 非逻辑方法、数学本身的方法等 图2 2 化归思想的分支归属及其结构 由以上论述我们可以看出，数学思想方法在数学活动中具有核心意义，是处理和 解决数学问题的基本策略，而化归思想中的等价转化思想又是重中之重，因此深入研 究等价转化思想具有重要的意义和价值 第1 l 页 第3 章数形转化思想的概述从教学角度探讨数形转化思想 第3 章数形转化思想的概述 如前文所讲，等价转化有数与数、形与形、及数与形之间的转化三种基本形式数 形转化不仅在解题中有良好的应用，而且他还产生了独立的学科，如解析几何由此 可见，数形转化是最原始、最基本、最重要的数学思想之一 3 1 数形转化思想的概述 数学研究的对象是数和形“数”源于古代的计数，而今表示数量的概念， “形”源于古代的形状，而今则表示空间概念早在古希腊时期，毕达哥拉斯学派研 究数时就开始借助沙石来计数，如图3 1 所示的三角形数这是“数”与“形”结 合的最早形态 图3 1 三角形数乃：虫业 玎 古希腊亚历山大时期的欧几里得( e u c l i d ) 用毕生的精力完成了流芳千古的世界 巨著几何原本，这是最早的体现数形转化雏形的文字资料 “柏拉图曾经论证，只有数学实体才具备永恒的可理解性，因此任何科学理论都 只有建立在从几何学借用来的概念和模式上，才能揭示出现象表面背后的真正结构 和关系” 笛卡尔于1 6 3 7 年发表他的名著方法论时加了三个附录，即折光、气 象和几何“笛卡尔对数学有独到的见解他觉得古希腊人的综合几何过于依 赖图形，束缚了人的想象力，它虽给出了大量真理，但并未告诉人们事情为什么会 是这样，也没有说明这些真理是如何发现的”2 2 “笛卡尔主张将逻辑、几何、代 数三者的优点结合起来而丢弃各自的不足，从而建立一种真正的数学，一种普 遍的数学，用于研究一切事物的次序和度量性质不管他们是来自数、图形、 星辰、声或其他任何涉及度量的事物”2 2 第1 2 页 从教学角度探讨数形转化思想第3 章数形转化思想的概述 3 2 数形转化思想的内涵和重要性 “事物的存在和发展都有形式和数量这两个方面这就是数学研究的对象：数和 形数的基本特征是表示精确并且可以进行运算最简单的是代数运算，如四则运算、 开方等，它们有简单而明确的法则，如分配律、移项变号等”2 3 而形则具有形象、 直观等特征，通过形我们能够直观地看出形的各个元素间的关系数和形不是独立的， 他们彼此是有联系的，是可以相互转化的，他们间的联系和相互转化就称为数形转化 ( 通常也称作数形结合，数形结合本质上体现的是转化思想，因此本文均称作数形转 化) 数形转化大致可分为两种情形：一是借助于数具有的精确性和代数性质来描述形 的某些属性，二是借助形的几何直观性来辅助阐明数之间的某种关系，即“以数解 形”和“以形助数”两个方面我们认为，数形转化的本质是等价转化，主要指的是 数与形之间的一一对应关系，是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位 置关系相互转化结合起来，通过“以数解形”和“以形助数”使复杂问题简单化，抽 象问题具体化，从而起到优化解题过程的目的 数学问题有三种表示：一是解析表示( 也称代数表示) ，二是图、表表示，三是语 言表示从根本上讲，解决数学问题的过程就是问题在这三种表示之间或某种表示内 部不断向着接近结果的方向转化，并最终得到结果的过程，如解析表示转化为图、表 表示，或者一种解析表示转化为另一种解析表示而数形转化恰恰是解析表示和图、 表表示两种重要的数学表示间的转化，其重要性不言而喻著名数学家华罗庚先生也 曾言：数与形，本是相倚依，怎能分作两边飞；数无形时少直觉，形少数时难入微；数 形结合百般好，隔离分家万事休 问题在不同表示之间或某种表示内部不断转化的目的是解决问题，这就要求每 一步转化要简明而且适用简明即简单明了，一方面转化的过程要简明，另一方面转 化后的问题也要简明，简单问题复杂化不是好的转化适用则要求转化后的问题易于 解决或能够解决如果某一步的转化是简明且适用的，我们就称之为有效转化( 转化 有效) ，否则是无效转化( 转化无效) 如前文所讲，数形转化大致有两种情形：形转化为数、数转化为形形转化为数 的基本途径和手段是引入度量和坐标系，度量包括距离、向量与复数的模、角度等，坐 第1 3 页 第3 章数形转化思想的概述从教学角度探讨数形转化思想 标系包括直角坐标系、极坐标系以及复平面等，它们都是解析几何的基础解析几何 自成一脉，形成系统的学科，也是初等数学中最基础、最常见的内容之一，可以说解 析几何本身就是形转化为数的最典型例子和应用，本文对此类型转化为数的问题不 做赘述 数转化为形与形转化为数相比有着较大的差异，其过程常常不是那么自然且显 而易见的数转化为形通常是借助某种代数表示所具有的几何意义而实现转化，即某 个数学问题的解析表示中的某一部分解析式具有良好的几何意义，我们就将这一部 分解析式转化为几何图形，进而将原问题转为在几何图形上加以考虑数转化为形也 包括两种情形：一是本身已有图形解释的代数问题，二是本身没有图形解释需要我们 构作辅助图形的代数问题本身已有图形解释的代数问题有一次函数、二次函数、三 角