（计算数学专业论文）强变分不等式问题和广义变分不等式问题解的存在性与例外簇.pdf

l i i i ii i ii i l ii if i i ii iiii y 17 6 8 3 3 6 强变分不等式问题和广义变分不等式问题解的存在性与例外簇 摘要 文章主要利用例外簇概念研究赋范空间中强变分不等式问题和一致凸和一致光滑b a n a c h 空 间中广义变分不等式问题的解的存在性论文结构安排如下： 第1 章简要介绍了变分不等式问题的历史背景及例外簇的发展概况 第2 章定义了赋范空间中强变分不等式问题的q 例外簇，推广文献 1 8 1 例外簇的概念， 由此给出相应的解的存在性定理，得到择一型”强变分不等式问题或者有解，否则存在一 个q 一例外簇” 第3 章定义了一致凸和一致光滑b a n a c h 空间中广义变分不等式问题的例外簇，推广文 献 1 7 】和【2 5 】例外簇的概念，利用文献【2 3 】定义b a n a c h 空间中广义厂一法锥算子，广义，一 投影算- 子和l e r a y s c h a u d e r 择一性定理给出相应的解的存在性定理，在适当的条件下得到 择一型”广义变分不等式问题或者有解，否则存在一个例外簇? 关键词：强变分不等式问题；广义变分不等式问题；例外簇；广义，一法锥算子；广 义，一投影算子；l e r a y s c h a u d e r 舻性定理；存在性定理 s o l v a b i l i t ye x i s t e n c ea n de x c e p t i o n a lf a m i l yo fe l e m e n t sf o r s t r o n gv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m sa n dg e n e r a l i z e d v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m s a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r s ，w ef o c u so nt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o nt ot h es t r o n gv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t yp r o b l e m si nn o r m e ds p a c ea n dt h eg e n e r a l i z e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m si n u n i f o r m l yc o n v e xa n du n i f o r m l ys m o o t hb a n a c hs p a c eb ya p p l y i n gt h ec o n c e p t so fe x c e p t i o n a l f a m i l yo f e l e m e n t s i ti so r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m sa n dt h e d e v e l o p m e n to fe x c e p t i o n a lf a m i l yo fe l e m e n t s i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c ean e wc o n c e p to fq e x c e p t i o n a lf a m i l yo fe l e m e n t sf o rt h e s t r o n gv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m si nn o r m e ds p a c e ，w h i c hg e n e r a l i z e st h ee x c e p t i o n a lf a m i l yo fe l e m e n t si n t r o d u c e di n 【1 8 1 ，g i v et h ec o r r e s p o n d i n ge x i s t e n c et h e o r e m ，a l la l t e r n a t i v e o ft h et y p e ”s t r o n gv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m se i t h e rh a sas o l u t i o no rt h e r ee x i s t sao l e x c e p t i o n a lf a m i l yo fe l e m e n t s i so b t a i n e d i nc h a p t e r3 ，w ei n t r o d u c ean e wd e f i n i t i o no fe x c e p t i o n a lf a m i l yo fe l e m e n t sf o rg e n - e r a l i z e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m si nu n i f o r m l yc o n v e xa n du n i f o r m l ys m o o t hb a n a c h s p a c e ，w h i c hg e n e r a l i z e st h ee x c e p t i o n a lf a m i l yo fe l e m e n t si n t r o d u c e di n 【1 7 】a n d 【2 5 ，g i v e t h ec o r r e s p o n d i n ge x i s t e n c et h e o r e mb ye m p l o y i n gt h eg e n e r a l i z e df - n o r m a lc o n eo p e r a t o r a n dt h eg e n e r a l i z e d 厂一p r o j e c t i o no p e r a t o ri n t r o d u c e db yw ua n dh u a n gi n 【2 3 】a n da p p l y i n gt h el e r a y s c h a u d e ra l t e r n a t i v et h e o r e m ，a n do b t a i na na l t e m a t i v eo ft h et y p e g e n e r a l i z e d v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m se i t h e rh a sas o l u t i o no rt h e r ee x i s t sa ne x c e p t i o n a lf a m i l yo f e l e m e n t s ”u n d e rs o m es u i t a b l ec o n d i t i o n s k e y w o r d s ：t h es t r o n gv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m s ；t h eg e n e r a l i z e dv a r i a t i o n a li n e q u a l - i t yp r o b l e m s ；e x c e p t i o n a lf a m i l yo f e l e m e n t s ；t h eg e n e r a l i z e df - n o r m a lc o n eo p e r a t o r ；t h eg e n - e r a l i z e df p r o j e c t i o no p e r a t o r ；t h el e r a y s c h a u d e ra l t e r n a t i v et h e o r e m ；e x i s t e n c et h e o r e m 第一章绪论 本文主要讨论了两个方面的内容：利用赋范空间中强变分不等式问题的口例外簇研 究强变分不等式问题解的存在性；利用一致凸和一致光滑b a n a c h 空间中广义变分不等式 问题的例外簇及其广义，一法锥算子、广义，一投影算子和l e r a y s c h a u d e r 择一性定理研究 广义变分不等式问题解的存在性 1 1 变分不等式问题的历史背景 ”变分不等式”的英文为”v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ”，也译为”变分不等方程”变分不等式 理论是当今非线性分析的重要组成部分，它在力学、微分方程、控制论、对策论、优化理 论、非线性规划等理论和应用学科都有广泛的应用 自上世纪6 0 年代，l i o n s ，b r o w d e r , s t a m p a c c h i a 等人提出和创立变分不等式理论以来， 经过许多数学家的努力，变分不等式理论极其应用的研究已取得重要进展，变分不等式理 论已成为一门十分丰富的边缘学科并有广阔的应用前景 1 9 6 3 年，f i c h e r a 首先对一类s i g n o r i n i 问题应用变分不等式理论进行严密地分析，对该 类变分不等式的解的存在唯一性进行了论证这类变分不等式产生于b a n a n c h 空间的闭凸 集上泛函的最小值1 9 6 4 年，s t a m p a c c h i a 提出定义在h i l b e r t 空间的闭凸子集上，具有非对 称v - 椭圆的双曲线形式的变分不等式理论，紧接着l i o n s 和s t a m p a c c h i a 对该理论进行了进 一步的研究和发展 1 9 6 6 年，h a r t m a n ，s t a m p a c c h i a 等人在创建变分不等式理论的基础上，在文献【l 】中提 出和研究了第一个变分不等式，也称h a r t m a n s t a m p a c c h i a 变分不等式：找到一点x o k ， 使得 ( z x o ) t f ( x o ) 0 ，vz k ， ( 1 1 1 ) 其中f ：k 一舻是连续映射，k 是舻中非空凸子集 h a r t m a n 和s t a m p a c c h i a 在文献 1 q p 证n y j 了下列重要结果：如果f ：k 舻是连续映 射，k 是形中紧凸子集，那么可以找到一点z o k ，使得( z x o ) r f ( x o ) 0 ，即变分不等 式有解这一变分不等式最先是在有限维空间加以讨论，后来被l i o n s ，b r o w d e r 等人推广 到无限维空间( 文献【2 4 】) ，并把所得结果应用于力学、控制论、经济数学、对策论、微分 方程和最优化理论中的许多重要问题( 文献【2 3 ，5 1 ) 1 9 7 6 年，k a r a m a r d i a n 在文献 6 】巾证明了当k = 冗至时，变分不等式问题( 1 1 1 ) 转化为 1 下面非线性互补问题：找z o k ，满足： z o 0 ，f ( x o ) 0 ，x t f ( x o ) 0 ， ( 1 1 2 ) 其中f ：r 罕- r 竹是连续函数他还证明了在有限维空间中，当f 是伪单调映射，k 是闭凸 锥时，非线性互补问题( 1 1 2 ) 有解 随着变分不等式理论和应用的不断深化，学者们并未满足于只对变分不等式本身进 行研究，同时也从各个方面对这一问题加以推广和改进，以适应更广泛的应用一些学者 研究变分不等式问题的解的存在性，还有一些学者研究变分不等式问题与最优问题之间 的关系从整体上看，变分不等式问题解的存在性的研究结果可以分为：所论空问从n 维欧 氏空间到无穷维抽象空间；从映射条件看，映射由单值映射推广到集值映射；从要求连续 到次连续，上( 下) 半连续；从凸性到拟凸性等各种广义凸性；从严格单调到伪单调、拟单调 等等 ， 2 0 0 6 年，b i a n c h im 等在文献0 8 研究了一类集值变分不等式：设x 是赋范空间，k x 是凸集，给定集值映射f ：k 2 ，其中x + 记作x 的拓扑对偶空间，l | 1 i 表示x 中的 范数，( x + ，x ) 表示x + 与x 之问的偶对，即( 妒，z ) = 妒( z ) ，其中妒x + ，z x 考虑下面 关于f ，k 的强变分不等式问题s v i p ( f ，k ) ：求z k ，存在矿f ( z ) ，满足 ( z ，y z ) 0 ，v y k ( 1 1 3 ) 设x 是b a n a c h 空间，x 记作x 的拓扑对偶空间，k x 是非空闭凸集，给定映射f ： 一x 。，：k _ ( 一o o ，+ o 。】是一一个正齐次，下半连续的真凸泛函考虑关于一类关 于e ，的广义变分不等式i h j 题g v i p ( f , n 求z k ，使得 ( f ( z ) ，y z ) + 厂( 掣) 一f ( x ) 0 ，v y k ( 1 1 4 ) 许多学者对广义变分不等式问题( 1 1 4 ) 的解的存在性和算法进行了研究如果对于任 意z x ，( z ) 是k 上的指示函数( 即当z k 时，厂( z ) = 0 ；当xgk 时，s ( x ) = + 。) ，广义 变分不等式问题g v i p ( f , 厂) 简化为b a n a c h 空间的变分不等式问题：求z k ，满足 ( f ( z ) ，y z ) 0 ，v y k ( 1 1 5 ) i n2 0 0 1 ，y i n 等在文献 2 5 】定义和研究了一类新的f 互补问题( 厂一c p ( f , ) ) ：求z k ，使得 ( f ( z ) ，z ) + f ( x ) = 0 ，( f ( z ) ，y ) + f ( y ) 0 ，v y k ( 1 1 6 ) 其中k 是实b a n a c h 空间x 的非空闭凸锥，f ：k x + ( x + 是x 的拓扑对偶空间) ，厂：k _ ( 一，+ o 。】是泛函y i n 等在文献 2 5 】中证明了当k 是实b a n a c h 空间x 的非空闭 锥时， 互补问题( ，一c p ( f , k ) ) 与广义变分不等式问题g v i p ( f , 厂) ( 1 1 4 ) 等价，同时还证明了 在- 厂一伪单调的条件下f 一互补问题( 厂一c p ( f , ) ) 的解的存在性 2 1 2 例外簇发展概况 通常所说的变分不等式理论的基本内容就是研究各种类型变分不等式问题解的存在 性和唯一性，解( 或解集) 的性状及其逼近问题，以及各种变分不等式的应用因此研究变分 不等式问题和非线性互补问题的一个基本问题是讨论解的存在性研究变分不等式问题 和非线性互补问题解的存在性有很多方法，纵观研究变分不等式问题和非线性互补问题 的解的存在性的方法可归纳如下： 其一，灵活地利用几个经典的大定理，如b r o w d e r 不动点定理、k m m 定理、k y f a n 极大 极小定理等，这种方法可以看作是经典不动点理论的一个重要应用 其二，将变分不等式问题转化为等价的不动点问题，如拓扑度理论( 文献 1 0 ，1 3 ，1 6 ，1 7 】) 其三，用例外簇代替强制性条件( 文献【7 ，8 ，9 ，2 8 ，3 0 ，3 1 1 ) 研究变分不等式问题和非线性互 补问题的解的存在性是近年来出现的一种比较新的方法下面介绍例外簇概念的发展情 况 s m i t hte 和i s a cg 开辟了用例外序列和例外簇概念研究变分不等式问题和非线性互 补问题解的存在性这一领域( 参见文献 9 】和 1 0 1 ) 1 9 8 4 年，s m i t hte 在文献【9 】中引入”例外序列”的概念来研究非线性互补问题( 1 1 2 ) 解 的存在性问题，但只限于k = 殿的情形，他得出这样的结论：对于f 僻( 僻为所有连续 函数全体) ，f ：冠一冗n 是连续函数，非线性互补问题( 1 1 2 ) 或者有解，否则有关于f 的 例外序列 1 9 9 9 年，i s a cg 注意到例外序列和拓扑度的联系，在文献【1 0 】中提出例外簇的概念并 借助拓扑度的理论来研究非线性互补问题( 1 1 2 ) 解的存在性i s a cg 发现非线性互补问 题( 1 1 2 ) 无解时，一定存在一个序列 孙) ，茹嗣：，当rj + 。，i i 研i i _ + 。，且对每 个r 0 ，存在胁 0 ，使得 ( 1 ) f ( x ，) 一一p ，z r ，i f z r 0 ， ( 2 ) f ( z ，) 0 ，i f = 0 i s a cg 称这个序列 孙) ， o 为例外簇，并且i s a cg 利用例外簇概念讨论了r n 空间中非线 性互补问题( 1 1 2 ) 的解的存在性 在例外簇概念提出以后，很多学者用例外簇的概念研究变分不等式问题( 1 1 1 ) 和非线 性互补问题( 1 1 2 ) 的解的存在性，使例外簇概念得到了丰富和发展，可参见文献【1 1 2 0 ，2 4 2 5 1 9 9 9 年，赵和韩在文献【1 1 1 2 】中对一类带有约束闭n 集k 上的变分不等式问题提出 了例外簇概念： 设f ：k _ 兄n 是连续映射，称点集f z q _ q - o ock 为变分不等式问题( 1 1 1 ) 的例外 3 簇，如果当q 斗o o 时，有j iz ai i _ ，且对每一个q ，存在旷 o 和入口r 2 ，俨r 。，使得 f ( x ) = - i t 。z a 一( v g ( x ) 丁入口+ v h ( x a ) ) t u 口) 2 ， 入9 i ( z 口) = 0 ，i = 1 ，2 ，m 这里k 定义如下： k = z r ”：仇( z ) 0 ( i = 1 ，2 ，m ) ；吗( z ) 0o = 1 ，2 ，死) ) ， ( 1 2 7 ) 其中俄：舻一r 为连续可微凸函数，危j ：r n _ 月为仿射函数，且k 满足s l a t e r 条件赵和 韩等的例外簇概念提供了变分不等式问题( 1 1 1 ) 的解的存在性的一个充分条件。且对伪单 调变分不等式而言，它也是解存在的必要条件 2 0 0 1 年，z h a n gleh a n jyx udc 在文献 1 3 】巾研究了r “中一般闭凸集约束下变分 不等式问题，对一般闭凸集约束下变分不等式问题提出了一个例外簇概念： 任取岔k ，序列 ) ， o 称为变分不等式问题关于圣的例外簇，如果满足 ( 1 ) i j i i _ + ，当r 斗+ o 。， ( 2 ) 存在数列_ ( 0 ) ，使得0 0 0 ，存在胁 1 ，使得胁研k ，且t ( z ，) 一胁n k ( 胁x ，) 成立，其 中k ( 胁z ，) 为胁研在k 上的法锥 i s a cg 和z h a o 在文献【1 5 】还定义了h i l b e r t 空间中集值变分不等式和h i l b e a 空间中带有 一般约束无界闭凸集的例外簇概念当f - 2 何是具有非空紧可缩值的完全上半连续场的 映射，文献 1 5 】证明了集值变分不等式解的存在性定理 2 0 0 1 年，i s a cg 和k a l a s h i k o vv 在文献 1 6 1 巾定义了h i l b e r t 空间中非线性互补问题的例 外簇，当f 2 日是具有非空紧可缩值的完全上半连续场的映射，k 是闭凸锥时，文献【1 6 】证 明了对于伪单调映射，非线性互补问题或者有解，否则存在例外簇 2 0 0 4 年，s h u z iz h o u 和m i n r ub a i 在文献【1 7 】中定义h i l b e r t 空问中变分不等式例外簇 的概念，得至l j h i l b e r t 空间中变分不等式的解的存在性定理 4 2 0 0 6 年，b i a n c h im 等在文献【1 8 】中定义赋范空间中一个强变分不等式s v i p 的例外簇 的概念，推广文献 1 4 】和【1 6 】例外簇的概念 2 0 0 9 年，谭露琳在文献 2 8 1 中给出了h i l b e r t 空间中变分不等式问题的一种新的口一例外 簇定义，利用l e r a y s c h a u d e r 拓扑度给出变分不等式问题新的解的存在性定理文献【2 8 】中 的q 一例外簇定义如下： 令q r 且岔k ，若序列 矿) r 0 满足条件： ( 1 ) i lz ，f i ( = r ) _ + 。驴- + ) ； ( 2 ) 存在数y u t r ) ，使得0 ock 是集合k 上关于j 一全连续域f ( x ) = j ( x ) - t ( x ) 关于闭凸锥kcx 的 一个例外簇，当且仅当如果对于每一个实数7 0 ，存在实数协 1 ，使得 ( 1 ) 当7 - + 。，i iz ，i | - + 。o ； ( 2 ) t ( x ，) 一j ( 胁x ，) 心( 胁研) ，其中心( 胁研) 为胁研在k 上的广义厂一法锥 5 1 3 符号说明 本文所用符号，除文巾特别说明之外，均按如下规定： 1 日：h i l b e r t 空间 2 x ：赋范空间( 或b a n a c h 空间) ； 3 x 木：x 的对偶空间： 4 舻( 殿) ：几维( 非负) 欧氏空间； 5 r ( r + ) ：实数( 非负) 空间； 6 jj ：x 或日或形中的范数； 7 ( ，) ：x 和x + 之间的偶对或日或兄几中的内积； 8 i n t k ：k 中的内部： 9 乏：k 上的广义，一投影算子； 1 0 吆( “) ：k 在点乱处的广义，一法锥 6 第二章赋范空间中强变分不等式问题的o l - 例外簇 本章第一部分先给出一些定义和基本概念；第二部分在赋范空间中提出一个强变分 不等式问题的q 一例外簇的概念，推广文献【1 8 】例外簇的概念，由此给出相应的解的存在性 定理，得到”强变分不等式问题或者有解，否则存在一个口一例外簇” 2 1 预备知识 首先给出一些概念和符号设x 是赋范空间，k x 是凸集，z k ，定义k 在点x 处 的法锥为： n k ( x ) ：= 【z + x ：( z + ，y z ) 0 ，v y k ) 给定集合k 和点z ，d i s t ( x ，k ) 表示点z 到集合k 的距离，记墨k = t x ：t 0 且z k ) ，耳+ k = t x ：t 0 且z k 正规对偶映射j ：x - - - 42 x o 定义( 文献 2 4 1 ) 如下： j ( x ) ：= z + x + ：( z + ，z ) = i iz1 1 2 = l iz + i2 ) 注2 1 【1 8 】若x 是h i l b e r t 空间日，记h = h ，则，( z ) = 茁 文章通篇假设岔x 给定z x 且z 0 ，记l ( z ) = ( 童，忙一正从z ) o 】由于当z 岔 时，单位闭球豆( 岔，l l 岔一zl i ) 有非空的内部，因此集合l ( z ) 非空，于是集值映射l 可以写成 空间x 中正规对偶映射的形式： 引理2 1 假设x 是赋范空间，如果z 童，则( 圣，忪一z 从z ) o ) = r + + j ( z 一岔) ， 即三( z ) = r + + j ( x 一仝) 证明：我们先证明当z o 时，( o ，) ( z ) o ) = r + + ，( z ) 对任意z + ( 圣，恰一圳i ) ( z ) o ) ， 有 ( z + ，矽一z ) 0 ，v y 后( o ，i lz1 1 ) 即 ( z + ，z ) ( z + ，可) ，v y b ( 0 ，0zi i ) 于是 ( 一南) 弘黜x 1 1 ) ( 一南) 刮引1 7 因此，p + ，z ) - 1z + 川zi i 另一方面， 4 ，z ) i iz 。z1 1 所以 ( x + ，z ) = | iz + | j j jx ( 2 1 1 ) 令= = i l c _ e ，孟+ = 芋，则有矿= 坜+ ，i i 牙+ i i = 蚴t = i izi i 于是( 2 1 1 ) 式为 ( t 牙+ ，z ) = ( 牙+ ，z ) = tj l 牙+ i i i izi i 从而，( 牙+ ，x ) = j f 牙。j | j izi i = 1 j 牙40 2 = | lz | | 2 所以，孟+ j ( z ) ，于是z + = 牙+ r + + j ( z ) 因 此 f ( o ，i i 。1 1 ) ( z ) o ) r + + j ( z ) 反过来，对任意z + r + + j ( z ) ，其中 0 ，矿，( z ) 显然有z 0 于是对任 意秒d ( o ，| jx 忱有 ( x 4 ，y ) - o k 是f 关于点圣的例外簇，如果 ( 1 ) l i r al j j j = + 。； ( 2 ) 对任意r 7 0 ：= d i s t ( 主c ，k ) ，都存在z ：f ( z ，) 和饼1 4 x ，) ，使得z ；+ 鲜 一k ( z ，) ，即o f ( z ，) + r + + a ( x ，一岔) + k ( z r ) ，其o o l ( = ，) = r + + j ( x r 一岔) 下面提出a 一例外簇的概念，其中q r 定义2 2 假设x 一个赋范空间，k x 为x 中无界凸子集，f ：k - - + 2 x 是集值映射， 岔x ，称1 研) ， o k 是f 关于点岔的q 一例外簇，如果 ( 1 ) l i mi i 研i l = + o o ； ( 2 ) 对任意r 伽：= d i s t ( 仝，k ) ，存在0 伯：= d i s t ( 圣，k ) 下面条件满足： ( c 1 ) 存在研k ； ( c 2 ) 存在0 t ， r o ：= d i s t ( 2 ，k ) t 面条件满足： ( d 1 ) 存在x ，k ； ( d 2 ) 存在0 0 使 l lz 一可i i e ，z ：y = | i 三姜型i l 1 6 ( ) 1 1 定义3 2 1 2 4 1 设x 是b a n a c h 空间。x 称为是一致光滑f 拘( u n i f o r m l ys m o o t h ) ，如果对于 任意( 0 ，2 ) ，存在6 o 使当z ，y x ，z 毁，l lyl l 0 ，有 2 t ( f ，y ) | | x + t yi | 2 一i ix1 1 2 ( | lz + t yi | + i lzi i ) i it 可i i ， 即 2 ( f ，可) ( i iz + t yi i + i i 茁1 1 ) i iy i 令t _ 0 ，得( ， y ) - i iz 秽i i 因而 i i 川剑yl i ，( f ，z ) 0 ，使得0 乱竹l i q ，0 l i a ( 佗) ，令z n = 赫，= 渤，则i i z ni l = l i 鲰i i = 1 ( n ) 由此容易验证 i iz n y ni i o0 ( r t _ o o ) 此外，由 ( y ( x n ) 一j ( 鲰) ，z n ) = i iz n1 1 2 + l i 1 1 2 + ( j ( ) ，z n 一) 2 0z n 一铷l i 推得 0j ( x n ) 一j ( 玑) 1 1 1 一互10z n 一| l ，注意l lg ( x n ) i i = l lj ( ) i i = 1 和x + 的一致凸 性，得 j ( x n ) - j ( y n ) _ 0 ( 1 1 , 一) 另一方面， g ( u n ) 一，( t k ) = | | u ni i ( j ( x n ) 一，( h ) ) + ( i | 钍竹i l i iu 礼i i ) j ( y n ) 由此有 | ij ( u n ) 一j ( v n ) i i o 为。+ 固定常数 容易验t i e a ( 矽，z ) = y ( 咖，z ) + 2 p f ( x ) 且( i l 咖i i i izi i ) 2 + 2 p f ( x ) g ( 咖，z ) ( i l i i + i i z 栌+ 2 p f ( x ) w u 和h u a n g 在文献【2 3 】定义一致凸和一致光滑b a n a c h 空间中一种新的广义厂一投影 算子为： 定义3 5 1 2 3 设x 是实b a n a c h 空间，x + 是x 的拓扑对偶空间，k 是x 的非空闭凸子集， 广义，一投影算子之定义为： 之：= u k ：g ( ，乱) = i n fg ( ，耖) ) ，v x 4 ” 1 4 引理3 5 1 2 3 设x 是自反b a n a c h 空间，x + 是x 的拓扑对偶空间，k 是x 的非空闭凸子 集广义，一投影算子之有如下性质： ( 尸1 ) 对任意给定的x ，乏是k 上的一个非空闭凸子集； ( 马) 乏是单调的，即对任意给定的1 ，砂2 x + ，x l 之1 ，x 2 乏2 ， ( z l z 2 ，1 一2 ) 0 ； ( 尼) 如果x 是光滑的，则对任意给定的x + ，z 乏当且仅当( 一j ( z ) ，z 一秽) + p ( y ) 一p s ( z ) 0 ，比k ； ( 只) 若厂：kcx _ ( 一o 。，+ 。o 是正齐次的( i e ，对任意t 0 和x k 且缸k ， 有i 厂( 红) = t 厂( z ) 成立) ，则对任意妒x + 和z l ，x 2 乏，x l 0 ，x 2 0 ，有z 1 # x 2 对所 有p ( 0 ，+ o 。) 且p 1 成立 ( 忍) 若厂：kcx 。( 一o o ，+ o 。】是正齐次的且x 是严格凸的，则广义，一投影算 子0 ：x + - - + k 是单值映射 在引理3 5 的性质( 忍) 中令p = 1 得到下面结论： 引理3 6 1 2 3 1 如果x 是光滑的，则对任意给定的咖x + ，z 乏当且仅当 ( 一j ( z ) ，x y ) + 厂( 矽) 一，( z ) 0 ，v x k 定义3 6 1 2 5 】设x 是实b a n a c h 空间，k 是x 的非空闭凸子集，厂：k _ r ，z k ，广 义厂一法锥乏定义如下： 丢( z ) ：= 咿x + ：( 妒，y z ) + ，( z ) 一，( 可) 0 ，vy k ) 引理3 7 ：a l 设x 是自反b a n a c h 空间，x + 是x 的拓扑对偶空间，k 是x 的非空闭凸子 集对o x 4 ，x 0 k 满足x 0 之o 当且仅当桃j ( x o ) + 吆 o ) 引理3 8 【2 3 】设x 是自反b a n a c h 空间，x 是x 的拓扑对偶空间，k 是x 的非空闭凸子 集如果厂：k - - + ( 一o o ，+ 。】是一个正齐次，下半连续的真凸泛函，贝 j x o k 是v y l p ( f , ，) 有 解当且仅当x 0 幺( j ( z o ) 一f ( z o ) ) 引理3 9 【2 3 】设x 是自反b a n a c h 空间，x + 是x 的拓扑对偶空间，k 是x 的非空闭凸子 集如果厂：k _ ( 一o 。，+ 】是一个正齐次，下半连续的真凸泛函，贝 j z o k 是v y l p ( f , ，) 有 解当且仅当跏是映射z = 乏( j ( z ) 一f ( z ) ) 的一个不动点 定义3 7 2 a 称b a n a c h 空间x 满足性质( h ) ，如果z njx 和l lz nl i - + l izi i ，有z n - - + z 注3 1 2 a 任何局部一致凸空间都满足性质( h ) 引理3 1 0 【2 3 】设x 是严格n 自反b a n a c h 空间，x + 是x 的拓扑对偶空问，k 是x 的非空 闭 子集如果，：k - - + ( 一，+ 是一个正齐次，下半连续和下有界的真n 泛函，则 ( a ) 0 ：x + _ k 范数弱连续； ( b ) 如果x 满足性质( h ) ，则名：x + 一k 连续 1 5 3 2 一致凸和一致光滑b a n a c h 空间中广义变分不等式问题的例 外簇 定义3 8 【2 3 】设x 是b a n a c h 空间，称映射f ：k 一x 为j 一全连续域，如果有如下形 f ( x ) = j ( x ) 一t ( z ) ，v z k ， 其中丁：k - x + 是全连续映射，即r 连续且对于k 里任意有界子集c ，t ( c ) 是相对紧的 注3 2 如果x 是h i l b e r t 空间，则j 一全连续域即为文献【6 】的全连续域 定理3 1 【2 6 ( l e r a y - s c h a u d e ra l t e r n a t i v et h e o r e m ) 设x 是b a n a c h 空间，kcx 是闭 凸子集，y 是k 的开子集且0 v 如果映射z ：矿ok 连续，紧( 即f ( 矿) 是k 的相对紧子 集) ，则z 至少满足下列两条性质之一： ( 1 ) z 有一个不动点； ( 2 ) 存在x 。，a 。) o vx ( 0 ，1 ) ，使得x + = k z ( x 。) 下面提出关于j 一全连续场的一个例外簇 定义3 9 称 研) ， 0ck 是集合k 上关于j 一全连续域f ( z ) = ，( z ) 一丁( z ) 的一个例 外簇，如果 ( 1 ) l i m | ix ，l l =