（计算数学专业论文）求解worstcase+cvar优化的光滑化算法及其应用.pdf

as m o o t h i n gm e t h o df o r s o l v i n g m o d e lu n d e rw c v a r b y h u q i n q i n b s ( t a i y u a nn o r m a lc o l l e g e ) 2 0 0 6 at h e s i ss u b m i a e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s c h a n g s h au n i v e r s i t yo fs c i e n c e & t e c h n o l o g y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rt o n gx i a o ji a o a p r i l ，2 0 1 1 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名： 日期：年 月日 ，学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名： 獬 日期：矽年 r 月衫日 导师签名毒南一场尸翌：川，年f 月“日 摘要 光滑化方法是解决非光滑问题的一类重要方法，有自身的优点。如：能方便的使 用导数，保留好的收敛性质等。光滑化方法的基本思想是用一个光滑化函数序列来逼 近非光滑函数。 本文关注的是：基于最坏情况下的条件风险( w b r s t - c 硒ec o n d i t i o n a lv a l u e a t - r i s k ： w c v a r ) 指标下，风险一利润的组合优化模型的计算问题。该模型有复杂的m i n - m a x 结 构，通常求解此模型是先通过对偶理论转化成线性规划的问题。本文采用光滑化方法 来求解基于最坏情况的条件风险( w o r s t - c a s ec o n d i t i o n a lv a l u e a t - r i s k ：w c v a r ) 指标下， 随机变量服从离散界约束分布的风险一利润组合优化模型，建立了光滑化算法，并证明 了其全局收敛性。这也是本文的创新点。主要内容如下： 第一章介绍了课题的研究背景和意义，相关问题的研究现状，论文的主要工作及 结构安排和所用记号说明。 第二章介绍了预备知识，包括半光滑函数和光滑化方法，常用的典型非完全分布 信息( 混合分布和离散分布) ，w c v a r 的定义，最大函数的光滑化函数及其性质，以 及w c v a r 中的光滑化函数。 第三章讨论了在随机变量服从离散界约束下，对三个风险一利润组合优化模型进行 光滑化，并建立了相应的光滑化s q p 算法。证明了算法的全局收敛性。并做数值实验 说明了此算法的有效性。 关键词：条件风险( c v a e o ；最坏情况下条件风险( 1 | i c v a p o ；离散界约束分布；光滑化方 法 a b s t r a c t t h es m o o t h i n gm e t h o di sa l li m p o r a n tm e t h o df o rs o l v i n gn o n s m o o t hp r o b l e m sa n d h a s i t sa d v a n t a g e f o re x a m p l e ，曲es m o o t h i n gm e t h o dc a n u s eo r d i n a r yd e r i v a t i v ec o n v e n i e n t l y a n dc a nr e t a i nn i c ec o n v e r g e n c ep r o p e r t i e s ，t h eb a s i ci d e ao ft h es m o o t h i n gm e t h o d i st o a p p r o x i m a t ean o n s m o o t hf u n c t i o nb yt h es e q u e n c eo fs m o o t h i n gf u n c t i o n s b a s e do nt h ec o n c e p to ft h ew o r s t c a s ec o n d i t i o n a lv a l u e - a t - r i s k ，t h i sp a p e rf o c u s e so n t h ec o m p u t a t i o ni s s u eo ft h ep r o f i t - r i s kr o b u s tp o r t f o l i om o d e l s s u c hm o d e lh a sm i n - m a x c o n s t r u c t i o n w et r a n s f r o mt h em o d e l si n t ol i n e a rp r o g r a m m i n gp r o b l e m sb yd u a l i t yt h e o r y t h es m o o t hm e t h o di si n t r o d u c e dt os o l v i n gt h em o d e l s u n d e rt h eb o xd i s c r e t ed i s t r i b u t i o n o fr a n d o mv a r i a b l e s ，t h i sp a p e rp r e s e n t st h es m o o t h i n gm e t h o do fp o r t f o l i om o d e l sa n da s m o o t h i n ga l g o r i t h m f u r t h e r m o r e ，t h eg l o b a lc o n v e r g e n c ei si n v e s t i g a t e d t h e s ea l s oa r e i n n o v a t i o n s t h ep r i m a r yc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： i nt h ef i r s ts e c t i o n ，w em a i n l yi n t r o d u c er e s e a r c hb a c k g r o n d , m e a n i n g ，r e s e a r c ha c t u a l i t y t h em a j o rw o r k ，t h ea r r a n g e m e n to fs t r u c t u r ea n ds i g ni n s t r u c t i o n s i nt l l es e c o n ds e c t i o n ，w em a i n l yi n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fs e m i s m o o t ha n ds m o o t h i n g m e t h o d s w cd i s c u s ss o m ev e r yi m p o r t a n tt h e o r ya b o u td i s t r i b u t i o nu n c e r t a i n t y ( s u c ha s m i x t u r ed i s t r i b u t i o nu n c e r t a i n t ya n dd i s c r e t ed i s t r i b u t i o n ) w ei n t r d u c e t h ed e f i n i t i o no f w c v a r , s m o o t h i n gf u n c t i o no fm a x i m a lf u n c t i o n ，p r o p e r t i e sa n ds m o o t h i n gf u n c t i o n i n w c v ，a rf o r m u l a i nt h et h i r ds e c t i o n ，u n d e rt h eb o xd i s c r e t ed i s t r i b u t i o no fr a n d o mv a r i a b l e s ，t h i sp a p e r p r e s e n t st h es m o o t h i n gm e t h o do ft h r e ep r o f i t - r i s kr o b u s tp o r t f o l i om o d e l sa n d as m o o t h i n g a l g o r i t h m f u r t h e r m o r e ，t l l eg l o b a lc o n v e r g e n c ei si n v e s t i g a t e d n u m e r i c a l s i m u l a t i o n sa l e m a k e n t h er e s u l t ss h o wt h a tt h et h e o r e t i c a la n a l y s i si sc o r r e c ta n d t h en e wm o d e l sa r ev a l i d k e yw o r d s ：c o n d i t i o n a l v a l u e - a t - r i s k ( c v a r ) ；w o r s t - c a s e c o n d i t i o n a lv a l u e - a t - r i s k o v c v a r ) ；b o x d i s c r e t ed i s t r i b u t i o n ；s m o o t h i n gm e t h o d 一一一 目录 摘要i a b s t r a c t 第一章绪论 1 1 课题研究的背景和意义1 1 2 相关问题的研究现状2 1 3 本文的主要工作及其章节安排3 1 4 所用记号说明4 第二章w c v a r 优化模型及其光滑化模型 2 1 半光滑化函数和光滑化方法5 2 2w c v a r 的定义及其性质6 2 3 最大函数的光滑化函数及其性质1 1 2 4w c v a r 中的光滑化函数1 2 第三章离散界约束分布下的w c v a r 风险利润优化模型的光滑 化算法 3 1 离散界约束分布下的w c v a r 风险利润优化模型的光滑化1 4 3 2 光滑化s q p 算法1 7 3 2 1 优化模型的k k t 系统1 7 3 2 2 光滑化算法2 0 3 3 算法的全局收敛性2 1 3 3 1 假设条件2 1 3 3 2 ，收敛性定理2 1 3 4 数值实验2 4 结j 仑：。2 8 参考文献：“2 9 蜀c j 射一3 3 附录( 攻读学位期间发表的论文) 3 4 i i i 第一章绪论 本章主要介绍了课题的研究背景和意义，相关问题的研究现状，论文的主 要工作及结构安排和所用记号说明。 1 1 课题研究的背景和意义 投资者从事投资的实质就是要在承受特定风险的条件下实现预期收益的最 大化，或者是在一定收益的前提下使风险最小化。r o c k a f e l l e r 和u r y a s e v 提出 了c o n d i t i o n a lv a l u e a t 慰s k ( c v a r ) 风险测量方法，c v a r 风险测量被许多学者 进行了广泛的研究，c v a r 最优组合模型也被许多学者进行了研究。基于c v - a r 风险测量，文献 1 6 中，三个风险一利润的模型被建立，并且被简化，有效前沿 被分析；根据我国证券市场的实际情况，文献 3 3 中，交易成本，实际收益率 计算等因素被考虑，c v a r 资产组合优化模型被建立。z h u f u k u s h i m a 在随机 变量分布信息部分已知的情况下，提出了w o r s t c a s ec v a r ( w c v a r ) 的概念；分 析了w o r s t - c a s ec v a r ( w c v a r ) 的性质：并且证明了w c v a r 有与c v a r 相似的 度量性质：在特殊的混合分布和离散分布的情况下讨论了w c v a r 模型的简 化；基于w c v a r 风险测量的鲁棒优化模型的应用，将模型转化为线性规划， 二阶锥规划问题。 作为一类特殊的市场一电力市场，它由日前市场、期货市场、现货市场、 远期合约市场等组成随着电力市场化改革的深入，发电厂竞价策略成为电力 市场研究的热点问题发电厂竞价策略包括发电商在单一市场的竞价辅助决策 和风险评估以及发电厂发电量在多个市场的资产配置和风险分析两方面内容 资产配置的核心问题是投资者如何在适当的风险值下通过配置资产来获取高额 利润v a r 和c v a r - 已经开始应用于电力市场的风险管理中然而电力市场受 到许多因素的影响，例如水资源的变化、能源价格、运输成本等导致电力市场 呈现非完全信息，此时用v a r 或c v a r 不能有效地进行市场的风险管理而另 一方面，电力市场是一个安全要求很高的市场，在市场营运过程中必须考虑最 坏情况下系统和市场的稳定运行因此，w c v a r 作为电力市场的风险度量是一 种比较好的风险管理，可有效运用于电力市场的资产配置中 除了模型，优化中关注的问题之一就是数值解法，本文关注的是：基于 w o r s t - c a s ec y a r ( w c v a r ) 风险计量指标下，投资组合优化模型的计算问题。此 类模型的通常解法是线性规划方法。基于线性规划的计算，通过研究证明此方 法是有效的，而光滑化方法以其显著的特点，即能方便地使用导数，保留好的 收敛性。成为解半光滑方程组和优化问题的一种流行方法。考虑到这个因素， 本文提出采用光滑化方法来求解此类模型。 1 2 相关问题的研究现状 投资组合优化中，：一个关键问题是风险。现在金融领域最常用的风险度量 方法有风险价值( v a r ) 和条件风险价值( c v a r ) ，但v a r 存在缺陷，如：不满足 一致性公理；v a r 尾部测量的非充分性等( 参见 2 2 】) 。为了克服v a r 的这些不 足，r o c k a f e l l e r 和u r y a s e v 提出c o n d i t i o n a lv a l u e a t - r i s k ( c v a r ) 风险测量方 法，并因为c v a r 的优势，如：它是损失超过v a r 的条件均值；满足一致性公 理；在计算c v a r 的时候，能够同时得到v a r 的值，因此学术界认为c v a r 是 一种更合理有效的现代风险管理方法 尽管c v a r 有很多优点，但随着研究的深入，它暴露出缺陷，如：要求 随机变量分布已知。z h u f u k u s h i m a 在随机变量分布信息部分己知的情况下， 提出了w o r s t c a s oc v a r ( w c v a r ) 这个概念。投资组合优化，包括金融衍生物， 如：远期合约，期货。为降低投资者的投资风险，学者和专家对投资组合优化 问题进行了广泛研究( 见文献 8 ，1 5 ，3 4 ，3 8 ，4 9 ) 。如：基于各种风险测量与 收益最大，风险收益权衡分析。在分析模型方面，d e n t c h e v a 和r u s z c z y n s k i 提 出了随机优势约束组合优化模型( 参见 3 4 ) 。新的模型被研究，包括最优条件 对偶性质，等价优化模型。由于r o c k f e l l a r - u r y a s e v 的贡献和一致风险测量的提 出( 参见 8 ) ，在各种各样的投资问题中，条件风险测量被广泛使用，基于 c v a r 风险现有的研究是建立在已知随机变量分布的分析，而实际中存在的是 随机变量分布部分信息已知的情形，于是z h u - f u k u s h i m a 在研究报告( 3 5 1 ) 中提出随机变量分布部分信息己知下最坏情况下的条件风险( w c v a r ) 这个概 念；分析了w c v a r 的性质：并且证明了w c v a r 具有与c v a r 相似的风险度量 性质：在特殊的混合分布和离散分布的情况下，讨论了w c v a r 模型的化简。 众所周知，除了模型的问题，投资组合优化中，最关注的问题之一是数值 解法。根据不同的风险，各种优化方法被应用到组合优化中。基于场景 c v a r ，在线性损失函数和收益下，投资组合优化模型的通常解法是线性规划方 法，在多种情况下，线性规划方法被证明是有效的。经过研究，一些别的方法 被提出，b e l i a k o v - b a g i r o v ( 3 6 ) 使用离散梯度求解非光滑化c v a r 投资组合优化 模型，研究表明，非光滑化优化方法也是有效的；k u n z i - b a y 和m a y e r ( 3 7 ) 提 出了求解c v a r 极小值的两步分解算法；童小娇教授( 5 4 ) 利用光滑化方法求 解了c v a r 组合优化模型，并在理论上证明了算法的有效性，通过数值实验证 明了理论的正确性。与非光滑化方法相比，光滑化方法能使用导数，保持很好 的收敛性质，尤其是半光滑问题。考虑w c v a r 优化模型，我们观察到， c u + = m a x u ，o ) 是半光滑的，受到光滑化计算方法的启示，一个光滑化技术被 2 考虑，光滑化模型被建立；光滑化方法被研究；全局收敛性被研究。所有这些 给我们求解w c v a r 模型的计算提供了一些启示。 光滑化的基本思想是用一个光滑化序列来逼近光滑化函数。在求解半光滑 方程和优化问题中，光滑化方法是一种很流行的方法( 7 ，9 ，3 0 ，5 0 ) 。光滑化 方法被广泛研究与应用，如：张乾宇和高言在 2 5 中对极小极大问题进行研 究，用光滑化方法将不可微非线性方程组转化为可微的非线性方程组：陈伟民和 杨余飞在 4 7 利用f i s c h e rb u r m e i s t e r 函数将非线性互补问题转化为非线性方程 组的基础上，提出求解一般非线性互补问题的光滑化方法；徐引玲在 4 8 3 中利 用扩充的f i s c h e rb u r m e i s t e r 函数和光滑化方法的思想把半定规划问题的k k t 条件等价转化成一个光滑化方程组，构造了半定规划的光滑化牛顿法：童小娇在 5 4 中利用光滑化方法求解了c v 报组合优化模型，并在理论上证明了算法的 有效性，通过数值实验证明了该方法的有效性。与非光滑化方法相比，光滑化 方法能使用导数，保持很好的收敛性质，尤其是半光滑问题，考虑w c v ，a r 优 化模型，我们观察到，光滑化项匝】+ = m 戤伽，0 ) 是半光滑的，受到光滑化计算 方法的启示，一个光滑化技术被考虑，光滑化模型被建立；光滑化方法被研 究；全局收敛性被研究。 1 3 本文的主要工作及其章节安排 基于最坏情况下的条件风险( w o r s t - c a s ec o n d i t i o n a lv a l u e a t - r i s k ：w c v a r ) 这个指标，本文将风险一利润的三个组合优化模型进行了光滑化，并且建立了计 算方法，主要工作如下： 基于最坏情况下的条件风险，将风险一利润的三个组合优化的模型光滑化 该模型有复杂的r e i n - m a x 多层的优化结构在随机变量服从离散界约束分布， 而且损失函数为线性的条件下，运用对偶理论，将其转化为非线性规划问题。 建立了相应的光滑化算法，并证明了其收敛性。之前的求解w o r s t c a s ec v a r 组 合优化模型的计算大多都是将其化成线性规划，然后来求解，本文利用对偶理 论将模型转化成单层优化后，采用光滑化技术将模型最终转化成了非线性规划 问题。与线性规划方法相比，使得变量减少了。利用光滑化技术可以方便的进 行求导等计算。 本文的结构如下： 第一章介绍了课题的研究背景和意义，相关问题的研究现状，论文的主要 工作及结构安排和所用记号说明。 第二章介绍了预备知识，包括半光滑函数和光滑化方法，常用的典型非完 全分布信息( 混合分布和离散分布) ，w c v a r 的定义，最大函数的光滑化函 数及其性质，以及w c v a r 中的光滑化函数。 3 4 约束下，对三个风险一利润组合优化 s q p 算法。证明了算法的全局收敛 取f ( x ，y ) 一口，0 中最大的一个 表示距离 g ( t ，x ) 对x 求梯度 毗五q 舌c o ) 在点( f ，工，口，孝) 的导数 高阶无穷小量 欧氏空间的模 偏导数 上确界 下确界 混合分布 离散分布 凸包 第二章w o v a r 优化模型及其光滑化模型 本章主要介绍半光滑函数和光滑化方法，w c v a r 的定义与性质，最大函数 ： 的光滑化函数及其性质，以及w c v a r 中的光滑化函数。 2 1 半光滑化函数和光滑化方法 首先介绍半光滑化理论 9 ，1 8 ，1 9 ，2 0 定义1 若f ( x ) ：r ”j r ”对任给的，r “有： 九训) = 躲塑竿型 称，( 工) 在点x 沿方向，r ”的导数存在。 定义2 设f ( 功：der “一r ”是局部l i p s c h i t z 连续函数。若有 8 b f ( x ) = ( 1 i 俨( 矿) ) 称f ( x ) 为b 可导，其中d ，表示f ( x ) 的可微点集。f ( x ) 的c l a r k e 广义导数定义 为： o , f ( x ) = c o n v o 口f ( x ) 其中c o n v 表示凸包。 由上面的定义知：广义导数为一个集合，若函数可微，则该集合只包含一点。 即常规光滑函数导数的定义。 定义3 已知g ：f ”j 掣在x r ”处是局部利普希茨连续的，若，在工r ” 处方向可导，且对v v a f ( x + t 忧) ，有f ( x + a x ) - f ( x ) 一y ( = d ( 0 缸1 ) ，则称 f 在工点是半光滑的。 定义4 若v 矿o f ( x ) 均为非奇异，则称f 在x 处b d 正则。 半光滑函数是界于l i p s c h i t z 连续与光滑( 可微) 之间的函数。它包括很多 函数，如：可微函数，凸函数，分片光滑函数，非线性互补问题，m a x 函数 ( f ( x ) = m a x o ，( z ) ( f = l ，n ) ，其中吕( x ) ：r ”一r 连续可微) 等。 光滑化方法作为解决非光滑问题的一类重要方法，其基本思想是用一个光 滑化函数序列来逼近非光滑函数。光滑化方法有许多的研究成果，具有广泛的 应用范围。q i 和c h e n 4 提出了求解非光滑方程的光滑逼近方法，c h e n ，q i 与 s u n 6 提出了解非光滑问题的光滑化牛顿法，并建立了全局收敛性与局部超线 性或二阶收敛性。张乾宇和高言在 2 5 】中对极小极大问题进行了研究，用光滑 化方法将不可微非线性方程组转化为可微的非线性方程组：陈伟民和杨余飞在 4 7 】利用f i s c h e r b u r m e i s t e r 函数将非线性互补问题转化为非线性方程组的基础 上，提出了求解一般非线性互补问题的光滑化方法；徐引玲在 4 8 中利用扩充 的f i s c h e rb u r m e i s t e r 函数和光滑化方法的思想把半定规划问题的k k t 条件等 价转化成一个光滑化方程组，构造了半定规划的光滑化牛顿法t 童小娇在 5 4 】中 利用光滑化方法求解了c v a r 组合优化模型，并在理论上证明了算法的有效 性，通过数值实验证明了方法的有效性。 下面以磁x 函数为例，考虑其光滑化函数 例1 ：已知下面两个函数，要求在同一直角坐标系中汇图。 g ( x ) = m a x - x ，o ) g ( x ，t ) = t l n ( 1 + e - x 打) ，其中t = 0 0 1 是光滑化因子。 其中y l 代表函数g ( x ) ，y 2 是其光滑化函数g ( t ，x ) 。 2 2w c v a r 的定义及其性质 首先给出c v a r 的定义( 见文献 1 6 】) ： 设x 为投资组合可行集，f ( x ，y ) 表示损失函数，其中决策变量 6 x z r ”，y r ”表示聊维随机变量。设随机变量y 有概率密度p ( y ) ，则 f ( x ，y ) 不超过给定限额口的概率为： 吵( x ，口) = ，郴口p ( y ) d y ， 对于给定的，砌，c v a r 分别由下式得到： v a r p ( x ) = m i n a e r ：y ( x ，口) 历 c v a r p ( 加南k ，猢m ，y 胁) 砂 其中表示置信水平，g a r # ( x ) 为风险值。 为了便于计算，r o c k a f e l l a r - u r y a s e v 在 1 6 中构造了一个函数易( x ，口) 来计算 c g a r p ( x ) ，其中 乃( 础) = 口+ 南哆e r m 似，小口】+ p ( y ) 咖 其中 t l + = m a x t ，o 文献 1 6 中证明了c w r p ( x ) = 映f p ( x , a ) c v a r 是建立在已知随机变量分布的情况下，而实际应用中存在随机变量 分布部分信息已知的情况，z h o u 和f u k u s h i m a 在 3 5 中提出了w c v a r 的概念 及其性质如下： 定义2 1 -对于固定的x x ，随机变量y 的密度函数为p ( y ) ，则关于尸的 最坏情况条件风险( w o r s t - c a s ec v a r ：w c v a r ) 是c v a r 的上确界，即： w c v a r p ( x ) 全s u pc 愀口( 石) ( 2 1 ) p ( ) e p z h o u 和f u k u s h i m a 证明了w c v a r 满足如下性质： ( 1 ) 次可加性：对随机变量z 和】，p ( x + 】厂) p ( x ) + p ( y ) ； ( 2 ) 正齐次性：允 o ，p ( 兄x ) = 和( x ) ； ( 3 ) 单调性：若x 】厂，夕( x ) 夕( y ) ； ( 4 ) 平移不变性：对于正常数m ，p ( x + m ) = 夕( x ) + m 满足上边4 条性质的风险度量称之为一致风险度量所以w c v a r 就是一致风 险度量 由于w c v a r 风险度量中，随机变量y 的分布是部分已知，典型的非完全 信息分布如下：( 见文献 3 4 ) ( i ) 混合分布 定义2 2 假设随机变量y 的分布仅属于一个分布集合， 所有可能分布的混和而成，即： p ( ) 昂 - t 2 7a,p_)：圭纠雄叫=1i=l1 = 1，子 p ( ) 昂 协五= 1 ，以o ，扛，m lj 此分布集合是有 ( 2 2 ) 其中尸( ) 为第i 个概率分布函数，z 为概率分布个数 记： 人全卜c 护枷：喜以乩以孔吣一，小 “ 人全 允= ( a ，“。，乃) ：以= l ，以o ，f 兰1 ，z ， ( 2 3 ) “ l ，= l j 定义： 易( 础) 会口+ 南l 吐y ) 一口( y ) d y 户”“，f 定理1 对每个x ，在混合分布昂下的c 玩氓口( z ) 可以被给成： w c v a r p ( x ) = m i n m 弓( x ，口)( 2 4 ) a x 其中三全 l ，2 ，m ( 见 3 5 ) 由定理1 ，可以得到推论1 ( 见 3 5 ) 推论l 在集合z 上，可以通过在疋冗上求磅 ，口) 的极小值得到 w c v a r 声( x ) 的极小值，即 曾耽哗( x ) 2 瓴m 亦i 撇n 髟( x ，口) ( 2 _ 5 ) 其中髟( x ，口) 全m 。a 。xg ( x ，口) 。 记：易k 功全口+ 高j ，酿l 厂k 力一a t p ( y ) d y 由文献 3 5 知：当f ( x ，y ) 关于工是凸函数时，尼( x ，口) 关于( x ，口) 是凸函 数事实上，函数g l ( f ) 和9 2 ( f ) 是凸函数时，g ( f ) = m a x g l ( f ) ，9 2 ( t ) 是凸函 数如果f ( x ，y ) 关于x 是凸函数，那么砖( x ，口) 关于( x ，口) 为凸函数所以如 果疋是凸集，f ( x ，y ) 关于x 是凸函数，则w o v a r 极小化问题就是一个凸规划 问题 下面我们讨论w c v a r 极小化的计算问题，定理1 和推论1 有助于我们将原 问题转化成一个容易处理的问题。 w c v a r 极小的问题就能够等价为： 8 。础，脚二冗 秒：口+ 1 - 1 _ f l l 散i f ( 五力一口+ p i ( 力砂见f = 1 ，- 7 ) ( 2 6 ) 其中最困难的是积分的计算和非光滑函数的计算，对高维积分计算问题， 蒙特卡罗模拟是最有效的方法之一，所以上式通常被近似成下面的问题： ，。碱卜+ 志鼽枷一司+ 驯虮0 亿7 ， 其中昧】是第i 种可能分布下的第后个样本s 是相应的样本个数， 通常( 2 6 ) 的近似能表达成： ，卜+ 南缸枷一口m 咄一 ， 霖是第i 种可能分布下的第k 个样本的概率对所有的k ，如果 反= _ 1 ，那么( 2 8 ) 能简化为( 2 7 ) 接下来，记= ( 硝，“，) 1 ，然后通过引入 辅助受量“= 1 ，“2 ，) f ，m = ：l ，优化问题( 2 8 ) 能转化成下面容易 处理的极小问题，其中变量为( x ，u ，口，乡) r “r m r r ， r a i n 口 s t x 疋， 口+ 而1 ( 万w 秒，吼， 2 9 ) u ：f ( x ，堠】) 一口，k = 1 9e e 9 s ，i = 1 ，”。， “：0 ，k = l ，, e e g s 7 ，i = l ， 如果f ( x ，y ) 关于x 是线性的，z 是凸多面体，n a _ l ：面问题能转化为一个线 性规划问题。 ( i i ) 离散分布 假设随机变量y 服从离散分布，从实践的观点看，这种考虑对w c v a r 公式 中的连续分布很有意义。因为我们通常用一个离散化程序来近似连续分布积 分。下面介绍离散分布的概念。 定义2 3 随机变量y 的样本空间被给出为： ， e = m l 】，所2 】，所，】j ， ( 2 1 0 ) 概率p ， 所f 】) = 乃，二乃= l ，乃o ，o = l ，2 ，s ) 则我们称只是一个离散分 布记万= ( 乃，砭，亿) r ，定义： ， 一 9 定义2 5 万芹全 万：万= 矿+ 却，e r a r = 0 ，矿+ 却o ，1 ) ， 其中i i r a i = 磊，万。是正态分布，a e 是一个标量矩阵，勿= o 和 1 0 n - 。+ a t o 能保i i ex个概率分布，那么称为椭球分布 2 3 最大函数的光滑化函数及其性质 本节将引入光滑化函数及其性质( 见【5 4 】) ： 定义g ( x ) 2 燃 蜀o ) ) 其中( 工) ：r 。一r 是二次连续可微的 g ( 力在岛( z ) 三= g j ( x ) 处是非光滑的，下面定义g ( x ) 的光滑化函数： g ( t ，x ) = t i n ( e e x p ( g ，( x ) f ) ) 光滑化函数氤f ，功的性质如下： 定理3 对v t 0 ，g ( f ，力有如下性质：( 见【5 4 】) ( 1 ) g ( t ，x ) 对f 是增函数，a p x 寸v t i 乞 0 ，总有g ( f l ，石) g ( t 2 ，力，且 0 g ( t ，力- g ( x ) t l n m ( 2 ) 对v t 0 ，g ( t ，曲是二次连续可微的。且 jl v ，g ( f ，石) = a a t ，力 v 2 9 ( = 喜( 啪力v 2 咖) + 知嘣x ) ( ) 埘 肿 f l ( e a , ( t ，x ) v & ( x ) ) ( 口，o ，x ) v ( z ) ) - l篁i扣el 其中q ( f ，x ) 2 乏三e 芝x i p 夏( g ；, 丽( x ) t ) ，( x ) = f i g ( 石) 2 岛( x ) ) 若蜀( 五) o = 1 ，所) 是线学函数。则：对v t o ，g ( t ，工) 是无穷可微凸函 数。 ( 3 ) 对任意固定的石r ”，v ，g ( 五0 + ) = 粤v 。g o ，x ) = ( 力三， 其中k - - l i ( x ) i 。 ( 4 ) d i s t ( v ，g ( t ，工) ，口g ( 戈) ) = d o ) 。 ， 由上面分析，可建立( 2 9 ) 和( 2 1 3 ) 1 约光滑化优化问题如下： ( 2 9 ) 的光滑化优化问题如下： 口+ 南( 神r 6 以邶) 靼渊， 其中g ( f ，口) = tl n ( e u 。 ，一7 + 1 ) t l n ( e ，一沙+ 1 ) 1 m 聊a x 南g ( “，口) 鲰 黼以川，= 匿z 2 4w c v a r 中的光滑化函数 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 基十最大幽数的光滑化函数，w c v a r 公式中的非光滑化函数可以光滑化。 定义p 勰卜口， g 篡三普嚣烹 ，州川胁+ 志 眦，x ，口) = 口+ j 而1 厶。$ 一啪k z ) 其中彰( ，z ) ，f 。，z ，a ) c k g t ( z ) 和j ，0 ，口) 的光滑化函数。 定理4 j 二( f ，z ，口) 如上定义，对v f o ，有下面的结论成立 ( f ) 逼近性质：多；( f ，x ，口) 关于t 是增函数，即：对于任意f l 乞 o ，有： 施加) 施删，r o f a ( t ，- 小f 。小川尚 f 声( f l ，x ，口) f ，( 乞，耐口) ， ，e 口) 一，( x ，口) 当 ( 栅凸性：在厂( x ，几) 是凸的条件下，i ：( f ，z ，口) 仍然是凸的。 ( 饼) 导数的计算：i ：化石。口) 连续可微， _ ， 1 s 矿，卢( f ，石，口) = 上s ( 1 - f 1 ) * = l v 。j ：o ，毛口) ：1 一上 v 口f 卢( “，口) “一而高 一( ，( f ，) - a ) l t 毒而鬲萨，几，儿) ( i v ) d a c o b i a n 逼近性质：对任意给定的( x ，口) r 肿， j d i s t ( v ( 埘) f p ( t ，x ，口) ，a 易( x ，口) ) = o ( f ) 吾l m 篙 s瑚 第三章 离散界约束分布下的w c v a r 风险一利润优化 。 模型酌光滑化算法 一。奎考岔绍塞罄界约束分布下的w c v a r 风险一利润优化模型及其算法，并证明 了其收敛性。用数值实验验证了该方法的有效性和理论分析萌奇靠谣。“ 3 1 离散界约束分布下的w c v a r 风险一利润优化模型的光滑化 首先介绍以最坏情况下的条件风险( w b r s t c a s e c o n d i t i o n a lv ，a l u e a t - r i s k ： w c v a r ) 指标，随机变量y 服从离散界约束分布的三个风险利润优化模型。参 见 3 5 】 模型一1 ：w c v a r 风险约束下期望收益最大化模型： m 艇a xp r a e ，i n r ，( x ) 豇办( 工) 2 然彬( 工) k 模型一2 ：期望收益约束下的孵眦风险最小模型： 卿办2 卿燃彬( x ) s t 胙m ，( ) i n 如( 石) 圪 模型一3 ：期望收益和耽啪风险值的组合优化模型： m 。a 。x ，m 卟i n ，r ，( x ) 一a ，m 神a x j 痧，f f ( x ) 其中损失函数和利润函数分别为： f ( x ，y ) 2 吖r j ，锋( 曲= 卜厂( 石，力 = 瞳，川。应用对偶理论简化上面模型如 下： 模型一1 可以化简为： 1 4 m i n u 一 ( h ) r 石。+ 孑17 + 7 7 r 】暑( z ，万，) s f 再o ，窆薯：1 ，( 扛1 ，以) 西( 硼，= 口+ 南( 幽坝础) + 南( 孑2 孝+ 2 r 纠一k 如 ( 3 1 ) “厂o ，咒。1 ) 一口 + 1 其c p g ( x ，口) = l ； i i 厂( 工，扎】) 一口刊 其中u = ( z ，口，艿，7 ，z ，孝，c o ) 模型一2 可以简化为如下形式： m i n 刚：细肜+ 南( 柏r g ( 础) + 南( 孑2 孝+ z 锄 蛾b o ，主五：1 ，( 江”，刀) ( 蹦r 石。+ r y + r z _ 匕 r 厂( x ，y m ) 一口】+ 1 其中g ( x ，口) = l i i i 厂( x ，托】) 一口川 m a x 【( 硌) r n - o + 孑r y + 2 r 】一铆口+ 芒方协。) r g ( 而口) + 万( 孑r 孝+ 2 r 妫 ) ( 3 3 ) 其中u = ( x ，艿，y ，t ，口，z ，孝，c o ) f 厂( x ，) 一口】+ 1 其中g ( 毛口) = i i l l 厂( z ，所，】) 一口刊 1 5 r a ，i ，n 一 ( 】勺) 7 刀o + 7 厂+ 巧r 4 - 一y ( x ，万，y ，) s q o ，而= l ，( i - - 1 , - - , 刀) e s + y + = y x ，厂o ，0： 邮，邶，孝，妫= 南( 幽领缸，口j + 南( 孑孝+ ! r 神一巧。 ( 3 4 ) e z + 孝+ c o = g ( t ，z ，口) ，孝o ，0 r tt n (