（计算数学专业论文）结构可靠度分析及其优化算法.pdf

摘要 第一章，综述了结构可靠性发展的历史，指出了结构可靠性未来的发展方向， 并介绍了结构可靠性中几个常用的概念 第二章，对当今实用的一次二阶矩法进行讨论；( 找出了该法的优点，弱点， 以及迄今为止人们对它进行的各方面的改进 第三章，针对一次二阶矩法的弱点，提出了在随机变量相关的情形下计算结 构可靠指标的优化模型，结合最优化理论知识提出了三种计算卢的算法，并给出 了相应的算例 关键词；结构可靠指标，一次二阶矩法，拉格朗日乘子法，射影梯度法， 增广拉格朗日乘子法 a b s t r a c t a tf i r s t ，t h i sp a p e rr e v i e w st h ed e v o l o p m e n to fs t r u c t u r a lr e l i a b i l i t y , p o i n t so u ti t s r e s e a r c hd e r e c t i o ni nt h ef u t a r e s e v e r a ln e c e s s a r yc o n c e p to fs t r u c t u r a lr e l i a b i l i t y & r e i n t r o d u c e d s e c o n d l y , t h r o u g hd i s c u s s i n gt h e f i r s t - o r d e rs e c o n d - - m o m e n tm e t h o dw h i c hi sw i d e l y a p p l i e di ne n g e e r i n g ，t h ea u t h o rf i n d so u ti t sa d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e s a l s o ，t h e p a p e re v a l u a t e st h ei m p r o v e m e n tw h i c hr e s e a r c h e r sh a v ec o n d u c tt od a t e f i n a l l y , t or e m o v et h ed i s a d v a n t a g e sa b o v e m e n t i o n e d ，t h i sp a p e rp r e s e n t st h eo p t i m i z a t i o nm o d e lo fc a l c u l a t i n gt h es t r u c t u r a lr e l i a b i l i t yi n d e x ，卢，u n d e rr e l a t e dn o r m a l r a n d o mv a r i a b l e s a p p w i n gt h ek n o w l e d g eo fo p t i m i z a t i o np r o g r a m m i n g ，t h ea u t h o r p r e s e n t e dt h r e em e t h o d s t oc a l c u l a t et h ei n d e x ，卢s e v e r a le x a m p l e sa r eg i v e nt op r o v e t h ev a l i d i t yo ft h o s et h r e ea l g o r i t h m s k e y w o r k d s s t r u c t u r a lr e l i a b i l i t yi n d e x ，t h el a g r a g i a nm e t h o d ，t h eg r a d i e n t p r o j e c t i o nm e t h o d ，t h ea u g m e n t e dl a g r a g i a nm e t h o d 第一章建筑结构的可靠度 第一节绪论 房屋、铁道、公路、港工、水工统称为建筑结构，建筑结构的设计问题一直为人们所重 视，因为它关系到人们的生命和财产损失 古代建筑结构设计基本上是采用生物的比拟法例如按人的腿的比例来设计柱子另外， 根据已有的建筑物来设计新的建筑物我国古代的房屋结构多采用构架体系，其梁柱尺寸是 按经验依建筑物的比例而定，其中斗拱为各部分比例的基础，对于建筑物的安全性问题，则 往往是以拆除建造时用的脚手架而结构不倒塌为准古代的设计方法也是在实践成功与失 败的经验教训中不断改进和发展 结构设计无非是把外界作用对结构的效应与结构本身的抵抗能力加以比较，以达到结构 设计得即安全又经济的目的，伽利略是现代建筑力学的奠基者，从伽利略算起的近三百余年 来，结构设计计算方法经历了种种演变，尽管干变万化，但归纳起来可分为两大类：一个是 全经验法，另一个是极限状态法 一全经验设计法【1 i 【2 ， 3 】 除科学理论外，影响结构设计方法的演变和发展的主要客观推动力有：结构材料的更新 和发展、工程实践经验 十九世纪由于工业和重工业的兴起，铁路、桥梁以及大量建筑的出现，人们特别关心结 构的安全性，对结构的分析着重于材料的弹性阶段工作状态由于材料力学、弹性力学和材 料试验科学的发展，纳维叶( n a v i e r ) 等人提出了用弹性状态导出的计算方式来校核现存的认 为足够坚固的建筑结构，从而确定了各种材料的容许应力，并以此为依据进行设计和选定构 件的尺寸这种在结构经常工作的正常条件下，内力不能过大，希望不致积累过多的残余变 形，最好使材料处于弹性范围内，以便外界影响消失后，结构能恢复和接近恢复于初始状态 的设计思想称为容许应力法容许应力是一个由经验判断的大于1 的安全系数去除某一适 当的极限状态所规定的最大应力而确定 【卅= t o m a l 1 1 ) 其中，0 m 8 x 为结构构件的极限应力，对塑性材料口。取材料的屈服极限唧，对脆性材料 口。a x 取材料的强度极限0 b ；k 为安全系数，对塑性材料k 取1 4 1 6 ，对脆性材料k 取 2 5 3 0 容许应力法的基本原则是结构构件的实际应力小于或等于结构设计规范所规 定的容许应力：曼q 是由结构设计规范规定的标准荷载，按材料力学公式以线性弹 性理论计算出来的 1 自二十世纪三十年代起，由于考虑设计的经济合理性，注意到材料在弹性极限以后的工 作性能，转而对结构作最终的破坏分析，原苏联首先在钢筋混凝土结构中采用了破损阶段设 计法，五十年代后期美国在设计中开始与容许应力法并行采用破损阶段法破损阶段法的设 计原则是t 结构达到破损阶段时的计算承载能力r 应不低于标准荷载引起的构件内力s 与 安全系数k 的乘积： k s ! r ( 2 ) 不论是容许应力法还是破损阶段法在可靠性方面都是通过经验规定的单一安全系数来考虑 问题的人们早巳认识到安全系数的大小只能反映同一类型的某种受力状态下结构的安全 性，对不同类型结构或同一结构的不同受力状态，即使用同一个安全系数也不能使结构具有 相同的安全度例如，砖石结构的安全系数用2 5 ，钢筋混凝土结构的安全系数用1 4 ，但并 不表示前者比后者更安全安全系数没有考虑到影响结构安全性的各种因素的随机性和不 确定性，特别当恒载与活荷载引起的结构效应符号相反时更为明显，就是说采用安全系数进 行结构设计时，对某些结构存在很大的危险性例如， 3 中关于英国某电厂的八座钢筋混 凝土冷却塔被风刮倒的例子就是如此 二极限状态设计法【4 1 【5 】 在使用期内结构由于荷载的作用可能达到各种f 经界状态大致可分为两大类：承载能力极 限状态和使用能力极限状态承载能力极限状态指的是构件断裂、失稳、过大的塑性变性等 所导致的结构破坏；使用能力极限状态指的是由于构件过大的弹性变形、局部变形( 包括混 凝土的裂缝和剥落) 和振幅，使建筑物的非承重构件( 墙面、门、窗等) 遭致破损或引起使用 者在心理上的不舒适感 极限状态设计法是将结构置于极限状态下进行分析，一方面找出外界对结构的作用和当 结构达到极限状态时荷载对结构的效应，另一方面找出结构达到各种极限状态( 承载能力、 变形、裂缝等) 时的抵抗能力，然后加以比较，通过设计保证结构不至于进入承载能力极限 状态和使用能力极限状态 结构的安全性问题一宣是设计者十分关注的问题随着科学技术的发展以及设计者经验 的积累，人们认识到荷载和抗力存在着随机性，在设计中用一个定值来反映结构的安全储备 是不准确的由于概率论、数据统计、可靠性理论等统计数学近年来在工程结构设计中得到 较为广泛的应用，从而有力地促进了极限状态设计方法的发展目前国内外的结构设计正处 于从定值设计法向概率设计法过渡的重要阶段，美国和欧洲一些国家正致力于采用概率论 方法建立钢结构、钢筋混凝土结构设计法规模式，加拿大已正式颁布丁以近似概率理论为基 础的钢结构及薄钢结设计规范，特别是“土木工程国际协会联合委员会”编制并从1 9 7 8 年 开始分卷出版的结构统一标准规范的国际体系收集了世界上工程领域内的重大成果和 2 最新发展我国从1 9 7 6 年以来，组织了大量人力、物力，开展建筑结构安全性课题的研究 工作，于1 9 7 9 年成立了建筑结构设计统一标准编制委员会，在吸收国内外科研成果的 基础上实现各种结构设计具有统一的安全理论、统一的设计原则、统一的设计分析表达式和 统一的荷载系数，并于1 9 8 5 年6 月正式颁布了该标准( g b j 6 8 8 4 ) ，这是为形成我国建筑结 构标准规范体系而进行的一项重要基础工作 以结构的失效概率为依据的极限状态设计法称为“概率极限状态设计法”按概论理论运 用的程度此法又分为： 1 半概率设计法( 水准一) ，2 近似概率设计法( 水准二) ，3 全概率 设计法( 水准三) 结构设计的发展过程为 全经验法+ 半概率法近似概率法全概率法 目前我国建筑结构设计正由半概率设计法向近似概率设计法过渡，这是符合国际工程界 总潮流的 1 半概率设计法( 水准一) 随着工程实践和科学技术的发展，人们认识到了结构抗力丑( 结构强度、允许变形等) 和 荷载效应s ( 结构的内力、变形等) 的随机性，开始在设计中采用r 和s 的平均值再和君表 示的中心安全系数霄= 暑= 警，试图摆脱r 和s 的随机性，这种“一阶矩法”并没有很好 地考虑抗力和荷载的变异性，在设计中采用同样的中心安全系数，实际失效概率相差甚远 例如，在相同的雪荷载下，采用同样的允许应力设计两个屋面结构，方案甲采用钢筋混凝土 梁板结构( 恒载大) ，方案乙采用钢筋混凝土折板结构( 恒载所占比重小) ，由于恒载离散性小 而雪载离散性大，所以即使二者的u r 与“s 相等，方案乙的失效概率要大得多，这在中心 安全系数耳中得不到反映于是人们寻找考虑r 和s 的变异性的统计方法二十世纪五十 年代运用正态分布拟合抗力r 和荷载s 的实际分布提出了标准安全系数： 凰= 爵r b ( 3 ) 其中，凰为标准安全系数，风为标准抗力或设计抗力，为标准荷载或设计荷载，风 和风分别由再和君减去或加上标准差口r 和口s 的若干倍( r r 和r s ) 得到由于运用了二 阶矩( 3 ) 式在一定程度上反映了荷载与抗力的变异性。但它仍然不能与失效概率相联系，故 称之为半概率法半概率法的表达式可以归结为： k b ( u s + r s a s ) “丑一? r g r 其中，u r ，“s ，口s ，。r 是依概率取值的，甄取值依旧是经验的 我国早期采用的“三系数法”一超载系数、匀质系数、工作系数，以及现行规范中的单一 系数法和容许应力法都属于半概率法 3 2 近似概率法( 水准二) 发现结构的安全与其失效概率间具有一定的关系后，各国学者都竞相努力使结构的安全 性理论更全面地转移到概率理论和统计数学基础上从1 9 5 4 年到1 9 7 9 年间美国和苏联学 者提出并发晨了“一次二阶矩法一即近似概率法这种方法是假定荷载效应s 和结构抗力 r 服从正态分布或对数正态分布并考虑它们的联合分布，将连续的极限状态函数进行离散 处理，仅在数据空间选择验算点校核结构的可靠度，结构的失效概率为设计验算点的标准化 无量纲分位值( 即结构的可靠指标口) 的函数 由于统计效据不完善，分布类型也是近似的，在分析过程中又使用了线性化措施，所以 该法所得到的可靠性仍是一个近似结果尽管如此，近似概率法仍是目前结构可靠性实际计 算中即可行又比较合理的方法我国1 9 8 5 年颁布的建筑结构设计统一标准就是属于近 似概率范畴( 不过其中具体的结构计算规范目前仍属于水准一) 3 全概率法( 水准三) 全概率法是对整个结构采用精确的概率分析，运用随机变量或随机过程的概率模型来描 述所出现的各种基本变量，运用结构的失效概率直接度量结构的可靠度，而不必借助于安全 系数或可靠指标由于目前对荷载与抗力的信息掌握不够充分，所以在工程中要采用全概率 法尚不现实，反而会把问题搞复杂目前只在航空、航天事业以及某些特殊重要的结构才采 用全概率法 第二节结构可靠性理论的基本概念 一结构可靠性与可靠度f 3 1 结构设计要解决的根本问题是：在结构的可靠性与经济效益之间选择一种合理的平衡， 力求以最经济的途径使建造的结构满足各种预定功能的要求设计建筑结构时应使所设计 的结构在其使用期内( 我国规定t = 5 0 年) ，力求在经济合理的前提下满足下列几项基本功能 要求： ( i ) 能承受正常施工、正常使用时可能出现的各种作用( 结构上的作用是指施加在结构 上的集中力和分布力，或者是引起结构外加变形和约束变形的原因) ( i i ) 在正常使用时，结构及其组成构件具有良好的工作性能 ( i i i ) 在正常维护下，具有足够的耐久性 ( i v ) 在发生规定的偶然事件时，结构能保持必须的整体稳定性其中，第( i ) ，( i v ) 两项 要求指的是结构强度和稳定性，关系到人身安全问题，称为结构的安全性；第( i i ) 项指的是 结构的适用性，第( i i i ) 项指的是结构的耐久性结构的安全性、适用性、耐久性总称为结构 的可靠性 4 建筑结构设计统一标准中定义：结构在规定的时间内，在规定的条件下，完成预定 功能的能力称为结构的可靠性，完成预定功能的概率称为结构的可靠度建筑结构设计统 一标准将结构上的作用，作用效应、结构抗力以及结构破坏或失效都作为随机现象加以研 究，将定值设计方法转变为非定值的概率设计方法 由于对具体的结构来说，与结构完成强定功能的能力有关的各种变量一般都是随机变量 或随机函数，所以可运用概率方法以可靠度作为结构可靠性的数量度量指标 二极限状态函数与极限状态方程【5 1 结构的极限状态 结构的极限状态是结构失效的标准，是一种临界状态结构或结构的一部分超过某一特 定状态就不能满足设计规定的某一功能，则称此特定状态为结构对该功能的极限状态 建筑结构设计统一标准将结构的极限状态分为两大类：承载能力极限状态和正常使 用极限状态，承载能力极限状态主要考虑结构的安全性，正常使用极限状态主要考虑结构的 适用性和耐久性 此外，还有一种“破坏一安全】1 极限状态，指的是偶发事件造成结构局部破坏后，其余部 分不致于发生连续性破坏( 或倒塌) 的状态偶发事件是指超过设计烈度的地震、爆炸、车 辆撞击、地基塌陷等，当局部破坏的结构出现了下列状态时，即认为结构超过丁“破坏一安 全”极限状态； ( i ) 局部破坏结构转变为机动体系 ( i i ) 局部破坏结构的关键部位超过材料强度而破坏 ( i i i ) 局部破坏结构的一部分或整体丧失刚体平衡稳定性 目前由于缺乏必要的统计资料和实践经验，“破坏一安全”极限状态在实际应用中尚未 作为一个独立的极限状态提出，只是在承载能力极限状态中补充了关于防止结构连续破坏 ( 或倒塌) 的设计原则 对于结构的各种极限状态均应规定明确的标志和限值，作为结构设计的依据，以结构各 种功能要求的极限状态作为结构设计依据的方法，称为极限状态设计法 2 极限状态函数和极限状态方程 结构的可靠性通常受各种荷载、材料强度、几何尺寸、计算公式精度等因素的影响，这 些因素均具有随机性，在极限状态设计法中称影响结构可靠度的随机因素为基本变量在结 构可靠性分析中结构的功能通常以“极限状态”作为标志，以统计数学的观点来看，结构的 极限状态可以用关于基本变量的极限状态函数( 即功能函数) 来描述 设与结构有关的基本变量为z 1 ，z 。，则结构的极限状态函数( 功能函数) 为 z = 9 0 l ，o 。)( 4 ) 5 而称方程 z = g ( z t ，- ，z 。) = 0( 5 ) 为结构的极限状态方程，它是结构可靠性分析的重要依据极限状态函数所对应的图形( 一 超曲面) 恰好是结构可靠与结构失效的分界： 当z 0 时，结构处于可靠状态； 当z = 0 时，结构达到极限状态( 临界状态) ； 当z 0 时，结构处于失效状态 从工程角度和数学角度两个方面来看，极限状态函数的取值也具有随机性，即z 也是一 个随机变量因此，利用极限状态函数取某值的概率来度量结构的可靠性是一种比较理想的 方式： 极限状态函数取值z 0 的概率越大，则表明结构越可靠； 极限状态函数取值z 0 的概率越大，则表明结构越不可靠 极限状态函数通常是多个基本变量分为两大类t 一类是与结构抗力兄有关的，主要为 材料性能及有关的截面几何尺寸，r = g a ( x ，z 。) ( m ! n ) ；另一类是与结构的作用效应 s 有关的，主要是荷载及各项作用( 内力、变形、位移等) ，s = g s ( x 。+ 一，z 。) ，由于结构的 基本变量的一般是相互独立的事件，于是结构的极限状态函数和极限状态方程可以表示为 z = g 扛l ，一，。) = g a ( = l ，一，z 。) 一舢渖m - r 1 ，一，z n ) = r s z = 9 ( 。l ，一，z 。) = r s = 0 三失效概率与可靠指标 1 失效概率 结构的极限状态函数z = g ( z - ，z 。) 取值z 0 的概率，称为结构的失效概率，记为 毋： p ，= p z o ) 于是结构失效概率的计算可完全转化为相应的概率运算同时，结构的可靠度为p r = p z 0 1 = 1 一p l 若随机变量r ，s 是连续型的，则z = r s 也是连续型的，结构的失效概率可表示为 ， p ，= p z o ) = f o ) = 坛( z ，”) 如曲1 6 ) j y - - z o 式中，f ( z ) 为z 的分布函数，扬( z ，y ) 为相应的联合概率密度，z = y z ，z z ， r ，z s 1 6 ) 式说明失效概率p f 是在失效区域y s 0 内，以益面f z ( z ，们为顶的曲 顶柱体体积 6 当基本变量r 与s 相互独立，则丘( z ，y ) = f s ( x ) a ( y ) ，( 6 ) 式成为 p ，= p z o ) = f o ) = f s ( x ) f r ( y ) d x d y j 口一z s o = l f s ( 班仁f r ( 蜘 = 仁舶协厂徘) 如 由于结构可靠度p r = 1 一p ，所以可通过结构的失效概率来描述结构的可靠性，并以失效概 率值是否小到工程能够接受的程度作为结构可靠与否的判断标准 结构的失效概率与基本变量r 与s 的分布有关，当r 与s 服从正态分布时： r n ( u n ，口；) ，s n ( u s ，口；) ，则z = r s 也服从正态分布，z n ( u z ，口) ，其中，均值 , u z = u r u s ，标准差a z = 、习丽，z 的概率密度函数和发布函数分别为 掷，= 志e 印h 警) 2 卜o o m 踯，= 志仁唧警) 2 卜 经变换u = ! 云笋( r o s e n b l a l t 变换) ，可将此分布函数化为标准正态分布函数形式 踯，= 志卢e 印( 警) 于是结构的失效概率p ，为： p ，= p z o ) = 兄( o ) = 圣( 一薏) ( 7 ) 这就是说，当z 服从正态分布时，可由z 的均值与标准差的商接( 7 ) 式经查标准正态分布 表得到结构的失效概率 2 可靠度与可靠指标 当r 与s 服从正态分布时，由( 7 ) 式可以看出计算结构失效概率p ，的关键是计算z 的 均值与标准差的商令口= 酱= 端，则 毋= 圣( 一卢)( 8 ) 口取正值且与失效概率毋具有一一对应关系，概率分布函数圣是不减函数，当卢增加时， 巧减少，相应地结构可靠度p ，增加，故我们可望直接通过p 值的大小来描述结构的可靠 性，口称为结构的可靠指标 7 目前工程上多采用卢表示结构的可靠程度，虽然可靠指标卢的计算公式是在r 和s 均 服从正态分布条件下得出，但这不影响它的适用性，由于工程中的r 和s 一般都是以基本 变量的和或积的形式组合而成的函数，当r ，s 服从非正态分布时，可以用相应的正态分布 或对数正态分布作为它们的渐进正态分布，就是说，不论r ，s 是否服从正态分布，若能计 算出极限状态函数z = 9 ( 置s ) 的均值u z 和标准差o z ，则结构的可靠指标为 卢= 坚( 9 ) d z 当r ，s 服从正态分布时，( 9 ) 式算出的芦值为精确值，当r ，s 至少有一个不服从正态分布 时，由( 9 ) 式算出的卢值为近似值 3 系统失效概率的一般形式 若考虑到随机变量的预测分布能够得到，则考虑系统不确定性的可靠性分析一般可用下 面的积分式表示 p ，= 7a ( 。) 出 ( 1 0 ) j n 式中，p r 是系统失效概率，9 ( z ) 是系统的极限状态函数，n 表示失效区域9 ( z ) o ，z 是 与结构的抗力r 和结构的作用效应s 有关的随机变量，它包括了所有描述系统不确定性的 变量，厶( z ) 为z 的概率密度函数 8 第二章一次二阶矩法 第一节引言 结构可靠度的计算方法是可靠度理论中的一个重要内容，它涉及到结构可靠度理论在工 程实际中的应用，以及结构的安全性和可靠性的正确评价在结构可靠度的计算方法中，一 次二阶矩法受到广大工程技术人员的欢迎，因此，也得到了迅速发展已经证实一次二阶矩 法是求解非时变荷载下结构可靠度问题的行之有效的近似方法，它既有较高的精度，又有较 高的计算效率对于结构的基本变量来说，最容易获得的统计参效是其均值( 又称为一阶原 点矩) 和标准差( 又称为二阶中心矩) 一次二阶矩法就是在基本变量戤“= 1 ，n ) 的概率 分布尚不清楚中时，采用只有均值和标准差的数学模型去求解结构可靠度的方法它包括四 个方面f 6 】： 1 运用r o s e n m a t t 变换将相关的非正态随机变量转换为相互独立的标准正态随机变量； 2 运用泰勒展开式在验算点( d e s i g np o i n t ) 处对极限状态函数进行线性化处理； 3 以优化理论为基础建立验算点计算格式； 4 逼近验算点以达到失效概率的最佳近似的迭代过程( 其中，重要的一步是极限状态函 数对系统变量的灵敏度的计算) 随验算点选挣方法不同，一次二阶矩法又分为“中心点法，和设计验算点”法两个主要 算法，目前还有一些在此基础上进行了某些改进工作的算法 第二节中心点法 1 中心点法 设结构的极限状态方程为 z = 9 ( x x ，一，n ) = 0 其中，基本变萤嗣( = 1 ，n ) 是相互独立的，统计参数为。均值p 。、标准差如；由 粕( i = 1 ，n ) 生成的空间记为n ，( 乱，z 。) 表示n 中的点，点m = ( 一，如。) n 称为n 的中心点；极限状态方程所对应的曲面将空间f 2 分为结构可靠区和失效区，z = 0 所对应的曲面称为失效边界，中心点位于结构的可靠区内 将极限状态函数z = 9 ( 巩，z 。) 在中心点m = ( 如一，。) 处展开为泰勒级数，并 作线性化处理，得 z z = 9 ( 肠，z n ) + 盖口( ，眠) ( 矿眠) ( 1 1 ) 9 由概率论中随机变量参数估计的计算可知，z 的统计参数为 均值p z = 9 ( p 。：，一，p 。) 标准差口p =恩磊习 由可靠指标的定义，此时结构的可靠指标为 ( 1 2 ) ( 1 3 ) 卢= 等* 等= 了些丝尘焉 ( 1 4 ) 叼、墨。( 毒舭，眠) 吨) 2 一 通过查正态分布表可得到结构的失效概率p i = 中( 一p ) 中心点法的主要弱点在于 ( i ) 没有考虑基本变量的概率分布，而这些分布类型对结构的可靠性是有影响的 ( i i ) 计算式( 1 2 ) ，( 1 3 ) 和( 1 4 ) 是误差传递公式，当极限状态函数是非线性函数时虽然仍 可以由( 1 2 ) 和( 1 3 ) 两式作为统计参数计算公式，但由于作了线性化处理，计算结果的误差 较大，且此误差不可避免 ( i i i j同一个结构往往可以列出几种等价的极限状态方程，不同的极限状态函数在运用 中心点法计算时可靠性的结果可能不一致 ( i v ) 基本变量不服从正态分布和对数正态分布时，计算点结构可靠度与结构的实际情 况出入较大，不能采用 2 中心安全系数k o 设结构的基本变量r ，s 服从正态分布，且相互独立，极限状态方程为 z = g ( a ，s ) = r s = 0( 1 5 ) 这是线性方程，由( 1 2 ) ，( 1 3 ) 式计算z 的统计参数以及可靠指标； 均值p z = 9 ( p 且，i z s ) = p r 一卢s 标准差一z = 1 ( 掣- 一a ) 2 + ( 掣a s ) 2 = 、，厩 结构可靠指标 卢2 薏2 了“霹r i - - 鼋u s ( 1 6 ) 在实际中往往引入“中心安全系数”k o ： 凰：塑 u s 1 0 ( 1 7 ) 应用r 和s 的变异系数如= 器和6 s = 嚣及中心安全系数将可靠指标表示为 臼= 一1 胡硬丽 ( 1 8 ) ( 1 8 ) 式表明结构的可靠指标不仅与中心安全系数有关，而且与基本变量的变异系数有关由 ( 1 8 ) 式可解出 k 。= 生堂1 砭- f 1 婴2 碹盈( 舯刍 1 ) ( 1 9 ) 该式表示了按一次二阶矩理论的中心点法表达的中心安全系数甄，在传统的结构设计中采 用以下准则可达到“水准一”的效果； k o “ss ”r 式中u r ，u s 是设计中选用的荷载效应和抗力的均值 在结构设计中，人们习惯采用规范中变量的标准值( 或公称值) 及设计标准k r k 为安全系数) ，如果能找到s k ，r x 与s 、r 的均值胎、衄的关系：p s = a s s k ，p r = h r k ， 则可得到安全系数的关系k = 磐j 岛，利用此关系可按规范进行设计，当然它已不再是传 统的了 第三节验算点法 1 验算点法 由于基本变量的均值作为坐标的中心点位于结构可靠区内部，所以运用泰勒级数进行线 性化处理时略去高阶项的误差随线性化点到失效边界的距离增加而增大针对这种情况，选 择在失效边界z = 0 的某点处将极限状态函数展开为泰勒级数，以避免这种形式的误差 验算点法就是这类改进方法 设点p ( z 1 ，z 。) 为极限状态方程z = 0 所对应的曲面上的点，d ( p m ) 为点p 到中 心点m ( ，p 。) 的距离，则使r a i n d ( 只m ) 的点p + 称为设计验算点，简称为验算点， 记为p ( z i ，z ：) 显然验算点的坐标满足 z = g ( 。：，一，z ：) = 0 运用泰勒级数在验算点处对极限状态函数作线性化处理，得 ( 2 0 ) 毪 。：i + = | 甄 堕。 竺 。“ = 按( 2 0 ) 计算z 的统计参数以及可靠指标 均值一n 9 ( z i ， 心一蚤i = 1 标准差。z 。=凰砭手可 结构可靠指标口：丝二： 盯z ， ：。型毫监( p 。一z ：) 压玎啄互可 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 在( 2 3 ) 式中，z ：，芦均是未知的为了求出。：，卢，引入敏感系数叫 一j 型垒 ( 2 4 1 2 4o i = 一 ! = 皇： ( 1 、：- ( 掣饥；) 2 可知，h | 0 蠹1 x 饥器1 址。饥。 面丽一瓦习 ( 3 0 ) - - + 0 ( 3 1 ) o “一a t 一1 i f 2 - + 0 ( - o 。) ，i = 1 ，一，n( 3 2 ) 上式成立的原因是对任意o 有l o 。is1 ，所以i o “+ o 一l i i 2 将( 3 2 ) 的几个不等式相 加，并且利用对任意 ，有：。( n + 1 ，i ) 2 = 1 ，有 即 2 2 i o ld 一1 1 + + a n n 一1n 0 a t o t k 一1 1 + + a k o 一ln - - + 1 妻_ 量三： _ 盘。1 ( k - - * o c ) ( 3 3 ) 暑( 冬。( 老l ) 2 ) 5 ( ：。( 普f 。) 2 ) 。 、 令 老0 ”，。吲如，) 7 1 5 墨l 饥= d k _ l t , 昧，叫一，“刊一一7 则( 3 3 ) 式可简写为 一 i d k i l i d x i i ( 3 4 ) 其中， 表示向量d k ，d k l 的欧氏内积，i ii i 表示向量的欧氏范数 由相西施瓦茨不等式，总有 i ! l d k | | | | d k 一1 ( 3 4 ) 要成立的话，就有；当耳充分大时，d k 与d k 一- 要接近线性相关，即当k 充分大 时，存在数a 0 ，使 d k = a d k l ( 3 5 ) 近似成立 即 老卜。烈一扛b 硼( 3 6 ) 由以上分析可以看出，小轮迭到是为求得一个较为稳定的解，当9 ( z ) = 0 为线性方程或非 线性程度不高时，则小轮迭代容易完成，因为v g ( = t ) 的值前后两次摆动不会很大，但是， 若g ( z ) = 0 非线性程度较高，则难以得到稳定解，因为对于不同的z ：点，v 9 ( z ：) 的值变 化很大，在文【9 ，【1 0 ，【1 1 中都举出了用该法迭代不收敛的例子 第四节一次二阶矩法的弱点 1 一次二阶矩法的弱点 一次二阶矩法的基本点是将极限状态函数9 ( z ) 在计算点处线性化，将可靠指标解释为标 准正态空间中极限状态面上的点到坐标原点的最短矩离，通过迭代方法求出最几失效点随 着研究工作的深入，一次二阶矩阶显示出下列五大弱点： ( 1 ) 由于采用r o s e n b l a t t 变换，只能处理连续型随机变量 ( 2 ) 计算过程中功能函数的一阶偏导数的计算较为困难 ( 3 ) 迭代序列存在不收敛的可能性 ( 4 ) 计算中需要知道联合概率密度函数及功能函数的具体表达式，当考虑参数不确定性 进行动力可靠性分析时难以处理 ( 5 ) 由于将功能函数在计算点线性化，所以当功能函数的非线性程度较高时，计算精度 和计算速度都难以满足要求 1 6 2 一次二阶矩法的改进 采用高阶矩正态化方法可望解决弱点( 1 ) ，文献【1 2 ，【1 3 有这方面的研究 文献【14 】利用协方差矩阵构造虚拟变量，该法在迭代过程中不需要计算功能函数的一阶 偏导数，是一种比较实用的迭代方法文献 1 0 】在迭代过程中引进一个参数a ，该参数的选 取视功能函数的非线性程度而定，该法加快了迭代的收敛速度，扩大了迭代的收敛范围 文献 15 和 1 6 着重讨论了随机变量统计相关的情形，并提出了相应的实用分析方法， 扩大了现有可靠度分析的适用范围 当随机变量不服从正态分布时，文献 17 】提出了一种比当量正态化更精确的方法但该 法在实际运用中较繁琐，若非正态随机变量的概率分布函数不存在显式，则采用当量正态化 比较困难，文献【18 提出原始随机空间内可靠度分析的一次和二次方法，该法不使用随机变 量的概率分布函数而只使用概率密度函数，降低了对初始条件的要求 文献【1 9 和 2 0 对可靠指标采用优化方法求解，开辟了求解卢的一种新的途径 当极限状态方程非线性程度较高时，必须考虑非线性项，文献【2 1 】提出了基于l a p l a c e 逼近原理的渐近可靠度分析方法，考虑了二次非线性项的影响，文献【2 2 】将功能函数运用泰 勒级数展开到二次项，获得了局部性的结果 大型复杂结构的内力和位移一般要用有限元方法进行分析，这时结构的响应与结构上作 用荷载之间的关系不能再用一个显示来表达，当对结构进行可靠度分析时，极限状态方程也 不再是一个显式，从而造成迭代的困难文献 2 3 】提出了与结构可靠度几何法相结合的响应 面法，给出了新的计算迭代格式该法便于与通用的有限元软件联接 文献 2 4 】和【6 将一次二阶矩法推广为处理时变荷载下的可靠性问题，特别是后者，引 入一个并不需要知道分布的随机变量，在实际中便于运用 第五节算例 例假定钢架承受确定性的弯矩m = 1 2 8 9 k nm ，钢梁截面的塑性抵抗矩w 和屈服强 度，都是随机变量，已知其分布类和统计参数 抵抗矩：正态分布，。= 8 8 4 9 1 0 “m 3 ，口。= o 0 5 屈服强度，：对数正态分布，, u f = 2 6 2 m p a ，o i = o 1 0 用中心点法和j c 法计算钢梁的 可靠指标口 【阚1 中心点法 ( 1 ) 取用抗力列式的功能函数 z = 一m = l 一1 2 8 8 0 0 1 7 p z , u fp u 一1 2 8 8 0 0 = 1 0 3 0 4 38 ( 1 v m 1 口z2 、p ，：口”，+ 磕j ；= 2 5 9 2 0 9 ( n m ) d ：丝：3 9 7 5 ( 2 ) 取应力列式的功能函数 z ：，一丝 p z 肛，一丝= 1 1 6 4 4 5 m 尸口 p 2 p ，一石= 1 1 6 4 4 5 埘尸。 一z z ：丽：仁i i 再：z ，。m p 。 口：丝：4 2 8 3 计算说明，对于等价的极限状态方程，用中心点法计算的值不相同 2 j c 法 w 为正态变量，= 8 8 4 9x1 0 6 m 3 ，口。= 4 4 2 4 5 1 0 8 m 3 ，为对数正态变量，在验算点( ，t * ) 处的当量正态变量，相应的统计参数 一厂1 - l n f + i n = ，。s t 一n ，+ 卿a ， 口，= ，l n ( 1 + 呼) = 0 0 9 9 7 5 j ( m p a ) 采用逐次迭代法，卢的初始值取0 ，相应的验算点初始位置( p ，) 将迭代求解过程列表如 下，最后得卢= 5 1 6 9 ，即失效概率p ，1 0 1 0 w 口 26 2 e + 8l6 0 9 e + 8l7 2 0 e + 8 88 4 e 4 42 6 9 80 0 7 e 4 51 6 l 74 8 8 e 4 51 6 9 第三章优化算法 第一节求解结构可靠指标卢的优化模型 1 引言 一次二次矩法是国际工程界公认的一种较好的可靠度分析方法，这种方法具有迭代格式 简单，收敛快的特点，但如前所述，这种方法只适用于功能函数非线性程度不高的情况，否 则，就不收敛 为了克服这种弱点，我们从芦的几何意义出发，利用现有的优化理论来求解卢在下面 的讨论中，我们讨论的是随机变量相关的情形，考虑的分布则是随机变量均服从正态分布， 若随机变量不服从正态分布，可以利用第二章的( 2 8 ) ，( 2 9 ) 式事先作当量正态化处理 2 求解口的优化模型 文献【2 5 详细论述了结构可靠指标p 的几何意义t 若影响结构的各种因素即随机变量是 相互独立，且各随机变量均服从标准正态分布，则结构可靠指标p 为原点到极限状态超曲 面( 失效面) 的最短矩离 为了下面讨论的方面，我们先如下定义 定义1 ：设随机向量y = ( 弧，h ) 7 ，各随机变量y i 均服从标准正态分布，即y t n ( o ，1 ) ，i = 1 ，n ，且各随机变量是不相关的，这样的随机向量空间y 就称为正则化空间 设随机向量z = ( z l ，z 。) r ，各随机变量q 之间相互独立，且均服从正态分布，即瓢 一n ( z z i ，口：。) ，其中e q ，a 。分别为随机变量戤的均值和标准差，作变换 y i ：z i - e z i( 1 ) o z t 则随机变量玑的统计参数为 均值e 玑：e z - i - e x i ：0 ( 2 ) 一2 方差a 轰= = 1 ( 3 ) 由( 2 ) ( 3 ) 可知，变换( 1 ) 将随机向量空间x = ( 。l ，z 。) 7 变换成正则化空间y = ( l ，y n ) 7 下面，我们考虑更一般化的随机向量空间x 设随机向量x = ( z h ，z 。) 7 ，各随机向量是相关的，且各变量均服从正态分布，一 n ( e x i ，口：。) ，i = 1 ，一，n ， 1 9 设x = ( z - ， ，z n ) 7 的协方差矩阵为b 。= ( a 。j ) 。，其中 盯”= c o v ( x i ，q ) = 刀( 一e q ) ( z ，一e x j )t ，j = 1 ，n 这里，我们假定矩阵b 。是满秩的 由概率论知识可知，b z 为对称正定矩阵，由线性代数的理论可知，存在矩阵0 r 使得 q b = q 7 = a 其中a 为对角矩阵，对角元为k 的特征值，显然都是大于零的 令 x = 0 x ( 4 ) 其中x ，- ( z i ，z ：) 7 由概率论可知，x 的协方差矩阵风一： b = q b 。矿= a 不妨设b 一2 k k r ，显然耳是对角阵，且k = ( l ：) 。，z ：为z ：的标 其中2 ( ，n ) 7 ，y t = 古( z ：一e z ：) ，江1 ，n 则向量g 的各变量的统计参数为， 均值 e y l = 专( e z ：一e z ：) = 0 ，i = 1 ，n f 1 方差q 2 哥2 1 ，i = 1 ，n 因此，向量y ：( 9 1 ，y 。) 7 的各变量均是服从标准正态分布的 2 0 定理2 变换( 5 ) 将相关的正态随机向量z = ( z 一，。) 7 ，跏一( 忍。，程) ，变换成独 立的随机向量y = ( y l ，y n ) 7 ，且y 。一g ( o ，1 ) ，因此，变换( 5 ) 将一般的正态随机向量空 间x 转换成正则化空间y 设随机向量x = ( z i ，。) 7 满足极限状态方程 g ( z ) = g ( z t ，z 。) = 0( 6 ) 由( 5 ) 得 k y = q ( x e x 、 即 x = q 。k y + e x( 7 ) 用( 7 ) 代入( 6 ) 式 g ( z ) = g ( q “k y + e x ) = h ( y ) = 0 ( 8 ) 接下来，我们讨论求解口的优化模型 由结构可靠指标口的几何意义，考虑下面优化模型 f r a i n f ( y ) = y t y 1 “日( y ) ：o ( p 1 ) 设( p 1 ) 的最优解为y ，则p = ( y 7 y + ) ；，又 y 7 y = k q ( x e x ) 7 陋q ( x e x ) = ( x e x ) 7 q 一1 k 一7 k 一1 q ( x e x ) = ( x e x ) 7 0 1 b x q ( x e x ) = ( x e x ) 7 q 一1 q b i l 0 1 q ( x e x ) = ( y e x ) 7 b y ：1 ( y s x ) 所以，( p 1 ) 的等价优化模型为 竺7 嘉等删严颤1 弘肷 设( p 2 ) 的最优解为z + ，则 口= ( x 一e x ) 7 口；1 ( x 一e x ) 5 ( 9 1 定理3 结构可靠指标卢可以用( 9 ) 式求解，其中x + 为优化问题( p 2 ) 的最优解，b x 为随机向量x 的协方差矩阵，e x 为随机向量x 的均值向量 第二节 求解p 的拉格朗日乘子的算法及算例 由最优化理论可知，有如下定理： 定理4 设x 是优化问题( p 2 ) 的局部极值点，还假定x 是约束9 ( z ) = 0 的正则点 则存在a r ，使得 v f ( x ) + v g ( x + ) = o ( 1 0 ) 考虑到( p 2 ) ，有 2 b i l ( x 一e x ) + a v g ( x 。) = 0 ( 1 1 ) 及 g ( x + 、= 0 若功能函数g ( x ) 是线性的，方程组( 1 1 ) 就是一个关于x ，a 的n + 1 个未知元，n + 1 个 方程的方程组，可以用解线性方程组的方法求解，若9 ( z ) 不是线性的，则方程组( 1 0 ) 为非 线性方程组 考虑( 1 0 ) 的j a c o b i 矩阵 即，壮l2 b x + a v 甲2 9 ( v g ( xf 鲥0 ) ( 1 2 ) 【) 1j v 2 9 ( x + ) 为函数g ( x ) 在点x 。