（运筹学与控制论专业论文）脉冲微分系统的稳定性和可控性.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 脉冲微分系统的研究始于2 0 世纪6 0 年代，研究的资料表明它已渗透到信息科学、 控制系统、生命科学等众多领域，具有非常重要的理论研究意义和实际应用价值本文 主要利用不同的方法，如向量l y a p t m o v 函数法，锥值l y a p u n o v 函数法，变异l y a p u n o v 函数法，比较原理等，来研究脉冲微分系统的稳定性以及脉冲控制微分系统的稳定性和 可控性 全文共分五个部分，具体的内容概述如下： 第一章，介绍了脉冲微分系统在众多领域中的广泛应用，说明了研究该类问题的理 论意义与实用价值简要地介绍了脉冲微分系统理论的发展，以及稳定性理论的发展和 研究概况 第二章，作为预备知识，主要介绍了脉冲微分系统的一些基本概念，也介绍了与脉 冲微分系统解的稳定性相关的一些结果 第三章，主要讨论了固定时刻的脉冲微分系统解的稳定性利用两个l y a p u n o v 函 数方法讨论了脉冲微分系统平凡解的稳定性和渐近稳定性；选择适当的锥，在锥上利用 两个l y a p u n o v 函数的方法，讨论了脉冲微分系统平凡解的九一稳定性和渐近九一稳定 性；根据变异l y a p u n o v 函数的方法，利用未扰动的微分系统的稳定性推断脉冲微分系 统的稳定性对于每一种稳定性，都给出了判定准则 第四章，利用比较原理讨论了固定时刻的脉冲微分系统的两测度严格一致稳定性以 及变化时刻的脉冲微分系统平凡解的严格一致稳定性，并给出了它们稳定性的判定准 则：另外，利用一种类似于向量l y a p u n o v 函数的方法研究了固定时刻的脉冲微分系统 平凡解的严格一致l i p s e h i t z 稳定性，同时给出了稳定性成立的充分条件 第五章，在讨论了上述稳定性的基础之上，把上述方法应用到脉冲控制微分系统上 首先利用两个l y a p u n o v 函数方法研究了固定时刻的脉冲控制微分系统平凡解的稳定性 和渐近稳定性，得到了相应的稳定性的判定准则；其次，利用比较原理研究了变化时刻 的脉冲控制微分系统非平凡解的一致稳定性和系统的可控性，给出了相应性质成立的充 分条件：最后，根据变异l y a p u n o v 函数方法研究了固定时刻的脉冲控制微分系统的两 测度稳定性和系统的可控性，并给出了稳定性和可控性成立的判据 关键词：脉冲微分系统；脉冲控制微分系统；稳定性；可控性 大连理工大学博士学位论文 s t a b i l i t ya n dc o n t r o l l a b i l i t yo f i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m s a b s t r a c t n l er e s e a r c ho fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sb e g i n si nt h e1 9 6 0 s al o to fr e s e a r c h m a t e r i a l sh a v es h o w nt h a ti m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sw h i c hh a v ev i t a lt h e o r e t i c a l s i g n i f i c a n c ea n dp r a c t i c a lv a l u e ，h a v eb e e ni n v o l v e di nm a n yf i e l d s ，s u c ha si n f o r m a t i o n s c i e n c e s ，c o n t r o ls y s t e m s ，l i f es c i e n c e sa n ds oo n i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，d i f f e r e n ta p p r o a c h e s ， s u c h 砧v e c t o rl y a p u n o vf u n c t i o n , c o n e - v a l u e dl y a p u n o vf u n c t i o n , v a r i a t i o n a ll y a p u n o v f u n c t i o n c o m p a r i s o np r i n c i p l ea n ds oo n , a r ee m p l o y e dt os t u d yt h es t a b i l i t yo fi m p u l s i v e d i f f e r e n t i a ls y s t e m sa n dt h es t a b i l i t ya n dc o n t r o l l a b i l i t yo fi m p u l s i v ec o n t r o ld i f f e r e n t i a l s y s t e m s t h ed i s s e r t a t i o ni n c l u d e sf i v ec h a p t e r s ，w h i c hi ss u m m a r i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e ri ，t h ew i d ea p p l i c a t i o n so fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sa r ei n t r o d u c e d ， w h i c h s h o w st h et h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n dp r a c t i c a lv a l u eo f t h er e s e a r c h t h ed e v e l o p m e n t o fi m p u l s i v et h e o r yi si n t r o d u c e d ，s oa l et h ed e v e l o p m e n to fs t a b i l i t yt h e o i ya n di t sr e s e a r c h o u t l i n e c h a p t e ri i ，a sp r e l i m i n a r i e s ，i n t r o d u c e s s o n l ef u n d a m e n t a lc o n c e p t so fi m p u l s i v e d i f f e r e n t i a ls y s t e m sa n ds o m er e l a t e dr e s e t st ot h es t a b i l i t yo fs o l u t i o n so fi m p u l s i v e d i f f e r e n t i a ls y s t e m s t h es t a b i l i t i e so fs o l u t i o n so fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hf i x e dt i m e sa r e f o c u s e do ni nc h a p t e ri i i t h es t a b i l i t ya n dt h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft r i v i a ls o l u t i o no f i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sa r es t u d i e db a s e do nt w ol y a p u n o vf u n c t i o n s b yc h o o s i n ga p r o p e rc o n e ，t h e0 一s t a b i l i t ya n dt h ea s y m p t o t i c 0 一s t a b i l i t y o ft r i v i a ls o l u t i o na r e i n v e s t i g a t e do nt h eb a s i so ft w ol y a p a n o vf u n c t i o n s b yu t i l i z i n gt h ev a r i a t i o n a ll y a p u n o v f u n c t i o n ，t h es t a b i l i t yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m si so b t a i n e da c c o r d i n gt ot h es t a b i l i t yo f t h ec o r r e s p o n d i n gd i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t h o u ta n yp e r t u r b a t i o n c o r r e s p o n d i n gt oe a c h s t a b i l i t y ，t h ec r i t e r i o ni sg i v e n i n c h a p t e ri v ，f o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hf i x e dt i m e s ，t h es t r i c tu n i f o r m s t a b i l i t yi nt e r m so ft w om e a s u r e si ss t u d i e db yt h ec o m p a r i s o np r i n c i p l e ，a n ds oi st h es t r i c t u n i f o r ms t a b i l i t yo ft r i v i a ls o l u t i o no fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m s 、i mv a r i a b l et i m e sb y t h es a m em e t h o d 1 1 1 ec o r r e s p o n d i n gc r i t e r i at ot h es t a b i l i t i e sa r eg i v e n f u r t h e r m o r e a n a p p r o a c ha n a l o g o u st ov e c t o rl y a p u n o vf u n c t i o ni su s e dt oi n v e s t i g a t et h es t r i c tu n i f o r m l i p s c h i t zs t a b i l i t yo f t r i v i a ls o l u t i o no fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i 1f i x e dt i m e s t h e s u 伍c i e n tc o n d i t i o n st l l a te n s u r et h es t a b i l i t yt oh o l da r eg i v e n i i i 脉冲微分系统的稳定性和可控性 i nt h ef i n a lc h a p t e r , s o m ea p p r o a c h e sm e n t i o n e da b o v ea r ea l s ou t i l i z e dt od e a lw i t h i m p u l s i v ec o n t r o l d i f f e r e n t i a l s y s t e m s i nt h i sc h a p t e r ，t h es t a b i l i t ya n dt h ea s y m p t o t i c s t a b i l i t yo ft r i v i a ls o l u t i o no fi m p u l s i v ec o n t r o ld i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hf i x e dt i m e sa r ei n s t s t u d i e da n dt h ec o r r e s p o n d i n gc r i t e r i a a r e 西y e n t h e nt h eu n i f o r ms t a b i l i t ya n dt h e c o n n o l l a b i l i t yo fi m p u l s i v ec o n t r o ld i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hv a r i a b l et i m e sa r ed i s c u s s e do n t h eb a s i so fc o m p a r i s o np r i n c i p l ea n dt h ec o r r e s p o n d i n gs u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e n f i n a l l y ，a c c o r d i n gt ov a r i a t i o n a ll y a p u n o vf u n c t i o n ，t h es t a b i l i t yi nt e r m so ft w om e a s u r e s a n dt h ec o n 廿o l l a b i l i t yo fi m p u l s i v ec o n t r 0 1d i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hf i x e dt i m e sa r e i n v e s t i 【g a t e d ，a n dt h ec o r r e s p o r i d i n gc r i t e r i aa r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m ；i m p u l s i v ec o n t r o ld i f f e r e n t i a ls y s t e m ； s t a b i l i t y ；c o n t r o l l a b i l i y i v 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名 日期： 大连理工大学博士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，厨意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者繇赵海遗 导师签名：鸿孚氏 大连理工大学博士学位论文 1 绪论 本章介绍了脉冲微分系统在众多领域中的广泛应用，说明研究该类问 题的理论意义与实用价值简要地介绍了脉冲徽分系统理论的发展，以及 稳定性理论的发展和研究概况同时列出本文取得的主要结果 1 1前言 在许多实际问题中，会遇到非常复杂的运动过程，表达运动规律的函数往往不能直 接得到但是如果根据问题所给的条件，有时可以得到含有自变量与未知函数及其导数 ( 微分) 的关系式，这样的关系式就是微分方程例如：物体做自由落体运动时，所经过 的路程s 与时闻的关系式【1 1 很明显，这类问题所涉及的运动过程是光滑变化的然而，自然界及科学技术中的 许多发展过程具有这样的特点t 在发展的某些阶段由于某些干扰，会出现快速的变化， 并且干扰及突变过程同整个发展过程相比是非常短暂的，可认为是瞬间发生的这类问 题在数学模拟中。为了方便，常常忽略快速变化持续的时间而假设这个过程是瞬间完成 的，这种突变现象通常称为脉冲现象因此，像这样存在脉冲现象的发展过程其数学模 型往往可归结为脉冲微分系统，即需要用脉冲微分系统来描述和研究【2 】 脉冲微分系统最突出的特点是能够充分考虑到瞬时突变现象对状态的影响，能够更 深刻、更精确地反映事物的变化规律因此，随着科学技术的突飞猛进，人们越来越认 识到脉冲微分方程的重要性以及在实践中的应用价值脉冲微分方程不但深入到自然科 学当中，如航天技术、信息科学、控制系统、通讯，网络问题、生态平衡、遗传、流行病 等，而且也涉及到社会科学，如利率控制问题、商业销售问题、资本主义经济的周期性危 机以及工业生产管理等总之，科学和技术的许多领域的变化规律都可以通过脉冲微分 方程来刻画或描述【3 】 另外。与一般无脉冲的微分方程相比较，脉冲微分方程理论研究的内容极为丰富 例如，即使给定的方程是充分光滑的，如果加上脉冲之后，它的初值问题的解也可能是 不存在的；对于微分方程成立的解的一些基本性质如解对初值的连续依赖性等可能也不 再成立；解的稳定性等的定性性质也需要重新建立除此之外，脉冲微分方程的解还可 能产生一些新的现象，如解的脉搏现象、解的合并、解的不可延拓性等等1 4 - 6 1 所以，无 论是脉冲微分方程理论研究，还是脉冲微分方程在各个领域中的应用，都将有着极为广 阔的前景 脉冲傲分系统的稳定性与可控性 1 2脉冲微分方程发展概况 1 2 1 脉冲微分方程理论的发展 脉冲微分方程理论是在1 9 6 0 年由m i l m a n 和m y s h k i s 7 在他们合作的论文o nt h e s t a b i l i t yo fm o t i o ni nt h ep r e s e n c eo fi m p u l s e s 中开创性的提出，并因此为数学界增添了 一个新的数学分支时至今日，经过四十多年来的研究，关于脉冲微分方程解的存在性， 唯一性，解对初值的连续依赖性，解的稳定性，l y a p u n o v 方法，边值问题解的存在性， 唯一性，周期解以及解的动力学系统性质，分歧理论，时滞脉冲微分方程，泛函脉冲微分 方程等等，已经有一个比较完整的初形脉冲微分系统的理论发展主要经过下面几个阶 段 2 】， 自2 0 世纪8 0 年代，脉冲微分系统逐渐引起微分系统学者、专家的关注并致力于从 理论上对其进行研究1 8 】，到8 0 年代末对其研究已经有了一些重要的成果发表譬如，关 于依赖于状态的脉冲微分系统解的基本理论已建立，关于脉冲微分不等式的一些重要的 结果已出现，关于脉冲微分系统稳定性理论的基本定理已经得到等这一阶段所考虑的 系统只含脉冲而不含时滞 1 9 8 9 年，l a k s h m i k a n t h a m 等人【9 】著t h e o r yo fi m p u l s i v e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 一书对这一阶段的结果进行了系统的总结，标志脉冲微分方程从 常( 偏) 微分方程中分离出来，自此脉冲微分方程的理论研究吸引了国内外的众多学者 自9 0 年代以来脉冲微分系统更加引起微分系统学者专家的重视与兴趣，对其研究日 趋活跃，如l a k s h n d k a n t h a m ，b a i n o v ，s i m e n o v ，l i ux i n z h i 等系统研究了n 维欧式空闻脉 冲系统解的存在性、正则性，初边值问题、系统稳定性、振荡性、比较原理等理论【1 ”1 q ； 傅希林，阎宝强等一些作者继具有界滞量的脉冲微分系统解的存在性研究取得了重要成 果以来，建立了具有无穷延滞的脉冲泛函微分系统解的存在性定理 1 3 , 1 4 ；燕居让【1 5 】考 虑了一类高阶非线性时滞微分方程的广义振动性和广义非振动性，给出了该类方程广义 振动和广义非振动的判定定理；等等脉冲微分系统已逐渐形成非线性微分系统研究领 域的国际新热点脉冲微分系统作为非线性微分系统领域的一个新分支，在脉冲微分系 统的解的基本理论 1 8 - 3 1 】、边值问题【骝一秘】、稳定性理论 6 9 - 7 6 等方面都获得了很大程度 的进展尤其包含了一批含有时滞的脉冲微分系统理论研究成果，如得到了具有界滞量 或无穷延滞的脉冲微分系统解的唯一性定理、整体存在性定理、延展定理及解的连续依 赖性定理；建立了具依赖于状态的脉冲微分系统的比较原理；利用高阶导数y 函数法， 变分y 函数法，部分变元y 函数法等新方法，给出了脉冲摄动微分系统、脉冲混合微分 系统、脉冲泛函微分系统等关于两个测度的稳定性定理；建立了变动时刻的脉冲微分系 统的周期边值问题；有限区间上和无穷区间上二阶脉冲微分系统的边值问题以及具有无 大连理工大学博士学位论文 穷延滞的脉冲泛函微分系统的边值问题等也出现了许多无限维欧氏空间及b a n a c h 空间 中的结果，如；a h m e d 7 7 , 7 8 】、k a u l 、l i ux i n z h i 7 6 】、董玉君等研究了b a n a c h 空间 中半线性脉冲系统适度解的存在性、正则性、系统的稳定性；c o o k e ” 给出周期解的存 在性结果；孙金丽吲、郭大均l 鹅】、申建华等 s l , s 2 l 讨论了非线性脉冲系统初值、边值问 题新的极大值原理、无限时滞泛函脉冲系统的稳定性和有界性；傅希林、刘衍胜等【”，8 目 得出可变时间脉冲系统极限环的存在性和广义比较原理另外，脉冲偏微分系统也引起 了不少学者的兴趣和关注阻一叫 在与其他学科的交叉研究中，陈兰荪、马知恩等【9 5 9 吲研究了脉冲微分方程理论在流 行病学及种群生态学中的应用，脉冲时滞微分方程在草原生态系统中的应用；b o b i s u d l 9 7 1 ， 王克等f 9 q 研究了种群脉冲系统的拟稳态解和周期解；a b d e l k e rl a 3 c m e c h e 考虑了医药 学中新陈代谢的非线性脉冲模型，得出疾病稳定性条件及系统非平凡解的分歧理论，但 具有时滞的脉冲微分方程和一般脉冲方程在种群动力学和流行病动力学方面的应用研究 还刚刚起步 1 2 2 脉冲微分方程的分类 脉冲微分方程可进行如下分类t ( 1 ) 按脉冲时闻可分为z 具有固定脉冲时刻的脉冲徽分方程和具有非固定( 变化) 脉冲时刻的脉冲微分方程 ( 2 ) 按方程类型可分为： 脉冲常微分方程、脉冲时滞常微分方程、脉冲积分方程和脉冲偏微分方程等 ( 3 ) 从研究内容上，大体可分为t 脉冲微分方程( 包括常微分方程、时滞常微分方程、偏微分方程) 基本理论研究；脉 冲微分方程稳定性理论研究；脉冲微分方程振动性理论研究；脉冲微分方程初边值问题 研究；脉冲偏微分方程其它方面的研究；脉冲微分方程理论在其它学科中的应用 1 3 稳定性理论的发展 稳定性概念的出现已经有悠久的历史从1 8 世纪下半叶，即1 7 6 5 年j w a t t 改进 了t n e w c o m e n 发明的蒸气机，引发了工业革命，到1 9 世纪末，发生了一些重要的事 件，如，j l l a g r a n g e1 7 8 0 年出版分析力学，科学地讨论了平衡位置的稳定性； c h e r m i t e1 8 5 6 年建立了关于多项式对根交错的理论；j c m a x w e l l1 8 6 8 年发表的“论 调节器”，讨论了蒸气机自动调速器与时钟机构的运动稳定性；a l c a u c h y 在1 9 世纪 脉冲微分系统的稳定性与可控性 给出了关于极限描述的e 一6 、e 一语言；h p o i n c a r e 在微分方程定义的积分曲线和 天体力学方面作出了贡献；以及g p e a n o ，i b e n d i x s o n 和g 。d a r b o u x 研究微分方程解 对初值及参数连续依赖性这些重要的事件及相关科学的进展促成了稳定性理论的丽个 主要学派的形成：r o u t h ( 1 8 7 5 ) 和h u r w i t z ( 1 8 9 5 ) 通过判断系统的特征根是否在左半平面 来判定系统是否稳定；以及a m l y a p u n o v 于1 8 9 2 年发表著名的博士论文运动稳定 性一般问题，通过考察系统能量是否衰减来判定稳定性f 1 删 a m l y a p u n o v 著名博士论文的发表。被认为是稳定性理论的发展进程中最伟大的 事件在这一历史性著作中，l y a p u n o v 研究了平衡状态及其稳定性、运动及其稳定性、 扰动方程的稳定性，得到了系统= f ( t ，z ) 的给定运动z = 咖( t ) ( 包括平衡状态x = 。) 的稳定性。等价于给定运动。= ( t ) ( 包括平衡状态z = 。) 的扰动方程圣= - ，( ，) 的原 点( 或零解) 的稳定性 z 0 1 在上述基础上。l y a p u n o v 提出了两类解决稳定性问题的方法，即l y a p u n o v 第一方 法和l y a p u n o v 第二方法第一方法是通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，即通过 分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性；第二方法被称为 直接方法，无需求解困难的非线性微分方程，这一方法在学术界广泛应用，影响极其深 远第二方法是l y a p u n o v 从类似于系统总能量的物理概念得到启发提出来的他通过后 来被人们称为l y a p u n o v 函数的概念，将一般n 阶微分方程组中扰动解渐近性质的讨论 归结为讨论一个标量函数( l y a p u n o v 函数) 及其对系统的全导数的一些特性的研究，成 功地避开了讨论n 阶微分方程组解的困难，从而建立了稳定性理论研究的框架，奠定了 稳定性理论的基础 l y a p u n o v 第二方法是整个稳定性理论的核心方法，l y a p u n o v 于1 8 9 2 年所提出的稳 定性定理、渐近稳定性定理及两个不稳定性定理，奠定了运动稳定性的基础。被称为基 本定理。 随后，马尔金、切塔耶夫及彼尔西箍斯基等人对l y a p u n o v 稳定性定理、一致渐近稳 定性定理及不稳定定理作了若干改进，使l y a p u n o v 第二方法的理论更趋完善 近年来，稳定性理论得到了国内外学者的广泛关注，巴获得了蓬勃的发展；而且。 由于种种理论和实践方面的原因和需要，l y a p u n o v 稳定性的概念已经衍生出多种新的 概念，它们具有非常重要的研究价值如： 1 9 6 9 年。l a k s h m i k a n t h a m ，l e e l a 对常微分方程引入了最终稳定性的概念( e v e n t u a l s t a b i l i t y ) 1 叫 1 9 8 8 年，m a r t y n y u k 对一类混合系统，给出了它的实用稳定性( p r a c t i c a ls t a b i l i t y ) 条 件【1 叫；1 9 9 0 年，l a k s h m i k a a t h a m ，l e e l a 和m a r t y n y u k 在他们的著作p r a c t i c a ls t a b i l i t y 4 _ 大连理工大学博士学位论文 o fn o n l i n e a rs y s t e m 中首次系统的研究了实用稳定性的理论 1 叫；1 9 9 6 年。b a i n o v 和 s t a m o v a 研究了具有可变脉冲扰动的微分差分方程解的实用稳定性1 1 删；等等 1 9 8 6 年，d a n n a n 和ma ：y d i 研究了非线性微分方程的l i p s c h i t z 稳定性【1 删；1 9 9 1 年， f 1 1y 研究了泛函微分方程的l i p s c h i t z 稳定性【”q ；2 0 0 4 年s o l i m a n 根据扰动l y a p u n o v 函数方法研究了泛函微分系统的l i p s c h i t z 稳定性1 1 明】；k u l e v 和b a i n o v 将l i p s c h i t z 稳定 性概念推广到脉冲微分系统 1 0 9 , 1 1 q s o l i m a n 在2 0 0 2 年把最终稳定性的概念推广到脉冲微分系统，根据l y a p u n o v 直接 方法和比较原理研究了扰动的脉冲微分系统的最终l i p s c h i t z 稳定性【1 1 1 】2 0 0 4 年。s u n j 研究了脉冲微分系统的一致最终l i p s c h i t z 稳定性【“q l a k s h m i k a n t h a m 等人在1 9 9 8 年发展了严格稳定性( s t r i c ts t a b i l i t y ) 的概念，并给出 了微分系统严格稳定的一些充分条件【“目 2 0 0 1 年，l a k s h m i k a n t h a m 和z h a n gy 研究了时滞微分系统的严格实用稳定性 1 1 4 1 l i u b ，l i u x 和l i a o x 研究了不定脉冲动力系统的鲁棒稳定性( r o b u s t s t a b i l i t y ) i n s a k p a n 等人在锥值l y a p u n o v 函数的意义下，对常微分系统引入了曲。一稳定性，并 建立了关于曲。一稳定性的充分和必要条件i n s 1 9 9 7 年，s o l i m a n 研究了非线性常微分方程的最终o 一稳定性【“t l ；2 0 0 4 年，他又 研究了脉冲扰动系统的最终一稳定性i n s 2 0 0 1 年。e l - s h e i k h ，s o l i m a n 和a b d a l l a 利用锥值l y a p u n o v 函数和比较原理研究了 非线性常微分方程的咖。一相对稳定性和九一部分稳定性 1 l g s o l i m a n 研究了泛函微分 系统l ”q 以及微分方程比较系统的l i p s c h i t z 稳定性【1 2 ” 另外，还有集合稳定性( s t a b i f i t yo fs e t s ) 1 铡、 ，o 一稳定性等等 还有一种稳定性理论，即所谓的依照两种测度的稳定性理论( s t a b i l i t yt h e o r yi nt e r m s o ft w o m e a s u r e s ) ，它是将多种已知的概念统一起来，包括在单一的理论框架内的一种稳 定性概念l a k s h m i k a n t h a m 和l i ux z 专门讨论了两个测度稳定性理论【1 “根据两 个测度，l a k s h m i k a n t h a m 研究了脉冲泛函微分方程的一致渐近稳定性【”4 1 ；z h a n gy 和 s u nj 研究了脉冲泛函微分方程的实用稳定性【”目以及脉冲时滞微分系统的最终实用稳 定性 1 2 6 ；k o uc h 和z h a n gs n 研究了有限滞量微分系统的实用稳定性【1 卅；等等 1 4 本文的主要工作 本文研究的对象是脉冲微分系统，包括具有固定时刻的脉冲微分系统，具有变化时刻 的脉冲微分系统，以及脉冲控制微分系统利用不同的方法，如向量l y a p u n o v 函数法， 锥值l y a p u n o v 函数法，变异l y a p u n o v 函数法等，讨论了脉冲微分系统解的稳定性；对 脉冲微分系统的稳定性与可控性 于脉冲控制微分系统，还研究了它的可控性 线性分段光滑动力系统的优化理论与方法。 容概述如下t 本课题受到国家自然科学基金资助项目“非 ( 编号为1 0 4 7 1 0 1 4 ) 的资助本论文研究的内 第二章作为预备知识，主要介绍了脉冲微分系统的一些基本概念；也介绍了与脉冲 微分系统解的稳定性相关的一些结果 第三章，主要讨论了具有固定脉冲时刻的脉冲微分系统解的稳定性第一节中，利 用两个l y a p u n o v 函数方法讨论了脉冲微分系统平凡解的稳定性和渐近稳定性，并给出了 相应稳定性的判定准则；第二节，根据锥值l y a p u n o v 函数的方法，讨论了脉冲微分系统 平凡解的如一稳定性和一渐近稳定性，也给出了它们稳定性的判定准则；第三节，利 用变异l y a p u n o v 函数的方法，讨论了脉冲微分系统的两测度稳定性和渐近稳定性，并给 出了稳定性的判定准则 第四章，在第一节，利用比较原理讨论了具有固定脉i 中时刻的脉冲微分系统的两测 度严格一致稳定性，并给出了稳定性的判定准则；第二节，利用同样的方法，研究了具有 变化时刻的脉冲微分系统的平凡解的严格一致稳定性，并给出了稳定性的判定准则；第 三节，利用文献f 1 2 8 中所引入的类似于向量l y a p u n o v 函数的方法研究了具有固定时刻 的脉冲微分系统平凡解的严格一致l i p s c h i t z 稳定性。并给出了稳定性的判定准则 第五章，主要研究了脉冲控制微分系统的稳定性和可控性首先利用两个l y a p u n o v 函数方法研究了具有固定时刻的脉冲控制微分系统平凡解的稳定性和渐近稳定性，并给 出了关于它们稳定性的判定准则；其次，利用比较原理研究了具有变化时刻的脉冲控制微 分系统解的一致稳定性和系统的可控性，并给出了稳定性和可控性成立的判据；最后， 根据变异l y a p u n o v 函数方法研究了具有固定时刻的脉冲控制微分系统两测度稳定性和 系统的可控性；并给出了相应性质成立的判定准则 大连理工大学博士学位论文 2 预备知识 本章主要介绍了脉冲微分系统的一些基本概念；同时也介绍了脉冲徽 分系统r 包括固定脉冲时刻、变化脉冲时刻j 解的存在性、稳定性以及与其 相关的一些基本结果，如介绍了几个证明稳定性的方法等；另外，本文所需 要的一些特定的记号，也在本节给出本节内容主要出自文献御和似 2 1 脉冲微分系统的描述 2 1 1 脉冲微分方程 ( i ) 考虑由下列微分方程描述的系统 竺= 邢，z ) ， (211)dt 一2j n 。j l 二1 l j 其中，：凡xn 一肝，nc 舻是一个开集，舻是n 维欧几里德空间，且兄。是非负实 数集合； ( i i ) 集合m ( o ，g ( t ) cq ，t 墨； ( i i i ) 算子a ( t ) ：m ( t ) 一j v ) ，t r + 设z ( ) = ( t ，t o ，z o ) 是系统( 2 1 1 ) 以( t o ，x 0 ) 为初值的解，该解的运动过程如下：点 只= z ( f ) 从初始位置民= 。o 开始，沿曲线 只= z o ) ：t t o ，z ) = 。0 ，t o ，。o ) ) 运动，令t l = m i n t ：t t o ，只m ( t ) ) ，即在t l 时刻曲线上点第一次进入集合m ( t ) 在 t = t i 处，算子a ( o 映射点只，= $ ( 1 ) m 弘1 ) 到= z j p 1 ) ，其中。 = a ( t 1 ) x ( q ) 然后点只从只 = 对开始继续沿着系统( 2 1 1 ) 的解曲线 只= x ( t ) ：t t 1 ，z ( t ) = x ( t ，t l ，对) ) 运动，令t 2 = m i n t ：t t l ，只m ( ) ) ，即在t 2 时刻曲线上点第二次进入集合m ( ) 这 时算子一( t ) 把点心= 。( 2 ) m ( z ) 映射到p 哼= z p 2 ) ，其中z ；= a 0 2 p ( t 2 ) 然 后，又从勺= z 开始继续沿系统( 2 1 1 ) 的解曲线 皿= 。( ) ：t t 2 。( ) = 。( t ，t 2 ，z ) ) 运动，只要系统( 2 ，l ，1 ) 的解存在就重复上述过程， 脉冲微分系统的稳定性与可控性 把刻画上述演变过程的( i ) ，( i i ) 和( i i i ) 统称为脉冲微分系统，由只所构成的曲线称 为积分曲线，把x ( t ，t o ，z o ) ，t t o ，t 1 ) ，x ( t ，t l ，z ) ，t t l ，t 2 ) ，x ( t ，t 2 z ) ，t i t 2 ，t 3 ) 称为脉 冲微分方程的解 脉冲微分系统的解可以是下列三种情形之一： ( i ) 连续函数，如果积分曲线与集合m ( t ) 不相交或交于算子a ( t ) 的不动点； ( i i ) 有有限个第一类问断点的分段连续函数，如果积分曲线与集合m ( t ) 交于有限个 算子a ( t 】的非不动点； ( i i i ) 有可数个第一类间断点的分段连续函数，如果积分曲线与集合m ( t ) 交于可数个 算子a ( t ) 的非不动点 若t k ：只= 。( ) m ( ) ，r x ( t ) ( t ) z ( t ) ) ，则称时刻t k 为脉冲时刻假设脉冲 微分系统的解。( t ) 在t k ，= 1 ，2 ，处是左连续的，即z ( t - i ) = ，l i 理x ( t k h ) = 。( t d 2 1 2 固定时刻脉冲微分系统 假设集合m ( t ) 表示一系列平面t = t k ，这里 “) 是时间序列，使得当一o 。时 t k o 。在t = t k 处按下列方式定义算子 ( ) ，得到算子序列m ( 女) ) ： a ( k ) ：n n ，一a ( t ) x = z + 厶扛) ， 这里i k ：n q 相应地n ( t ) 也仅仅在t = t k 处定义，有n ( k ) = a ( ) m ( ) 这样选择 m ( 女) ，n ( k ) 和 ( 七) ，一个在固定时刻发生脉冲的脉冲微分方程可描述为： f 害_ ，( 沁) 圳“= 1 2 ，( 2 1 2 ) 【。= ( z ) ，t = t k 其中，在= t k 处，。( “) = $ ( ) 一。( k ) 且。( 薯) 2 船z ( + ) 因此，系统( 21 2 ) 的解满足t ( i ) 对t t k ，方程( 2 1 2 ) 的解就是普通微分方程z = f ( t ，z ) 的解 ( i i ) 当t = 屯时( 2 1 2 ) 的解有跳跃且满足 f 。( ) = z ( “) ， 【。( 吉) = x ( t k ) + a x ( t k ) = x ( t k ) + ( z p k ) ) 三b ( z ) ) ( i n ) 在t k 时刻之后，方程的解z ( t ) 是满足下列初值问题的解g ( t ) f ，7 = ( t ，) ，t k t t + 1 【y ( t k ) = ( 毒) 大莲理工大学博士学位论文 有时也把方程( 2 1 2 ) 写成 f 一掣叫， 埠“ ( 2 1 3 ) 【o 毒) = k ( z ( t ) ) 例2 1 1考虑脉冲镦分方程 fz ，_ m x ，t t 女， 血= c k x ，t = t b 【z ( t o ) = z o 可得它的解为t rx o1 - i ( 1 + c k ) e x p ( m 0 ， t o t ( “。，) 2 粕如请9 ( 1 + ) e x p ( m t ) ，t 缸 2 1 3 变化时刻的脉冲微分系统 设 & ) 是由& ：t = 下七( z ) ，= 1 ，2 ，且p ) + 1 p ) ，占器靠( z ) 2 o 。给出的一 个曲面序列，则有下面的脉冲微分系统： 雌训) t 嘶) ，_ 1 i 2 ， ( 2 1 4 ) 【$ = t k ( z ) ，t = t k ( 。) 具有变化时刻的脉冲微分系统( 2 1 4 ) 比固定时刻脉冲微分系统( 2 1 2 ) 复杂一些，脉冲时 刻依赖于系统( 2 1 4 ) 的解，即对任意的k ，缸= p ) ) 这样，始于不同点的解有不同 的不连续点一个解可以与同一个曲面t = r k ( x ) 相交几次，这种现象称为“鞭打”现象； 另外，不同的解在某个时刻后也