（计算数学专业论文）变分不等式的例外簇和广义预变分不等式的若干问题.pdf

a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ee x c e p t i o n a lf a m i l yo fe l e m e n t sf o rv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t yp r o b l e m sa n dg e n e r a l i z e dp r e - v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m s w ea p p l y ( q ，口) e x c e p t i o n a lf a m i l ye l e m e n t st od e a lw i t ht h ee x i s t e n c es o l u t i o no ft h ev a r i a - t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m s e r r o rb o u n d sf o rt h eu n d e r l y i n gg e n e r a l i z e dv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e sp r o b l e m sw e r eo b t a i n e db yu s i n gt h eg a pf u n c t i o n su n d e rt h ec o n d i t i o n t h a tt h ei n v o l v e dm a p p i n gfi sr l - s t r o n g l ym o n o t o n ew i t hr e s p e c tt ot h es o l u t i o n k e y w o r d s ：v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m s ，e x c e p t i o n a lf a m i l ye l e m e n t s ，g a p f u n c t i o n ，e r r o rb o u n d s ，g e n e r a l i z e dp r e - v a r i a t i o n a lp r o b l e m s 2 目录 f i l lll lr 1 1 111 1 1 iir liii y 17 6 8 3 7 6 摘要1 a b s t r a c t ：! 目录3 第一节引言4 第二节变分不等式例外簇8 2 1 变分不等式例外簇的定义及一些基本概念8 2 2 变分不等式解的存在性定理8 第三节广义预变分不等式1 2 3 1 广义预变分不等式的定义和g a p 函数1 2 3 2 g a p 函数的误差界1 3 3 3d g a p 函数和误差界1 8 参考文献2 1 致谢2 3 3 第一节引言 ”变分不等式”是”v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ”的中文译名，也有人翻译为”变 分不等式方程”变分不等式作为变分原理主要推广，是一类非常重要的非线性问 题，产生于许多不同的领域，如物理学，工程学和金融管理科学等等 定义1 设日是h i l b e r t 空间，k 为日中非空闭凸集， f ：hoh 为一连 续函数，变分不等式问题v i p ( f , k ) 就是找一点z + k ，满足 ( f ( x + ) ，z z + ) o ，v z k 其中( ，) 表示内积 当k = r 垡时，v i p ( f jk ) 转化为非线性互补问题自1 9 6 4 年g s t a m p a c c h i a 在文 2 提出这一问题以来，变分不等式问题得到长足的发展变分不等式在控制 论，对策论，社会经济模型等许多方面有广泛的应用，正是因为变分不等式在这些 方面的应用价值，变分不等式也成为运筹学研究领域一个热门的前沿课题，许多 学者对此问题给予了不同方面的研究，见文【3 - 7 ， 1 5 1 6 2 2 2 3 2 5 研究变分不 等式v i p ( f , k ) 的一个基本问题之一就是解的存在性问题，即变分不等式在什么 条件下有解，解的情况怎样p a n g 在文献 3 中列出了很多v i p ( f , k ) 解的存在 性定理另外1 9 8 4 年s m i t h 在文献 4 】中首次提出了例外序列和例外簇的概念， 但只限于k = 足：的情形，并据之研究解的存在性定理后来学者逐渐用例外簇 研究v i p ( f , k ) 的解的存在性，见文 5 【6 2 2 2 4 记k 的对偶锥 k + = z + h ：( z + ，z ) 0 ，v x k ) 给定x k ，记x 在k 上的法锥为 n k ( x ) = 【z + h ：( z ，y z ) o ，v y k 显然对任意实数p o ，有p k ( z ) = k ( z ) 下面给出完全连续映射和完全连续域的定义如果映射f ：h - h 满足1 ) f 为连续的；2 ) 对于任何有界集bch ，f ( b ) 是相对紧的那么称f 为完全连续 映射若f 可以表示为f ( x ) = z t ( x ) 这种形式，其中t ：h - h 为完全连续 映射，那么称f 为完全连续域， 2 0 0 0 年g i s a ca n dy b z h a o 在文献 5 把例外簇推广到了无限维h i l b e r t 空 间，定义如下： 定义2 1 5 】若序列 o 日满足条件： ( i ) 当r _ + 。o 时，有i i 研| | = r 一+ 4 ( i i ) 对任意的7 0 ，存在胁 1 使得胁研k ，且 t ( x ，) 一p ，z r v k ( p ，x ，) 成立，其中n k ( 胁x ，) 为胁x ，在k 上的法锥那么 坼) 称为( 1 ) 有关k 在完全 连续域f ( x ) = x t ( x ) 的例外簇 2 0 0 4 年，s z l i ua n dm r b a i 在文献【6 给出了h i l b e r t 空间中一类新的例 外簇的定义，从而推广了文献 5 的相关结论，定义如下： 定义3 6 】如果序列 ，) ， o 日满足 ( i ) 当r - + o 。时，i i 矿| | = r - + ( i i ) 对任意的r 0 ，存在t ，( 0 ，1 ) 使得 - - t r x 7 一( 1 0 ) f ( z 7 ) n k ( x ”) 那么称 研) 为( 1 ) 的例外簇 2 0 0 9 年，谭露琳在文【2 5 】中给出口一例外簇的定义，定义如下： 定义4 【2 5 】令q r 且圣k ，如果序列 矿) ， 0 h 满足 ( i ) 当r 一+ o 。时， i i x 7 l | ( = r ) - + o o ( i i ) 存在数列 0 ) 使得0 0 ，函数：h h r 满 足下列条件： ( c 1 ) 在h h 上连续可微 ( c 2 ) 在h h 上非负 ( c 3 ) ( z ，) 关于z 强一致凸，即存在常数a 0 ，满足对于任意z h ，都有 咖( z ，y 1 ) 一( z ，y 2 ) ( v 2 多( z ，沈) ，y 1 一y 2 ) + 入j j 可1 一耽i j 2 ，v y l ，y 2 h v 2 表示砂关于第二变量的偏导数 ( c 4 ) ( z ，y ) = 0 营x = y 显然函数( z ，y ) = 互1 忙一训2 满足( c 1 ) 一( c 4 ) w u 同时证明了g d 是v i p ( f , k ) 的等价有效约束最优化变形 在1 9 9 7 年，f u k u s h i m a 在文 9 中新定义了一个函数风口：h _ r ，定义如 下： h o b ( z ) = g a ( z ) 一嘶( z ) 2 学皿a ( z ，) 一搿( z ，可) ， 其中q ，卢满足0 q 恻| 存在t ，( 0 ，1 ) ，使得错k 且 - f ( 卅+ ( 1 - 7 ) “击岔坛( 车雾) ， 其中7 = 矿两1 而万 那么称 ) ， o 为( 1 ) 在点圣处关于f 的( a ，p ) 一例外簇 注1 由定义7 可知，当( o l ，p ) = ( 1 ，0 ) ，岔= 0 时，定义7 变成定义3 因此 定义7 为定义3 的推广 令映射移：h _ h 定义为 妒( z ) = z 1 1 k ( x f ( z ) ) 为了后面证明变分不等式v i p ( f , k ) 解的存在性定理，我们先给出下面三个 引理，其中引理1 是关于p ( ek ) 的一个著名结论，引理2 和引理3 是空间h 中有关l e r a y - s c h a u d e r 度的两个引理( 见文 6 1 3 1 ) 引理1z + 为v i p ( f , k ) 的解当且仅当妒( z + ) = 0 引理2 ( p o i n c a r d - b o h l )若d 为k 中有界开集，h ：d 0 ，1 】o 日 为完全连续映射，且( z ) = z h ( x ，亡) 如果gh t ( a d ) ，那么对于任何t 满足 0 t 1 ，d e g ( h t ，d ，可) 为一个常值 引理3 ( k r o n e k e r )假设d 为日中有界开集， f ：dch - - - 4 日为连续 的映射，如果y 皇f ( o d ) ，d e g ( f ，d ，y ) o ，那么y ( x ) = ! ，在集合d 上至少有一个 解 2 2 解的存在性定理 给定岔h ，( q ，卢) r 2 , 0 p 1 ，定义关于( 1 ) 的一个同伦如下： 日( z ，) = a t 金+ ( 1 一p t ) k ( 一( 1 一) f ( z ) + ( 1 一t ) z + 圣一丁a 面t 2 ) ) ，。t 1 ( 2 ) 8 假设矽( z ) = z i i k ( x f ( z ) ) ，于是 日( z ，1 ) = 口圣+ ( 1 一) k ( 金一尚) ， h ( x ，0 ) = i i k ( - f ( x ) + z ) 定义h t ：h - - + h 如下 h t ( x ) = z h ( x ，t ) ( 3 ) 因此有； 矽( z ) = h o ( x ) 引理4 取定圣ek ，( o l ，p ) er 2 , 0 卢 忪i l ，存 在矿o d ，和t ，【0 ，1 ，使得 o = h t ，x ) = 矿一日( ，t ，) = z 一q 。岔一( 1 - 卢。) k ( ( 1 一。) t ( z ，) + 。金一丁a 二t 瓦e 2 ) ( 5 ) 成立看t r = 0 时，z ”为妒( z ) = 0 的解，这也与变分不等式无解矛盾看 t ，= 1 时，那么可知矿为h i ( z ) = 0 的解，又因为气挚岔k ，因此h l ( x 7 ) = z 一( 1 一卢) 岔= 0 ，所以z 7 = ( 1 一p ) 童，这与i i x | | = r i | 岔i l | | ( 1 一卢) 仝| | ，相矛 盾因此t ，0 ，1 ，于是t r ( 0 ，1 ) 综合起来，对于任何r 忪i i ，t r ( 0 ，1 ) ，我们有 z 7 一q 。金一( 1 一卢。) k ( 一( 1 一。) f ( z 7 ) + ( 1 一。) z 7 + 。岔一 兰笔象) = 0 那么 车等- 小( 1 _ 纠聊r ) + ( 1 - + 。弘嵩) 令磊= 错k ，可得 ( _ ( 1 一垆( 矿) + ( 1 _ 矿“，弘嵩一磊，可一磊) o ，嘣 也就是 一( 1 - t r ) f ( 矿) + ( 1 一牡r + 。盒一f a t 瓦7 f c 一面x 7 - a t r f c 坛( z r ) 由于坛( 磊) 是锥，我们进一步得到 一f ( ，) “+ 南童一矿而万坛( 磊) 令7 = 再面顶1f 两，上式变为 廿) + ( 1 刊+ 击缺坛( 车等) 由定义7 可知， 矿_ 为v i p ( k ，f ) 关于点圣的一个( o ，卢) 一例外簇证毕 于是我们可以得到下面推论 推论1 假设k 为日中闭凸集且岔k ( q ，卢) r 2 且0 卢1 和 告圣k 假设t = i f 为日到自身的完全连续映射，那么变分不等式问题 v i p ( f k ) 满足至少满足两个性质之一： ( 1 ) v i p ( f k ) 至少有一个解 ( 2 ) 至少存在关于点圣的( q ，卢) 一例外簇 第三节广义预变分不等式 在本节中，我们推广了【l o 】中提出的广义变分不等式，将g v i p ( f , g ，f ) 推广 到广义预变分不等式，在第一部分我们给出广义预变分不等式的定义和一些基本 概念，第二部分给出g a p 函数的误差界，第三部分我们给出d g a p 函数并利用其 得到误差界 3 1 广义预变分不等式的定义和g a p 函数 设日为h i l b e r t 空间，函数f ，9 ：h h 为连续可微函数，f ：ho ( 一， + 。】为连续可微的实值函数，叩：h h h 为连续可微，且对于任意o h ，叩( z ，z ) = 0 ，定义广义预变分不等式问题g v i p ( f 7g ，f ，叩) ，就是求一点z + h ， 满足 ( f ( z + ) ，叩( 夕，g ( z + ) ) ) + f ( y ) 一f ( g ( z + ) ) 0 ，v y h ( 6 ) 当，为强凸函数时，d o m ( f ) = z h i f ( x ) 0 h 、- - 设对于西有以下条件： ( c 1 ) 在h h 上连续可微 ( c 2 ) 在hxh 上非负 ( c s ) ( z ，) 关于z 强一致凸，即存在常数入 0 ，满足对于任意z h ，都有 ( z ，y 1 ) 一矽( z ，y 2 ) ( v 2 ( z ，v 2 ) ，y l y 2 ) + a i i 可1 一y 2 | | 2v y l ，y 2 h v 2 咖表示关于第二变量的偏导数 ( c 4 ) 砂( z ，可) = 0 兮z = y ( c 5 ) v 2 ( x ，) 为一致l i p s c h i t i z 连续，即存在l 7 0 ，使得对任意z h ，有 j v 2 0 ( x ，y 1 ) 一v 2 咖( z ，v 2 ) l i l 7 i i v l 一可2 i | ，v y l ，y 2 h 设对于叩有下列条件： ( c 6 ) 7 7 ( 耖，夕( z ) ) = 一叩( 9 ( 。) ，y ) ) ，v z ，y h 1 2 ( c 7 ) 对于任意z h ，有 ( f ( z ) ，叩( y ，z ) ) ( - f ( x ) v 2 叩( g ( x ) ，z ) ，y z ) ，v x ，y h ( c 8 ) 存在t 0 ，使得物( z ，v ) l i t l l x 一训，比，y 日，成立 ( c 9 ) 叩( 。，y ) 叩( z ，z ) + r l ( z ，y ) ，v z ，y ，z h 3 2 g a p 函数的误差界 设h ：日_ r 为实值函数，设z h ，s 是问题 蝉。n h ( x ) z 日 的解集设丁2 骝 ( z ) ，d s ( z ) 2 磐i i z 一训，若存在6 o 使得 d s ( z ) 5 ( h ( x ) 一7 - ) ， 则称6 为 对s 的误差界 定义8 称f 在给定点互h 处为刀一强单调的，则存在p 0 满足 ( f ( x ) 一f ( 牙) ，叩( 夕( z ) ，9 ( 牙) ) ) p i | z 一孟f | 2 ，v x h ( 7 ) 当f 在g v i p ( f , g ，叩) 的解孟处是叩一强单调的，且满足条件( c 6 ) ，那 么g v i p ( f , g ，厂，7 7 ) 的解是唯一的假设z 。为g v i p ( f , g ，叩) 的另一个解，把 y = g ( x + ) 和y = g ( x ) 代入( 6 ) 式，得 ( f ( 牙) ，叩( 夕( z + ) ，9 ( 牙) ) ) + f ( g ( x + ) ) 一，( 夕( 牙) ) o ； 和 ( f ( x + ) ，叩( 9 ( 孟) ，g ( x + ) ) ) + 厂( 夕( 牙) ) 一，( 9 ( z + ) ) o ； ( 8 ) 和( 9 ) 相加，并利用( c 6 ) ，得 0 ( f ( 孟) 一f ( x + ) ，叩( 夕( z + ) ，g ( 牙) ) ) - # l l x + 一孟| | 2 故牙= 矿，即g v i p ( f ，g ，厂，7 ) 的解为唯一的 定义9 称f 关于点牙h 为l i p s c h i t z 连续的，即存在l 0 ，满足 l i f ( 孟) 一f ( x ) l i l l l 2 一z i i ，v x 日 ( 8 ) ( 9 ) 引理4 ( 见文 9 引理2 1 ) 若满足( c 1 ) 一( c 4 ) ，则v 2 咖( z ，y ) = 0 仁号x = y 引理5 ( 见文 1 4 引理2 1 ) 若满足( c 3 ) ，那么比，剪1 ，y 2 日，有 ( v 2 ( z ，y 1 ) 一v 2 咖( z ，耖2 ) ，y 1 一y 2 ) 2 a l l w 一可2 1 1 2 1 3 引理6 ( 见文 1 5 】引理2 1 ) 若满足( c 1 ) - ( c 5 ) ，那么 入i i z 一可1 1 2 毋( z ，y ) ( l 7 一入) l l x 一可1 1 2 ，比，y h 当( z ，) 是一致凸时，一皿，( z ，) 在日上一致凸，则一虬( z ，) 在日上存在 唯一极小值点，记为丌r ( z ) 因此g ，( z ) 可表示为； g ，( z ) = ( f ( z ) ，叩( 9 ( z ) ，7 r r ( z ) ) ) + ，( 9 ( z ) ) 一，( ( z ) ) 一r ( 夕( z ) ，研( z ) ) 定理2 设满足( c 1 ) 一( c 4 ) ，且7 7 满足( c 6 ) 和( c 7 ) 那么z 为g v i p ( f ，g ，f ，叩) 的解当且仅当对于任意r 0 ，都有g ( x ) = 丌r ( z ) 证明：对于任意z h ，以( z ) 为一皿，( z ，) 在日上的极小值点，且该函数为凸 的，故 0 a ( ，重，( z ，丌。( z ) ) = f ( z ) v 2 叼( 9 ( z ) ，7 r ，( z ) ) 一o f ( z r ，( z ) ) 一r v 2 咖( g ( 茁) ，r r ( z ) ) ， 即 f ( z ) v 2 叩( 9 ( z ) ，7 r r ( z ) ) 一r v 2 ( 夕( z ) ，丌r ( z ) ) o f ( t r y ( x ) ) 由次微分定义可知， f ( y ) 一厂( 丌r ( z ) ) ( f ( x ) v 2 r ( g ( x ) ，7 _ ( z ) ) 一r v 2 砂( 夕( z ) ，丌r ( z ) ) ，y 一7 r r ( z ) ) ，v y h 因此，由( c 7 ) 可知， ( f ( z ) ，叩( 可，丌r ( z ) ) ) + f ( v ) 一f ( t c r ( x ) ) ( 一f ( z ) v 2 叩( 9 ( z ) ，7 r r ( z ) ) ，y 一7 0 ( z ) ) + f ( y ) 一，( 丌r ( z ) ) ( 一r v 2 咖( 9 ( z ) ，( z ) ) ，y 一7 _ ( z ) ) ( 1 0 ) 当g ( x ) = 珥( z ) 时，由引理4 有v 2 ( 夕( z ) ，丌r ( z ) ) = 0 ，因此 ( f ( z ) ，叩( y ，9 ( z ) ) ) + f ( y ) 一，( 夕( z ) ) 0 ， 即z 为g v i p ( f , g ，厂，7 7 ) 的解反过来，设z 为g v i p ( f , g ，f ，叩) 的解，把y = 丌r ( z ) 代入( 6 ) 式得 ( f ( z ) ，叩( 丌r ( z ) ，9 ( z ) ) ) + 厂( 丌，( z ) ) 一厂( 9 ( z ) ) o ( 1 1 ) 另一方面，把y = g ( x ) 代入( 1 0 ) 式，得 ( f ( z ) ，7 7 ( g ( z ) ，珥( z ) ) ) + ，( 9 ( z ) ) 一，( 7 r ，( z ) ) 2 ( 一r v 2 ( g ( x ) ，丌r ( z ) ) ，g ( x ) 一丌r ( z ) ) ( 1 2 ) 14 ( 1 1 ) 和( 1 2 ) 相加，并利用( g ) 得 ( r v 2 ( 9 ( z ) ，7 r r ( z ) ) ，g ( x ) 一7 r r ( z ) ) o 由咖( 9 ( z ) ，) 的强一致凸性和条件( c 2 ) 和( c 4 ) ，有 ( v 2 ( 9 ( z ) ，珥( z ) ) ，g ( z ) 一7 r r ( z ) ) + a i i 夕( z ) 一丌r ( z ) 1 1 2 ( 9 ( z ) ，夕( z ) ) 一( 夕( z ) ，7 r ，( z ) ) 0 故 ( v z 矽( 9 ( z ) ，r r ( z ) ) ，g ( z ) 一丌r ( z ) ) 一入| l 夕( z ) 一7 r r ( z ) j | 2 由( 1 3 ) 和( 1 4 ) 知g ( z ) = 丌r ) 证毕 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 定理3 设满足( c 1 ) 一( c 5 ) ，7 7 满足( c 6 ) - ( c 9 ) ，f 在g v i p ( f , g ，f ，? 7 ) 的解孟处 为叩一强单调的，f 和夕在点牙处l i p s c h i t z 连续，即存在l ， 0 ，使得 i i f ( x ) 一f ( 牙) | | l i i x 一牙i i ，比h ， 和 i i 夕( z ) 一夕( 牙) | | l i i x 一牙i | ，v x h 那么 i i z 一孟i l 竿i i 夕( z ) 一珥( z ) 忆v z 日，r 。 证明：由于牙为g v i p ( f , g ，叩) 的解，故 ( f ( 牙) ，叼( 可，9 ( 牙) ) ) + f ( y ) 一，( 9 ( 牙) ) 0 ，v y h ( 1 5 ) 因为7 r r ( x ) h ，把y = 7 r ，( x ) 代入( 1 5 ) 得 ( f ( 孟) ，7 7 ( 7 r r ( z ) ，9 ( 牙) ) ) + ，( 7 r r ( z ) ) 一厂( 9 ( 孟) ) 0 ( 1 6 ) 另一方面把y = 夕( 牙) 代入( 1 0 ) 式得 ( f ( z ) ，7 7 ( 夕( 牙) ，t r y ( x ) ) ) + 厂( g ( 孟) ) 一，( 丌r ( z ) ) ( 一r v 2 ( 9 ( z ) ，丌r ( z ) ) ，夕( 孟) 一珥( z ) ) ( 1 7 ) 把( 1 6 ) 和( 1 7 ) 相加并利用( c 6 ) 得 ( f ( 孟) 一f ( z ) ，叩( 丌，( z ) ，夕( 牙) ) ) ( 一r v 2 ( 9 ( z ) ，7 r r ( z ) ) ，9 ( 牙) 一7 r ，( z ) ) 层口 ( f ( z ) 一f ( 牙) ，叩( 7 r r ( z ) ，9 ( 牙) ) ) r ( v 2 咖( 夕( z ) ，丌r ( z ) ) ，9 ( 牙) 一丌r ( z ) ) 由( c 5 ) ，引理4 ，引理5 和9 在孟处l i p s c h i t i z 连续，有 r ( v 2 ( 夕( z ) ，丌r ( z ) ) ，夕( 牙) 一丌r ( z ) ) = r ( v 2 咖( 9 ( z ) ，7 r r ( z ) ) ，夕( 牙) 一夕( z ) ) 4 - r ( v 2 ( g ( z ) ，r r ( z ) ) ，g ( x ) 一7 r r ( z ) ) = r ( v 2 ( 夕( z ) ，7 r r ( z ) ) 一v z ( 夕( z ) ，g ( z ) ) ，9 ( 孟) 一9 ( z ) ) 一r ( v 2 ( 9 ( z ) ，夕( z ) ) 一v 2 ( 夕( z ) ，珥( z ) ) ，g ( z ) 一7 r r ( z ) ) r l i v 2 ( g ( x ) ，7 0 ( z ) ) 一v 2 ( 夕( z ) ，9 ( z ) ) i | 9 ( 叠) 一g ( z ) l l r ( v 2 ( 夕( z ) ，夕( z ) ) 一v z ( 夕( z ) ，7 r r ( z ) ) ，g ( z ) 一丌r ( z ) ) r l 7 i i g ( x ) 一( z ) 夕( 牙) 一g ( x ) l i 一2 r a i i g ( x ) 一7 _ ( z ) 1 1 2 r l 7 l i i g ( x ) 一7 r r ( z ) i z 一牙 因此， ( f ( z ) 一f ( 牙) ，叩( 珥( z ) ，夕( 牙) ) ) r l 7 l l l g ( z ) 一7 r r ( z ) i z 一牙 由f 在( 孟) 处叼一强单调，利用( c 8 ) ( c 9 ) ，有 , l l z 一牙1 1 2 ( f ( x ) 一f ( 孟) ，叩( 9 ( z ) ，9 ( 牙) ) ) ( f ( z ) 一f ( 牙) ，叩( 9 ( z ) ，丌r ( z ) ) ) - t - ( f ( z ) 一f ( 牙) ，叩( 丌r ( z ) ，夕( 牙) ) ) i i f ( x ) 一f ( 牙) 叩( 9 ( z ) ，7 r r ( z ) ) | i + ( f ( x ) 一f ( 牙) ，叼( 7 r r ( z ) ，9 ( 牙) ) ) l t l l g ( x ) 一7 r r ( z ) i x 一牙| | + r l 7 l i i g ( z ) 一丌r ( z ) z 一牙i j = ( t l + r l 7 l ) l l g ( x ) 一7 r r ) i z 一孟 上式两边同除以圳茁一剐，可得 i i x - - i i 竽怕叫z ) i t ( 1 8 ) 证毕 命题1 设满足( c ) 一( c t ) ，叩满足( c s ) ，( c 7 ) ，那么 g ，( z ) r a i l 9 ( z ) 一7 r ，( z ) 1 1 2 ，v x h ，7 0 即g ，x ) 0 当g ，( z ) = 0 时，z 为g v i p ( eg ，厂，叩) 的解 1 6 证明：对于任意z h ，r 0 ，把y = g ( x ) 代入( 1 0 ) 式，可得 ( f ( z ) ，r l ( g ( x ) ，珥( z ) ) ) + ，( 夕( z ) ) 一，( 丌r ( z ) ) r ( 一v 2 咖( 夕( z ) ，丌r ( z ) ) ，9 ( x ) 一7 r r ( z ) ) 由g ，i x ) 的定义，并利用( c 3 ) ，( c 4 ) 可得 g ，i x ) = ( f ( z ) ，叩( 夕( z ) ，7 r r ( z ) ) ) + ，( 9 ( z ) ) 一f ( t r r ( x ) ) 一r ( g ( z ) ，7 r r ( z ) ) r ( 一v 2 ( 夕( z ) ，7 k ( z ) ) ，g ( x ) 一珥( z ) ) 一r ( g ( z ) ，7 r r ( z ) ) r ( 一砂( 9 ( z ) ，9 ( z ) ) + ) q l g ( x ) 一7 _ ( z ) i | 2 ) = 7 _ a | | g ( z ) 一丌r ( z ) 1 1 2 故对于任意的z h ，r 0 都有g ，( z ) 0 当g ) = 0 时，g ( x ) = 7 r r i x ) ，由定 理2 知z 为g v i p ( e 夕，叩) 的解证毕 定理4 设满足( c a ) - ( c 5 ) ，叩满足( c 6 ) 一( c 9 ) ，f 在g v i p ( f , g ，f ，叩) 的解孟处 为叼一强单调的，f 和g 在点牙处l i p s c h i t z 连续，那么 丽为g v i p ( f , g ，f ，r ) 提供全局误差界，即i i z 一牙| | 错 瓦丽 证明：由命题1 的结论可知 g ，( z ) r a l l g ( x ) 一珥( z ) 忆 g ，( z ) 0 故 i i g ( 垆嘶川去厕 1 1 9 ) 把( 1 4 ) 代入( 1 3 ) ，即对于任意z h 有 l l x - 刮t l + 了r l 一 l 怕i z ) 一( x ) l l t l + r f l l 怕丽 p“v7 a 即 丽为g v i p ( f , g ，f ，7 ) 提供全局误差界证毕 定理5 设满足( c 1 ) - ( c 5 ) ，f 在g v i p ( f ，g ，厂，叩) 的解牙处为叩一强单调 的， g 在点牙处l i p s c h i t z 连续，当r 满足0 7 上( l - a ) l 2 时， 丽为 g v i p ( f ，g ，叩) 提供全局误差界，即 恪i 高1 厕 1 7 证明：对于任意。i 三h ，0 r 面= 知刀，由f 在g v i p ( f , g ，f ，7 7 ) 的解牙处 为叩一强单调的，夕( 孟) h ，和g ，( z ) 的定义知， 研( z ) 2 搿皿r ( 引 ( f ( z ) ，叼( 9 ( z ) ，9 ( 牙) ) ) + ，( g ( z ) ) 一厂( 夕( 牙) ) ) 一r ( 夕( z ) ，9 ( 牙) ) = ( f ( z ) ，叩( 9 ( z ) ，夕( 牙) ) ) 一( f ( 牙) ，叼( 9 ( z ) ，夕( 牙) ) ) + ( f ( 牙) ，叩( 夕( z ) ，夕( 牙) ) ) + ，( 夕( z ) ) 一，( 9 ( 牙) ) ) 一r ( 夕( z ) ，夕( 牙) ) p l l z 一牙1 1 2 + ( f ( y c ) ，叩( 夕( z ) ，g ( 孟) ) ) + ，( 9 ( z ) ) 一，( 夕( 牙) ) ) 一r ( 9 ( z ) ，夕( 孟) ) p i i z 一牙| | 2 一r ( 夕( z ) ，9 ( 牙) ) 又由引理6 和g 在孟处l i p s c h i t i z c 连续， 一( 夕( z ) ，夕( 孟) ) ( a l 7 ) l l g ( x ) 一g ( - 孟) 1 1 2 l 砣( 入一l 7 ) l l x 一牙| 1 2 因此 g ， ) p | i z 一牙0 2 - 1 - r l 舵( 入一l 引i z 一牙i | 2 故 g ，( z ) ( 卢- t - r 三砚( 入一l 7 ) ) l l x 一牙| 1 2 成立，移项，开平方，得 孟峪i 1 f 丽饵丽 证毕 3 3 d g a p 函数和误差界 下面我们给出g v i p ( f , g ，f ，7 7 ) 的d - g a p 函数，并指出它是非负的定义g v i p ( 只夕，工叩) 的d g a p 函数为研口，其中珥n 满足 研n ( z ) = g ，( z ) 一g 。x ) = m a 日x r ( z ，秒) 一搿皿。( z ，可) = ( f ( z ) ，叩( 9 ( z ) ，7 r r ( z ) ) ) - i - ，( 9 ( z ) ) 一厂( 丌，( z ) ) 一r ( 9 ( z ) ，丌r ( z ) ) 一( ( f ( z ) ，叩( 9 ( z ) ，( z ) ) ) + ，( 9 ( z ) ) 一f ( t v a ( x ) ) 一a o ( g ( x ) ，丌0 ( z ) ) ) = ( f ( z ) ，叼( 9 ( z ) ，丌r ( z ) ) 一叩( 夕( z ) ，丌n ( z ) ) ) + ，( 丌。( z ) ) 一f ( t r r ( x ) ) + o ( 9 ( z ) ，( z ) ) 一r ( 夕( z ) ，7 c r ( z ) ) 1 8 其中r ，a 为满足0 r r ，且( 9 ( z )