（概率论与数理统计专业论文）具有二步保费的常利率风险模型.pdf

y ! 。 t h er i s km o d e lw i t hc o n s t a n t i n t e r e s tr a t ea n dt w o - s t e pp r e m i u m r a t e ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：l ic h e n g j i a o s u p e r v i s o r ：p r o f w a nc h e n g g a o h u b e iu n i v e r s i t y w u h a n ，c h i n a 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权 说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品或成果对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名：车莓筠 签名日期：砷年6 月多日 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即：按照 学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷 本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印，数字化 或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部 分或全部内容( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名：车l 娟 签名日期：砷年4 月多日 导师签名：否吠白 签名日期：加j ，年月夕日 摘要 破产理论是保险精算学研究的重点之一经典风险理论假设理赔次数过 程是p o i s s o n 过程，理赔量是一个相互独立的随机变量序列，并且理赔量序列 与理赔次数过程相互独立本文考虑了带常利率且保费收取为二步保费过程 的风险模型中的破产问题具体来说，全文主要内容如下： 第一部分主要介绍了本文的研究背景，并对全文的内容给出了一个大体 的介绍 第二部分给出了常利率风险模型中罚金折现期望值函数m ( u ) 的积分一 微分方程，并在理赔量为指数分布的情形下，得到了破产概率妒( 仳) 和破产时 赤字的分布函数a ( u ，z ) 的表达式，最后在理赔量为e r l a n g ( 2 ) 分布的情形下， 给出了破产概率的通解 第三部分考虑具有二步保费的常利率风险模型首先给出了罚金折现期 望值函数m ( u ) 的积分一微分方程，并在在理赔量为指数分布和e r l a n g ( 2 ) 分 布的情形下，求出了破产概率妒( 钍) 的通解 关键词： 理赔量；理赔次数；常利率；二步保费；破罚金折现期望值函 数；破产概率；罚破产时赤字 a b s t r a c t t h es t u d yo fr u i np r o b a b i l i t yi so n eo ft h em a i np o i n t si na c t u a r i a l i nc l a s s i c a l r i s kt h e o r y , t h ep r o c e s so ft h en u m b e ro fc l a i m si ss u p p o s e dt ob eap o i s s o np r o - c e s s ，t h ei n d i v i d u a lc l a i ms i z ei sa ni n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l es e r i e s ，a n dt h el a t e r i si n d e p e n d e n to ft h ef o r m e r i nt h i st h e s i s ，t h er u i np r o b l e m si nt h er i s km o d e lw i t h c o n s t a n ti n t e r e s tr a t ea n dt w o - s t e pp r e m i u mr a t ea r ec o n s i d e r e d c o n c r e t e l y , t h e m a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s i np a r to n e ，t h ei n v e s t i g a t e db a c k g r o u n da n dt h em a i ns t r u c t u r eo ft h i st h e s i s a r ei n t r o d u c e d i np a r tt w o ，t h ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o no fe x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t y f u n c t i o nm ( u ) i nt h er i s km o d e lw i t hc o n s t a n ti n t e r e s ti sg i v e n ，a n dw h e nt h ec l a i m s i z e sa r ee x p o n e n t i a l l yd i s t r i b u t e d ，t h ee x p r e s s i o n so ft h er u i np r o b a b i l i t y 妒( t ) a n d t h ed i s t r i b u t i o no ft h ed e f i c i ta tr u i ng ( u ，z ) a r eo b t a i n e d l a s t l y , t h eg e n e r a ls o h t i o no ft h er u i np r o b a b i l i t yi sg o tw h e nt h ec l a i ms i z e sh a v ee r l a n g ( 2 ) d i s t r i b u t i o n s i np a r tt h r e e ，t h er i s km o d e lw i t hc o n s t a n ti n t e r e s tr a t ea n dt w o s t e pp r e m i u m r a t ei sc o n s i d e r e d a tf i r s t ，t h ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o no fe x p e c t e dd i s c o u n t e d p e n a l t yf u n c t i o nm ( u ) i sg i v e n ，a n dw h e nt h ec l a i ms i z e sf o l l o we x p o n e n t i a ld i s t r i b u - t i o n sa n de r l a n g ( 2 ) d i s t r i b u t i o n s ，t h eg e n e r a ls o l u t i o n so ft h er u i np r o b a b i l i t y 妒( ) a r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：i n d i v i d u a lc l a i ms i z e ，n u m b e ro fc l a i m s ，r u i np r o b a b i l i t y , c o n s t a n t i n t e r e s tr a t e ，t w o - s t e pp r e m i u mr a t e ，e x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o n ，d e f i c i t a tr u i n 口三王 日求 一、引言1 1 1 相关研究背景1 1 2 本文主要内容5 二、常利率风险模型7 2 1 模型的介绍7 2 2 罚金折现期望值函数的积分一微分方程7 2 3 理赔量为指数分布的情形8 2 4 理赔量为e r l a n g ( 2 ) 分布的情形1 2 三、具有二步保费的常利率风险模型1 5 3 1 模型的介绍1 5 3 2 破产前瞬时盈余分布所满足的积分一微分方程1 5 3 3 理赔量为指数分布的情形1 8 3 4 理赔量为e r l a n g ( 2 ) 分布的情形2 0 参考文献2 4 致谢2 6 一 引言 一引言 1 1 相关研究背景 破产理论主要研究保险业中的随机模型在聚合风险模型中，理赔的到达 次数过程用一个随机点过程来表示，个体理赔额表示为一类随机变量，保险人 收取一定的保费来维持公司正常运作经典风险模型是聚合风险模型中一种 最基本的风险模型在实际操作中，带有利率、红利等经济因素的风险模型已 成为精算研究的重点之一 给定完备概率空间( q ，厂护) ，以下的随机变量均为该空间上的变量在经典 风险模型中，保险公司的盈余过程为 u ( t ) = t + c t z ( ) ，( 1 1 ) n ( 幻 其中u 为保险公司的初始盈余，c 为常数保费率，z ( t ) = k ，这里理赔次 数过程 ( t ) ；t 0 ) 是强度为a 的泊松过程，个体理赔额序列 m ；i 1 ) 独 立同分布，共同的分布函数为p ( z ) ，且p ( o ) = 0 ，均值为肛且 ( ) ；t 0 ) 与 k ；i 1 ) 相互独立为了保证公司的稳定经营，假定c 却，即相对安全负 荷为正 记 t = i n f t ：u ( t ) o 为破产时刻，这里约定i n f 0 = o 。记 妒( u ) = p ( t 0 ，当保险公 司的盈余不超过b 时，收取保费率为c l ；当保险公司的盈余超过b 时，收取保 费率为c 2 ，则盈余过程为 ， ic l d t d s ( t ) ，u ( t ) b ， d u ( t ) = ( 1 3 ) ic 2 d t d s ( t ) ，u ( t ) b ， 3 湖北大学硕士学位论文 其中u ( o ) = u 为初始盈余，s ( t ) = 五，个体理赔额序列 五；i 1 ) 独立 同分布，共同的分布函数为p ( z ) ，m ( t ) 是t 时刻的理赔次数过程，理赔间隔 时间 正；i 1 ) 是独立同分布的随机变量序列，共同的概率密度函数为k ( t ) = a 2 t e 一她，t 0 即为e r l a n g ( 2 ) 分布，且【m ( ) ；t o 】与 m ；t 1 ) 相互独立， 假定c x e t 1 】 e x l l ，i = l ，2 记 ， lm 1 ( u ) ，0 u b ， m ( u ) = im 2 ( 仳) ，t b 考虑第一份理赔到达时间噩= t 和理赔量x 1 = z 令 t o = ( b u ) c l ， ( t ) = 叫( 厶y t ) d p ( y ) ， 、 ，t 7 ( ) = m ( t y ) d p ( y ) + f ( t ) 则当0 仳b 时，有 m ( u ) = f o 。k ( t ) z e e j t 叫( u ( t 一) ，i c ，( t ) 1 ) i ( t b 时，有 m ；( u ) = ( 2 ( a + 盯) c 2 ) m ；( t ) 一( ( a + 盯) c 2 ) 2 r n 2 ( u ) + a 2 f ( 牡) 鼋 + a 2 z ”一6m z ( 缸一) d p ( 可) + z 二。仇，( 札一耖) d p ( ) 】奄 孙景云和达高峰首先推导出了模型( 1 3 ) 的罚金折现期望值函数满足的积分一 微分方程，得到方程的解，最后在理赔量为指数分布的情形下，得到了破产概 率的解 1 2 本文主要内容 经典风险模型讨论的是保费率为常数，理赔次数过程为泊松过程，且理赔 量与理赔次数过程相互独立的风险过程在实际操作中，保险公司的大部分 盈余来自于投资的收入，所以有经济因素的风险模型成为精算研究的重点之 一本文主要考虑了带有常利率且保费收取为二步保费过程的风险模型本文 结构如下： 第二部分考虑常利率风险模型 d u ( t ) = c d t + r u ( t ) d t d z ( t ) ， 其中z ( ) = x - k ，这里 ( t ) ；t 0 ) 是强度为a 的泊松过程，表示t 时刻的 理赔次数过程，个体理赔额序列 k ；i 1 ) 独立同分布，且 ( ) ；t o 与 m ；i 1 相互独立 定理2 1 首先给出了罚金折现期望值函数m ( u ) 的积分一微分方程，定理 2 2 和定理2 3 分别给出了在理赔量为指数分布的情形下，破产概率妒( u ) 和破 产时赤字的分布函数g ( “，z ) 的表达式，定理2 4 给出了在理赔量为e r l a n g ( 2 ) 分布的情形下，破产概率妒( u ) 的通解 第三部分考虑具有二步保费的常利率风险模型 设常数障碍值b 0 ，当保险公司的盈余不超过b 时，收取保费率为c l ；当 保险公司的盈余超过6 时，收取保费率为c 2 ，则盈余过程为 i c l d t + r u ( t ) d t d z ( t ) ，u ( t ) b ， d u ( t ) = ic 2 d t + r u ( t ) d t d z ( t ) ，u ( t ) b 5 湖北大学硕士学位论文 ，、”1 其中z ( t ) = 。k ，这里 ( ) ；t 0 ) 是强度为a 的泊松过程，表示t 时刻 = 1 y i ；i 1 是独立同分布的随机变量序列，独立于 金折现期望值函数m ( u ) 的积分一微分方程，定理 在理赔量为指数分布和e r l a n g ( 2 ) 分布的情形下，破 6 二 常利率风险模型 2 1 模型的介绍 二常利率风险模型 经典风险模型是聚合风险模型中一种最基本的风险模型在实际情况中， 模型中会包含利率、红利等经济因素 当假设保险公司以常数利率r 收到利息时，盈余过程为 d u ( t ) = c d t + r u ( t ) d t d z ( t ) ，( 2 1 ) ( t ) 其中c 为常数保费率， z ( t ) = k ，这里理赔次数过程 ( t ) ；t 0 是强度 为a 的泊松过程，个体理赔额序列 m ；l 1 ) 独立同分布，共同的分布函数为 p ( x ) = 1 一( z ) ，且p ( o ) = 0 ，均值为p = 一p ( x ) d x 0 ，且 ( t ) ；t 0 与 m ；i l 相互独立 记 t = i n f t ：u ( t ) o ) 为破产时刻，这里约定i n f 0 = 。o 记 妒( 札) = p ( t u e n + 嘎j ，发生破产 令 ( t ) = u e n + 嚷i ，则 m ( ) = f o 。a e - a tz e e - a t w ( u ( ? 一) ，i u ( t ) 1 ) i ( t 0 ，卢 0 ，则破产概率的解为 a e - a 卫( 1 + r z c ) 胁_ 1 d x 妒( u ) = 兰萄一 印e 一触( 1 + r z c ) a 7 1 d x 8 二 常利率风险模型 证明记 p l ( u ) = ( z ) 出儿， 1 o oi , o o 盈( 8 ) = e - s x d p l ( x ) = e 叫z - p ( x ) d x # ， j o，o h ( s ) = e - s x 日( z ) 出 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 邮，= 譬一 协8 ， 队伽z 让嘶脚z 妒( u ) ：m ( 乱) ：5 1 + 西2 厂e - f 忙) d x ，( 2 1 1 ) j o ，z f ( x ) = f ( y ) d y = 触+ ( 1 一a r ) l n ( 1 + r z c ) ，0 湖北大学硕士学位论文 在( 2 1 1 ) 式中，令u = 0 得 d 1 = 妒( 0 ) ( 2 1 2 ) 在( 2 1 1 ) 式中，令u c x ) ，由于l i mm ( u ) = 0 ，可得 t _ 0 0 豌= 一妒( 。, o e f ( z h ( 2 1 3 ) 由( 2 1 1 ) 式，( 2 1 2 ) 式和( 2 1 3 ) 式可得 妒( u ) = 妒( 。) 一( 妒( 。) f o 。e - f ( 霉) d x ) f o e - f ( = ) 血 ，o o 妒( o ) e 一触( 1 + r z c ) a 7 - 1 d x ，u z 。0 e 咄( 1 + r x r - = h ( x ) = e - 肋，p = l p ，则由( 2 6 ) 式和( 2 7 ) 式可得 衙( 8 ) = p ( 卢+ s ) ， h ( s ) = 1 ( x ，+ s ) ( 2 1 5 ) 式和( 2 1 6 ) 式可得 妒( 0 ) = m ( o ) = 入( 印) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ) 式和( 2 1 7 ) 式可得 入e - 触( 1 + r z c ) 胁- 1 d x 妒( t 1 ) = 粤语广一 印e - 0 2 ( 1 + r z c ) a 7 1 d x j o 在模型( 2 1 ) 中，若理赔量为指数分布，即p ( x ) = l e - z ， 则破产时赤字的分布函数为 ( 1 一e - 艇) a e - 触( 1 + r x c ) a d x g ( u ，z ) = 7 窝兰一 c j 3 | e - z z ( 1 + r z 妒1 d x ，u w ( x ，y ) = i ( y z ) ，z 0 且仃= 0 时，m ( u ) 是破产时赤字的分布 g ( t ，名) 1 0 g ( u ，z ) = r e ( u ) = 1 5 3 + d 4 e - f ( 霉) d x ， ( 2 2 0 ) ， ，0 ，z f ( x ) = f ( y ) d y = p z + ( 1 一a r ) i n ( 1 + r x c ) ，o d 4 = - g ( 。，z ) z e f 忙) d z ( 2 2 2 ) g ( 札，z ) = g ( 。，名) 一( g ( 。，z ) z e f c 茁，d z ) z e f c 霉，d z ， g ( o ，z ) e - 肛( 1 + r x c ) a ( i x = 雨产l 一 ( 2 2 3 ) e - 口x ( 1 + r x c ) m 1 ( i x ，0 而( 8 ) = p ( p + s ) ， 膏( s ) = ( 1 一e - 肛) ( p + 8 ) 1 1 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 湖北大学硕士学位论文 由( 2 8 ) 式，( 2 2 4 ) 式和( 2 2 5 ) 式可得 c ( o ，z ) = ( 1 一e - 卢。) 妒( o ) = ( 1 一e - p 。) a ( c p ) ( 2 2 6 ) 一e k 一 二 常利率风险模型 再次对u 求导数得 一a h ( u ) 一2 k a h 7 ( u ) 一七2 入日( t ) = ( r 牡+ c ) m r ( t ) + ( 2 r a 一盯+ 2 k r u + 2 k c ) m ( 缸) + 2 k ( r 一入一口) + 七2 r t + k 2 c m 7 ( t 正) 一后2 盯m ( t 正) ( 2 2 7 ) 当w ( x ，y ) = l 且口= 0 时，m ( u ) 是破产概率妒( 札) 由于h ( x ) = e h + k x e h ， 从而( 2 2 7 ) 式变形为 ( r t + c ) m 删( u ) + ( 2 r a + 2 k r u + 2 k c ) m ( t | ) + 2 路p a ) + k 27 t + k 2 c m 7 ( t ) = 0 ( 2 2 8 ) 在( 2 2 8 ) 式中，令z = u + c r 且m 7u ) = e k 9 ( z ) ，则( 2 2 8 ) 式变形为 即 r z l q ( 名) 一2 k 9 7 ( z ) + k 2 9 ( z ) 】+ ( 2 k r z + 2 r a ) b 7 ( z ) 一七9 ( z ) 】 + 【2 忌( r a ) + k 2 r z g ( z ) = 0 ， r z g ( 名) + ( 2 r a ) 9 7 ( z ) 一a k g ( z ) = 0 ， ( 2 2 9 ) 又令z = r t 2 ( 4 a k ) ，g ( z ) = t m 一1 ( ) ，于是有 夕心) = ( 2 a k r ) ( a i r 一1 ) t 7 3 九( ) + ( 2 a k r ) t a 2 ( t ) ， 矿( z ) = 【4 a 2 后2 ( r 2 t 2 ) 】【( a r 1 ) ( a r 一3 ) t 一3 ( t ) + ( 2 a 7 - 一3 ) t a 一2 h 7 ( t ) + t a r 一1 0 ) 】， 从而( 2 2 9 ) 式变形为 ( ) + h ( t ) t 一【( a r 一1 ) 2 t 2 + 1 h ( t ) = 0 ，( 2 3 0 ) 由于( 2 3 0 ) 式有两个相互独立的解5 ，一1 ( t ) 和地，r l ( t ) ，从而( 2 2 8 ) 式的通解 为 妒( 乱) = m ( u ) = d 5 2 5 ( t ) + d 6 2 6 ( t ) ， 1 3 湖北大学硕士学位论文 其中 磊，磊为任意常数，d 5 ，d 6 为任意常数， z v ( o = ( 2 ) 2 k + v 肛! r ( 七+ 秽+ 1 ) 】， k = o k ，( t ) = ( i r 2 ) i _ 。( t ) 一i v ( t ) ( s i nu t ) ， 磊( u ) ：o oe - k y ( 秒+ c r ) 摊r ) 一12 厶，一1 i d ( 2 v i a k ( r y + c ) r ) d y ，磊( u ) = 秒+ cr ) 摊7 ) 一12 厶r 一1 ， ，u ， z 6 ( u ) = e “”( 可+ c 7 ) 州知) 1 2 虬i t - 1 ( 2 x l a k ( r y c ) l r ) d y ，u 1 4 三 具有二步保费的常利率风险模型 三具有二步保费的常利率风险模型 3 1 模型的介绍 设常数障碍值b 0 ，当保险公司的盈余不超过b 时，收取保费率为c 1 ；当 保险公司的盈余超过b 时，收取保费率为c 2 ，则盈余过程为 d u ( t ) ： c l d 。+ r u d 。一d z l u 6 ( 3 1 ) le 2 d t + r u ( t ) d t d z ( 0 ，v ( t ) b 其中7 为常数利率，z ( t ) ：n ( t k ，这里理赔次数过程 ( t ) ；t o ，是强度为a i = 1 的泊松过程，理赔量 m ；i 1 ) 是独立同分布的随机变量序列，共同的分布函 数为p ( z ) ，且p ( o ) = 0 ，均值为p 0 ，且 ( ) ；t 0 与 k ；i 1 相互独立 定义该盈余过程的破产时刻为 t = i n f t ：u ( t ) o ) 破产概率为 妒( ) = p ( r b 3 2 罚金折现期望值函数的积分微分方程 1 5 湖北大学硕士学位论文 定理3 1 在模型( 3 1 ) 中，罚金折现期望值函数满足 m i ( u ) = 嵩州u ) 一上r u - i - c 1 听m 1 ( u 刊d p ( 卅脚) ，。u 6 ， 州= 旦r u + c 2 喇一熹盯6 m 2 ( u 刊d p 州u ) ，跏， 其中 日( z ) = w ( x ，y x ) d p ( y ) ， j z ，z 7 ( z ) = m l ( z y ) d p ( y ) + 日( z ) ，z b ，z - b 证明考虑第一份理赔到达时间t 和理赔量y 当0 u b 时，令t o = ( 1 r ) l n ( ( c l + b o ( c l + r u ) ) 表示没有理赔发生时， 盈余达到b 的时刻 当t t o 时，有如下两种可能事件： ( 1 ) 当y u e n + c l 砀，不发生破产，且单位时间收取保费保持为c l ； ( 2 ) 当y 仳e n + c l 现i ，发生破产 当t t o 时，有如下三种可能事件t ( 1 ) 当y b e 7 ( t - t o ) + c 2 - g t - - - - 菇o l ，发生破产 令 h l ( t ) = u e “+ c 1 两， 则 h 2 ( t ) = b e ( 一幻) + c 2 耻习， m - ( u ) = f 0 。a e _ f o 。e e 一打加( u ( t 一) ，i u ( 丁) i ) i ( t b 时，有如下三种可能事件： ( 1 ) 当y t e n + c 2 i ，发生破产 令h 3 ( t ) = 让e n + c 2 现i ，贝9 m 2 ( u ) = f o 。a e - x tz 。0e e - a t w ( u ( t 一) ，i u ( t ) i ) x i ( t 6 ， 当0 u b 时，( 3 2 ) 式变形为 m ，( 让) = z 幻a e 一( a + 口) 。 j 厂o “扪m l ( - ( t ) 一) d p ( ! ，) + 日( - ( ) ) d t + f 扩( 砷 z h 2 ( t ) - bm 2 ( 以旷枷驹杠( 3 4 ) 当u b 时，( 3 3 ) 式变形为 m z ( u ) = z 。a e 一( a + 口m 上h 3 ( t ) - bm z ( 九。( ) 一耖) d p ( ! ，) + ，y ( 危。( ) ) d t ( 3 5 ) 1 7 湖北大学硕士学位论文 当0 u b 时，记( 3 4 ) 式中第一个积分为，且令z = h i ( t ) ，则d x = e n ( r 札+ o ) d t = ( r x + c 1 ) d t ，于是有 j=(ru-c1)州z6(rx+0-1-(a+a)r昕mla(ru ) - 1 - ( ( z y ) d p ( y ) 删小( 3 6 ) j = ( + 。) 7 (i ( z 一+ 日( z ) i d z ( 3 6 ) 一u。，u 。 记( 3 4 ) 式中第二个积分为，j ，且令z = h 2 ( t ) ，则d x = ( c 2 - i - e ( 。一t 0 ) 出= ( r z + c 2 ) d t ，于是有 j ，：a f ( c l + ( c 2 + r 扣沙( c l + ，t ) ( 枷) r ，：。(rz+一1一(a+口)r，。x-b c 2 ) m 2 ( z y ) d p ( y ) + 7 ( z ) d z ( 3 7 ) ( r z + 一1 一( a + 4 ) 2 ( z 一+ 7 ( z ) l d z ( 3 7 ) ，6，u j 从而( 3 4 ) 式变形为 m l ( u ) = i + i i ( 3 8 ) 当 t t b 时，对于( 3 5 ) 式，令z = h 3 ( t ) ，则d x = e r t ( r u + c 2 ) d t = ( r z - i - c 2 ) d t ，于 是( 3 5 ) 式变形为 酬= f a ( 鬻) 一们p 吆x - b 唰妒州z ) 去缸慨9 ， 在( 3 8 ) 式中关于u 求导数得 当0 u b 时，有 m i ( u ) = 巍m l ( 让) 一上r u + c l 昕m - ( 珏刊d p ( 卅脚) ( 3 1 0 ) 在( 3 9 ) 式中关于u 求导数得 当钍 b 时，有 嘣u ) = 糍吲u ) 一熹 厂m 2 ( ) d p 州札) ( 3 1 1 ) 3 3 理赔量为指数分布的情形 定理3 2 在模型( 3 1 ) 中，若理赔量为指数分布，即p ( x ) = 1 一e - 口- x ， z 0 ，p 0 ，则破产概率的通解为 妒( t t ) = 。，+ d 2 f o u e f 1 ( z ) d z ，。u 6 ， ，u 妒( t ) = d 3 + d 4 e 喝忙) 血， t b ， ，b 1 8 三 具有二步保费的常利率风险模型 其中 d l ，d 2 ，仇，仇为任意常数， ，z f l ( z ) = f l ( y ) d y = 卢z + ( 1 一a r ) i n ( 1 + r x c 1 ) ， ，0 ，z f 2 ( z ) = f 2 ( y ) d y = p ( ( z b ) + ( 1 一入7 ) i n ( 1 + r ( z 一6 ) c 2 ) ，b 证明当0 缸b 时，( 3 1 0 ) 式变形为 卢入e 一卢“o m - ( z ) e 触d z = ( a + 口) m l ( ) 一( r t + c 1 ) m i ( u ) 一入日( t i ) ， 卜者对求导斯得 ( 7 - t + c 1 ) m ：( u ) + ( z r u + ，一a 一仃+ c l z ) m l ( u ) 一z a m l ( u ) = 一a ( 日7 ( “) + 卢( 札) ) 同理，当札 b 时，( 3 1 1 ) 式变形为 ( 3 1 2 ) ( r u + c 2 ) m g ( u ) + ( z r u + r a 一盯+ c 2 z ) m 2 ( u ) 一p 口m 2 ( t 正) = 一a ( 日7 ( ) + ( ) ) ( 3 1 3 ) 当脚( z ，y ) = 1 且盯= 0 时，m ( u ) 是破产概率妒( u ) 由于h ( x ) = e - f i x ，z 0 ，从 而( 3 1 2 ) 式和( 3 1 3 ) 式变形为 其中 m i ( u ) + y l ( u ) m i ( u ) = 0 ，0 t l b ， m g ( u ) + 尼( u ) m ：( t ) = 0 ，u b ， y l ( u ) = p + ( r a ) ( r 牡+ c 1 ) ， 厂2 ( 札) = p + ( ， 一a ) ( r 乱+ c 2 ) 由( 3 1 4 ) 式和( 3 1 5 ) 式得到妒( u ) 的通解为 妒( u ) = m 1 ( 让) = d 1 + d 2 e - f 1 ( 。) d x ，0 t b ， ，0 ，t i 妒( u ) = m 2 ( 让) = d 3 + d 4 e - f 2 ( 。) d z ， u b ， 1 9 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 湖北大学硕士学位论文 其中 d 1 ，d 2 ，忱，风为任意常数， t z f l ( z ) = f i ( v ) d v = 触+ ( 1 一入r ) l n ( 1 + r z c 1 ) ， ，0 一e h 一 三 具有二步保费的常利率风险模型 上式对u 求导数得 k 2 a e 如厂”m l ( z ) e k x d z j o = 盼+ 盯一r k ( r u + c 1 ) 】m i ( t ) 一( r 秕+ c 1 ) 仇? ( ) ，+ 惫( a + a ) m l ( u ) 一a h 7 ( t 1 ) 一七a 日( t ) ， 再次对u 求导数得 一a h ( t ) 一2 k a h ( ) 一k 2 a h ( u ) = ( r “+ c 1 ) m l l l l ( u ) + ( 2 r a 一口+ 2 k r u + 2 k c l ) m l l l ( u ) + 2 k ( r a 一口) + k 2 r t i + k 2 c 1 m ：( u ) 一k 2 0 m l ( u ) ( 3 1 6 ) 同理，当让 b 时。( 3 1 1 ) 式变形为 后：a e 一知” z “m ：( z ) ( u z ) e k x d x + 0 6 仇( z ) ( u z ) e 妇d z = ( 入+ 盯) m 2 ( u ) 一( r t 正+ c 2 ) 啦( u ) 一a 日( t i ) ， 上式对u 求导数得 七2 a e 一膏u z “m 2 ( z ) e k z d x + 0 6m ，c z ，e 。d 。 = 陋+ 盯一r k ( r u + c 2 ) j m ：( u ) 一( r u + c 2 ) m g ( 扎) + 血( a + 盯) m 2 ( t ) 一a h 7 ( u ) 一k a h ( u ) ， 再次对u 求导数得 一a h 7 7 ( 札) 一2 k a h 7 ( t ) 一七2 a h ( u ) = ( r t 正+ c 、m f i l l 、u ) + ( 2 r 一入一仃+ 2 k r u + 2 k c 2 ) m ；( u ) + 2 k ( r 一入一仃) + k 2 r u + k 2 c 2 m 1 2 ( u ) 一k 2 0 m 2 ( u ) ( 3 1 7 ) 当w ( x ，y ) = l 且仃= 0 时，m ( u ) 是破产概率妒( u ) 由于h ( z ) = e - h + k x e h ， 从而( 3 1 6 ) 式和( 3 1 7 ) 式变形为 当0 u b 时，有 ( r t - 1 - c 1 ，r “i i i u ) + ( 2 r 一入+ 2 k r u + 2 k c l ) m l ( u ) + 【2 七( r a ) + k 2 r 牡+ k 2 c 1 m l ( u ) = 0 ( 3 1 8 ) 2 1 湖北大学硕士学位论文 当钍 b 时，有 ( r 札+ c 2 ) m 2 i i i ( 让) - i - ( 2 r a + 2 k r u + 2 七c 2 ) m ! ( 髓) + 【2 后( r a ) + 后2 r u + k 2 c 2 m ：( u ) = 0 ( 3 1 9 ) 当0 u b 时，在( 3 1 8 ) 式中，令z = u + c l r 且m i ( u ) = e - k 。g ( z ) ，则( 3 1 8 ) 式变形为 r z b ( 名) 一2 k g ( z ) + 后2 9 ( z ) 】+ ( 2 k r z + 2 r a ) 【9 7 ( z ) 一k g ( z ) 1 + 2 七( r a ) + k 2 r z g ( z ) = 0 ， 即 r z g ，( 名) + ( 2 r a ) 夕7 ( z ) 一a k g ( z ) = 0 ，( 3 2 0 ) 又令z = r t 2 ( 4 触) ，g ( z ) = t r 一1 危( t ) ，于是有 g t ( z ) = ( 2 a k r ) ( a r 一1 ) t a r 一3 九( t ) + ( 2 a k r ) t r - 2 h 他) ， 以名) = 【4 a 2 k 2 ( r 2 t 2 ) 】【( a r 一1 ) ( a l r 一3 ) t a 一3 ( ) + ( 2 a 一3 ) t a r - 2 h 他) + t x 7 1 ( 吼 从而( 3 2 0 ) 式变形为 ( t ) + h ( t ) t 一【( a i r 1 ) 2 t 2 + l l h ( t ) = 0 ，( 3 2 1 ) 由于( 3 2 1 ) 式有两个相互独立的解厶，一l ( t ) 和巧，