（计算数学专业论文）基于广义逆矩阵值thiele型有理插值与ε型有理插值.pdf

上海大学硕士学位论文 摘要 顾传青引入矩阵s a m e l s o n 逆，建立了基于广义逆矩阵值t h i e l e - 型有理插 值本文完善了顾传青的结果，对基于广义逆矩阵值t h i e l e - 型有理插值的整除 性质和特征性质给出了归纳证明 本文利用矩阵s a m e l s o n 逆，建立了著名的矩阵值算法，在此基础上定义 了广义逆矩阵值e 型有理插值，证明了矩阵值t h i e l e - 型有理插值与型有理 插值之间的恒等定理给出的矩阵值有理插值算例说明恒等定理是正确的和有效 的 关键词：矩阵s a m e l s o n 逆，t h i e l e - 型有理插值，算法，恒等定理 a b s t r a c t g uc h u a n q i n gi n t r o d u c e dt h es a m e l s o ni n v e r s eo fam a t r i xa n dg a v et h eg e n e r a l i z e di n v e r s em a t i x v a l u e dt h i e l e - t y p er a t i o n a li n t e r p o l a n t ( g m r i ) i nt h i sp a p e r ，t o i m p r o v et h ea b o v er e s u l t s ，d i v i s i b i h t ya n dc h a r a c t e r i s a t i o no fg m r ia r ep r e s e n t e d o nt h eb a s i so ft h es a m e l s o ni n v e r s e w e l l - k n o w nm a t r i x v a l u e d 争a l g o r i t h mi s e s t a b l i s h e d ，t h e nt h eg e n e r a l i z e di n v e r s em a t i x - v a l u e d6 - t y p er a t i o n a li n t e r p o l a n ti s d e f i n e di nt h ep a p e r t h ei d e n t i c a lt h e o r yb e t w e e nt h i e l e - t y p er a t i o n a li n t e r p o l a n t s a n de t y p er a t i o n a li n t e r p o l a n t si sp r o v e d t w on u m e r i c a le x a m p l e si l l u s t r a t et h a tt h e i d e n t i c a lt h e o r yi sc o r r e c ta n de f f i c i e n t k e y w o r d s ：t h es a m e l s o ni n v e r s eo fam a t r i x ，t h i e l e t y p er a t i o n a li n t e r p o l a n t ， e - a l g o r i t h m ，i d e n t i c a lt h e o r y 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表和撰写过的研究成果参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论文 及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅，学校可以公布论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：导师签名：日期： 上海大学硕士学位论文 第一章引言 1 1 矩阵函数的基本定义 在本文中，要广泛地应用矩阵分析的知识，因此在这里对矩阵分析的基本内 容作简单扼要的介绍 定义1 1 1 设，( 彳) = 齄。口m 严是复变数幂级数，若矩阵幂级数怒。口m 俨 收敛，则定义矩阵函数 例1 1 2 我们熟知 ，( a ) = a 价 e ：= l + z + 刍z 2 + + 雨1 z n + s t n z = 名一刍z 3 + 刍夕一寺z 7 + c o s z = - 一刍z 2 + l z 4 - - 丽1 z 6 + 在整个复平面上都收敛，于是，任给a c 蛾，方阵幂级数 e = e + a + 刍a 2 + + 刍+ ， s t 礼a = 以一刍a 3 + 击a 5 一蠢a 7 + c d 8 a = e 一刍a 2 + 者a 4 一啬a 6 + 分别为指数函数，正弦函数和余弦函数这三类常用的矩阵函数 正如数学分析中对是实函数所讨论的那样，我们也可以对矩阵函数引进极 限、连续、微分等概念 定义1 1 3 ，。c ，o 。a 镎 a = 警 l 龆。勉 如果当j - o 。时，仇n 个序列 n 黟) 都收敛予 口舒“= 1 ，2 ，m ；j = 1 ，2 ，n ) a 蕾。1 10,12引o,in 和 定理1 1 4 已知 = , l i m a t a _ 1 i m 蜀= b o 。 是两个矩阵函数，则有 ( 1 ) 两个矩阵函数之和( 差) 的极限等于极限之和( 差) ： 1 i ma t 士b t = a 士b o 。 ( 2 ) 两个矩阵函数乘积的极限等于极限的乘积： 1 i ma t b l = a b l + ，= 匿吲 、llill蓦凯；嗍趣嘏；勰 土渔杰堂塑圭堂焦迨塞墨 当t _ t o 时，若矩阵函数a ( t ) 一a ( t o ) ，称矩阵函数a c t ) 在t o 点是连续的 如果a ( t ) 在区间t l t t 2 的每一点都连续，则称a ( t ) 在区间t l tst 2 上是连续的 利用上面的定义，我们可以得到： 定义1 1 6 如果a ( t ) 和e ( t ) 是在点t o 连续的矩阵函数，而a ( t ) 是在点t o 连 续的实函数，则矩阵函数a ( t ) 4 - b ( t ) ，a ( t ) a ( t ) ，a ( t ) xb ( t ) 和实函数n ( t ) 6 ( t ) 也 都在点t o 连续( 把命题中的点t o 改为区间t l tst 2 时，命题也成立) 定义1 1 7 设a ( 是定义在区间t l t t 2 上的一个矩阵函数设t o ( t l ，t 2 ) ，如果极限 l i r a a ( t o + a ：t ) - a ( t o ) a t 0 玉t 存在，则称a ( t ) 在点t o 点是可微分的，这个极限称为a ( t ) 在t o 点的微分，用 ( 号磐) 幻或( 坐妒) t o 表示，即 ( 掣驴硝= l i r a 。坐掣 定理1 1 8 如果a c t ) 在某个开区间的每一点都有微分存在，则我们说a c t ) 在此区间是可微的或简称矩阵函数a ( t ) 是可微的，它的微分记成a ( t ) 定义1 1 9 设a ( t ) ，b ( ) ，c ( t ) 分别是可微的矩阵函数，a ( t ) 是可微的实函 数，则a ( t ) 士b ( t ) ，入( t ) a ( t ) ，a ( t ) b ( t ) ，( a ( t ) ，b ( t ) ，c ( o ) 都是可微的，并且 ( a a ) ：- a + m ( a 士b ) = a 4 - b ( a 口) = a b + a b ( a ，b ，c ) = ( a ，b ，g ) + ( a ，b 7 ，c ) + ( a ，b ，c 、 例1 1 1 。已知以c = s i n t 2 e 2 护t ) ，求岳a c 力 邱，= ( 揣描) = ic o s t2 6 t 2 ) 一一 土连左堂亟堂焦迨塞垒 定义1 1 1 1 矩阵函数的积分的定义如下： 上邱) 拈舰三讹) ( 卜t ) 其中，口= t o ，t l ，t n - 1 ，如= b 表示区间b ，6 】的分点，龟是区间( t i - 1 ，t i ) 中的 任一点，当n o 。时，f t i t i - 1 i - 0 定理1 1 1 2 如果矩阵函数a ( t ) 是可积的，则有 f a ( t ) 班= l ( t ) 蚓仇黼 f 6 a ( t ) d t ： 厂叼( t ) 捌 上2 吃叼( t ) 捌 土瀣盔堂亟堂焦造塞曼 1 2 本文所做的工作 在第二章，本文介绍了顾传青教授f 2 0 j 引入的矩阵直接内积和基于直接内积 的矩阵广义逆( s a m e l s o n 逆) 的定义和基本性质 在第三章，本章完善了顾传青教授文章 2 1 】的结果，对基于广义逆矩阵值 t h i e l e - 型有理插值的整除性质和特征性质给出了归纳证明这是本文的第一个 结果插值算例说明基于广义逆矩阵值t h i e l e 型有理插值是有效的为了保持 完整性，同时给出了误差公式的证明 一 在第四章，本章利用矩阵s a m e l s o n 逆，建立了著名的矩阵值算法证明了 矩阵值t h i e l e - 型有理插值与矩阵值_ 型有理插值之间的恒等定理给出的算例 说明了恒等定理的正确性这是本文的主要结果 上海大学硕士学位论文 6 第二章矩阵直接内积和基于直接内积的矩阵广义逆 矩阵直接内积和基于直接内积的矩阵广义逆( s a m e l s o n 逆) 的概念由顾传 青教授引入，详见【2 0 由于本文将以该矩阵广义逆为基础建立广义逆矩阵t h i e l e - 型连分式插值和广义逆矩阵e 算法，故下面的概念和有关性质直接给出而不加证 明 2 1 矩阵直接内积 用五a t 和a 日分别记矩阵a 的复共轭，转置和共轭转置，用t r a ，d e t a 分 别记矩阵以的迹和行列式两个复矩阵a = 】和b = 【b i j 】的通常的内积记为 a b ：t r b h a 定义2 1 1 设a = f 0 巧】，b = 【幻】c 麟。是两个3 t 矩阵矩阵a 和b 的 直接内积定义为 = a i j b i j ( 2 1 1 ) 按照定义( 2 1 1 ) ， c 是一个实数或复数 必须指出，当a = 【a q ，b = 【b 0 】r 以是实矩阵时， 是通常的矩 阵a 和b 的内积或数量积( 点积) = t r b t a = a b 但当a = 【n 乩b = 】c 州是复矩阵时， 就不是通常的矩阵a 和 b 的内积了，即 = t r b t a t r b h a 由于上述原因，将定义2 1 1 给出的( a ，b ) 称为矩阵的直接内积 例2 1 2 设 a = 三： ，b = ： 土渔太堂亟堂焦硷塞一：一 z 不难看出 = 3 i + l = 4 i t r b 日a = 2 i = - 9 + 1 + 1 + 1 = 一6 = 1 1 = 0 即它们不满足： ( i ) 如果a 0 ，成立 0 ( i i ) = 0 当且仅当b ；0 由直接内积的定义和复共轭矩阵的性质，易得下面两个引理 引理2 1 3 设a ，b ，c c 。x ，b c ，则 ( i ) = ( i i ) = = b ( i i i ) = + 引理2 1 4 设a ，b c 8 ，b c ，则 ( i ) a = a ( i i ) ( b a ) = ba ( i i i ) ( a + b ) = a + b ( i v ) 俨= ( 五) t ( v )a 日= ( a ) 日 其中5 表示数b 的复共轭数 定义2 1 5 设a = 【o 别c m 州，矩阵a 的e u c l i d e a n 模或范数定义为 l i a i l = i i a i i f = 、 = ( 。巧) 1 胆 (2删i= li = 1 、 7 = ( l 叼1 2 ) 1 2 i = l j = l 从式( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 得出 i i a i l 2 = = 1 2 ( 2 3 ) 定理2 1 6 ( s c h w a r zi n e q u a l i t y ) 设a = 【】，量= 】c “，则 f lsi i a i i i i b i i 一 土姿态堂亟主堂焦迨塞璺 引理2 1 7 由式( 2 1 3 ) 定义的模陋l f = 、 o ； ( i v ) | ( 。) 1 1 2 = 3 ( 1 + z ) 2 ( 5 x 2 + 1 ) ，d c z ) l l l - n ( x ) 1 1 2 且与例3 2 7 结论相同 一 土连盘堂亟堂焦迨塞呈至 f 4 2 两个引理 为了证明恒等定理4 1 3 ，本节首先给出两个引理 引理4 2 1 娘l = g 娃2 ( z ) 诎( z ) ，歹= o ，1 ，k = 1 州2 ( 4 2 1 ) 其中。g 2 0 七) 一2 ( z ) 是次数为2 k 一2 的矩阵值多项式 i - 1 p ( z ) = 1 ，w ( z ) = i i ( $ 一x t ) ，i = l ，2 ， ( 4 2 2 ) 1 = 0 证明设矩阵值n e w t o n 插值多项式为 其中方阵o r d x d ，得 其中 由( 4 1 2 ) 可得 挈= 口o 】= 嗥o o i w i ( z ) ， 瞄+ v o 一f j o = 岛+ 1 w j - i - l ( x ) p =e ! 产1 ) + l ( x x j + 1 ) ( 舻+ 一e 挈) i q + 1 坼+ 2 ( z ) 】一1 ( 4 2 3 ) g 舻( z ) w 0 + 2 ( z ) ， g 挈( $ ) = g + 1 l i e s + 11 1 2 ，d e 9 g 挈( 。) ) = 0 假设当j = 0 ，1 ，k l 时成立： ( i ) e 娃1 = g 裂2 ( z ) 栅( z ) ， ( i i ) 婴是 + 2 k 2 k l 的g m 砒( 此假设在定理中给出) 在( 4 ) 中用假设( i ) 得 1 = g 必( z ) l w s 似+ 1 ( z ) + l l ( x 一巧+ 1 ) ( 射一婴) ( 4 2 4 ) 由假设( i i ) ，设 g ，1 ) = s ( 。) t ( z ) ，婴= u ( z ) u ( z ) ， 分别为既约分式，且不妨设t ( z ) 与口( z ) 之间无公因子分别设 d e 9 t ( 。) ) = 2 k 一， d e 9 s ( z ) = 2 k - i - 歹+ 1 一， t ( = ) l l l s ( x ) 1 1 2 ， ，o ； 如g t ，( z ) ) = 2 k g ， 如9 v ( z ) = 2 k + 歹+ 1 一g ， v ( x ) l l l u ( x ) 1 1 2 ，0 定义矩阵值多项式t ( $ ) 为 ( 4 2 6 ) t ( z ) = s ( z ) ( z ) 一矽( z ) t ( z ) ( 4 2 7 ) 由插值条件 t ( x i ) = 0 ，i = 0 ，1 ，j + 2 k 定义矩阵值多项式z ( 霉) 为 t ( z ) = z ( z ) w 0 + 2 + 1 ( 。) 那么，由( 4 2 7 ) 得 i i t i l 2 = t r ( t 日t ) = l i s l l 2 u 2 + l l u l l 2 t 2 一v t ( 3 日u + s u 日) 由上式得出 t ll l t i l 2 ，v ll l t i l 2 根据g m r i 的定义，这里 t ( x i ) 0 ，( 双) 0 ，i = 0 ，1 ，歹+ 2 k ， 由( 4 2 8 ) 和( 4 2 1 0 ) 推导得 t l l l z l l 2 ，勘l l l z l l 2 ( 4 2 8 ) ( 4 2 9 ) ( 4 2 1 0 ) ( 4 2 1 1 ) 由( 4 2 5 ) - ( 4 2 8 ) ，可得 d e g t ( x ) 4 k + 歹+ l 一，一g ，- d e 9 + 驰+ 1 ) = j + 2 七+ 1 ， ( 4 2 1 2 ) d e g z ( x ) 2 k 一，一g d e g ( v t ) = 4 k 一 一g 连盔堂亟堂焦途塞 丝 由( 4 2 1 2 ) ，注意到整除关系( 4 2 i i ) ，定义一个矩阵值多项式m ( 茹) 为 m ( x ) = u ( 。) t ( z ) z ( z ) = z ( z ) 勘( z ) t ( z ) l l 彳1 1 2 这里 d e g t m c x ) ) = 4 k 一，一g 一( 2 后一，一9 ) = 2 k 由( 4 2 7 ) 和( 4 2 8 ) ，( 4 2 1 3 ) 可得 ( e 射翔) 一l = ( s ( z ) t ) 一u ( 。) u ( z ) ) 一1 = 【( 5 | ( 。) 勘( z ) 一( 。) t ( z ) ) u ( 。) t ( z ) r 1 = 移( z ) t ( 。) z ( z ) w j + 2 k + l ( 。) = z ( z ) t ，( z ) t ( z ) 0 z i l 2 w 0 + 2 k + l ( z ) = m ( x ) i w j + 2 七+ 1 ( z ) 将( 4 2 1 5 ) 代入到( 4 2 4 ) ，并利用( 4 2 1 4 ) 得 ( 4 2 1 3 ) ( 4 2 1 4 ) ( 4 2 1 5 ) e 致t2 竺群脓z ( 卅聊) w j 榭洲 ( 4 “) = g 裂w j + 2 k - l - 2 ( x ) 娃1 = o ( x j 一2 ) ，翔= o ( ) ，( z _ o 。) 证明由( 4 2 3 ) 得 e p ) = ( 0 + 1 + 2 ) = o ( x - j 一2 ) 由递推公式( 4 1 3 ) 得 箩) = s 舻+ 1 ) + 1 ( z x j + 2 ) ( p + 一e # ) = 。j l ：- t - 0 1 c i w d x ) + c j + 1 名+ 1 ( z ) ( 4 2 1 7 ) + + z ( z ) 【一扛一功+ z ) 啄。】一1 由( 4 2 1 7 ) 易见，最高次数项g + i x j + 1 正好正负相消，即 箩) = o ( z j ) ( z _ 。o ) 假设当歹= 0 ，1 ，2 ，k 2 时成立： ( i ) e 娃1 = o 仕一，一2 ) _ ) ( i i ) 婴= o ( z j ) 扛_ o o ) 土瀣太堂亟堂焦迨塞堑 当( i ) ( i i ) 成立，从( 4 1 2 ) 可得 ，0 ) 一 0 2 七+ 1 一 o ( x j 一3 ) + o ( f z 射1 】一1 ) 0 ( z 一卜3 ) 一d ( 【+ 2 】_ 1 ) ( 4 2 1 8 ) 0 ( z j 一2 ) - 。o ) 当假设( i i ) 和( 4 2 1 8 ) 成立，从( 4 1 3 ) 可得 般2 三搿高：缡刊 2 朋， = d ( + 1 ) 一o ( p 一j 一2 ) 】一1 ) ( z o 。) 、。 如同在( 4 2 1 7 ) 一样，在( 4 2 1 9 ) 中最高次数项正好正负相消，即 娘2 = o ( ) _ o 。) 渔太堂亟堂鱼迨塞垫 4 3 恒等定理4 1 4 的证明 证明当后= 0 时，由( 4 1 1 ) 知定理显然成立 在( 4 2 1 7 ) 中设 2 ( z ) = f _ 仕一巧+ 2 ) 瞬l 则得 这里 则得 即 且 e 箩) = e j ；：- f 。1 - - f w ( z ) + v 吩+ 2 i 1 ( z ) = ( i i a 2 ( = ) 1 1 2 e i 。：+ 。i - f w ，；f ( z ) + a 2 ( z ) w 0 + 2 ( z ) ) i l 2 ( z ) 1 1 2 ( 4 3 1 ) 。= v 2 ( z ) d ( z ) ， ， d ( $ ) = i i 2 ( z ) 1 1 2 从( 4 2 1 7 ) 或由引理4 2 2 得 ， d e 9 e 箩 = j0 _ o 。) d e 9 d 2 ( z ) ) = 2 、( 4 3 2 ) d e 9 j ( z ) ) = d e g v ) + 出9 d ( z ) ) = 歹+ 2 由( 4 , 3 1 ) 易得 2 1 1 2 = + + 惴“) 1 1 2 递 w 弄2 d 2 + d 2 k 2 ( z ) ( ( 轳+ 1 ) 日2 ) + 挈+ 1 笋( z ) ) d 2 ( 储+ 1 1 1 2 d 2 + 吩2 2 ( z ) ( ( 挈+ 1 ) 日2 ( z ) + 挈+ 1 罗( z ) ) ) ， d 2 ( z ) 川2 ( z ) 忆( 4 3 3 ) d 2 ( x ) = l i z 2 ( = ) 1 1 2 0 从( 4 , 2 1 7 ) 还可得 e 多( 瓤) = s 挈+ 1 ( q ) = m ，i = o ，l ，j + 2 ( 4 3 4 ) 从( 4 3 1 ) 一( 4 3 4 ) 证明了箩是日+ 2 2 型的g m r i 渔态堂塑堂焦迨塞至z 假设当歹= 0 ，1 ，2 ，k 2 时成立： ( i ) e 娃1 = o ( x j 一2 ) ，婴= d ( ) ， _ ) ； ( i i ) 娃l = g 盟2 ( z ) 锄( z ) ； ( i i i ) 婴是d + 2 k 2 七】型的g m 砒 由上述假设，引理4 2 1 和引理4 2 2 均成立下面证( i i i ) 当k + 1 时成立即