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年全国各地中考数学试题压轴题解析汇编解答题（2）26.（年浙江杭州12分）方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从m地出发沿一条公路匀速前往n地，设乙行驶的时间为t(h)，甲乙两人之间的距离为y(km)，y与t的函数关系如图1所示，方成思考后发现了图1的部分正确信息，乙先出发1h，甲出发0.5小时与乙相遇，请你帮助方成同学解决以下问题：（1）分别求出线段bc，cd所在直线的函数表达式；（2）当20y30时，求t的取值范围；（3）分别求出甲、乙行驶的路程s甲、s乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从n地沿同一条公路匀速前往m地，若丙经过43h与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇.【答案】解：（1）设线段bc所在直线的函数表达式为，解得.线段bc所在直线的函数表达式为.设线段cd所在直线的函数表达式为，解得.线段bc所在直线的函数表达式为.（2）线段oa所在直线的函数表达式为，点a的纵坐标为20.当时，即或，解得或.当时， t的取值范围为或.（3），.所画图形如答图：（4）当0时，丙距m地的路程与时间的函数关系式为.联立，解得与图象交点的横坐标为，丙出发后与甲相遇.【考点】一次函数的图象和性质；待定系数法的应用；直线上点的坐标与方程的关系；解方程组和不等式组；分类思想的应用.【分析】（1）应用待定系数法即可求得线段bc，cd所在直线的函数表达式.（2）求出点a的纵坐标，确定适用的函数，解不等式组求解即可.（3）求函数表达式画图即可.（4）求出与时间的函数关系式，与联立求解.27. （年浙江嘉兴12分）某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元. 为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第天生产的粽子数量为只，与满足如下关系式：.（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？（2）如图，设第天每只粽子的成本是元，与之间的关系可用图中的函数图象来刻画. 若李明第天创造的利润为元，求与之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元（利润=出厂价-成本）？【答案】解：（1）设李明第天生产的粽子数量为420只，根据题意，得，解得.答：李明第10天生产的粽子数量为420只.（2）由图象可知，当时，；当时，设，把点（9，4.1），（15，4.7）代入止式，得，解得.时，当时，（元）；时，是整数，当时，（元）；时，当时，（元）.综上所述，与之间的函数表达式为，第12天的利润最大，最大值是768元.【考点】一元一次方程、一次函数和二次函数的综合应用；分类思想的应用.【分析】（1）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解. 本题设李明第天生产的粽子数量为420只，等量关系为：“第天生产的粽子数量等于420只”.（2）先求出与之间的关系式，分，三种情况求解即可.28. （年浙江嘉兴14分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.（1）概念理解：如图1，在四边形abcd中，添加一个条件，使得四边形abcd是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个条件；（2）问题探究：小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由；如图2，小红画了一个rtabc，其中abc=90，ab=2，bc=1，并将rtabc沿b的平分线方向平移得到，连结. 小红要使平移后的四边形是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段的长）？（3）应用拓展：如图3，“等邻边四边形”abcd中，ab=ad，bad+bcd=90，ac，bd为对角线，.试探究bc，cd，bd的数量关系.【答案】解：（1）（答案不唯一）.（2）正确.理由如下：四边形的对角线互相平分，这个四边形是平行四边形.四边形是“等邻边四边形”，这个四边形有一组邻边相等.这个四边形是菱形.abc=90，ab=2，bc=1，.将rtabc平移得到，.i）如答图1，当时，；ii）如答图2，当时，；iii）如答图3，当时，延长交于点，则.平分，.设，则.在中，解得（不合题意，舍去）.iv）如答图4，当时，同ii）方法，设，可得，即，解得（不合题意，舍去）.综上所述，要使平移后的四边形是“等邻边四边形”，应平移2或或或的距离.（3）bc，cd，bd的数量关系为.如答图5，将绕点a旋转到.，.【考点】新定义；面动平移问题；菱形的判定；全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质；等腰直角三角形的判定和性质；多边形内角和定理；勾股定理；分类思想和方程思想的应用.【分析】（1）根据定义，添加或或或即可（答案不唯一）.（2）根据定义，分，四种情况讨论即可.（3）由，可将绕点a旋转到，构成全等三角形：，从而得到，进而证明得到，通过角的转换，证明，根据勾股定理即可得出.29. （年浙江湖州10分）问题背景：已知在abc中，ab边上的动点d由a向b运动(与a，b不重合)，点e与点d同时出发，由点c沿bc的延长线方向运动(e不与c重合)，连结de交ac于点f，点h是线段af上一点（1）初步尝试：如图1，若abc是等边三角形，dhac，且点d，e的运动速度相等，求证：hf=ah+cf小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点d作dgbc，交ac于点g，先证gh=ah，再证gf=cf，从而证得结论成立；思路二：过点e作emac，交ac的延长线于点m，先证cm=ah，再证hf=mf，从而证得结论成立.请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答，则以第一种方法评分)（2）类比探究：如图2，若在abc中，abc=90，adh=bac=30，且点d，e的运动速度之比是，求的值；（3）延伸拓展：如图3，若在abc中，ab=ac，adh=bac=36，记，且点d、e的运动速度相等，试用含m的代数式表示(直接写出结果，不必写解答过程).【答案】解：（1）证明：选择思路一：如题图1，过点d作dgbc，交ac于点g，abc是等边三角形，.adg是等边三角形. .dhac，.dgbc，.，即.选择思路二：如题图1，过点e作emac，交ac的延长线于点m，abc是等边三角形，.dhac，emac，.，.又，.（2）如答图1，过点d作dgbc，交ac于点g，则.，.由题意可知，.dgbc，.，即.（3）.【考点】开放型；双动点问题；等边三角形的判定和性质；全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质.【分析】（1）根据思路任选择一个进行证明即可.（2）仿思路一，作辅助线：过点d作dgbc，交ac于点g，进行计算.（3）如答图2，过点d作dgbc，交ac于点g，由ab=ac，adh=bac=36可证：，由点d、e的运动速度相等，可得.从而可得.30. （年浙江湖州12分）已知在平面直角坐标系xoy中，o为坐标原点，线段ab的两个端点a(0，2)，b(1，0)分别在y轴和x轴的正半轴上，点c为线段ab的中点，现将线段ba绕点b按顺时针方向旋转90得到线段bd，抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点d.（1）如图1，若该抛物线经过原点o，且.求点d的坐标及该抛物线的解析式；连结cd，问：在抛物线上是否存在点p，使得pob与bcd互余？若存在，请求出所有满足条件的点p的坐标，若不存在，请说明理由；（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点e(1，1)，点q在抛物线上，且满足qob与bcd互余，若符合条件的q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围.【答案】解：（1）如答图，过点d作df轴于点f，.又，.点d的坐标为根据题意得，解得抛物线的解析式点、的纵坐标都为，轴和互余若要使得和互余，则只要满足设点的坐标为，i）当点在轴上方时，如答图，过点作轴于点，则，即，解得（舍去）点的坐标为ii）当点在轴下方时，如答图，过点作轴于点，则，即，解得（舍去）点的坐标为综上所述，在抛物线上存在点p，使得pob与bcd互余，点的坐标为或（2）a的取值范围为或【考点】二次函数综合题；线动旋转问题；全等三角形的判定和性质；曲线上点的坐标与方程的关系；锐角三角函数定义；余角的性质；方程和不等式的应用；分类思想和数形结合思想的应用【分析】（1）根据证明即可得到，从而得到点d的坐标；由已知和曲线上点的坐标与方程的关系即可求得抛物线的解析式得可以证明，使得和互余，只要满足即可，从而分点在轴上方和点在轴下方讨论即可（2）由题意可知，直线bd的解析式为，由该抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点e(1，1)，可得，所以抛物线的解析式为若要使得和互余，则只要满足，据此分和两种情况讨论31. （年浙江金华10分）图1，图2为同一长方体房间的示意图，图2为该长方体的表面展开图.（1）蜘蛛在顶点处苍蝇在顶点b处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；苍蝇在顶点c处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板abcd爬行的最近路线和往墙面爬行的最近路线，试通过计算判断哪条路线更近？（2）在图3中，半径为10dm的m与相切，圆心m到边的距离为15dm，蜘蛛p在线段ab上，苍蝇q在m的圆周上，线段pq为蜘蛛爬行路线。若pq与m相切，试求pq的长度的范围.【答案】解：（1）如答图1，连结，线段就是所求作的最近路线.ebaabfc两种爬行路线如答图2所示，由题意可得：在rtacc2中， ahc2= (dm)；在rtabc1中， agc1=(dm)，路线agc1更近.（2）如答图，连接mq，pq为m的切线，点q为切点，mqpq.在rtpqm中，有pq2=pm2qm2= pm2100，当mpab时,mp最短，pq取得最小值，如答图3,此时mp=30+20=50，pq= (dm).当点p与点a重合时, mp最长，pq取得最大值，如答图4,过点m作mnab，垂足为n，由题意可得 pn=25，mn=50，在rtpmn中，.在rtpqm中，pq= (dm).综上所述， 长度的取值范围是.【考点】长方体的表面展开图；双动点问题；线段、垂直线段最短的性质；直线与圆的位置关系；勾股定理.【分析】（1）根据两点之间线段最短的性质作答.根据勾股定理，计算两种爬行路线的长，比较即可得到结论.（2）当mpab时,mp最短，pq取得最小值；当点p与点a重合时, mp最长，pq取得最大值.求出这两种情况时的pq长即可得出结论.32. （年浙江金华12分）如图，抛物线与轴交于点a，与轴交于点b，c两点（点c在轴正半轴上），abc为等腰直角三角形，且面积为4. 现将抛物线沿ba方向平移，平移后的抛物线经过点c时，与轴的另一交点为e，其顶点为f，对称轴与轴的交点为h.（1）求，的值；（2）连结of，试判断oef是否为等腰三角形，并说明理由；（3）现将一足够大的三角板的直角顶点q放在射线af或射线hf上，一直角边始终过点e，另一直角边与轴相交于点p，是否存在这样的点q，使以点p，q，e为顶点的三角形与poe全等？若存在，求出点q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】解：（1）abc为等腰直角三角形，oa=bc.又abc的面积=bcoa=4，即=4，oa=2. a ，b ，c .，解得.（2）oef是等腰三角形. 理由如下：如答图1，a ，b ，直线ab的函数表达式为，又平移后的抛物线顶点f在射线ba上，设顶点f的坐标为（m，m+2）.平移后的抛物线函数表达式为.抛物线过点c ，解得.平移后的抛物线函数表达式为，即.当y=0时，解得.e（10，0），oe=10.又f（6，8），oh=6，fh=8.，oe=of，即oef为等腰三角形.（3）存在. 点q的位置分两种情形：情形一：点q在射线hf上，当点p在轴上方时，如答图2.pqepoe， qe=oe=10.在rtqhe中，,q.当点p在轴下方时，如答图3，有pq=oe=10,过p点作于点k，则有pk=6.在rtpqk中，,，.，.又，. ， 即，解得.q.情形二：点q在射线af上，当pq=oe=10时，如答图4，有qe=po,四边形poeq为矩形，q的横坐标为10.当时， q.当qe=oe=10时，如答图5.过q作轴于点m，过e点作x轴的垂线交qm于点n，设q的坐标为，.在中，有, 即，解得.当时，如答图5，q.当时，如答图6， .综上所述，存在点q或或或或，使以p,q,e三点为顶点的三角形与poe全等.【考点】二次函数综合题；线动平移和全等三角形存在性问题；等腰直角三角形的性质；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质；分类思想和方程思想的应用.【分析】（1）由abc为等腰直角三角形求得点a、b、c的坐标，应用待定系数法即可求得，的值. （2）求得平移后的抛物线解析式，从而求得点e、f的坐标，应用勾股定理分别求出oe、of、ef的长，从而得出结论.（3）分点q在射线hf上和点q在射线af上两种情况讨论即可.33. （年浙江丽水10分）如图，在矩形abcd中，e为cd的中点，f为be上的一点，连结cf并延长交ab于点m，mncm交射线ad于点n.（1）当f为be中点时，求证：am=ce；（2）若，求的值；（3）若，当为何值时，mnbe？【答案】解：（1）证明：f为be中点，bf=ef.abcd，mbf=cef，bmf=ecf.bmfecf（aas）.mb=ce.ab=cd，ce=de，mb=am. am=ce.（2）设mb=，abcd，bmfecf. .，.，.mnmc，a=abc=90，amnbcm. ，即.（3）设mb=，由（2）可得.当mnbe时，cmbe.可证mbcbce. ，即.当时，mnbe.【考点】探究型问题；矩形的性质；全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质. 【分析】（1）应用aas证明bmfecf即可易得结论.（2）证明bmfecf和amnbcm，应用相似三角形对应边成比例的性质即可得出结果.（3）应用（2）的一结结果，证明mbcbce即可求得结果.34. （年浙江丽水12分）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点a处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点a的水平距离为（米），与桌面的高度为（米），运行时间为（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：（秒）00.160.20.40.60.640.8（米）00.40.511.51.62（米）0.250.3780.40.450.40.3780.25（1）当为何值时，乒乓球达到最大高度？（2）乒乓球落在桌面时，与端点a的水平距离是多少？（3）乒乓球落在桌面上弹起后，与满足用含的代数式表示；球网高度为0.14米，球桌长（1.42）米，若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点a，求的值.【答案】解：如答图，以点 为原点，桌面中线为轴，乒乓球水平运动方向为正方向建立平面直角坐标系.（1）由表格中数据可知，当秒时，乒乓球达到最大高度.（2）由表格中数据可判断，是的二次函数，且顶点为（1，0.45），所以可设.将（0，0.25）代入，得，.当时，解得或（舍去）.乒乓球落在桌面时，与端点a的水平距离是2.5米.（3）由（2）得，乒乓球落在桌面时的坐标为（2.5，0）.将（2.5，0）代入，得，化简整理，得.由题意可知，扣杀路线在直线上，由得，令，整理，得.当时，符合题意，解方程，得.当时，求得，不合题意，舍去；当时，求得，符合题意.答：当时，可以将球沿直线扣杀到点a.【考点】二次函数的应用（实际应用）；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；一元二次方程根的判别式的应用.【分析】（1）由表格中数据直接得出.（2）判断出是的二次函数，设顶点式，求出待定系数得出关于的解析式，求得时的值即为所求.（3）求出乒乓球落在桌面时的坐标代入即可得结果.球网高度为0.14米，球桌长（1.42）米，所以扣杀路线在直线上，将代入，得，由于球弹起后，恰好有唯一的击球点，所以方程根的判别式等于0，求出此时的，符合题意的即为所求.35. （年浙江宁波12分）如图1，点p为mon的平分线上一点，以p为顶点的角的两边分别与射线om，on交于a，b两点，如果apb绕点p旋转时始终满足，我们就把apb叫做mon的智慧角.（1）如图2，已知mon=90，点p为mon的平分线上一点，以点p为顶点的角的两边分别与射线om，on交于a，b两点，且apb=135. 求证：apb是mon的智慧角；（2）如图1，已知mon=（090），op=2，若apb是mon的智慧角，连结ab，用含的式子分别表示apb的度数和aob的面积；（3）如图3，c是函数图象上的一个动点，过点c的直线cd分别交轴和轴于点a，b两点，且满足bc=2ca，请求出aob的智慧角apb的顶点p的坐标.【答案】解：（1）证明：mon=90，点p为mon的平分线上一点，.，.，.，即.apb是mon的智慧角.（2）apb是mon的智慧角，即.点p为mon的平分线上一点，.如答图1，过点a作ahob于点h，.，.（3）设点，则.如答图，过c点作choa于点h.i）当点b在轴的正半轴时，如答图2，当点a在轴的负半轴时，不可能.如答图3，当点a在轴的正半轴时，.，.apb是aob的智慧角，.aob=90，op平分aob，点p的坐标为.ii）当点b在轴的负半轴时，如答图4，.aob=ahc=90，bao=cah，.apb是aob的智慧角，.aob=90，op平分aob，点p的坐标为.综上所述，点p的坐标为或.【考点】新定义和阅读理解型问题；单动点和旋转问题；相似三角形的判定和性质；锐角三角函数定义；反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；分类思想的应用.【分析】（1）通过证明，即可得到，从而证得apb是mon的智慧角.（2）根据得出结果.（3）分点b在轴的正半轴，点b在轴的负半轴两种情况讨论.36. （年浙江宁波14分）如图，在平面直角坐标系中，点m是第一象限内一点，过m的直线分别交轴，轴的正半轴于a，b两点，且m是ab的中点. 以om为直径的p分别交轴，轴于c，d两点，交直线ab于点e（位于点m右下方），连结de交om于点k.（1）若点m的坐标为（3，4），求a，b两点的坐标； 求me的长；（2）若，求oba的度数；（3）设（01），直接写出关于的函数解析式.【答案】解：（1）如答图，连接，是p的直径，.，.点m是ab的中点，点d是ab的中点，点c是oa的中点.点m的坐标为（3，4），.点b的坐标为（0，8），点a的坐标为（6，0）.在中，由勾股定理，得.点m是ab的中点，.，.（2）如答图，连接，.，是的中位线. .又.是p的直径，. .，.在中，点m是ab的中点，. .（3）关于的函数解析式为.【考点】圆的综合题；圆周角定理；平行的性质；点的坐标；勾股定理；相似三角形的判定和性质；三角形中位线定理；全等三角形的判定和性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；等腰三角形的性质；由实际问题列函数关系式；方程思想的应用.【分析】（1）连接，由三角形中位线定理求得a，b两点的坐标.要求me的长，由知只要求出和的长即可，的长可由长的一半求得，而长可由勾股定理求得；的长可由的对应边成比例列式求得.（2）连接，求得得到，由得到，即因此求得.（3）如答图，连接，是p的直径，.（01），不妨设，在中，.设，则.在中，.，.点p是mo的中点，.关于的函数解析式为.37. （年安徽12分）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等设bc的长度为xm，矩形区域abcd的面积为ym2（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？【答案】解：（1）设，由题意，得，.由题意得，.y与x之间的函数关系式.（2），当时，y有最大值，最大值是300 m2【考点】二次函数的应用（实际应用）.【分析】（1）将用的代数式表示，即可根据矩形面积公式求出y与x之间的函数关系式，由于bc=ef，从而.（2）将二次函数化为顶点式，即可根据最值原理求得所求.38.（年安徽14分）如图1，在四边形abcd中，点e、f分别是ab、cd的中点，过点e作ab的垂线，过点f作cd的垂线，两垂线交于点g，连接ag、bg、cg、dg，且agdbgc（1）求证：adbc；（2）求证：agdegf；（3）如图2，若ad、bc所在直线互相垂直，求的值【答案】解：（1）证明：ce是ab的垂直平分线，gagb.同理，gdgc.在agd和bgc中，gagb，agdbgc ，gdgc，agdbgc（sas）.adbc.（2）证明：agdbgc ，agbdgc .在agb和dgc中，agbdgc，agbdgc.又agedgf，agdegf.在agd和egf中，agdegf，agdegf.（3）如答图，延长ad交gb于点m，交bc延长线于点h，则ah=bh.由（1）agdbgc知gadgbc，在gam和hbm中，gadgbc，gmahmb，agbahb90.ageagb45.又agdegf，.【考点】线段垂直平分线的；全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质；等腰直角三角形的判定和性质.【分析】（1）由sas证明agdbgc即可得出结论.（2）一方面由agbdgc，证得agbdgc得到，另一方面由agedgf得到agdegf，从而得到agdegf.（3）延长ad交gb于点m，交bc延长线于点h，则易证abg和aeg是等腰直角三角形，从而易得结果.39. （年北京7分）在正方形abcd中，bd是一条对角线，点p在射线cd上（与点c、d不重合），连接ap，平移，使点d移动到点c，得到，过点q作于h，连接ah，ph.（1）若点p在线段cd上，如图1.依题意补全图1；判断ah与ph的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点p在线段cd的延长线上，且，正方形abcd的边长为1，请写出求dp长的思路.（可以不写出计算结果）【答案】解：（1）根据题意，补全图1如答图1：判断：，证明如下：如答图2，连接.bd是正方形abcd中的一条对角线，.，是等腰直角三角形.又由平移的性质，知，.bd是正方形abcd中的一条对角线，bd是正方形abcd中的一条对称轴.（2）如答图2，连接，过点作于点，bd是正方形abcd中的一条对角线，.，是等腰直角三角形.又由平移的性质，知，.bd是正方形abcd中的一条对角线，bd是正方形abcd中的一条对称轴.，.，点在以为直径的圆上.设，.在中，即，解得，即.【考点】面动平移问题；正方形的性质；等腰（直角）三角形的判定和性质；全等三角形的判定和性质；圆周角定理；锐角三角函数定义.【分析】（1）根据题意，补全图1.作辅助线“连接”构成全等三角形，即可得到，所以，由正方形的轴对称性，得到，进而得到且的结论.（2）同（1）得到且，由点在以为直径的圆上得到，再作辅助线“过点作于点” ，构造，设，在中，由列方程求得dp的长.40.（年北京8分）在平面直角坐标系中，的半径为r，p是与圆心c不重合的点，点p关于的反称点的定义如下：若在射线cp上存在一点，满足，则称为点p关于的反称点，下图为点p及其关于的反称点的示意图.特别地，当点与圆心c重合时，规定.（1）当的半径为1时，分别判断点，关于的反称点是否存在？若存在，求其坐标；点p在直线上，若点p关于的反称点存在，且点不在x轴上，求点p的横坐标的取值范围；（2）当的圆心在x轴上，半径为1，直线与x轴，y轴分别交于点a，b，若线段ab上存在点p，使得点p关于的反称点在的内部，求圆心c的横坐标的取值范围.【答案】解：（1），.由得，点关于的反称点不存在.，.由得，点关于的反称点存在，点的坐标为.，.由得，点关于的反称点存在，点的坐标为.点p在直线上，可设.点p关于的反称点存在，且点不在x轴上，且.由勾股定理，得，即.（无解）或.解得.点p的横坐标的取值范围为.（2）直线与x轴，y轴分别交于点a，b，. .设，当点在上时，如答图1，过点作于点，则.点的横坐标，当时，点的横坐标（2，0），点的反称点在圆的内部. 当点在点右侧时，如答图2，点到线段的距离为长，最大值为2，点的横坐标.综上所述，圆心c的横坐标的取值范围为.【考点】新定义和阅读理解型问题；勾股定理；点的坐标；一次函数的性质；直线上点的坐标与方程的关系；不等式性质的应用；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；分类思想和数形结合思想的应用.【分析】（1）根据反称点的定义，列式判断当的半径为1时， 点，关于的反称点是否存在.由点p关于的反称点存在，且点不在x轴上，得，即，设由勾股定理，代入即可求得点p的横坐标的取值范围.（2）求出点a、b的坐标，从而求得，再设，分点在上和点在点右侧两种情况讨论即可.41. （年上海12分）已知在平面直角坐标系xoy中(如图)，抛物线与轴的负半轴相交于点a，与轴相交于点b，点p在抛物线上，线段ap与轴的正半轴交于点c，线段bp与轴相交于点d设点p的横坐标为（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含的代数式表示线段co的长；（2）当时，求pad的正弦值【答案】解：（1）如答图，当时，点b的坐标为.，由勾股定理，得.点a的坐标为.抛物线经过点a，解得.这条抛物线的解析式为.（2）点p的横坐标为，点p的坐标为.设直线ap的表达式为，解得（）.直线ap的表达式为.令，得，.（3）点p的横坐标为，点p的坐标为.设直线bp的表达式为，解得.直线bp的表达式为.令，得，.，即，解得（舍去）. .【考点】二次函数综合题；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；锐角三角函数定义；方程思想的应用.【分析】（1）求出点b的坐标，从而根据勾股定理求得点a的坐标，进而求得，得到这条抛物线的解析式.（2）点p的坐标为，应用待定系数法求出直线ap的表达式（含的代数式），令即可得到线段co关于的代数式）.（3）点p的坐标为，应用待定系数法求出直线bp的表达式，令，得到，根据正切函数定义，由求出的值，从而求得，进而根据正弦函数定义，由求解即可.42.（年上海14分）已知：如图，ab是半圆o的直径，弦cdab，动点p、q分别在线段oc、cd上，且，ap的延长线与射线oq相交于点e、与弦cd相交于点f(点f与点c、d不重合)，设，cpf的面积为y（1）求证：；（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当ope是直角三角形时，求线段op的长【答案】解：（1）证明：如答图1，连接，cdab，.，.又，.（2）如答图2，过点作于点，.，.又，.cdab，.y关于x的函数关系式.（3）当ope是直角三角形时，分三种情况讨论：当时， ，.当时，.（不在定义域范围内，舍去）.当时，此种情况不存在.综上所述，当ope是直角三角形时，线段op的长为8.【考点】双动点问题；平行的性质；全等三角形的判定和性质；由实际问题列函数关系式；锐角三角函数定义；相似三角形的判定和性质；直角三角形的判定；分类思想和方程思想的应用.【分析】（1）作辅助性线“连接”构成全等三角形，应用进行证明，从而根据全等三角形对应边相等的性质得出结论.（2）先应用锐角三角函数定义求出的高线长，从而求得其面积，再证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，列式即可得y关于x的函数关系式.函数的定义域求法：求出点f与点c、d重合（临界点）时的值，当点f与点d重合时，cf=cd=16，通过相似比可求得.当点f与点c重合时，.由于点f与点c、d不重合，所以函数的定义域为. （3）分，三种情况讨论即可.43. （年重庆a12分）如图1，在abc中，acb=90，bac=60，点e是bac角平分线上一点，过点e作ae的垂线，过点a作ab的线段，两垂线交于点d，连接db，点f是bd的中点，dhac，垂足为h，连接ef，hf.（1）如图1，若点h是ac的中点，ac=，求ab，bd的长；（2）如图1，求证：hf=ef；（3）如图2，连接cf，ce，猜想：cef是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由.【答案】解：（1）在abc中，acb=90，bac=60，. adab，dah=30.点h是ac的中点， .在adh中，.在adb中，根据勾股定理，得.（2）如答图1，连接af，易证：daeadh（aas），dh=ae.，.又点f是bd的中点，即af是rtabd斜边上的中线，af=df.dhfaef（sas）.hf=ef.（3）cef为等边三角形，证明如下：如答图2，取ab的中点m，连接cm、fm，在rtade中，ad=2ae，fm是abd的中位线，ad=2fm. fm=ae.易证acm为等边三角形，ac=cm，.，.acemcf（sas）. ce=cf，.cef为等边三角形.【考点】锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；勾股定理；三角形中位线定理；全等三角形的判定和性质；直角三角形斜边上中线的性质；等边三角形的判定和性质.【分析】（1）在abc中，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求得ab的长；在adh中，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求得ad的长，从而在adb中，根据勾股定理求得bd的长.（2）作辅助线构造全等三角形：连接af，由aas证明daeadh，从而得到dh=ae，通过证明和af=df，进而由sas证明dhfaef，得hf=ef.（3）作辅助线构造全等三角形：取ab的中点m，连接cm、fm，一方面证明acm为等边三角形，另一方面由aas证明degdfc，从而得到eg=cf，进而得be-cf=be-eg=bg=.设，证明由sas 证明acemcf，得ce=cf，从而得到结论.由本题方法不唯一，如：如答图3，延长de至点n，使en=de，连接an；延长bc至点m，使cb=cm，连接am，延长bd交am于点p，易证：adeane，abcamc，admanb，dm=bn.cf是bdm的中位线，ef是bdn的中位线,.又,cef为等边三角形.44.（年重庆a12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于a，b两点（点a在点b的左侧），交轴于点w，顶点为c，抛物线的对称轴与轴的交点为d.（1）求直线bc的解析式；（2）点e（m，0），f（m+2，0）为轴上两点，其中，分别垂直于轴，交抛物线与点，交bc于点m，n，当的值最大时，在轴上找一点r，使得值最大，请求出r点的坐标及的最大值；（3）如图2，已知轴上一点，现以点p为顶点，为边长在轴上方作等边三角形qpc，使gp轴，现将qpg沿pa方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点p到达点a时停止，记平移后的qpg为，设与adc的重叠部分面积为s，当点到轴的距离与点到直线aw的距离相等时，求s的值.【答案】解：（1）令,即,解得, , b.,c.设直线bc的解析式为,解得.直线bc的解析式为 .（2）,.当时，最大，此时.,.（3）由题意，q点在的角平分线或外角平分线上.当q点在的角平分线上时，如答图1,.由rmqrnc得，.由crncwo得.当q点在的外角平分线上时，如答图2,由qrnwco得，.由rcmwco得，在rtqmp中，.在rtcps中，,.综上所述, 当点q到轴的距离与点到直线aw的距离相等时,的值为或.【考点】二次函数综合题；二次函数的性质；轴对称的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；角平分线的性质；待定系数法和分类思想的应用.【分析】（1）求出点b、c的坐标，应用待定系数法即可求出直线bc的解析式.（2）求出关于的解析式，应用研究二次函数性质求出最大时的坐标，从而得到的解析式而得到r点的坐标及的最大值，（3）分q点在的角平分线或外角平分线上.两种情况讨论即可.45. （年重庆b12分）在abc中，ab=ac，a=60，点d是线段bc的中点，edf=120，de与线段ab相交于点e，df与线段ac（或ac的延长线）相交于点f.（1）如图1，若dfac，垂足为f，ab=4，求be的长；（2）如图2，将（1）中的edf绕点d顺时针旋转一定的角度，df仍与线段ac相交于点f. 求证：；（3）如图3，将（2）中的edf继续绕点d顺时针旋转一定的角度，使df与线段ac的延长线交与点f，作dnac于点n，若dn=fn，求证：.【答案】解：（1）在abc中，ab=ac，a=60，abc是等边三角形. ab=bc，b=60.ab=4，点d是线段bc的中点，bd=2.a=60，edf=120，dfac，deab.bde=30，bed=90.（2）如答图2，取ab的中点g，连接dg则dg为abc的中位线，dg=dc，.又四边形aedf的对角互补，.degdfc（aas）.eg=cf.be+cf=be+eg=bg=ab.（3）如答图3，取ab的中点g，连接dg.同（2），可证degdfc，eg=cf.be-cf=be-eg=bg=.设，在rtdcn中，cd=2x，dn=在rtdfn中，nf=dn=，eg=cf=.be=bg+eg=dc+cf=2x+=.be+cf=.又.【考点】旋转问题；等边三角形的判定和性质；含30度角直角三角形的性质；三角形中位线定理；多边形内角和定理；全等三角形的判定和性质.【分析】（1）由已知得出abc是等边三角形，从而应用多边形内角和定理、含30度角直角三角形的性质即可求得be的长.（2）作辅助线构造全等三角形：取ab的中点g，连接dg，由aas证明degdfc，从而得到eg=cf，进而得be+cf=be+eg=bg=ab.（3）作辅助线构造全等三角形：取ab的中点g，连接dg，由aas证明degdfc，从而得到eg=cf，进而得be-cf=be-eg=bg=.设，证明be+cf=和，从而得到结论.46.（年重庆b12分）如图，抛物线与x轴交与a，b两点（点a在点b的左侧），与y轴交于点c. 点d和点c关于抛物线的对称轴对称，直线ad与y轴相交于点e.（1）求直线ad的解析式；（2）如图1，直线ad上方的抛物线上有一点f，过点f作fgad于点g，作fh平行于x轴交直线ad于点h，求fgh的周长的最大值；（3）点m是抛物线的顶点，点p是y轴上一点，点q是坐标平面内一点，以a，m，p，q为顶点的四边形是am为边的矩形，若点t和点q关于am所在直线对称，求点t的坐标.【答案】解：（1）令，得，令，得.令，得.，.设直线ad的解析式为，解得.直线ad的解析式为.（2）如答图1，过点f作x轴的垂线，交直线ad于点m，易证fghfgm. 故.设，则fm=则 c=.最大周长为.（3）如答图2，若ap为对角线，由pmsmar可得，由点的平移可知，故q点关于直线am的对称点t为 .如答图2，若aq为对角线，同理可知p，由点的平移可知q， 故q点关于直线am的对称点t为 .综上所述，点t的坐标或.【考点】二次函数综合题；二次函数的性质；轴对称的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；待定系数法和分类思想的应用.【分析】（1）求出点a、d的坐标，应用待定系数法即可求出直线ad的解析式.（2）设，求出fgh的周长关于的解析式，应用研究二次函数性质求出fgh的周长的最大值.（3）分ap为对角线和aq为对角线两种情况讨论即可.47. （年江苏苏州10分）如图，已知二次函数（其中0m1）的图像与x轴交于a、b两点（点a在点b的左侧），与y轴交于点c，对称轴为直线l设p为对称轴l上的点，连接pa、pc，pa=pc（1）abc的度数为 ；（2）求p点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点q（与原点o不重合），使得以q、b、c为顶点的三角形与pac相似，且线段pq的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点q的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】解：（1）45.（2）如答图1，过点作轴于点，设l与轴交于点，根据题意，得抛物线的对称轴为，设点的坐标为，pa=pc，.，即.解得.p点坐标为.（3）存在点q满足题意.p点坐标为，.，.是等腰直角三角形.以q、b、c为顶点的三角形与pac相似，是等腰直角三角形.由题意知，满足条件的点q的坐标为或.当点q的坐标为时，如答图2，若pq与垂直，则，解得，即.若pq与不垂直，则有，0m1，当时，取得最小值，取得最小值.，.当时，点q的坐标为，取得最小值.当点q的坐标为时，如答图3，若pq与垂直，则，解得，即.若pq与不垂直，则有，0m1，当时，取得最小值，取得最小值.，.当时，点q的坐标为，取得最小值.综上所述，点q的坐标为或时，的长