（凝聚态物理专业论文）动力学ising模型的相关有效场研究.pdf

【 a n a l y t i c a l l ys t u d yo f k i n e t i ci s i n gm o d e l w i t h i na ne f f e c t i v e n e i dt h e o r yw i t h 11j l 0 r r e l a t l o n s b yx i a o l i n gs h i s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rg u o z h u w b i n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i 蚵 d e c e m b e r2 0 0 7 i， 一， 东北大学硕士学位论文 摘要 动力学i s i n g 模型的相关有效场研究 摘要 近年来，对于周期外场中i s i n g 模型非平衡态下动力学相变的研究引起了很多学者 的广泛关注。尤其是1 9 9 0 年t o m e 和o l i v i e r a 等人应用平均场方法得到动力学i s i n g 模 型相变的相图后，这个课题更是引起了人们极大的兴趣。对于周期外场中动力学i s i n g 模型非平衡态下动力学相变的研究方法主要分为两种：一种即平均场方法。该方法虽然 简单，但是由于忽略了热力学涨落对动力学相变的影响结果不够准确。另一种方法即考 虑了系统全部热力学涨落的蒙特卡罗方法。虽然这种方法精度高，结果准确，但是其模 拟的结果受系统尺寸的限制，需要花费大量的时间。本文基于平均场方法和蒙特卡罗方 法的利弊，提出利用相关有效场方法研究周期外场下动力学i s i n g 模型非平衡态的动力 学相变问题。相关有效场方法考虑了自旋间部分关联作用，即考虑了部分热力学涨落， 因此其结果将优于平均场的结果。 本文利用相关有效场理论推导出正弦周期外场下不同晶格结构的i s m g 模型所遵循 的动力学方程。并给出各物理量如动力学序参量、动力学相关系数、磁滞回线的面积以 及李亚普诺夫指数的计算表达式。利用m a t l a b 强大的计算功能对动力学方程进行求解， 得到系统的磁化强度，并画出系统的磁滞回线，计算出磁滞回线对称相和非对称相下磁 滞回线的面积，发现不同的动力学相对应的动力学机制不同。本文还计算了动力学序参 量，动力学相关系数等物理量随温度的变化关系，并与平均场方法得到的结果进行了比 较。分析了不同配位数系统中热力学涨落对结果的影响。在定义了动力学相关系数的最 小值为动力学相变点后给出了系统动力学相变的相图。分析了外场频率一定的情况下， 不同配位数系统的动力学相变线，动力学三相点的变化趋势，主要分析了热力学涨落对 一阶相变的影响。此外还给出了不同外场频率对动力学相图的影响，并与平均场方法及 蒙特卡罗方法得到的相图进行了对比和分析。 关键词：动力学i s i n g 模型；相关有效场理论；动力学相变 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t a n a l y t i c a l l ys t u d y o fk i n e t i ci s i n gm o d e lw i t h i na ne 舭c t i v e f i e l d t h e o uw i t hc o r r e l a t i o n s a b s t r a c t r e c e n t l v m e r eh a v eb e e ne x t e n s i v er e s e a r c hf o c u s e do nl ( i n e t i ci s i n gm o d e l ，w h j c h d r i v e nb ya i lo s c i l l a t i n gm a 盟e t i cf i e l d 1 l l i sp h e n o m e n o ne x i s t s 丽d e l yi nm a g n e t i cs y s t e m s ， 锄dh 2 l sb e e na r o u s i n g 伊e a ti n t e r e s tf o ri t si i m i g u i n gp h y s i c s t h et h e o r e t i c a ls t u d i e sc a nb e d i v i d e di n t ot w oc l a s s e s ：( 1 ) t h em e a n f i e l dt h e o 巧( m f t ) s t u d i e sb ys o l v i n gt h ed y n a i l l i c m e a l l f i e l de q u a t i o n b u ti nt 1 1 es t a t i cl i m i t ，t h ed y n 锄i ct r a n s i t i o n 、i l la l s ob eo b s e r v e di nt h e c a s eo fm e a l l f i e l d 咖d y ，b e c a u s eo fn e 9 1 e c t i n gt h e 衄a ln u c t u l a t i o i l s ( 2 ) t 1 1 em o n t ec a r l o s i i i l u l a t i o n ( m c ) s t u d i e st 1 1 eb n e t i ci s i n gm o d e l ，w h e r et h ee f i e c t so fn u c t u a t i o i l sa r et a l 【e n i m oa c c o u n t t h er e s u l to fm cs i m u l a t i o ni sm o r ep r e c i s e ，b u ti td e p e n d so nt l l es y s t e m ss i z e a n di tw i l lt a i r i l o r et m l et os 抽：m l a t eu l es y s t e m i nt l l i sp a p e r 、ei n t r o d u c e 锄o t h e ra 1 1 a l 如c a lm e t h o d ，w h e r e 1 ee f i e c t so fm e n i l a l n u c t 嘣i o n sa r et a k e ni n t oa c c o u m ，t 0 咖d yt h eh n e t i ci s i n gm o d e l t h ee f f e c t i v e f i e l d e q u a t i o n so fm o t i o no f t h ea v e r a g em a g n e t i z a t i o na r e 百v e nf o r t h eh o n e y c o m bl a t t i c e ( z = 3 ) ， t 1 1 es q u a r el a t t i c e ( z = 4 ) a i l dt l ：屺s i n l p l ec u b i cl a 钍i c e ( z = 6 ) ，r e s p e c t i v e l y t h ed y n a i i l i c o r d e rp a r 锄e t e r ，t 1 1 ed y n 枷cc o r r e l a t i o na 1 1 dt ：h eh y s t e r e s i s1 0 0 pa r e aa r ec a l c u l a t e d i i lt l l e f i e l d 锄p l i t u d e 一t e m p e r 咖r e 丁p l 锄e ，t h ep h a s eb o u i l d a r ys 印a r a t i n gm ed y i l 锄i co r d e r e d 锄dt h ed i s o r d e r e dp h a s eh a sb e e nd r 踟l ，a i l dt l l ed y n 锄i c a l 仃i c r i t i c a lp o i n th a sb e e n o b s e e d w ba l s om a k et 1 1 ec o m p a r eo u rr e s u l t s 诵t l lt l l a tg i v e nb yu s i n gm em e a i lf i e l d t h e o n ra r l dt h em o n t ec a r l os i m u l a t i o n k e yw o r d s ：鼬n e t i ci s i n gs y s t e m ；e 腩c t i v e f i e l dt l l e o 巧；d y n 锄i cp h a l s et m s i t i o n i i i 东北大学硕士学位 独创性声明i 摘要i i a b s t l 7 a c t i i i 第一章绪论l 1 1 统计模型1 1 1 1 i s i n g 模型的应用2 1 1 2 平衡态下i s i n g 模型的计算方法3 1 1 3 非平衡态下i s i n g 模型的计算方法3 1 2 非平衡态相变理论4 1 2 1 非平衡态的统计力学理论4 1 2 2 非平衡态相变理论5 1 3 本论文的结构和研究思路。6 第二章相关有效场理论7 2 1 系统哈密顿量7 2 2 相关有效场理论应用7 2 2 1 自旋平均值的基本公式。7 2 2 2 微分算符技术8 2 2 3 退耦近似9 2 2 4 磁化强度公式一9 2 2 5 动力学方程1 1 2 2 6 相关物理量的计算公式1 2 2 3 公式在m a t l a b 上的实现1 3 2 3 1m a t l a b 简介一l3 2 3 2 程序中应用的m a t l a b 命令1 4 第三章计算结果与分析1 5 3 1 动力学对称性破缺及动力学相变1 5 3 2 动力学伊辛模型磁滞回线的面积2 0 3 3 相变点附近相关物理量随温度变化的行为2 5 3 4 相图3 3 东北大学硕士学位论文 目录 第四章结论。4 3 参考文献4 5 致谢4 9 攻读硕士期间发表的论文。5 1 v 东北大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论弟一早珀t 匕 1 1 统计模型 统计力学对于凝聚相的处理，一般而言，都需要先指定整个系统的模型，包括系统 的结构和交换作用的能量。其模型必须包含整体行为的概念，即整个系统的动力学，必 须依靠许多数目粒子的相互作用，而不是单纯地研究个别粒子的行为。可通过统计系统 的单一宏观态所对应的众多微观态来达到对整体性质的研究。 相变是由多粒子系统的内部相互作用引起的，本质上是合作行为。为了理解这些合 作相变的本质，必须把粒子间的相互作用细节包括进去。这就使得统计模型成为必然。 有几个用于描述凝聚态系统合作行为的基本模型：h e i s e n b e 唱模型，i s i n g 模型和 p o t t s 模型等等。本论文采用i s i n g ( 伊辛) 模型作为研究对象，我们可以用以下的假设来加 以描述： 1 对每个晶格的位置，有两个被占据的可能，至于其概率则要靠物理性质来决定， 如磁性物质的磁矩是上或下。 2 仅考虑最近邻晶格之间的相互作用。 3 一个已知结构的系统能量函数，可用个别晶格位置的能量，加上晶格位置间相互 作用能量之和来表示。 4 系统的总配分函数( p a r t i t i o n 劬c t i o n ) ，只要知道总配分函数，所有的热力学函数 原则上都可求出。 自旋1 2 的i s i n g 模型对于相互作用系统是个非常成功的模型。在每个子格上有经典 的自旋量，取值l 。i s i n g 模型只是对自旋空间高度一致的磁系统适用。比如像m n f ： 这样的系统就很好地近似遵从这种描述。虽然简单，i s i n g 模型却因为能够描述任何互作 用两态系统而得到了广泛应用，例如描述二元合金的有序无序相变1 。 目前一维( 图1 1 ) 和二维( 图1 2 ) 的伊辛模型都已有严格解，但三维仍没有令人 满意的结果。 丁t 土上土上ttt 上上1 l 丁上上ti 土1 l 上上ttt 上丁 图1 1 一维伊辛模型示意图 f i g 1 1s c h e m a t i cp l a no f o n ed i m e n s i o n a li s i n gm o d e l l r 东北大学硕士学位论文第一章绪论 t t1 l t 1 l1 ltj ttt1 l 1 l ttt 图1 2 二维伊辛模型不恿图 f i g 1 2s c h e m a t i cp l a no ft w od i m e n s i o n a li s i n gm o d e l 伊辛本人在1 9 2 5 年证明空间维数d = 1 时，它没有相变。他还列举了一些似是而非 的论据，错误地推断d _ 2 时也没有相变。于是伊辛模型就被伊辛本人否定了十年之久， 英国物理学家佩尔斯从物理考虑指出，伊辛模型在d = 2 时应当有相变。佩尔斯的想法， 现在已发展成统计模型理论中的一个专门分支，那就是不去正面求解这些艰难的模型， 但严格地证明相变存在或不存在的定理。 二维伊辛模型的严格解是统计物理的重大成就，其产生的一个极为复杂的矩阵本征 值问题最终被昂萨格( o n s a g e r ) 解决，而且得到了唯一显示有序无序转变的组态配分函 数的完全正确的表示式。它表明应用统计物理的原则和方法可以解释相变。他首次对平 均场理论( m e a l l f i e l dt h e o r ) r ) 的正确性提出了怀疑。许多人对求解三维伊辛模型作过各 种尝试，却不能得到严格解，必须用微扰法( p e m 曲a t i o nt h e o r ) r ) 或变分法才能处理。 1 1 1 i s i n g 模型的应用 i s i n g 模型最早是1 9 2 5 年由i s i n g 提出的用于解释铁电现象的简单模型，后来主要用 在解释铁电和铁磁现象上。在该模型中，磁矩分布在晶格位置上，可朝上或朝下，而且 最近邻的原子间存在交换作用。如果自旋方向相同的原子对比方向不同的原子对能量 低，即较为稳定的话，在低温时会形成磁有序状态，这就对应铁磁性行为；如果相反的 话，会分裂为外斯相，其中之一自旋向上，而另一相自旋向下，这样在交替的位置上， 两套子格分别形成磁有序状态，这就是反铁磁系统。不管系统是铁磁性还是反铁磁性， 只要温度达到相变温度以上，在每个晶格位置的自旋值趋于无序分布( r a n d o m d i s t r ；b u t i o n ) 2 东北大学硕士学位论文第一章绪论 1 1 2 平衡态下i s i n g 模型的计算方法 最初，人们对于伊辛模型的研究都是考虑其在平衡态下的相变行为。在这种情况下， 最常用的和最古老的方法是平均场近似方法( m f a ) 2 ，因为它的简便性，在解释一些i s i n g 模型的相变现象时有广泛的应用。其他较为精确的近似方法还有有限集团近似如对近似 ( p a i r 印p r o x i m a t i o n ) 3 、b r a g g w i l l i 锄s 近似和b e t h e 近似4 一，集团近似的结果较平均场精 确，但计算过程较繁。后来上世纪7 0 年代出现了基于量子场论发展起来的重正化群方 法( r e n o m a l i z a t i o ng r o u pt e c h l l i q u e ) 6 ，8 0 年代出现了相关有效场方法( e 虢c t i v e f i e l dt h e o w w i t hc o r r e l a t i o n ) 1 ，这两种方法不直接计算系统的正则系综的配分函数，因此不能得到系 统的自由能。相关有效场方法比平均场理论复杂，但比重正化群方法简单，而且它也不 需要级数展开法和蒙特卡罗模拟法那样大的计算量。由于该方法考虑了同格点的自旋关 联作用，所以在很大程度上比平均场近似更能准确反映i s i n g 模型的物理现象的微观本 质。重正化群方法推导过程较复杂，在计算临界指数和标度问题上显得优越，但在计算 相变温度( 临界点) 的具体数值时，对有些问题并不是十分精确；相关有效场方法与b e t h e 近似本质上相象。级数展开方法( e x p a n s i o nm e t h o d ) 和蒙特卡罗模拟( m o n t ec 砌o ) 纠是最 精确的方法。级数展开方法需要的理论推导繁琐；蒙特卡罗模拟需要的计算时间较长。 利用这些方法，很多学者对平衡态下伊辛模型问题进行了深入的研究，并且清楚地认识 到伊辛模型相变的普适类，对于平衡态下伊辛模型的相变有了明确的认识。 1 1 3 非平衡态下i s i n g 模型的计算方法 虽然人们对平衡态下伊辛模型的相变行为有了透彻的了解，但是近年来对于非平衡 态下伊辛模型的相变行为人们还知之甚少。非平衡态下伊辛模型的相变会产生很多独特 的物理现象，因此近十年来得到很多研究者的重视和兴趣。其中最典型的非平衡态下伊 辛模型的动力学相变就是本文研究的处于周期变化外场中的动力学伊辛模型。由于周期 外场的存在，系统无法弛豫到平衡态，因此导致了磁滞回线白发地对称性破缺的独特物 理现象。最初t o m e 和o l i v i e m 通过求解平均场下的动力学方程发现了这种非平衡态下 的动力学相变1 0 。因此最初人们普遍采用平均场方法对该问题进行研究，而且平均场得 到的动力学方程求解十分方便。人们利用这种方法定性地了解了伊辛模型的非平衡态相 变。但是平均场方法虽然简单但是它忽略了不可忽视的热力学涨落，因此在准静态极限 下，平均场方法计算结果仍然存在动力学相变。因此平均场方法并不是真正意义上的相 变。为了研究真正意义上的动力学相变，人们采用蒙特卡罗方法研究了一维到四维的伊 辛模型的非平衡态动力学相变1 1 以8 。他们的研究不但解释了周期外场下伊辛模型的动力 学相变的对称性破缺特征，同时也更为准确地给出了动力学相变的相界，以及三相点与 外场的幅值、频率和温度的变化关系。蒙特卡罗方法和平均场方法计算的结果在某些参 数空间存在较好的一致性。虽然利用蒙特卡罗方法可以很好地研究动力学相变，但是这 - 3 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 种方法需要的计算时问长，尤其是随着模拟系统格点的增多计算时间成倍增长，因此具 有一定的局限性。而且由于蒙特卡罗方法没有直观的动力学方程，因此数据的分析需要 借助其他的手段，现在常用的方法是有限标度分析理论。除此之外，人们还尝试利用理 论方法解决i s i n g 模型非平衡态动力学相变的非线性的周期性动力学方程1 9 。2 7 。本文基 于平均场方法和蒙特卡罗模拟的优缺点，将相关有效场理论应用到研究i s i n g 模型非平 衡态动力学相变中。虽然相关有效场理论在研究平衡态下伊辛模型的相变取得了很大的 成功，但是对于非平衡态相变的研究还很少有人应用。在后面将详细地给出相关有效场 下的动力学方程，并将计算结果与平均场和蒙特卡罗方法得到的结果相比较，发现利用 相关有效场理论也是一种方便、可靠、准确的研究非平衡态下伊辛模型相变的方法。 1 2 非平衡态相变理论 1 2 1 非平衡态的统计力学理论 统计力学是从物质的微观结构出发去研究物质宏观性质的一门学科。统计力学的发 展至今已经有1 5 0 年的历史，对应平衡态的统计力学，我们从经典的麦克斯韦一玻尔兹 曼统计开始，发展到了吉布斯的系综统计理论，平衡态统计力学已经形成了一门异常完 美的科学体系。以费米一狄拉克统计和玻色一爱因斯坦统计为主的量子统计理论、相变 和临界现象的标度理论( 以重整化群理论为核心) 是平衡态统计力学分支上的丰硕成果。 不过在自然界我们遇到的现象和过程几乎都是非平衡的和不可逆的，而平衡态仅仅是理 想的、局部的、特殊的极限情况。为了彻底深刻了解自然现象，我们就必须了解非平衡 态。对于非平衡态统力学的发展大体上是沿两条线路展开的蹦： 1 玻尔兹曼式的框架。这方面的研究有几个里程碑式的成果，一是二十世纪2 0 3 0 年代玻尔兹曼方程的c h 印m a n e n s k o g 展开求解。二是玻尔兹曼动力学方程的一般化， 二十世纪4 0 年代末，以伊万的研究工作为先导，之后，柯克伍德、玻恩、格林以及玻 格留波夫的著作接踵而来，他们的工作形成可著名的b b g k y 系列，大大促进了非平衡 态统计力学的发展。 玻尔兹曼式框架下统计力学发展的另一路线就是把布朗运动一般化的随机动力学 理论的建立。以二十世纪初爱因斯坦对布朗运动的处理为发端，这方面的代表工作有二 十世纪头二三十年的经典布朗运动理论、随机行走理论、主方程和f o k k e 广- p l a i l c k 方程 等随机理论。发展出了涨落耗散定律、o n s a 喀e r 倒易关系、k u b o 响应理论等。 2 吉布斯系综理论的非平衡态扩展。这方面的主要成就有，基于最大信息熵的统计 理论、非平衡统计算符方法和s r b ( s i n a i r _ u e l l e b o w e n ) 测度理论等。这些方法是经典吉 布斯系综方法的向非平衡问题的推广，往往具有较严格的数学基础。 当然历史上玻尔兹曼方法和吉布斯方法在处理平衡统计问题时就被证明是一致的， 这就意味着沿着他们的思路发展出的非平衡统计力学框架也是紧密联系而不断交叉的。 - 4 - 东北大学硕士学位论文第一章绪论 当然这两种方法都具有各自的特色和优缺点。 1 2 2 非平衡态相变理论 在物质系统内部，相与相之间在结构、功能、性态等方面的差异是由于其内部有序 度和对称性的差别而引起的，这可用序参量来表征。广义而言，相变是物质系统由一种 稳定状态( 恒定性态) 向另一稳定状态( 恒定性态) 的跃迁过程。即是指当外场和控制 参量连续变化达到某个临界值而引起系统内部对称性的破缺和有序度的突变。临界点是 相变现象中的一个关键点，相变系统在临界点邻域表现出了非常奇特的行为。当控制参 量和外场趋近于某个临界点时，系统在微观水平上调节自身，预示着将出现大的涨落。 在临界点，反映系统有序度的参量连续地出现或消失，某些物理量出现反常涨落和奇异 发散。 在自然界存在的各种相变中，由于其所处的状态背景不同，相变可分为平衡相变和 非平衡相变两类，即相变不仅可以发生在平衡系统中，也可以发生在非平衡系统中，相 应地临界现象也可按其临界背景参考态的不同分为平衡相变临界和非平衡相变临界两 类。 平衡相变是平衡态系统由一个平衡均匀态向另一个平衡均匀态的跃迁过程，其临界 参考态是平衡态。人们对平衡态的临界行为认识的比较早，十九世纪7 0 年代v a nd e r w 妇1 s 给出了气液相变临界现象具有普适意义的v hd e rw 瑚s 方程。二十世纪3 0 年代 l d l a u n d a u 提出了更加普适的平均场理论。1 9 6 5 年b w i d o n 第一次指出：系统的热力 学函数在平衡相变临界点邻域将随临界距离和外场的变化而改变着他的尺度，但其函数 的形式不变，这就是标度理论的基本思想。其数学表述为：热力学函数是约化控制参量 和外场的广义齐次函数。它运用这一思想得到了平衡临界指数间的关系。1 9 6 6 年 l k a d a n o f r 将这一思想用于伊辛模型获得成功并导出了平衡态临界点处超标度律，提出 了普适性的概念。标度理论和普适概念的出现，较为清晰和准确的描述了平衡相变系统 趋于平衡临界点的热力学行为，使平衡相变临界理论向前迈进了一大步。二十世纪7 0 年代初k w i l l s o n 等人受到标度思想的启示，巧妙地把重正化群方法用于平衡相变临界 理论中，取得重大突破，它不仅给出了平衡态临界相变的正确描述，更精确地算出了平 衡相变临界指数值，同时也证实了平衡相变临界标度律和普适性的正确性，使平衡相变 临界理论趋于成熟。 非平衡相变是非平衡系统由一个非平衡定态向另一个非平衡定态的跃迁过程，其临 界参考态是非平衡定态。非平衡相变问题和平衡相变问题一样古老，但是长期以来一直 未引起人们的重视，直到二十世纪六七十年代耗散结构理论、协同学理论以及其他一些 自组织的出现，才引发了人们对非平衡相变现象的广泛兴趣。由于其涉及面广，渗透了 许多领域，其思想不仅在物理学中得到应用，在自然科学的其他学科中也有着应用。人 们从不同领域对其进行了广泛的研究和讨论，在边缘学科交叉学科甚至社会科学领域也 - 5 - 东北大学硕士学位论文第一章绪论 有人进行了探讨，不断发现其应用价值，这些都促进了平衡相变理论的发展列。然而临 界现象是相变理论的一个关键问题，由于非平衡相变系统与平衡相变系统的状态背景截 然不同，其结构及关联因素要复杂得多。非平衡临界问题有其自身的特殊性，情况更复 杂，内容更丰富。就目前而言，人们对非平衡相变临界现象及其性质和规律的认识还不 很充分，特别是对非平衡相变临界点处的标度理论、演变机制、临界指数标度律、普适 性以及非平衡相变临界点处巨涨落的触发机理和动态重正化等方面的研究还有待深入。 另一方面，虽然非平衡态相变和平衡态相变差异很大，但他们的临界行为却有着很多相 似之处，如临界慢化，序度突变，对称性破缺，关联发散，标度等价，临界巨涨落等等。 这些共同特征并非巧合，其间必然有着某种内在的联系。虽然近年来很多学者都在研究 这类现象，但是，对于非平衡相变的临界理论还远远没有形成体系，对于两种临界现象 相似的根源讨论也很少，还有待进一步的研究。 1 3 本论文的结构和研究思路 本文将利用相关有效场理论研究在周期性外场下动力学i s i n g 模型的相图。对诸如 动力学序参量、动力学相关系数、磁滞回线面积等物理学量随温度的变化进行考察，分 析。因为用平均场和蒙特卡罗模拟方法对周期性外场下动力学i s i n g 模型的部分工作已 经有所研究，本文还将结合这部分内容进行讨论比较，给出这几种研究方法的优缺点。 各章内容安排如下： 第二章具体给出相关有效场理论处理动力学伊辛模型的理论框架。本章利用有效场 理论推导出动力学伊辛模型的动力学公式，同时给出动力学序参量、动力学相关系数、 磁滞回线面积，李亚普诺夫指数( l i a p u l l o ve x p o n e m ) 等物理学量的定义和计算方法。 第三章给出利用相关有效场方法计算得到的动力学伊辛模型动力学相变的相图。给 出了利用相关有效场方法得到的磁化曲线，并给出相应的李亚普诺夫指数，得到相关有 效场下动力学方程的稳定解。定义动力学相关系数的最小值为动力学相变的相变点，并 且给出了不同外场频率下的动力学相图。讨论了配位数即热力学涨落对动力学相变的相 图以及外场频率对动力学相变的相图的影响。得到了动力学相图随外场频率变化的一般 规律，发现这些规律与通过平均场及蒙特卡罗方法计算得到的规律相一致。 第四章对本文做一概括总结，给出主要结论。 6 i 东北大学硕士学位论文第二章相关有效场理论 第二章相关有效场理论 本章利用有效场理论推导出动力学伊辛模型的动力学公式，i 司时给出动力学序参 量、动力学相关系数、磁滞回线面积等物理学量的定义和计算方法。 2 1 系统哈密顿量 正弦周期外场下具有最近邻铁磁耦合的动力学伊辛模型的h 锄i l t o m a l l 的形式为： 日= 一s l s ! ，一s ，( 2 1 ) ( f ，力 其中， o 为最近邻格点的交换积分；办( ，) = s i n ( 彩f ) 为正弦周期外场；s = 1 为子格 的自旋；表示遍历所有格点；表示遍历所有近邻格点对；为研究方便，本文 f p ，力 中，取常数1 ，并且温度丁与都以刀为单位。其中z 为配位数。 2 2 相关有效场理论应用 2 2 1 自旋平均值的基本公式 根据正则分布的统计学原理，f 格点自旋变量墨的热力学平均值司表不为： ( s 扣三乃弦刚， ( 2 2 ) 厶， 、， z ：n e 一蹦 上式中，乃代表对系统所有可能的状态求阵迹；= 1 丁，k 为玻尔兹曼常数，r 为 温度。 为求解( s ，) ，将式( 2 1 ) 所示的哈密顿量写成如下形式： h = h i 七h i q 一以莩s 刊s ，( 2 3 ) 耳= 薯s 一办( f ) 薯 f ，_ ， ， l ， 日，为哈密顿量中所有与s 格点相关的部分；耳，为哈密顿量中所有与s 格点无关的部 分。e 与耳，对易。将式( 2 3 ) 写成如下形式： 7 - 东北大学硕士学位论文 第二章相关有效场理论 e ，称为f 处有效场。 将式( 2 4 ) 代入式( 2 2 ) 得： e = 一s 巨一办( f ) 墨 巨：，i ，( 2 4 ) ( s ) = 专乃 se x p 一( e + q ) ) = 壶乃 e 坤 一( e + 叫) 竺譬塞菁掣 斜州侧案酬 亿5 ， q ( se x p ( 一只) ) 2 习面f 两 e x p ( ( 巨+ 厅( ，) ) ) 一e x p ( 一卢( 巨+ 办( r ) ) ) 一e x p ( ( 互+ 办( ，) ) ) + e x p ( 一( 互+ 办o ) ) ) = ( t a n h ( 巨+ 厅( f ) ) ) 由式( 2 5 ) 知( s ，) 是巨的函数，将自变量取为x ，引入函数厂 + 办( r ) ) = t a 】 1 l l ( x + 办( f ) ) ， 式( 2 5 ) 可表示为： 2 2 2 微分算符技术 ( s ) = ( 旧+ 办o ) ) ) ( 2 6 ) 数学上有o e x p g v ) ，g ) = 厂g + 口) ， ( 2 7 ) 其中v = a 叙为微分算符。应用式( 2 7 ) 得 厂( x + 办( ，) ) = e x p ( 巨v ) 厂( x + 办( ，) ) l ( 2 8 ) 将上式代入式( 2 6 ) 得： ( s ) = ( e x p ( 巨v ) ) 厂( x + 乃( f ) ) l ( 2 9 ) 考察上式可知，利用微分算符技术，可把任何函数的平均值转化为指数函数的平均值， 由此可使问题简化。 8 东北大学硕士学位论文第二章相关有效场理论 2 2 3 退耦近似 由于式( 2 2 ) 中有自旋相关函数的热力学平均，进一步精确求解难以进行，为此引入 退耦近似： ( s ，p ；b s ，) 兰( s ) ( b ) 2 ) ( & ) ( s ) ( 2 1 0 ) 利用上式得： ( e x p ( 巨v ) ) = = 密( e x p ( 晖v ) ) = ( e x p ( 哆v ) ) r ( 2 ， 将上式代入式( 2 9 ) ，并由s = 1 时d e r w - a e r d e n 公式得 - c o s h ( 月) + s i i l l l ( ，v ) 】z 厂 + j l z ( ，) ) i ，：。 ( 2 1 2 我们看到，引入退耦近似及v a nd e rw a e r d e n 公式后，可把对自旋变量的多项式乘 积的热力学平均值简化为自旋变量平均值的多项式的乘积，这为进一步求解创造了条 件。 2 2 4 磁化强度公式 ( s ) 表示自旋变量的热力学平均，从宏观意义上讲，它们表示了晶格中平均每个格 点磁矩的大小。用所表示晶格磁化强度的大小，由l s 耦合的磁矩和角动量关系的公式 及轨道角动量的冻结，聊可写为： ，竹= 这样我们可以得到： 聊= c o s h ( 月) + s i i l h ( 月) 】z 厂( x + 吼：。， 将上式展开，利用微分算符的性质，得到z = 3 的磁化强度为： 聊= 【c o s h ( 月) + s i i l l l ( 月) 】3 厂 + 砒：o = 口0 + q 聊+ 哆坍2 + 口3 聊3 其中， = 吾叭办+ 3 ，) + 3 m + ，) + 3 m 一，) + m 一3 删 气 口l2 言【m + 3 ，) + m + d m 一) 一朋一3 ，) 1 9 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 东北大学硕士学位论文第二章相关有效场理论 气 口22 言【厂( 办+ 3 j ) 一厂( 办+ j ) 一厂( 办一，) + 厂( 办一3 ，) 】 口3 = 争m + 3 沪3 m 邶+ 3 m d + m 一3 删 z = 4 时的磁化强度为： 其中 肛吣h ( 月小父8 i ? 月h 巩。 ( 2 1 6 ) = 6 0 + 6 l m + 6 2 朋2 + 6 3 m 3 + 6 4 m 4 6 0 = 丢朋+ 4 小4 m + 2 小6 朋) + 4 m 一2 小m 一4 圳 岛：； 厂( 办+ 4 ，) + 2 厂( 办+ 2 j ) 一2 厂( 办一2 d 一厂( 办一4 ，) 】 包2 意朋+ 4 ，) + 2 m + 2 矿2 朋一2 d m 一4 删 6 2 = 每m + 4 力一2 m ) + m 一4 别 6 3 ：昙 厂( 办+ 4 ，) 一2 厂( j l z + 2 ，) + 2 厂( 办一2 ，) 一厂( 办一4 ，) 】 6 32 办m + 4 ，) 一2 朋+ 2 ，) + 2 m 一2 ，) 一m 一4 ，) 】 6 4 = m + 4 小4 m + 2 小6 朋) 一4 m 一2 d + m _ 4 删 聊= c 。s h ( 月) + p s i 汕( 月) m x + 睨。 ( 2 1 7 ) = + q 聊+ c 2 朋2 + 巳朋3 + q ，1 4 + 岛m 5 + 所6 、 。 头 尸 = 击叭办+ 6 小6 m + 4 小1 5 m + 2 小2 叭卅1 5 m 一2 小6 m _ 4 小m “删 q = 奇m + 6 刀+ 4 朋+ 4 小5 朋+ 2 小5 m 一2 俨4 m 一4 沪m “删 乞= 鲁m + 6 小2 m + 4 矿八i l l + 2 俨4 m ) _ 厂( 办_ 2 小2 m - 4 小m “删 巳= 荨朋+ 6 矿3 m + 2 小3 m 一2 d m 一6 别 q = 鲁m + 6 班2 m + 4 俨m + 2 小4 m ) - 厂( 乃一2 班2 m - 4 小m “删 1 0 - 东北大学硕士学位论文第二章相关有效场理论 6 = 云叭6 ，) _ 4 m “，) + 5 朋+ 2 ，) 5 m - 2 ，) “朋- 4 ，) 一m “川 c j = l _ 厂( 办+ 6 ，) 一6 厂( 厅+ 4 ，) + 1 5 厂( 厅+ 2 j ) 一2 0 ( 厅) + 1 5 厂( 办一2 ) 一6 ( 办一4 ，) + 厂( 厅一6 ) 】 n 4 2 2 5 动力学方程 我们考虑一个具有相互作用的伊辛系统 s ) 。系统同时也与一个温度一定的大的热 浴系统相互作用。但是热浴系统的作用只是在伊辛系统自旋翻转的时候和其进行交换能 量。第f 个自旋翻转的概率我们用彬( i ) 表示。这个概率值不仅仅依赖于s 还与其周围格 点自旋值的变化有关。我们取p ( 墨如；f ) 表示在( 而，h ) 构型中找到自旋的概率，则 m 2 u s t e r 公式为3 0 ： 丢尸( _ 妇；。= 一军彬( i ) 尸( 墨；f ) ， 。2 。8 ， + 彬( 一i ) p ( _ ，一墨，如；，) f 其中等式左边的第一项表示自旋翻转后减少的概率。第二项表示相反方向的自旋翻转后 增加的概率。 在平衡条件下，由细致平衡条件知： 形( i ) 尸o ( 墨，如) = 彬( 一墨) p o ( 置，一t ，s ) ， ( 2 1 9 ) 其中p ( 墨，) 代表平衡条件下的概率。 自旋的能量由哈密顿量表示为： 日= e + q ，( 2 2 0 ) 其中巧为哈密顿量中所有与s 格点相关的部分；置，为哈密顿量中所有与s 格点无关的 部分。( 2 1 9 ) 式可以表示成： 揣= 鲁 亿2 t ， 彬( 一1 ) q 、 其中= 1 灯为玻尔兹曼常数。并且县= 一墨巨一而( ，) s ，表示自旋f 周围自旋的作用。 由式( 2 2 1 ) 可得： 旦盟：! 二墨堂壁( 墨塑2 ，( 2 2 2 ) 一=-二-一 l l 彬( 一i )1 + st a i l l l ( 巨+ ( f ) ) 7 、7 因此我们可以得到自旋翻转的概率为： 东北大学硕士学位论文 第二章相关有效场理论 彬( t ) = l 1 一st 孤山( e + 办o ) ) 】， 二i 其中f 是自旋微观弛豫时间，在动力学方程中我们取r = 1 3 1 。 由式( 2 1 8 ) 和式( 2 2 3 ) 我们可以很容易的得到自旋之间的函数关系。 定义自旋f 的期望值为： = s p ( 墨，知，f ) ， ( 2 2 3 ) 首先我们 ( 2 2 4 ) 这里的求和表不对所有构型求和。司以很容易得到动力字方程为： f 丢 p 一( 0 ，那么方程的解就是稳定的1 0 。 2 3 公式在m a t l a b 上的实现 2 3 1m a t l a b 简介 m a t l a b 是由美国m a t h w r o r k s 公司于1 9 8 4 年正式推出的。1 9 8 8 年推出了3 x ( d o s ) 版本；1 9 9 2 年推出4 x ( w m d o w s ) 版本；1 9 9 7 年推出5 1 ( w i n d o w s ) 版本。现在m a t l a b 语言已经是国际科学界应用和影响最广泛的三大计算机数学语言之一。从实用意义上 讲，在纯数学以外的领域中，m a t l a b 语言有着其他两种计算机数学语言m a t h e m a t i c a 和 m a p l e 无法比拟的优势和使用面。在很多领域，m a t l a b 语言是科学研究者首选的计算机 数学语言。 m a t l a b 语言与