（应用数学专业论文）l2（rd）子空间上的gabor框架之研究.pdf

中文摘要 假设，( 。1 l 2 ( r ) ，n 0 。b 0 ，乎移算子瓦和调制算子玩分别定义为 咒，( z ) 一，( t 一“) ，局，( f ) = c i 2 2 r b ：r ，( z ) 给定g ( x 1 l 2 ( r ) ，8 0 ，b 0 形式为 踢又。9 ( 。) ) 。m z 的函数族称为2 ( 冗) 中的g a b o r 系，其中z 为整数集如果g a b o i 系 e 如。9 ( z ) ) 。艇z 构成l 2 ( r ) 的 一个框架，则称其为g a b o r 框架 自从小波分析诞生以来，g a b o r 框架的研究逐渐成为活跃方向之一，其内容十 分丰富 2 1 对于l 2 ( ，护) ( c z 1 ) 上g a ! ，o r 系的研究，其结果较少，只有文献 涉及到一部分本学位论文主要研究l 2 ( r 4 ) 上的g a b o r 系成为框架或框架序列的 特征描述具体讲，在时域上给出了g a b o r 系成为l 2 ( 础) 上框架或框架序列的两 个充分条件及它们的比较，并表明这些充分条件在特殊情形下也是必要的同时， 为了说明结果，我们给出了一些有趣的例子，在频域上也给出了相应的结果 关键词：g a b o r 框架，g a b o l 框架恒等式，框架序列 a b s t r a c t l e t ，l 2 ( 月) a u dn 0 ，b 0 t i l et r a n s l a t i o no p m a t o r 咒a n dt h eu l o d u l a t i o n 瓦，。( i ，) = ：= f ( f “) tr z 吼，( j ：) = ( i 2 7 r b x ( x ) r e s p e c t i v e l y ， l e t9 ( 引上2 ( r ) b eaf i x e df u n c t i o nm a da 0 ，b 0 af u n c t i o nf a m i l yo ft h ef o r m e j ”6 正目( z ) k 冉z i sc a i l e dg a h o r s y s t e mf o r 。l 2 ( r ) ，w h e r ez i st h es e to fa l li n t e g e r s 。 i fg a b e ) s y s t e m ( e m ，；。9 ( j 、) ) ，zg e l l e r a t e saf r a m ef o rl 2 ( r ) ，t h e nw ec a l li tg a b o r f r a i i i cs i n c et h ee l n e l g eo fw a v e l e ta n n l y s i s t i l er e s e a r c ho fg a b o rf r a m eb e c o m e so n eo f t i l em a j o ra c t i v ed i r e c t i o n sg i a d u a l l y ，i t sc o n t e n ti sv e r yr i c h 【2 】 w h e r e a s ，t h er e s e a r c ho fg a b o rs y s t e mi nl 2 ( ) ( d 1 ) i sl e s st h a nt h a ti nl 2 ( 兄) t h m ea r eo n l yaf e wr e s u l t sw h i c hw e l es h o w ni nl i t e r a t u r em i nt h i st h e s i s o u rm a i np u r p o s ei st od e s c r i b et h ec h a r a c t e r i z a t i o no fao a b o r s y s t e m w h i c hc & 1 1 g e n e r a t e af r a m eo raf l a n l e s e q u e t l c ef o rl 2 ( ) i nd e t a i l s ，w eg i v et w o s u t t i c i e n tc o n d i t i o n sw i t hw h i c hg a b o rs y s t e mc a l lb eaf r a m eo raf r a m es e q u e n c ef o r 工2 ( r “) ，m l dwc o n l t ) a l et h e m i na d d i t i o n w ec o n c l u d et h a tu n d e rs o t n es p e c i a lc a s e s t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ea l s ot i l en e c e s s a r ya tt h es a m et i m e ，i no r d e rt oe x p l a i n t h er e s u l t s ，s o m ei n t e r e s t i n ge x a m p l e sm e p r e s e n t e d t h e a n a l o g o u sr e s u l t si nf r e q u e n c y d o m a i nw i l lb eg i v e ni nt h ee n do ft h et h e s i s k e y w o r d s ：g a b o rf r a m e ，g a b o rf l a m ei d e n t i t y ，f r a m es e q u e n c e i i 引言 小波分析是2 ( 1 世纪8 ( 1 年代才开始发展起来的一个数学分支，它是f o u r i e r 分 析的发展和继续，是为了克服f o u r i e x 变换、加窗f o u r i e r 变换的一些不足而提出来 的，也是一种信号分析方法，它的应用相当广泛例如，在数学方面已用于数值分 析、曲线曲面的构造、微分方程求解、控制论等方面；在信息处理方面已用于图象 处理、计算机识别、地震勘探、数据处理、边缘检测等；在通信、地质、生物医学、 自动化等方面也得到了运用 小波变换在信息处理中具有独特的优势，它可以有灵活可变的时频窗口，以适应 不同频率的分辨率的需要，在时域和频域上都具有表征信号局部特性的能力应用 小波分析的方法，能对几乎所有常见函数空间给出通过小波展开系数的简单刻划， 也能用小波展开系数描述函数的局部光滑性质 框架( 主要是抽象空间和三2 ( r ) 上的框架) 是小波分析形成以后才引起人们关注 的另一个研究分支它是d u f h n 和s c h a e f f e r 于1 9 5 2 年在研究非调和f o u r i e r 级数时 提出来的概念那么现在为什么要关注框架研究呢? 假设 n ) ，叫是h i l b ez t 空间h 中的一个标准正交基，则 v f h ，f = ( ，蚋) ， j j 其中级数在日中收敛它表明，可以被( ，叻) 和基元素0 j ) 重构 在信息处理中，分析一个信号f ( x ) 后，如何来重构它是一个重要问题，但是， 在一般情况下，要我一个标准正交基来重构，是较为困难的这样，就要求人们去 寻找一种类似标准正交基但又比标准正交基弱的点列来重构信号，( z ) 假设 吩) ，j 是h i l b e r t 空间日中我们要找的点列，f l ，2 h 那么 叻) j j 必 须满足当f 1 与，2 很接近，即ij 一f 2i l 很小时，f ( ，1 ，咖) 一( ，2 ，伤) 1 2 也应很 小，即【( ，) 1 2sb i lfn 其中b 为常数反之，当( ，l ，) 与( f 2 ，) 很接近 j 。， 时，l f l f 2jj 也应很小，即aj iff i 2 i ( ，伤) i 2 ，其中a 为常数只有这样才 j 1 1 能保证计算的稳定性这就是框架的实际意义之所在 这篇硕士论文讨论的是一种特殊结构形式的框架g a b o l 框架l 2 ( r ) 上g a b o r 框架发展迅速、内容丰富、应用广泛，具体参见文献【1 和【2 】该论文主要内容是给 出工。( 剧) 的子空间上g a b o r 框架的两个充分条件和几个充要条件其组织如下： 本文共有五节组成第一节列出了框架已有的有关基本理论；第二节给出了l 2 ( ) 上的g a b o l 框架恒等式；第三节建立了( 一) 上的g a b o r 系成为框架或框架序列 的两个充分条件及其它们之间的比较；第四节给出了在些特殊情况下l 2 ( ) 上 g a b o r 系成为框架序列的充要条件；最后一节讨论了频域上g a b o r 框架或框架序列 的相应结果 2 第一节预备知识 l 一些定义和符号 本小节列出论文中使用的符号和定义： f o u r i e r 变换 m ) = m ) c - 2 7 r t e ：r 出，l 2 ( r ) ， 平移算子 ( 乃，) ( j ) = ，( z a ) ，n r ，f 2 ( r ) 调制算子 ( 蜀，) ( z ) = e 2 7 r i b x ，( z ) ，b r ，l 2 ( r ) 当g l 2 ( r ) 时，定义 g = 9 ( z m ) 1 2 ， 而) _ + 警) 1 2 ， h a ( 垆三9 3：-7za)咖：)zn 。 j v g 二 r ：g ( z ) = o l ， l 2 ( r n c ) = ，l 2 ( r ) ：z v g 时，( z ) = o ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 这里的三个级数几乎处处收敛原因如下：因为蛾( z ) 是以。为周期的函数，由l e v i 引理和c a u c h y s c h w a h 不等式知 a 乏绗x - n a - 舡曼0 0 。渺z “ n z ” # 2 乏和，c x - - l z a - - 舡 2 毛m m 司商肛似，商恤 s ( 厶叭删2 如) ”1 五阢z 一；) i 2 如) = f l a i l 2 + 。，a c x 6r 3 所以，级数h i i ( x ) 几乎处处收敛级数g ( 。) 是h k ( x ) 在= 0 时的特殊情况，而当 把级数g ( z ) 中的n 换成 时，级数g ( z ) 就成为级数舀丽) ，因此它们也都几乎处处 收敛的 4 2 框架和框架序列 定义1 1 设 妒， 蓐，是h i l h e r t 空闻h 上的一个序列( 其中j 是可数指标集) 若 存在常数u ，v ( o 0 ，b 0 如果 ( i ) 存在uv o 使，us ig ( z n o ) 1 2 v ，n ，ez 置 n c = z 。叫l i m 。| | 芝9 t 峭引k 划， 则存在b 。 0 ，使得对任意b ( 0 ，b o ) ，g a b o r 序列 e 。6 。9 ) 。艇z 构成l 2 ( r ) 上的 框架 定理14 假设口l 2 ( r ) ，且a ，b 0 若 忙叫撙 乏z 一圳2 一 e 9 ( 如一n n 一；) l - 4 n t i z x - - t t a ) k # o 。 则g a b o r 序列 e 曲正。9 h 。z 构成l 2 ( r n g ) 上以警，苦为界的框架 如果仅对函数进行平移或调制，那么只能得到框架序列，这里列出如下结果： 定理15 假设g l 2 ( r ) ，a 0 则 。g ) 是一个以以y 为界的框架序列当 且仅当 u 曼驴等舻鲥砌且沙半妒o ( 1 3 1 ) 定理1 6 且仅当 6 + 七一6 0n一笛 “ n一 9 咄瞄鬈 = 矿讹 当 固 例 架框的界为 _ y 收 u 卜 以 弛 代 距 一 q 二 是 m 讣 ， 咯 旦。 则 炉 )“ 一 d 扛 一 b 咄 胪 ( ) 若聊，( 9 ) c ，f ， ( 其中，是区间， ! j 表示，的l e 9 1 测度) ，则g a b o l 序列 日曲r 。9 h ，。z 是以u ，v 为界的框架 序列当且仅当 0 i ) 如果 s z p p ( 9 ) t 1 s t 巾p ( e 。口) = o 、v n z 一 ( ) ， 则g a b o r 序列 点z 。9 ) 。z 是以u ，v 为界的框架序列当且仅当存在u ，v 0 使得 b u 兰 ( c 十等) 2 墨 ，矿 n 簟，z r n ( i ( 1 3 4 ) ? n z 7 对于l 2 ( ) 上g a b o r 系的研究，其结果较少，仅有文献【3 1 涉及到一小部分， 所以我们将研究l 2 ( ) 上g a b o r 框架的最一般表现，所得结论包含了已有结果 7 第二节l 2 ( 剜) 上的g a b o r 框架恒等式 l 定义及符号 工2 ( r “) 上的f o r e 油变换定义为 ，穗) = f ( x ) e 一扣d x ，( z ) 工2 ( r 2 ) ，( 21 1 ) | 排i 其中fz 表示欧氏内积 令f l 2 ( 刑) 和9 l 2 ( ) 给定a ，b 为d d 矩阵，且fa b | 0 设 。、= ( z j ，2 ：2 ，2 ；d ) r “，7 n = ( m 1 ，m 2 ，7 n d ) ，t t = ( n 1 ，礼2 ，几d ) z 4 平移算子 和凋制算子分别定义如下：平移算子 调制算子 ( 正。a f ) ( x ) = f ( x n a ) ( e 。b ，) ( 。) = p 2 n i m bx f ( x ) 类似一维情况也引进如下记号 g ( z ) = lo ( x n a 7 ) 2 n z a 百矗) ：f | 9 扛+ m 口一1 ) 风( z ) = g ( z n a r ) 币j 甜= 面可 n z d n 6 = z c ( x ) = 0 ) ， l 2 ( r “一 v g ) = f l 2 ( | r “) ：j 口时，( z ) = 0 ) q 。= = ：( + 0 ，1 ) 。) b 一 ( 2 i 2 ) f 2 1 3 1 ( 2 1 4 ) 三个级数g ( 。) ，西- ) 和风( z ) 都是几乎处处收敛的因为圾( z ) 足以z d a t 为周期 的函数，所以由l e v i 引理和c a u c h y s c h w a r z 不等式可得 k w 、脚凇一薹，一觯) 8 9 ( 。一n a t k b 一1 ) d g 曼厶 m 菘m z ) 而矿厕 = ，邑氘y 西扩丽陋 = ，易虬试而孺1 炉。万厕恤 ( 厶姒刮2 一州艏北一船。) k 删2 “ 。1 式( 2 15 ) 表明级数风( z ) 几乎处处收敛而g ( z ) 是矾( z ) 在 = ( o ，0 ，o ) 时的 特殊情况，当把g 旺) 中的a t 换成b t 后就是百话) ，故它们也都是收敛的 定义21 设9 l 2 ( 刑) 则 e ，n b 正。 9 k * z a 称为l 2 ( ) 上的g a b o r 序列或 g a b o r 系若它成为框架，则称之为l 2 ( ) 上的g a b o r 框架或w e y ! 一h e i s e n b e r g 框 船 9 2 ( ) 上的g a b o r 框架恒等式 置山= 4 7 ，口o = 口丁( 其中a 7 b t 分别表示矩阵a ，b 的转置) 那么对于 l 2 ( 刑) 上具有紧支集的有界函数，( z ) ，令 r ( 。) = ，( 。k b 。) 而_ 二面矿二面i 二t ) ， ( 2 2 1 ) k e z d 则e 。( z ) l 1 ( q o ) nl 2 ( q o ) ( 这里q o = ( h1 ) “) b _ 1 ) 事实上由l e v i 引理和c a u c h y s c h w m z 不等式可知 fi f , 。( 。) l d 。一j l j - | q o i 云d f ( x k b 。1 ) 瓦i i 驴二丽i 二t ) 茎善。u ( ) 万丽恤 2 乏厶m ：) 万刁如一小万刁凇z s ( “m 俨钉“丽妒 = ( l ( ，) i f ( 删2 训打厶。5 + o 。 ( 2 2 又因为函数，( z ) 有界且紧支，那么函数r ( z ) 中仅有有限个k 非零不妨设非零项 k 有f 个( f 为自然数) 且l ，( z ) i 墨m ( m 为常数) 则由( 1 9 扛一n a 丁1 一k b _ 1 ) i ) 2s f 个 f 9 扛一n a 丁一k b 一1 ) 1 2 可得 f 个k n ( i f ( x k 。2 个 尼。i 薹( ) 万丽妒如 b 。) 而i 面，二丽) i ) 2 d x m 2 缸泛 而二面r 二面再) 1 ) 2 出 丽) | 2 出刮胪；小 一谢t _ k b - 1 ) 1 2 出 f 个”1 叭一n m 一m ；厶。叭z 一汴如 f 个k “ 1 0 雨 似厶 0 m 舻 纠磊u 衍c 1 羽。) 1 2 矗r 刊彬“咖脚 + 。 ( 2 2 固 从而 厶，( z ) 万i f 二元：i 巧2 。”“”7 。d z2 厶。只。( z ) e2 7 r i m b t x d ：c ( 2 24 ) 根据多元函数的积分变换【6 】知 f q o d x = i o 胪 d c t b t 陋= i d e t b t ， 1 厶。，。”z 一，i r ，t 。：，pi ，z ，。口r 。= ”：“r 。：。，。，f 2 25 可见 v 1 面五百t e 一2 ”。) m 凹z 足l 2 ( 0 0 ) e 的标准正交基，那么由p a r s e v a l 等式 容易得到 ，薹。l 厶。r ) e - 2 7 r i m b x d x 卜南厶。刚刮2 扛 ( 2 2 6 ) t h 孑“ v u 1 u 。u | ，q o 因此有 f ( ，印4 。9 ) 1 2 r n ，n 孑8 = 1 厶。m ) c 。”嘶。9 ( x - n a o ) d z l ，1 t i e z r ”“ = f 、m ) e 2 ”“日o 。9 ( x - n a o ) d zl m ，n e z d 女z d “v i = = i 厶f ( x + 口。) e q 枷7 ( ”膪一) g ( x + k b - 1 - n a r ) d 1 2 t ，n e z ak z d 。v o = f ，( z + k b 一1 ) c 2 ”1 ”。b 7 z c 一2 ”t m 日7k b 一1 9 ( x + k b - 1 - n a r ) d z1 2 r e z t k c z d “v = f if ( x + k b 一1 ) p 4 ；枷7 。e 砌m 护( b 7 ) 。7 m n e z d七2 d “v q 9 ( x + k b - 1 - - n a t ) d zi2 (z271 因为函数，具有紧支集，所以r ( z ) 对求和只有有限项非零，从而对的求和符 号与积分符号可以交换次序这样 ( 2 2 7 ) = j 厶m + 口。) r 2 “”矿z g ( x + k b - 1 _ n a t ) d xf 2 r n n z ，v i j z r ， 三一f ，f ，f d e t b i ，乞一q 4 k “c z 一“ 网1 暑厶乏， 而耳面j = i 丽d x z + k b1 ) i i ；i i i i j 二= i i 二厕1 2 d z !f 、_ d e t b i ? ：乏，i 乞a q u + k b ，( z + ( f # z d n j 4 r ) f ( x + 尬。1 ) f z d k ) b - 1 ) 而再_ = 巧f 二硒d x 南i d e t b ，丢。；萎 q 删砜( z | ，乞。怠汁眇“ n a t ) f ( x + l b 。1 ) 而再面可= 丽可如 f z d 网1 三厶碱( ：r - - , i i a t ) 。三。，( ：c + l b 1 ) 丽面丽出 南磊。“弛汗x - n a t ) 1 2 d x - l - 网1 ，丢。厶而州氍】，x + k b 1 m t cn a 7 ) 而耳丽可= 元雨d x ( 2 2 8 ) 凼为f 有界目紧支，所以司令i ，( z ) i m ( m 为常数) 又令s u p p ( f ) c i ，丑= ，+ l b ， 则f ( x ) l 2 ( nf ( x + i b q ) l 2 ( ) 由于必存在有限个非负整数m ，使得，c 0kk 。+ 1 ) a r ( 这里。z d ) 则由 1 9 ( 。一 4 ) l l e j ( z + i b 一1 一? a v ) l ；( i 口( 。一，t a t ) 1 2 + i 9 ( z + l b 一1 一n a t ) j 2 ) ， 和l e v i 引理知，( 2 28 ) 式中对n 的求和符号与积分符号也可以交换次序原因如 下：因为 ，薹 州少( 一n ) 丽面i 丽f 出 生暑以川胪( x - - 7 7 , a t 汴怕( x + i b - 1 - n a t 俨 一，三五i , k i + 1 ) a tm z 删出+ j 1 ，乏 胪叭x + i b - 1 - n a t 妒出 1 2 所以 一，乏，k 川肌咖铲西：+ _ 1 ，薹 岫q 。一( 州扩2 如 = ；五。( 硝r 如+ ；厶”( z + t b 。铲妇= 1 1 9 1 i 2 ( ) 使得 u f9 ( 。一n a o ) j 2 = r 口( z n a r ) 1 2 矿， ae z r d t f z df z d m 慨k ( f ) j 。) “，乏。嘏山倒即撕 2 一。觊( 丢川o ，薹。r 媛n 箍酬萨0 ( 其中矩阵b 是矩阵8 的伴随矩阵) 那么存在 0 ，使得对任意满足 d e t bi ( 。，b o ) 的矩阵b ，g 曲o r 序列 e n b u a 。g ) m , n e 别( 即序列 e m b t l a r g ，。m ) 构成 一个l 2 ( 剐) 上的框架 证明任取上2 ( 月) 上有界，且有紧支集的函数，( z ) 令 因为 j ( s ) f f 兀一t 口a r + 。钏。 7 l z 。7 两m k b 1 ) g ( x n a r ) 而j 矛j 面j 弛 。 女( o ，0 ，n )n z r 2 玉 而m k b ( 0 0 ，【) ) ) j | 口一，t a r ) 不= 矛f 二丽可陋 n 6 z “ s 州飘) 雕矿) 五。z ) 1 1 f ( x - k b - 1 生婷蠹，涉1 ) m 汗w ( x - k b - 1 汗) 如 = 卢 b 一1 ) i l 刘2 m 一0 ，0 ) 1 5 ( 3 1 ) 所以由条件( 可知，存在b o 0 ，使得对任意的id e t b ( 0 ，b o ) 的矩阵b u 一 2 ( k b 一1 ) 0 且v 十 f l ( k b 一1 ) + o 。 又由g a b o l 框架恒等式及条件( i ) 可以得到 丽1 ( u - 嘲。，。) 3 ( 川i 网t ( 吲赢) m b _ l 川l ，| ( 3 2 ) 若v ，l 2 ( ) ，则存在有界紧支的函数厶，使得厶，f ( n - o 。) 由于厶满 足( 3 2 ) 式，则当n 一( ) 。时( 3 2 ) 式仍然成立因此 日。凰山订。、n z “构成一个 l 2 ( ) 上的框架 定理3 2 假设目2 ( 掣) 如果定理3 1 中成立且又有 i i 霉一g t n a t + k 川钏。 u ( 0 ，0 ，i ) )n z “ 则 e 。b 。a 。口) ，n n 2 一构成l 2 ( ) 上的框架 证明由g a b o r 框架恒等式及条件( i ) 和条件( i i i ) 可得 0 ，使得d u 时 k ( o 一0 ，0 】, a c z d n a t k b 一1 ) i 茎d ， oe z r d 1 6 g胪酽e， 椰 一 ? 2 一引j ， 一 力 0 ( 优) 儿蚓蕊，邑 ，邑如一) 万初j 研” 则g a b o r 序列 e 。8 r 正：a ，g ) 。z 一构成l 2 ( 一n o ) 上以厩u 圆和审函为界的框 架。 证明假设v ，( z ) l 2 ( 形一n o ) ，且，具有紧支集及有界，由( 2 14 ) 式 可得 h ( z )毹z ) j 卫船一，风( z ) = 7 - t 川瓦n r g ( z ) 瓦i 石面可 女( 0 ，o ，0 )是( o ，。，0 )n z “ = j 瓦一，一e 川9 ( 。) 瓦而两 k ( 0 ，o ，o )n z “ ( 0 ，0 ，0 女( 0 ，0 ，0 夏万i i 否两t 咿g ( 。) ，z a 瓦 4 r 口( z ) 瓦i 五i 砑 n z d = f 巩( 。) k ( o 一0 0 ) 1 7 ( 3 3 ) 从而山c a u c h y s h w m z 不等式和( 3 3 ) 式知 j 止，而。( 一k b 。1 ) 9 ( z n 4 t ) 而五矿再两如l k ( o 、o ，0 ) n z , i ，( r ) 【l 几川m ) i 风( z ) k ( 0 0 0 ) = m ) 风( 圳j 一- m ) m h k ( z ) i 如 k f o 一0 ) 嘲赢) ( “。) | 1 聃) i 砬川打厶m 州圳2 诤 纠州0 蠹0 ，0 ) 厶一f “妁严风( ：动钉峭0 蠹0 ，0 ) 厶。l 死矿u ( 叫rj 矾扣) i 如声 k ( 一，) ( 。，) ” 一州乳) ( z ) j 2 j h k ( x ) 0 , 0j c f 功如州oo 五。“圳2 川风( 圳埘k ( ，o ) f o w ，) “ 2 ( 五m 汗州丢脚慨( 蚓出向厶。im ) r 州丢卫眇l 巩( 圳如婷 所以 厶。im ) 1 2 “” ( n 一0 0 ) 一厶“r 例，i s 蝌，厶而m 厶。fm ) f 2 ”儿 k ( 0 , 0 ，【1 】 k b 。) 9 ( z n a t ) 不j 面f j 西巧d x l 6 z i 则由g a b o r 框架恒等式及定理中的条件( v ) 和条件( v i ) 可得 ( ，b b t l a t 9 ) f 2 r nn z a 2 网1 厶 2 1 2 矗胪， 9 ( z n a 71 2 一 女( 0 w o ，0 同样 f 、 z t ， s 高新厶。im ) 闩p ( z a 71 2 + i 巩川 瓯丽| | 川t 所以 南，。笔( 旭”以删) 咫志ii 2 ( 3 4 ) 川z ， “f u 由于集合 ，6l 2 ( 一g v ) r ，有界且s 妒( ，) 紧) 在l 2 ( 一g ) 上是稠密的， ( 34 ) 式在2 ( 础一心) 的稠密子集上成立，故也必在上2 ( 一n g ) 上成立所以 ( 点b r 瓦 ，口) m m 别是以两u 研和飚v 讽为界的l 2 ( n d n g ) 上的框架 下面给出一例，以上定理的条件皆可满足 例31 设以= i o ) ，b = ( 一； ，那么b 一1 = ( ；2 。 又设 咖，= 掣： ，萋 峨( z ) i = i 口( z n a t ) 9 ( x - n a t _ 。b - 1 ) f ：o ( o - 0 ) 【0 ，0 ) n c z a 。 日1 定瑶13 4 知 u = i 1 1 r a ( z ) = ( ) 1v = s u p g ( z ) ：1 8 1 0 1 v = ，册：，l 风( z ) 卜。s l l ：，呱z m t ) f 2 + i 巩( z ) f z m i l a，【1 1 1 1 1 m 7 。 k 策砩”“ = s u 旦； ( 3 l 十1 ) 2 十( z 2 十1 ) 2 】= 1 8 + 。， x c l 0 1 】2 a t4 由定理3 4 知g a b 。r 序列怛。占r 咒 ，9 ) 。i n 三。构成l 2 ( 剧一n g ) 上的框架，且该框 架的框架界分别为i 萜u = i 1 和i 岛= 1 8 但是由于 g 扛) = 9 ( z n a r ) f 2 = i 【( 茁1 + 1 ) 2 + x 2 十1 ) 2 1 ”z 0 这样就得到了如下的结论 j 1 = u ；g ( z ) s 1 0 ， j f 咒a r 9 r + 日 女( o ，0 )n z o 互1 = 矿 2 l 口( z a t ) g ( z n a t k b 一1 ) l s8 南( o , o ) n e z 2 因此定理3 1 中的( i i i ) 和( i v ) 两式均不能满足 下一节我们来看特殊情况下g a b o r 序列能构成框架序列的充要条件 2 1 第四节 g t 。h 序列构成框架序列的充要条件 在特殊情况下， g a b m 系成为框架是有充要条件存在的，这一节就是讨论那些 在一定条件下g a b o r 系构成框架的充要条件，并且在本节还说明了g ( z ) 有上界是 g a b o r 系成为框架的必要条件，但g ( z ) 有下界并不是g a b o r 系成为框架序列的必 要条件，最后通过一个例子来说明这个问题 定理4l 令l 2 ( 一) 则f z 。 r 9 ) 。别是v o = 面赢霜丽。z 。上的以uv 为界的框架序列当且仅当 o ( i d e t a l u l ( z 一，l a - 1 ) 1 2sl d c t a l y , 。e ，z r 4 且19 ( z n a 一1 ) 1 2 o n e z z n c z d ( 4 1 ) 证明 令n = 代 o ，1 i d a 一1 ：憎 一n 4 1 ) f 2 = o 由参考文献 7 j 和f 8 】知， ( 互出r 口) “足以v 为界的框架序列当且仅当存在有界线性算子 t ：一f ( z “1 ， ，一 ，9 ( 一n a 丁j 7 魈。， 且 u i i i i l 2sl l t f l l 2sv l l f l l 2 它等价于存在有界线性的伴随算子 t + ：1 2 ( z 4 ) - ， 瞄，一疋舢( ：。) k z “ 使得v c = c & ) z “( k e