（光学专业论文）三原子分子he2k和he2rb的弱束缚态研究.pdf

硕士学位论文 m a s t e r l s ，r h e s i s 摘要 近年来，简单原子分子系统的弱束缚基态研究引起了人们很大的兴趣。一方面 是因为希望在真实原子分子系统中找到h a l o 态或e f i m o v 态；另一方面与实现b o s e e i n s t e i n 凝聚( b e c ) 有关。 本文研究了三原子分子胁，k 和月r e 2 r b 的弱束缚态情况。通过引入最佳原子间 唯象势，在超球绝热近似下，用b 样条基矢法解三体系统的s c h r 6 d i n g e r 方程。分别 在4 h e 一4 h e 一”k 。4 h e 一3 h e 一”k 。3 h e 一3 h e 一”k 稚4 h e 一4 h e 一”r b 。 4 h e 一3 h e 一妇6 ，3 h e 一3 h e a s r b 等系统中发现了束缚态。其中，因为3 h e 一3 h e ， 3 h e 一和3 h e 一“r b 之间均不存在束缚态，则3 h e 一3 h e 一3 9 k 和3 h e 一诹一s s r b 的束缚态为在真实分子系统中存在的h a l o 态。并通过调整两体相互作用强度，讨论 了三体束缚能与相互作用强度的关系。 关键词：少体：三原子分子；弱束缚态；h a l o 态；e f i m o v 态 硕七擘位论乏 m a s t e r r t t e s l s a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，t h e r ea r eg r o w i n gi n t e r e s t si ns e a r c h i n gf o rt h ew e a k l yb o u n d g r o u n ds t a t e so fs i m p l em o l e c u l e sf o rt w or e a s o n s o n ei sd u et oa l li n t e r e s ti nf i n d i n gt h e h a l os t a t e so re f i m o vs t a t e so fr e a l i s t i ca t o m i co rm o l e c u l a rs y s t e m s t h eo t h e ri sr e l a t e d t ot h ec r e a t i o no fb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e ( b e ai nv a r i o u sa g g r e g a t e s t h ee x i s t e n c eo ft h ew e a k l yb o u n dh e 2 ka n dh e 2 r bm o l e c u l e sa r ei n v e s t i g a t e d b ye m p l o y i n gt h eb e s te m p i r i c a li n t e r a c t i o n b e t w e e ne a c h p a i r o f p a r t i c l e s ，t h e s c h r 6 d i n g e re q u a t i o nf o rt h et r i a t o m i cs y s t e m si ss o l v e du s i n gb s p l i n e si nt h ea d i a b a t i c h y p e r s p h e r i c a ia p p r o x i m a t i o n ab o u n ds t a t ei sf o u n df o re a c ho ft h e4 h e 一4 h e 一3 k 4 h e 一3 h e 一”k ，3 h e 一3 h e 一3 9 ka n d4 h e 一* h e 一”r b ，4 h e i h j 一”肋， 3 h e 一3 h e 一”r 6t r i m e r sr e s p e c t i v e l y t h eb o u n ds t a t ef o rt h e3 h e 一3 h e 一3 i ka n d 3 h e 一3 h e 一”r bm o l e c u l e sa r et h eh a l os t a t ef o u n di nr e a l i s t i cm o l e c u l a rs y s t e m sf o r t h e r ea r en ob o u n ds t a t e si nt h e3 h e 一3 h e 3 h e 一3 9 ka n d3 h e 一”r bd i m e r s b y a r t i f i c i a l l ya d j u s t i n gt h et w o b o d yi n t e r a c t i o ns t r e n g t h ，t h er e l a t i o nb e t w e e nt h et r i m e r b i n d i n ge n e r g i e sa n d t h ei n t e r a c t i o ns t r e n g t h si sa l s od i s c u s s e d k e yw o r d s ：f e wb o d y ；t r i a t o m i cm o l e c u l e ；w e a k l yb o u n ds t a t e ；h a l os t a t e s ； e 丘m o vs t a t e s 硕士皇论文 m a s i e ks t h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究 工作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 勺众乖 日期：w r 7 年占月，矿日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 作者签名：勾众第 日期：卯1 7 年1 月l v 日茹瓿目 h 瓤：卵掣移r ，2 h 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回重途塞握童卮溢卮! 旦圭生；旦二生；旦三生蕴查! 作者签名： 勺众茗 e l 期：川年月1 y 日 导师签名 日期： 6 月2 目 够一 硕士擘位论文 m a s t e rsr i e s i s 第一章引言 1 1 原子物理学研究状况 原子分子物理作为一门科学是从2 0 世纪开始的。1 9 1 1 年，卢瑟福( e r u t h e r f o r d ) 通过口粒子散射实验提出了原子的核式模型，波尔( n b o h r ) 在1 9 1 3 年把量子概 念应用到卢瑟福原子结构模型，提出了氢原子模型。立即，弗兰克( j f r a n c k ) 和 赫兹( g h e r t z ) 在1 9 1 4 年证实了原子的电子能级结构。很快揭示了波粒二象性 并发展了量子力学，从而开始了原子物理发展的黄金时期【1 】。 现代的原子分子物理学主要研究以下基本内容【2 】： 1 、原子的内部组成和结构( 特别是能级结构) ： 2 、原子如何构成分子； 3 、原子与分子光谱； 4 、原子与分子相互作用及碰撞。包括原子、分子、离子闻的相互作用及碰撞 问题： 5 、光与原子分子相互作用及碰撞： 6 、原子与分子团簇。以原子分子理论为基础，研究纳米材料和原子分子团簇： 7 、材料的原子分子设计。从原子分子水平上研究、设计及合成新材料是2 1 世 纪的重要研究课题； 8 、分子的结构和能级、以及动力学问题等。 随着科学技术的发展，新技术不断涌现，新仪器设备相继被发明。高性能计算 机、激光技术、同步辐射及x 射线、离子加速器、真空技术、束技术、检测技术、 低温技术、超导技术和材料技术等的发展为原子分子物理学的深入研究提供了有力 的工具，使人们认识微观物质世界的能力得到空前的提高。 原子分子物理学中也相继出现了许多新的研究领域【3 】。1 9 7 0 年肖洛 ( a l s c h a w l o w ) 等成功研制出窄带调频染料激光器，并用来发展了激光光谱 学方法之后，由于其高分辨率和高单色亮度的特点，它已经成为研究原子分子价壳 层激发态结构，特别是跃迁概率很小的能级的主要手段。与此同时，由赛格巴恩 ( k m s i e g b a h n ) 发展的用高分辨电子能谱仪测量光电子和俄歇电子的能谱方法， 也被用来研究原子的价、内壳层能级结构。8 0 年代后，波长可调且短到真空紫外、 软x 射线和硬x 射线能区的同步辐射也发展成为研究原子分子高激发态、内壳层 以及离子激发态和电离结构的主要手段。以目前的激光波长，极适用于低束缚能电 硕士擘住沦丈 m a s t e r st h e s i s 子的研究。而与此相辅的同步辐射，能提供功率大、偏极性高的连续光源，且其波 长可以达到伽玛射线的范围，因此可用于研究高束缚能电子。此外，计算机的应用 使实验研究者，能精确地控制仪器，并迅速获得实验数据。 随着激光冷却技术的发展，对原子、离子、分子的囚禁与冷却的实现，使 b o s e - e i n s t e i n 凝聚( b e c ) 、单原子、离子的操控，高精度原子频标、原子激光及量 子信息等方面的研究成为原子分子物理学中的重要研究领域【4 】。原子力显微镜、扫 描隧道显微镜的发明使人们的空向分辨水平提高到原子量级，将人们带入了奇妙的 原子分子水平的物质世界。随着超短激光技术的发展，实现了高精度时间分辨，可 以进行分子内部原子甚至电子运动的相关性研究，许多以前观测不到的现象现在也 进入了人们的视野。 目前国际上主要的研究领域有以下几个方面【4 】：( 1 ) 离子、原子、分子的囚禁、 冷却、操控及在相关条件下的相互作用、精密测量和应用，如光谱的高精度测量、 b o s e e i n s t e i n 凝聚体的性质及其应用、原子激光、原子频标、物质波探测等；( 2 ) 量 子信息，包括量子通讯、量子计算、量子密码等；( 3 ) 极端条件下的原子分子物理 研究，主要包括在外加强电场、强磁场、高温、超冷、高压等条件下的原子分子结 构、性质及其动力学行为的研究：( 4 ) 基于特殊外界环境下的原子、分子与团簇的 结构与碰撞动力学研究。如：超快、超短( 如亚飞秒，阿秒) 激光与原子分子的相互 作用等；( 5 ) 高离化态原子的碰撞及其与电子、光子等的相互作用；( 6 ) 与生命、化 学、材料、信息、环境方面的交叉，扶原子分子结构、状态及其相互作用角度进行 相关的研究。 1 2 物理学中的三体问题 经典的三体问题，如：月亮一地球一太阳系统，由于其复杂性，现在还不能完 全理解f 5 ，6 1 。量子力学里的三体问题也一直存在，也还有没有解决的问题。三体系 统的结构和动力学特性在包括化学物理在内的各个物理学领域里都有出现【7 1 3 】。 经典力学中，可以应用角动量守恒解决两体问题。量子力学中的两体问题，因 为能量守恒仍然成立，则变为应用能量守恒求解二阶常微分方程。但是对三体问题 来说，质心系统的位形空间是六维的，每对粒子间的球对称相互作用保证了总角动 量守恒，但它只提供了三个运动常量，仍然还有三个变量。经典力学里有三个耦合 二阶非线性微分方程，而量子力学里有三维二阶偏微分方程而且没有有效的普适数 值计算方案可以应用。 原子物理中，各个组成粒子可以做点粒子近似，不用考虑粒子的内部结构，而 2 硕士肇位论丈 m a s t e rst h e s l s 且远程库仑相互作用我们已经很清楚了。除了个别临界问题和可能出现的附加力以 外，三体库仑相互作用系统的稳定性我们已经完全了解 1 4 1 ，运动方程能够很快写 出来，也能找到方程的解( 尽管有时很困难) 【9 ，1 4 1 。 分子或化学物理中，用b o r n o p p e n h e i m e r 近似把电子的运动分离出来后，就出 现了三体系统问题【7 ，1 5 1 7 】。分子和原予混合系统也存在【8 ，1 3 】，例如：t 介子分子， d f 肛。在核物理中存在三核子系统 1 8 】，更为复杂的核子团簇用三体模型近似描述， 然后得到核子( 三夸克) 系统 1 9 1 。 核物理和分子物理中，退耦合成团簇不像在原子物理中那样有效，因为这些系 统中的粒子是有结构的，是由夸克，其它核子或电子组成的。而且它们之间的相互 作用还不是很清楚，这种相互作用可能还与三个粒子的相对位置和运动有关。核物 理中两体问的有效相互作用通常是用实验数据来确定的 a 8 1 ，而分子物理中的两体 作用大多是在b o m o p p e n h e i m e r 近似下，固定原子核，计算电子的基态能 【7 ，8 ，1 5 1 7 。 1 3 论文研究的意义及内容结构 简单原子分子的弱束缚态研究具有两方面的意义。首先是寻找原子分子中与粒 子相互作用和粒子质量有关的h a l o 态或e f i m o v 态【7 ，1 5 ，2 0 2 3 】，其次与实现 b o s e - e i n s t e i n 凝聚有关 2 4 ，2 5 。 无论是在实验上还是在理论研究中，超冷原子碰撞和实现b o s e e i n s t e i n 凝聚的 系统都需要具有非常微弱的相互作用力，以在极低温度下可以形成稳定的束缚态 【2 6 】。这就使人们来研究原子分子的弱束缚态。 对于由三个全同粒子组成的系统，有两种情况在核物理范围内已经做了充分的 理论研究，一个是h a l o 态，一个是e f i m o v 态。h a l o 态是指三体系统中的两体子系 统都不存在束缚态，而三体系统却存在束缚态 2 7 ，2 8 。e f i m o v 效应可能出现在短程 相互作用系统中。如在三体系统中至少有两个两体子系统有非常大的散射长度或者 有束缚能为零的束缚态，而且系统有无穷多束缚态的话，就可能出现e f i m o v 效应 【2 9 ，3 0 。 对由三个全同粒子组成的原子分子系统( 对称系统) ，e s r y 7 等人证明h e ，三体 系统的第二个束缚态具有和e f i m o v 态相似的性质；b l u m e 2 5 等人预测3 h ，三体系 统的单振动束缚态是h a l o 态，但这个h a l o 态并不是3 ，系统的基态：k r a e m e r 2 2 】 3 硕士荦位论文 m a s t e rst h e s i s 等人研究了超冷d ，气体中的e f i m o v 共振，证实了e f i m o v 物理的主要理论预言， 而且开创了探索相互作用少体系统一般共振性质的新起点。 当组成三体系统的粒子不是全同粒子( 非对称系统) 的时候，也可能存在三体 束缚态【3 1 ，3 2 】。尤其是研究胁，【7 】以外的弱束缚三体原子分予系统，如 h e h e l i ，h e h e n a ，h e h e h ，h h h e 【1 5 ，2 0 ，2 6 】。因为这些系统 的束缚能只有低于i k 的量级，它们只能存在于低温环境下。利用激光冷却和其它 冷却原子分子的方法 3 3 - 3 5 1 有可能直接研究这些分子。由于三个组成粒子并非全同 粒子，还没有在真实的原子分子系统中发现h a l o 态或e f i m o v 态。 碱金属元素和m 之间的相互作用很弱，在两原子核相距6 8 a 时势阱深度只有 0 。7 1 9 2 1 6 k 3 6 1 。由于这样浅的势阱深度，人们曾广泛认为它们不会形成束缚态。 因为势阱比较深的 k 一日j ( d et 1 0 9 k ) 两原子系统，认为只能形成一个束缚态 4 h e 一4 h e 3 7 ，而4 h e a b e 和3 h e 一3 h e 都没有束缚态。4 日e 一4 胁两原子系统的束 缚态已经在实验上被证实 3 8 ，3 9 1 。h e ，三原予分子早在7 0 年代就引起人们的注意 【4 0 ，因为肫一胁之间的弱束缚态使胁，可能出现e f i m o v 态或h a l o 态。但是只有 4 t - t e ，系统的第二个束缚态具有和e f i m o v 态相似的性质【7 】。因此，碱金属元素和胁 组成的三原子分子就引起了人们的注意 1 5 ，2 6 1 ，希望能在它们的组合中找到e f i m o v 态或h a l o 态。 由三个全同粒子组成的系统的e f i m o v 态或h a l o 态在核物理中已经研究过 【2 7 ，4 1 4 3 】，但是在原子物理中还没有发现具有e f i m o v 态或h a l o 态的原子分子系统。 我们希望能够在三个非全同粒子组成的系统，碱金属元素和h e 的各种同位素的组 合中找到e f i m o v 态或h a l o 态。因此，碱金属中除l 翻铂n a 之外的其它元素k ，r b 与h e 同位素组成的三体系统h e h e k 和h e h e r b 将作为本文的研究对象。全 文共分为五章，具体安排如下： 第一章简要介绍原子物理的研究状况和物理学中的三体问题，并阐明了本文研 究的意义和论文结构。 第二章介绍描述三体系统的超球坐标，并建立任意相互作用势的s c h r l i d i n g e r 方 程，及在绝热近似下用超球绝热展开处理s c h r 6 d i n g e r 方程的方法。 4 硕士荦位论乏 m a sr e r s r h e s l s 第三章首先介绍b 样条的定义及其性质，随后介绍用b 样条基矢法解 s c h r 6 d i n g e r 方程的一般方法和在本文研究中的具体处理。 第四章通过超球坐标在绝热近似下，引入最佳粒子间唯象势，用b 样条基矢法 解了三体系统胁一m k 和肫一m r 6 的s c h r 6 d i n g e r 方程，研究系统的弱束缚态 情况。 第五章是对本文的总结和展望。 5 硕士擘位论文 m a s t e rst t t e s l s 第二章三体系统的超球坐标描述 三体系统超球方法的基本思想很简单，就是把两个相对坐标写成六维矢量，在 六维空间中解非相对论s c h r 6 d i n g e r 方程，而不涉及单个粒子的“波函数”。波函数 在超球曲面上的边界条件为粒子的交换对称性。 超球方法已经在物理和化学的很多不同领域里用来解决束缚态和散射等问题。 这当中最初的很多工作是研究超球坐标中数学函数的基本结构【4 4 】。随着计算技术 的发展，实现了超球坐标的精确计算，为解决少体问题提供了一种理想的方法。尤 其是超球方法已经成功应用于原子硅藻碰撞( a t o m d i a t o mc o l l i s i o n s ) 试验中的反应 散射( r e a c t i v es c a t t e r i n g ) 【4 5 - 4 9 v f 【1 原子物理中。 超球方法最主要的一个优点是它可以应用于任何三体系统，而不用考虑粒子的 质量。因此，如处理王k 原子的方法改进后可以直接用于处理日；。而绝熟超球方法 又可以把多维问题转化为简单的一维问题来处理。 2 1 坐标系统 我们只在质心系中讨论三体系统。在实验室系中，令质量为巩的第i 个粒子的 坐标为i 。如图2 1 1 所示不同的j a c o b i 坐标集，口集中矢量n 由a 指向b ，对应 的约化质量为地一m ：( + m ：) ，矢量见由a 和b 的质心指向c ，对应的约化质 量为如，( + m 2m 3 ( 豫+ 川2 + 研3 ) 。 令系统的总质量为m ；f 删。，质心坐标为u 。对不同的j a c o b i 坐标集有两个重 - ， 要的恒等式： 善c 。荟一力+ 胁2 善ni 1 孑0 2 = n 刍- 1 百1 砑o z + 万1 丽0 2 6 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 硕士肇位论乏 m a sj e rs t h e s l s f气c一乙 a 醒 b ab 口集卢集y 集 图2 1 1 三体系统的j a c o b i 坐标集。其中a 和b 带同种电荷。e 9 1 再引入质量加权矢量： 一旺纯 其中口是任意的。则( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 式变为 薯牡黔l 黔2荟旁7 ；善哥肿2 一墓g n 2 ( 2 i 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 由简单的几何关系可以得到不同的j a c o b i 坐标集的以下关系式 5 0 1 ： i 硝；一硝一土；一 i h b “h c i p ；p ? + ! l p ? 。一p ；+ k ”1 “h a k ：形一土心。一一 j “4 ”b i p f 。一p ? 一l p ，；p ；+ 7 旦 m a + m 。 ( 2 1 6 a ) 且畦 m 4 + 研b 掰 加+ m c 肌b m b + m c 反 ( 2 1 6 b ) p ： 一r ! 秽 h 1 一p i p 卫秽 f 箭 1 一卢 i ! 时 v 角 1 一p 碰士擘位论丈 m a s t e rst h e s l s p ：。一p ；一! l p ：一p ：一! l p ： j 研月州bm m 。 ( 2 1 6 c ) f p ；：p ? + 竺l d ；= 一p ? 一竺生一p ； 利用上式可以把不同的j a c o b i 坐标集表示的表达式转换为单一的坐标集形式。 如：若系统由三个带电分别为z l e ，z 2 e 和z ，的粒子组成，则总的库仑：势为： 矿；z 1 2 2 e 2 + z 2 z j _ _ 垡2 + z 3 z l e 2 k ，k r 3 1 ( 2 1 7 ) ；爷+ 爷+ 筝 其中，为粒子f 和，之间的距离由( 2 1 6 ) 式可以把上式写为单一j a c o b i 坐标集 f ) ；p 2 + ( 2 1 8 ) 当系统的波函数用芦坐标集表示时，可以用( 2 1 8 ) 式来计算矩阵元。 超球坐标有多种定义方法，基本要求就是只要个超球半径来衡量系统的大小， 其余都是角度。要描述一个三体系统，可以选择e u l e r 角来描述整个系统的转动， 再选择三个坐标描述系统内部自由度。我们只讨论角动量，一0 的最常见的情况， 这样波函数就与外部转动无关。内部坐标选择n 和仍，n 和办的夹角为p ，皇与r 的夹角为毋，如图2 1 2 。 8 一酽 五一厂 兰卫 硕士荦住沦疋 m a s t e rst h e s l s 图2 1 2 超球坐标之间的关系，其中皇i 、，：而。 定义质量加权超球坐标【9 】 r 2 一并+ 爵 即 尺2 一肫彳+ p ：正 t a n 扣莹置尝告 1y ，l ，l c o s 0 ；坐笠 n p 2 ( 2 1 9 ) ( 2 1 1 0 ) ( 2 1 1 1 ) 其中r 为超球半径，矿为超球角。r 可以描述系统的大小，妒和0 可以描述三个组 成粒子之间的相互关系。 ( 2 1 9 ) 式中的口是任意的。我们选择第一个和第二个原子的约化质量，如对 4 m ：”k ，选择4 h e 2 的约化质量，对4 h e 3 h e 3 9 k ，选择4 h e 3 h e 的约化质量。与j a c o b i 坐标n 和成相对应的约化质量一和：分别为 和 三：三+ 一1 ( 2 1 1 2 ) 1 打h埘2 9 斛m , i s t e r s t h 丈e 1 11 一4 - 一 24 - 1 2 1 3 2 2 任意相互作用势的三体系统 2 2 1 总角动量算符和超球谐函数 由( 2 1 2 ) 式可将三体系统的动能算符表示为 一笙霪去啥2 2 蔓2 陆茜+ 三m 妥a u 】 智慨oi 角；a p ； 2 l 则动能算符可写为【5 1 】 至2 2 t 0 - 扩- 雨- + 熹去一矿a 21 其中 a 2 赤嘉( s 缸2 c o s 2 庐面d ) 为总角动量算符。i i 和，2 是与p l 和见相对应的角动量算符。 角动量算符a 2 的本征函数满足方程【5 0 1 a 2 ( q 姐n 】( q ) = 乍j ( 乍l + 4 ) “业1 ( q ) 其中 】。2 m + + 1 2 恤 表示量子数集， k 】一( 2 1 ，1 2 ，m ，l ，m ) ，归一化本征函数为 咋。】( q ) = 五加( ) 。( 皇，岛) 其中耦备角动量函数为 一( 爵，磊) ；( 印f ：胁：l l m ) l k ( 皇) ：( 岛) 1 0 ( 2 1 1 3 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 南南 硕士擘位沦乏 m a s t e r s f h e s i s 其中k ( 亭) 为球谐函数，( m 。l ：m ：l l m ) 为c l e b s c h g o r d a n 系数。 正枷形) = 睇枷s i n # c o s 庐蛩“2 删2 ) ( 2 2 8 ) 这里吼枷为归一化常数，霉为j a c o b i 多项式。 波函数嘲( q ) 称为超球谐函数，超球谐函数集满足正交条件并组成完全集： 心l ( q ) u t 。】( q ) d q ；靠i 。一1 ( 2 2 9 ) 其中的体积元为 d q = c o s 2 b s i n 2 矿d 咖z 毛d 岛 ( 2 2 1 0 ) 以上方程( 2 2 1 ) 一( 2 2 1 0 ) ，可以分另q 用j a c o b i 坐标的三个坐标集表示。由 ( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 可知，角动量算符a 2 是独立于j a c o b i 坐标的 a 2 ( q 。) ；人2 ( q 4 ) 一a 2 ( q 7 ) ( 2 2 1 1 ) 因此，当】；j 】时，可以把一个坐标集的本征函数用另一个坐标集的本征函 数展开【9 】 ( q 。) - 栋j ( 叩) “朗( q “。) ( 2 2 1 2 ) 其中，7 与系统的质量比有关，口代表卢或y ，展开系数为 秘枷) = 心1 ( q “) “( q 4 。) d 0 8 + ( 2 2 1 3 ) 被称为超球谐函数转换括号，有专门的计算程序。转换括号可以应用于不同的j a c o b i 坐标集表示的函数的积分中。 2 2 2 任意相互作用三体系统的s c h r f d i n g e r 方程 质心系中的s c h r s d i n g e r 方程为 一去v ；一瓦1v ；+ y 卜2 鬯 c 2 z ，4 ， 我们只考虑总轨道角动量，= 0 的态，因此，s c h r 6 d i n g e r 方程只包含三个内部坐标 1 1 r ，和0 ( 原子单位) 【7 ，9 】： 一去景+ 等州跗卅 一瓦而+ 瓦矿w 【r ，俐 v ( x ，矿，0 ) = 印( r ，0 ) ( 2 2 1 5 ) 这里为消除动能算符中的一阶导数，令坚= ( r ”2s i n 庐c 。s ) 。对束缚态来说 ( 尺，妒，0 ) 必须是平方可积的，而且必须满足边界条件： ( r ，。，口) = ( r ，三，p ) = 。 c 2 2 t 6 ， 和 虹0 幽0 l 。= 1 日一“ = o( 2 2 1 7 ) 2 3 超球绝热展开 超球方法能够在三体问题中得到广泛应用，得益于绝热近似的引入。绝热近似 最早是由m a c e k 5 2 为研究毖的双重激发态而引入的。绝热近似把超球半径当做波 函数的变化缓慢的参数，首先在每一个固定的超球半径上解决s e h r 6 d i n g e r 方程的角 向部分，得到等效势uf r l 和相应的通道函数，然后把波函数用这些通道函数的完 全集展开，从而求解s c h r 6 d i n g e r 方程。 对固定的超球半径只，由方程( 2 2 1 5 ) 可得到本征值方程： a z _ 三 瓦矿4 + 矿( 姒口) i m ，( 月；，0 ) = 玑( r ) m 。( 尺；，0 ) ( 2 3 1 ) 由超球坐标的定义可以看出，超球半径贾可以体现整个三体系统的大小，痧体现系 统的径向相关性，0 体现角向相关性。而且r 在粒子置换下是完全对称的。因此， 方程的本征函数m ，( 月；，口) 包含了全同粒子的全部对称性和系统的全部相互关系， 被称为通道函数。它体现了总波函数的许多物理信息，我们可以从中获得对系统动 力学性质的定性理解。 1 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s s c t l r i ；d i n g e r 方程的完全解用通道函数m ，( r ；矿，口) 展开 v ( r ，妒，p ) = e ( 尺) m ，( r ；，口) 。 ( 2 3 2 ) 把妒( r ，妒，0 ) 带入( 2 2 1 5 ) 式，并利用( 2 3 1 ) 式得到第y 个通道的第珂个本征态 满足的方程 ( 一瓦1 丽d z + u ( r ) + ( r ) 一既 既( 月) - ( 2 3 3 ) z e p v ( r ) - w ，。( r ) 乇( r ) 其中 吲牛一去( 喇蚓喇) 眨，舢 帅，= 如肿，) 丢 ， 忽略不同通道间的耦合，s c h r 6 d i n g e r 方程化为 ( 一瓦1 丽d 2 + v v ( 砂吲r ) 一( 咖e ( r ) ( 2 3 6 ) 这是一维径向s c h r 6 d i n g e r 方程。等效超球势为u ( 曰) + ( r ) ，它决定了绝热近似 中三体系统的能谱。 可以证明【5 3 】求解方程( 2 3 6 ) 式z i z , e , , - 一态- 能的上限，如果忽 略二阶对角耦合项( r ) 只保留u ( r ) ，也就是通常的b o m o p p e n h e i m e r 近似， 得到的则是下限。 绝热超球方法的一个主要优点就是，能把多维问题转化为一维问题和一组等效 势【9 】。这些势能曲线能够提供关于系统动力学性质的很多定性的和定量的信息，而 且提供了一种方便有效的区分原子和分子系统的方案 9 】。用这种方法通常可以简略 的得出多数情况下的半定量势能曲线，而不用涉及复杂的数值计算。而动量空间中 的f a d e e v 方法 5 4 】却不能提供势能曲线的计算。 硕士擘住论文 m a s t e r st h e s l s 第三章b 样条在原子分子物理中的应用 关于b 样条的理论在1 9 4 6 年就由s c h o e n b e r g 5 5 提出，但直到1 9 6 7 1 5 6 年才以 b 样条( 基本样条) 命名。1 9 7 8 年，d eb o o r 的书【5 7 】的出版才使b 样条在原子物 理中得到真正的应用。d eb o o r 的f o r t r a n 程序为b 样条应用于任意阶和节点分布提 供了可能。关于b 样条的详细内容，请参见文献 5 7 1 。 3 1b 样条定义及其性质 3 1 1 b 样条定义 b 样条有多种等价的定义。我们只介绍作为标准算法的d eb o o r 和c o x 的递推 定义，又称为d eb o o r - c o x 递推公式。这个著名的递推公式的发现是b 样条理论的 最重要的进展之一。 在x 轴闭区间【a ，b 】上选取栉+ k 个节点k l 。组成的节点序列： a t ls t 2s s f 。“= b ，则可以定义b 样条函数如下： b i 。o ) ； 1 t fs 工墨f “1 0 其它 呐) i 砉 伽，阱乏篆j b i - ， 其中k 为b 样条的阶。n 为k 阶b 样条的数目。图3 1 1 显示了一个五阶b 样条， 样条数目为1 4 ，所取闭区间为f o ，5 】，节点序列为：t 。一f 2 = t 3 一t 。；t 5 ；0 ；f 6 0 5 ； t 7 1 0 ；t b = 1 5 ；t 9 2 0 ；t m = 2 5 ；t 1 1 3 0 ；t 1 2 = 3 5 ；f 1 3 4 0 ；t 1 4 = 4 5 ； t 1 5 一t 1 6m t l 7 一t 1 8 一t 1 9 5 0 的情况。 1 4 硕士学位论文 m a s t e rs l t i e s i s x 图3 1 1 分布在闭区间 o ，5 上的b 样条函数马5 0 ) ：横坐标为x ，纵 坐标为量j 0 ) 的值。1 4 个b 样条函数由节点序列 o ，0 ，0 ，0 ，0 ，0 5 ，1 0 ， 1 5 ，2 0 ，2 5 ，3 0 ，3 5 ，4 0 ，4 5 ，5 0 ，5 0 ，5 0 ，5 0 ，5 0 确定。 我们把顺序r 个节点相重( 例如：f 。；t ：= t ，= t 。= t ，；0 ) 称为该节点具有重复 度r ，或称该节点为r 重节点。 3 1 2b 样条及样条函数性质 ( 1 ) 递推性( 见( 3 1 1 ) 式) ( 2 ) 归一性 e o ) = 1 f o r ( 3 ) 局域性 在每个区间( t i , t 。) 上，只有七个b 样条为非零值 b ，( x ) 0 f o r，= f k + 1 ，i ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 硕士学位论文 m a s t e r s1h e s i s 第一个样条为e 。，其结束点在+ 。；最后一个样条为e ，其开始点在，因此我 们有 且o ) + b ， ) = 0 o r i 一，i z 七 ( 3 1 4 ) ( 4 ) 非负性 曰f j o ) 一 2 0 t is 工s t j + t s 0 其它 ( 3 i 5 ) ( 5 ) 可微性 在节点内部它有无限次可微性，在节点处它是k r 一1 次可微的，这里r 是节点 的重复度。 k 阶b 样条的导数是k 一1 阶分段多项式，也可以用七一1 阶b 样条表示： 呱兰弘t 阱兰t ( 3 1 6 ) ，阶导数公式如下： 式中 。【莩a 。e ，o ) 】。；口“饵t 一， ， 口1 7 + 1 崔 a j ”一a 婴 瓦硝i i 葡 ( 3 1 7 ) f o rj ；0 ( 3 1 8 ) f o rj 0 注意，这里k 阶和七一1 阶b 样条应用了相同的节点序列。在这种情况下，通常 为了方便使节点序列的第一个和最后一个节点重复次，这样，垦。o ) 中的第一和 最后一个b 样条都为0 。 ( 6 ) 可积性 j ：薹q 辟一c s ，出2 萋 套口，o m ，肛】置- + - 。， 1 6 硕士荦位论更 m a s t e rst t i e s l s 。f b ， f js 工s t s( 3 1 9 ) ( 7 ) b 样条函数曲线的局域性质 由b 样条函数可构造b 样条函数曲线。其曲线方程如下 厂o ) 2 善d c b t o ) 其中d 。，i l 2 t 称为控制顶点， b 样条曲线的局域性质如下： ( 3 1 a o ) 又称为d eb o o r 点。由b 样条函数的定义可推出 k 阶b 样条曲线上参数为z 【f j ，t 。】的一点f ( x ) 至多与k 个控制顶点d 。， f ；i k + l i 一七，i 有关，与其它控制顶点无关。移动该曲线的第i 个控制顶点d ；至 多将影响到定义在区间以，t 。) 上的那部分曲线的形状，对曲线的其余部分不发生影 响。 ( 8 ) b 样条函数的可微性或参数连续性 b 样条函数曲线在每一曲线段内部是无限次可微的，即b 样条函数曲线的局部 性质是c 。的，在对应节点曲线段端点处是k r 一1 次可微的，即是c “1 ，是该 节点的重复度。 ( 9 ) b 样条函数的几何不变性 当用有限的信息决定一个形状，( 例如：三点决定一条抛物线，五点决定一条 四次曲线) ，如果这些点的相对位置确定后，我们要求所决定的形状也就固定下来， 它不随所取的坐标系不同而改变。这种不变性称为几何不变性。 ( 1 0 ) b 样条函数的完备性 在某一闭区间上定义一组节点序列后也就定义了该区间上的一组b 样条函数。 该区间上的有定义的任意函数可用这组b 样条函数逼近。这组b 样条函数的完备性 与所选的节点序列有关。一般而言，节点越密，越完备。若某一组b 样条函数能很 好地逼近某一类函数，则我们称这组b 样条函数相对所要逼近的这类函数是“相对 完备的”。在实际应用中通常利用其相对完备性”，即根据所要逼近的函数的特点 选取b 样条函数，使其能很好的逼近这一函数。 1 7 硕士学位论文 m a s t e r si tj e s i s 3 1 3 重节点对b 样条与b 样条函数曲线的影响 ( 1 ) 重节点对b 样条的影响： a ) 节点重复度每增加1 ，b 样条的支承区间中减少一个非零节点区间，b 样条 在该重节点的可微性降一次。 b ) 当非零节点区间长度相同时，在k + 1 重内节点处的k 阶b 样条左右两分支 分别与右左两端节点为k + 2 重的k 阶毋样条有相同的形状分支。 c ) 均匀b 样条基在曲线定义域内各节点区间上都有相同的图形。 ( 2 ) 重节点对b 样条函数的影响： a ) 在b 样条曲线定义域内的内重节点，重复度每增加1 ，曲线段数减1 ，样条 曲线在该重节点处的可微性降1 。因此，t 阶b 样条曲线在重复度为，的节点处是 c “1 连续的。一条连续的曲线，其内节点所取的最大重复度等于曲线的次数k 一1 ， 端点的最大重复度为k 。 b ) 当端节点的重复度为k 一1 时，k 阶b 样条曲线的端点将与相应的控制多边 形的顶点相重，并在端点处与控制多边形相切。 c ) 当在曲线定义域内有重复度为k 一1 的节点时，k 一1 阶b 样条曲线插值于相 应的控制顶点。保持曲线的正则性。 3 1 4 边界条件的考虑 当系统的波函数作b 样条展开时，系统的波函数在边界上需满足一定的条件。 这些条件对所用的b 样条基的展开系数有一定的限制。具体限制如下( 设所选取的k 阶b 样条的节点序列在边界上为重简并的) ： ( 1 ) 波函数在边界上为零对b 样条基展开系数的要求： 若波函数在左边界上为零，则要求在b 样条展开式中的第一个b 样条的系数为 零。即应去掉第一个b 样条。 同理，若波函数在右边界上为零要求在b 样条展开式中的最后一个b 样条的系 数为零。即应去掉最后一个b 样条。 ( 2 ) 波函数的导数在边界上为零对b 样条基展开系数的要求： 若波函数的导数在左边界上为零，则要求在b 样条展开式中的第一个b 样条的 系数和第二个b 样条的系数相等。 同理，若波函数的导数在右边界上为零，则要求在b 样条展开式中的最后一个 b 样条的系数和倒数第二个b 样条的系数相等。 1 8 硕士学位论丈 m a s t e rst t l e s l s 3 2 用b 样条基矢法解s c h r 6 d i n g e r 方程 我们先介绍最简单的原子系统，即中心势中单电子原子的束缚态。这类系统包 括所有以库仑势为特点的氢原子和类氢离子，也包括碱金属原子( n a ，k ，r b ，c s ，) 或类碱金属离子( b e + ，m g + ，) ，这类离子有足够精确的模型或赝势来描述固 定的离子核势。然后介绍我们对二维s c h r 6 d i n g e r ，y 程的处理。 以下我们将看到b 样条基矢法的灵活性，中心势场中计算能量和波函数可以达 到机器精度所允许的最大值，而这个过程只需要几分钟时间。 3 2 1 单电子原子系统 本征态为妒( ，) ，能量为e 的单电子原子满足的s c h r 6 d i n g e r 方程为： 一v 2 + v ( ，) ”。却( r ) ) 其中y ( ，) ；v ( r ) 为原子的中心势。用分离变量法解方程 妒。，( ，) ；! ! 号盟巧m p ，爹) ( 3 2 2 ) 其中巧”p ，庐) 为球谐函数。径向函数“。j ( r ) f f ；3 9 勺- f j 6 s c h r f d i n g e r 方程的解： 【一参+ 警叫w 吗啪， 叫， 边界条件为比。p - 0 ) 一0 。 假定在给定的空间中任何解“。( r ) 都可由样条函数近似，则径向方程( 3 2 3 ) 可 以在子空间中用数值方法求解。该子空间可以通过b 样条函数基产生。这样就可以 把解通过b 样条基在该空间中展开成这种形式： “卅8 荟0 川 ( 3 2 4 ) 其中e ( r ) 为第f 个阶为t 的b 样条。要确定基矢需要一组节点序列，这个序列由以 1 9 硕士学位论乏 m a s t e rst h e s i s 下几