（应用数学专业论文）一些非协调板元误差估计新方法.pdf

摘要 本文利用散度空间的性质，给出了一些非协调板元m o r l e y 元，v e u b e k l 元和v e u b e k 2 元及双参数元误差估计新方法，并给出能量模和l 2 模的估计较以前的方法更直接简便 并且能够达到所要求的阶数 关键词：非协调元误差估计板弯曲问题双参数 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w i t ht h ep r o p e r t i e so fs p a c er e l a t e dt od i v e r g e n c eo p e r a t o r ，w ep r e s e n t an e wm e t h o do fe r r o re s t i m a t e sf o rs o m en o n c o n f o r m i n gp l a t ee l e m e n t s ，s u c ha sm o r l e y d e m e n t ，v e u b e k le l e m e n t ，v e u b e k 2e l e m e n ta n dd o u b l es e tp a r a m e t e re l e m e n t f u r t h e r w e o b t a i nt h ee s t i m a t e so ft h ee n e r g yn o r ma n dt h el 2 - n o r m b e s i d e s ，t h em e t h o di sm o r e s i m p l ea n de a s yt or e a c ht h er e q u i r e do r d e r k e yw o r d s ：n o n c o n f o r m i n gp l a t ee l e m e n t ；e r r o re s t i m a t e s ；d o u b l es e tp a r a m e t e re l e m e n t 2 前言 有限元方法是古典变分方法( r i t z - g a l e r k i n 方法) 与分块多项式插值结合的产物，其 离散化思想最早由c o u r a n tr 于1 9 4 3 年首先提出的。自6 0 年代有限元发展以来，该 方法成为求偏微分方程数值解的一个重要方法，广泛应用于解决物理现象、工程问题及科 学计算等领域中在我国，计算数学家冯康先生独立于西方发明了这种方法该方法能用 来求饵二阶椭圆问题，四阶椭圆问题、抛物问题双曲问题、流体中的s t o k e s 问题等随着 计算机的迅猛发展，这门学科的应用范围也日益广泛，逐渐产生了许多分支有限元空间 构造、s o b l o v 空闻插值理论，微分方程正则性理论是有限元方法实现的前提有限元离 散求解，涉及到线性方程组的求解，要求有与之相应的有限元软件为了提高求解效率和 精度，出现了多重网格方法、超收敛理论和高精度算法等方法由于求解问题的不同、计 算量的要求和变分形式的多样性出现了非协调元，混合元等方法 有限元方法的基本原理是将原始问题转化为变分形式，即弱形式在较弱的空间v 上求 解，然后构造出能逼近变分问题求解空间的有限元空间v ，一般将求解区域q 剖分成许 多小片，构成分片多项式，进而在有限元空间求解，这种方法称为有限元方法，若y hcv ， 这种有限元称为协调有限元，若v h 仁v ，这种有限元称为非协调的，非协调有限元一度 被称为非标准的，因它求出的解根本不属于原来的空间v ，但近年来的数值实验和理论分 析说明这种方法在某些意义下有较好的收敛效果国内这方面的研究比较突出，如石钟慈 院士建立的专门用于非协调元的收敛性估计的广义分片检验方法，比较容易操作，解决了 众多非协调元的收敛性验证工作( 参见【2 9 】) 薄板弯曲问题对应于4 阶椭圆边值问题，协调有限元求解此问题需要单元具有c 1 连 续性，这难于构造且应用不便，因此求解该问题主要应用非协调元 1 9 7 5 年，l a s c a u x 与l e s a i n t 1 1 第一次用严格的数学方法证明了m o r l e y 元，v e u b e k l 元和v e u b e k 2 元的收 敛性，并在假定真解属于h 4 空间的情况下，给出了弯距和位移的误差估计式，标准能量 模o ( h ( 1 u 3 + h l u l 4 ) ) ，但这个结果不能让人满意，因为对一般多角形区域，甚至凸多角形 区域，不能期望真解属于h 4 ，因而出现企图降低真解光滑性要求，在h 3 假定下给出误差 估计式的研究为此，石钟慈【2 】和陈绍春，石东洋【3 】采用少用一次格林公式的方法而得 到在h 3 条件下，证明它的收敛性，得到能量模估计o ( h ( 1 u h + h l f o ) ) ，本文利用散度空间 的性质，在f 1 1 基础上，也能得到在h 3 假定下的收敛性，并且给出l 2 模估计，这是( 2 】 3 】 4 中没给出的此方法使得估计过程更加简便，把这个方法推广到双参数元上，也能得到同 样收敛阶 本文写作安排如下t 第一章：介绍预备知识，列举本文用到的记号，定义和定理 第二章：利用更易操作的方法对m o r l e y 元进行估计，并类似给出v e u b e k l 元和v e u b e k 2 元的估计 第三章：给出双参数的误差估计 5 1 1 s o b l e v 空间及一些记号舯l 预备知识 设r ，l 为n 维欧式空间，z = 扛1 ，z 2 ，一，z 。) 为r ”中的点，q 为舻中的区域 n = ( 口1 ，o l 。) 称为几重指标，其每一分量均为非负整数，记其长度为l a i 设q 为r “中的区域， 定义1 1 1 ”( q ) = ，l 歹的直到m 阶的偏导数在q 连续 c ”( 豆) = ( ，i ，的直到m 阶的偏导数在q 一致连续 i 口j = q 1 + a 2 + + ， 混合偏微分算子记为 肋= 砾箬酉 由定义，若，沪( - ) ，则对任意n 重指标n ，l q l m ，d 。，可连续延拓到上豆， 延拓后仍记为d o ， e 。( q ) = ng “( q ) c 。( 豆) = n c ”( 委) 对f 伊( q ) ，称 s u p p f = x qf ( x ) o 为，在q 中的支集 定义1 1 2 四( q ) = ，口”( q ) is u p p f cq 且有界 曙( q ) = n 四( 踢 设q 为f p 中的可测集合，f ( x ) 为定义在qi - _ f i 9 可测函数，0 p o 。空间驴( q ) 定义为 驴( q ) = ，l ，( z ) i p d x o o ，n 其范数定义为 i i 1 1 l p ( n ) = ( i ( x ) l ，出) j l o 。( n ) 表示在q 中除去一个零测集是有界的可测函数全体设，( z ) l o 。( q ) 那么 存在常数m ，使得 l ，( z ) i m 几乎处处成立，这样的显然有无穷多个，其下确界记作 e 8 8s u pi ，( 删 称为，( z ) 在q 上的实质上界空间l o 。( q ) 的范数定义为 | | ，l i l 。( 哪2e s s s 锄u p i f ( 刮 若有界开集d 的闭包- 5 c q 则记作d c c q q 上局部可积函数空间定义为 l l ( n ) = ，l ，在q 上可测，r v dc cq ，l 1 ( d ) 假设，g l l ( n ) ，o l 为几重指数，若对任昭) ，有下面等式成立 上，。纰= ( - 1 ) 陋悦蒯z ， 则称g 是，的a 阶弱导数，记作g = d o f 弱导数为通常导数的推广，显然，若f 伊( q ) ，由g r e e n 公式，可推得上式成立 s o b l e v 空间定义为 w m 炉( q ) = ，酽( q ) id 。f 酽( q ) ，i a i m ) 佴彳，9 ( q ) ：9 ) “锄= w ”，( q ) ，d i f = o ，v o i 。i m 一1 ) w m , p 【s 2 ) 上的范数和半范定义为 i i v ；w ” p ) o = ( a l m 上l d l 出) ；1 p 0 ，使 l i 1 i 。，nsk l v l m ，n ，o 月矿( q ) 对1 p o 。，用w - - r n ，( q ) 表示字1 p ( q ) 的对偶空间 w ”，一( q ) = ( w 7 伊( q ) ) 7 模 | j ，| j - - m , p t , t 2 = _ 。第丽i f , _ v ) r a , p , i z 口n 彳”( n ) 。j i 其中；1 + 参= 1 h o l d e r ：獭：设1 p o o ；p ，q 为一对共轭指数，即；1 + ；1 = 1 ，且，( q ) ，g l 。( q ) ，则 fi ( z ) 9 ( z ) 如f ( zi ，( 删9 如) ；( 上m 蚓9 如) j 8 m i n k o w s k i ：不等式设l p o o ；f ，g 扩( q ) ，则 ( li f ( z ) + 夕( 训9 如) ；( 上i ，( 列如) ；+ ( 上叭圳9 d z ) ； s o b o l e v 嵌人定理设qcj r ，i 为有界区域，其边界d n 是局部l i p s c h i t z 连续的， m ，k 为非负整数，1 sp 1 ) 为一对共轭指数，如果 ( 1 ) v u r ( q ) ，v v v ，有a ( u ，口) = 0 ( 2 ) v u t ，蜀( q ) ，有a ( u ，口) = 0 则存在常数c ( a ) 使乱+ 1 ，( q ) cu 及t ，。+ 1 ，4 ( q ) cv 有 迹定理设qci p 为开集，具有l i p s c h i t z 连续边界，则 h r ) c c n ) l l v l l l ，n ，坳h 1 ( q ) 定理1 2 1 设q c r ，为开集，具有l i p s c h i t z 连续边界，则 i v l 日 ( l v l l ，n ，h 1 ( q ) 微分方程求解的有限元方法，主要是从数学物理问题的变分原理出发，将微分方程转化为 与其等价的变分形式设y 为h i l b e r t 空间，定义在y 上的抽象变分问题为：求“v ， 使得 a ( u ，口) = ( 口) ，v v 矿 ( 1 2 ) 其中n ( ，) 为定义在v v 上的连续双线性泛函，为定义在y 上的线性泛函 有限元求解的方法为：将给定区域q 剖分成许多小区域，称为单元，平面区域一般 为三角形或四边形，该剖分记为磊，v k 五，记h k 为单元的直径，p k 为k 的最大内 接球直径，h = m a 孥(hg h 1 0 如果存在常数c 使剖分族磊，( 0 h 1 ) 满足 h g c ，v k 五，( 1 3 ) p k 则称剖分是正则的 如果剖分族五不仅是正则的，而且存在常数，y 使得 i h ，y ，v k 五， 则称剖分是拟一致的 l a x - m i l g r a m 定理对变分问题( 1 2 ) 解的存在唯一性给出了明确的回答，然而一般情 况下，其精确解的求解却非常困难有限元方法就是用一个有限维空间来逼近无限维 空间y ，将变分问题离散化，在有限维空间上求解原问题的近似解；求“ ，使得 a ( u h ，v h ) = ( f ，v h ) ，y h ( 1 4 ) 上述有限维逼近空间与原无限维空间的关系只有以下两种可能： ( 1 ) 当坛cv 时，我们称之为协调元；( 2 ) 当v h 茌v 时，称为非协调元 而c e d 引理和s t r a n g 引理就分别给出了协调元和非协调元的误差估计 c e 5 引理设y 为h i l b e r t 空间，v hcv 是y 的有限维子空间，口( ，) ，厂都满足 l a x - m i l g r a m 定理的条件，u 和u h 分别为( 1 2 ) 和( 1 4 ) 的解，则 h u - - u h 。i n 。f h1 u - - 慨 ( 1 5 ) 其中c 为口( ，) 在y 上的连续常数，o t 为o ( ，) 在y 上的强制常数 s t r a n 9 引理设口为h i l b e r t 空间，y 和坛为日的子空间，o ( ，) 是h 上的连续 双线性泛函，并且在上强制，f h 7 ，“和u h 分别为( 1 2 ) 和( 1 4 ) 的解，则 u - - u h 怕鲫蕊圳 ，曩掣) ， ( 1 6 ) 插值逼近定理给定一个有限元仿射族，假设相应的剖分t h = u k ) 是正则的，在参考 元 k ，反，) 上成立下列关系 + 1 ，( 霞) 一c 5 ( 霞) ，+ l t 9 ( 詹) 一w m , a ( 霞) ，氏( 露) 一w ”，a ( 露) 其中s 为中出现的最高阶偏导数的阶数，m ，k 为非负整数，1 p ，q o 。则存在不 依赖于k 的常数c 使得对任何k t h 和函数v w k + i , p ( k ) ，有 i v 一7 r 训m 胁k c ( h k ) 等一詈丘钫1 一m i v l k + l , p , k 特别当p = q = 2 时有 i 割一7 r k v l m ，q ，k c 铲1 - - m i 削l 知+ l 晶k 定理1 2 2 设q 和q 是仿射等价的，即存在可逆仿射变换f ：盎一f t ，使得 f ( 圣) = b 圣+ b = z q ，比壳 若 w ”，9 ( q ) ，令 v ( x ) = 盯0 f ( 圣) ：；0 ( 圣) 则 0 w “9 ( q ) f 。f 。，盎c l l s l l ”i d e t b i 一；i 口i 。，o 其中c = c ( m ，n ) 为常数，i l b | | 是矩阵b 的e u c l i d 范数，类似地 i 口l 。，弘n e i i b 一- 0 i d e t b l ；i 。i 。矗 并且 万h ，i i 玛i i - 等 其中 p ：。u p ；出n m s ：球s hc = q d i ，a ，m 声l ：1 , 。出。m 盂s 2 ：雪d i c a m 盎晓， 1 2 和散度算子有关的空间的一些性质【9 】 设n 是r n 中具有l i p s c h i t z 边界的区域，口= ( 钉1 i 一，蛳) ，0 0 v i 出w 2 备面 定义1 2 1 散度空间定义为 h ( d i v ；q ) = 口l 2 ( q ) ；d i v v l 2 ( q ) ) 空间模为 i h ( 蛳n ) = ( 1 1 u 1 1 0 ；n + l i d i v v l l o ；n ) 引理1 2 1 v v = ( u 1 ，蛳) ，d i v ( g r a d v ) = a v 定理1 2 3 设q 是凰中具有l i p s c h i t z 连续边界的开集，则 ( 1 ) 9 ( q ) 在”，9 ( q ) 中稠v m o ，v 1 p o o ( 2 ) 9 ( q ) 在h ( d i v ，q ) 中稠 定理1 2 4 设q 是r ，中具有l i p s c h i t z 边界的区域( 不一定有界) ，映射 定义在d ( 晓) 上，可以连续延拓成日( d 晒；q ) 一h 一( r ) 的线性映射，且 并且有 0 m l i 一；( r ) = i | n 0 一 ( r ) i l 口1 1 日( 出”；n ) ( 1 7 ) r ( 饥) = h 一 ( r ) i h ，l l l l ( h ( 戚。；n ) ；日一j ( r ) ) 21 1 3 二 m o r l e y 元，v e u b e k l 元和v e u b e k 2 元误差估计新方法 2 1 单元分析 我们下面给出三角形单元m o r l e y 元【1 】，v e u b e k l 元【1 1 v e u b e k 2 元【1 】的简要构造与 性质，为下面的误差估计做准备 m o r l e y 元： ( 1 ) 自由度为三顶点函数值和三边中点法向导数值 ( 2 ) 型函数空间为p ( 2 ) v e u b e k l 元； ( 1 ) 自由度为三顶点函数值，三边中点函数值和三边法向导数平均值 ( 2 ) 型函数空间为p ( k ) ，p ( 2 ) cp ( k ) cj p ( 3 ) v e u b e k 2 元： ( 1 ) 自由度为三顶点函数值，中心点函数值及三边二阶高斯点法向导数值 ( 2 ) 型函数空间为p ( 3 ) 引理2 1 对任意就p ( 2 ) ，w ，对以上三单元都有；玩( u ，w ) = 0 即通过分片检 验 其中正k ( “，w h ) = ( ，w h ) 一a h ( u ，w h ) 对以上三单元都有在内部边界上，中函数平均值跨单元连续，法向导数平均值跨单元 连续，在外边界a q 上，所有节点参数均取为零 1 4 2 2 已有的若干结果 设n 是有界区域，边界为r ，未，杀，分别是沿r 的法向量和切向量考虑薄板弯曲问题 j 2 归川加 ( 2 1 ) i 牡= 爱= 0o n o f 2 这里假定f l 2 ( q ) ，问题( 2 2 ) 的变分问题为： 求缸瑶( q ) 使 a ( u ，口) = ( ，移) v v 瑶( n ) ( 2 2 ) 其有限元离散为； 求“ ，使得： a h ( u ，口h ) = ( ，v h ) v h v h ( 2 3 ) 其中 口( u ，口) = 【a u a v + ( 1 一o ) ( 2 u 。v x 口一“。z z 协一u 。v v x x ) d x d y ( ，甜) = f v d x d y 1 o 盯 一2 ( 嵋t ，) 2 莓上【以( 1 一力( 2 一z 一锄如咖 。4 因为a ( v ，秽) = 盯i 口瞌n + ( 1 一盯) m ；ov v 瑶( q ) 由l a x m i l g r a m 定理知( 2 2 ) 有唯一解札皤( q ) ，并且大家知道，若q 是凸多边形 区域，h 3 n 瑶( q ) 利用格林公式，我们有： 口( “m = z 2 删如咖+ z ( 【( “一( 一盯) 等) 袅】d s 一止f r r o 撕a u d s + ( 一盯) z 赢0 2 丽u d s ( 2 5 ) 命题1 ( l a s c a u x - l e s a i n t 1 ) 若真解u h 4n 瑶( q ) ，对m o r l e y 元， v e u b e k l 元， v e u b e k 2 元有误差估计式 l u 一让 1 2 ， c h ( 1 u 3 + h l u l 4 ) 且若q 足凸的，则 “一u h 0 , c h 2 ( 1 u 1 3 + h u 4 ) 其中 雠，n = 雠，t k 命题2 ( 石钟慈【2 】) 若真解“h 3n 瑶( q ) ，对m o r l e y 元有误差估计式 且若q 是凸的，则 u u h 2 c h ( 1 u 1 3 + h f l o ) “一“h 1 1 c h 2 ( 1 u 1 3 + 危i ，i o ) 命题3 ( 陈，石【3 】) 若真解仳h 3 n h g ( q ) ，f h 一，有限元空间满足五个条件( 见 【3 】) ，得到非协调板元一般误差估计式 i 仳一仳 1 2 h c h u 3 且若q 是凸的。则 u 一珏h 1 1 c h 2 ( 1 u 1 3 + h f h 一1 ) 但m o r l e y 元只满足前四个条件，只能得到如下估计式 l u 一缸 1 2 ，h c h l u l 3 “一u h l l c h ( u s - 4 - hr l f l j 一1 ) 1 6 2 3 一个新的误差估计方法 现在首先考虑问题( 2 2 ) 的m o r l e y 元解，为简单起见，假设q 是多角形，将它剖分 为三角形单元，满足通常的正则性条件和逆不等式，设霞是参考单元，在仿射变化 f ) = b 量+ b = z 下设单元k 的直径为h k h ，在每个单元k 上定义形函数t ，它是一个完整的二次多项 式，可由形函数v 在单元顶点的函数值地及三边中点上的法向导数值( 舞k 唯一确定， 在外边界a q 上，所有节点参数均取为零设由此构成的有限元空间为，则利用m o r l e y 元求解问题( 2 2 ) 就是 求u k ，使得： a h ( u h ，v h ) = ( ，v h ) v v h ( 2 6 ) 令 j 队= ( ( ) 。+ 2 ( v h ) 。+ ( 珊) 鲫出咖) k 9 。r 若 o h 瑶( q ) ，由p o i n e a r 不等式知| | 蜥= 川2 ，n 则 a h ( v h ，v h ) 2 ( 1 一o ) l l v h l l zv v h k ( 2 7 ) 可以证明 是空间的模，则由l a x m i l g r a m 定理知道( 2 6 ) 有唯一解u h v h 对于m o r l e y 元，v e b e u k e l 和v e b e u k e l 元来说，函数值跨单元不连续，是非协调元，由 s t r a n g 引理，我们有以下结果： 假定 是空间的模，设y h 是( 2 3 ) 的解，u 是( 2 2 ) 的解，则： u - - u h 。，n e ( i n 。f “一k n + 。s 。u p 堡兰! i j 掣) ( 2 8 ) 其中c 是与h 无关的常数 e h ( 札，w h ) = ( f ，w h ) 一a h ( u ，w h ) 1 7 ( 2 8 ) 式右端第一项逼近误差估计有标准估计式t 。i n 。f 一吨 l 一n “bs 咧u 1 3 ( 2 9 ) 其中珊为u 在中的插值 ( 2 8 ) 式右端第二项相容误差估计式如下应用格林公式， 其中 故 令 。 ( ，伽n ) = 一e kl , ( v a “v 叫n ) 如劫+ 莓k 【u 一( 1 一仃) 象】鬻d 3 + ( 1 一a ) ；k 罴警d s = 丘k 2 “w h d x d y + 晶+ e 2 + e 3 k 耻莓加刊塞一，舡 邑= _ ( 1 刊厶蕊0 2 u 百o w h k d s v 忍2 莓z 等州s 鼠( u ，) 2 。n ( 乱，毗) 一( ，枷n ) = 。n ( ，) 一莓f k a 2 u w h 出d y = e 1 + 易+ 岛 e a ，e 2 可采用非协调误差估计标准技巧，设只是单元k 的第i 条边 耻南厶”如 对m o r l e y 元来说，y w 7 3 h ，警，警在内边界连续，且丽0 在单元边界两侧符号相反， 1 8 在a q 上的单元边界上，f 。r 纽o n = 0 记 ( 1 一盯) 石0 2 万u 一u 圭u 由仿射变换，插值理论及迹定理得 e l ( u ，w h ) l = l e e 厶u - 警d s i l = l e e 如u ( 筹一只筹) d s kt 。 = l e e j ( u 一只u ) ( 鬻一只警) d s 托l eei i u p , u l l o ，川1 一只号挚l l o ，f kf u p , u l l o f ( 2 1 0 ) c h , 1i l u 一p t d t l o 户 c h 1 1 0 一p , 0 1 1 0 膏 c h i l o l l _ 露 ( 2 1 1 ) c h ； u 1 1 - 耳 g i 1i 1 3 ， 同理 i i 警一只丽o w h 心e 响警l l n 喇k ( 2 1 2 ) 所以，由h o l d e r 不等式，将( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 代入( 2 1 0 ) 得 e l i c h e i “1 3 ，, d w h l 2 , c h i u l 3 ，, 1 w 1 2 ， ( 2 1 3 ) k 类似可 吲g m 3 , 蚓2 ，k c h i u a ，o 川2 ， ( 2 1 4 ) k 为得到i 玛i 的估计，我们设4 是q 在单元顶点上的函数值构成的分片线性多项式，则对 任一w h v h ，讥础( q ) 1 9 网= 写k 警w a d s = 厶k 等( 蛳一l d c a ) d s 莓i i o u 峙弛) 慨一酬日拟) 由定理( 1 2 4 ) ，2 乱= ，及可得i l 筹l | 日一j t 的估计 i i o a u l h j ( a k ) = 0 v a u n i l h i ( a k ) l f v “0 片伸q 脚 = ( 0 v 训3 ，k - 4 - l i d i v v 训侍k ) = “u 臣+ i i 2 峪耳) = ( i 札睦耳+ 瞌) c ( 1 u h ，k + l i f l l o ，k ) 令姚一魂= 由仿射变换，迹定理及定理( 1 2 2 ) 知 所以，由上式知道 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) w h 一面 i 盯j a k ) 2i 训h 女( a k ) = f o i f o k 哗皇并磐d s ( 。) 】d s ( 可) = f o k f o 膏罹裙鲜 d s ( 坌) s ( 口) 膏黼捌洲2 a s ( x ) i a s ( 雪) = 吲h 女( a 南 ( 2 1 7 ) = 一赢l h ( 越) e l 西 一磊l h ，( 露】 e i 而 1 日。( 霄) c h l w a l l 铲( k ) o 叫h 魂峙 ( 2 i h ( a 脚2 ( 觚) + 川；j ( 般) ) 5 ( 2 1 8 ) c h l w h 伊( k ) 把式( 2 1 6 ) ( 2 1 8 ) 代入( 2 1 5 ) 知道 2 0 i 玛l c h ( 1 u 1 3 + l i f l l o ) 1 w n l 2 由式( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 9 ) 及( 2 8 ) 知道 ( 2 1 9 ) l u u h l z ，h c h ( 1 u 1 3 + 1 1 1 1 0 ) ( 2 2 0 ) 1 2 】【3 】中给出了i “一“h i - ，h 估计，我们仿照【2 】可以给出i u u n ix ，h 估计，但【2 】【3 】中没给 ”i i l 。( n ) 的估计，下面我们给出”l i l ：( o ) 估计： 因为 i i t - - t z h l l o , 1 2 = 弛s u ：p 掣 考虑( 2 1 ) 的对偶问题，设g l 2 ( n ) ，求妒h 3 ( q ) n h g ( q ) 使 f 2 妒= 9i 几q 1 妒：鬻：o a q 且由正则性理论知道； j 妒i | 3 c i l 9 l l 一1 c i l 9 l l o 而由既定义及( 2 6 ) 知： ( u u h ，g ) =( ”一1 1 , h ，a 2 妒) a h ( u u h ，妒) + 岛( 妒，乱一l t h ) a h ( u 一“ ，妒一，r h c p ) + a h ( u u h ，锄妒) + 玩( 妒，“一u h ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) = a h ( u u h ，妒一张妒) + a n ( u ，7 r 妒) 一a h ( u ，7 r h q o ) + e h ( 妒，一u h ) = a h ( u u h ，妒一7 r h i ，o ) + a h ( u ，7 妒) 一( ，7 r h ，o ) + e h ( 妒，u u h ) = a h ( u 一 l l h ，q o 一万 妒) 一e k ，7 h 妒) + e h ( 妒，“一u h ) = a h ( u u h ，妒一砚妒) + 既，妒一砚妒) + e h ( 妒，u 一“h ) ( 2 2 4 ) 2 1 其中，由( 2 2 0 ) 及插值理论知； j n ( “一u ，妒一7 r 妒) i e u - - “h i l h i l 妒一丌 妒i l “( 2 2 5 、 c h 2 ( 1 u 1 3 + m 圳妒1 3 由五定义及( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 9 ) 得： i 玩( u ，妒一妒) l c 九( 1 u 1 3 + l l f l l0 ) ) | | 妒一酬“ ( 2 2 6 ) c h 2 ( 1 u 1 3 + i f l l o ) m 3 取( 1 p ，u u h ) = e 1 ( 妒，u u h ) + e 2 ( 妒，一“ ) + b ( 妒，t 正一 )( 2 2 7 ) 由已有l “一u h l 2 ( 2 2 0 ) 估计结果及( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 9 ) 得； l e ：( 妒，“一“ ) i c h m 3 l “一u h l 2 , h c h 2 ( 1 u 1 3 + i f l o ) l 妒1 3 ，i = 1 ，2 ( 2 2 8 ) 而且由( 2 1 9 ) 及( 2 2 3 ) 知道 l 历( 妒，“u h ) lsc h ( m a + f i g l l o ) l u u a 2 ，h c h i g l o l 札一u h k ( 2 2 9 ) c h 2 ( 1 ur 3 + i i f l l o ) l l g l o 把( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 代入( 2 2 7 ) ，并由不等式( 2 2 3 ) 得： i 晶( 妒，乱一u h ) l c h 2 ( 1 u 1 3 + i i i t o ) l t g l l o ( 2 3 0 ) 把( 2 2 4 ) 代入( 2 2 1 ) ，并由估计式( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 3 0 ) 得 j 一钍h l | o c h 2 ( 1 u 1 3 + l i f l l o )( 2 3 1 ) 注；v e u b e k l 元，v e u b e k 2 元具有与m o r l e y 元类似的性质，包含完整的二次多项式且在 内部边界上，中函数法向导数平均值跨单元连续，且在边界r 上为0 利用v e u b e k l 元，v e u b e k 2 元求解与m o r l e y 元类似，可以得到同样结果 2 2 三双参数元误差估计新方法 双参数法是构造薄板弯曲问题单元的有效方法，它采用两套节点参数，一套按收敛性 要求选取，一套按简便性要求选取，通过近似方法将前一套节点参数过渡到后一套，这样 既能保证收敛，又计算简便以此方法构造的双参数元是一种非标准元以往文献已证明 了它的收敛性 4 】中针对v z l 双参数板元给出它的误差估计式，本章利用上章方法也 能给出v z l 双参数板元的误差估计式 3 1 一些引理 在双参数的构造中，要选择两套参数，其中一套参数通常称为自由度，一套参数为节点参 数节点参数是离散方程的未知量，自由度是中间参数，最终要通过选择合适的离散方法 将其表示为节点参数的线性组合通常选取的离散方法是单元边上的数值积分的梯形公式 及三次h e r m i t e 插值公式作为预备结果，以下给出两个引理，证明数值积分梯形公式及 h e r m i t e 插值导致的误差估计式 设k 是三角形单元，直径是h ，f 是的一条边，只是k 的顶点啦的对边( 1 i 3 ) ， k 是参考元，在仿射变换x = 日圣+ b 下，一k ，f f 引理3 1 1 l q 设u h 2 ( k ) ，在f 上引进数值积分的梯形公式： 上吣) d z 知。) 其中a , b 是f 的两个端点余项 脚) = 上u ( 。) 如一百f ( 仳( 。) 州6 ) ) 则 i r ( u ) i c h 2 i u l 2 ，k 说明；汶单h 现的任意常数c 与剖分无关文中不同的地方出现的常数c 可以不同 引理3 1 2 nr 上的3 次h e r m i t e 插值多项式为： 凰( 叫) = a 卦l ( 1 + 2 凡一1 ) w i + i + a 2 _ l ( 1 + 2 + 1 ) 毗一1 + a i 2 + l a 一1v 伽( 8 件1 ) 面石瓦j + a 1 1 a i + 1vw ( a i 一1 ) - a i ：i 面石= i 其中下标按模3 求余，w i = w ( a i ) 这样3 次h e r m i t e 插值在一点a 的余项： r ( 伽) ( o ) = w ( a ) 一日( 叫) ( ) 则 l r ( 叫) ( ) j c h l - - 1 i 叫1 1 k 这里f = 3 或f = 4 ，与h 无关a 足 3 2v z l 元的误差估计新方法 v z l 元的形函数空间p 2 k cp ) cp 3 k p ( ) 第一套节点参数为 记 s p a n x 1 ，a 2 ，a 3 ，a 1 a 2 ，a 2 a 3 a 3 a 1 ，a i a 2 一a 1 a ；+ c a l a 2 a 3 ，a ；a 3 a 2 a ；+ c a l a 2 a 3 ，a ；a 1 一a 3 a ；+ c a t a 2 a 3 s p a n p 1 ，p 2 ，f g ，c 0 d i ( v ) 弛蜘v i , i + l ，一2 厶塞蛳刚 ( 3 1 ) p = s p a n p 1 ，p 2 ，马 ，b = 尻，侥，岛 则p ( k ) 中的函数可表成 ”= 屈仇= ( p 6 ) t = 1 2 4 将( 3 2 ) 代入上式得插值方程 d ( o ) = c b ( 3 2 ) 其中d ( 口) = ( d l ，d o ) t ，c = ( d i 锄) ) 9 。9 的表达式见【8 1 ，c 非奇且c 的元素是o ( 1 ) 量 级，即0 g - 1 0 c l ，与h 无关由上述表达式我们得 v v p ( k ) ， = ( p ，c - 1 d 0 ) ) ( 3 3 ) 相应的插值算子k ：h 3 ( k ) 一p ( k ) 定义为 v v h 3 ( k ) ，k = ( 只c 1 d ( 口) ) ( 3 4 ) v z l 元的的第二套节点取为 q ( v ) = ( v l ，口1 。，v l ”，地，) r ( 3 5 ) 即三顶点上的函数值和两个一阶偏导数值 用下列方法将第一套节点参数表示成第二套节点参数的线性组合： d i ( y ) = 矾，1 l 3 取精确值 d i + a ( u ) = v i “1 取a i a 件l ，1 i 3 边上的三次h e r m i t e 插值在此边中点的值 d i + 6 ( v ) = 一2 厶器d s ，1 i 3 采用数值积分公式 此过程可表述为 d ( v ) = g q ( v ) + e ( u )( 3 6 ) 其中g 是9 9 矩阵，具体表达见【8 1 e ( t ，) = ( s 1 ( ) ，e 9 ( 口) ) t 为余项显然，e i ( v ) = 0 ，1 i 3 ，由引理3 1 1 及引理3 1 2 知 i 囟( 口) i 2 i 1 3 ，k ，4 i 9 ( 3 7 ) 略去( 3 7 ) 的余项( ) ，代入( 3 5 ) 得v z l 元的形函数为 o p ( k ) ，矛= ( p 1 c 一1 a q ( v ) ) ( 3 8 ) 注：由q ( v ) 的值按上式确定的p ( k ) 中的元素矛的节点参数值q ( o ) 对q ( v ) 有扰动但 魂= 地，1 i 3 v z l 元的插值算子i i k ：h 3 ( k ) 一尸( 巧) 定义为 v v h 3 ( k ) ，i k v = ( p ic - 1 g q ( v ) ) ( 3 9 ) 考虑薄板弯曲问题求“墙( q ) 使 a ( u ，口) = ( ， 口) ，v v g g ( q ) ( 3 1 0 ) 其中 a ( u ，口) = f n a u a v + ( 1 一o ) ( 2 i t 甜f 一“嘞一鲫 o z z ) d x d y ( ，1 廿) = f n s v d x d y 在拟一致剖分下，v z l 元的有限元空间定义为： v h = v h i 耳p ( k ) ；v h = ( p c - 1 g q ) ，q 印，v h 在a n 上的节点参数为o ) ( 2 1 ) 的离散问题是求i t h v h ，使得： a h ( u h ，v h ) = ( ， o h ) v v h y h ( 3 1 1 ) 由s t r a n g 引理 i l l - - i t h k 一e ( 。j 2 乞l 札一1 2 ，一十。s u 。h p ) ( 3 1 2 ) 其中 既( “，w h ) = ( s ，w h ) 一a h ( u ，w h ) 设厶是v e b e u k e l 元的插值算子，由 1 】知： i i t 一厶“1 2 ，k c h l 1 3 ，v u h 3 ( k ) ( 3 1 3 ) 由( 3 5 ) ( 3 1 0 ) 得 厶口一触= ( p i c - 1 d ( 钉) 一c - 1 g q ( 口) ) = ( 尸 c - 1 e 扣) ) 这样 l i k o i l k v l z k c i p l 2 ，k l l e ( o ) 1 1 ( 3 1 4 ) 其中是r 9 上的欧氏模 由仿射变换性质知i p l 2 ，耳c h k l ，由( 3 7 ) 式知l i e ( ) 0sc h 2 m 3 k 由此得 i 口一k v l z ，k c he v l 3 ，k 定义整体插值算子i h ，h ，h l k = l k v ，i h i k = k 结合( 3 1 3 ) ( 3 - 1 4 ) 得 。瑰i u 一吨n u - i h u l h si t