（应用数学专业论文）一类奇异系统耦合网络的同步与控制.pdf

s y at h e s i ss u b m i t t e dt ot h ed e g r e eo fm a s t e r o fa p p l i e dm a t h e m a t i c s b y z e n gj i a n f a n g s u p e r v i s o r ：p r o f c a oj i n d e a s s o c i a t es u p e r v i s o r ：a s s p r o f q i uj i a n l o n g s o u t h e a s tu n i v e r s i t y n a n j i n g2 1 0 0 9 6 ，c h i n a d e c e m b e r ，2 0 0 9 签名： 摘要 随着科技的进步，2 0 世纪7 0 年代初引入的奇异系统理论被广泛地应用于实际工程、社 会科学、人类科学、生物、网络等领域中由于其应用背景和数学意义，奇异系统的研究已经 引起了国内外许多学者的关注随着研究的深入，人们也不断提出新的思路，而由奇异系统 耦合的复杂网络的同步问题亦是其中一个新的热门课题本文基于l y a p u n o v 稳定性理论、 线性矩阵不等式方法以及自适应控制理论等工具，研究了一类奇异系统耦合网络的同步与控 制问题 本文的主要工作如下； 一、介绍了本文的研究背景以及奇异系统的一些基本定义 二、基于l y a p u n o v 稳定性理论和线性矩阵不等式( l m i s ) 方法，结合分析的结论， 讨论了一类带耦合时滞的奇异混杂网络的同步问题，给出了时滞耦合奇异网络同步的充分条 件两个数值仿真的例子说明了所得结果的有效性 三、基于l y a p u n o v 稳定性理论和自适应控制方法，研究了一类奇异系统耦合网络的同 步问题，提出了一种自适应同步策略，即对于给定的网络，基于其状态自适应地调整控制器 中的耦合强度使之达到同步 关键词：奇异系统，复杂网络，耦合时滞，同步，l y a p u n o v 函数，线性矩阵不等式，自 适应控制 a b s t r a c t s i n g u l a rs y s t e mt h e o r yb e g a n a tt h eb e g i n n i n go f7 0 si n2 0 t hc e n t u r ya n d h a sb e e nw i d e l y 印p l i e di na c t u a le n g i n e e r i n g ，s c i e n t i f i ct e c h n o l o g ya n d s o c i a lt e c h n o l o g y , e c o n o m i c s ，b i o l o g y , c o m p u t e rn e t w o r k sa n do t h e rf i e l d sw i t ht h ed e v e l o p m e n to ft e c h n i c a li m p r o v e m e n t i nt h e p r o c e s 8o fi t sr e s e a r c ha n da p p l i c a t i o n ，al o to fn e wi d e a sh a v eb e e np r o p o s e d s i n g u l a r s y s - t e 塔c o u p l e dc o m p l e xn e t w o r k s ，a so n eo ft h eh o t t e s to n e s ，h a v ed r a w ni n c r e a s i n ga t t e n t i o ni n s e v e r a l6 e l d so f8 c i e n c e sa n dh u m a n i t i e s b a s e do nl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y ，l i n e a rm a t r i xi n - e q u a l i t i e s ( l m i s ) m e t h o da n da d a p t i v ec o n t r o la p p r o a c h e s ，w ei n v e s t i g a t et h es y n c h r o n i z a t i o n a n dc o n t r o lp r o b l e mo fs i n g u l a rh y b r i dc o m p l e xn e t w o r k si nt h i st h e s i s t h em a i nw o r ko ft h i st h e s i si sl i s t e da sf o l l o w s f i r s t l y , t h es t u d yb a c k g r o u n do ft h i st h e s i sa n d s o m eb a s i cd e f i n i t i o n so fs i n g u l a rs y s t e m h a v eb e e nd e s c r i b e d s e c o n d l y ，t h es y n c h r o n i z a t i o np r o b l e mo fs i n g u l a rh y b r i dn e t w o r k s w i t hd e l a y e dc o u p l i n g i sd i s c u s 8 e d b a s e do nl y a p u n o vs t a b i l i t ya n dm a t h e m a t i c a la n a l y s i st h e o r y , s u f f i c i e n t c o n - d i t i o n sf o rg i o b a ls y n c h r o n i z a t i o ni sd e r i v e db yd e v e l o p i n gas t r i c tl m i sd e s i g n e da p p r o a c h t h e n t w on u m e r i c a le x a m p l e sh a v eb e e np r o v i d e dt os h o wt h ee f f e c t i v eo ft h ep r o p o s e d c o n - d i t i o n s t h i r d l y , b a s e do nl y a p u n o vs t a b i l i t ym e t h o da n da d a p t i v ec o n t r o lt e c h n i q u e s ，t h es y n - c ：h r o n i z a t i o nc o n t r o lp r o b l e mo fac l a s so fs i n g u l a rs y s t e m sc o u p l e dc o m p l e xn e t w o r k si si n - v e s t i g a t e d f o rag i v e ns i n g u l a rn e t w o r k s ，w eh a v ec o n s t r u c t e das e l f - a d a p t i v ec o n t r o l l e rt o a d j u s tt h ec o u p l i n gs t r e n g t hs oa st oa c h i e v es y n c h r o n i z a t i o n k e y w o r d s ：s i n g u l a rs y s t e m ，c o m p l e xn e t w o r k s ，d e l a yc o u p l i n g ，s y n c h r o n i z a t i o n ，l y a - p u n o vf u n c t i o n ，l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ，a d a p t i v ec o n t r 0 1 符号和注记 r 实数域； r + 一非负实数域； 一矩阵a 的转置， a 一一矩阵a 的逆， a 一矩阵a 的逆转置； ，一单位矩阵； 厶一亿佗单位矩阵； a 一似) 一矩阵a 的最大特征值； 入哦( a ) 一矩阵a 的最小特征值； i i u l l 一向量乱的2 范数，= 讥气； l l a i l 一矩阵a 的2 范数，i i a i i = 、入。骶( 俨a ) ； p o ( p 0 ) 一尸为对称( 半) 正定矩阵； p y ( x y ) 一x y 为对称( 半) 正定矩阵； 也= 客一函数u ( ) 对的导数； 注，矩阵的维数，在没有特别说明的情况下，满足代数运算 目录 摘要 i a b s t r a c t i i 符号和注记 i i i 第一章绪论 1 1 i 研究背景和意义 1 1 2 本文的主要工作- 5 第二章 耦合时滞奇异混杂网络的同步 7 2 1 引言 7 2 2 模型及预备知识- 8 2 3 奇异网络的同步 1 1 2 4 数值例子1 5 2 5 本章小结- 1 7 ， 第三章奇异耦合网络同步的自适应控制 2 0 3 1 引言2 0 3 2 模型建立及引理 2 1 3 3 网络自适应同步 2 2 3 4 数值例子2 6 3 5 本章小结 3 0 第四章结束语 3 1 致谢 3 2 参考文献 3 4 攻读硕士学位期间发表和撰写的论文 4 0 第一章绪论 1 1 研究背景和意义 随着现代控制理论在航空航天、核物理、网络、电力系统、电路系统、和保密通讯等领域 的应用，人们发现以往在经典控制理论中直接描述输入输出关系的动力系统( 常规系统) 已 经不能很好的刻画实际系统了因此，科学家们经过研究提出了一类更具广泛适应性的动力 系统，这就是奇异系统【3 4 】奇异系统除了输入、输出量这些变量以及传递函数之外，还包 括有其他的一些相互独立的中间变量，而在常规系统中这些中间变量往往是不作描述的显 然，从能否完全揭示系统的全部运动状态这个角度来说，用常规系统来描述实际动力系统确 有许多不足之处，因此，奇异系统的研究就显得极为重要了 奇异系统理论是从l u e n b e r g e r 提出经济领域中的动态投入- 产出模型开始形成并逐渐 发展起来的现代控制理论的一个独立分支，它的模型存在于社会生产的诸多领域【3 3 j 2 0 世 纪7 0 年代，l u e n b e r g e r 在研究经济问题时给出了l e o n t i e f 动态投入产出模型，其数学表达 式为： b i x i + 1 = ( i a i + b i ) 翰一弘( 1 1 ) 式中鼠为投资矩阵，a 为直接消耗矩阵，戤为产量向量，玑为最终净需求向量如果不 考虑各部门流动资金、大修理等因素，鼠通常为奇异矩阵因此，模型( 1 1 ) 被称为奇异系 统模型后来，许多学者陆续发现在核物理，气体动力学、边界层理论、非线性光学、电子网 络系统等都有奇异系统模型这样，随着科技的发展，奇异系统理论受到越来越多的学者的 重视 奇异系统通常用下面的微分方程描述 f ( x ，圣，”，t ) = 0 比矩阵( j a c o b i a nm a t r i x ) 警是奇异的，则系统( 1 2 ) 可转化为 圣。1：=1胁1(xl，,现x2池,u,。t)， 1 ( 1 2 ) t 为时间如果雅克 ( 1 3 ) e ( t ) 圣= a ( t ) x + b ( t ) u 式中e ( ) 为奇异矩阵，a ( t ) 和b ( ) 分别为阶数适当的时变矩阵 ( 3 ) 非线性奇异系统，一般形式为 e 圣= a x + f ( x ，t ) + b u 式中，为非线性函数如果矩阵对( e ，a ) 是可容许的( 第二章定义2 4 ) ，则系统转化为非 自治系统形式 或者自治系统形式 这里 和厶为非线性函数 由于不确定性与时滞大量存在于自然界实际系统中，许多实际的奇异系统中也存在着时 滞和不确定因素，从2 0 世纪9 0 年代中期开始，许多学者对此产生浓厚的兴趣，建立了奇异时 滞系统模型，并对其进行研究，得出了一些有益的成果【3 8 3 9 , 4 9 奇异时滞系统，也就是广 义差分微分方程，或广义泛函微分方程，它来自于电机原理、计量经济学、环境污染、航空航 天等多种模型中由于滞后现象普遍存在于客观世界与实际工程中，且奇异系统比正常状态 吩力 伽 仍 现 现 研 吼 ，、，l 厶 = = 规 0 ，、【 、l，、l， u u 2 2 乃 z ， l z z ，、，f 厶 = = 西 o ，_ijlll_， 东南大学硕士学位论文 3 空间系统更能充分描述现实系统，具有许多一般常规系统所没有的特性( 如解的脉冲性、传 递函数具有无穷极点等) ，故奇异时滞系统以其多样的性质引起了国内外学者的关注另外， 随着科学技术的发展，在数学、物理、化学、生物、医学、经济学、自动控制理论等领域出 现了各种各样的线性系统不能解决的非线性问题，同样奇异系统理论也面临非线性问题的挑 战由于线性奇异系统的相关理论并不适用于非线性奇异系统，因此近年来学者们已经开始 了对非线性奇异系统的研究【5 u ，6 l j 另一方面，复杂网络近年来受到各个领域研究人员的关注，已经成为了一个跨学科的研 究热点复杂网络可以看作由节点和连接节点的边构成的耦合网络节点是耦合网络的基本 单位，代表系统中的个体( 如社会网络中的个人、食物链网络中的生物等) ，而边则用来表示各 个节点之间的相互作用关系( 如人与人之间的同学关系、生物之间的捕食与被捕食关系等) 另外，每个节点和每条边都可以加上。权重”和“强度”等来描述其性质实际上，复杂网络 无处不在，遍及自然界、系统工程和人类社会，其中具有代表性并广为人们熟知的复杂网络 包括因特网( i n t e r n e t ) 、万维网( w w w ) 、电力网、公路铁路网、航空网、细胞神经网络、， 生物神经网络、社会关系网等根据不同的研究角度，从实际背景出发，任何复杂的系统都 可以抽象成为由相互作用的个体耦合成的网络，因此研究复杂耦合网络不仅对人们的工作和 生活具有重要的现实意义，而且对了解自然界和生物系统也有深远的科学意义以网络的角 度研究各种复杂系统，将系统作为一个整体，考察系统中个体间的相互作用模式对系统的整 体行为的影响，这改变了过去通过个体考察系统整体性质的研究方式，从而能够更准确地预 测系统的整体行为以网络的角度研究各种复杂系统是科学发展的必然趋势 一 复杂网络的研究历史可以追溯到1 8 世纪伟大的数学家欧拉( e u l e r ) 对著名的。k o n i g s - b e r g 七桥问题”的研究k o n i g s b e r g 是东普鲁士的一个城镇，城中有一条横贯城区的河流， 河中有两个岛，两岸和两岛之间共架有七座桥，传说中当地居民常常议论这样一个有趣的问 题：一个人能否在一次散步中走过所有的七座桥，而且每座桥只经过一次，最后返回原地? 这 个问题看起来似乎很简单，但长时间以来这个镇上没有一个人能走出这样一条路径欧拉提 出用数学抽象法，将被河流分隔的四块陆地抽象为四个节点，用连接它们的边表示连接四块 陆地间的七座桥这样就将七桥问题转化为图的研究，实际上也可以将这个图看成是个复 杂网络，图的节点即为复杂网络的节点，图的边即为复杂网络的边今天人们关于复杂网络 的研究和欧拉当年关于七桥问题的研究在某种程度上是一脉相承的，即网络的结构与网络性 质密切相关复杂网络的结构和动力学行为的多样性使得复杂系统的研究更具有意义，也更 有挑战性近十几年以来，复杂网络的研究已经吸引了包括物理、生物、控制、通信、社会， 东 南 大学硕士学位论 文 一 4 经济和军事等不同学科领域的科学家们的研究兴趣 3 5 1 复杂网络的研究已经取得了一些令人瞩目的成果，但是为了更好的理解网络结构与网络 行为之间的关系，了解网络的结构特征，进而考虑如何改善网络的行为，就需要建立合适的 网络结构模型从1 9 9 8 年w a t t s 和s t r o g a t z 在n a t u r e 上发表论文提出小世界网络模型 ( s m a l l - w o r l d ) 【1 1 ，以及1 9 9 9 年b a r a b 缸i 和a l b e r t 在s c i e n c e 上提出了一个无标度网络 模型( s c a l e - f r e e ) 1 2 1 开始，人们对于存在于不同领域的大量实际网络的拓扑特征进行了广泛 的实质性研究，并提出了各种各样的网络拓扑结构模型，包括规则网络、随机网络 6 7 、小世 界网络用、无标度网络1 5 、世界演化网络【4 】和耦合映像格子网络圈等模型在各种各样的 复杂网络的模型基础上，人们进一步地研究了复杂网络的动力学性质阎，相继故障 9 1 一【1 1 】、 社团结构 1 2 】一 1 4 】以及复杂网络的同步( 5 2 1 ，f 6 0 】与控制【1 5 】一f 1 6 1 ，【5 3 1 等网络特性 1 6 6 5 年，物理学家惠更斯( h u y g e n s ) 躺在病床上惊讶地发现，挂在同一个横梁上的两个 钟的摆在一段时间以后会出现同步摆动的现象1 6 8 0 年，荷兰旅行家肯普弗( k e a m p f e r ) 在泰国旅行时，记录下了在湄南河上顺流而下时观察到的一个奇特现象： 。一些明亮的发光 的昆虫飞到一棵树上，停在树枝上，有时候它们同时闪光，有时候又同时不闪光，闪光和不 闪光很有规律，在时间上很准确”肯普弗游记中所说的昆虫就是萤火虫钟摆和萤火虫两个 例子表现的就是现实世界中存在的同步现象 在人们的日常生活中，同步现象比比皆是例如，当一场精彩的戏剧演出结束的时候， 在帷幕徐徐落下的最初几秒钟剧场内也许会鸦雀无声，然后突然有人带头鼓掌，于是整个尉 场里的观众都鼓起掌来掌声在最初的时刻是零乱的，节奏是不同的，但是在几秒钟后，每个 人都会和着别人的节奏鼓掌，然后大家用相同的节奏欢呼起来2 0 0 0 年n e d a 、r a v a s z 、 v i c s e k 在n a t u r e 杂志上发表了一篇文章，从非线性动力学的角度阐述了观众掌声同步的产 生机理【1 7 1 还有，在我们的心脏中，无数的心脏细胞同步震荡着，它们同时做着一个动作， 使- 5 - 瓣膜舒张开，然后又一下子同时停下来，心瓣膜就收缩了今天，同步在激光系统，超 导材料和通信系统等领域起着重要的作用 科学研究发现，这些大量的看似巧合的同步行为可以用数学知识来给出理论解释：假设 一个集体中所有成员的状态都是周期变化的，例如从发光到不发光，那么这种现象完全可以 用数学语言来描述在这里，每个个体是一个动力学系统，而诸多的动力学个体之间存在着 某种特定的耦合关系实际上，在物理学、数学和理论生物学等领域，耦合动力学系统的同 步现象已经研究了很多年早期的开创性工作要归功于w i n f r e e ，他假设每个振子只与它周 围有限个振子之间存在强力作用，这样振子的幅值变化可以忽略，从而将同步问题简化成研 5 究相位变化的问题在此基础上，k u r a m o t o 指出：个具有有限个恒等振子的耦合系统，无 论系统内部各个振子之间的耦合强度多么微弱，它的动力学特征都可以由一个简单的相位方 程来表示此后，有关耦合系统的网络同步化现象引起了人们的极大兴趣1 1 8 一【2 3 1 从p e e o r a 和c a r r o l l 在电子学线路的专门设计的实验中首先实现两个系统的混沌同步以 来，关于同步的研究吸引了很多理论研究者和工程技术人员的兴趣，而这些研究主要处理相 同或不同系统间的同步问题复杂网络的许多不同模型的研究进展和同步的应用在许多文献 中都有报道他们被运用到许多不同的领域中，包括安全通信、化学反应、生物系统、信息科 学等等而延迟现象常常存在于复杂网络节点相互作用中，延迟的引入使得网络的动力学行 为变得更为复杂在复杂网络群体行为和动力学的研究中，同步特性已经有了很长时问的研 究历史，并且由于其重要的现实意义及其普遍性越来越受人们关注近年来，人们提出大量的 控制方法来研究复杂网络的同步，包括牵制控制【5 8 i f 嬲、间歇控制 嬲、耦合控制f 2 8 ，蜘、 模糊控制【6 5 1 、脉冲控制1 3 0 ，3 1 1 、自适应控制【2 8 2 9 1 、时变反馈控制f 3 2 5 3 】等等 据我们所知，关于( 常规) 复杂网络的同步与控制问题已有大量的成果，然而对于由奇 异系统耦合而成的复杂网络的动力学特性与同步控制的研究结果还非常少，到目前为止只见 x i o n g ，h o 和c a o 在p h y s i c sl e t t e r sa 上发表的文章讨论了一类非常简单的奇异混杂耦合 网络的同步问题【5 l 】因此，对奇异系统耦合复杂网络的进一步研究还是很有必要的 1 2 本文的主要工作 本文研究了奇异系统耦合网络中的同步与控制问题，主要包括：( 1 ) 讨论了带耦合时滞 的奇异混杂网络的同步问题；( 2 ) 对一类不带时滞的奇异系统耦合网络通过构造自适应控制 器使其达到同步具体内容如下： 第一章简单介绍了奇异系统及复杂网络的研究背景，总结了奇异耦合网络的研究现状与 研究意义 第二章讨论了一类带耦合时滞的奇异混杂网络的同步问题，网络模型如下s n e 也( t ) = a x i ( t ) + f c x , ( t ) ，t ) + c ：r z j ( t r ) i = 1 ，2 ， j = l 各参数具体定义详见第二章本章给出了一些使得奇异耦合网络达到同步的充分性条件在 本章最后，用数值仿真的方法，给出了两个例子说明所得结果的有效性，并且在例子中对有 延时和没有延时的网络进行比较说明延时对网络同步的影响 各参数具体定义详见第三章，其中是设计如下的控制器， u i ( ) = e ( 戤( t ) 一s ( t ) ) t = 1 ，2 ， 我们给出一种自适应调整时变耦合强度c 的机制使得网络在一个更合适的耦合强度下达到同 步，减弱了网络达到同步判据的保守性 第四章对全文工作进行了总结，并对今后的研究方向做了一些展望 本文部分结果已被国际刊物i j s c c 接受，详见作者撰写和发表论文清单 第二章耦合时滞奇异混杂网络的同步 2 1引言 奇异系统由于其比常规系统能够更好地描述实际系统而被广泛的应用在各种物理过程 中，包括电力系统和电路系统等由于工作环境的变化以及不可测量的干扰因素，在分析系 统和建立系统模型时，除了一般的微分方程描述，常常还需要一些代数约束，这就促使人们 开始了奇异系统原理的研究过去的几十年，学者f f 丁研究了各种奇异系统性质，如，广义状 态空问系统【硇、微分代数系统【3 7 勰】、描述器模型 3 9 ，砌、半状态空间系统1 4 5 ，蜩许多 研究常规( 非奇异) 系统性质的结果都已经推广到了奇异系统上例如，通过l m i 方法研究 奇异系统的鲁棒稳定性、二次稳定性和镇定性【4 7 】一 砌另外，在自然界中同步现象不可避 免，而且事实上系统中任意两个或者两个以上的个体通过相互影响和制约都有可能发生同步 现象现在人们一直把同步看作动力系统的基本特征，因此自然科学与社会科学的很多学者 r 研究了各类系统与网络的同步性质，如语意网，小世界网络、万维网，电力系统网、生物神经 网络、细胞神经网络等常规系统网络 5 1 卜【昀然而，据我们所知，到目前为止尽管同步是系 统的一个重要的性质，但是以前人们大多关注常规系统，只有很少的一些学者研究了奇异系 统网络的同步问题 近年来，对于各种复杂网络的动力学行为的研究已经引起诸多领域研究者的兴趣，如物和 理、数学、工程、生物等领域不管是常规系统【6 4 ，衢】还是奇异系统【4 8 6 3 1 ，其解的性质以奇 及系统稳定性等都已经得到了深入的研究而同步问题，过去人们主要关注的还是常规复杂 网络，对应的奇异系统耦合网络的结果就相对少了x i o n g 、h o 和c a o 在【5 1 】中讨论了一 类不带耦合时滞也不带状态时滞的奇异混杂耦合网络的同步问题然而，时滞现象大量存在 于实际的工业过程、工程、通信、生物和社会经济系统之中 3 8 ，5 9 ，6 5 1 在耦合网络中，节点 通过边传递信息的过程由于一些不确定因素的影响，往往会发生信息滞后现象，而且时滞是 系统产生振荡和不稳定的根源复杂网络中存在时滞使得理论分析和工程应用增加了特殊的 难度，而且时滞常常使得系统的相应性能变差，有时甚至连稳定性都难以保证在研究耦合 网络的同步问题时，耦合时滞的影响很可能正是导致网络不同步的重要原因，因此为了更准 确地模拟真实网络，考虑时滞网络是很有必要的 本章考虑传输时滞的影响，研究一类带耦合时滞的奇异混杂复杂网络的同步问题基于 l m i 方法，给出奇异时滞网络的同步准则最后，给出两个例子说明所给条件的有效性，并 7 东 且通过第二个例子说明耦合时滞可能是导致网络不同步的重要原因 2 2 模型及预备知识 考虑下列具有耦合时滞的奇异混杂网络模型： e s c l ( t ) = a x i ( t ) + 厂( ( t ) ，t ) + c b o r x j ( t - r ) i = 1 2 ( 2 1 ) j = l 这里e 可以是奇异矩阵，也就是0 0 是一个常时滞以及f = d i a g ( 7 1 ，7 2 ，) 形加表示内部耦 合矩阵，是一个0 1 对角矩阵，也就是对某些i 1 ，2 ，死 ，= 1 其余m = 0 外部 耦合连接矩阵b = ( b ) n 表示网络的拓扑结构，如果节点i 和节点j ( j i ) 之间有连接， 则连接权= = 1 ；否则，= 啄= 0 我们假设b 是不可约的并且满足耗散耦合条 件，即假设b 对角线上的元素满足下面关系： nn 6 t = 一幻= 一 j = l d # ij = l d 亨l - i 方程( 2 1 ) 满足初值条件x i ( s ) = 也( ) c ( 【- lo 】，舻) 表示所有从【- 丁，0 】到j p 的连续函数的集合 i = 1 ，2 ：，( 2 2 ) ( i = 1 ，2 ，) ，其中c ( - r ，0 】，舻) ， 注2 1t 奇异系统是一类比常规系统更广泛适用的动力系统，在特定条件下可以转化为 常规系统例如。当r a n k ( e ) = r ；n 时，方程( 2 1 ) 退化为一般的复杂网络( 非奇异) 由 于常规的复杂网络的同步问题的研究已经相对成熟了，本章中我们将不考虑这种情况，也就 是说，在这一章中假设r 的向量形式为： e e ( t ) = a e ( t ) + f ( e ( t ) ，t ) + c r e ( t r ) b t ， ( 2 4 ) 其中e ) = ( e 。( t ) ，e 2 ) ，e ( ) ) ，f ( e ) ，t ) = ( ，( 茁1 ( t ) ，t ) - f ，丁( z 2 ( t ) ，t ) 一，f c x n ( t ) ，) 一 ，) 一 ， ， 令u ( t ) = e ( ) 硼，方程( 2 4 ) 左右两边同时右乘删得到 e y ( t ) = a y ( t ) + f ( e ) ，t ) 叫+ c r y c t r ) a ， ( 2 5 ) 和 0f ( x l ( t ) ，t ) 一f ( x j ( t ) ，t ) 0 l 巧l l 盈 ) 一( t ) l i ，i 歹，i , j = 1 ，2 ， ( 2 7 ) 假设2 2 ：对于某个常数班 0 ，存在矩阵只和矩阵q i 0 使得 e t 只= p t e 0 ( 2 8 ) a t 只+ 覃a + 掣( c a i r ) q 7 1 ( c 凡r ) t 只+ q i 一班j ， i = l ，2 ，( 2 9 ) 由于假设2 2 和引理2 1 ，我们可以推得矩阵对( e ，a ) 是正则且无脉冲的由 4 9 ，5 0 中 的结论得知存在两个非奇异矩阵m 形竹和h 彤跏，使得豆= m e h = d i a g ( i r ，o ) ， a = m a h = d i a g ( a 1 ，厶一，) ，其中a r 彤舯 ? 设 磊= m c 叭r ，日t = ( 墨妻) ，晟= m 坷最日= ( 芸：) ， 国t = 日t q t 日= ( 暑；暑；) ， 厩j2 仇日t 日 和 容易验证下面两个式子成立： 豆t 晟= 謦豆0 ( 2 1 0 ) a t 只+ 亏_ a + p s i , o ；1 彰晟+ 国 一泵， i = l ，2 ，n ( 2 1 1 ) 东南大学硕士学位论文 根据文献【勰 ，有j d ( 研) 0 ，砰= 0 ，i = 1 ，2 ， 令五c t ，= 日一1 玑c t ，= ( 萎：筹) ，霹c 印劈，露c t ，舻一，t = 1 ，鼍，则，季 统( 2 6 ) 等价于。 嚣( ) = a 1 z , ac t ) + m 1 f ( e ) ，t ) w i + 日z t ( t r ) + 霹毒( t 一7 ) ， ( 2 1 2 ) 0 = d ( t ) + m 2 f ( e ( t ) ，t ) w i + 研刁( 一7 - ) + 研露( 一7 ) ， ( 2 1 3 ) 其中 彳= ( ：) ， 彳1 五r n ， 彳2 r c 行一r ，竹 注2 2t 文献 5 1 】研究的奇异耦合网络等价于。 露( t ) = a l 露( ) + m 1 f ( e ( ) ，t ) w i 0 = d ( t ) + m 2 f ( e ( z ) ，t ) w i 对比本章中讨论的模型( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) ，显然，模型( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 要比 5 1 】中的模型复杂 很多 5 1 】中研究的系统状态向量前r 个分量与后n r 个分量是明显不互相依赖，这样讨 论网络的前r 个分量的同步问题就可以直接应用我d f - j 常1 日$ jl y a p u n o v 稳定性理论然而， 我们讨论的模型的状态向量的前r 个分量的导数与后n ，个分量显然不是互相独立的，而 是相互关联的，l i p 前r 个与后n 一，个分量相互依赖因此，l y a p u n o v 稳定性理论在本章 中不能直接使用另外，本章中讨论的模型还是一个带有时滞的方程，这样就从【5 1 的一般 微分方程变成了泛函微分方程以上两点变化给本章讨论的带耦合时滞的奇异网络的同步问 2 3 奇异网络的同步 定理2 1 ；在假设2 1 和假设2 2 的条件下，奇异耦合时滞混杂网络( 2 1 ) 将达到定义2 1 意义下的同步 证明：如果我们证得l i m o oi l 磊( t ) i i = 0 ，那么l i m t 。0 玑( t ) i i = 0 随之可得 l i m t 。o ol ie t ( t ) i l = 0 因此要证明这个定理只要证忍( ) _ 0 ，t _ o 。 构造l y a p u n o v 函数： n 。 - t 一 y ( ) = 【磊( ) t 豆t 扇磊( ) + 磊( s ) t 国 磊( s ) d s 】 ( 2 1 a ) 东南大学硕士学位论塞 对v ( t ) 沿着系统( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 的轨迹求导得出； 矿 ) = 乏二 旎( t ) t p s a z , ( o + m f c e c t ) ，t ) w i + 豆u ( t r ) 】 i = l + 【互忍 ) + m f ( e ( t ) ，t ) w i + b i z t ( 亡一丁) 】t 扇忍0 ) + 旎 ) 丁囝t 旎( ) 一磊( t r ) t 囝 兹 一下) k ( t ) t ( 铲扇+ r a + 覃豆国f 1 霹扇+ 龟) 五( t ) + 2 z i ( t ) t p t m f ( e ( t ) ，t ) w i 】。 ( 2 1 5 ) 与l 5 1 j 让明英似，田假议2 1 日j 以得到卜凹即瓦- f - t i jm f ( e ( t ) ，t ) 毗o om i i i i ( ，( 以( ) ，z ) - - h w i ki t 0 ，考虑不等式( 2 2 1 ) ，可以知道l iz i ( t ) 0 是有界的注意到p ( 研) 1 ，从( 2 2 5 ) 可以推出l i 窖( ) f | 有界，又由( 2 1 2 ) ，则知l f 露( ) l i 也是有界的，因此叠i i 露( ) f 1 2 有界利用引理2 2 ，得到l | 露( ) i 1 2 一致有界因此，结合 ( 2 2 2 ) ，根据引理2 3 ，可知： 扣l i m l l 考( ) i i = 0 i 一1 ，2 ，( 2 2 6 ) a t p l + 砰a 0 ，a t 只+ 掣a + e s ( c a r ) q 一1 ( c 入r ) t 只+ q 0 那么，假设2 2 以及假设2 2 中的条件转化为严格的l m i s 问题 推论2 2t 在假设2 1 和注2 4 中( 2 2 8 ) 的条件下，如果存在暇0 彤x r 和& r ( n - r ) 加，i = 1 ，2 ，竹使得 f a t ( u l w i u f ie + 观& ) + ( 明眦呼e + 巩& ) + 吼，+ q ( 矾暇曙e + 观& ) r ( c 凡r ) 1 i 0 再取承= 3 3 ，有承4 l0 晟m ni i + 1 利用m a t l a b 线性矩阵不等式工具箱，得出假设2 2 解： 耻( = 恭) ，口3 = ( 慧盖) ， qt=(10411672-466676667 8 71 6 7 2 ，q 5 = q e = ( 1 - 1 7 5 6 6 6 2 8 3 11071之2632039)， q 4 = l ， q 5 = q 6 = il ， 、一4 ， ， 6 e 色( ) = a e i ( t ) + ，( 盈( t ) ，t ) 一+ c b , j r e j ( t 一下) i = 1 ，2 ，6 ， ( 2 - 3 0 ) 由推论2 1 可以知道时滞耦合奇异网络( 2 2 9 ) 达到定义2 1 意义下的同步 随机取初值为c ( 【一下，o 】，舻) a = l ，2 ，6 ) 中的函数，图2 1 和图2 2 分别为网络第 一个分量和第二个分量的同步误差曲线 例2 2 ；考虑下面【5 1 奇异耦合时滞复杂网络模型： e i c i ( t ) = a x c t ) + ，( z ( t ) ，t ) + c r ( t 一7 ) 图2 3 其中瓤( ) = c = 1 和 b= 一51 1111 1 411l0 11 41 01 11141o 110 141 1010l一3 如果r = 0 ，则( 2 3 1 ) 是一个不带时滞的奇异耦合网络由【5 1 】中定理知道无时滞网络 ( 2 3 1 ) 最终能够同步图2 3 和图2 4 为相对应的仿真结果 如果丁= 1 5 ，m a t l a b 线性不等式工具箱无法解得满足假设条件2 2 的合适的只和 q 。图2 5 和图2 6 为相对应的仿真结果从仿真结果看出显然当耦合时滞为7 = 1 5 时， 网络( 2 3 1 ) 误差越来越大，无法达到同步 2 5 本章小结 本章在文献【5 1 】的基础上，研究了一类带耦合时滞的奇异混杂网络的同步推广了 5 1 图2 6 耦合时滞7 = 1 5 ，奇异网络( 2 3 1 ) 第二个分量误差 = 1 ，2 ，6 ) 轨迹 奎童叁兰堡型! 坠坠垒苎一1 9 中无时滞的模型，提出了一类带耦合时滞的奇异网络模型由于奇异系统是可容许的，可以 将原来的奇异系统分解成泛函微分方程和一列代数约束方程应用m a t l a b 中l m i 工具箱， 寻求合适的矩阵只和q 在有解的条件下，我们便可以由本章定理推得奇异耦合网络是同 步的另外，我们还通过仿真结果直观地说明我们给出结果的有效性 第三章奇异耦合网络同步的自适应控制 3 1 引言 自从1 6 6 5 年，h u g e n s 注意到同步这一现象开始，人们渐渐发现同步是一种在自然界中 无处不在的非常有趣的现象研究表明，同步现象存在于许多科学领域，如物理、力学、生 物、生态学、社会学，人类学等实际上，如果两个系统有某些共同之处，那么在这两个系统 相互作用和影响下，经过一段时间的演化，它们就很可能达到同步比如，挂在同一个横梁 上的两个钟摆在一段时间以后会同步一般说来，如果几个不同的系统演化一段时间后它们 的状态保持一致，就说这几个系统同步同步作为动力系统的一个重要的基本性质吸引了来 自各个领域的研究者的密切关注 2 2 ，3 1 ，2 固 过去的十几年里，耦合复杂网络的同步问题已经成为最热门的课题之一由于l y a p u n o v 稳定性理论的应用越来越成熟，相应地，耦合网络同步结果也越来越丰富事实上，在某些条 件下，网络不需要来自外界的助力就能自然地同步 5 1 1 然而，在很多时候，没有外力的作用 网络是无法达到同步地，因此为了使耦合网络达到同步需要设置一些合适的控制器学者们研 究发现很多不同的控制方法都可以成功地促使网络最终达到一致状态，如牵制控制 5 8 9 1 、 间歇控制f 6 7 】、脉冲控制f 6 固和自适应控制【2 8 1 w a n g 和c h e n 在【1 5 】中讨论了无标度网 络的牵制控制；z h a n g ，l i u 和m a 在【3 1 】中通过脉冲控制使得一列复杂网络同步；x i a 和 c a o 在【6 6 】研究了切换系统的自适应同步及其在保密通信中的应用有时，也可以同时采用 多种控制策略结合的方法，既减少控制成本，又达到网络同步的目的比如，x i a 和c a o 在 【2 6 】中结合牵制与间歇控制使得时滞动态网络同步 本章的目的是研究奇异系统耦合网络的同步与控制问题值得注意的是奇异网络是一类 比较特殊的复杂网络，考虑信息交换中不可测量的干扰因素影响，建立一列代数方程来约束 微分动力系统【