（理论物理专业论文）几种urn模型中的动力学行为的研究.pdf

摘要 摘要 本文针对振动的颗粒物质出现的聚集，扩散和相变现象，使用u m 模型对其 动力学行为进行讨论与研究。 首先讨论了颗粒物质在几种多l l r n 模型中，按照动力学规则运动的分布情况。 系统在达到定态的过程中，粒子分布随时间逐步演化直至相对稳定。从而得到系 统在不同时刻得的粒子分布。我们引入了一个新的参量亭来度量系统粒子分布的 局域性，对系统达定态后，出现的均匀态、部分局域态和完全局域态进行了讨论。 第三章在描述颗粒物质在振动下出现分布不均现象的2 - u r n 模型的基础上， 考虑到可能出现的多粒子跃迁，提出了具有个u m 中的两个粒子可以同时跃迁 的推广的2 - u m 模型。通过对粒子几率分布的数值研究，确认体系具有稳定对称 解和不对称解。除有实验已发现的“连续相变”外，得到体系在其他区域有亚稳 态的存在。发现体系在各相变区域以及临界线上，表征几率分布的函数p ( e ) 有不 同的定态峰值分布，并用磁化系数r 证实系统具有“连续相变”，研究振动粒子 数的选取概率与系统相变的临界温度的关系。 第四章应用研究无规行走的方法，针对各种2 - h i t i 模型研究其动力学行为。 观察一维运动的颗粒的分布，研究净位移、粒子的平均位置等量，引入另一个新 参量扩散过程特征矩d x = ( m2 ( f ) ) 一( m ( f ) ) 2 来研究颗粒在运动中发生的分 布不均现象，为研究不对称态、对称态、亚稳念以及系统相变提供了一种新的方 法。 关键词：振动；颗粒物质：聚集：扩散；相变：多u r n 模j p ：2 - u r n 模7 ：儿率分布 动力学模耻：对称态：1 r 对称态：弧稳态 a b s t r a c t w ei n t r o d u c eu r nm o d e l st od e s c r i b et h eg r a n u l a rc l u s t e r , d i f f u s i o na n dp h a s e t r a n s i t i o n si ns h a k e ns a n d ，a n ds t u d yt h ed y n a m i c a lb e h a v i o r so ft h e s em o d e l s f i r s t l yg r a n u l a rd i s t r i b u t i o n s i nm a n y u r nm o d e li sd i s c u s s e du n d e rs o m e d y n a m i c a lr u l e i nt h ec o u r s eo ft h es y s t e mg e t t i n gs t a b l e ，w eg e td i f f e r e n tg r a n u l a r d i s t r i b u t i o na td i f f e r e n tt i m e an e wp a r a m e t e r 亭i si n t r o d u c e dt os t u d yt h el o c a l i z e d b e h a q i o r so fp a r t i c l ed i s t r i b u t i o n t h e nt h eu n i f o r m ，p a r t l yl o c a l i z e da n dl o c a l i z e d s t e a d ys t a t e sa r ea l s od i s c u s s e d s e c o n d l y2 - u mm o d e lw h i c hc a ns i m u l a t et h ec l a s s i c a le x p e r i m e n tc o n c e r n st o t h es p a t i a ls e p a r a t i o no fs a n di se x t e n d e d w ec o n s i d e rt h a to n eo rt w ob a l l si nau r u c a nb ec h o s e na n dj u m pi n t ot h eu r nb e s i d ei t w i t hm a s t e re q u a t i o n ，w eg e tt h e p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o no ft h eg r a n u l a ro c c u p a t i o n ；a f f i r mt h ee x i s t e n c eo ft h es t e a d y s y m m e t r i c ，s t e a d ya s y m m e t r i ca n dm e t a s t a b l ep h a s e s s u s c e p t i b i l i t y 盯a l s o i s s t u d i e dt op r o v et h a td i s c o n t i n u o u st r a n s i t i o ni se x i s t e d i nt h ee n d ，w es t u d y2 - u mm o d e la n dd y n a m i c sa c t i o n ，w i t ht h em e t h o do f s t u d y i n gr a n d o mw a l k a n o t h e rn e wp a r a m e t e rd xi s i n t r o d u c e da n dd i s c u s s e d ，i t p r o v i d e san e ww a y t od i s c u s ss y s t e mp h a s et r a n s i t i o n k e y w o r d s ：s h a k e ；g r a n u l a rm a t e r i a l ；a g g r e g a t i o n ；d i f f u s i o n ；p h a s et r a n s i t i o n ； m a n y u r nm o d e l ；2 - u r nm o d e l ；p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n ；d y n a m i c s m o d e l ；s y m m e t r i cp h a s e ；a s y m m e t r i cp h a s e ；m e t a s t a b l ep h a s e 果。 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材辩均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已 经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了 谢意。 作者签名：盖鲴毽 日 期：碰丛：。疸 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的靛定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅：有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 作者签名：盍巫 日 期：坐笸： ! ! 前言 刖舌 颗粒物质，如沙子、面粉、谷粒等，一般指的是其线度很小的大量固体颗粒 的聚集体。颗粒物质有着广泛的应用领域，如生物、药理学、化学工程、食品和 农业等，它还和火山爆发、沙丘的形成、陆地侵蚀和滑坡等环境科学有着紧密的 联系。近二十年来对它们物理性质的研究，引起了物理学工作者的普遍兴趣和关 注。一方面，很多传统的物理系统的性质可以用颗粒物质所表现出的特性来描述； 另方面，实验上已经发现颗粒物质具备许多其它物质所没有的奇异现象。在颗 粒物质众多奇异的物理现象中，振动引起颗粒的分离以及由于相互作用而聚集的 现象引起了不少物理工作者的兴趣与关注。 本文针对振动的颗粒物质出现的聚集，扩散和相变现象，使用u r r l 统计模型 和动力学模型进行讨论与研究。 颗粒物质由大量固体颗粒堆积而成，且颗粒由于摩擦具有能量损耗，所以传 统的平衡态统计方法已无法应用，随着计算机性能的不断提高和处理数据速度的 不断加快，计算机为模拟颗粒的运动及分布情况提供了比较精确的手段，能很好 地计算出粒子数密度、粒子分布、粒子堆集和集团的形成、冷却态、稳态的形成 等；而动力学或是流体力学( h y d r o d y n a m i c s ) 方法可以很好地研究颗粒的速率分 布、颗粒间的能量交换、热对流、热扩散的形成，以及力、热、电等在颗粒之间 的传播。如果研究的颗粒数目巨大且无需考虑到具体每一个粒子的运动情况，那 么用非平衡态统计的办法是简单而有效的。因此提出了很多替代模型，其中u r n 模型是最简单的一种，它能够定性的给出颗粒物质的某些特性。本文以计算机为 计算手段，用动力学的方法研究颗粒物质不同状态的变化问题。 论文第一章讲述了我们的研究背景，介绍了最早的u r n 模型e h r e n f e s t u r n 模型，以及在此基础上演化出来的m o n k e yu r n 模型和d o g f l e a 模型，详细解释 了他们的动力学规则、几率分布随时间演化的主方程及平均吸收时间等。此外还 介绍了相变和临界现象概念及基本知识。 论文第二章讨论了颗粒物质在几种多u i t i 模型中，按照动力学规则运动的分 布情况。在e h r e n f e s t 多u r n 模型中，粒子单向运动的话，无论经过多少时间， 系统一直处在和初始态一样的状态；粒子双向运动，系统达定态，粒子会逐渐集 中，但不会全部集中到一两个u r n 中，且粒子多的u r n 不是固定不变的，所以所 谓定态是个运动的定态。用来度量系统粒子分布局域性的参数善的值稳定在 0 1 5 o 3 5 之间，所以稳定时系统处在一个相对局域态。在l i p o w s k i 多u r n 模型 中，由于粒子等几率双向运动和单向运动得到的结果基本一致，所以本文以粒子 单向运动为例进行说明，系统达定态，大多数粒子集中在一个固定的u r n 中，只 有少数粒子零星跳出并分布在一个或几个不同的u n l 中，且这些u r n 不是固定的， 所以这里的定态也是一个运动的定态。系统达定态过程中，善逐渐变大，最后趋 ： 近于1 ，系统完全局域化。另外我们还发现系统达到定态需要的时间t o 随着乃 单调增加。在e g g e t s 多u r n 模型中，基于与l i p o w s k i 模型一样的理由，仍然以 粒子单向运动为例。经过计算，得到了与l i p o w s k i 多u r n 模型一样的结果，不 管是定态时的粒子分布，还是系统的局域性。与之不同的是，在e g g e r s 多u r n 模 型中，尽管不同时，系统达定态需要的时间t o 也不同，但t o 随着死的变大 有振荡行为。 论文第三章在描述颗粒物质在振动下出现分布不均现象的2 - u r n 模型的基础 上，考虑到可能出现的多粒子跃迁，提出了具有一个u r n 中的两个粒子可以同时 跃迁的推广的2 - u r n 模型。在取一定值，变化时，研究粒子几率分布，发现 系统会经历对称态、非对称态和亚稳态，当然也可能只经历对称态和非对称态， 从而确认体系具有稳定对称解和不对称解，得到体系在各相变区域以及临界线 上，表征几率分布的函数p ( ) 有不同的定态峰值分布。之后用磁化系数k 证实系 统具有“连续相变”，并研究振动粒子数的选取与系统相变的临界温度的联系， 发现临界“温度”对和选取一个粒子的几率呈现一种线性的关系。 论文第四章应用研究无规行走的方法，研究各种2 - u r n 模型的动力学行为。 给定初始条件：初始时刻p ( m ，f ) 有j 函数的形式，引入另一个新参量扩散过程 的特征矩出= ( m2 ( f ) ) 一( m ( r ) ) 2 来度量系统粒子的扩散情况，随着时间变化，观 察作一维运动的颗粒的分布。发现随着时间变化，p ( m ，f ) 逐渐展开，出的值变 化，时间足够长，系统达定态，p ( m ，f ) 趋于稳定， 出的值也逐渐趋于稳定。 在系统参量取不同的值时，对应系统处于不同的相区间，通过粒子占有率p ( d 随时间的演化曲线及出与时间 的关系，来研究颗粒在运动中发生的分布不均 现象，为研究不对称态、对称态、亚稳态以及系统相变提供了一种新的方法。 最后对本文及所做的工作做了一个总结，指出工作中的不足之处，提出了一 些尚未解决的问题，需要我们在以后的工作中逐步解决。 第一章基本概念和背景 第一章基本概念与背景 1 1 颗粒物质及其聚集现象 颗粒物质，如沙子、面粉、谷粒等，一般指的是其线度在lpm - 1 0 4 m 的大 量固体颗粒的聚集体。由颗粒物质组成的系统，通常具有以下几个特点：l 系 统由大量个体颗粒组成；2 颗粒问的相互作用纯粹是经典的；3 粒子间只有在 相互接触时才有相互作用；4 粒子间的碰撞通常是非弹性的【1 】。 颗粒物质有着广泛的应用领域，如生物、药理学、化学工程、食品和农业 等，它还和火山爆发、沙丘的形成、陆地侵蚀和滑坡等环境科学有着紧密的联 系。近二十年来对它们物理性质的研究，引起了物理学工作者的普遍兴趣和关 注。一方面，很多传统的物理系统的性质可以用颗粒物质所表现出的特性来描 述，如沙滩的雪崩( a v a l a n c h e ) 可以被用来描述第二型超导体中磁通线的运动； 振动沙子的慢弛豫现象与玻璃和自旋玻璃( s p i ng l a s s ) 中的慢弛豫现象相类似； 颗粒物质的崩落现象与超导中的涡旋运动相似1 2 】：在颗粒物质中发现的非线性 现象同半导体中的击穿( b r e a k d o w n ) 、微观摩擦中的钉扎滑动( s t i c k - s l i p ) 现象及 宏观的地震现象相类似口j ；从沙堆的抽象模型中发现的自组织临界性 ( s e l f - o r g a n i z e dc r i t i c a l i t y ) 被发现存在于自然界的很多现象中【4 】。另一方面，实 验上已经发现颗粒物质具备许多其它物质所没有的奇异现象，如沙堆存在着临 界休止角和最大倾角现象口】，颗粒物质内部静摩擦力随高度的非线性变化以及 突然减小【6 】，力链的传播吲，在垂直激励下的表面隆起和内部对流现象以及多个 无相互作用的孤立子形隆起的产生【8 】，声传播反常1 9 1 、表面斑图( p a t t e r n ) 的形成 f 1 0 】，大量颗粒堆集时底部压力不随高度增加而趋于饱和的“粮仓效应” i h ，颗 粒的大小分离、分层现象、自组织临界现象1 2 1 等。这种系统还表现出与通常 的固、液、气体三态物质不同的性质：如具有类似液态物质的特性，具有一定 的流动性( 如雪崩现象，输运过程，搅拌过程) ，遵循动量方程，但比液态物质 的流动性差。液体分子之间的相互作用为l e r a n d j o n e s 势，而颗粒物质之间只存 在碰撞时的斥力，有别于一般意义下的连续介质，不遵从一般流体所满足的 4 第一章基本概念和背景 n a v i e r - s t o c k e s 方程：系统具有类似固态物质的特性，颗粒与外界存在摩擦力， 颗粒之间存在切应力，但与应变无关，且不能承受拉力的作用；在很强的外界 激励下颗粒系统会产生类似于气体的g a u s s 速率分布，但通常意义下的温度已 经不起作用，且颗粒之间的静摩擦和非弹性碰撞是耗散的：颗粒物质与其它软 物质类似，很小的外力可能使颗粒物质结构产生很大的变形，且这种变形通常 表现为复杂的非线性特性。因此有人称之为物质的“第四态”或“颗粒物质 态” 1 1 。 。 在颗粒物质众多奇异的物理现象中，振动引起颗粒的分离以及由于相互作 用而聚集的现象引起了不少物理工作者的兴趣与关注 1 3 - 1 7 。z a n e t t i 和g o l d h i r s c h 曾对4 0 ，0 0 0 个初始均匀分布，速度相同的粒子进行模拟，发现在没有能量输入 系统的情况下，颗粒很快堆积成许多高密度的集团”，且与低密度颗粒有明显 分界。即使外界对体系有一定的能量输入，只要输入能量不大于某个临界值， 系统还能产生集团并长时间稳定。只有在外界驱动达到足够强度时，集团才会 发生突然崩溃，颗粒很快扩散到整个系统“5 1 。我们知道集团的形成主要是由于 颗粒系统是个强耗散体系，内部存在摩擦和粒子之间的非弹性碰撞，当粒子堆 积时体系的能量降低从而使颗粒集团处于稳定状态，而集团的崩溃主要来自过 大的外界输入能量。为研究振动对颗粒分布的影响，s c h l i c h t i n g 和n o r d m e i e r 做了一个振动颗粒的实验8 】，发现当振动频率较大时，颗粒会很快均匀分布在 容器内，振动频率降至某个临界值以下，颗粒分布会发生自发对称破缺现象， 即使颗粒开始时均匀分布于容器内，随振动时间的增加，颗粒的分布也会一边 远多于另外一边，形成密堆积集团。该实验一方面很好地展示了颗粒物质分布 具有不稳定性和非对称性；另一方面我们发现，它与统计物理学基本理论有密 切关系，在体系发生对称破缺时，系统不满足各态历经的等概率统计原理，系 统分布函数趋于平衡分布函数的弛豫时间为f 。一0 0 。 1 2u r n 模型 u m 模型在早期的统计力学中扮演很重要的角色，最初用来讨论b l o t z m a n n 的h 定理1 9 1 。1 9 世纪末，当b o l t z m a n n 提出h 定理时，遭到l o s c h m i d t 等人的 强烈反对，他们从经典力学定律和彭加勒定理出发，认为“永远不可能从力学可 第一章基本概念和背景 逆定律导出平衡态的趋近和伴随熵的增加”，“没有一含热力学系统能不可逆地演 变到一个平衡态，所以物理学要在热力学第二定律与自然力学中选择一个，中间 地带是不可能出现的”【2 0 】。pe h r e n f e s t 与te h r e n f e s t 两人在这种情况下提出了 一种b i l l 模型，直观而简洁地从统计物理的角度论证了趋向平衡的问题，并给出 趋向平衡的不可逆过程的速率。后来研究发现该模型还可用平均场理论解析求 解，并表现出非平衡态统计力学的特征，可讨论其关联标度( t h es c a l i n go f c o r r e l a t i o n ) 、二时刻约化响应函数( r e s p o n s ef u n c t i o no ft w o t i m ep l a n e ) 、涨落耗散 定理( f l u c t u a t i o n d i s s i p a t i o nt h e o r e m ) 等2 “矧。下面介绍几种常见的u r n 模型，其 中1 2 1 介绍e h r e n f e s tu r n 模型；1 2 2 介绍m o n k e yt i m 模型：1 2 - 3 介绍e h r e n f e s t 模型，! 来具体了解其动力学特性。? 1 2 1e h r e n f e s tu r l l 模型 该模型最早由p e h r e n f e s t 与te h r e n f e s t 两人提出，应该说此模型是所有 u r n 模型的鼻祖，其系统与动力学规则如下： 有j v 个小球分布于l 、2 两个a m 中，随机选择一小球，跳入另一b i n 中。 这个模型看似简单，却可用来讨论很多统计力学方面的问题，如研究平衡， 趋于平衡的途径，偏离平衡等概念性问题。设l ( 力表示t 时刻t i ml 中小球个数， 对于任何初始构型，在足够长的时间后系统中粒子的分布会趋于平衡分布，该平 衡分布可用如下的二项式表示： 五。= 已( n i = 足) = 2 一”( ：】 ( - ) 方程( i 1 ) 类似于m a x w e l l 、b o l t z m a n n 统计分布。正如k o h l r a u s c h 与s c h r 6 d i n g e r 所指出的，该模型中的1 实质上等于一种有偏差( b i a s e d ) 胃没有归一化的随机 行走矧。粒子占有率五( f ) = p ( 。( 力= d 随时间的演化可由如下主方程表示： 掣= 等眦) + 兰学肿m ( f ) ( 1 2 ) 方程( 1 2 ) 实质上等同于一种不均匀的随机行走。 考虑不同状态变化到u r n l 中小球数为零的平均时间t o = ，由于在平衡 分布时a m1 中无粒子的几率为尼。0 = 2 ，该几率是不同状态变化到1u m 为空的 几率中最小的值，由此我们可以写出系统变化到lt i m 为空这种极小概率事件的 第一章基本概念和背景 典型时间为w o 。，平均时间可由如下方程表示： 瓦= u f o 。= 2 “ ( 1 3 ) 从上述方程可看出：清空u m1 所需的平均时f 日qn - - i 写成指数形式，我们将它改为 满足a n h e n i u s 定律的形式： e “ = n l n 2 ( 1 4 ) 勋为平衡定态与1t l 1 清空状态时的熵差，这是个熵垒( e n t r o p yb a r r i e r ) 的基本例 子。 e h r e n f e s t 啪模型还有很多推广2 1 - 2 3 ，其中之一是增加u r n 子数至j j i f 个，n 个小球随机分布于m 个u r n 中，并且规定系统的能量由各个独立无关的u r n 子 确定： 肼 e ( 1 ，n 2 ，n 。) - - e e ( j ) ( 1 5 ) i ；1 每个选定的小球变化所在u r n 子的几率都满足定的变化规则，如m e t r o p o l i s 规则，或是热库动力学规则，此时体系将出现稀疏气体( d i l u t eg a s ) 与凝聚态 ( c o n d e n s e ds t a t e ) 两相，并可解析获得在临界线和凝聚态区域系统的涨落一耗散率 x 与温度卢的关系。 1 2 2m o n k e yu r n 模型 该模型不同于e h r c n f e s t u r n 模型之处在于：每单位时间，随机选择一个u m ， 该a r m 中一球进入另一u r n 。平衡分布可表示为： * 2 匕( l2 2 ) 2 高2 0 ，) ( 1 6 ) 几率分布随时间演化的主方程可写为： 了d a ( t ) = i 1 ( + ( ，) + “，) 一2 五( ，) ) ( 1 7 ) 方程( 1 7 ) 可用来描述一般的随机行走。与e h r e n f e s t 啪模型不同的是，该 模型由于平筏分布没有峰值，从而不存在熵垒。 1 2 3e h r e n f e s t 模型( d o g f l e a 模型) 该模型又不同于前面的模型，动力学规则为：有n 个球分布在m 个u r i l 子 第一章基本概念和背景 中，每次随机选择个a m 子，让该t i m 中的一个球跳入另外一个随机选择的非 空u r n 子中，如此不断反复，最后所有的小球完全堆积在一个u r n 子里2 6 1 。 很明显，如果个u r n 子是空的，则以后一直保持空的状态，非空u r n 予的 数目将会越来越少，当然空1 1 2 1 子增加的速度会越来越慢。这种慢动力学与玻璃 态动力学有一定相似之处，两者都可以看成是有偏差( b i a s e d ) 的随机行走，熵垒 将会影响弛豫时间，其不同之处是慢动力学机制仅与体系熵垒有关而真实的玻璃 态物质机制不仅和熵垒有关，还与体系的能量势垒( e n e 唱yb a r r i e r ) 密不可分捌。 我们定义系统的平均吸收时间r 为从初始状态到所有的小球都处于一个u l t i 子的 平均时间，相当于一个玻璃态物质从某个激发态变化到基态的平均时间。方便起 见，我们首先考虑m = 2 ，n = 3 的情况，初始状态是一个球在a l ! m ，两个在b u m ， 平均吸收时间为： r ( 1 ，2 ) = 1 + 言x “l ，2 ) + 1 】 ( 1 8 ) 表明此体系有l 3 几率是a 中的球跑到b u m ，此过程结束，还有2 ，3 的几率是b 中的一个小球跑到a 中，体系状态维持不变( 说a 、b u m 是为了解释的方便，其 实u r n 子也是不可分的) ，若m = 2 , n - - 4 ，则 f ( 1 ，3 ) = i 1 l + i 3 f ( 2 ，2 ) + 1 i r ( 2 ，2 ) = r ( 1 ，3 ) + 1( 1 9 ) 如果初始态为个球有k 个在u r e a 中，n - k 个在u r n b 中，方便起见，设n 为偶 数，则不同k 对应的平均吸收时间为： 砌，n - 1 ) = 万1 l + 等x n - 2 ) + l l r ( k , n 一动= 科k 础一l 小1 ) + 1 】十等【狮删士1 ) + l 】 f ( 等，争磅。1 虿n + 1 ) + 1 ( 1 1 0 ) 任何初始状态变化n - - 个u m 子为空的平均吸收时间都可以通过上述方程解析 获得。 第一章基本概念和背景 1 3 相变和临界现象 平衡态相变是体系有序无序两种矛盾的表现，相互作用是有序的起因，热运 动是无序的来源。a n d s o n 根据热力学函数及其导数是否连续变化，将平衡态相 变进行分类，通常研究最多的是一级和二级相变，二级和二级以上相变通常称为 连续相变。一级相交伴随着明显的比容的突变与潜热的产生，并可能出现亚稳态， 如普通的固液气三相的变化，在外磁场中的超导转变等。二级相变中比容连续变 化，没有潜热的产生，体系的宏观状态不发生任何突变，但体系的对称性发生突 变，具有对称性破缺。比热、压缩率、磁化率等物理量随温度的变化会出现突变 或无穷尖峰，如超流m 点) 、没有外磁场的超导转变、气液临界点、铁磁反铁磁 相变、渗流模型的几何相变等都属于二级相变。二级相变的相变点称为“临界点”， 在l l 缶界点附近系统将表现出一系列特殊的性质，如某些热力学量趋于无穷，有很 强的涨落和关联等，这种现象称为“临界现象”。其实“二级相变”、“临界现象”、 “连续相变”指的是一回事。除温度以外，相变还有其它控制参量：如渗流模型 中的占空比、金属一绝缘体转变中的电导率等 ”- 2 9 】。 对于连续相变，1 9 3 7 年l a n d a u 概括了v a nd e rw a a l s 和w e i s s 等人的平均场 理论精神，提出了序参量的概念。平均场理论的基本出发点是由一个“平均了的 场”即“内场”来代替其它粒子对某个特定粒子的作用，从而把复杂的多体问题 近似转化为单体问题，而序参量表征系统的有序程度，通过序参量的变化可以获 得临界点及临界指数。如对于单轴各项异性的铁磁体，可用自发磁化强度矢量m 表示有序程度，而气液相变中可用两相的密度差p p 。作为序参量，在逼近临界 点时，它们的值连续趋于零，l 临界指数为口= l ，2 。 在平衡态相变统计模型和实验精确测量的基础上形成了描述相变的另一种 概念一标度律和普适性。各种物理体系在相变时可以分成若干个普适类，每个普 适类的临界特性完全样，存在相同的标度律，区分普适类的主要标志是空间维 数d 和系统内部自由度的数目或者说是序参量的个数n 。这样，只要确定了某 种物质所属普适类，就能知道它的标度律以及所有的临界指数。 另一方面，物理系统离开平衡态后，还可能陷入某种定态的有序或结构状态 中，如流体运动中发生的对流花纹、湍流现象，生物中的自组织现象等，这些有 序状态的形成对于b o l t z m a n n 平衡态统计来说是种高度不可几事件，这种状态的 9 第一章基本概念和背景 形成称之为非平衡相变，用原有的平衡态统计原理已无法解释。p r i g o g i n e 把这 些形形色色非平衡相变中出现的有序和结构称作“耗散结构”，它一般具有以下 四个特点： 1 ) 耗散结构发生在“开放系统”中，它要靠外界不断供应能量或物质才能维持， 这与平衡相变中产生的结构完全不同。 2 ) 只有当“控制参数”( 如流速、温度差、摩擦系数等) 达到一定“阈值”时才能 出现。 3 ) 它具有时空结构，对称性低于达到“阈值”前的状态。 4 ) 耗散结构虽然是不稳定的产物，它一旦产生，就具有相当的稳定性，不被任 何小扰动破坏。 ： 颗粒物质由于本身的摩擦和碰撞都会产生能耗，需外界不断提供能量，因此 也属耗散结构。当它发生粒子占有率的突变时，我们称之为“非平衡相变”。在 这里，我们运用非平衡态统计方法来考虑颗粒物质的“非平衡相变”问题。从后 面的研究分析可以看到：虽然颗粒体系发生“非平衡相变”，但有许多现象类似 于平衡态相变，我们将会对这两种相变进行比较。 1 4 本文主要的研究工作 颗粒物质由大量固体颗粒堆积而成，且颗粒由于摩擦具有能量损耗，所以传 统的平衡态统计方法已无法应用，随着计算机性能的不断提高和处理数据速度的 不断加快，计算机为模拟颗粒的运动及分布情况提供了比较精确的手段，能很好 地计算出粒子数密度、粒子分布、粒子堆集和集团的形成、冷却态、稳态的形成 等【3 0 】；而动力学或是流体力学( h y d r o d y n a m i c s ) 方法可以很好地研究颗粒的速率分 布、颗粒间的能量交换、热对流、热扩散的形成，以及力、热、电等在颗粒之间 的传播口2 1 。如果研究的颗粒数目巨大且无需考虑到具体每一个粒子的运动情 况，那么用非平衡态统计的办法是简单而有效的5 1 。因此提出了很多替代模型， 其中u r n 模型是最简单的一种，它能够定性的给出颗粒物质的某些特性。本文以 计算机为计算手段，用动力学的方法研究颗粒物质不同状态的变化问题。 针对s c h l i c h t i n g 这个实验，l i p o w s k i 等人提出一个u r n 统计模型，既能抓住 上述试验结果对称破缺的本质，并第一次用统计模型的方法展示了体系的相变现 1 0 第一蕈基本概念和背景 象1 3 4 , 3 5 】。s h i m 等人在他们研究的基础上解析获得了2 - u r n 和3 - u v l l 的几率分布 【3 6 ，3 7 1 ，两者都采用了一样系统，就是体系温度丁与粒子数成线性关系： 孓7 ；+ a o n ) ，满足粒子数增加，系统“温度”( 用粒子的平均动能表征) 减小这个 事实。为了更好的接近真实颗粒物质的温度特性，e g g e r s 提出温度取 r ( n ) = r o 十告。他们都选用外界温度( 表征外界驱动强度) 和能耗项作为“相 n 变”参量，以粒子数密度偏差s 作为序参量，针对颗粒振动分离时出现的“相变” 和各区域上的动力学行为进行观察分析。 论文的第二章中颗粒物质在几种多u r n 模型中，按照动力学规则运动的分布 情况。系统在达到定态的过程中，粒子随时间逐步演化直至相对稳定，得到在不 同时刻得的粒子分布。我们引入了一个新的参量善来度量系统粒子分布的局域 性，对系统达定态后，出现的均匀态、部分局域态和完全局域态进行了讨论。 第三章在描述颗粒物质在振动下出现分布不均现象的2 - u r n 模型的基础上， 考虑到可能出现的多粒子跃迁，提出了具有两个粒子可以同时跃迁的推广的 2 - t i m 模型。通过对粒子几率分布的数值研究，确认体系具有稳定对称解和不对 称解。除有实验已发现的“连续相变”外，得到体系在其他区域有亚稳态的存在。 发现体系在各相变区域以及临界线上，表征几率分布的函数p ( ) 有不同的定态峰 值分布，并用磁化系数r 证实系统具有“连续相变”，研究振动粒子数的选取与 系统相变的临界温度的联系。 第四章应用研究无规行走的方法，针对各种2 - i i i t i 模型研究其动力学行为。 观察一维运动的颗粒的分布，并且引入另一个新参量扩散过程特征矩 d x = ( m2 ( f ) ) 一( m ( f ) ) 2 ，在系统参量取不同的值时，对应系统处于不同的相区间， 通过粒子占有率p ( d 随时间的演化曲线及出与时间t 的关系，来研究颗粒在运 动中发生的分布不均现象，为研究不对称态、对称态与亚稳态，及系统相变提供 了一种新的方法。 第二章多呲模型中的动力学行为 第二章多u r n 模型中的动力学行为 2 1 引言 随着颗粒模型研究的不断深入，人们对多个u r n 的振动沙子的性质有了进一 步的了解 1 5 , 1 7 4 7 1 ：最近v a nd e rm e e r 等人在实验中发现多个u m 的振动沙子系统 也存在着强烈的磁滞现象【1 5 1 ，初始的集团在振动中保持一段时间的稳定之后会 发生突然的崩溃，为解释这个现象他们采用e g g e r s 的流动函数( f l u xe q u a t i o n ) 和 流体力学方程( h y d r o d y n a m i ce q u a t i o n ) 行解析研究，发现集团扩散时高度日、宽j 拄 度_ 都与扩散时间t 呈幂次方关系，集团的平均寿命f 随外界振动强度b 的增大 而呈e 指数衰减1 5 1 。y e e m o uk a o 等人研究了具有多个r d m 的广义e h r e n f e s t 模 型，在周期性边界条件下发现，一个啪在达到定态前其中的粒子数密度会在某 段时间内发生明显的震荡，震荡图像类似于固体阻尼振动1 4 7 1 。c o p p e x l 3 5 1 等人在 研究颗粒物质聚集行为及其突然崩溃的动力学中指出，当u m 模型中u r n 的个数 l 3 时，系统不存在“连续相变”，并在3 、4 区域( 对称态和不对称态都稳定的 区域，见图( 1 ) ，存在磁滞现象；这一点和他们研究的2 - u r n 模型不同，u r n 的个 数1 - = 2 时，系统除有“一级相变”外，还存在没有磁滞现象的“连续相变”1 1 7 1 。 s h i m 等人通过对3 - u r n 模型进行解析研究后发现3 、4 区域内还存在类似2 - u r n 的一条临界线，并计算出了3 - u r n 模型相变区域的三临界点，其值为( o ，0 ) ，这表 明体系不存在有完全的对称态直接变为完全的非对称态的可能性，体系任何状态 的变化都会经过亚稳态区域，见图( 1 ) ，这一点和他们研究的2 - u m 模型也是不同 的3 6 1 。这里，s h i m 等人研究的3 - u r n 模型采用了l i p o w s k i 3 4 1 等人提出的r 。c ( 一n ) 的关系。l i p o w s k i 等人的假设是简化的假设，它反映了粒子越多而“温度”越低 的特性；另一个与实验更接近的假设是e g g e r st 。c t l 。的假设。基于此，我们在 下面的研究中选择l i p o w s k i 丁k ( 一n ) 的假设，取t ( n ) = 瓦+ a ( 1 一n ) 和e g g e r s a t o = n 之的假设，取t ( n ) = 瓦+ ( 其中n 为给定u m 的粒子数密度，r 。和a 是 n 大于零的常数) ，来研究多u m 模型。 第二章多u r n 模型中的动力学行为 圈( 1 ) s h i m 等人研究的3 - 啪的t o 、褶围 2 2各种多u r n 模型的计算方法及计算结果 2 2 1e h r e n f e s t 多u r n 模型 类似于2 - u r n 模型，我们定义e h r e n f e s t 多u r n 模型及其动力学过程为： 1 ) 有个粒子，随机分布在肘个u r n 中，第i 个u r n 的粒子数为f 。 2 ) 顺序地从每个u r n 中取出一个粒子按一定的方式移入相邻的l i l t i 中，从第个 t i m 中取出一个粒子，该粒子跳入其相邻的u l t i 中，然后是第二个u r n 、第三个 u i t i ，依次类推。 此时粒子跃迁又可以分两种情况讨论：1 ) 粒子只往一个方向跑，即所有跳 出的粒子只能跳入其左边( 或右边) 的u r n 中，且满足周期性的边界。2 ) 粒子 跳入与之相邻的两个u r n 的几率相等，都是1 2 ，即粒子可以随机的选择往右跃 迁还是往左跃迁，同样满足周期性的边界。 对于多u l n 模型，不能像2 - u r n 、3 - u r n 模型那样得到解析解，我们主要通过 计算机模拟的方法来研究他们。 首先研究u r n 中拿出粒子后，粒子做单向运动的情况。假设所有选出的粒子 向右运动，那么第一个u l t i 中拿出的粒子进入第二个u r n 中，然后第二个u r n 中 拿出的粒子进入第三个u r n 中，而第三个l l r n 中拿出的粒子进入第四个u l r l 中，最后一个u l t i 中拿出的粒子回到第一个u r l l 中，这样经过无数个循环 后，会发现各个u l t i 中粒子的分布状态和初始状态是一样的，所以，我们接下来 第二章多u r n 模型中的动力学行为 研究粒子双向运动的情况。 这里我们认为u r n 中取出的粒子既可以跳入它右边的t i t l l 中，也可以跳入它 左边的u m 中，粒子往左往右运动的几率相等，都是o 5 ，且满足周期性边界条 件。现给出初始条件：初始状态粒子在个u r n 中随机分布，然后不断地重复上 面的步骤，根据模型的动力学规则，通过计算机模拟得到系统经过不同时间后的 粒子分布，见图( 2 ) 。 ； 圈( 2 ) e h r e n f e s t 多u r n 模型中粒子等几率双向运动各u r r l 中粒子分布图 m = 2 0 ，n = 2 0 0 0 ，从左到右，从上到下对应时间分别为t = 0 ，i o ，l o s ，1 0 e 1 0 7 ，1 0 6 图( 2 ) 从左到右、从上到下分别对应经过时间t = 0 ，1 0 4 ，1 0 5 ，1 0 6 ，1 0 7 ，1 0 8 ， 系统的粒子分布情况。初始时粒子随机分布，其分布呈现为一种近似于平均分布 的状态。经过时间t = 1 0 4 ，近似平均分布的状态被打破，各个u r n 中的粒子数出 现明显的多寡不均。我们不禁猜测：粒子会不会逐渐的集中，粒子少的l l l n 中的 粒子越来越少，而粒子多的u r n 中的粒子越来越多，最终所有粒子集中到了一起。 于是，我们使粒子继续运动，经过时间t = 1 0 5 ，1 0 6 ，1 0 7 ，1 0 8 ，得到各个时刻的 粒子分布图，发现粒子分布仍然呈现一种多寡不均的状态，有的u l t i 中粒子多， 1 4 第二章多u r r l 模型中的动力学行为 有的u m 中粒子少，而没有像我们的猜测那样粒子集中到一两个u r n 中。而且仔 细观察比较各图，又发现各图中粒子多的u 丌l 并不一致，当然粒子少的a m 也不 一致。经过更长的时间，系统还是呈现这种状态，这说明体统已经达定态，而这 个定态又是一个运动的定态，因为各个u 丌l 中的粒子数不是固定不变的，但其变 化对整个系统没有影响。 由图( 2 ) 知，系统达定态后，系统的粒子数分布是一个局域的，下面我们引入 一个新的参数孝来度量系统粒子分布的局域性，善定义为： 一4 一l 乒蔚： 其中n f 为第f 个岫中的粒子数密度，l i = n i n a 当系统处在均匀态时， = 万1 ， 孝= 揣= 等育1 m 足够大时，善趋于零；当系统处在完全局域态 时，只有一个n r 等于1 ，其他n f 等于零，则善= 1 。 在现有模型中，得出孝随时间的变化，如图( 3 ) 。n i n ( 3 ) 发现系统善在初始状 态，由于粒子随机分布，其状态近似于均匀分布，所以善的值接近1 2 0 0 0 5 。 随着时间推移，善逐渐增加，经过足够长的时间，系统逐步达到一个运动的定态， 手的值在一个范围o 1 5 0 3 5 内波动。由前面的讨论我们知道善趋近于零时，系 统处在均匀态，孝= l 时，系统处在一个完全局域态，所以在现有模型与动力学 规则下，善在o 1 5 0 3 5 的范围内，所以我们可以认为稳定时系统处在一个相对 局域态。 第二章多u m 模型中的动力学行为 o 柚 n 3 5 o 0 2 0 n 1 5 0 1 0 n 0 5 o 024681 01 21 41 61 8舶 i n ( t ) 图( 3 ) e h r e n f e s t 多u n 模型中善随时间的变化m = 2 0 ，n = 2 0 g o 2 2 2l i p o w s k i 多u l n 模型 我们定义l i p o w s k i 多u r n 模型及其动力学过程为： 1 ) 有m 个粒子，随机分布在个u r n 中，第i 个u r n 的粒子数为f 。 2 ) 从第一个u r n 中拿出一个粒子，该粒子有e x p 1 i t ( n o 的几率跳入相邻的u r n 中：然后从第二个u r n 中拿出一个粒子，该粒子有e x p 一1 t ( n 2 ) 的几率跳入相邻 的u r n 中，依次类推，从第i 个u r n 中拿出一个粒子该粒子有e x p 一1 玎n i ) 】的几 率跳入相邻的u n l 中 同样的，粒子的跃迁可以分两种情况：粒子单向运动或等几率双向运动，具 体运动规则与之前e h r e n f e s t 多i 1