（应用数学专业论文）某些非线性方程的精确解.pdf

内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 孤立子理论是非线性科学的一个重要组成部分，在数学物理领域中导 出的许多非线性方程都具有孤立子解。因此，孤立子方程的求解在理论和 应用中都具有重要意义。 本文分四部分：第一部分为引言，简单介绍了孤立子理论的发展和本 论文研究的历史背景及主要内容。 第二部分由李谱问题 九= u = ( = 三二斗 h m n “一1 ，无一1 ，j 。 一 的零曲率方程推导出李方程组的l a x 对，并构造了李方程组的n 次达布变 换。 第三部分构造了j a u l e n t - m i o d e k 方程的n 次达布变换。它实际上是关 于l a x 对 丸= w ，破= 脚， 的特殊的规范变换 孑= 黝， 丁= 丁c 五，= c 詈三) ， 其中 彳：析了泥i ( + 艺4 ) ，b ：订了丽i 窆反， c 2 志丢n - i c k 2 ，。2 志c + 荟n - i q ， 然后利用达布变换从j a u l e n t m i o d e k 方程的一组种子解( 最v ) 产生了它的一 组新解 内蒙古师范大学硕士学位论文 l 材= u ( 1 2 i c 一1 ) ， 【，= ( 1 2 i c 一1 ) ( ，+ u d ，一l u d 一l + 2 b 一1 ) 第四部分构造了广义m k d v 方程组的次达布变换 i 丁= ( 乏：乏) = i l 一1 心七 n i k = ok = o 并对解的性质进行分析和绘制出孤子解的图形。 n 一1 钆i 七- o i d , 2 j 关键词：李方程组，j a u l e n t - m i o d e k 方程组，广义m k d v 方程组，达布变换， 精确解 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h es o l i t o nt h e o r yi sa ni m p o r t a n tp a r to ft h en o n l i n e a rs c i e n c e t h e r e a r em a n yn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c ha p p e a ri nt h ea r e a o fm a t h e m a t i c a lp h y s i c sh a v es o l i t o ns o l u t i o n s t h e r e f o r e ，t h ep r o b l e mo f s o l v i n gs o l i t o ne q u a t i o n si si m p o r t a n ti nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n s t h i sd i s s e r t a t i o ni so r g a n i z e db yf o u rp a r t s t h ef i r s tp a r ti sd u et ot h e i n t r o d u c t i o n i nt h es e c o n dp a r t ，t h el is p e c t r a lp r o b l e m 丸= 叫， 一丸+ v u = l lu 一1 ， 矽= ( 么，办) r i ss t u d i e d t h el a xp a i ro ft h el ie q u a t i o n sa n di t se x p l i c i tn f o l d d a r b o u xt r a h s f o r m a t i o ni sd e r i v e df r o mt h ez e r oc u r v a t u r ee q u a t i o n i nt h et 1 1 i r dp a r t ，t h en f o l dd a r b o u xt r a n s f o r m a t i o no fj a u l e n t m i o d e k e q u a t i o n si so b t a i n e db yad i r e c tw a y i nf a c t ，i ti s as p e c i a lg a u g e t r a n s f o r m a t i o na sf o l l o w i n g w i t h 矽= 劢， 丁= 丁c 五，= ( 三三) 彳：、 1 - 2 i c _ 1 ( f f + n - 1 4 ) ，b ：i = 瓦n - i 见， c 2 志篓g ，。2 志c + 荟n - i b ， o f t h el a xp a i r 丸= 叫， 谚= 脚 t h en e ws o l u t i o n so fj a u l e n t - m i o d e ke q u a t i o n s 、p， v v + 一”旯 内蒙古师范大学硕士学位论文 i ”= u ( 1 2 i c , v 1 ) ， 【，= ( 1 2 i c 一1 ) ( ，+ u a ，一l u d 1 + 2 b ，一1 ) ， i so b t a i n e db yu s i n gt h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n i nt h ef o u r t hp a r t , t h en f o l dd a r b o u xt r a n s f o r m a t i o no fg e n e r a l i z e d m k d v e q u m i o n si so b t a i n e da sf o l l o w i n g ( 。 丁= 眨引 f 一心 t h ef i g u r e so ft h es o l u t i o n sa r ea l s op r e s e n t e d b k 砖 k e y w o r d s ：l ie q u a t i o n s ，j a u l e n t - m i o d e ke q u a t i o n s ，g e n e r a l i z e dm k d v e q u a t i o n s ，d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ，e x a c ts o l u t i o n m 脚 + 矿 吼 川脚 矿 畋 州脚 矿 气 心脚 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示感谢。 签名：塑垫叁日期：刖g 年，月二争日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学 位论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名： 咖员觊认导师签名：蔓韩皂蓝牵老 e l 期：2 宕年石月畔日 第一章引言 第一章引言 求解非线性偏微分方程是非线性科学的重要研究内容之一，在自然科学和工程应 用中具有重要意义，是人们十分感兴趣的研究课题。每一个典型的偏微分方程问题的 成功求解，都会在相关学科引起极大的关注和重视。但由于非线性方程的复杂性，其 求解是十分困难的，以至于对大量的非线性偏微分方程，找不到有效的求解方法。 孤立子理论的兴起，给求解非线性偏微分方程及非线性科学的研究带来了革命性 内容和新的活力，使其成为研究非线性方程的主要手段之一。孤立子理论在流体力学、 等离子体物理、非线性光学、经典场论、量子场论、化学、通讯、生命科学等诸多学 科都有重要应用，是一门涉及多学科的研究领域。研究手段和方法在数学上涉及有经 典分析和泛函分析、微分方程和动力系统、l i e 群、l i e 代数和无穷维代数、微分几何、 拓扑学、复分析、椭圆函数、代数几何及计算数学等诸多数学分支。数十年来，孤立 子理论一直受到国际上数学界和物理学界的充分重视，研究工作十分活跃，每年发表 有大量的科研论文，出版并发行不少的专业期刊以及相关方面的专著。孤立子的发展 历程简要概括为：z a b u s k y 和k r u s k a l 对k d v 方程解的孤立子特性的发现u 羽，g a r d n e r ， g r e e n e ，k r u s k a l 和m i u r a 对k d v 方程求解的反散射方法的开创性的工作n 羽，l a x 关 于k d v 方程l a x 对的理论和推广n 扣，z a k h a r o v 和s h a b a t ，a b l o w i t z ，k r u s k a l ，n e w e l l 和s e g u r 关于矩阵形式的l a x 对及反散射方法的推广n 钉，都为孤立子理论的发展起到 了关键的作用。在孤立子理论中，已有一系列方法用来求孤立子方程的精确解，如反 散射方法珀3 ，贝克隆变换法口 7 1 ，达布变换法嵋6 1 0 洲，双线性变换法2 ，l i e 对 称方法m 1 以及代数几何方法n 7 1 ，非线性化方法1 1 1 ，齐次平衡法n 6 3 等。这些方法的发 现和应用，使得大量的非线性偏微分方程得以成功求解，对非线性科学的发展和应用 具有重要意义。近年来，随着计算机的发展和符号运算系统如m a p l e 和m a t h e m a t i c a 的出现，使复杂冗长的代数运算可以在计算机上完成，为孤立子方程的求解提供了新 的方法和强有力的工具，而计算机绘图软件的应用，为研究孤立子方程解的性质提供 了更为直观的手段。 本文研究孤立子方程的达布变换方法，通过研究李方程组，j a u l e n t m i o d e k 方 程组及广义f l ( d v 方程组的达布变换，分别求出了它们的精确解并研究了解的性质。 达布变换方法是构造非线性方程显式解的十分有效的方法之一。1 8 8 2 年，达布 研究了一个二阶线性常微分方程( 现称之为一维的薛定谔方程) 的特征值问题： 内蒙古师范大学硕士学位论文 一九一 ( x ) = 五， ( 1 1 ) 其中u ( x ) 是给定的势函数，五是常数，称为谱参数。达布发现了下面的事实：设“( x ) 和矽( x ，五) 是满足方程( 1 1 ) 的两个函数，对任意给定的常数厶，令f ( x ) = ( x ，厶) ， 即厂是方程( 1 1 ) 当兄= 气时的一个解，则由 f u = ”+ 2 ( i n f ) 矗， t 矽( x ，z ) = 丸( x ，五) 一手烈x ，旯) l2 所定义的函数“，满足与( 1 1 ) 相同形式的方程，即 一妃- - u7 = 五矽 ( 1 3 ) 这样，这个借助于( 工) = 妒( x ，厶) 所作的变换( 1 2 ) 把满足方程( 1 - 1 ) 的一组函数( “，) 变化为满足同一方程的另一组函数( ”7 ，) ，这就是最原始的达布变换 ( “，矽) 一( ”，矽) ， ( 1 4 ) 且在f 0 处它是有效的。本世纪6 0 年代中期，人们发现k d v 方程与上述薛定谔方程 有着密切的关系。具体说来，k d v 方程 “l + 6 u u ，+ ”。= 0 ， ( 1 5 ) 是关于矽的线性方程组 爱盖如，办 m6 ， ( 称为k d v 方程的l a x 对) 的可积条件，这时”，都应看成x ，的函数。 进一步的研究发现达布变换( 1 2 ) 也适用于k d v 方程，这个变换中的函数还依赖于f ， 它不但保持( 1 6 ) 中第一式的形式不变，而且( ，矽) 还满足( 1 6 ) 中的第二式，因 而，“满足( 1 6 ) 的可积条件，即材也是k d v 方程的解。这就为求k d v 方程的新解 提供了非常好的方法。也就是说，为了从k d v 方程的一个已知解u 得到它的新解u ， 现在只需要求解线性方程组( 1 6 ) 得出矽，然后通过显式运算( 1 2 ) 就可以得到k d v 方程的新的特解。不但如此，这个变换还可以继续下去，因为矽也已经具备，这时就 不再需要求解线性方程组( 1 6 ) ，而是由显式的算法可得出 。，矽。) ，o e o9 等。 ( 甜，) 专( ，) 寸( u w , 矽。) 争 ( 1 7 ) 这样，就把薛定谔方程的达布变换推广为k d v 方程的达布变换。 由此可以看出，达布变换方法的基本思路是：利用非线性方程的一个解及其l a x 第一章引言 对的解，用代数算法及微分运算来得出非线性方程的新解和l a x 对相应的解。特别地， 如果从非线性方程的平凡解出发，同样可以得到非线性方程的新解，此时计算更简单 一些。 本文所作的变换是达布变换的另一种，是一种形式规范变换，即对于带时间变量 t 及一维空间变量x 的孤子方程，也就是通常意义下的“i + 1 维 孤子方程，它等价 于 丸= w ，谚= 脚， ( 1 8 ) 的相容性条件。这里矽是x ，f 的玎维向量函数，u ，v 是r x x n 矩阵，其元素中包含有谱 参数名及以z ，f 为自变量的m 维向量函数u ( x ，f ) 及其各阶导数。为了使方程( 1 8 ) 有 解，矽必须满足相容性条件丸= 九进而可得： 阢一圪+ 【u ，v 】= 0 ， 【u ，v 】= u v y u 这个方程在微分几何中称为零曲率方程。 引入非奇异达布变换丁 = 礅 将谱问题丸= 脚和辅助问题谚= 脚分别变成，= u 和，= y 矽，那么我们有 矽= ( 瓦+ t u ) t 一，矿= ( z + 秒) r ， 而且容易证明 u ，一y 工+ u ，v 】= t ( u ，一匕+ 【u ，y 】) 丁一 由于t 的非奇异性，故零曲率方程u 一圪+ 眇，v 】= 0 与u r v 工+ ，v 】= 0 形式相同， 从而它们对应的孤子方程也具有相同形式。 本文第二部分考虑李方程组 i 珥= 一2 u ，v 一2 u v , ， 【v t = u 曩+ 2 u u j 一6 w x ， 和相应的谱问题 丸= 嗽u - ( = 习 以及辅助问题： 识川y 屯v 一篆茹r 2 讹：艺翟娑”匕 ， 内蒙古师范大学硕士学位论文 其中”，v 是关于x ，t 的函数，五是谱参数。 在达布变换 的作用下，由李方程组的一组解( ”，1 ，) 可以派生出它的一组新解( - ，- ) 。这里 口，b n - ic 一l 可以由方程组 以及关系式 一1| v l 口衫+ 口。够k + 仃，钆葛= 0 ， k = ok = o 荟n - i q 葛+ q 咭i i 勺n q 葛+ q ( 二勺 七= 0 “ q 一丢口3 ( “州+ 互1 丢( 甜一v ) - a 2 6 n - i - - c n - i - 4 - 伽= o ， a f + 2 a 2 c 一l ( “+ v ) + 2 b 一l ( ，一u ) + 4 a b 一l c r 一1 + 口( ”，一2 v 2 ) + 口3 v ( “+ v ) 一l a 3 ( u x i - v x ) 一言( ”一v ) 一互1 丢( “j v ，) _ a 4 d 一。( “+ v ) 一2 口3 6 一。d 一。 + 2 口2 6 n - 2 + a 2 a # - i ( ”+ 1 ，) + a 口n ：- i ( 、”一；) 一 来确定。 第三部分考虑j a u l e n t m i o d e k 方程组 和相应的谱问题 以及辅助问题 勿= 脚， 丸= w ， 干喾j 其中u 和v 是势函数，名为谱参数。 2 a _ 一lc - l 一l 九 u = l f 1 + 2 c ，一2 一d 一i ( 甜一1 ，) = 0 “兄+ 1 ，、 i ；l 一“刀一( v + 三”2 + 吾“，) 兄+ i 1 材曩 4 一掰一三2 以+ 1 4 虬 j 1 ) 一一u vl 2 l j 纽口纽口 一 + 以 d 加 鼬 矶 咖 + + d d 一 一 。一矿。一矿 一2一2 + 一 d d + + “ 口 口 ，一2 1 2 = = ，k。k、 q = 、， 剪 七 d 州 + l 一2 匕 j 一 虬 一。 32 一 一4 = = 坼 u 第一章引言 在达布变换 i “= 甜( 1 2 i c 一1 ) ， 【1 ，= ( 1 2 i c 一1 ) ( ，+ u a - l 一配d q + 2 i b ，- 1 ) ， 的作用下，由j a u l e n t m i o d e k 方程组的一组解( ”，) 可以派生出它的一组新解 ( “，) 。这里a n - i 巩_ l ，c 1 ，d n l 可以由方程组 来确定，且满足限制条件 n - i k = o ( 4 + 乃b ) 筋= 一， ( c i + o r , d , ) a k y = 一盯，衫 j c 山+ u c - 1 ( 1 2 i c , v 1 ) = 0 ( 1 2 函c 一1 ) 【f ”2 c 一l ( 么一l 一d k 1 ) 一甜( 刀0 一l c 一l + 彳一ld - 1 ) + v ( a - 1 一d 一1 ) + 钟( 4 - 2 一巩一2 ) + u d 2 一i + 伽g l - 2 i b _ l d n - l 一叱风一1 - i u ，c 扣l ， 一i u c 一l 二= 0 i c 一1 f - ( 1 2 i c 一1 ) ( “c 一2 一巩一l 一“c r 一l d 一l + 2 i b 一l c 0 一l + v c m 1 + 譬c _ 一互i 以一- o ， 第四部分考虑广义m k d v 方程组 和相应的谱问题 以及辅助问题 其中 丸= 嗽 = ( 一0v 识= 脚 y = 瞪 = 4 u 2 2 2 1 ，五一”。+ 2 u ( u 2 + ，2 ) ， k 2 = 4 + 4 v 矛+ 【2 甜，+ 2 ( ”2 + v 2 ) 】名一1 ，曩+ 2 v ( u 2 + ，2 ) + 2 “，v 一2 u v ， 脚心 k ” 萨沪 + + 嗡嗡 + + ； 孽 i i = 坼u 、， 内蒙古师范大学硕士学位论文 k l = 4 + 4 协铲+ 【2 材，- 2 ( u 2 + 1 ，2 ) 】五一k + 2 v ( u 2 + v 2 ) 一2 u ，v + 2 u v ， y = - 4 甜矛+ 2 v ，五+ ”口一2 u ( u 2 + v 2 ) 其中”和，是两个位势函数，a 是常谱参数。 在达布变换 l “= 一 + 口 ，一l d 一l ， 【，= 一v + b u l + c j 一1 的作用下，由广义l d k d v 方程组的一组解( “，v ) 可以派生出它的一组新解( 越，v ) 6 第二章李方程组的达布变换 第二章李方程组的达布变换 2 1 达布变换 考虑文献 2 3 提出的李方程组 卜5k - 2 u x v - 2 _ z ，( 2 1 ) 【v t = u 。+ 2 u u ，一6 k ， 及与李方程组( 2 1 ) 相联系的谱问题 以：脚，u ：f 。w u v 识= 脚， ( 2 2 ) 陆 222-2v2+uxl22(v2 v ( v 也一u ，以纵甜二玄：2 似v ! u 二”叱 ，亿3 ，- v i 一；一2 凳+ z 一。) 其中l t , 1 ，是关于x ，t 的函数，力是谱参数。 设存在规范变换丁满足 = 劢， ( 2 4 ) 则 妒，= ( l + 丁u ) r 。矽 ( 2 5 ) 令西= ( l + t u ) t ，且可是把u 中的”，分别换成乙，；而得到的。为确定矩阵丁 的形式，我们设 卜l 口a ：j ，, 九2 十+ b d 2 u ，屹a 1 2 2 五+ + k b l 2 ，j ) = ( 弘：， ( 2 6 ) 其中，b ( f ，歹= l ，2 ) 是关于x 和f 的函数。 将表达式( 2 6 ) 代入到u t = 疋+ 彤，并分别比较g j ( j = 2 , 1 ，0 ) 的系数，则得： 口1 2 ：口2 l ：0 ，口l l ：1 ， ( 2 7 ) a l l ，+ 阳l l 一岛l + a 1 2 ( u - y ) = a l l v - b , 1 + 口2 l ( 甜+ d ， ( 2 8 ) a 1 2 j + 口l l ( 甜+ 1 ，) + b 1 2 一口1 2 ，= a 1 2 v - b 1 2 + 口2 2 ( 材+ ，) ， ( 2 9 ) 口2 i j + 口2 l v - b 2 l + q 2 2 ( 甜一，) = a l i ( “- v ) + b 2 l 一口2 1 1 ， ( 2 1 0 ) a 2 2 ，+ a 2 l ( ”+ 1 ，) + 6 2 2 一口2 2 ，= a 1 2 ( u - v ) + b 2 2 一口2 2 ， ( 2 1 1 ) 、， y v + 一甜见 内蒙古师范大学硕士学位论文 以及 再令 6 l l ，+ 6 l l v + b 1 2 ( 材一，) = 6 l lv + b 2 i ( ”+ v ) ， 6 1 2 ，+ b i l ( u + 1 ，) 一轨2 ，= 岛2 v + b 2 2 ( “+ v ) ， b 2 l j + 6 2 l v + b 2 2 ( “一，) = 6 l l ( “一v ) 一也1 1 ， b 2 2 工+ 6 2 l ( ”+ ，) 一6 2 2 1 ，= 6 1 2 ( 一1 ，) 一6 2 2 ， 1 a l i2 。口， a 2 2 并将其代入到( 2 8 ) 一( 2 1 1 ) 中，可得李方程组的一次达布变换如下 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 兰二妻二：三二二；二妻j 童三二二；二二三二茎j c 2 - 6 ， ；= 圭口2 0 + v ) 一* 旷v m ：+ 等 一一叫 为了将以上一次达布变换推广为次达布变换，我们取 t = 一l 口+ a k 磐 j _ _ k = o 一l 气 k = o 仇矿 + n - i d 。棼 a 函 并设认- ) = ( 仍( 乃) ，仍( 乃) ) r ，少( 乃) = ( 吵，( 乃) ，沙2 ( 乃) ) r ( 1 ，2 加是谱问题 ( 2 1 ) 的两个基解，同时把它们简记为纺= ( 仍，伊2 ) r ，y = ( j c ，l ，y 2 ) r 由方程( 2 4 ) ， 知下面等式成立 孑= 眨乏麓) 于是，存在常数5 ( 1 j 2 n ) ，使得 j 三l 仍十三2 仍+ o ( 互l y l + 互2 | l c ，2 ) = o ( 2 1 7 ) i 疋l 仍+ 砭仍+ ，( 互l + 瓦2 j f ，2 ) = 0 一 迸一步，方程组( 2 1 7 ) 可以写为 i 互l + 巳正2 = 0 ， 峨i + q 易= o ， 即 8 第二章李方程组的达布变换 其中 ( 2 1 8 ) 仃；：丝二兰坚( 2 1 9 ) 仃f = - 二一 厶 。 仍，y l 适当选取常数0 和乃( 以，k ) ，使得方程组( 2 1 8 ) 的系数行列式不等于零 同时得到限制条件 口，一丢口3 ( “+ v ) + 三1 毒”一v ) - a 2 “- 1 - - c j v - i + 删= o ， a f + 2 a 2 c ，一l ( ”+ 1 ，) + 2 b 一l ( ，一“) + 4 a b _ 一l c 一l + 口( ”工一2 v 2 ) + 口3 ，( ”+ ，) 一1 1a ( x + v x ) 一兰( 甜一v ) 一i 1 三( “，一1 ，) 一口d 一l ( ”+ v ) ( 2 2 0 ) _ 2 口3 b n - 1 d x - i + 2 a 2 ：棚2 “料d + 等( 护v ) 一等等 可以证明下面式子成立 2 d e t t = 兀( 元一乃) ， 7 - 1 其中五，( 1s 2 n ) 是常数。 命题1 设a 满足限制条件( 2 2 0 ) ，则由规范变换( 2 4 ) 所定义的矽满足与谱问题 ( 2 2 ) 形式相同的谱问题 咖l = u 咖， 其中除了将1 2 , v 分别替换成材， ，外，矩阵u 与矩阵u 在形式上相同，即 万- ( 芸三二昌 亿2 ， l 红一1 ，九一v 且“，1 ，与砧，v 满足方程组 j 1 2 ( “+ 力+ 互1 了1 ( 一，) + 口 1 2 口2 ( 甜+ 1 ，) 一互1 7 1 ( 彭一叻+ 嘶。 9 c n 1 一一， 口 ( 2 2 2 ) c | - l t - 一 口 q q = = 剪 枷 以 6 4 ，一曲巍嗡 盯 一一 吖 力 1 - r 心q 唧 盯 m 脚 + 以 力 4 r 一曲觚州脚 内蒙古师范大学硕士学位论文 证明：令t = ( d e t r ) 一丁，并设 c 瓦+ r u ) 丁= ( 羔： 三；2 箸；) 容易算出厶( 兄) ( s ，= 1 , 2 ) 分别是关于旯的2 n + l 阶多项式或2 n 阶多项式。 利用( 2 2 ) ， ( 2 1 7 ) 和( 2 1 9 ) ，可得 仃_ = 甜一1 ，+ 2 ( a , j v ) o j 一( 甜+ 1 ，) 巧 ( 2 2 3 ) 通过直接计算，知所有五，( 1 j 2 ) 是兀( 旯) ( s ，= 1 , 2 ) 的根，于是有 以+ t u ) t = ( d e tt ) p ( 2 ) ( 2 2 4 ) 设p ( 名) 具有以下形式 尸( 五) = ( p 掣见p 2 志1p p 二罢二r j ：( o ) p 5 ， ( 2 2 5 ) 其中p g ( 七，j = 1 , 2 ，= o ，1 ) 与五无关。 进一步，方程( 2 2 3 ) 又可以写为 疋+ 彤= p ( a ) t ( 2 2 6 ) 比较等式中“和的系数，可以得到 科：= 一1 ，p 髫= 1 ， ( 2 2 7 ) p ：? = 一p 罂= v + o ，l n a ， ( 2 2 8 ) p = 口2 ( + v ) + 2 口6 1 掣= 吉( 甜一v ) 一了2 c n _ i ( 2 2 9 ) 结合方程组( 2 2 0 ) ，( 2 2 2 ) ，我们求得 一 p f o ) = 一p 要= p 擘= 二+ ；，p 掣= 乙一- ( 2 3 0 ) 命题2 设满足辅助问题( 2 3 ) ，则由规范变换( 2 4 ) 所定义的孑满足与辅助问 题( 2 3 ) 形式相同的谱问题，其中，除了将u ，分别替换成云，；，矩阵矿与矩阵y 在 形式上相同，即 _ - k _ _ ) 2 2 + - 2 ； - _ ) + u 矗, 2 v ( v毛。2 撕2 篓之况矗】，( 2 3 )l 2 兄( v 一“) + 一) + 1 ，j z f 工一2 俨+ 2 ，一”， j 且“，v 与二，；同样满足方程组( 2 2 2 ) 。 证明：令t = ( d e t t ) 一丁，并设 1 0 第二章李方程组的达布变换 c 正+ 形，丁= ( 喜：箸；箸；) 容易算出巩( 五) ( s ，= 1 ，2 ) 分别是旯的2 ( + 1 ) 阶多项式或2 + 1 阶多项式。 利用( 2 3 ) ， ( 2 1 7 ) 和( 2 1 9 ) ，可得 o r 少= 2 ( v 一“) + 2 v ( v 一“) + i ，膏一“彳一2 ( 2 , 乏2 j 一2 v 2 + “，) q + 【2 乃( ”+ ，) + 2 v ( ”+ ，) 一( “，+ ，) 】t ( 2 3 2 ) 通过直接计算，知所有五，( 1 j f 2 ) 是岛( 力) ( s ，= 1 ，2 ) 的根，于是有 ( 正+ ) p = ( d e t t ) q ( 2 ) ， ( 2 3 3 ) 其中 一r 搿楞端如) ， 其中g ( 七，j = 1 ，2 ，= 0 , 1 ，2 ) 与2 无关 进一步，方程( 2 3 3 ) 又可以写为 互+ 彤= q ( 五) r ( 2 3 4 ) 比较方程( 2 3 3 ) 左右两边+ 2 及+ 1 的系数，有 错= 一g 窘= 2 ， q o = g 婴= 0 ， ( 2 3 5 ) 以及 9 2 = - 2 a 2 ( 甜+ v ) + 2 a b _ 一l 】， ( 2 3 6 ) 小2 寺) + 争 ( 2 3 7 ) 此外，比较方程( 2 3 4 ) 中左右两边的系数，有 g 弘一g 錾) = 材x - 2 v 2 + 半+ 2 删+ 4 “_ i c n _ i + 讪口， g g = a 2 【2 v ( “+ _ l ，) + “j + 1 ， - 2 a a 一l ( u + v ) - 4 a b 一2 + 2 a 3 d n l ( ”+ 1 ，) + 4 a 2 b 一l d 一1 ， g 箸，= 了1 【2 v 旷“) + v z - - “x + 了4 c v _ 2 + 弛掣一净产 一丝丝= ! ! 芝= 2 乜2 科 猢 粕 组 q 内蒙古师范大学硕士学位论文 另一方面，比较方程( 2 2 6 ) 中左右两边一的系数，得到 口- 。j = 。喧1 口( “州一丢事( 材叫+ 口6 1 + c n 口- i + 吼。【口2 ( ”州+ 2 嘶- l 】 - b ，一l ( “- v ) - v a ，一l ， ( 2 4 1 ) b n _ l , x = j 1 以“州一吉吉( ”叫+ 咖- l + c n 口- i + “凇2 州+ 2 口6 - l 】 - 2 b ，一2 + v b 一l - - t l 一l ( “+ ，) ， ( 2 4 2 ) 吼。一= 吼。哆( “叫一争h 【一吾口2 ( “州+ 三吉( 甜叫确州一c n 口- i + 2 c 一2 一忙一l d ，一i ( 甜一1 ，) ， ( 2 4 3 ) d r _ l , a = 札。哆( ) 一孕m 川 2 ( ) + 吉事( 州砜r c n 口- i + j d - l c ，一l ( 材+ 1 ，) ( 2 4 4 ) 结合方程组( 2 2 0 ) ， ( 2 2 2 ) 以及( 2 4 1 ) 一( 2 4 4 ) 式，通过复杂的计算，可得 g 口= - 2 ( 一u + 一v ) ，g g = 云工+ ；j 一2 v ( u + v ) ， 鲋= 2 ( - 一五) ，攒= 2 v ( v 一乙) + ；，一云， g s = 一g ：= - 2 ，+ 甜， 2 2 精确解 由命题1 和命题2 可知，在变换( 2 4 ) 和( 2 2 2 ) 的作用下，l a x 对( 2 2 ) 和( 2 3 ) 变成了另一个有相同形式的l a x 对( 2 2 1 ) 和( 2 3 1 ) ，并且由这两组l a x 对的相容 性，可得到同一个方程组( 2 1 ) ，即李方程组。我们把变换( 2 2 2 ) 称为李方程组 的达布变换。因此，有下面命题成立： 命题3 在达布变换( 2 2 2 ) 的作用下，由李方程组的一组解( 甜，v ) 可以派生出它的 一组新解( ”，) ，其中6 - 1 ，c - l 由方程组( 2 1 8 ) 和( 2 2 0 ) 所确定。 下面利用达布变换来讨论李方程组的精确解。首先选取李方程组的平凡解 u = 1 ，= 0 ，并分别代入谱问题( 2 2 ) 及辅助问题( 2 3 ) ，然后选取两个基解 妒( 力，) ，沙( 旯，) 分别为 1 2 其中 第二章李方程组的达布变换 伊c 州甲汕搿c 毗 ， 由( 2 1 9 ) 式，有 鹏，= k h 嚣j 白= c 一2 2 ) ， o j 2c j t a n h # j 。r j 1 0t a n h 孝j 由方程组( 2 1 8 ) ，利用克莱姆法则，可得 其中 = = t - n - 1 b ，_ l q c r 2 ： 五q 五c r 2 五 + 乃， 1sj 2 n 吼。= 等 砰1 磕- 1 q 掣卅 a 2 磕_ 0 2 nk n0 2 n k n 遐寻0 2 n 磋寸 0 2 ： 0 2 n 盯l 吒如 0 2 n k n ， 一一1 口h n 磋n 巧2 n 磅0 口 将以上结果代入( 2 2 0 ) 中，确定口值，再将口，_ l ，知一。代入方程( 2 ，2 2 ) 中，求 得李方程组的新解。 用同样的方法，可以得到李方程组更多的解。 1 3 垒 = 硝砖；砖讲叫；碥 一 一 一 d q d v矿矿；礞如如啪警吼 厄；胁 q 吼； k 以 q ”掣 q 吒4 q 吒 一口一口 一 一 如； 内蒙古师范大学硕士学位论文 第三章j a u ie n t - mio d e k 方程的达布变换 本章考虑j a u l e n t m i o d e k 方程组 3 一互矧，- - v x ， l 1 5 i “麒叫，卜i w ， ( 3 1 ) 并借助( 3 1 ) 的谱问题和规范变换，构造出( 3 1 ) 的达布变换。更进一步我们将利 用达布变换给出( 3 1 ) 的精确解，并讨论n = l 和n = 2 等两种孤子解的情形。 3 1 达布变换 与方程组( 3 1 ) 相联系的谱问题为 办= 脚，v = 丸川 u = 一“钾 组2 ， 掰蔓扣粗v 二瑟12 ；i 攀1 ”三w 卜3 ， 一五一詈一f 矛一告“五+ ”，l 。 其中”和v 是势函数，名为谱参数通过直接计算可以验证零曲率方程 仉一圪“u ，v 】= 0 刚好给出j a u l e n t m i o d e k 方程( 3 1 ) 下面讨论方程( 3 1 ) 的达布变换。为此，先引入谱问题的规范变换 = 磁 ( 3 4 ) 其中丁由下式确定 瓦+ 形= 叮， ( 3 5 ) z + t v = v t ( 3 6 ) 进而l a x 对( 3 2 ) 和( 3 3 ) 转化为 矽，= u ， ( 3 7 ) 矽，= 矿 ( 3 8 ) 若谱问题的规范变换把相应的谱问题转化为相同形式的谱问题，则称它为达布变 换。不妨假定 1 4 第三章j a u le n t - mio d e k 方程的达布变换 r = 丁c 名，= ( 尝三) 其中 么：4 了菘：= ( + n - i 以) ，曰：扣了丽；= v - ! 色， c = 了亏霸刍i v - - 1c 七形，d = 赢+ 荟p t - - j k = 0 q 矿) - 1 ( 3 9 ) a t ，色，c 和仇( 0 后n - 1 ) 是x 和，的函数 设缈( 五，) = 觇( t ) ，铣( t ) ) r ，少( ) = ( 1 f ，。( ) ，y 2 ( 乃) ) r 是( 3 2 ) 式的两个基本解， 那么通过( 3 4 ) 式，可知存在常数0 满足 j ( 彳仍( 乃) + b 仍( 乃) ) 一o ( 彳沙( ) + b | i c ，2 ( 乃) ) = 0 ， ( 3 1 0 ) 【( c 仍( 彳) + d 仍( 乃) ) 一o ( c 5 c ，l ( ) + d 少2 ( 乃) ) = 0 黪蒿即 + a j b k ) 硗= 砖， ( 3 1 1 ) + 仃j d k 、) ；i ! ：l = 一o j 砖 其中 旷些譬丝婴0 - j 2 n ) ( 3 1 2 ) 。 仍( 五，) 一，沙l ( 名，) 当适当选择常数乃，乞( 以t ，七，) 时，( 3 1 1 ) 式的系数非零，从而4 ，毋，c 。和 b ( o 七n - 1 ) 由线性系统( 3 11 ) 所唯一确定。显然，矩阵( 3 9 ) 表明d c t t ( 2 ) 是 名的2 n 次多项式，且有 d c t t ( 2 j ) = 彳( t ) d ( 乃) 一b ( 乃) c ( 乃) 另一方面。由( 3 1 1 ) 式可知 么( 乃) = - f b ( 乃) ，c ( 乃) = 叫巧d 魄) 所以 2 d e t t ( 2 ) = 兀( 五一t ) j 罩l 这表明乃( 1 j 2 n ) 是d e t t 的根。 4 q -，l 州脚m汹 ，l 内蒙古师范大学硕士学位论文 命题若a n - i 曰，c m 中巩卅满足方程组 f c 山+ u c m ( 1 2 i c _ i ) = 0 ， ( 1 2 i c 一1 ) 【j “2 c 一l ( 彳 ，1 一d 一1 ) 一u ( b 一l c 一l + a 一ld 一1 ) + v ( a ，一l d k 1 ) + u ( a 一2 一d k 一2 ) + 。t d ；一1 + i u v c 一l 一2 i b # 一i d n l 一寺虬d ，一l 】一伽，c 一1 j 一丢f 甜c 一l 芦= o ， ( 3 1 3 ) i c ，一1 | - ( 1 2 i c | 一1 ) ( “c ，一2 一b u 一1 一u c ，一ij d 一l + 2 i b ，一l c 一l + 记 ，1 + 等c - l 一丢材c 1 一) = o ， 则由( 3 5 ) 式确定的矩阵u 与矩阵u 具有相同的形式，即u 可以表示为 方竹 而由( 3 6 ) 式确定的矩阵v 与矩阵v 具有相同的形式，即v 可以表示为 一 v = 且下面变换 所+ 知一劢前扣名+ 扛一矧 小兰，一掰 动+ 知 妒“卜2 - 1 ) ( 3 1 4 ) 【1 ，= ( 1 2 i c ，一1 ) ( ，+ 剃一l u d 一l + 2 i b r 1 ) 把原位势函数u 和v 映射为新的位势函数砧和，。 证1 ) 证明万和u 具有相同的形式。 设丁= 丁d e t t 且 c 瓦+ t u ) r = ( 羔：嚣；。2 箸；) c 3 ，5 ， 丁表示r 的伴随矩阵。容易验证石。( 名) ，z 2 ( 五) 和厶( 旯) 是力的2 + 1 次多项式， 厶( 力) 是五的2 n 次多项式当五= 名，( 1 歹2 n ) 时，利用( 3 2 ) 和( 3 1 2 ) 式，可 以得到一个r i c c a t i 方程 a 社= 1 + 2 i 亢j o j 一( u 2 j + 、o j 通过直接计算知，所有名，( 1 ，2 n ) 是厶( 五) ( s ，= 1 , 2 ) 的根，进而( 3 1 5 ) 可改写 成 1 6 第三章j a u l e n t - m i o d e k 方程的达布变换 ( 2 ：+ ，u ) p = ( d e t t ) p ( 2 ) 且p ( 五) 具有下面形式 跗十p 数渤 其中p ( 七，= 1 , 2 ，= o , d - 与五无关。所以方程( 3 1 6 ) 等价于 + t u = p ( 五) 丁 比较等式( 3 1 7 ) 中+ 1 和的系数，可以得到 p f l = 一p 磐= - i ，p 筹= 1 ， p 牡一p 黔一面i c n i - i x 一甜 p 2 = u ( 1 - 2 i c | 一1 ) ， p 2 = ( 1 2 i c n 1 ) ( v + 鲥一l z “) 一l + 2 鲤知一1 ) 将( 3 1 3 ) 和( 3 1 4 ) 式代入( 3 1 8 ) 一( 3 2 0 ) 式，有 p k o , = p 一( o = 0 ， p 譬= 豁，础= v 比较( 3 5 ) 式和( 3 1 7 ) 式，易得u = 尸( a ) 2 ) 证明矿和y 具有相同的形式。 ( 3 1 6 ) ( 3