（应用数学专业论文）三维boussinesq方程组大解的全局l2稳定性.pdf

本文讨论如下b o u s s i n e q 方程 摘要 t t v a n + ( u v ) t + v p = o f , 巩一# a o + ( v ) a = 0 ， v “= 0 口k ：o = ，u i ：o = t o ， 酬a n = 0 ，u i a o = 0 ， ( z ，t ) q ( o ，o o ) ， ( z ，t ) q ( 0 ，。o ) ， ( z ，t ) n ( o ，o 。) ， ( 0 1 ) q ( z ，t ) 1 9 qx ( 0 ，。o ) q 是冗3 中的区域，未知向量函数= ( 毛t ) 表示流体速度，未知函数0 = 口( 而t ) ， p = p ( z ，t ) 分别表示温度与压力函数，= ，0 ，t ) 为已知外力函数，u o = t o ( z ) 与= 如( z ) 分别表示初始速度与初始温度，常数p2o ，p 0 分别表示流体粘性系数和导热系 数 本文对三维有界及无界区域上的b o u s s i n e q 方程的全局口稳定性进行了讨论。在解满 足适当的条件下，证明了此解为稳定的，并得出此稳定性条件的等价性条件，最后得出 了二维b o u s s i n e q 方程组在三维扰动下的解的全局存在性和稳定性 关键词：b o u s s i n e s q 方程组，强解，稳定性 a b s t r a c t w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gb o n s s i n e e qe q u a t i o n s t t v a n + v n + 7 p = 口， 巩一# a o + ( t v ) 0 = 0 ， v - n = 0 酬t ：o = 0 0 ，i t ：o = u o ， 卅a n = 0 ，t l a n = 0 ， ( z ，t ) e q ( 0 ，c o ) ， ( 写，t ) q ( 0 ，c o ) ， ( ，t ) q ( o ，c o ) ， ( 0 2 ) z n ( z ，t ) a n ( 0 ，c o ) qi sad o m a i no f 舻，t h eu n k n o w nf u n c t i o n sn = t ( 霉，t ) ，0 = 一( z ，t ) a n dp ：= p ( z ，t ) a r e t h ev e l o c i t yf i e l d t h es c a l a rt e m p e r a t u r ea n dt h es c a l 8 rp r e s s u r eo ft h ef l o wr e s p e c t i v e l y ，= f ( x ，t ) i st h ek n o w ne x t e r n a lp o t e n t i a l u o = u o 扛) a n d = 0 0 ( z ) a x et h ei n i t i a l v e l o c i t ya n dt e m p e r a t u r er e s p e c t i v e l y t h ec o n s t a n t sy 0a n d 弘0a r et h ev i s c o s i t y c o e f f i c i e n ta n dt h et h e r m a le x p a n s i o nc o e f f i c i e n to ft h ef l o wr e s p e c t i v e l y i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yt h eg l o b a ll 2s t a b i l i t yf o rl a r g es o l u t i o n st ot h eb o n s s i - n e s qe q u a t i o n si nt h r e e - d i m e n s i o n a lb o u n d e do ru n b o u n d e dd o m a i n s u n d e rs u i t a b l ec o n - d i t i o n so ft h el a r g es o l u t i o n s i tw 嬲s h o w nt h a tt h el a r g es o l u t i o n sw e r es t a b l e a n dw e g o tt h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o no ft h i sm a i ns t a b i l i t yc o n d i t i o n m o r e o v e r ，t h eg l o b a le x i s - t e n c ea n dt h es t a b i l i t yo ft w o - d i m e n s i o n a lb o u s s i n e s qe q u a t i o n su n d e rt h r e e - d i m e n s i o n a l p e r t u r b a t i o n sw e r ea l s oo b t a i n e d k e yw o r d s ：b o u s s i n e s qe q u a t i o n s ，s t r o n gs o l u t i o n s ，s t a b i l i t y 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下。独立进行研究工作所 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表 或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：寿赧j 兮 日期：2 0 0 7 年5 月1 2 日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论 文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文用于非 赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有 关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后 适用本规定。 学位论文作者签名：套善灿备 日期：2 0 0 7 年5 月1 2 日 1 第一章引言 1 第一章引言 b o m s i n e s q 方程是流体方程中一类重要的数学模型它是流体速度场与温度场耦合而 成的方程该方程在天气预报，海洋生态等领域都有重要的应用背景本文主要讨论如 下b o u s g m e s q 方程 0 ，0 n ( 0 ，o o ) ， ( z ，t ) q ( 0 ，) ， ( z ，t ) n ( 0 ，) ，( 1 1 ) n t ) 触( 0 ，o o ) q 是j 护中的区域，未知向量函数t i = u ( z ，幻表示流体速度，未知函数0 = o ( x ，t ) ， p = p ( x ，t ) 分别表示温度与压力函数，f = y ( x ，t ) 为已知外力函数，u o = 咖( z ) 与0 0 = 岛( z ) 分别表示初始速度与初始温度，常数工，0 ，卢20 分别表示流体粘性系数和导 热系数b o u s s i n e s q 方程与流体方程中的n a v i e r - s t o k e s 方程及e u l e r 方程有着密切的 联系。当温度为零时，( 1 1 ) 即为n a v i e r - s t o k e s 方程我们知道，n a v i e r - s t o k e s 方程 与e o u l e r 方程是描述流体运动的基本方程，其中关于三维n a v i e r - s t o k e s 方程强解的整体 存在性及弱解的唯一性仍是著名的未解决问题与n a v i e r - s t o k e s 方程及e u l e r 方程相比 较，b o u s s i n e s q 方程多了一个未知温度函数，且温度与速度和压力之间存在着复杂的非线 性关系从热动力学可知，任何运动都会产生热最即有温度，而且温度与速度和压力之问必 定互相转化，因此对该非线性系统的研究更具有实际意义，也更富有挑战性， g p o n c e ，r r a c k e ，t c s i d e r i s 和e s t i t i 证明了三维n a v i e r - s t o k e s 方程的强解的 全局稳定性他们在给初值一定的假设条件下证明了在有界区域及无界区域上n a v i e r - s t o k e s 方程的强解的全局稳定性，还得出了稳定性的主要条件v u l 4 ( ( 0 ，o 。) ；l 2 ) 与条 件u l q ( ( o ，o 。) ；l p ) ，_ 2 + ：3 = 1 ，3 p o o 是等价的，而且也得出了三维扰动下非强迫二 维强解的全局存在唯一性和稳定性( 见参考文献 1 6 1 ) 2 0 0 1 年赵春山和李开泰把大解的 全局l 2 稳定性的相应结果做到了三维m h d 方程组上，在那里得出的稳定性的等价性条件 时，给速度场和磁场都加了条件( 见参考文献2 6 i ) ，关于n a v i e r s t o k e s 方程组的衰减性 质可参考文献( ( 3 1 ，【4 1 ，【9 】，【1 0 ，f 1 2 】，1 1 4 ，【1 7 】， 2 0 1 ，【2 2 】，【2 3 】) 关于解的存在唯一性及正则性 可参考文献( f 7 1 ，i s l ，f l l l ， 2 1 1 ， 2 5 1 ) 本文将n a v i e r - s t o k e s 方程的强解的全局稳定性的相关结果推广到b o u s s i n e s q 方 程但是，由t b o u s s i n e q 方程组中的第一个方程里含有0 与，的描合项，而这一项不能 象n a v i e r - s t o k e s 方程那样为了简便，在某种情况下不妨取作零左处理凶此b o u s s i n e q 方 程组处理起来要比n a v i e r s t o k e s 方程， i 难的多我们知道在做m h d 方程组大解的 全局稳定性时，为了方便，在某种情况下也不妨把外力取作零去处理但是在处 理b o u s s i n e s q 方程组时不能取外力为零。否则就与n a v i e r - s t o k e s 方程没有太大的区别了 与m h d 方程组得出的结果相比较，在本文定理2 中的等价性条件这一结果中，我们只给速 度场加了条件，没有给温度加条件这也印证了这样一个事实，b 1 b o u s s i n e s q 方程组的正 则性主要是由速度场所决定的 在本文中，我们将始终假设qcj 产是边界a q 一致e 3 类的区域，运用h e l m h o l t z 投影算子p ：铲( q ) l 一日到问题( 1 1 ) ，其中h = f c 铲( q ) ，v t = o 在铲( n ) 中 的完备空间这样我们将问题( 1 1 ) 其变为问题：( 在本文中，为了方便起见，我们不妨 取p = 1 ，i = 1 ，且均以| 1 i i 表示l i 忆。) ( z ，t ) q ( 0 ，o o ) ， ( z ，t ) n ( 0 ，o o ) ， ( z ，t ) q ( 0 ，o 。) ， z q ( z ，t ) a q ( 0 ，o o ) ( 1 2 ) 这里a = 一p 为s t o k e s 算子，并且记d ( a ) = h 2 ( q ) n k v = 础n h 其中日2 ( n ) f 咖啪 怕训 睾睾一 一一一一一 晰 扎辫 v 训 以 m叭札两乩时一怕 2 0 0 7 年首都师范大学硕士学位论文 和哪( q ) 表示在n 上的一般s o b o l e v 空间易知，若n 为有界区域或在某一方向有界的区 域，下面的p o i n c a r e 不等式即：对任意9 础( q ) 有 成立 2 圳s c | | v 引( 1 3 ) 2 第二章主要结果 2 第二章主要结果 定理1 ：设口工麓( i o ，) ，v ) n 磁( 【o ，) ，d ( a ) ) ，p l l h o o ( 【0 ，) ，硪( n ) ) n 工乙( 【o ，) ，日2 ) 为方程( i i ) 在初值为口( ，0 ) = v o k 巩( ，0 ) = 0 1 0 和外力 ( ，t ) 三一( n ) 条件下的强解，且满足 v v ( t ) 1 1 4 + i i v o x ( t ) 1 1 4 d t 0 ，使得如果u o kf l 4 ( o ，o o ) ，工”( q ) ) ，并且 “ v u o w e l l 2 + i l v e o v o x o l l 2 + i l v e l l l 2 i v 一，1 l l 羔。( n ) d r 0 使得，如 果u o e f l 1n ( 【o ，o 。) ，l o o ( q ) ) ，并且满足 i i 撕一t 1 0 | | 备- + i l e o o l o t i 备- + i l e l l ，一 l l l 一( n ) + l l 口1 | | 2 i i f 一 1 1 2 。( n ) d t 覆 ( 2 4 ) j 0 则方程( 1 2 ) 存在唯的以( “o ，e o ) 为初值，以伪外力的全局强解，而目还存在m = m ( 6 ) ，当j 一0 时m ( 5 ) 一0 使得 t s u p o ( 1 i b ( t ) 一口0 ) 1 1 日- + l i e ( t ) 一o l ( t ) l l h ，) f ( 6 ) ( 2 5 ) 定理2 ：假设n 为三维全空间舻或为满足( 1 3 ) 式的三维区域，并r 外力 工2 n l 4 ( o ，) ，l ”( n ) ) 对于方程( 1 1 ) 的如定理1 中所描述的强解来说，条件 l v v c t ) 1 1 4 + i i v o l ( t ) 1 1 4 d t 0 ，当0 s st l 时 啊吣) 2 + l i v e ( s ) 2s ( 暴) 成立 8 ( 3 2 5 ) 3 第三章定理的证明 因此，( 3 2 3 ) 意味着对8 茎t l 有 ( s ) + 娑_ i l ( s ) sc ( 1 l w ( 8 ) 1 1 4 + i i v e l ( s ) 1 1 4 + l i f ( s ) 1 1 4 ) ( s ) + l l v e l ( s ) 1 1 2 i i f ( e ) 一1 1 ( s ) 1 1 2 0 。】， ( 3 2 6 ) 从而通过广义g r o n w a l l 不等式，对0 s t l 有 ( s ) 童e 一譬( ( o ) + g l i v e l i l 2 i i f 一 1 1 2 。) e c j fi l v v ( r ) l l + v 巩( r ) + ，( f ) 打 ( 3 2 7 ) 成立进而由( 3 2 4 ) 式可以推得，对所有0 曼5 t l ，均有 ( 8 ) s ；( 易) 成立这样我们 推得【3 2 5 ) 式在h ( o 的整个定义域上成立 因为由i i v 蛳1 1 2 + i i v e o l l 2 + ( j i i v e l ( r ) 1 1 2 ) ( | l ，p ) 一f l ( r ) 1 1 2 。) d r 五 所以通过假设j 铲l i w ( r ) 1 1 4 + i i v e l ( r ) 1 1 4 d r 0 均成立 1 2 f 3 4 6 ) 3 第三章定理的证明 对( 3 5 ) 式，当0 为一般区域时，对 一矗作如下估计 l i ； _ _ 墨 - s s s i 毛j = - - s - s l 如i = 5 一 f 1 4 f = s s i p ( ( v ) ) a w l j n ， l 细v ) w - a w i c l l w i l l 6 1 v i l 3 i i a w f c i | i i p 【| i v ”l | i ( 1 1 4 t l ，i | + i w i l ) l l l a w i c i i v w l l g i l a t ”i i i + c l i v ”i i # i i t n l l 1 1 a w l l c , i i v w l l 6 + 4 1 a , j i l 2 + g l l v w l l 3 1 1 t o l i + e t l a w l l 2 c , l l w l l 6 + - 警( i l w i l 6 + i i , u 1 1 2 ) + 2 刮l a t l i i l 2 c ( 1 l v w l l 6 + 1 1 w l l 2 ) + 2 e l | a 1 1 2 ，( 3 4 7 ) t p ( ( 叫v ) ”) a w i j n ， if v 扣a w i c i i o i i l i i w i i l i a w lj c v 。i | l i v t | ，l l ( 1 | 以i i + l i 叫| i 言) 川a 叫| | c l i v v l i i i v , , , i i i i a , , , i i + c l l v ”川i v 叫j i ”伽i j i l a 叫| i c , l l v , , 1 1 4 i l v w l l 2 + e i i a , , , 1 1 2 + c d i v v l l 2 i l v w l l l l lj + | i a “2 c , l l v v l l 4 i l w l l 2 + 等( 1 l v ”1 1 4 i l v w l l 2 + 1 1 w l l 2 ) + 2 s f f a f 1 2 c ( 1 l w , 1 1 4 i i v , i ，1 1 2 + 1 1 w l l 2 ) - i - 拈l l a w l l 2 ， t p ( 和v ) w ) a f j l j ， i ( ”v ) w a wj i i v l l l , i i v w l i l s i i a w l i c i i v 训川i v 叫i | ( 1 l a l l 吉+ | | 叫l l ) a l c ( 1 l v v l l 4 i l v w l l 2 + 1 1 w l l 2 ) + 2 e l l a w l l 2 ，r 3 4 9 ) i v ) e a e l c 1 1 w i i l * i i v e i i i i a e i l g 川v ”l i ( 1 i a w + 1 1 w l i ) i l i v e i i t l a e i l g l i v 叫l l 言i i a l i i i v e i e i i + e l l v 埘i i | | l i v e e l | c i i v e i l 2 l w i l l l a l j + i i a e i l 2 + c , i i v e i l 2 i l v w l l l l w lj + i i a e i l 2 c , i i v e i l 4 i l w l l 2 十；- i i a o i i 2 + 警( 1 l v e i i 4 i i v 1 1 2 - 1 - i | 2 i i ) + 2 e l i a e i l 2 c ( i i v e i l 4 i i v , , , 1 1 2 + i l 2 i i ) + ；i i a w i t 2 + 2 i | e i l 2 ， ( 3 5 0 ) 1 3 2 0 0 t 2 f 首都师范大学硕士学位论文 1 4 如i l ( t l ，v ) 巩a e i sc i i ”i i l i i v o d l i i a e i i sc 川v 1 l ，| | ( i i a t d 考+ i i t e ，i l ) 川v l i e = e f | v | | l i a i l | i v 口1 川l e i | + c l l v w l l 1 1 w l i i i v o h i i i a e i i sc 4 w o d l 2 i l v w l l l l a w l l + e i a e i p 2 + c ：| i v 口l i l 2 i l v w l l l l w l l + e l l e i l ：2 c 。l w o d l i l w l l ：2 + ! a ”1 1 2 + - 警( 1 l v 0 1 1 1 4 l l w l l 2 ：+ l i i 2 ) + 2 i i a e i 2 sc ( u w d u w l l 2 + j j t | ，2 ) + j j a 1 1 2 + 2 科j 凹1 1 2 ， ( 3 5 1 ) 矗i = l 上”，v e - e i i 扣i f l 。j l v e i i l 。i i e l l sc i i v 移i v f | | 考( i i 曰| i + l i e | i ) 川e l i = c l l w l l l l v e i l i i e i | i + g | | v 口i v e i i i i e i i i i a e i i c , l l v v l r 4 i w e h 2 + e l i a e i l 2 + c ：i i v 口1 1 2 ；i i v e i i i i e i i + e l i a e i i ：2 sc ( 1 l w l f 4 l i v e 1 2 ；+ i i e i | 2 ) + 2 叫l e l l 2 ， ( 3 5 2 ) l 7 i = l p ( e i + 口l ( ，一 ) ) a w l j n ， ifp ( e j 1 a w l + i p ( 口l ( ，一 ) ) a w 1 j j “ ， i e ，a w ，l + i 口l ( ，一，1 ) a w 。l se l f l l l * l i ，i a ”+ c l l e , h i i f 一，1 l m a i l g 川v e i i ( l e i | + i i e i l ) l l f l l l a w l j + g i f 巩l i l t f 一，l f | * f i a i l = c l v e i i l l e i f 自i i i i i i a i l + c l i v e i i i j e l j l i ，i a t l ，i i + c i i p h h i y 一 l i 脾l i a w l i sc 。i i v e i i i i 1 1 2 l i b e l l + s l l a w l 2 + c ：i i v e l e l ，1 1 2 + l l a w l l 2 + 仍p l l l 2 i i i 一 | 1 2 。+ e l l a w l 2 5 g i i ，| 1 4 i i v e i t 2 + f j 曰j | 2 + 詈( f i ，i | 4 i i v e i 2 + i f e | 1 2 ) + c ；f f 日l l l 2 1 1 i 一，1 1 1 2 。+ 3 1 1 a w l l 2 sc ( 1 l y l r 4 i i v e i l 2 + 口1 1 1 2 i l l 一 i f 2 。) + ；| l e i l 2 + 3 叫i a t ，1 1 2 3 第三章定理的证明 选择s 充分的小。这样我们就得到 j 杀( i l v ”1 1 2 + i i v e i l 2 ) + c o ( i i a 1 1 24 - i i z e i l 2 ) c l l l v w l l 6 + i i w l t 4 i l v w l l 2 + i w e l l 4 i i v t ，1 1 2 + l i w l i l 4 i i w , 1 1 2 + l l v t ，1 1 4 i i v e i l 24 - i i f l l 4 i i v e i l 2 + l i , d 1 2 + i i e i l 2 + i i o lj | 2 i i f i , i i i 。j c ( 1 l w l l 2 + l i v e i l 2 ) 3 + ( i l v v l l 4 - i - i i v o l i l 4 + l | ，1 1 4 ) ( i l v w l l 2 + l i v e i l 2 ) 4 - 1 1 w l l 2 + l i e i l 2 + i 1 0 1 1 1 2 | i ，一 1 1 2 。】 由于 所以 记 w , 1 1 2 + i i v e i l 2 c ( i i a 1 1 2 + 1 1 叫1 1 2 + i i e i l 2 + i i e i l 2 1 丢( 1 i v ”1 1 2 + i i v e i l 2 ) + c o ( 1 l w l l 2 + i i v e i l 2 、 sc ( j l v w l l 2 + i i v e l l 2 ) 3 + ( i j v ”j j 4 + j j v l1 1 4 + i l f l l 4 ) ( 1 l v , , 1 1 2 + i i v e i l 2 ) + i l w l l 24 - i i e i l 2 + i i o l i l 2 i l l 一，l i l 2 。j ( 3 5 6 ) h ( t ) - i i v ( 0 1 1 2 + i i v e c t ) 1 1 2 和 m ：= ，舻| i 巩p ) i f 4 + i i v 一一) 1 1 4 + i l ，p ) l d r 因此，由( 2 4 ) ，( 3 ，4 6 ) 和( 3 5 6 ) 得到 ，( t ) + 岛h ( t ) c l h 3 0 ) + ( 1 l w ( 0 i i 4 + i l v o d 0 1 1 4 + i i f ( 0 1 1 4 ) ( t ) + l l e l ( 0 1 1 2 i i f ( t ) 一f d t ) 1 1 2 。4 - ( 5 m ) 2 】( 3 5 7 ) 选择6 充分的小，与定理1 ( i ) 的证明类似，可知定理1 ( i i ) 为真这样定理1 证毕! 定理2 的证明：我们先假设j l i v v ( t ) 1 1 4 + l i v 0 1 ( t ) 1 1 4 毗 o o 成立对于方程( 3 2 9 ) ， 我们可以类似于定理l 的证明得到( 3 3 2 ) 式对也，如，如作估计得到 丢( 1 l v ”o ) 1 1 5 + i l v o l ( 洲2 ) + c o ( i i a ”( 圳2 + i i z o l ( t ) 1 1 2 ) c ( 1 l v v ( t ) 1 1 4 + i t v o i ( t ) t t 4 + i i f 1 ( t ) 1 1 4 ) ( 1 1 w ( t ) 1 1 2 + i w 6 h ( t ) 1 1 2 ) ( 3 5 s ) 利用g r o n w a l l 不等式有 j i w ( t ) j 1 24 - w e d t ) 1 1 2 e e 片v ”( 7 ) 1 1 4 + i i v 巩( 7 ) 4 刊m ( r ) 4 打( 1 | v 伽1 1 2 + l i v e l 0 2 ) ， 从而 t s = u p o i i w ( t ) 1 1 2 + i l v e l ( 0 t 1 2 e c j 产l i 仇p ) 1 1 4 + i l v o l ( 订舻+ j | ( t ) 4 d c i i v 。b i l 2 + l i v e l o i l 5 ) ( 3 5 9 ) 1 5 2 0 0 7 年首都师范大学硕士学位论文 所以， 笛i l v v ( t ) 1 1 2 c o 对( 3 5 8 ) 式两边从0 到t 积分得， ( 1 l v v ( t ) 1 1 2 + i i v o , ( t ) 1 1 2 ) 一( 1 l v v o l l 2 + i i v 口l o i l 2 ) + 岛i i a v ( r ) 1 1 2 + i l 口l p ) 1 1 2 d r sc ( i i v , , 0 - ) 1 1 4 + i i v 口l ( r ) l | 4 十i i f l ( 1 ) 1 1 4 ) ( 1 l v v o ) 1 1 24 - l i v 0 1 _ ( r ) 1 1 2 ) d r ， 潞( 1 l w ( t ) 1 1 24 - i i v 0 1 _