（应用数学专业论文）一类椭圆方程共振问题解的存在性和多重性.pdf

西南大学硕士学位论文中文摘要 一类椭圆方程共振问题解的存在性和多重性奉 学科专业：应用数学研究方向：非线性分析 指导教师：唐春雷教授硕士研究生：柯晓峰( s 2 0 0 5 0 9 6 8 ) 本文主要考虑如下椭圆方程 摘要 ( p ) 一p t l = 入1 i u f p 一2 u + 9 ( 名，u ) 一 ( 。) 茹q 【u = o z a q 其中p 1 ，p u = d i v ( | v 缸i p 一2 v u ) ，q 是r ( 1 ) 中一个有界光滑区域， 具 有一定的可积性，a l 是算子一p 在略妒( q ) 中从属于d i r i c h l e t 零边值条件的第 一个特征值，曰：豆r + 冗是c a r a t h e o d o r y 函数并满足 ( 9 1 ) i 按锱= o 对z q 一致成立 ( 9 2 ) 对任意常数m o ，都存在个函数l m 扩( q ) 使得对所有m 以 及几乎所有z q 有 l 夕( z ，t ) l l f ( z ) 在条件( 9 1 ) 下，问题( p ) 被称为共振于第一个特征值的椭圆方程共振问题 在本文中，通过考虑一类新的l a n d e s m a n _ l a 趵r 可解性条件，利用临界点理论讨论 问题( p ) 的解的存在性和多重性 定义函数 。，。、f 魁锦爱咝， t o 驰卜t 。蒹，o 丈三 其中g ( ，t ) = ：夕( z ，5 ) d s ，l 口 p 记 粤皤马( 刀，t ) 。墨! 竺! 竺2 ，粤! ! 晋局( z ，t ) = 瓦西习 基金项目：国家自然科学基金资助项目( 1 0 7 7 1 1 7 3 ) 西南大学硕士学位论文 中文摘要 恻岛( z ，。) 2 垦l 兰! 二竺! ， 1 罂卓普( z ，。) = 日( z ，+ o 。) 对z q 一致成立当口= 1 时，简记f ( z ，t ) = f 1 ( $ ，t ) 本文的主要结果如下 定理1 假设 妒( q ) ，9 是c 缸a t h e 0 ( 1 0 巧函数且满足条件( 9 1 ) ，( 9 2 ) ，且或者 f ( z ，+ o o ) ，f ( z ，一o 。) 汐( q ) 使得 上取两咖如 。一1 ) 上 ( z ) - ( z ) 如 上丛趔砂如 ( 1 ) 或者f ( z ，一o o ) ，瓦瓦干可( q ) 使得 f ( z ，+ o o ) 九如 o 且 ，s z 则问题( p ) 在中至少存在一个解 此外，假设 ( 酬。骧躺= n o ； 一上嗣钟如 。 ( 3 ) 一上丽硝如 。 。缘貉= 而 定理3 假设危= o ，夕是c a u r a t h e o d o 秽函数并满足条件( 9 1 ) ，( 9 2 ) ，( 9 3 ) 且 d 0 ，d 0 o ，t h e r ee 地t 8af i m c t i o nl m 驴( q ) s u c ht h a t 9 ( z ，t ) i l 肘( z ) i f ( 9 1 ) h o l d 8 ，p r o b l e m ( p ) i 8c a l l e dt ob ee u i p t i ce q u a t i o nr e s o n a n ta tt 1 弛丑r 8 t e 遮e n w d u e i i lt h i sp a p e r ，b yc o n s i d e r i n gan e wl a n d e s m a n l a l z e r _ 七y p es o l 、，a 南i l i 锣 c o n d i t i o n ，w ed i s c u s 8e x i s t e n c e8 n d 瑚【u l t i p l i c i 锣0 fs o l u t i o l l so fp r o b l e m ( p ) v i ac r i t i 嘲 p o i n 七t h e o r y d e 丘n e 驸，= 麓瑟，= w h e r eg ( z ，t ) = 后夕( z ，s ) c i s ， 1 q p 1s u p p o f t e d b yn a t i a ln a t u r 甜s c i 朗c ef o 眦d a t i o no fc h i n n o 1 0 7 7 1 1 7 3 ) i 西南大学硕士学位论文英文摘要 a n ds e t 烛g 局( z ，t ) 5 垦鱼! 竺! ， 恻酵日( z ，t ) 2 墨生：二竺! ， l i i n s u p 局( z ，t ) = 岛( z ，一) u n 渤r n d yf o rz q t 一 l i m s u p 舀( z ，t ) = 日( z ，+ o o ) u n 渤r i i l l yf o rz q t + + w h e ng = 1 ，d e n o t ef ( z ，t ) = f 1 ( z ，t ) f o rs h o r t t h em a 垃r e s u l t so ft h i sp a - p e r 解ef 0 h o w i i l gt h e o r e i 璐： ， t h e o r e m1a 胬u m et h a t 扩( q ) ，夕i 8ac 村a t h e o d o 珂f u n c t i o n 雠d8 a t i s 丘髑 一， ( 9 1 ) ，( 9 2 ) ，m o r e o v e r ，e i t h e rf ( z ，+ o o ) ，f ( z ，一o o ) 口( q ) s u c ht h a t 正取两加如 ( p 一1 ) 五h ( z ) ( z ) 如 正，n，n，n 一， f ( z ，+ o o ) 驴( q ) s u d lt h a t 上瓦嗣如 。 o r 局( z ，一) ，局( z ，+ o o ) l ( q ) 8 u 出t h a t 上墨型鹋如 。且一上硒币础出 。 ( 3 ) ( 4 ) f o rs o m e 口【1 ，p ) t h e np r o b l e m ( p ) a tl e 够te x i 8 to n e8 0 l u t i o ni 1 1w h la d d i t i o n ，w e8 u p p o s et h a t ( 引。骧锱= 。骢锱响 t h e o r e m3a 鹃u m et h a t = o ，9i 8ac a r a t h e o d o 巧f u n c t i o na n ds a t i s 丘豁( 9 1 ) ， ( 9 2 ) ，恼) w i t h 印，而 1 ，p u = d i v ( i v 乱i p 一2 v 乱) 表示p l a p l a c i a n 算子，9 ：豆巩一睨是一 个c a r a t h e o d o r y 映射，q 是r ( 1 ) 中一个有界区域，具有光滑边界a q 记 = 嘣伊( q ) 是著名的被赋予范数l = ( 如i v u l p 如) 刍的s o b o l e v 空间a 1 是 一p 在w 中从属于d i r i c h l e t 边值条件的第一个特征值，a 1 是单重的并有一个特 征函数妒1 o ，而且厶媚如= l ，入2 定义为 a 2 = i n f a a 1 ；a 是算子一p 在b a n a c l l 空间蝣护m ) 中的特征值 此外，广为所知：中存在一个子空间y 与仇) 相补即使得= 1 ) ok 并且存在常数x a 1 使得 ，产 i v 钆i p 如页i u i p 如，vt k ，1 2，s z 当p = 2 时，我们可取天= a 2 ，即一在础( q ) 中的第二个特征值 西南大学硕士学位论文 文献综述 我们假设 ( 9 1 ) i 概糕= o 对z q 一致成立 在条件( 9 1 ) 下，问题( p ) 被称为在无穷远处共振于第一个特征值的椭圆方程 共振问题，这个问题的可解性已经为许多人所研究( 参见【5 】- 【1 5 】及其参考文献) 最近，一种新的l a n d e s m a n 吨a z e r 型可解性条件在f 1 6 】中被给出用于讨论两 点边值问题，随后，这个结果被推广到半线性( 1 2 】) 和拟线性( 【7 】) 椭圆共振问题， 它们都讨论g ( z ，) = 9 ( ) 的情形【7 】中的主要结果如下： 定理a ( 【7 】) 假如h 汐( q ) ，夕c ，r ) 且满足( 9 1 ) ，同时或者 f ( 一o o ) 加( z ) 如 p 一1 ) 九( z ) 咖1 ( z ) 如 f ( + o o ) 九( z ) 如， ，n，n ，n 或者 f ( + o o ) 咖1 ( z ) 如 p 1 ) 危 1 ( z ) 出 f ( 一o o ) 咖1 ( z ) 如， ，n - ，n 一，n 成立，其中 坦翌磐f ) 21 趔1 翟兰罂f o ) = f ( 一。o ) ， 担璋螬f ( 。) 21 幽1 粤辜普f ( t ) = f ( + 。o ) ， 且 、，趔孥她， t o ， f ( t ) 2 t 白一t l 冶( 毒， l ： 二： 那么问题( p ) 在w 中至少有一个解 在本文中，我们在两个方面对函数f 作形式推广：一方面，参数从l 扩展到 【l ，p ) 中的任意一个值；另一方面，函数从自治的到非自治的，即 f ，。、，趔锦爱业， t o ， 其中1 口 l 的情形，( 2 l j 利用一个三临界点定理首次给出了一 个解的多重性结果 本文中，定理1 和定理2 将深入研究函数日( z ，t ) 的性质，分别探讨问题( p ) 在危o 和 = o 时解的存在性；而后通过考查跳跃非线性项和运用【2 2 】中介绍 的截断方法对于问题( p ) 在危= o 的情形下得到一个解的多重性结果，即定理3 2 西南大学硕士学位论文第2 章预备知识 第三章预备知识 山路引理( 见文献【4 】) 设e 是实b a n a 出空间，j c 1 ( e ，r ) 满足( p s ) 条件， 又设存在e 中原点口的邻域u ，z o 隹u ，以及常数p ，使得 了( 秽) ，- ，( a 孙) 口：= m a x j ms r 那么泛函，有临界值c 6 进一步，c 可表示为 c ：2 骠躐歹( ，y ( t ) )一r a “屏 。1 其中 a ：= n c ( 研，e ) ：7l 岛= l d ) 极小作用原理( 见文献【2 3 】) 设e 是自反b a j l a c h 空间，j 是定义在e 上的弱 下半连续泛函，如果了是强制的，则j 在e 上达到极小值 使用变分法过程中，与问题( p ) 对应的c 1 泛函为 垂( u ) = 刍上i v u i p 出一鲁上m p 如一点g ( z ，u ) 如+ 上舰如， 地 其n e d l e t 导数为 ( 西缸) ，t ，) = 上l v u r 2 v 伽出一zm p 2 伽出一zg ( z ，u ) t ，出+ z 砌如， 讹，t ， 此时，问题( p ) 的解对应于泛函圣的临界点，即圣，( 弘) = o 的解， 3 西南大学硕士学位论文主要结果 第四章主要结果 4 1 椭圆共振问题解的存在性 记 蚀瓣日( z ，t ) 。墨鱼! 竺! ，1 罂! 普局( z ，t ) = 玛( z ，一o o ) 燃日( z ，。) 5 墨垒! = 竺! ， 罂王普蜀( z ，t ) = 局( z ，+ o o ) 对z q 一致成立当g = 1h 寸 简记f ( z ，t ) = 凡( z ，t ) 定理l 假设九( q ) ，函数夕是c a r a t h e o d o 搿函数且满足条件( 9 1 ) 和 ( 9 2 ) 对任意常数m o ，都存在一个函数l m 妒( q ) 使得对所有m 以 及几乎所有z q 有 1 9 ( z ，t ) i 厶 f ( z ) 同时或者f ( z ，+ o o ) ，冠i = 两驴。( q ) 使得 上瓦两九如 ( p 一1 ) 上九( z ) t ( z ) 如 z 丛趔出 ( 1 ) 或者f ( z ，一o o ) ，取i 石可护。( q ) 使得 上瓦i 砩如 o ，然后令九= o 及9 ( z ，t ) = 后( t ) ( 鳄一丁b ) ，其中 f 1 ， t o ， 七( t ) = 2 t + l ， 一1 t o ， 【一1 ， 一1 显然，9 和危不满足【16 1 和【7 】中的假设，但是容易验证葡瓦= 可= ( 1 一p ) ( 鳄一 匍) ，f ( z ，+ o 。) = 一1 ) ( 鳄一两) ，这蕴含夕和 满足定理1 的假设。 定理2 假设 = o ，夕是c 缸a t h e o d o r y 函数且满足( 9 1 ) ，( 9 2 ) ，以及存在口【l ，p ) 或者墨生! 竺2 ，瓦瓦司l ( q ) 使得 正玛( z ，+ ) 钟如 o 且一瓦石j 磊m 如 o ( 3 ) ，n ，n 。 一 4 西南大学硕士学位论文主要结果 或者如( z ，一o o ) ，瓦瓦嗣l ( q ) 使得 - 厶塑兰型鹋出 o 且一厶目( z ，+ 习蠼如 o ( 4 ) - ，n 一 ，n 则问题( p ) 在中至少存在一个解 4 2 椭圆共振问题解的多重性 首先假设 ( 9 3 ) 。嘛锱= 蚓。味糕= 而 定理3 假设 = o ，曰是c 缸a t h e o d o 巧函数且满足条件( 9 1 ) ，( 9 2 ) ，( 9 3 ) 且 幻，如 o ，此外，9 ( z ，o ) = o ，同时存在g 【l ，p ) 使得( 3 ) 成立则问题( p ) 在 中至少存在两个非平凡解 注2 事实上，存在函数9 满足定理3 的条件例如，下。如注l 中所取，对任意 1sg p ，令 9 ，t ) = q l t i 口_ 1 ( 钟一伯) ， t 1 ( 2 2 ) 8 0 l l p 一2 + ( 2 一1 ) 垡( 媚一g 一匍) ，t l 0 0 i t i p _ 2 t ， ost ； 幽i t l p 一2 ，一；s o ( 2 t + 2 ) 如j tj p 一2 t + ( 2 t + 1 ) g ( 钟一9 一丁b ) ， 一1 t 一； g 悻j g 一2 t ( 姨一9 7 ，0 ) ，t 一1 ， 其中印，南 o 使得对 m 及几乎处处z q 有 i 夕( z ，t ) i 6 i t l p 一1 + 己 如( z )( 5 ) 于是 i 上9 ( z ，u ) t ，如i 正 6 m p - 1 + l 胁( z ) 川如s 等酽- 1 i i + 仍岫ov 钞( 6 1 如果i i 嘶j | _ + o o ，若记嘶= 南，则存在加使得一伽( ) ，嘶一 伽( 妒( q ) ) ，且对几乎处处z q 有哟( 。) 一叫( z ) 由此式，h 6 l d e r 不等式，以及( 6 ) 可知 上i v 嘶r 2 v 嘶v c q 一叫，出：垒掣+ 上a 。l 嘶r z 哟c 嘶一加，如 + 而赤可 上夕( z ，) ( 一加) 出一上 ( z ) ( 吻一t t ，) 如+ 而孤再【厶夕( z ) ( 一加) 出一厶 ( z ) ( 吻一埘) 如j 且 上l v 加r 2 v 锄v ( 哟一t u ) 如_ 。 于是 上【i v 哟i p _ 2 v 哟一i v t l ，i p _ 2 v 叫v ( 吩一埘) 如_ 。 ( 7 ) 此外，我们已知对任意，叩冗，当p 2 ， ( k i p 一2 善一i 叼i p 一2 ，7 ) ( f 一，7 ) c 一t 7 ) p ( 8 ) 当1 p 2 ， ( 悖i p 一2 毒一l 叩l p 一2 功( 专一7 ) g ( 1 + i f i + i 刀i ) p 一2 垮一t 7 1 2( 9 ) 西南大学硕士学位论文 主要结果的证明 如果p 2 ，由( 7 ) 和( 8 ) ，我们有 l i 嘶一训i p c 上 i v 哟i p _ 2 v 哟一i v 训p 一2 v 叫v ( 一叫) 如一。 如果1 o 使得对几乎处处z q 有 脚脸 荽菇滚 同时，由h 6 l d e r 不等式我们有 i 上甜( z ) 哼如一点c ，( z ) t c ，+ 如is 上i 甜( z ) ii 时一伽+ i 如 上i 甜( z ) ii 嘶一训如一。 7 ( 1 0 ) 西南大学硕士学位论文主要结果的证明 及 上匹( z ) 町如一正匹( z ) ”一如i 上l 晖( z ) li 町一t t ，一i 如 上i 匹( z ) ii 屿一叫如一。 那么，由此式，( 9 2 ) ，和( 1 0 ) 可知 熙丛学 拦恐而知 z 粥( z ，吻) 一夕如，吻) 吻如一一1 ) 上 ( z ) 嘶如 熙上 硭( z ) 时一晖( z ) 町) 如一躲南z 坳s 地 ( p + 1 ) l 地( z ) + 甜( z ) 吻如 熙南上肌鄄。 ( p + 1 ) l 小) 吻+ 匹( 柏】如一( p _ 1 ) 熙志上) 吻如 上甜( z ) 咖如一白一1 ) 厶 ( z ) 九如 由e 的任惹性知 白一1 ) ( 。) l 如f ( z ，+ ) 九出 j nj n 这与( 1 ) 矛盾因此( 叼) 有界故垂满足( p s ) 条件 口 引理2 假设( 9 1 ) ，( 9 2 ) 和( 1 ) 成立，泛函西满足鞍点几何条件：即存在常数 r 0 o 和c 0 使得圣( 士r o 九) 一 + l l o 西南大学硕士学位论文 主要结果的证明 令t _ + 。o ，由( 9 1 ) 知，对t 尬和几乎处处z q 有g ( z ，t ) 譬掣t 类似的， 对t 一尥和几乎处处z q ，我们有g ( z ，t ) 芎字 于此，选择充分小的e 满足 上。i ( z ) 咖如 ( p 一1 ) 上危( z ) 咖出 o 使得 m ，f 焉擎vt 一他 g ( 毛d 1 眷。p ：喜爱5 p 一1 。 o 二“ 西南大学硕士学位论文 主要结果的证明 对于几乎处处z q 由( 1 1 ) 和( 9 2 ) 知 u 霉l 吻j 0 i l p 二。i i 哟胪 = 三上( i v 哟i p 一划嘶i p ) 出一丽扣上g ( z ，叼) 如+ 面扣上危( z ) 吻如 孙v 时呐如+ 南上( 掣町一警哼州柏) 如 + 南也肌( 也坳+ 掣吻) 如 + 南上。( 圳柏一臀蚓) 如 令j _ o o 得 l i m s u p ， i v 哟l p 如入1 ， i 训p 如 ( 1 2 ) j 一，n ，n 因为范数0 ：一r 是弱下半连续的，于是有 a 上p 如上i v 伽i p 如s1 豫簪上i v 嘶i p 如l t 霉p 上l v 嘶i p 如 ( 3 ) 结合( 1 2 ) 和( 1 3 ) ，我们有哟_ 伽( ) ，入l 厶i 训p 如= 厶i v 伽p 出，且忡0 = 1 ， 即有伽= 士也 不失一般性，取t | ，= 咖，则对几乎处处z q ，有吻( z ) _ + o 。此外，利用 h 6 l d e r 不等式我们可以验证 和 上铭( z ) 町出一上c f ( z ) t t ，一如l 上i c ? ( z ) ii 町一伽一i 如 s 上j c f ( z ) l i 屿一训如一。 上砧( z ) 财如一上砧( z ) 硼+ 如is 上i 砑( z ) ii 财一伽+ i 如 szl 钟( z ) li 哟一叫如_ 。 1 0 西南大学硕士学位论文主要结果的证明 由此式，( 1 1 ) ，以及( 9 2 ) 知 。熙谢熙 - 南上g c 蚋，如+ 志上，叫 熙南上( 等等可一警时+ c z ，吩) 如 + 慧南丘一( 也吻+ 警坳) 如 + 熙南，峨郅( 圳咖一搿蚓) 如 一上答纰+ 上m 如 由的任意性知 可再面咖l 如一1 ) 小( z ) 妒1 如 这与( 2 ) 矛盾因此圣强制 口 定理l 的证明在假设( 1 ) 下，由引理l 和引理2 ，我们可以利用f 4 】中的鞍点 定理得到一个临界点对应临界点值： c = i 啦墨禁圣( 7 ( u ) ) c o ， 1 au d 一 。 这里d ：= 卜冗0 ，】，a ：= 7 c ( d ，w ) i71 a d = i 母在假设( 2 ) 下，因为圣是弱 下半连续的，我们可以利用极小作用原理获得圣的一个全局极小值点 口 定理2 的证明证明方法类似于定理1 ，这里省略 口 下面我们讨论问题( p ) 在危= o 的情形下解的多重性首先，我们介绍问题 ( p ) 的截断问题，即 其中 我们定义泛函 ( t p ) 卜印“p 1 + “为由蚝q 【u = o z a q 州，= 如甾 圣+ ( u ) = 三zi v 缸i p 出一鲁上( 矿) 尹出一上g + ( z ，u ) 如， 地 四雨大学硕士学位论文 主要结果的证明 这里g + ( 。，t ) = 片夕+ ( 。，s ) d s 类似的，我们可以定义泛函西一 定理3 的证明首先，我们说明西+ 的每一个临界点是非负的假如u 是西+ 的一个临界点，在问题( t p ) 的两边同时乘以t 一且在q 上积分，我们可以推导出 u 一= o ，即对几乎处处z q 有u ( z ) o 因此u 也是西的临界点我们将通过三 步完成证明： 第一步西+ 满足( p s ) 条件 假设( 吻) 是( p s ) 序列，即i 圣+ ( 叼) f o 使得 1 9 ( z ，t ) i s i t i p 一1 + l 地( z ) ，v z q 于是 i ( ( 毗 ) l = i 上9 ( z ，u ) ，池i 上m p q + l 肌( z ) ) 危l 如等胪一1 i | + g i i 这蕴含 o k ( u ) i | s 孚+ q 1 于是 懈o 争u 妒1 + q 釉u 酽一+ q 因此 磬叫h o o 如果办：= i i 嘶i _ + o o ，则存在妒使得叻：= 尚一妒( w ) ，叻_ 妒( 妒( q ) ) 且对几乎处处z q 有叻( z ) 一妒( z ) 因此 上m 却删叻刊：掣 + 上a - ( 时) p 一1 ( 叨一妒) 如+ 皇! 铲_ 。 西南大学硕士学位论文 主要结果的证明 类似于引理1 中的讨论可知 叻_ 妒( 彬) 且俐l = 1 垒笋攀：上l v 叻r 2 v 叻v 一上时广2 时九如一坐篙磐旦，讹彬 得 上 v 妒i p _ 2 v 妒v 一上入( 矿) p - 2 矿，池= o v l l 令危= 妒一，知妒一= o ，即妒= 妒+ = 咖 v 0 ，记 甜( z ) = 垦生! 型一e ，西( z ) = 琢两+ 那么存在 o 使得 蜀( z ，t ) c 寸( z ) ，t 和 日( z ，t ) sd f ( z ) ， t 一 幻 于是可得 驸m r k 荽蒜i ：象风，甾 其中风= ( 0 甜+ i i 霹瑶+ i | 厶怯p i q l + ) 因此我们可知 菁鲣学：专上嘶蚓叫讷呐 _ 矿2 _ 季一 一 习厶p p 叼一7 峥呦，叼凹 2 上g ( 。，吻) 口如 正嘶) 谚如一筹 因为c 亨( z ) 谚si l c ? 怯甥，由黜o u 引理可以验证 1 密恕f 上甜( z ) 四如上c 寸( 。) 鹋如 西南大学硕士学位论文 主要结果的证明 则有 由的任意性知 这与( 3 ) 矛盾 。上甜( z ) 孵如 o 局( z ，+ o o ) 鹋如 ，f l 弟一步伊是虫+ b 可严糈局邵极小僵点 由( 9 3 ) ，夕( z ，o ) = o 及幻，d 0 o 知：对o 0 o 使得 a 0 咱s 籍n 0 恂，。 s 艿 且 而咱制d 0 + o 一5 8 。 因此 宇h p 半i s l p ，o s 6 且 字l s i p s g ( ”) s 半f s l p ，出s o 使得r 1 1 在的外面且圣+ ( ，1 1 ) 有g ( z ，t ) 譬竽伊类似的，对t o 使得圣+ ( r 1 1 ) o 于是我们利用【4 】中的山路引理得到圣的一个非负且非零的临界点u ，而且 由极大值原理( 【2 6 】) 可知u 是正的类似的，通过考虑泛函圣一，我们可以得到圣的 一个囟的临界点口 口 1 5 西南大学硕士学位论文 第4 章分析和思考 第六章分析和思考 还有一些值得我们思考和进一步讨论的问题： 1 仅在条件( 9 1 ) 和( 9 2 ) 下，能否保证问题( p ) 存在非平凡解? 2 能否在假设( 4 ) 下对于问题( p ) 在 = o 的情形下得到多个非平凡解? 1 6 参考文献 【1 1 陆文端，微分方程中的变分方法【m 1 ，北京：科学出版社，2 0 0 3 f 2 】s t n l w em ，v 赫a 专i o n a lm e t h o d s f m 】，n e wy o r k b e r l i n ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 0 【3 】k c c h a n g i n 丘m t e - 凼m e 璐i o n 出m o r s et h e o r ) ，a n dm 血i p l es o l u t i o np r o b l e m s p r o g r e 8 8 i nn o n l i n e a rd i 髓r e n t i a l le q u a t i o 璐a n dt h e i ra p p u c a t i o i l s ，6 b i r k 聪u 8 e rb o s t o n ，h l c ， b 0 8 t o n ，m a ，1 9 9 3 x + 3 1 2p p 【4 】p h 酝b i n o w i t z m i n i m a xm e t h o 凼i nc r i t i c 出p o 砒t h e o 珂w i t ha p p k a t i o n st od i 髓r e n t i a le q u a t i o 瑚c b m sr e g i o n a lc o 睡r e n c es e r i e si nm a t h e m a t i c s ，6 5 p u b l i s h e df o r t h ec o 耐e r e n c eb o a r do ft h em a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ，w 抽l l i n 昏o n ，d c ；b yt h ea m e r i c a n m a t h e m a t i c 8 ls o c i e 蚵，p r o v i d e n c e ，r i ，1 9 8 6 【5 】a a n a n e ；j p g o s s e z s t r o n g l yn o n h n e 醒e u i p t i cp r o b l e 脚n e a rr e s o n a n c e ：av a r i a t i o n 址 a p p r o a c h ，c o m m p ”d i 正e q u a 1 5 ( 1 9 9 0 ) ，1 1 4 1 1 1 5 9 【6 】d a r c o y a ；l o r s i n a l a n d e s m a n - l a rc o 疵眦i o 璐a n dq u 鼬n i i l e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ，n o i l l a n 缸t m a2 8 ( 1 9 9 7 ) ，1 6 2 3 1 6 3 2 f 7 】j b o u c h a l a ；p d r 磊b e k s t r o n gr e s o n 缸c e 五d r8 0 m eq u 粥n i n e a re l h p t i ce q u a t i o 瑚，j m a t h a n a l a p p l 2 4 5 ( 1 ) ( 2 0 0 0 ) 7 一1 9 【8 】d g c o s t a ；c a m a g a m s e x i 8 t e n c er 鹪u l t 8f o rp e r t u r b a t i 0 珊o ft h ep l a p l a c i 觚， n o n l a n a l t m a2 4 ( 1 9 9 5 ) ，4 0 9 4 1 8 【9 】p d r 铀e k ；s b r 0 b i 璐o n 王洒o n 觚c ep r o b l e 娜f o rt h ep l a p l a c i a n ，j 凡n c t a n m 1 6 9 ( 1 ) ( 1 9 9 9 ) 1 8 9 - 2 0 0 【l o 】a r e la m r o u s s ；m m o u s s a o u i m 妣n a xp r i n c i p l ef o rc r i t i c 甜p o i n tt h e o r yi n8 p p u c 舡 t i o 瑚t oq u 酾i n n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e i 璐，e l e c j d 征e q u a 1 8 ( 2 0 0 0 ) ，l - 9 【1 l 】x l n n ；z c l i l i 出n ga n de ) 【i s t e n c er e 8 u 蛔f o rp e r 七u r b a t i o 珊o ft h ep l a p l a u c i 姐， n o n h n e a ra n 甜4 2 ( 8 ) ( 2 0 0 0 ) 1 4 1 3 1 4 2 0 【1 2 】x p w h ；c l t m g s o m ee x j 8 t e n c et h e o r e m sf o re l u p t i cr 0 n a n tp r o b l 湖，j m a t h a n 甜a p p l 2 6 4 ( 1 ) ( 2 0 0 1 ) 1 3 扣1 4 6 f 1 3 】宋树枝，唐春雷拟线性椭圆方程共振问题解的存在性定理f j l 西南师范大学学报( 自 然科学版) ，2 0 0 5 ，3 0 ( 1 ) ：1 6 f 1 4 】w z o u s 远n c h 锄g i n gs a d d l ep o i n t j f 、l n c t a 且缸2 1 9 ( 2 0 0 5 ) ，n o 2 ，4 3 3 - 4 6 8 【1 5 】e a b s i l 、，a l i n k i n gt h e o r e m sa n da p p l i c a t i o n s 乞08 e m i l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m 8a tr 嘴争 n 锄d e n o n l i n e a ra n 越1 6 ( 1 9 9 1 ) ，n o 5 ，4 5 5 4 7 7 1 1 6 】c l 7 工姐g s o l 、r a b i h 锣f o rt w o - p o i n tb o l 朋d 哪v a l u ep m b l e m 8 j m a t h a n 8 1 1 a p p l 2 1 6 ( 1 9 9 7 ) ，n o 1 ，3 6 8 _ 3 7 4 1 7 【1 7 1g f e i m u l t i p l es o l u t i o 璐o fs o m en o n l i n e 缸s t r o n g l yr e s o n a n te m p t i ce q u a t i o 璐w i t h o u t t h e ( p s ) c o n 拙i o n j m a t h a n a l a p p l 1 9 3 ( 1 9 9 5 ) ，n 0 2 ，6 5 9 - 6 7 0 【1 剐w z o u ；l i u ，j q m l l l t i p l es o l u t i o 璐f o rr 骼o n a n te n i i ) t i ce q u a t i o 璐v i al o c a ll i n l 【i n g 七h 巧 a n dm o 璐et h e o 讲j d i f 6 e r e n t i 俎e q u a t 王。瑚1 7 0 ( 2 0 0 1 ) ，n o 1 ，6 8 9 5 【1 9 】w z o u m u l t i p l e8 0 1 u t i o n sf o re l l i p t i ce q u a t i o 璐w i t h 麟o n a n c e n o n l i m 缸a n a l 4 8 ( 2 0 0 2 ) ， n o 3 ，s e r a ：t h e 0 um e t h o d s ，3 6 3 _ 3 7 6 【2 0 】j b s u ；l g z h a 0 a ne l u p t i cr 朗o n 如c ep r o b l e mw i t hm u l t i p l es o l u t i o n s j m a t h a n a l a p p l 3 1 9 ( 2 0 0 6 ) ，n o 2 ，6 0 4 6 1 6 犯l 】j q l i u ；j b s u r e m 凹k so m u l t i p l en o n t r i v 试s 0 1 u t i o 璐l i 叩q u 鹊i - h n e 8 rr o n a n t p r o b l e m 8 j m a t h a n a l a p p l 2 5 8 ( 2 0 0 1 ) ，n o 1 ，2 0 9 2 2 2 f 2 2 js b l i u m u l t i p l es o l u t i 0 瑚蠡竹c o e r c i v ep l a p l a c i 8 ne q u a t i o 瑚j m a t h a n a l l a p p l 3 1 6 ( 2 0 0 6 ) ，n o 1 ，2 2 9 _ 2 3 6 2 3 】张恭庆，临界点理论及其应用匝硼，上海科技出版社1 9 8 6 【2 4 】k e ) ( i a o f e n g ，7 1 1 觚gc h u n - l e i e x i s t e n c eo fs o l u t i o nf o rp - l 印1 a c i 蛆e q u a