（应用数学专业论文）独立同分布环境中配对依赖人口数的两性分枝过程.pdf

太原胛1 人学硕十研究生学位论文 独立同分布环境中配对依赖人口数的两性分枝过程 摘要 由s m i t h 和w i l k i n s o n ( 1 9 6 9 ) 提出的随机环境分枝过程( b r a n c h i n g p r o c e s si nr a n d o me n v i r o n m e n t ，简记为b p r e ) ，是在经典分枝过程( 亦 称为g a l t o n - w a t s o n 过程， 简称g w 过程) 基础上，增加环境过程 鼻) 形成的，从而能更精确的描述物种繁衍、流行病传播等多种自然现象。 本文在这方面也做了一些初步的尝试。 首先，本文在分析了基于配对依赖人口数的两性分枝过程的相关概 念和主要结论的基础上，将独立同分布的随机环境引入到配对依赖人口 数的两性分枝过程，建立了独立同分布环境中配对依赖人口数的两性分 枝过程模型，使人口模型中个体间的相互作用以及受其它因素影响而具 有的某种相互依赖关系得以体现。 其次，给出了与该过程概率母函数相关的结论。证明了 p z o ) + p z 一m 卜1 在该过程中充分成立。 最后，重点研究并得出该过程在条件a 下灭绝概率小于1 的一个充 分条件和灭绝概率等于1 的一个充要条件。 分枝过程的另一个重要研究方向是过程的渐近性质，同样可进一步 i 太原理= 1 人学硕斗= 研究生学位论文 研究独立同分布环境中配对依赖人口数的两性分枝过程的渐近性质。 关键词：两性分枝过程，随机环境，独立同分布，配对依赖人口数，概 率母函数，灭绝概率 h 太原理t = 大学硕十研究生学付论文 b i s e x u a lg a i j o n ，a 1 1 s o nb r a n c h i n gp r o c e s s w i t hp o p u l a n o n s i z e d e p e n d e n tm a t i n gi n i n d e p e n d e n ti d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e d e n v i r o n m e n t s a b s t r a c t b yi n t r o d u c i n ga ne n v i r o n m e n tp r o c e s s 慨) i ng a l t o n w a t s o nb r a n c h i n g p r o c e s s ( a b b r e v i a t e d a sg wp r o c e s s e s ) ，b r a n c h i n gp r o c e s si nr a n d o m e n v i r o n m e n t ( a b b r e v i a t e da sb p r e ) h a db e e np u tf o r w a r db ys m i t ha n d w i l k i n s o ni n1 9 6 9 b p r ec a nm o r ep r e c i s ed e s c r i b em a n yk i n d so fn a t u r a l p h e n o m e n a ，f o re x a m p l es p e c i e sm u l t i p l i c a t i o n ，e p i d e m i cs p r e a d ，a n ds oo n w eh a ds o m ep r e l i m i n a r yt r i e so nt h e s ef i e l d si nt h i sp a p e r f i r s t l y ，o nt h eb a s i so f a n a l y s i si n t e r r e l a t e dc o n c e p t i o na n dp r i m a r y c o n c l u s i o n sa b o u tb i s e x u a lb r a n c h i n g p r o c e s s e s w i t h p o p u l a t i o n - s i z e - i i i 太原理工大学硕十研究生学位论文 d e p e n d e n tm a t i n g i n d e p e n d e n ti d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dr a n d o me n v i r o n m e n t s a r ei n t r o d u c e d i n t ob i s e x u a l b r a n c h i n gp r o c e s s e s w i t h p o p u l a t i o n - s i z e - d e p e n d e n tm a t i n g a c c o r d i n g l y , t h em o d e lo fb i s e x u a l g a l t o n - w a t s o nb r a n c h i n gp r o c e s sw i t hp o p u l a t i o n - s i z e d e p e n d e n tm a t i n gi n i n d e p e n d e n ti d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e de n v i r o n m e n ti se s t a b l i s h e d t h e i n t e r a c t i o no fi n d i v i d u a la n dac e r t a i ni n t e r d e p e n d e n tr e l m i o na f f e c t e db y o t h e rf a c t o r sc a nb er e p r e s e n t e di nt h ed i v e r s i f i e dp o p u l a t i o nm o d e l s e c o n d l y ，r e l a t e dc o n c l u s i o nf o rt h ep r o b a b i l i t yg e n e r a t i n gf u n c t i o n so f t h ep r o c e s sm e n t i o n e da b o v ei sg i v e n s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e df o r t h ee q u a l i t yp z - - o + p z 一) - 1h o l di nt h ep r o c e s s l a s t l y , t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw i t he x t i n c t i o np r o b a b i l i t yl e s st h a n1 a r e g i v e nu n d e rc o n d i t i o na a b o u tt h ep r o c e s sm e n t i o n e da b o v e an e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nw i t he x t i n c t i o np r o b a b i l i t ye q u a l1i so b t a i n e du n d e r c o n d i t i o na t h er e s e a r c ho ft h ea s y m p t o t i cb e h a v i o u ro fb r a n c h i n gp r o c e s s e si sa l s o v e r yi m p o r t a n t i ti sn e c e s s a r yt of u r t h e rs t u d yo nt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o u r o ft h ep r o c e s sm e n t i o n e da b o v e k e yw o r d s ：b i s e x u a lg a l t o n - w a t s o n b r a n c h i n gp r o c e s s e s ，r a n d o m i v 太原理_ 人学硕十：研究生学位论文 e n v i r o n m e n t ，p o p u l a t i o n s i z e d e p e n d e n tm a t i n g ，i n d e p e n d e n ti d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d ，p r o b a b i l i t yg e n e r a t i n gf u n c t i o n ，e x t i n c t i o np r o b a b i l i t y v 声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外。本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名：童1 1 丞红 日期： 关于学位论文使用权的说明 饥加7 岁易笙 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印 件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的， 复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) o 签名：壑l 丞焦 导师签名：21 1 1 生 日期：竺翌z ：丝 日期：塑：! ：竺 太原理 ：大学硕七研究t 学何论文 第一章绪论 1 1 本课题研究的背景与意义 经典分枝过程，一般又称g a l t o n w a t s o n 分枝过程( 简记为g w 过程) ，最早 由g a l t o n 和w a t s o n 在探讨英国贵族姓氏继承和消亡问题中于1 8 7 3 年建立起来的， 一个g w 过程可以描述为一个种群演化模型，在此过程中不同个体全部遵循同样的 概率分布律而独立的繁衍后代。用g w 过程来刻画一个种群的演化模型，给数学处 理以及实际模型的简化带来了很大的方便，雨在实际问题中个体闻繁衍后代要受到 多种因素间的相互作用，由此引入了各类分枝模型，从齐时的分枝过程到非齐时的 分枝过程；从g w 过程到随机环境中的分枝过程；从单型分枝过程到多型分枝过程， 这一领域的研究一直很活跃，且有相当多的成果问世。 由于自然界中的物种在繁衍过程中大多数个体都要受到彼此之间以及外界条 件的影响而具有相互依赖的关系，因而使得g w 过程在应用上存在很大的局限性， b p r e 的产生在某种意义上弥补了g w 过程因时齐性假设而造成的应用上的限制， b p r e 这一概念最早是由s m i t h 和w i l k i n s o n ( 1 9 6 9 ) 1 1 】提出来的。他们在一般g w 过 a t z 。) 的基础上，通过增加随机环境过程 ，建立了独立同分布环境中的分枝过 程，并在1 9 7 1 年推出了m a r k o v 环境中的随机环境分枝过程1 2 1 。同年，a t h r e y a 和 k a r l i n 【3 】1 4 】建立了平稳遍历环境中的随机环境分枝过程。k l e b a n e r ( 1 9 8 4 ) 1 5 l 提出了依 赖人口数的分枝过程，2 0 0 2 年，p e t e r 和h 同提出了适应 e ) 环境的分枝过程，其 中e 既可包含过程本身的历史，还可包含其它影响因素的信息。从而将以上所介绍 的各种随机环境统一起来。在此基础上，他们重点研究了一类恶化随机环境中的分 枝过程。 1 太原理工大学硕_ 寸：研究生学伊沦文 此外，注意到自然界中许多物种的后代繁衍必须由两种不同性别的个体构成 配对单元( 家庭) 来完成，d a l e y ( 1 9 6 8 a ) 1 6 1 建立了两性分枝过程( b i s e x u a lb r a n c h i n g p r o c e s s e s ，简称b b p ) ，它以配对单元为单位，依据一个相同的2 维分布独立地 繁衍下一代，从而将单性分枝过程扩展到两性分枝过程，使其研究结果更具广泛性。 随后两性分枝过程被进一步改进，特别是m m o l i n a e ta 1 ( 2 0 0 2 ) f 8 】引入了配对依赖 于人口数的两性经典分枝过程，它和别的模型的主要区别是后代繁衍规则的描述， 依这个描述，在任意代中现有的雌性和雄性个体按照某种恰当的配对规则形成配对 ( 或配对单元) ，该规则依赖于前代在当前的配对数，简而言之，配对函数依赖于 人口数而改变。m m o l i n ae ta 1 ( 2 0 0 4 ) 1 9 】研究了该过程的渐近性质，秦红霞1 1 0 1 引 入配对依赖于人口数的带移民的上临界的两性g a l t o n w a g o n 分枝过程，并研究了 其渐近性质。 无论是经典分枝过程还是随机环境分枝过程，无论是单性分枝过程还是两性 分枝过程，其研究的主要问题之一便是物种的灭绝或存活概率规律。s m i t h 和 w i l k i n s o n ( 1 9 6 9 ) 【1 l 对环境过程是独立同分布随机序列情形的灭绝概率进行了研究， 接着a t h r e y a 和k a r l i n ( 1 9 7 1 ) 1 3 1 1 4 1 对平稳随机环境过程情形的灭绝概率和极限理论 作了系统的研究，得到不少比较完美的平行结论。王汉兴( 1 9 9 7 ) 1 1 1 】对独立但不同分 布随机环境分枝过程的灭绝概率进行了研究。【1 2 】- 【1 5 】也均是研究各种分枝过程的 灭绝问题的。 对于b b p 来说，它也受到众多学者与科学文献( d a l e y ( 1 9 6 8 a ) “，h u l l ( 1 9 8 2 ) 1 1 6 1 ( 1 9 8 4 ) 1 1 7 1 ，b r u s s ( 1 9 8 4 ) 1 1 8 1 ，a l s m e y e re ta 1 ( 1 9 9 6 ) 1 1 针d a l e ye ta 1 ( 1 9 8 6 ) 1 2 0 1 ) 的 关注，主要结论有h u l l ( 1 9 8 2 ) 1 ”l 给出了带上可加配对函数的两性分枝过程灭绝的一 个必要条件，b r u s s ( 1 9 8 4 ) 1 1 8 】中又进一步给出了该类过程灭绝的充分条件， h u l l ( 1 9 8 4 ) 1 ”j 中通过引进新的模型也给出了带上可加配对函数的两性分枝过程灭绝 概率充要条件，g o n z a l z 和m o l i n a ( 1 9 9 6 ) 2 1 】对该过程的极限行为进行了研究，d a l e y 、 h u l l 和t a y l o r 在文献 2 0 】以及a l s m e y e r 和r o s i e r 在文献1 1 9 】中分别对灭绝概率的 2 太原理r 大学硕十研究生学位论文 大小问题进行了研究，文献【2 0 也给出了带上可加配对函数的两性分枝过 7 z 。 的 灭绝概率为1 的充要条件。而后， m m o l i n ae ta 1 ( 2 0 0 2 ) 1 8 1 对配对依赖于人口数的 两性分枝过程的灭绝概率进行了研究，得到了在条件a 下过程灭绝的一个充要条 件，m m o l i n ae ta 1 ( 2 0 0 4 ) 9 j 研究了该过程的渐近性质。 由于分枝过程具有马尔可夫性，且可视为以0 为吸收壁的一种随机游动， 故其研究结果与方法对研究随机环境马尔可夫过程和随机环境随机游动，以及更一 般的随机环境随机过程都有一定的启发性和指导意义，文献 2 2 2 4 是对随机环境 中随机游动的研究；文献 2 5 - 2 6 是有关随机环境中马尔科夫链的研究。 1 2 论文完成的工作 在前人所做研究的基础上，本文主要做了如下工作： ( 1 ) 将独立同分布环境引入到配对依赖人口数的两性分枝过程，建立了独立同 分布环境中配对依赖人口数的两性分枝过程模型： 设f 一 ) 蠢。为概率空间( q ，罗，p ) 映射到可测空间( 0 ，z ) 上的一个独立同 分布环境序列， ( e ，j l t ) ) 满足： 乙+ ，一k 以一m 。) ， 由于f 独立同分布，所以 ( c ，m 。) 和 乙 为马氏链。 一= o 1 ，2 - - - 打；0 ，1 2 ( 2 ) 得出与该过程概率母函数相关的结论：设吃，f o ) 为乙在条件 3 、j p ， 小 矗 l m 乙x 智 l - 乙oh m +c ，l 太原理 人学硕士研究生学位论文 罗( ) 一a ( ；。，言1 ，) 下的概率母函数，若z 。一1 且满足条件a ，则有： h 。；- ( s ) 鲥h 订o ) ) ， o ss s l 。 ( 3 ) 验证了独立同分布环境中配对依赖人口数的两性分枝过程 乙) 也满足 p 乙一吣+ p 乙一m ) 一1 。 ( 4 ) 给出了独立同分布环境中配对依赖人口数的两性分枝过程在条件a 下，灭 绝概率小于l 的一个充分条件和灭绝概率为1 的一个充分必要条件。其中条件a 指：序列 t ) 是这样的函数，它使： r ：z + 尺+ r + 呻r + ； k , x ，y 卜厶( 石，y ) 是上可加函数。 1 3 本论文的组织 第一章绪论，概述了各种分枝过程以及本文特别关注的配对依赖于人口数的 两性分枝过程的发展历程以及主要结论； 第二章基础知识，对经典分枝过程以及两性分枝过程进行了理论阐述和概括， 为本文后续研究工作奠定了基础； 第三章独立同分布环境中配对依赖人口数的两性分枝过程模型，本章将独立 同分布环境引入到配对依赖人口数的两性分枝过程，建立了独立同分布环境中配对 依赖人口数的两性分枝过程模型，得到与该过程的概率母函数相关的结论，并核实 了该过程也满足：p 乙一o ，+ 尸( z 一o o 一1 ； 第四章独立同分布环境中配对依赖人口数的两性分枝过程的灭绝概率，文中 讨论了独立同分布环境中配对依赖人口数的两性分枝过程在条件a 下，灭绝概率小 4 太原理i 。人学硕十研究生学位论文 于1 的一个充分条件和灭绝概率等p1 的一个充要条件； 第五章结论与展望，总结本文的研究工作及取得的研究成果，分析和概括本 文存在的尚待解决的问题，并提出进一步的研究打算与计划。 5 太原理 大学硕十研究生学位论文 2 1g w 过程简介 第二章基础知识 为探讨英国贵族姓氏继承与谱系消亡问题，g a l t o n 和w a t s o n 于1 8 7 3 年建立了 一种新的随机过程模型，此模型的建立奠定了经典分枝过程的基础。 2 1 1g w 过程定义 定义2 1 【1 】g w 过程是一个取非负整数值的m a r k o v 链 z 。：厅一0 , 1 , 2 ， z o k ； - 黔 n - o ，1 ，2 ( 2 1 ) 其中k 为某指定的正整数，岛( f 一1 ，2 ) 是一个取非负整数值且服从同一概率分布律 p ，：，一0 , 1 , 2 ) 或具有相同概率母函数矿( s ) 的独立同分布的随机变量序列。 一个g w 过程可描述为如下种群演化模型：设某物种在开始时刻0 有z 。一k 个 称为第0 代或祖先”的个体，他们根据同一概率分布律 p ，：，。o ，1 ) ( 其中以表 示每一个个体产生k 个下一代的概率) 相互独立且随机地繁殖若干个下一代，所有 这些新个体的总数z 。恰是z 。一七个服从同一概率分布律 p ，：j = o ，1 ，) 或具有相同 概率母函数妒( s ) 的相互独立的随机变量皇( f - 1 , 2 , ，k ) z v 。然后，这z 。个新个体 构成第一代并重复上辈的演化而繁衍出z ，个第二代个体。依此规律一代代繁衍下 6 太原理r 大学硕十研究生学付论文 去。在此过程中，不管哪一代中的哪一个个体，其繁衍下一代的数目只取决于上述 同一概率分和律 p ，：j = 0 , 1 ，) 或具有相同概率母函数( s ) ，而不受其前辈或同代 中其他个体的影响。以乙表示第咒代个体的总数，以毒( f - l 2 ，) 表示任何一代第f 个个体所繁殖的下代的个体数，那么诸毒相互独立，且服从以 p ，：j = o ，1 ，j 为 分布律的分布，则 乙) 就是一个g w 过程。 2 1 2 过程 乙 繁衍概率母函数与z 的概率母函数 下面若无特别声明，总假设z o l ，依据概率分布律 p ，) ，过程的繁衍概率母 函数( t h er e p r o d u c ep r o b a b i l i t yg e n e r a t i n gf u n c t i o n s ，简记为f p g f ) 为： 妒( s ) l 西6 。p j j 它在g w 过程的研究中扮演着非常重要的角色。i p g f 妒( s ) 的迭代被这样定义： 妒( o ) _ s ，织( s ) 摹妒( j ) ， ( 2 2 ) 吃+ 。( s ) 一妒【哦( s ) 】= 晚 妒( s ) 】， 一1 ，2 ， 进一步也有下式成立： 九。( s ) 丸陋卜) ，m ，n o ，1 ， 因为概率分布律 p ，：j - 0 , 1 , ) 是给定的，因此g w 过程t 乙 任一代的任何一 个个体的r p 萨都一样。那么，该过程的第厅代的个体数乙的概率母函数嚷) ( s ) 与r p g f 的尼重迭代屯( s ) 之间有什么样的关系呢? 定理2 1 乙的概率母函数峨。l ( s ) 一或( s ) 。 i y _ 明：由于转移概率p ( 1 , j ) - p ( z 。一，l z - 1 ) = p ，这样，概率母函数 妒( s ) 。p ，s 也可以用转移概率表示为( s ) 。善p ( 1 ，) s ，即有 7 太原理工大学硕士研究生学竹论文 进一步有 嚷。，( s ) ；谚( s ) 墨妒( s ) ， 荔p ( 七，小i ( s ) 】 成立。用只( f ，) 表示厅步转移概率，那么根据c h a p m a n - k o l m o g o r o v 方程可得 九+ ”( s ) 一p ( z ，j l z o 一1 ) s 一只+ 。( 1 ，小 莩；只( 1 ，七) p ( 七舻 。；( 埘车p ( 七，小 。 。；只( 1 七) 吣) 】 j 妒( s ) 】， 再利用概率母函数( s ) 的迭代关系进一步推导，即可得到 九) ( s ) - 蛾( s ) 。 这就是说，乙的概率母函数正是( 1 1 ) 定义的妒( s ) 的h 重迭代，这给具体计算乙 的概率母函带来了方便。 2 1 3g w 过程的主要结论 首先，我们知道，离散型随机变量x 与其概率母函数妒( s ) 之间存在着密切的关 系，即若e x 存在，那么就有 ( 1 ) 自e x ( x 一1 ) ( 工一k + 1 ) 】，k 一1 ，2 ，。 因此，既然知道了概率母函数驴( s ) ，我们就可以根据矩与母函数的关系，在 8 太原理工大学硕十研究生学何论文 e z 。，v a r z 。( n = 1 ，2 ，) 有限的前提下，将 z 。) 均值和方差由驴( s ) 表示出来。 令m = 妒7 ( 1 ) = e z ，o r2 - - e z ，2 一【驴7 ( 1 ) 】= e z 。2 一所2 ，则有如下定理。 定理2 2 口刀若m ，盯2 如上定义，则e z 。一m 4 ，以一0 ，1 ，；若2 有限，则有 砌佤。磁：啦j 。j 掣k l n 0 2 ， m - l o 其次，关于过程 乙) 的灭绝概率g - p z 一0 ) 的研究构成了分枝过程的主要 内容之一。而且，q 与概率母函数驴( s ) 也有密切的关系：首先，下式 q - p z - - o - p ( z - 0 , 存在某栉) i p ( g y 。0 ) 1 - l i m p ( z _ 一o ) 成立，而p ( 乙- o ) - p o - 唬( 0 ) ，因此灭绝概率也可记做 口- 规蛾( o ) 。 由此，注意到迭代关系式绒+ 。( o ) 一驴陋( o ) 】，并对两边取极限，可得 q 一妒( q ) 这也就是说，灭绝概率口是方程s 一妒( s ) 的一个解，并且q 还是它的最小非负解。在 计算g w 分枝过程的灭绝概率中起决定性作用的正是方程鼋= 妒( 口) 。 定理2 3 口刀若研s 1 ，则灭绝概率鼋一1 ；若胁 1 ，则留 1 。 通过以上的讨论，我们知道当m 1 时，过程 z ) 以概率1 灭绝；当肌，1 时， 过程 乙) 有正概率不灭绝。那么，现在的问题是：如果过程 乙 不灭绝，它将如何 9 太原理，i ：大学硕士研究生学位论文 发展呢7 定理2 , 4 眵刀不管七取什么有限值， z 。 过程的任一有限非0 状态t 都是瞬时状 态( 暂态) ，即有 p 互一o ) + p 乙一* ) t 1 。 ( 2 3 ) 证明：若p o 一0 ( 表示任意一个个体产生0 个后代的概率为o ) ，那么任意一个个体 都至少要生1 个后代，则 乙，非减，即z 1s z 2s z 3 。 令墨- v z + j - k ，对某个j 苫1 成立l z 。- k ，则在第厅代有k 个个体的前提下， 有 乙+ j - k ，对某个j 2 城立 乙+ ，- k ) 。 同时也有 乙+ j - k ，对某个j 之城立) 2 乙。- k ) ，故要使第忍+ ，代仍有七个个 体，当且仅当是使每一个个体都生且只生一个后代，即 r p 乙。- k z - k ) c 1 若风，o ，那么墨+ 尸( 乙+ 。- o l z - k ) 墨1 ，因此也有 r l - p ( k , o ) - 1 - 露t 1 。 这就说明 乙) 不能无限次地的等于任何一个确定的数，则当h 一* 时过程 乙 要么灭绝要么发展成无穷大。 2 2 两性分枝过程 传统的g w 过程在发展中习惯单方面考虑雌性个体或雄性个体，故也称为单性 g w 分枝过程，而更多的自然界物种是由两性雌性和雄性个体组成的。雌性有 生育下一代的能力，雄性个体虽然不能直接繁殖出后代，但他们的存在对于种群的 生存是必需的，因为物种繁衍必须由雌性和雄性个体组成的配对单元来共同繁殖下 一代。然而他们在传统g w 过程中不担任任何角色，在很多的种群研究中作为无性 1 0 太原理【大学硕七研究生学何论文 处理( 如h a r r i s ( 1 9 6 3 ) 1 2 7 】) ，直至1 9 6 8 年d a l e y 建立了两类型人口模型之两性分枝 过程，其研究的中心就是将雌性个体和雄性个体作为同等地位的物种繁衍成员，研 究他们在不同的配对模式中繁衍后代的情况。 2 2 1 两性分枝过程模型描述 定义2 2d a l e y ( 1 9 6 8 a ) 【6 j 引入两性g a l t o n w a t s o n 分枝程： z o n 以。鸩+ 1 ) t 耋( 厶，) ， 栉；0 1 如-( 2 4 ) z + 。- l ( e 。 l + 。) ， n - 0 , 1 , 2 ， 其中，n 是一个正整数，记厶，m n i 分别表示第撑代的第f 个配对单元所产生的雌性 后代个数和雄性后代个数，且 ( 厶，) ，忍- o ，1 2 ，；f 一1 ，2 ， 是取值于非负整数且 独立同分布的随机变量对序列；只，m n 分别表示第 代中雌性个体数和雄性个体 数；按照配对函数形成乙- l ( f ，m 。) 个配对单元( 或家庭) ，每一代的每一个配对 单元通过相同的概率分布独立的繁殖后代。第n + 1 代的个体由z 。个配对单元独立繁 殖产生，共由e + 。个雌性和m 。个雄性个体组成，并形成z 。- l ( f , 。 o 。) 个第h + 1 代的配对单元。这样， z | ：厅- 0 , 1 , ) 序列就构成一个两性g w 分枝过程，简称为 两性分枝过程。 其中，配对函数：r + x r + 一r + 满足：对每对自变量( x ，y ) 单调不减： l ( x ，y ) s 砂： l ( o ，0 ) 。o , l ( o ，) ；三( ，0 ) t 0 。 若以x 表示雌性个体数目，y 表示雄性个体数目，经常被人提到的配对函数有 以下三种： m 1 ) l ( x ，y ) - x m i n ( l y ) ，叫随意匹配型( 即无论雄性有多少，只要不为零， 1 1 太原理r 大学硕士研究生学位论文 便以雌性数为家庭数) ： m 2 ) l ( x ，_ ) ，) = r a i n ( x ，a y ) ，叫忠实配对模式( 即一夫d 妻) ； m 3 ) l ( x ，y ) = x ，叫单性匹配过程( 即单性分枝过程) 。 d a l e y ( 1 9 6 8 a ) t 6 1 中已给出了分别带有m 1 ) 、m 2 ) 配对函数的两种两性分枝过程灭 绝的充要条件。王勇( 2 0 0 3 ) 1 研究了带有m 3 ) 配对函数的两性分枝过程灭绝的充要 条件，指出带配对函数工( 石，y ) 一x 的两性分枝过程 乙) 本质上等价于只考虑雌性个 体的g w 分枝过程。同时，d a l e y ( 1 9 6 8 b ) 3 0 1 还详细说明了 乙) 是一随机单调的马氏 链， 0 , 1 , 2 ，) 是 乙) 的状态空间，并且“0 ”为吸收状态，若记q ，- p ( z - 0 iz o - y ) ， 则日，q ，。( j - 0 ，1 ，) 是随机单调的马氏链的特征性结论。 2 2 2 概率母函数以及上可加性 尽管这里列出的配对函数只有以上三种，但配对的方式多种多样，不可能将 所有的情况一一列出，h u l l 1 6 j 注意到了这样一类配对函数，它们具有上可加的性质。 定义2 3 若称配对函数l 为上可加的，即对任意的薯，m z + ，i 一1 , 2 苇f ( + t ，y 1 + y ：) = ( ，y ，) + l ( x ：，y ：) 。 由上述定义可进一步得出，对任意有限的鼍，y i z + ，i - 1 , 2 ，珂，有 l ( 荟瓴，咒) ) 荟工 珙) a 带上可加配对函数的两性分枝过程称为上可加的两性分枝过程，本文所研究的 两性分枝过程均为上可加的两性分枝过程。 在两性分枝过程t z ) 中，设任一配对单元有尼个下一代个体的概率为见，为避 免平凡性，总假设p o + p lc 1 ，任何一个下一代个体是雌性的概率记为口1 。则任 意配对单元产生f 个雌性个体和m 个雄性个体( 且记f + 肘。j ) 的概率母函数均 1 2 太原理r 人学硕仁研究生学位论文 为 砟。( s ：) = e ( 4 4 ) = 嘉辜p ( f 。工，m j 一 i f + m _ ，) 尸( f + m = ，砷尊“ 。嘉尸( f + 肘# ，) 蹇钟口“( 1 一a ) “矸s ：一 - 套尸( f + m 一州a + ( 一口) s ：) 7 - 毫p ( j 一州a + ( ，一口) s ：) 一九( 口墨+ ( 1 - a ) s ：) 即 弗，( s t , s ：) - 妒，+ 。a s t + ( 1 一口) s ：) 其中办o ) 。善p ( j - j ) s 。p j s ( o s s 1 ) 是任一配对单元后代总数，的概 率母函数。 2 2 - 3 两性分枝过程的主要结论 定理2 5 。1 蜘设 乙) 是带有繁衍后代分布律 n ) 和任意配对函数的两性分枝过 程，若记每个配对单元的平均增长率 = 七1 e ( 乙+ ，i 乞- k ) k - 0 ，1 ， 在t 充分大时，由s 1 ，可得灭绝概率鼋一魉e ( z ；o ) 一1 。 定理2 6 1 2 0 l 对上可加b b p z 。) ，有极限 即 7 i l i m r j s ，u ，p 。r j j - - 。 ， t ，0 r 。 鳃，一增( 乙+ l 乙。j ) - s 。u p j 。氇( z 一“l 乙l ，) ( 2 6 ) 奎堕望兰盔堂堕主里塑尘堂焦笙茎 事实上，计算r 还可以通过二元函数r ( ，) i l i m - 1 l ( j ( ，) ) 。 定理2 7 加1 对一列期望有限的独立同分布随机变量对序列 ( 置，y ) ：i l 2 ，) ，其中，e x , 一e x ，e y 。时，f 。1 ，2 ，若其配对函数满足上可 加条件，则有 厂上( 塞墨，妻v ) 一烛儿( j e x ，j e y ) | r ( 以，e y ) 。 证明：首先，因为配对函数是上可加的，由定理2 5 可得，( 2 7 ) 式右边的极限 存在。其次，根据强大数定律，对给定的s ，0 ，, g , a n oc * ，使对所有o ，有 ( 厨吨历一s ) s 蔓( 置，y ) s n ( e x 胛+ s ) 因为上可加的l 对两个自变量是单调非降的，故对之0 ，有 l ( n ( e x s ，e y s ) ) s ( 章( 墨，y ) ) s 工( ( e x + s ，e y + s ) ) ( 2 s ) 假设，( 厨，e y ) t m ，则 r ( e x + e ，腰+ ) - 魁n - l ( n ( e x + e ) ，n ( e y + ) ) 。烛一乜( ( ，+ 去) 日，( - + 蠢) 研) 取6 。i n ( e x ，剐则 ，( 朋+ s ，e y + s ) l i m ( 1 【1 + + 6 铲) , ( ( 1 + 6 ) 船，( 1 + 6 ) e y ) - ( 1 + 6 ) r ( e x ，e y ) 同理可得 r ( e x 一，e y p ) - ( 1 一a ) r ( e x ，e y ) 毗 ，在每个自变量上连续，并且，f l q ( 2 8 ；) 可知姆心( 塞互，霪v ) 存在且以概 太原理l 。大学硕十研究生学位论文 率1 等f , - ( e x ，e y l 。 当，( e x ，e y ) = 0 0 时，仍有 ，( 点x + ，e y + e ) ( 1 + 6 ) r ( 删，e y ) ， r ( e x e ，e y f ) 2 ( 1 6 ) ，( 耐，e y ) 成立，因此，( 2 7 ) 式仍然成立。 定理2 8 z o 对一个带上可加配对函数的两性分枝过程 z 。) ，其灭绝概率 q j 一1 ，( ，- 1 , 2 , ) 的充要条件是 r - i m j 一1 e ( z 。+ - i 磊。j ) 1 。 1 5 太原理工大学硕七研究生学位论文 第三章独立同分布环境中配对依赖人口数 的两性分枝过程模型 3 1 随机环境分枝过程 分枝过程历经一个世纪的重要发展之一，是从经典分枝过程到随机环境中的 分枝过程的发展。作为经典分枝过程的自然延拓与发展，随机环境中的分枝过程 可以更如实更逼真的模拟自然界中许多物种的演化，其研究结果可以更合理的解 释人们在现实世界物种繁衍过程中观察到的各种现象。 3 1 1b p r e 的相关定义 定义3 1 t 3 设( q ，j - ，p ) 是一概率空问，m 为取非负整数值的随机变量的所有 非平凡概率分布律的集合，即： 肘。 p ，：，一。，l ) ：。s p ，t ，嘉p ，= - 且喜加，c m ，。风+ at t 易见m 是所有有界实数序列构成的b a n a c h 空闯l 。的一个b o r e l 子集。记b 为由m 按通常拓扑意义生成的b o r e l a 代数，设 善。) 一 幺( ) ： - o ，1 ) 是从( q ，少，p ) 到 ( m ，b ) 的映射序列且p ：邑( ) m ，v i 】= 1 ，则序列中每一个从。到m 的映射 考( ) 唯一确定一个m 中的概率母函数：疵0 ) 一p ，( 考) s i , ( o s 1 ) ，其中 p ，( 毒) ：，一o ，1 ，) 是相应于考( ) 的概率分布律，这样的映射序列 幺) 称为随机环 境过程，简称为随机环墙或环墙。 1 6 太原理t 大学硕 = 研究生学位论文 定义3 2 嘲设 z 。) 为定义在某概率空问( q ，厂，p ) 卜的取非负整数值的随机变 量序列且满足： z o 一七； 互+ ，。善驴， n 一0 ，1 ，- ； 其中k 为某指定的常数， 亭。 为随机环境。若对每个雄，当给定所有乞、乙及 f ) ( o s 研s ) 时， 旁：j - 0 , 1 , 2 】为相互独立且服从同一概率分布律 p j ( 只) ：j o ，l 2 j 或具有相同概率母函数蠊o ) 的随机变量序列，则称 乙) 是初 值为七的伴有随机环境 毒。) 的随机环境分枝过程“1 。 显然，如此定义的随机环境分枝过程，其第h 代的个体独立繁殖第 + 1 代新个 体时，不再象g w 分枝过程一样依赖于一个不变的概率分布律d ，：，一0 , 1 , 2 ) 或概 率母函数妒o ) ，而是随n 的不同，依赖于由环境 ；。) 的状态所决定的概率分布律 仞j ( 厶) ：，一0 , 1 , 2 或概率母函数o ) b p r e 的建立充实了现代分枝过程的理论，它具有广泛的应用前景，可以描述 类似于简化人1 3 模型的种群繁衍、粒子裂变、核连锁反应、突变基因存活、流行病 传播以及分析排队论中队伍的波动现象等。 3 1 2 独立同分布随机环境分枝过程 设 “一o ，l ) 是一列独立同分布随机环境变量序列，对每一个；。o ， 有概率母函数： 屯( s ) 。善p 胎一) 一( o g ) 其中p ，( 幺) 表示第n 代的一个个体有j 个下一代个体的概率，因此吒( s ) 就是 第n 代任一个体繁衍下一代的概率母函数。进一步固定变量s ，则 吒( s ) ) 成为一列 1 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 独亚同分布随机变量，那么，在带独立i 司分布随机环境 ；。) 的分枝过程中，z 。的概 率母函数可以用诸九( s ) 的迭代来表示。 用e ( s ) 表示z 。的概率母函数。则有 定理3 1 c ( s ) - ，( 吒。( s ) ) 。 证明：以巅“( 咒，七为正整数) 表示第一代的任一个体依赖环境 t ) ( n ；0 ，1 ，) 在第n + 1 代的后代个数，那么，酲“独立同分布，并都以九( s ) 为概率母函数。因 e ( s ) e ( s 五) e e ( s 瓦l 乙一，幺一t ) 】 斗r 丘t 】 叫斟扩) 叫( 吒川铂 一只一。( 吒( s ) ) 。 重复应用以上定理，可以得出以下关系式： 只( s ) = e 。( 吒。( s ) ) 一只一：( 吒：( 如。( 叫) - 互( 晚( ( 噍。( s ) ) ) ) 1 8 太原理i 大产硕十研究彗：学位论文 = e ( 兜。( 砂) ) ) 一e ( ( 吒( ( ( 吒川州 特别，当z o 。1 时有 只( s ) 一( 吒( 晚；( ( 吒( s ) ) ) ) ) 。 记所- e 蛀( 1 ) ，在一定条件下，对上式两边在s 一1 处求导，可得出z 。的矩与小 关系式： 定理3 2 啪若肌 ，z o 一1 ，那么e z m 。 3 1 3 一般平稳遍历随机环境中的分枝过程 关于随机环境分枝过程，除了上述的独立同分布环境下的分枝过程外，还有 1 9 7 1 年由a t h r e y a 和k a r l i n 提出的平稳遍历环境下的分枝过程。与前者不同的是， 该过程中假设环境 考。) 是一平稳遍历过程，而非独立同分布的关系a 这样，平稳遍 历环境中的分枝过程 z 。) 一般不具备马尔可夫性。但是，如果仍记e ( s ) 一历耳， ； 为平稳遍历的随机环境变量序列，珐( s ) 表示第n 代的一个个体按环境变量邑 繁衍下一代的概率母函数，那么仍有 定理3 3 口，嗍z o 一磊时，e ( s ) 一e ( 死( 嚷。( ( 吒。( s ) ) ) ) ) “。 证明：由g w 分枝过程的基本结论可知 ( s k i | 幺，z 。) 一陬( s ) r ， 以及 e ( s z * t i z o 一七) ；p ( s i z o 一1 ) 1 ， 因此，可得下述关系式 1 9 太原理工大学硕七研究生学位论文 重复以上过程，结论得证。 只( s ) 一e s 靠 =