（应用数学专业论文）矩阵方程解的扰动分析.pdf

南京信息工程大学硕士学位论文 摘要 本论文研究三类矩阵方程解的扰动分析，由五部分组成。 在第一章，我们对矩阵方程解的扰动分析的历史背景和现状及前景进行综 述。 在第二章，我们讨论讨论矩阵方程a t x a = d ，该方程源于振动反问题并在 结构模型修正中有用。本文利用矩阵分块与矩阵范数性质，获得该方程的扰动 界，这些结果可用于模型修正中的数值计算。 在第三章，我们研究了矩阵方程a t x a = d ，本文利用m o o r e p e n r o s e 广义逆 的性质，给出该方程解的条件数的上、下界估计同时，利用s c h a u d e r 不动点 理论给出该方程的向后扰动界，这些结果可用于该矩阵方程的数值计算 在第四章，我们本文研究了矩阵方程a t x a + b t y b = d 近似解的向后误差 分析，得到解误差的最大上界和最小下界。这些结果通过数值例子加以验证。 在第五章，我们研究摄动离散矩阵l y a p u n o v 方程解的向后误差分析。通过 矩阵k r o n e c k e r 乘积和矩阵范数的性质，给出了正定解的向后误差估计，并且 通过数值例子验证结论的稳定性。 关键词：矩阵方程，扰动分析，条件数，近似解，向后误差， l y a p u n o v 方程 南京信息工程大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h ep e r t u r b a t i o nt ot h es o l u t i o no fm a t r i xe q u a t i o n s i t c o n s i s t so ff i v ed i f f e r e n tc h a p t e r s i nc h a p t e r1 t h eb a c k g r o u n da n dp r e s e n tc o n d i t i o n sa r ei n t r o d u c e da n ds u m m a r i e d f o rt h es t u d yt ot h ep e r t u r b a t i o nt h e o r yo fm a t r i xe q u a t i o n s i nc h a p t e r2 w ed e a lw i t ht h em a t r i xe q u a t i o na 1x a = d ，w h i c ha r i s e d i na n i n v e r s ep r o b l e mo ft h ev i b r a t i o nt h e o r ya n dc a nb eu s e di ns t r u c t u r a lm o d e lu p d a t i n g w ee s t a b l i s ht h ep e r t u r b a t i o nb o u n d sb yu s i n gt h ep a t i f i o n e dm a t r i xa n d 也e p r o p e r t i e so ft h em a t r i xn o r l t i s t h er e s u l t sc a nb eu s e di nn u m e r i c a lc a l c u l a t i o ni n m o d e lu p d a t i n g i nc h a p t e r3 ，w ed e a lw i t ht h em a t r i xe q u a t i o na 1 x a = d ，w h i c ha r i s e di ni n v e r s e p r o b l e m si nv i b r a t i o na n ds t r u c t u r a lm o d e lu p d a t i n g b yu s i n gt h ep r o p e r t i e so f m o o r e p e n r o s eg e n e r a l i z e di n v e r s e 也eu p p e ra n dl o w e rb o u n d so ft h ec o n d i t i o n n u m b e r sa s s o c i a t e dw i t hs o l v i n gt h em a t r i xe q u a t i o na r ep r e s e n t e d t h eb a c k w a r d p e r t u r b a t i o nb o u n df o rt h em a t r i xe q u a t i o ni sg i v e nb yu s i n gs c h a u d e rf i x e d - p o i n t t h e o r y t h er e s u l t sc a nb eu s e di nn u m e r i c a ls o l u t i o nf o rt h em a t r i xe q u a t i o n i nc h a p t e r4 1 1 l en o r m w i s eb a c k w a r de r r o ro fa na p p r o x i m a t es o l u t i o nt ot h e m a t r i xe q u a t i o ni se v a l u a t e d n er e s u l t sa r ei l l u s t r a t e db yu s i n gs i m p l en u m e r i c a l e x a m p l e s i nc h a p t e r5 ，t h eb a c k w a r de r r o ro ft h es o l u t i o nt ot h ep e r t u r b e dd i s c r e t em a t r i x l y a p u n o ve q u a t i o n i ss t u d i e d t h eb a c k w a r de r r o rb o u n d so ft h ea p p r o x i m a t i o n p o s i t i v e d e f i n i t es o l u t i o nt ot h ee q u a t i o na r ep r e s e n t e db yu s i n gt h ep r o p e r t yo f m a t r i xk r o n e c k e rp r o d u c t sa n dm a t r i xn o r m s t h es t a b i l i t yo fa b o v er e s u l t si ss h o w n b yan u m e r i c a le x a m p l e k e yw o r d s ：m a t r i xe q u a t i o n ；p e r t u r b a t i o na n a l y s i s ；c o n d i t i o nn u m b e r ；a p p r o x i m a t e s o l u t i o n ；b a c k w a r de r r o r ；l y a p u n o ve q u a t i o n i i 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新 的科学精神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表 或撰写过的研究成果 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声 作者签名： 日 期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版：有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书 馆被查阅：有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 作者繇4 监 日期：坦阻 南京信息工程大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 本文的基本概念和所要研究的问题 十多年来矩阵方程的经典理论日趋成熟，随着研究的深入，矩阵方程和矩阵理论相互 结合，相互渗透，积累了十分丰富的理论和应用成果，近年来，许多著名专家和学者在矩 阵方程的求解及其最佳逼近方面做了不少工作。但是对矩阵方程解的扰动分析不是太多， 研究成果也不是很丰富，本文主要研究矩阵方程解的扰动分析理论。 下面通过一个简单的例子来了解矩阵方程解的扰动理论。 考虑一个二阶线性方程组：( 。三9 三9 ； ( 芝 = ( ： ，可以验证，该方程组的精确解 为五= 1 。，屯= 一1 0 0 。如果系数矩阵有一扰动( ：。三1 ) ，并且右端也有一扰动 ( 。：) 0 1 ) ，则其扰动后的线性方程组为：、 0 9 90 0 9 9 9 9 ) r ( , x 毛2 矧0 0 0 1 1 )l o + 6 而，jl 1 可以验证，这个方程组的精确解为：五+ 6 x , = 一0 1 ，而+ 6 南= 芸。 二 可见，系数矩阵和右端项的微小扰动引起了解的巨大变化，因此我们有必要研究线性 方程组的解的稳定性。当原始数据的小扰动引起解很大变化时，就称该问题是病态的或不 稳定的；否则，称该问题是良态的或稳定的。 对于向前扰动分析，最早v p e r e y r a 和a v a l ld e rs l u i s 在 5 5 1 n 5 6 q b 分别对线性矩阵方 程解的稳定性进行了分析，孙继广又研究了线性矩阵方程a x = b ( a c “”是非奇异矩 阵) 的向前扰动分析，得到其扰动方程为( 彳+ e ) 0 + 6 x ) = b + s b 。当a c “”是非奇 异矩阵，b ，6 b c ”，x 是方程解，如果e c 满足怕一i i l l s i l 0 ， ，= r a n k ( a ) ，u r “7 ，k r ”7 引理2 3 t 1 i 设a r “”，d r = d r “，a 的奇异值分解为( 2 2 ) ，则矩阵方程 a 。x a = d 有实对称半正定解的充要条件是：a + a d a + a = d 0 ，并且在有解的情况 下，矩阵方程( 2 1 ) 的对称半正定解通解为： ( 壶碥嚣：如p 其中x o = 1 k r d v i y - i , x 1 2 r “”7 是任意的，五2 是任意的朋一，阶对称半正定矩阵 引理2 4 t 1 1 设彳r ”，d r = d r ，a 的奇异值分解为( 2 2 ) ，则矩阵方程 a r x a = d( 2 3 ) 有实对称正定解的充要条件是：a + a d a + a = d 0 ，r a n k ( a ) = r a n k ( d ) ，并且在有解的 情况下，矩阵方程( 2 3 ) 的对称正定解通解为： x = u ( 囊礁k x 。五1 2 ：+ 如) u 7 c 2 舢 其中x o = - 1 k r d k ，墨2 r “肛7 是任意的，五2 是任意的疗一，阶对称正定矩阵 引理2 5 【9 1设a ，e c ”，匀= a + e ，如果r a n k ( a ) - - r a n k ( j ) ，并且 川加卜，贼 5 南京信息工程大学硕士学位论文 归刈：格，臀麓， 其中，c ：( 彳) = ：ia + 1 1 2 2 3 矩阵方程彳r 剧：d 解的灵敏度分析 由【l o 知，如果考虑矩阵方程( 2 1 ) 的极小f 一范数对称解，则其极小f - 范数对称解 是唯一的，即为： x = ( a + ) r d a + ( 2 5 ) 若d 扰动到d + a d 且彳扰动到x + 似时，则a r ( x + 麟) 彳= d + k d 9 极小f 范数对称解是： 借助( 2 5 ) 式可得： x + 从= ( a + ) r ( d + a d ) 4 + a x = ( 彳+ ) r d 4 + ( 2 6 ) ( 2 7 ) ae c m , 舢的槲误靛姚静，所蜊腚义肼方靴的解 的灵敏度为： s c 一镣揣 ( 2 8 ) 设4 ( 么) ，t ( 彳) 为a 的奇异值且磊印) 疋( 彳) r ( 4 ) 0 ，其中 ，= r a n k ( a ) ，则：0 彳l ：= 区( 彳) ， 1 6 ，( 彳) a 的奇异值分解为a = u e v ，其中= 西昭( 点( 彳) ，6 ，( 4 ) ，o ，0 ) ，u c “”， 矿c “”均为正交矩阵，则很显然：a + = v z + u 且州片= u z 2 u ， 6 南京信息工程大学硕士学位论文 ( a + ) a + = u ( x + ) 2 u 。 设“为奇异值6 的奇异值向量，则：州“= 6 2 “；( 彳+ ) 么+ ”= 吉材。 主要定理： 下面我们来分析敏感度s ( x ，d ) 。 定理2 1 设s ( x ，d ) 如( 2 8 ) 式所定义，1 1 = r a n k ( a r ) = r a n k ( a ) 则： 磷s ( x ，功= m 再i d 丽l ( 2 9 ， 当y 和z 分别是奇异值为6 ( 彳r ) 和吒( 彳) 的奇异值向量时( 2 9 ) 式成立。其中 _ ，= l l ( a + ) 7 1 1 2 l | 彳r 0 ：，h = 怕+ 1 1 2 i | 彳0 ：， 乞，= ( ) r ，乞+ = 么， 叩= 品。 证明：对( 2 5 ) 式两边取f 范数得： i i 赵k - - i i ( 彳+ ) r a d g a + 心) r l | 2 i l 删+ k 0 ( 彳+ ) 10 ：i i a d l l f0 4 l i ：2 ( 彳) 10 ：0 彳0 ：0 d o f 所以 卿) = 臀路水丫m i + i ：而i d i i f = i i ( a ) t l l 卅1 2 l p 牝归。品撮 一叩撮 畔翰啪撮 另一方面，设y 和z 分别是奇异值为矩阵彳r 和彳的奇异值为嚷( 彳7 ) 和6 ( 彳) 的左奇 7 南京信息工程大学硕士学位论文 7 1 ) + 弦阿彳+ i i ；= 护( ( ( 彳r ) + y z 彳+ ) 片( c a + ) 7 弘彳+ ) ) = t r ( ( a + ) z y ( 即7 ) + ) ( ( 爿r ) + y z a + ) ) 2 硒1 州? 高南 所以，当耳z a d = y z ，酬d 忆= l l y l ：1 4 ：= 1 ， ，= 舒踹= 笋黯= 耵咎丽 ：巫尘盟尘峻竺：k堕 6 。( 4 7 ) 6 丘( 彳h ) 6 1 ( a7 ) 4 ( 彳月) ，婚哆+ 忆 嘞m 撮 综上所述( 2 9 ) 式成立。 眩”热用月叩赫= 一 度依赖于石，在没有求出x 之前，很难对敏感度做出分析。下面给出不依赖于x 的敏感 性的上确界。 定理2 2 ；设s ( x ，d ) 如( 2 8 ) 式定义所示，则； 撮掣一怫赫 包 证明：因为：8 乞，叱+ 忆= a7 ( 彳+ ) 7 d a + a l l ， 0 么r8 ：0 ( 彳+ ) r d a + af h | ：i i ( a + ) 7 d a 制他= h | 2 i | x 彳i l ： 且i i ( a + ) 7 i i ：i i a + | | 2 l k 哆+ 炉i i ( a + ) 7 i i ：i i a7 ( 彳+ ) 7 d a a i f i i a + l i ： 0 ( 。4 + ) 7 a 7 ( 4 + ) 7 1 d a + 彳0 。i i a + 8 ， 8 南京信息工程大学硕士学位论文 于是： + ) r 么7 ( 彳+ ) 7 d a + 州+ 忆 = p ) rz k d a + i i ， 町= 1 爿与 箍3 三爿 三琵 妻芒= 且k ，k 叩= i i ( 彳j ，r 虬i i 彳7 1 1 2o 彳+ 1 1 2o 彳l | 21 羔与等箍 ：烂进蚓也：竺：陛 f 踹= 因此，通过( 2 9 ) ( 2 11 ) ( 2 1 2 ) 臣p 得( 2 1 0 ) 。证毕 2 4 矩阵方程a r x a ：d 扰动分析 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 定理2 3 设彳，e r ”，d ，f r ”是对称矩阵，彳= a + e ，西= d + f ，且爿， d ，么和d 满足如下条件， r a n k ( a ) = r a n k ( a ) = 聊，a + a d a + a = d ，a + a d a + a = d ， x 为矩阵方程( 2 1 ) 的对称解，x = x + 从为矩阵方程 的对称解，则 彳r 蚜：6 9 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 南京信息工程大学硕士学位论文 铬s 慨 其中k ：( a ) = i i a i ：p ” ( 黯+ 髓( 2 + 器 ， 眨5 ， 注记1 当础冰m 时，矩阵方龇m 解的相对误差酱聪矶 事实上，x 为矩阵方程( 2 1 ) 的对称解，x = x + 赵为矩阵方程( 2 1 3 ) 的对称 解，由( 2 1 6 ) ，引理2 1 与引理2 2 得 a x = 0 + e ) + r g ( 彳+ e ) + + r 一( 彳+ e ) ( 彳+ e ) + r ( 么+ e ) ( 彳+ e ) + ， 其中丁是任意的所阶对称矩阵可见矩阵方程( 2 1 6 ) 的解不唯一丁的任意性可使i l 从0 2 任意大 然而，如果考虑矩阵方程( 2 1 ) 的极小f 一范数对称解 1 0 】，则其极小f - 范数对称解是 唯一的，即为 x = a + 7 d a + 定理2 4 设彳，e r ”，d ，fer ”是对称矩阵，彳= a + e ，西= d + f ，且彳， d ，五和d 满足如下条件， a + a d a + a = d ，a + a d a + a = d ， x 为矩阵方程( 2 1 ) 的极小f 范数对称解，x = x + x 为矩阵方程( 2 1 3 ) 的极小f 范数对称解如果，口行k ( a ) = r a 础( 五) ，并且i l 彳+ ：ie 0 ： 0 ， ，= r a n k ( a ) ，u r ”7 ，k r 由 1 中的定理2 2 ，应用引理2 3 ，容易得到如下结果 1 3 南京信g , i 程大学硕士学位论文 引理3 2 1 1 设彳r ”，d 邑，a 的奇异值分解为( 3 2 ) ，则矩阵方程( 3 1 ) 有实 对称正定解的充要条件是 a + a d a + a = d 0 ，r a n k ( a ) = r a n k ( d ) ，( 3 3 ) 并且在有解的情况下，矩阵方程( 1 ) 的对称正定解为 嚆靠k 麓卜 4 ， 其中扎= _ 1 k r d v l y - , 墨2 r r ( m - r ) 是任意的，x 2 2 是任意的m 一，阶对称正定矩阵 注1 设彳r ”，d 邑，则矩阵方程( 3 1 ) 有实对称半正定解的充要条件( 见 1 ) 是 a + a d a + a = d 0 。 并且在有解的情况下，矩阵方程( 1 ) 的对称半正定解通解为 x = u ( 。嚣轰：厂碍嘉芝) u r ， 其中= - 1 巧7 d v l z - , 墨2 r 7 。佃一7 是任意的，x 2 2 是任意的聊一，阶对称半正定矩阵 注2 如果彳+ a d a + a = d 0 ，r r a n k ( a ) = r a n k ( d ) = m ，则霄= 即7 ) + d a + 是 矩阵方程( 3 1 ) 的惟一对称正定解，也是矩阵方程( 3 1 ) 的惟一极小f 一范数对称正定解 如果彳r 肘埘，d r = d r 砌满足条件彳+ a d a + a = d 0 ，则碧= o r ) + d a + 是 矩阵方程( 3 1 ) 的极小f 范数对称半正定解 引理3 3 【1 7 】设a ，卢r 月，则存在正数c ，；5 c s l ，使得， m a x 0 k + 卢| | f 陋一卢8 ) = c 陋0 + 0 卢0 ) 3 2 2 条件数 设a r ”有扰动削r 舭“，并且0 削8 - o ) ，尺( 鲋) r 0 ) ， 1 4 南京信息工程大学硕士学位论文 尺( ( 鲋) r ) r 07 ) ，n a a + a , 4 = 鲋，a + a ( a a ) 7 = ( 鲋) 7 ，从而得 1 7 ，1 8 ， 0 + 鲋) + = 么+ 一彳+ 删+ + d g2 ) ( 3 5 ) 设d 已有扰动曲最，并且8 a d 0 s 8 d 0 ， a * a d a + 彳= d o ，0 + 鲋) + 0 + 鲋x d + a d + 鲋) + 0 + 鲋) = d + a d ， r a n k ( a ) = r a n k ( a + 2 2 4 ) = r a n k ( d ) = ，力s 刀， 则矩阵方程( 3 1 ) 有惟一对称正定解x = 0 r + d a + 如果d + d o ，则扰动的矩阵方 程 0 + 鲋) 7 + 赵+ 鲋) = d + a d 有惟一极小f 范数对称半正定解 x + x = ( ( 4 + 彳) + ) r ( d + d x 么+ 4 ) + ：b r ) + 一c 4 r ) + ( 鲋) 7 c 4 r ) + + d g z 状d + a d ) c 4 + 一彳+ 幽+ + d g ：) ) = 0 r ) + 删+ + 07 ) + 曲曙+ 一0 r ) + ( m ) 7 0 r ) + 删+ 一0 r ) + 删+ ( 鲋扣+ + o g 2 ) = x + 07 ) + 衄4 + 一07 ) + ( 鲋) 7 1 0 r + d a + 一0 r ) + 伽+ ( a a ) a + + d g2 ) 矩阵方程( 3 1 ) 之解的条件数定义为( 见 1 1 ，1 2 3 ) 扣l i m s u p 船l 圳( x 删衅。+ 加) 6 ， 因为 赵= 0 r + a d a + 一( 出“+ ) r x x ( 出“+ ) + d g2 ) 删+ 一+ r x 一彳+ ) ， ( 3 7 ) 从而由( 3 6 ) 并注意x 正定， 哗+ 噶哗+ l i i i 彳酬a 恃2 南京信息工程大学硕士学位论文 另一方面，取d = = o 么+ o ( o 彳+ l i 九i i d 伍i i ) + 2 1 么o ( 3 8 ) 尉删+ 南) 7 x 2 鲋抖则 凹为实对称矩阵，驯曲忙圳驯记c 一鼎删邮j 试并注意州+ “肼 得， 从+ ) r x + 一l ) + + 弦+ ) + 1 冈c ) w 鲋妇 = ( c 一灿+ 阻( c 一皿陋+ ) + 佩c 埘陋) 7 x 2 鲋肾 设y r ”，0 川i = 1 ，使得 ia t ) + ( ( 彳) r j f 2 彳) ；t + y 0 = = c ， c t 7 ，+ c ( 4 ) r j f 2 彳， t + 】， 贝0 由弓i 理3 3 存在正数c l ，c 2 ，击靼心 o 设x 的谱分解为 x = q 人q 7 ， 其中人= 旃口g ( ，丸) ， 九， o 表示正定矩阵x 的特征值，q 为聊阶正交 矩阵 令e = q k 7 ，则以+ e = e ，a + a e 7 = e7 ，0 e i i l ，并且 0 。r ) + 仁r z 2 e 声彳+ = 。巧7 ( e r y 2 e ) ；k 一0 = l 1 7 以斤k r 声巧- 10 = 0 一1 人一1l | 2 m 。s ，a s 朋x 仃； 另一方面，因s t jx e a + = q a z 一1 u7 ，则 1 7 南京信息工程大学硕士学位论文 从而由( 3 9 ) 式，有 仃珊陋+ ) 弧( q a 向r ) = 熙鲁 七芝等嬲鲁屹丝刿熙言盟( 7 1 a 1 匕+ 2 厶c - 1 l 刎 因为 ( d + a d ) - ( d ) + 九( 凹) ( f = 1 ，甩) ，则当i f _ 数占充分小时， d + a d 0 其次由彳= 沈巧7 ，a a = s i i a i q v , 丁，得彳+ 鲋= 峨+ s 怕0 q 溉丁，取正数s 充分 小，使娩+ 8 刮q 可逆，贝l jr a n k ( a + a a ) = m 由彳+ a d a + a = d ，得v l v l r d v i v i r = d ， 从而有 0 + 鲋) + ( a + a a x d + 仰炽+ 鲋) + 0 + 鲋) = 巧曙( d + d 溉曙 因此，结合( 3 8 ) 、( 3 9 ) 两式，得如下结果 = d + v i v l r ( 曲以曙= d + a d 定理3 1 5 4 1 设彳r ”，d 邑分别有扰动削r “”及d 鼠，并且 彳+ 彳删+ a = d 0 ， 0 + 鲋) + ( a + & a x d + a d + 鲋) + 0 + 鲋) = d + d o ， r a n k ( a ) = r a n k ( a + a a ) = r a n k ( d ) = ，5 聆， 则存在满足不等式击靼心s 1 锄，使矩阵方程( 3 1 ) 之解的条件数七满足 盟c r y , q , l ( 云+ 2c 2 l c 删刎 寻黪鲁+ 2 丝与则熙鲁 螂| ( | 峄仲o 1 8 南京信息工程大学硕士学位论文 趣c 一鼎 例1 设彳= ( ；：) ，。= ( 三呈 ，则矩阵方程c 3 ，的解x = 彳+ 删+ = ( 二苫) ， a d = 口三) = 鲋，则扰动方程。+ 鲋) 丁伍+ 赵n + 鲋) = 。+ d 的解为 赵= 南( 一嚣一高加忙6 + 压 2 南晦丽丽+ ) ) 一i 似 i i ：上巫生塑生塑鱼型一塑善乩2 0 7 。：七 x l i ( 1 + s ) 2 6 + 再 7 6 + 再“。 仆器m k 用x 舞+ 2 譬严 凡l s f s 用仃；凡熙鲁步i i 彳+ | | ( | 川掣+ 2 | h i ，嗉和 1 之间的q 与c 2 取值，则利用m a t l a b 计算得， c l 0 7 5 0 0 7 5 0 0 7 0 7 0 7 0 7 c 2 0 7 5 0 0 8 0 0 0 8 0 0 o 8 6 三 1 1 1 3 3 1 1 8 7 5 1 1 2 4 1 1 2 0 3 4 k 1 2 0 7 0 1 2 0 7 0 1 2 0 7 0 1 2 0 7 0 1 4 8 6 6 0 1 4 8 6 6 0 1 4 8 6 6 0 1 4 8 6 6 0 3 2 3 向后扰动分析 定理3 2 t 5 4 1设彳r ”m ，d 最满足定理3 1 的条件，j = 又i 膏l r ”x ”为矩 阵方程( 3 1 ) 的近似对称正定解，0 0 ，令 仉2 ( 堍慨叫i f ， 其中叩= 陋，舭+ e ) 7 j ( 彳+ e ) = d 怛e r m x n ，r = f 胪” ， 1 9 南京信息工程大学硕士学位论文 咔) n + 引，一 ， 正= h n 屯。引一南l ： ， 蜊一- 魄z 2 卉m f e 一= x i e , 撕4 m 匡 j “ 玩cc厦川一晶s町口5i=i=-=2三f竺坠+4l(1-47) c 3 - 。， 肛巴 ( 1 2 0 d ：l5 0 , 1 2 6 矩阵方程( 3 1 ) 的计算解x = 2 421 2 2 2 8 ”令三= 却删州一器 ， 4 2 1 0j 产丝丛，则对d 取不同的值，通过m a t l a b 计算得： i l 一2 尹+ z ( ，一4 f ) 0 = o 0 5 ，= - 3 0 = o 1 ，= = o 1 ， 0 = o 2 ，l = 2 0 0 ， 0 = 0 3 ， 下面考虑矩阵方程( 3 1 ) 2 2 5 8 ，l = o 0 5 1 5 - q 8 郢6 0 2 2 = s 。 l = 0 0 9 3 9 _ d - 1 2 18 4 = s ； 三- o 1 4 1 0 - o ，o o ，d 1 3 司，d 恐一d 2 3 d 3 - 3 1 u 3 t 3 - d i r 2 d 矗d 1 2 o 证明 我们可以从【3 3 】中的定理3 1 直接得到。 4 2 2 关于7 7 僻，) 的估计 设叩伍跏i 糕蚓l ， 其中e ，f 是实矩阵，g 是半正定矩阵满足扰动方程： ( a + e ) t 又( a + e ) + ( b + f ) t 譬( b + f ) = d + g 。 设o c = a ，p = i i b i ，和v - - i d i l ，则t 1 伍，譬) 是相对向后误差。 ( 4 4 ) ( 4 5 ) 1 l 显然，e ：又1 d j a ，f = 0 和g = b t i b 满足方程( 4 5 ) ，且方程( 4 5 ) 等价于： 一 _ m m _ t f a 1 x a + b 1 y b + 彳7 x e + e7 x a + e 1 x e + b 1 y f + f 1 y b + f 1 y f = d + g ， ( 4 6 ) 或者等价于： _ _ _ j_ _ _，v ， a 1 e + e 1 a + f 1 b + b 1 f g = r e 1 e f 1 f ( 4 7 ) 其中莨：d a t 就一b t 泊，是把又和譬带入( 4 1 ) 得到的差，且五，百，巨，和管分 别定义如下： a = x l a ，b = y l b ，e = x l e ，和f = y 1 f ， 2 3 ( 4 8 ) 南京信息工程大学硕士学位论文 其中x 。和y 1 都是对称正定矩阵且满足方程x = x j x ，和y = y 1 1y 1 。 _ _ 一 通过引理4 1 ，方程( 4 7 ) 等价于： ( i 。x t ) v e c e + 伍t 圆i 。n v e c 置+ ( i 。百t ) v e c + 每t 。i 。1 1 v e c 菅 一( i 。 i 。v e c g = v e c 伍一豆t 琶一f t f ) ， ( 4 9 ) 或等价于： t v e c e v e c f d v e c g 丫 = v e c 一v e c ( e t 琶+ 管t f ) ， ( 4 1 0 ) ；n e pt = ( t l ，t 2 ，t 3 ) r 3 n _ ，且 t l = a ( i 。 x t + 伍t i 。1 1 ) ，t 2 = d ( i 。圆豆t + 值t 。i 。h ) 五= 一y ( i 。1 9 i 。) ， 且兀是由( 4 2 ) 生成的排列矩阵。 考虑非线性系统： = + ( v o o 莨tv e e r v e c l 仨e t 置+ f t f ) ) = + 一e + ff ” ( 4 1 1 ) 既然丁是满秩矩阵，) a i 面：n tt + = i 。：成立，所以在方程( 4 1 1 ) 2 睬t n n t y n ( 4 1 0 ) ， 这表明( 4 11 ) 的解都是方程( 4 1 0 ) 的解，因此： 假如 v e c e a v e c f p v e c g 。 是方程( 4 1 1 ) 的解，则： e 一 f g 一 堕口堕盘 南京信息工程大学硕士学位论文 i 单 l i ：0 ( 雩 ，詈，睾 l l ， 。4 j 2 ， 、玉，：r “or ”“0s r “加争r n x “or n x “0s r “” 从( 4 1 1 ) 式可以看出映射甲满足： i l ( 罢，吾，号圳fs p + 寻i l 叠t 巨+ f t f o f ， 其中，p 和，分别定义为p = t + v o o 莨1 1 ，= l l t + l l - l 。 通过范数不等式和柯西不等式 3 4 1 ，得： o 量r 豆+ 户7 户忆s o e 旺+ o 户旺= a 2 0 罢旺+ p 2 l 慝眭 + i l 吾i 钏 = 而陪矧l 因此，不等式( 4 1 3 ) 可以转变成： 膳矧卜平陪矧i 或等价于： ( 4 1 3 ) 南京信息工程大学硕士学位论文 考虑方程： 导，吾，号硼：一刈( 昙，吾，号m + p ，却 t 4 ， 容易验证，当p 满足p o ， ( 4 1 5 ) 铲兰意乒 他6 ， 广_ r j ”， 2 0 【4 + p 4 且g 是( 4 1 5 ) 的解。 设：日。；，= ( 罢，吾，号 f 己“日目f 己“日目s 壬己“x n ，i l ( 罢，吾，号 | l ! ；与) 。显然，日睁；，是 r 咖0 r n x “f 1 3 s r ”“的有界闭凸集，且( 4 1 4 ) 表明连续映射钾映射到0 和。通过 s c h a u d e r 定点定理【例子6 3 】，映射在甲在和中有一个固定点，如：甲有一个固定点 阱，睾卜 降矧卜， 忉 其中；。如( 4 1 6 ) 式。 因为有不等式忙忆s 0 爻训i 吲i 。和0 f k s0 耳l i | | | 硎。成立，因此我们得到： 7 7 忙，少) o 且鲋= 一彳，则 ( a q ，鲋) 叩。如果百是一个非常小的正实数，那么算法是稳定的。如果百是一个非常 大的数，必须改进数值运算方法。 5 2 向后扰动分析 设殳使( 5 1 ) 的对称正定近似解且岩一q 之o ，则存在一个正定矩阵满足岩= 岩? 。 设鲋和q 分别是( 5 1 ) 的系数矩阵a ，q 的扰动矩阵。记j = 岩l a ，e = j l a a ， r = , x - q - a 7 t c a 和r - - m f ，账 南京信息工程大学硕士学位论文 所以： j = q + a q + ( a + 鲋) r 岩0 + 鲋) _ _ a 。e + e 。a + e 。e + a q = r 烀p 协二呷，扣删卧懦 ( 5 2 ) p 协机k 猕q 扣吣叫 等价于： 攻p i l 殳f 铲芝三( q ) = 阮c ( r e 7 e ) c5 考虑非线性系统：r 酬妒- l l v i - l e t ( 阮r ) c “。1 = t + v e c ( r _ e r e ) ( 5 4 ) 考虑非线性系统：l 日l p f r 玩c ( q 州 ) ( 5 4 ) 因为丁是满秩矩阵，可得刀+ = 1 2 。所以在( 5 4 ) 式左乘r 就得到( 5 3 ) 式，这表 明( 5 4 ) 式的任何解都是( 5 3 ) 的解 显然，非线性系统( 5 4 ) 可看成是一个连续映射： i ：r 删打0r 删刀一r 删一0r 删疗 通过( 5 4 ) 式，映射满足如下的不等式： 厕即2 阿| 广1 1 q l l s 判r i i f + i 引 s 期”即2 旧l 广| i 蛾) 其中，：乓所以： h f 2 ；+ 0 2 阿i 广i i q i | ； s ；( 1 l r o ；+ 2 1 1 r o f ( o o ；+ a 2 0 戈f 1 o 一2o q l l ：) + ( 1 i e o ；+ 口2 i l j f l i i 一2o q i i ；) 2 c 5 5 ， 3 2 南京信息工程大学硕士学位论文 考虑方程 9 2 + ( 2 ，一，k + ，2 = 0 ( 5 6 ) 贝i j l 当i 4 r 时，( 5 6 ) 式有解。且( 5 6 ) 式的解为：g = l - 2 r ：t ：、f f l ( 1 - 4 一r ) ，取其中 一解手= ，令： = ( e ，臼i i j f li i 一q ) 1 0 ( e ，8 6 戈f 1i q ) l l f 手) 则0 是r ”o 尺“”上的有界闭凸集，且驴是从到0 的映射，通过s c h a u d e r 定点定 理( 【1 3 ，6 3 】) ，映射妒有一个定点( 8 弦卜q ) 在啪。且： l i ( 臣，臼。戈f 1 i i q ) k 茎手，o m k = 忙f l j 鲋| | ，茎i l 戈f l l i l | j 。鲋忆= l i 舅f 1 e i l f 结合事实：阻弘酬i ，= 厕丽s 附i i 瓜历丽 通过万的定义可得： 啦! i i ，1 1 ( ，臼1 1 2 i - 1 1 1 蚜批 = 弦惦= 厄附8 势 脚啦m 加南l ： ，类似上述觚镌 端q 一阮c ( r 彰e ) 7 ， 既然s 是满秩矩阵，可得奇异值分解为：s = u ( x ，o ) v 丁 ( 5 8 ) 其中= 幽曙b i ，一，仃。：) ，1 7 l 仃。： o ，【，和矿分别是疗2 和2n 2 矩阵，把( 5 8 ) 3 3 带入( 5 7 ) 得： 南京信息工程大学硕士学位论文 y 耀勉 其中y ：一1 u r 耽c ( r e ：e o ) ，l e oi f = m i n 俐l ，l i ( a o ) o l | m i n o a 0 0 ，e o = 戈。) 。， 且陋，q ) 矩阵方程( 5 2 ) 的解。 显然，筇2 m e i 灯n l l ，a q 川，m i n 0 a a r + o m i n l | 剑i 。如果7 4 芦，则： | l k ，o l l 2 。0 0 q ) 。：| i f - m l i 。1 u7 娩出0 一l i 。u 丁阮c 仁彳晶】l = l | ( 一字积州p r 苫k 岛捌 矿阱恸卜y 阱 l 忪+ 玩积0 一忙+ v e c 伍吾】l 忪+ 玩c r i i i s + e 。l 之p 玩积l h i s + l l ( i ；+ o 1 1 舅1 1 l l - 2i o q ) o l l ：) 之p 玩c r l l - l i s + l i腆乖汀i i1 9 妪 妙沈c r i l - | i s + 眵= p 玩c 尺j l - 事实上，i e o lf = 0 舅。0 彳) 。忆s0 戈- ( 洲) 。k ，可得： 万2 留陋，弘眺 2 r 2 川i ，一2 r + 4 l ( 1 - 4 r ) h 1 南京信息工程大学硕士学位论文 舭百剖i i 一毒 。 定理5 3 设彳r 删一和q r 默露是半正定实矩阵，i 彳，q j | 是稳定的，岩是( 5 1 ) 的对称近似解，戈一q o ，令： t 7 = 缸蜘，q ) 1 牙= q + q + o + 鲋) 7 舅o + 鲋) q o ， 彳2 曾j l ，0 a q ) i i f 小恻i 一芸卜晶 其中仆l ( 萌r ) + 伍硇，b ，南l ：j 一忙忆，肛豇川 小引枷1 1 驰 = e l r 职“表示第f ，j f 行和第f ，列的交汇处元素为1 其余全部为0 例：设彳2 l 一0 。2 5 5 三) ，q 2 ( 苫习，c 5 ) 的对称近似解为j = ( 詈： 令 “= 喜兰 ，q = 言： 之。，贝u ：c 彳+ 彳，7 戈。+ 彳，一露=