（应用数学专业论文）一类椭圆型方程解的存在性及多重性.pdf

一类椭圆型方程解的存在性及多重性+ 学科专业，应用数学 指导教师t 唐春雷教授 研究方向，非线性分析 研究生t 王娟( $ 2 0 0 4 0 8 1 4 ) 摘要 本文考虑如下带有d i r i c h l e t 边界条件的椭圆方程， 言叫慨：未， 以及 罐a u 。以“羁：募， 其中一为p - l a p l a c i a n 算子； p u = d l v ( v u r - 2 v u ) 且当p = 2 时为a u ， g ( 而矗，且) ， 0 为参数在我们的讨论中总假设p 1 ，n 为r n ( n 1 ) 中的带 有光滑边界a f 2 的有界区域 早在1 9 7 3 年，a m b r o s e t t i 和r a b i n o w i t z 利用著名的山路引理得到了方程( 1 ) 解的 存在性，但却需要假设a r 条件成立，即存在p p ，m 0 使得 0 2 时存在g6 ( 2 ，2 n ) ，当n = 1 ，2 时存在 q ( 2 ，+ o 。) 使得1 4 爷爷= o 关于z 孬几乎处处成立； ( ，3 ) ；1 墨! 号坐= n 关于。豆几乎处处成立，其中0 n p 时存在口( p ，器) ，当s p 时q ( p ，+ o o ) 使得t 掣= o 关于z 丽几乎处处成立； ( ，4 1 l i h r as 0 + u p l ；掣2 。( z ) 关于$ e 百几乎处处成立，其中口l 。( 两满足对所有 的孬都有a ( x ) a l 且存在某正测集cn 使得8 ( z ) 0 且存在础) 使得对几乎所有的。n 都有m 0 且，n i o h l 2 d - r = “， ，n h ( z ) i 妒h 1 2 出= 1 设，满足( h 1 ) 及 ( n 。l i r a 。+ 丛竽= 6 ( z ) o 且。当丛竽= d ( z ) o 关于z n 几乎处处成立，其 中6 ，d 三。( 0 ) 则当a d a b 或 a a d 时方程( 2 ) 有一个正解 i i 定理5 假设，满足( h 2 ) 以及 ( f 7 ) 丛= 6 ( z ) 。且川一l i m + 。丛= d ( z ) 。关于z n 几乎处处成立，其 中b ，d l 。( n ) 则当a d a a 6 或a b 1 a n de q u a l t o “w h e np = 2 ，f c r ，r ) ，a 0i sap 盯a m e t e r i no u rd i s c u s s i o n ，w ea l w a y s s u p p o s ep 1a n dni sab o u n d e dd o m a i ni nr ( n21 ) w i t hs m o o t hb o u n d a r y o w a m b r o s e t t ia n dr a b i n o w i t zh a v eg o tt h es o l u t i o n so fp r o b l e m ( 1 ) b yav e r yf a m o u s m o u n t a i np a s st h e o r e mi n1 9 7 3 ，b u tt h e ys u p p o s e dt h ew e l l - k n o w na rc o n d i t i o nh e l d ，t h a t i s ，f o r s o m e 王l p ，m 0 ， 0 2 a n dq ( 2 ，+ ) w n e n 2 s u 出。器错= 0 a eo nxe 孬； ( ，3 ) 嘎笔盟= n 0 a eo nns u c ht h a t 如i 妒h 1 2 如= 如h ( x ) l 妒h 1 2 d x = 1 s u p p o s e ，s a t i s f i e s ( h 1 ) a n d v ( f 1 。l i r a + 掣= b ( z ) o 且。羔掣- d ( z ) 。a e o nz 呱w h e 一，6 l ”c a ) t h e np r o b l e m ( 2 ) h a sap o s i t i v es o l u t i o n w h e n a d a a bo r a b a a d t h e o r e m5s u p p o s e ，s a t i s f i e s ( h 2 ) a n d ( ) 。l i r a 。i ( x t t ) = 6 ( z ) 。且磐。丛学= 武) 。a e z n ，w h e r e 6 ，d 工。) t h e n p r o b l e m ( 2 ) h a s t w o s o l u t i o n s i fa d a bo r 1 ，n 为r ( n 1 ) 中的带有光滑边界御的有界区域 早在1 9 7 3 年，a m b r o s e t t i 和r a b i n o w i t z 在文献【3 ) 3 中利用著名的山路引理得到了 方程( 1 ) 解的存在性，但他们却需要假设a r 条件成立后来很多文献又讨论了当a r 条件不成立时候方程( 1 ) 和( 2 ) 的解的存在性及多重性，例如文献f 6 】，吲，【8 】，【9 】，【l o 】， f l l 】，【1 2 1 ， 1 3 l ，【1 4 1 ，【1 5 】，【1 6 l ，【1 7 1 ，【1 8 】，【1 9 1 等 事实上，如果a r 条件成立则，在无穷远点必定是超线性的，由此可知超线性条 件比a r 条件弱，因此很多文献对，为超线性但又不满足a r 条件时方程( 1 ) 的解的 存在性进行了讨论，例如文献f 8 】，【1 0 ，【1 1 ，【1 2 】，【1 6 ，【1 7 】，f 2 0 】，【2 1 ，【2 2 1 ) 等他们使用 的大致方法是在，为超线性的假设下寻找比a r 条件弱但又能保证( p s ) 条件成立的 条件，再利用山路引理得到方程的解，其中使用比较多的是要求害等关于t 单调递 增( 例如文献m 1 l 】，【2 0 】，【2 2 1 ) ，这实际上也是一个比较强的条件 对于方程( 2 ) 的讨论大多也是在满足a r 条件或较弱的超线性条件下进行的但 当，在无穷远点为渐近线性时，显然就不再满足a r 条件因此如果仍然希望应用山 路引理来得到方程( 2 ) 所对应泛函的临界点，我们就必须同时克服由于失去a r 条件而 带来的验证相应的泛函具有山路引理所要求的几何结构以及验证相应的( p s ) 。序列在 础( n ) 中的有界性等困难很多文献也对，为渐近线性时方程( 2 ) 的解进行了讨论， 例如文献 6 l ，【i 8 ，1 1 9 l 等，但这些文献都要假设 1 骧1 3 竺= n p 使得下式成立。 “ j ( 0 ) ，讹) o 2 时存在q ( 2 ，i 乌) ，当n = 1 ，2 时存在 g ( 2 ，+ o o ) 使得1 j 爷斧2 o 关于z 孬几乎处处成立； ( ，3 ) 1 1 瑕! 竺= 口关于z 孬几乎处处成立，其中0 2 ，r 0 和c 0 使得 t q f ( z ，t ) 一t f ( z ，t ) c ( t 2 + 1 ) ，i t l2 r ( 畦) 函数g ( z ，t ) = f ( z ，t ) t 一2 f ( x ，t ) 关于t 为凸函数 易验证前面( 3 ) 中的，2 满足我们的条件( p ) 和( a 1 ) 但不满足( 0 2 ) 和( 畦) 实际上，如 果g ( z ，t ) 0 对所有的t 0 和z n 都成立，则有条件( a 1 ) 和( o ：) 可以推出( p ) 所 以我们的结论与文献【1 6 1 中的不同 4 2 一类不满足a r 条件的超线性椭圆方程的正解及多解 本节考虑如下方程 。_ ，扛一h6 兰 ( 1 ) 【u = 0 $ 砌， 一 在p 1 且，在无穷远点为超线性时正解的存在性以及解的多重性主要结果如下 定理2 假设，满足如下条件， ( 日1 ) 当t 0 ，$ 再时，( z ，t ) o ；当0 ，z 而时，( z ，t ) 三o ； ( ，1 ) 。粤等竿= + o o 关于。瓦几乎处处成立； ( 2 7 ) 当n p 时存在q ( p ，；器) ，当n p 时q ( p ，+ o o ) 使得当等筹= o 关于z 丽几乎处处成立； ( f 4 ) l i ms u p ! ：兰半= n ( z ) 关于。i i 几乎处处成立，其中口l 。( _ ) 满足对所有 的z 孬都有a ( z ) a 1 且存在某正测集州cn 使得a ( z ) 1 的情况但在他们的讨论中都假设( 1 1 1 ) ，( a ) 以及 ( ，6 ) 。骧2 ；等2 p ( z ) ，。里等筹= + 。o 关于。n 几乎处处成立，其中p ( z ) = i 【0 ， 1 ) ( 见文献【i i 】和文献【2 0 1 ) 或p l o o ( f 1 ) 满足i o o 0 且，n i 妒 1 2 d x = a h ， ，n h ( 圳妒 1 2 d x = 1 ( 参考【6 】) 设，满足( 日1 ) 及 ( f 1 。一l i m 。+ 丛挚= 6 ( z ) 。且。羔丛= d ( 。) o 关于z n 几乎处处成立，其 中6 ，d l ”( n ) 则当a d a a b 或 a a d 时方程( 2 ) 有个正解 定理5 假设，满足( h 2 ) 以及 ( f ，) 燃丛竽= b ( z ) 。且i 艘丛= d ( z ) 。关于z n 几乎处处成立，其 中6 ，d 工。( n ) 则当 a h b 或山 a a d 时方程( 2 ) 有一正一负两个解 注7 如果6 ( z ) ；b o ，d ( z ) id o ，a = 1 ，则= 等，a d = 每由定理4 知当 b o a l d 0 或d 0 0 足够小时正解的存在性。其 中0 q 1 p 2 一1 而文献【2 9 】又将f 2 8 】的结果推广到方程一= ( z ，u ) = 蛔( z ) “9 + u p ，其中c ( f i ) 最近文献【9 】9 将他们的结果推广到了更一般的非线性项 文献【9 1 9 在，满足， ( f 1 ) 存在0 q 1 2 ，1 r 2 ，a o 0 ，d 工( 孚) ( n ) 满足d 0 在n 上几乎处处成 立，使得对几乎所有的z n 和所有的s s o 都有 e f ( x ，s ) 蔓8 ，( z ，5 ) + d ( z ) 8 可以看出【2 8 l 和 2 9 l 中的非线性项都满足这条件实际上我们可以找出满足我们的 条件但不满足( f 2 ) 的非线性项，例如( 3 ) 中的，2 就满足我们的条件但不满足( f 2 ) 所 以我们的定理7 与文献【9 】9 的结论不同 五、主要结果的证明 定理1 的证明众所周知当p = 2 时方程( 1 ) 的非平凡解等价于如下c 1 泛函的非零临 界点一 f ( u ) 2 ；五i v u l 2 如一五f ( z ，“) 出 ( 4 ) 因为n o 。为常数，所以可假设 k 一1sd a k ( k 2 ) ，其中a k ( k 1 ) 为一的第k 个 特征值，对于n a t 的情况将在定理2 中给出证明我们将利用局部环绕来寻找( 4 ) 的 非零临界点为此需要将空间础( n ) 进行分解设e ( k ) 为第n 个特征值k 所对应的 特征子空间，令x 2 = e ( a 1 ) 审e ( a 2 ) 审o e ( 女一1 ) ，x 1 = ( x 2 ) 1 ，则础( n ) = x 1 0 x 2 且d i m x 2 0 使得对所有0 t 6 和几乎所有的z q 都有 址l 曼+ 掣s 札 a i l t 2s ，( z ，t ) t a i t 2 ， 从而当0 5 1 ，0 | t | t 5 时 a k l t 2 s ，( 茹，s t ) t h 产占 $ n 上几乎处处成立注意到f ( x ，t ) = 詹t l ( x ，s t ) d s ，则对所有的0 i t l 0 使得 f ( x ，t ) 伤i t l 9 对所有的i t l 26 和几乎所有的z n 都成立 现将x 1 分解为v ow ，其中v = e ( k ) ，w = ( x 2 + y ) 1 设1 i = 口+ w ，其中 u x 1 ，u v ， w 则由( 5 ) 知，当1 6 a 且川 j 时有 i ”( 。) i l “( 。) f l ”( i i “( 。) i 一1 1 ”i i 。阻( z ) f oo 训i2l u ( z ) i a l i “o ；l “( z ) 1 9 结台( 5 ) ，【7 ) 和s o b o l e v 不等式知对所有u x 1 且i i u l i 足够小都有 讹) = 扣俨一o m ，“) 出 = ；1 1 w l l 2 + ；二划”i 2 如一上f ( 。，u ) 如 2 ；i l w l l 2 一i 1 上划”i 2 如一丘n m 训升( f ( z ，u ) 一i l k i u l 2 ) d x 一伤2 钏训； 2 ：( z 六) l l 训t c a l f 训。 其中岛 0 为常数所以j 关于1 ，x 2 ) 在0 构成局部环绕 第二步证明j 满足( p s ) 条件设 u 。 为( p s r 序列( 其中 a , d 为容许的) 且存在e 0 使得 t 口。x s u p f ( u ) 0 我们司以得到 等字吲2 一o o 当n o o ( 1 4 ) 由( 9 ) 可得 - 一。( - ) = 上丛瓮孝i w i 2 如= 上。丛麓字i 1 2 出+ 厶丛薏辱堕1 w i 2 如( - s ) 同时，由( ，1 ) 知存在，y 一o o 使得对几乎所有的z n 及r 有埤坐2 7 由于当 n o o 时矗，1 w n l 2 如一0 所以存在a o 一o o 使得 二。丛皆i w 1 2 如7 z 。i 1 2 如勘 一o o ( - 6 ) 结合( 1 4 ) ，( 1 5 ) 及( 1 6 ) 得到矛盾，所以必有w ；o 另一方面，如果”；o ，取一实数列 k ) 使得，( t n t ，1 ) 2 置躏7 ( t ) 对任意的正 整数m 0 取 孚= 识而由( 2 ) 和( ，3 ) 知存在& 0 使得对所有的t 和几乎所 有的$ n 都有 即 ) 扣| c 1 2 + c 4 t 印 ( 1 7 ) 结合( 1 7 ) 及w n 的收敛性可得； l i r as 。u p ，。f ( z ，”善) 如= 甥二磐上f e ，4 v 4 磊w ) d x s l i m s 。u p ( 、加2 m 划1 2 出+ 上。( 4 m ) ；严如) = n m 2 u p ( c s l l w 。旧+ c 6 l l w n | | ；) = c 5 l l w l l ；+ c d w l ： = 0 其中岛， o 为常数由于当n o o 时i n - i l 一+ o o ，所以当n 充分大时有o 编 1 由t 。的定义可得 j ( 如) ，( t 曙) 2 m f f ( z ，：i ) 如m ， 从而有 i ( t n n ) _ + + o om _ o o ) ( 1 8 ) 注意到j ( 0 ) = 0 且当f ( ) c ，所以当n 充分大时有0 t 。 ，则存在m 0 使得对几乎所有的z q 和r 都有 f ( 霸t ) 2 娑阡一m ， 从而当一o o 时有 j ( u ) 扣“1 1 2 一警正m 2 如+ m 吲= j 1 ( 1 一乏) 怕1 1 2 + m i n i 一一o o ， 所以由局部环绕定理知方程( 1 ) 存在一个非平凡解u 定理2 的证明众所周知寻找方程( 1 ) 的非平凡解等价于寻找如下的c 1 泛函，的 非零临界点t j ( “) = ；上i v u l 9 出一上f ( z ，u ) 如 ( 2 1 ) 下面我们就分三步来寻找，( “) 的非零临界点 第一步证明存在p ，卢 0 ，使得对所有满足i = p 的u 嘣9 ( n ) 都有v ( u ) 卢 1 2 由( ，4 ) 我们可断言：存在正常数n 1 使得对所有的w ( n ) 都有 上。( 删印如 。上l 可“i 出 若不然存在序列 u 。 c 耐一( n ) 使得 互。( 圳u 。l ，如( - 一；) 上l v 即n 设= 赫，则 fa ( 。) l v i ，如2 1 一： t 由( 1 4 ) 及p o i n c a r e 不等式口j 得t 上。( 删1 9 出5a t 上 p n w v 1 9 如= i i v i i = 1 因此我们有 1 一；五n 。) l v n l ，出a - 五| p 出二| v i 如= 1 因为 在研，p ( n ) 中有界，则存在”w j p ) 使得 魄一。在w j ，p ( q ) 中弱收敛， 一 在妒( n ) 中强收敛 在( 2 2 ) 中令n o 。可得 - 五，如= ，悠二i v ”n 阳z = t 以及 厶( n ( z ) 一1 1 ) 如= o 。 由( 2 3 ) 结合”i i p 的弱下半连续性以及p o i n c a r d 不等式可得： = 1 骠想f 五i v l ，缸上l v ”1 9 出2 t 正9 如= l ， 从而有 a - 川9 出= 二 v 卵如= 1 。 由( 2 5 ) 可知”是如下特征值问题的第一个特征值所对应的特征函数， 一口= a l l 一2 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 由p - l a p l a c i a n 的相关结果可知u 0 ，结合( 2 4 ) 可知n ( z ) = a l 在n 上几乎处处成立， 这与( ，4 ) 相矛盾，所以假设不成立因此存在正常数n 0 使得 f 扛，拈；( m ) 州川9h 而 a ez m sm i s 陛嘉45 l 外is 而 a ez 画 令a = m “ 扣，矿m ) o ，则对所有的( z ，s ) e 孬只有 f 任，3 ) ；1 ( n 扛) + ) j s p + a l s l 。 ( 2 6 ) 由p o i n c a r d 不等式和s o b o l e v 不等击百r 得 ，( u ) 2 ；i l u 1 9 一；点( n ( 。) + 圳妒如一a 上川。如 扣u 胪一；上( n + 砉) i v u l ，出一。忙i i a = ；( 1 - a - 云) 陋i i n c t l l 吼 其中研 0 为常数又因1 一o t 一砉 0 且p 。， 所以有t ，l a b 。8 0 第二步证明存在e w 9 ( n ) 且i p 使得t ，( e ) o 存在村 o 使得对所有的 盯以 及z 磊有蚪令c ( e ) = m r 一，则对所有的t 0 及几乎所有z 再有 ，( z ，t ) 圭矿一1 一c ( ) ，( 2 7 ) 即对所有的t 0 ，o s 1 和几乎所有的z 再都有 ( x ，8 f 弦2 ；矿。1 矿一c ( d t ( 2 8 ) 将( 2 8 ) 网端在1 0 ，1 】肘s 积分有 f ( 。，) 2 壶矿一。( 6 ) 对所有的t 0 都成立由( 2 9 ) 可知 f ( z ，铆) 壶矿媸一c ( e ) t w 两边同除以护可得 掣- f f ln l ! 磐 一 因此 j ，a 塑t p 熊出上( 壶贸一訾f l , ) 如一j n “ o 令( 3 1 ) 中的t o o 可知对所有的s 0 都有 唧g 上掣如上壶触 由 0 的任意性可令一0 可得 。骧上! 掣如= 慨 因此有 掣= 扣酽一上等掣如一一础一删 所以取t o 足够大，e = t o q o l ，则j ( e ) 0 由山路引理知存在序列 “。 c 喇( n ) 使得 ，) = ；l i v u , d 9 如一上f ( 毛u ) d a - - , c 协- - , o o ) ( 1 + i l u 。1 1 ) l l j ( u 。) 1 1 0( 竹一o o ) 1 5 ( 2 9 ) ( 3 0 ) ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 结合( 3 2 ) 和( 3 3 ) 可得 上( ；，( z ，u n ) f ( z ，) ) 如= c + 。( - ) ( 第三步证明 t 1 ) 有界 我们用反证法证明若不然，存在 n 。) 的子列( 不妨仍记为 “。 ) 使得当n o o 时有i t u n i i o o 设t ，n = 翻，则有界，从而存在w 埘9 ( n ) 以及 l 的子列 ( 仍记为 ) ) 使得当，l 一一时有 一在蝴9 ( n ) 中弱收敛， 撕。一 在l 2 ( n ) 中强收敛， w n ( x ) 一”( z ) 在0 中几乎处处收敛 ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 易看出蝣和具有类似于( 3 5 ) ，( 3 6 ) 和( 3 7 ) 的收敛性方面，我们可以断言 + i0 若不然，设n l = 缸n ：+ 扛) = 0 ) ，n 2 = 忙en ：”+ 扛) 0 ) 因为当n o 。时 “n i i 一十，所以有时一+ o o 对几乎所有的$ n 2 成立注意到 t 。l i m - i - o o 磐t i p = 十m ， 。 因此对几乎所的有。e n 2 都有 l i r a f(“(x青)up一+n1)-n+oo = + ( “青) p - 1 若i n 2 | 0 ，则 因此 由f a t o u 引理可得 o ( 1 ) = ( ( “。) ，乱。) = 上j v “。i 出一上，( 。，“。) “。如 s i i 一正，扫，砖) u + d z j n 2 钏训( 一上，黼c 谢d z d ( 1 一z ：铬等( 确，如 蚴r 厶琶赭( 嗍，如 - i - o o 1 6 由此矛盾，所以1 n 2 i = 0 且w + = 0 另方面，如果矿；o ，取实数列 k ) 使得j ( t n u n ) 5 t m a x jj ( 2 t i ) 对任意的整数 m 0 令u 嚣：( 2 p m ) ；结合( ，2 ，) ，( 2 6 ) 以及蝣的收敛性可得 l i 。m s 。u p ，。f ( 删：1 ) 如= l i n m s u p f 。f ( x ，( 枷) ；”孝) 妇 曼1 i m s u p ( f 2 m ( a - + s ) ( 砧) d z + 上 ( 劬n ) 5 ( 瞄) 9 出) = l 罂掣( 仍阱1 i ；+ 删”舶) = c j 0 叫+ 临+ c i l 伽+ 惦 = 0 ， 其中6 8 ，西 o 为常数由n o 。时1 1 n - i i 一十o o 可知当n 充分大时有o s 群l 由。的定义可得 ， j ( t 撕) j ( 碟) 2 m 一厶f 扛，叫m m 2 ”， 所以 s ( t 。) _ + o o _ o o ) ( 3 8 ) 注意到，c o ) 2o 且，( “：) 。，所以当”充分大时必有o 0 ，同时也是方程( 1 ) 的解 其次考虑如下截断问题 言劬，u ：未， 阻， 其中 删，= 愕幻基 为了寻找方程( 4 1 ) 的解，令”= 一“，h ( x ，t ) = 一卯( z ，一t ) ，则方程( 4 1 ) 等价于以下 方程 禽甜。：i 未 c 易知如果口是( 4 2 ) 的解，则“= 一u 即是( 4 1 ) 的解由于，( 霸t ) 满足定理3 的条件， 所以m t ) 满足定理2 的所有条件，则由定理2 知( 4 2 ) 存在一个正解 0 ，因此 “= 一” 0 是( 4 1 ) 的解。同时也是( 1 ) 的解因此方程( 1 ) 至少存在一正一负两个解 定理4 的证明当a 给定时，寻找方程( 2 ) 的非平凡解即是要寻找如下泛函，的 非零l 缶界点； j ( “) = ；正i v 砰如一a 上f ( z ，u ) 出 ( 4 3 ) 一、考虑a d o 足够小使得1 一击一等 o 设2 0 ，m 0 使得 f ( z ，s ) 曼；( b ( 茹) + e ) 忙| 2 l s l 如 a e 蚝强 脚) s 蚶s 善| s i 叫一外l o ，则对几乎所有的( z ，5 ) e 再。r 有 即；( 删2 + 川扩 由p o i n c “d 不等式和s o b 。l e v 不等式可得到； m ) 扣卜- 上( 扣动刊m 2 - a 1 血 ；( t 一击一籼班仲旷， 其中a 2 o 为常数因为1 一击一等 o ，取p 足够小使得 卢垒；( t 一宅一蔷) 矿呐p 。， 第二步证明存在e 础( n ) 满足i p 使得7 ( e ) p 使得7 ( 8 ) 0 - 由山路引理知存在序列 ) c 础( n ) 使得 j ( ) = 1 。, v u 出一z f ( 毛t ，1 ) 如一c 伽- - o o ) ， ( 1 - 4 - i i l ) l l f ( u 。) l l p 一0 ( n o o ) 由( 4 5 ) 可知 ( ，( u n ) ，“n ) = i i v m l l 2 1 厶他，) u n d x 2 。( 1 ) ， 从而可进一步得到 a 鼻镶铲如州h ( 4 5 ) ( 4 6 ) 笫三步证明序列 “。) 在础( n ) 中有界 若不然存在 。) 的子列( 依然记作 ) ) 满足当，i o o 时0 0 一。o 令= 襦，则为h o b ( n ) 中的有界点列从而我们可以假设存在 础) 和 ”。 的一 个子列( 依然记作 ”。) ) 使得 一 在础( 2 ) 中弱收敛， n h 一在l 2 ( n ) 中强收敛， w n ( x ) 一 ( 功在1 2 中几乎处处收敛 很容易可以看出破a n d i 具有和( 4 7 ) ，( 4 8 ) ，( 4 9 ) 相类似的收敛性，其中“+ “一= m i n u ，o ) 令 ( 4 7 ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) = m a x u ，o ， 一 锴0 一x6 1 2 糍 由( f ) 和1 ) 可知i 学l 在n 兄中有界，从而存在l 0 使得对几乎所有的 ( z ，t ) n r 有 l 趔b l(50)t l 一一 因此0 0 在q 上几乎处处成立 实际上我们有+ 0 若不然，假设 ；0 ，则由( 4 6 ) ，( 镐) ，( 5 0 ) 及的定义有 4 c = 4 c x f f l 譬如+ 。( ) = 上a 丛乞竽如+ 。( ，) a l 上碡如+ 。( ) 一。 与c 0 相矛盾，从而t ，0 在由( 5 3 ) 及强极大值原理有 0 在n 上几乎成立 因为当t l o o 时i l u 。0 一0 0 ， 。扛) 一”扣) 在n 几乎处处成立，所以当n 一。o 时 一+ o o 在n 上几乎处处成立，从而 ( 。) ；d ( z ) ，再由( 5 3 ) 可知 ( v w v p a 幽妒) d z = 0 ( 5 4 ) 令( 5 4 中妒= m 则 fa d w 蛳如= 丘v ”v 妒a 出= 一上” , 妒d d x = a a ”蜘如， 这与a d 0 在n 上几乎处处成立 = 、考虑a b a 0 由( f ) 知对此e 存在6 0 及a 3 0 使得 f ( z ，8 ) a 31 8 f s 最 a ez 孬 f ( x ，8 ) s 去( d 扣) + ) 一1 2h 五a ez 孬 所以对几乎所有的( $ ，t ) ( n r ) 都有 f ( 甄8 ) s 去( d ( z ) + ) i s l 2 + a 3 由s o b o l e v 不等式可得 j ( “) = ；正l v u l 2 出一a 正f ( z ，“) 如 ；i l u l l 2 一；上( d ( 。) + s ) n 2 如一也a ；( 1 - - 宅一簧) 陋俨呐狮i _ + o 。 ( l _ o 。) ， 其中i n i 表示q 的测度 第二步证明，( “) 为弱下半连续事实上如果u n u ，则存在个子( 仍记作f ) 使得在l 2 中一且( z ) 一t (