（运筹学与控制论专业论文）delta算子不确定时滞系统的鲁棒控制理论研究.pdf

鲁东大学硕士学位论文 摘要 山于计算机技术的飞速发展和自动控制等领域的实际需要，离敝采样控制系统得到 了充分的发展，但是采样频二簪很高时，传统f n 信号处理和控制方法存在箭玎i 可避免的缺 陷，采j 1 jd e l t a 算予描述代替移位算予描述方法可以适当地弥补这些缺陷，而且在商频 采样过程中d e l t a 算予离散化模型可以趋近于原连续模型，这是d e l t a 算予的显著优点 山于鲁棒控制能够方便的处理系统中存在的不确定性及干扰，所以d e l t a 算子理论与鲁 棒控制理论的结合是一个较新的研究课题 本文从几个方面对d e l t a 算子不确定时滞系统的鲁棒控制作了初步的探讨 用线性矩阵不等式( l m i ) 的方法，对具有范数有界不确定及扰动的d e jt a 算子时滞 系统进行了h 。状态反馈和输出反馈分析和设计由于结论中的线性矩阵不等式含有采 样周期，所以当采样周期趋于零时，系统的稳定性能趋于连续系统的稳定性能 用线性矩阵不等式( l m ) 处理方法，研究了具有范数有界不确定性的d e l t a 算孑时 滞系统的保性能状态反馈控制及输出反馈的控制设计，使得闭环不确定时滞系统不仅是 鲁棒稳定的且闭环系统的二次型性能指标不超过某个确定的上界 用线性矩阵不等式( l m i ) 处理方法，研究了具有范数有界不确定性的d e l t a 算子时 滞系统的圩。滤波器设计问题，这对高速采样系统的抗干扰及状态估计是很有实际意义 的，当采样周期趋近于零时，仃i 计器的增益矩阵及性能趋于连续系统的增益矩阵及性能 关键词：d e l t a 算子：鲁棒控制；线性矩阵不等式；不确定性时滞系统 鲁东大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ed i s c r e t es a m p l e ds y s t e m sh a v eb e e nd e v e l o p i n gr a p i d l yw i t ht h ed e v e l o p m e n to f c o m p u t e rt e c h n o l o g y b u tw h e ns a m p l i n gr a t e s a l eh i g h ，m o s tt r a d i t i o n a ld i g i t a ls i g n a l p r o c e s s i n ga n dc o n t r o la l g o r i t h m sa r ei n h e r e n t l yi i l - c o n d i t i o n e dc o n s i d e r a b l yr e c e n tp r o g r e s s t o w a r da m e l i o r a t i n gs u c ha si j 】一c o n d i t i o n e dp r o b l e m sh a sb e e nm a d eb yt h eu s co fd e l t a o p e r a t o r , r a t h e rt h a nt h ec o n v e n t i o n a ls h i f to p e r a t o r , t or e p r e s e n tt h ed y n a m i c so fs a m p l e d d a t a a n di np r o c e s s i n gh i g hs a m p l i n gd a t as y s t e m ，d i s c r e t et i m em o d e lu s i n gd e l t ao p e r a t o r a p p r o a c h e sc o r r e s p o n d i n gc o n t i n u o u st i m em o d e l ，w h i c hi st h er e m a r k a b l ea d v a n t a g eo ft h e d e l t ao p e r a t o r u pt on o w , r o b u s tc o n t r o lt h e o r yw h i c hc a nc o n v e n i e n t l yd e a lw i t hu n c e r t a i n t y h a sb e e ni m p r o v e dg r e a t l y t h em e r g e ro fd e l t ao p e r a t o rt h e o r ya n dr o b u s tc o n t r o lt h e o r yi sa n e wt h e m e ，w h i c hi ss i g n i f i c a n tf o rp r a c t i c a lc o n t r o ls y s t e m s ，e s p e c i a l l yf o rh i g hs p e e d s a m p l e ds y s t e m s w ei n v e s t i g a t ei n i t i a l l yt h er o b u s tc o n t r o lo fd e l t ao p e r a t o ru n c e r t a i nt i m e d e l a ys y s t e m s a sf o l l o w s w ea n a l y z ea n dd e s i g nt h eh 。s t a t ef e e d b a c ka n do u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e r so ft h ed e l t a o p e r a t o rt i m e - - d e l a ys y s t e m sw i t hn o r r n - - b o u n dp a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e sa n dd i s t u r b a n c eb y u s i n go fl m l i ts h o w st h a tw h e ns a m p l i n gp e r i o di sd e c r e a s i n gt h es y s t e mi ss t a b l ea l lt h e s a m ew h i l et h ep e r f o r m a n c eo ft h ed i s c r e t e - t i m es y s t e mi sa p p r o a c h i n gt h ec o n t i n u o u s - - t i m e s y s t e m t h eg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lp r o b l e mo fr o b u s ts t a b i l i z a t i o na n dr o b u s tp e r f o r m a n c ef o r t h ed e l t ao p e r a t o rt i m e - - d e l a ys y s t e m sw i t hn o r m - - b o u n dp a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e sa l ed i s c u s s e d i nt h i sp a p e r t h ec o n d i t i o no fe x i s t i n gg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e ri sa n a l y z e da n dp r o v e di n w h i c ht h em e t h o d so l l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yi su s e d f h es t a t et e e d b a c ka n do u t p u tf e e d b a c k c o n t r o l l e r so ft h eu n c e r t a i nd i s c r e t et i m es y s t e md e s c r i b e db yd e l t ao p e r a t o ra r ed e s i g n e d w h i c hg u a r a n t e e st h es y s t e mb eq u a d r a t i cs t a b i l i z a t i o n a nu p p e rb o u n do ft h ec l o s e dl o o p p e r f o r m a n c es t a t i s t i cg i v e nb yt h ei n d e xo fq u a d r a t i cp e r f o r m a n c ei s f o u n df o ra l la d m i s s i b l e p a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s w es o l v et h e t l 。f i l t e rp r o b l e mo ft h ed e l t ao p e r a t o ru n c e r t a i nt i m e d e l a ys y s t e m ，w h i c h i ss i g n i f i c a n tf ox t h ea n t i - d i s t u r b a n c eo t t h eh i g hs p e e ds a m p l e ds y s t e m s 1 1 h cg a i nm a t r i xo l 鲁东大学硕士学位论文 t h ee s t i m a t o ro ft h ed e l t ad o m a i ns y s t e m si sa p p r o a c h i n gt h a tg a i nm a t r i x o ft h e c o n t i n u o u s t i m es y s t e m sw h e nt h es a m p l i n gp e r i o d si sa p p r o a c h i n gz e r o k e y w o r d s ：d e l t ao p e r a t o r ；r o b u s tc o n t r o l ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ；u n c e r t a i n t yt i m e d e l a y s y s t e m 鲁东大学学位论文原创性声明和使用授权说明 学位论文原刨性声明 本人郑重声叫：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成 果。除了文中特别加以标注引川的内容外，本论文不包含t i 何其他个人或集体已经发我 或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意以到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 割范 同期：为嵋年s 月2 6 同 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权鲁 东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密回。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：刘培同期：砷6 年主月j f 几 导蚰j 签名： 露溪r 期：p 口解 月，9f = j l ；。i 冀掺 譬。：! 鲁东大学硕士学位论文 1 1 研究的目的及意义 第一章绪论 山1 ：现实世界的复杂性，要得到系统和外界干扰的帮确数学模型足不可能的凶此， 控制系统的设计必须考虑在存在不确定性的情况下，反馈控制器能否仍然使控制系统稳 定并满足所希望的性能要求进入二十世纪八寸年代人们从实践与理论两个方面都越 来越深刻地认识到，在设计控制系统时必须考虑系统的不确定性因素，这就产生了专门 分析和处理具有不确定性系统的控制理论鲁棒控制理论在鲁棒控制理论中引人注 目的研究方向有鲁棒h 。控制理论、保性能控制理论、鲁棒。滤波设汁理论、结构奇异 值理论和k h a r i t o n o v 区间理论等本文主要研究鲁棒以控制、保性能控制和鲁棒以滤 波设计三部分内容 l _ 1 1 鲁棒以控制 鲁棒，控制思想的提出有很强的工程应用背景在二十世纪六十年代，随着现代 控制理论的状态空间方法的发展，出现了k a l m a n b u c y 滤波和最优二次控制理论为基础 的l q g 设计方法，并成功的应用于航空航天领域然而，在许多其它的实际控制系统 设计中，状态空间方法仍未能获得较好的应用，其原因是：第一过于依赖精确的数学模 型；第二对系统所存在的干扰信号作了某种不切实际的假设，即假定扰动为白噪声针 对以上两点原因，z a m e s i 1 ( 1 9 8 1 年) 提出了著名的厅，思想，即在假设干扰信号属于。个 有限能量信号集的情况下提出用其响应的灵敏度函数的范数做指标，在可能发生 的最坏干扰情况下，设计控制器使玑范数达到最小从而将干扰问题转化为求解使闭 环系统稳定和响应的j 【，一范数指标极小的输出反馈问题 日。控制的发展可机略的划分为三个阶段：频域法阶段、状态空f j j 法阶段、完善发 展阶段 第一阶段是采j j 纯颁域法，以h a r d y 空问中的，( | 1 ) o o ) ，h ，等概念为基础，以网 r 分解方法为工l 其处理题的基本方法是：首先，l 川划予分解方法得到所有稳定控 制器的参数化形，再将系统设计转化为模型匹雕问题。或进步转化为广义距离问题： 然后，用迭代方法求解( v i d y a s a g a r 丑, ( 1 9 8 5 ) ，c h uc ta 峨1 9 8 6 ) ) n ：这个阶段虽然问题 的表达简坼叫了似所川的数学l ：j 非常琐碎，所得的拎制器阶次较商，实现起来千j 州 难，而f 1 于强删频域力法，n ；处理时变系统时i 一分i 嗣椎，川| | n i i r 大柙度i ：限制了， 鲁东大学硕士学位论文 控制f f , j 进一少发腥 第二阶段足采用状态空m 法研究控制问题这一阶段始于d o y l e l 4 1 ( 1 9 8 4 ) 到 1 9 8 9 年d o y l e e ta l l 5 l 不仪对状态反馈，两且对输h 反馈的情形给出了h + 标准问题钉解的 允要条f t ：平1 1 次优控制器的参数化形式 第三阶段是发展和完善阶段在这一阶段，不仅一般线性系统j ，控制理论得到了 极大发展( 申铁龙1 6 ( 1 9 9 6 ) ) ，而且形成了一个重要的发展方向线性时滞系统的h 。控 制从l e ee ta l l 7 l r l 9 9 4 ) 针对线性定常状态时滞系统，利用状态空间法研究了无记忆片。状 态反馈控制以来，时滞系统的以控制受到国内外学者的高度关注，得到了很多结果( v u e ta l l 8 1 ( 1 9 9 6 ) ，h ee ta l l 9 l ( 1 9 9 8 ) ，s ue ta i l m i ( 1 9 9 8 ) ，k i ma n dp a r k i “j ( 1 9 9 9 ) ，d es o u z aa n d l i 1 2 1 ( 1 9 9 9 ) 等等) 这些结果处理的模型有时变时滞系统、状态或( 和) 控制时滞系统、不 确定时滞系统等；处理的方法有r i c c a t i 方程方法和l m i 方法；采用的控制器有状态反 馈控制器和输出反馈控制器 也控制理论已被应用于交流调速系统、倒立摆、柔性臂以及空间飞行器的姿态控 制中，相信随着该理论的不断完善，其有效性必将得到越来越多的证实 1 1 2 保性能控制 现代最优控制理论的基点是对象精确的数学模型，因而这种完美的理论受到工业控 制实践的强烈挑战c h a n ge la 1 ( 13 1 以矩阵多胞型不确定线性系统在二次性性能函数下的 保性能控制律为例进行了分析，提出了保性能控制的思想，即对不确定系统设计状态反 馈控制律”，使得阈环性能函数不超过某一确定的上限，其中，被称作保性能值，” 被称作保性能控制律不过这一定义是针对一类不确定系统5 c = f ( x ，“，q ，) 给出的，其中 不确定参数向量q q ( 有限闭集) 近十年来，随着不确定系统鲁棒二次镇定研究所取得 的极大进展，保性能控制再次受到关注( p e t e r s e na n dm c f a r l a n e i l 叫( 1 9 9 2 ) ) p e t e r s e na n d m c f a r l a n e i 5 1 ( 1 9 9 4 ) 研究了不确定线性系统量= ( a + 鲋) x + ( 日+ a b ) u ，x ( o ) = 关于积分二 次型成本函数的优化保性能控制问题，导出了j 蔓j = j 。线( j p 0 ) ，又通过求解一定 约束条件下的m i n x 0 7 问题，使 ! ，极小化，从丽获得仝局日标函数，的次优性这 一方法的优点是给性能指标提供了一个上界。这样l j 不确定性导致的系统性能的损害被 保证存这个l 二界之下m o h e i m a n ie la l t 将保性能控制摊j “到时滞系统，通过求解一个 确定的参数柏关的r i c c a t i 方程，给 j | 了保性能控制设计力法俞直等7 1 m i 也铂：这方面作 了探讨他们分别利j jr i c c a t i 方袱和线性知阶1 i 等式，j 法给了范数柯外4 i 确定悱 鲁东大学硕士学位论文 假改f ，系统存祚保f t ：f l 控制的条件和保性能控制器改汁办法俞立等卅还将保性能控 制 1 旷。到离敞时滞系统，利用线性矩阵不等式方法，给 l 了范数有界不确定性假设下， 系统存在保性能控制的条件和保性能控制器设计方法 1 , 1 3 鲁棒梯。滤波器 尽管在信号处理巾h 。滤波器对参数变化的敏感程度低于相应的厶滤波器，但是不 能保证当真实信号过程偏离假设模型时提供满意的性能为了解决由于模型误差造成的 性能缺陷的问题，出现了鲁棒玑滤波方法这类方法可以保证在出现参数不确定时系 统达到指定的爿。性能，线性定常系统的月。滤波问题可以简单的描述为给定一个外来输 入和量测输出的动态系统，设计一个滤波器来估计一个未量测的输出，使得从外来输入 到估计误差的映射以虬范数形式被最小化或达到指定的水平鲁棒f l 滤波t 0 1 题足针对 含有不确定参数的模型确定一个渐近稳定的滤波器，该滤波器保证滤波误差动态渐近稳 定，且从噪声输入到滤波误差输出的厶增益在一个指定的范围内对于模有界参数不确 定性的线性状态空间模型，鲁捧见，滤波的设计方法主要有两种，一种是r i c c a t i 方程法， 另一种是线性矩阵不等式( l m i ) 方法r i c e a t i 方法虽然具有一定的优点，但在处理一些 确定性问题，尤其是那些具有附加要求，如控制增益形式的限制、损失函数值上界的最 小化等方法时就会出现一些缺陷文献 2 0 1 已经指出许多系统理论中出现的问题可以映 射成l m i 形式，这属于凸问题，不但可以通过内点方法有效地求解问题，而且比较容 易处理各种附加的线性限制l i 和f u ( 2j t 用l m i 方法研究了范数有界不确定连续时问系 统的鲁棒h ：滤波问题g e r o m e l 等【2 2 】用l m i 方法处理凸不确定离散时间系统h ，和， 鲁棒滤波问题山于实际系统中不可避免的存在着时滞因此时滞系统的滤波问题也得 到了普遍的关注w a n g 和m a u l 2 3 l 研究了大范围离散时间延迟干扰系统的稳定状态观测 器设计h s i a o 和p a nr 2 4 1 研究了多时滞随机系统的鲁棒卡尔曼滤波问题最近，p i l a 等 用r i e c a t i 方程方法，研究了连续时滞不确定系统的鲁棒f ，滤波控制然而这种方法在 求滤波控制器的时候要预先给定参数值，有一定的保守性k i m t 2 6 1 用l m i 方法，设计了 | 时滞4 i 确定系统的佴棒，滤波问题 从m 诱来打，l i j1 二d e l t a 算予描述方法起步不久关j 二d e l t a 算了系统的鲁棒控制 综合分折没汁的研究成果尚1 i 多i 见因此，对1 ：1 jl 。m l 的方法研究d e l t a 算予不确定 寸滞系统的倍林，挖制、俅r i ：能控制年衢棒，滤波n q 题，将儿7j i 分深远的理论，腑 川价们 鲁东大学硕士学位论文 1 2 研究现状 d e l t a 算子或变换作为一种新的离散化方法，在快速采样的情况下使其离散模型趋 近于坂来的连续模型。成为连接连续模型和离散模型的统一批述方法引起了从事控制 理论与信号处理研究人员的普遍关注和研究兴趣日前d e l t a 算子理论在最优滤波l ”i 、 系统辨谢2 刚、自适应控制0 2 9 1 、信号处理1 3 0 l 、预测控制1 、鲁棒控制3 2 i 、敞障检测等 控制与估计的许多领域获得成功但山于d e l t a 算子描述方法起步不久，其主要用于解 决各种较为特殊的控制问题算法的改进而关于d e l t a 算子的控制理论的分析和综合方 面还没有形成系统的理论体系，因此具有极大的挑战性 随着计算机控制的飞速发展，不确定连续和离散系统的鲁棒控制理论取得了丰硕的 成果，但有关d e l l a 算子描述的不确定时滞系统的鲁棒控制问题的研究显得相对薄弱一 些关于d e l t a 算子理论方面的文章主要有：s o h i 讨论了d e l t a 算子描述的离散系统鲁 棒稳定性问题，给出了保证系统稳定的特征方程系数的最大摄动区间文 3 5 冲考虑了 具有时变矩阵不确定的一类线性d e l t a 算子描述的不确定系统的鲁棒稳定性，给出了稳 定性条件，其方法仍然沿用结构奇异值分析法，缺点是当系统有q l i 4 , 的稳定度时。构造 判别矩阵比较困难张平等f 3 6 】研究了d e l t a 算子的线性二次型最优控制，结果表明在相 同的加权下当采样周期，寸0 时，d e l t a 域的最优解趋近于连续域最优解，从而可以通过 解连续域的r i c c a t i 方程直接得到离散控制律，使得d e l t a 域的闭环特性更接近连续域的 闭环特性p i o u l 3 7 , 3 5 1 对d e l t a 算子系统的特征结构配置与鲁棒性能分析进行了深入的研 究但没有考虑d e l t a 算子系统的鲁棒性能设计问题，张端金p9 j 研究了d e l t a 算予描述 的不确定系统鲁棒性能分析和设计问题，但只考虑了在系统状态含有不确定性的情形， 且在输出方程不台有外部干扰，限制了应用范围e m m a u n e le ta l t 40 l 用r i c c a t i 方程方法 研究了d e l t a 算予离散时间h 。控制向峥嵘等f 4 1 1 用r i e c a t i 方程方法研究了区间d e l t a 算子系统的鲁棒。控制张端会等h 习用r i c c a t i 方程方法研究了d e l t a 算于系统的状态 反馈鲁棒镇定与鲁棒。控制李惠光等m l 用l m i 方法研究了d e l t a 算予定常系统的爿。 状态反馈控制向峥嵘等【4 4 lj j jl m i 方法研究了不确定模糊d e l t a 并子系统的曾棒，。控 制明1 ) 9 l 等1 4 5 1 研究了d e l t a 算c 4 , 确定系统的状态反馈最优f | 成水控制仕! 系统【 1 没考 虑滞问题f | ij i 滤波设汁能处理换型l ，的不确定性所以滤波器被广泛f 内应川 ：科学 和，f ：槲的不同分支前，以：d e l l a 辩0 ：系统的鲁棒滤波力的研究也取得了一些研究成 粜文献1 4 6 4 7 d j d e 了范数n 群1 i 确定d e l t a 钎r 系统亿约水条f l 卜的f i ： 棒滤波n d 题文 f f | j ：1 4 8 l 研究了n 仃f ：域极j i 约瓜的范敏r j 抖0 i 确定1 ) e l l a 矩r 乐统，。竹怍滤波i 儿汁义 鲁东大学硕士学位论文 献 4 9 3 硼f 究了范数订界矸：确定d e l t a 算予系统，l 鲁林滤波l 嫂汁神；以f ：文献一i l 研究的佝 棒滤波m 逝足采 jr i c c a l i 方程的方法文献f 5 0 】j | jl m i 办法研究了d e l t a 铭了确定系统 的1 1 。滤波器问题而j 日l m i 方法研究升i 确定t i ：d e l l a 筇r 4 i 确定时滞系统的，角棒滤 波的文章还未见报道 1 3 本文的主要内容 将d e l t a 算子系统与鲁棒控制理论结合是一项很有意义的研究课题i l j 于内点法的 提出并完善及计算机技术的广泛应用，使线性矩阵刁；等式( l m i ) 成为解决控制问题的强 有力工具，本文的目的就是用l m i 方法来研究d e l t a 算子不确定时滞系统的鲁棒，控 制、保性能控制和鲁棒，t 滤波，本文的具体安排如下： 第一章：简要介绍了鲁棒也控制、保性能控制及鲁棒也滤波器的发展过程及理论 研究成果，总结了d e l t a 算子的鲁棒h 。控制、保性能控制及鲁棒胃。滤波 器的研究现状，并给出了本文的主要内容； 第二章：介绍了离散系统d e l t a 域状态空间描述、线性矩阵不等式( l m i ) 的基础知识、 m a t l a b 中的l m i 工具箱及在文中将要用到的不等式： 第三章：运用l m i 给出了d e l t a 算子不确定时滞系统的鲁棒。状态反馈和输出反 馈控制器设计方法： 第四章：利用l y a p u n o v 泛函和l m i 方法，给出了d e l t a 算子不确定时滞系统的保 性能状态反馈和输出反馈控制器的设计方法，并建立了最优保性能的凸优 化问题； 第五章：采用l m i 方法，给出了d e l t a 算予不确定时滞系统的日。滤波器的设计方 法： 第六章：主要是术文的创新点、结论及展耀 鲁东大学硕士学位论文 2 1d e l t a 算子理论 第二章预备知识 山丁汁算机技术的匕速发展和工业自动化等领域的实际需要，从而使得离散采样控 制理论得到了长足的发展然而，有关离散化模型的控制理论与应用的研究结果表明， 当离散化系统的采样频率很高的时候，若采用传统的z 变换对系统进行离散化，则有以 下缺点： ( 1 ) 将导致采样系统的所有极点位于稳定的边界上使系统的稳定性变差； ( 2 ) 在有限字长的计算机中实现时，引起量化误差、极限环振荡等数值不稳定的问题； ( 3 ) 离散化系统的模型的参数并不趋于连续系统的相应参数，且易引入非最小相位零点， 使散化后的系统稳定性变差 针对以上缺点，澳大利亚的控制理论专家g o o d w i n 5 1 , 5 2 1 教授等建议采用d e i t a 算子 ( 称为增量差分算子) 来离散化连续系统，在快速采样的情形下使其离散模型趋近于原来 的连续模型d e l t a 算子现已成为连续时间模型和离散时间模型的统一描述方法，既避 免了z 变换引起的数值不稳定的问题，又使得传统的用于连续域的各类设计方法可以直 接用于离散域，从而使得d e l t a 算子在高速信号处理、宽带通讯与数字采样控制等方面 具有广阔的发展应用前景 d e l t a 算子或称e u l e r 算子，定义【5 3 】为： 6 6 x ( t ) = 车工( ，) 7 1 ：o ，鼍、，、 ( 21 ) 兰尘! ! 二三坐1 7 1 o j 川7 为采样周期 考虑一个线性连续状态空删模型 i i ( ，) = a x ( t ) + b u t t ) i y ( ，) = c x ( t ) j 1 豆过零阶保持器离救化，j i | ；幺删j 嗣竹移化锥j ，形一弋的离敝午；j ；，q 为 l q x ( t ) = ax ( f ) + 黟，“( f ) l h ，) = c x ( t ) ( 2 2 ) ( 23 ) 鲁东大学硕士学位论文 哒垠 月。= p 。7 ，吼= e a c t - v ) b d r ( 2 4 ) 从爿。，色的表达式可以看“ ，当t - - ) 0 l t , t i m 。a 。= ，1 。i m 。b 。= o ，是单位阵，结果与棚应 的连续系统无关 引入万算子计算可得d e l t a 域内的离散系统如下： j 裂咆“d 鸠“，) ( 2 5 ) i y ( ，) = c x ( t ) 、 这里 以= 竽= a , 0 t ( ao ) a 加争州a o ) b 以= 寻_ =，乓= 詈= 甲( a ， 州栅小争等 很明显，当r _ 0 时，甲( r ) ，因此有；觋以= 爿，；蠛易= b 以上表明，随着采样频率升高，d e l t a 域状态空间模型收敛于相应的连续与状态空 间模型 另外考虑系统传递函数，三个域内的传递函数分别为： g 。( s ) = c ( s l 一彳) 。b q ( ：) = c ( z l 一4 ) “b g ( r ) = c ( 一以) 。眈 我们可以得到 婴g ( z ) = o ，嘞 ( j ) = g ( s ) 山此可见，利用这利t 新的算予来描述离散采样系统，具有如下优点： ( 1 ) 当采样周期趋于零时d e l t a 算r 系统的模型参数趋于榭应的连续时n q 模犁参数，所 得结果也趋于连续情形的粕l 应结果： ( 2 ) d e l t a 算予模裂中采样煳期 1 ；为娃j 参数，便于观察羊| i , ) - 0 1 , 4 旧采样蹦l 盯f 控制系统 的 l ：l - ：f i ： ( 3 ) d e l t a 算予实现l l , j 儿f r 姓f f ：- f 1 9 数f 特悱包括7 i 限 k 特性、系数定敞j l ，j i f l i b j 优 j ：干多俯鞠0 二 鲁东大学硕士学位论文 2 2 线性矩阵不等式( l m l l 线性矩阵不等式( 1 i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ，l m o 足一种解决约束问题的凸优化方法， 在i _ i 4 内外控制理论界引起了广泛关注在处理不确定系统的许多鲁棒控$ , l a l 题及其柠制 系统邢论t ，引起的j e 它控制问题，都可转化成l m i 或带l m l 约束的最优化问题和数 的数学计算工具包逐步彤f 制成功，进一步推动了l m i 在控制系统巾的应用目前，l m l 技术已成为解决控制工程、系统辨识、结构设计等领域许多问题的有效工具用l m l 技术来解决控制问题，是目前和今后控制理论发展的一个重要方向1 5 4 1 2 2 1l m i 基础 所谓线性矩阵不等式( l m i ) 是指如下形式的矩阵不等式 f ( r ) 皇磊+ i f o ， ( 2 6 ) 其中，一，是m 个实数变量，称为l m i ( 2 1 ) 的决策变量，x = ( - ，) 7 r 是由决箫变量构成的向量，称为决策向量，f = f 7 r ，i = o l 1 ，是一组给 定的实对称矩阵 通常，在控制理论研究中所遇到的二次非线性矩阵不等式，通过下面的s c h u r 补引 理可以转化为l m i ，这也是l m i 在控制理论研究中能得到广泛应用的主要原因之 引理2 1 ( s c h u r 补引理) 设| ) ，肘，q 为适当维数的矩阵，则分块对称矩阵 瞄m 冰， 7 qj 成立，当且仅当 q 0 ，p m q 。m 7 0 ， 或p0，9一m 7 p 。m 0 柏：控制理沦，f - 经常遇到的两种矩阵不等式为 ( 1 ) l y a p u n o v 不等式 a7 p + ，) 一+ d 0 ，p = p7 r 州” ( 2 ) r i c c a t i 小等式 a lp + p a + p b lb p + q ( 0 ，p = p | er 楸娃然，l y a p u n o v1 i 等赴l 。m l ，而r i c c a t i ，：f i 等式l ”j ：禽钉二次项p b 7 口，) 故该 j 址一次姚阵1 i 等式f f d d , j l ! = 1 m i 似足。利川封i 阳：f | js c h u r 补t i ：质可以钺容易将儿变 为1 m i ， 鲁东大学硕士学位论文 a r p + ，p a + q 他 o 1 b 7 ， 一，j 控制理论中其他常用的矩阵不等式绝大多数与上述两类不等式类似 l m i 的求解一般可归结为下列三类问题： ( 1 ) 可行性问题( l m i p ) ：对给定的线性矩阵4 ；等式f ( x ) 0 ，检验足否存在x ，使 得f ( x ) 0 成立的问题称为l m i 的可行性问题如果存在这样的r ，则该l m i 问题是可 行的，否则是不可行的 ( 2 ) 特征值问题( e v p ) ：该问题是在一个l m i 约束下，求矩阵g ( x ) 的最大特征值的 最小化问题或确定问题的约束是不可行的它的一般形式为： r a i n a g ( z ) “7 【0 ) 0 这个问题也可转化成以下等价问题： m i n c t x s ，f ( x ) 0 ，使得a 2 m + 旯p + n 0 成立 引理2 5 给定适当维数对称矩阵r ，g ，h ，则 y + h f ( t ) g + g 7 f7 ( r ) h 7 0 ，使得】，+ c h i t 7 + 。g 。g 0 成立 证明( 充分性) 山h f ( t ) c + g7 f 7 ( ，) h7 e h h + 8 - 1 g 。g ， 可得 y + 1 1 f ( t ) g + g 7 f7 ( f ) h7 0 ( 必要性) 山 ，+ h f ( t ) g + g 7 f7 ( f ) 7 4 ( r 7 ( h ) 2 【一1 1 1 17 x ) 2 鲁东大学硕士学位论文 再次运用引理2 4 ，可得存在e 0 ，使得 h h 7 + e y + b 2 g7 g 0 成立 即 一1 h h 7 + y + e g 7 g 0 把占用s 。替换，可得 y + e h h 7 + c - i g 7 g + ( 彳5 l + 1 ) x ( k d 【) + ( 眈2 + a 吃2 ) “( 七) + ( b a + 母d ) “( 七一d 2 ) + b 6 w ( 七) z ( ) = g x ( t ) + d i l u ( k ) + 么w ( k ) + ( 名l x ( k d 1 ) + d l2 u ( k d 2 ) ( 3 1 ) y ( 七) = c 2 x ( 女) + j d i l w ( k ) ( 女) = 0 ，【一m a x ( d i ，d 2 ) ，0 】 其中x ( 女) r ”指状态向量；“( t ) 冀9 指控制输入向量，叠( k l ，2 ) 指时滞：w ( 女) 矗指 干扰输入向量； z ( k ) r 指控制输出向量：y ( f ) r - 指可测输出向量 4 ，a 。b ：，b a ，d i 。，d 。，g ，d i ：，c 2 和d 2 。指满足适当维数的常数向量矩阵 假设 ( 4 ，玩：) 是稳定对矩阵地，地，峨：a n d 伤指满足范数有界不确定性的时变矩阵， 即 【m 。以见：a b u 】 = g f ( k ，o e l e 2h 。t t ，】 其中g ，h 。，h ：，e l 和易指满足适当维数的实常数向量矩阵 l e b e s g u e 可测项满足： ，7 ( 女，t ) f ( k ，) 1 廷巾，是适1 5 维数的单位矩阵 3 2 状态反馈控制器设计 设计如下状态反馈控制伴： h ( ，) = k x ( t ) 以节 ( 1 ) c 】j ：； 、系统( 3 1 ) _ f i i ( 34 ) 址渐近稳定的： f 3 ，2 ) 不确定性矩阵f ( k ，1 是 3 3 ) ( 3 4 ) 鲁东大学硕士学位论文 ( 2 ) 从“ ) 到z ( ) 的传递函数t 。( r ) 的以范数满足 0 l ( r ) l l 。 0 是已知的正常数，= 是6 算子的转换变量其中z 指移位算予( g ) 的转换 变量 l ( r ) 的以范数定义为： 卧) l 旦s u pa m 以) = 翟鼢 ( 3 s ) 其中d 。( ) 指( ) 的最大奇异值，v 厶定义为： ) | | 2 ： s ：o v 7 ( ，) v ( o a t 尼 o 。 ( 3 7 ) 其中s ：。在连续时间时表r i e m a n n 积分，而在离散时间时表r i e m a n n 和 3 2 1 主要结果 定理3 1 对于任意j 下数s 和y ，采用( 3 4 ) 的状态反馈控制律的d e l t a 算子不确定时滞系 统( 3 1 ) 是渐近稳定的且满足l l ( ，) k ，如果存在适当维数的对称正定矩阵x ，q ，s ，最 满足 够= ( 3 8 ) 其中 雨。= “r 县5 娑7 + r 墙5 焉7 ，讯= n 毒y + 壤9 + ，属5 焉+ r 驰彰j 死= 7 z 骚q 。+ 礤矗c 1 。， 讯= 强5 ，r + 竭尽h ，讧= 玎冬n 最9 + ，【4 + 骂。纠+ r 焉s 焉7 + r 目 玛， 强= 喝7 + d 球+ 7 雹点琢十巩气瓦= 蠲7 + g 譬+ 巩 研+ 7 毪点，0 氟= _ ，+ n 是q 7 + g 弋( _ ，氟= 一，+ 峭q 7 + 蝇焉h 7 则状态反馈控制律( 3 4 ) 的增益知婀：可以从以下的等式1 - 求钳 q = k x ( 3 9 ) s 。 。 d 。 一吼一0+o o 0 一吼 置 阿阿o o o o一。 一 o o 0 o s 。 oo o岱。+。一一一+。 b b一。+ 7 j 7 1 ，一蛾一+ + t 。 。 一奶 _ 。 + $ 鲁东大学硕士学位论文 证明：i _ h 状态反馈控制律( 3 4 ) ，闭环系统可以表示为： 1 6 x ( k ) = a j ( 七) + ( 一j l + a a j i ) j ( 七一d ，) + ( 吼+ 口j ) k x ( k d 2 ) + b w ( k ) ：( 七) = ( c 6 + dj l k ) j ( 七) + d 5 w ( k ) + c i r ( 七一d 1 ) + d 12 k x ( k d 2 ) ， lj ( 女) = 0 ， e 【一m a x ( d l ，d 2 ) ，o 】 其中以= ( a s + 鲥。) + ( 峨2 + 乓2 ) k ，以t = 以i + 地l ，毋= ( 岛+ 眈) k 引进如下l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 方程： 一l 一i v ( k ，x ( 女) ) = x 7 ( 女) n ( t ) + x 1 ( 邮。x ( ) + x t ( i ) k r ：k x ( i ) ， ( 3 1 0 ) ( 3 1 i ) 当w ( ，) = 0 时，满