（应用数学专业论文）近似完全重构dft调制滤波器组的设计.pdf

摘要 近年来，d f t 调制滤波器组的理论和应用受到了广泛的关注与余弦调制滤波 器组相比较，d f t 调制滤波器组有一个独特的优点，即它可以将信号的正负频率分 量分割到不同的子带而独立处理，因而特别适合于处理复值信号d f t 调制滤波器 组正日益广泛地应用于各个不同的领域中，如数据压缩、特征提取、自适应滤波 及图象处理等本论文主要研究了近似完全重构( n p r ) d f t 调制滤波器组的设计 本文的主要研究内容包括以下两部分： 首先，考虑一种新的近似完全重构( n p r ) d f t 调制滤波器组的原型滤波器设 计方法其优化的目标函数由滤波器组的输出混叠、输出失真及原型滤波器的阻带 能量所导出与目前的d f t 调制滤波器组的设计方法相比，该方法具有简单的优化 描述，同时提供了相当大的设计灵活性，即通过加权系数的调整可以根据实际应用 要求灵活调整滤波器的阻带水平、滤波器组的输出混叠和输出失真之间的折衷仿 真结果证实了所提出的设计方法的有效性 其次，研究了一种新的迭代算法，该算法同时优化分析原型滤波器和综合原 型滤波器使得滤波器组的输出混叠、输出失真和原型滤波器的阻带能量的加权和 最小化在每次迭代时，此算法都会产生一个最优解针对于特定的应用，优化问 题中的输出失真、输出混叠及原型滤波器的阻带能量可以灵活折衷 关键词：调制滤波器组原型滤波器近似完全重构迭代d f t a b s t r a c t m o d u l a t e df i l t e rb a n k sh a v eg a i n e dm o r ea n dm o r ea t t e n t i o ni nr e c e n ty e a r s a s c o m p a r e dw i t hc o s i n em o d u l a t e df i l t e rb a n k s d f tm o d u l a t e df i l t e r b a n k so w na l l u n i q u ea d v a n t a g et h a ti t c a ns p l i tp o s i t i v ea n dn e g a t i v ef r e q u e n c yc o m p o n e n t si n t o d i f f e r e n ts u b b a n d sf o ri n d e p e n d e n tp r o c e s s i n ga n dt h e r e b ya l - es u i t e dt oa n a l y z ea n d p r o c e s sc o m p l e x - v a l u e ds i g n a l s d f tm o d u l a t e df i l t e rb a n k sa r ew i d e l ya p p l i e di n t o m a n ya r e a ss u c ha s d a t ac o m p r e s s i o n , f e a t u r ee x t r a c t i o n ，a d a p t i v ef i l t e r i n g ，i m a g e p r o c e s s i n g ，e t c t h i sp a p e rp r e s e n t san e wm e t h o df o rt h ed e s i g no fm o d u l a t e dn e a r l y p e r f e c tr e c o n s t r u c t i o nd f t m o d u l a t e df i l t e rb a n k sw i t hd i f f e r e n ta n a l y s i sa n ds y n t h e s i s p r o t o t y p ef i l t e r s t h i sp a p e rm a i n l yc o n s i s t so f t w op a r t s ： t h ef i r s ta s p e c ti sc o n t r i b u t e dt oan o v e ld e s i g nm e t h o df o r t h ep r o t o t y p ef i l t e r so f an e a r l yp e r f e c tr e c o n s t r u c t i o nq 叮p r ) d i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o r m ( d f t ) m o d u l a t e df i l t e r b a n k t h eo b j e c t i v ei sd e r i v e df r o mt h eo u t p u td i s t o r t i o ni n d u c e db yt h ef i l t e rb a n k ，t h e a l i a s e dc o m p o n e n t st h a ta p p e a ri nt h eo u t p u t ，a n dt h es t o p b a n de n e r g yo ft h ep r o t o t y p e f i l t e r s c o m p a r e dw i t l lt h ec u r r e n tm e t h o d so fd f t m o d u l a t e df i l t e rb a n k t h ed e s i g n m e t h o dp r o p o s e di nt h i sp a p e rc a ng e n e r a t ef i l t e rb a n k sw i t l le q u i v a l e n t e v e nb e r e r p e r f o r m a n c e s ，a t t h es a m et i m e ，o w n sas i m p l e o p t i m i z a t i o nf o r m u l a t i o na n d c o n s i d e r a b l ed e s i g nf l e x i b i l i t y ( t h es t o p b a n dl e v e lo ft h ef i l t e r s ，o u t p u ta l i a s i n go ft h e f i l t e rb a n ka n do u t p u td i s t o r t i o nc a nb ec o m p r o m i s e db ya d j u s t i n gt h ew e i g h t c o e f f i c i e n t si nt e r m so fd i f f e r e n ta p p l i c a t i o nr e q u i r e m e n t ) t h es i m u l a t i o nr e s u l t sv e r i f y t h ee f f e c t i v e n e s so f t h em e t h o d i nt h es e c o n da s p e c t ，w ep r o p o s eaf o r m u l a t i o nf o rt h ed e s i g no fn e a tp e r f e c t r e c o n s t r u c t i o nf n p r ) d f tm o d u l a t e df i l t e rb a n k , w h i c hm i n i m i z i n gt h eo u t p u t d i s t o r t i o n ，t h eo u t p u ta l i a s i n g ，a n ds t o p b a n de n e r g yf o rt h ef i l t e rb a n k an e wi t e r a t i v e a l g o r i t h mi sp r o p o s e dt oo p t i m i z es i m u l t a n e o u s l yo v e r b o t ht h ea n a l y s i sa n dt h e s y n t h e s i sf i l t e rb a n k s t h i sa l g o r i t h mi ss h o w nt oh a v ea no p t i m a ls o l u t i o nf o re a c h i t e r a t i o n t h ea d v a n t a g eo f t h i sp r o b l e mf o r m u l a t i o ni st h a tt h eo u t p u td i s t o r t i o n , o u t p u t a l i a s i n g ，a n ds t o p b a n de n e r g yo ft h ep r o t o t y p e f i l t e r sc a nb ef l e x i b l ec o m p r o m i s e d d e p e n d i n go nt h ep a r t i c u l a rp r a c t i c a la p p l i c a t i o n f o raf i x e ds t o p b a n dl e v e l ，t h e p r o p o s e da l g o r i t h e my i e l d sas i g n i f i c a n tr e d u c t i o ni nb o t ho u t p u ta l i a s i n ga n do u t p u t d i s t o r t i o no f t h ep r o t o t y p ef i l t e r sc o m p a r e dt oe x i s t i n gm e t h o d sa p p l i e dt ot h en u m e r i c a l e x a m p l e s k e yw o r d s ：m o d u l a t e df i l t e rb a n k s p r o t o t y p ef i l t e r n e a rp e r f e c tr e c o n s t r u c t i o i t e r a t i v ed f t 西安电子科技大学 学位论文创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任 本人签名：熊把平本人签名：曼曼求! l i日期：2 0 0 8 乏3 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生 在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学本人保证毕业离 校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学学校有 权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分 内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文( 保密的论文在解密后 遵守此规定) 本人签名：鱼量丝壬 导师签名：刻三目 1 日期：2 0 略f 2 3 日期：型丝：! 堕 第一章绪论 第一章绪论 1 1 多速率滤波器组的基础理论 近年来，多速率数字信号处理与m 带数字滤波器组在许多领域( 如语音、图像 处理、天线系统等) 受到重视并得以应用【l 】，其基本原理都是先通过分析端的一 组滤波器及其级联的抽取器( 下采样) 将输入信号分解为多个子带信号，在子带 域根据应用场合不同进行相应的处理，最终在综合端通过一组插值器( 上采样) 及其级联的综合滤波器组将子带信号恢复成为原始输入信号或稍有失真的原始信 号 多速率是指在一个信息处理系统中，存在多个不同的采样速率，包含被处理 信号采样率的变大或变小过程因而在多速率系统中除了包含单速率系统中常用的 基本单元( 如乘法器、加法器和延迟单元) 之外，必然含有能改变信号采样速率 的单元，即m 倍抽取器( 下采样) 和l 倍插值器( 上采样) ，如图1 1 所示 m 倍下采样l 倍上采样 图1 1 多速率信号处理的组成单元 图1 2m 通道滤波器组 最近几年，数字信号的多速率处理理论得到不断完善，多速率数字处理系统的 设计和其高效实现结构的研究引起人们的广泛兴趣枷】，已提出多种类型的滤波器 组的设计和实现如图1 2 所示，这是一个m 通道滤波器组，采样数目是k ，滤波 2 近似完全重构d f t 调制滤波器组的设计 器的通道数目是m 当k = m 时，这种滤波器组称为临界采样( 最大下采样) 滤波 器组；当k m 时，这类滤波器组称为过采样滤波器组【3 叩”卯在图1 2 中 风( z ) ，县( z ) ，风，一。( z ) 称为分析滤波器组，g o ( z ) ，g l ( z ) ，g 0 一。( z ) 称为综合滤波 器组将x 0 ) 通过e ( z ) ( o i s m 1 ) 分裂成m 个子带信号，子带信号的带宽将 是原来的1 m ，故它们的抽样率可降低m 倍为了恢复信号，综合滤波器组 g ( z ) ( 0 i m 1 ) 之前应加上m 倍的插值器e ( = ) 的作用是将x ( n ) 分成m 个子带 信号，并作为抽取前的抗混叠滤波器；g t ( z ) 的作用是既将信号重建，又作为插值后 的去除映像滤波器鼠( z ) 的通带频率依次邻接占据整个数字频段，其间没有空隙， 如图1 3 所示 厂确风风_ 弧。 图1 3 各分析滤波器通带频段分布 显然，上述的处理方法可以提高信号处理的效率，将一个信号分解成许多子 信号是信号处理中常用的方法 2 9 1 例如，在语音的压缩和传输应用中，假定单位时 间内输入信号的每个样本所允许的传输比特数是b ，并且信号的能量主要集中在低 频带在子带编码时，对低频带的几个子带信号分配的比特数是6 ，而对较高频带 的几个子带信号分配小于b 的比特数在接收端，对子带信号解码，上采样，再由 综合滤波器组合成显然，子带编码可以有效地降低信号传输的比特率 如图1 2 所示，信号由x ( 胛) 分解、处理和综合得到j ，( 胛) ，我们希望 x ( ，z ) = y ( n ) ，然而这个要求实现起来是非常困难的如果子带滤波器组系统的输入 输出之间满足y ( 聆) = c $ x 一n o ) ，即此时的重构信号是原始信号的延迟( 或者再 乘以一个常数) ，信号波形不变，为延时的采样数，则称为完全重构( p e r f e c t r e c o n s t r u c t i o n ，简称p r ) 系统对于完全重构性还有一种特殊情况，即 y ( ) = c 木x ( ) ，此时滤波器组的传递函数是一个常数，通常称这类特殊的完全重 构滤波器组为双正交滤波器组【5 3 】如果对子带信号未作任何处理，多速率滤波器组 重构信号的误差一般来自以下三个方面1 1 2 1 ： ( 1 ) 混叠失真( a l d ) ：这是由于分析滤波器组和综合滤波器组的频带不能完全分开 及x ( ”) 的抽样频率，：不能大于其最高频率成分的m 倍所致 ( 2 ) 幅度失真( a m d ) 及相位失真( p h d ) ：这两项是由于分析与综合滤波器组的频带 在通带内不是全通函数，而其相频特性不具有线性相位所致 ( 3 ) 对x o ( n ) ，而( 聆) ，嘞。( 胛) 作m 倍抽取后再作处理( 如编码) 所产生的误差( 如 第一章绪论 3 量化误差) 上述误差来源中，第三种来源于信号编码或处理算法，它和滤波器组无关， 因此，在滤波器组的理论中，研究最多的是如何消除第一类和第二类失真，或是 着重消除其中的一种滤波器组的理论主要集中在如何实现输出对输入的准确重 建及如何设计出所需要的各种类型的滤波器组有关的详细内容可参看文献 2 , 9 1 1 3 , 1 4 , 1 5 我们进行滤波器组设计时的首要任务是选择适宜的分析和综合滤波器，使整 个多速率系统的幅度失真、相位失真和混叠失真可以控制在一个合理的范围内， 甚至完全消除，即几乎完全重构或完全重构同时各子带滤波器具有较好的性能表 现，如有较小的过渡带、较小的通带波纹和较大的阻带衰减多速率滤波器组的设 计问题通常可以归结为一个优化问题来解决 1 2 多速率滤波器组的发展概述 滤波器组是一种多速率数字信号处理系统，当分析和综合滤波器组均满足特 定条件时( 分析和综合滤波器组分别是一个或两个原型滤波器的余弦或复指数调 制形式) ，我们称这个滤波器组为调制滤波器组调制滤波器组作为多速率滤波器组 的一种特殊形式，通过调制一个或者两个原型低通滤波器得到各个通道的滤波器， 大大降低了滤波器组的设计难度，不仅如此，这类滤波器组可以借助d f t 或者d c t 实现，有很高的计算效率，因此在实际信号处理中，它们有着极其广泛的应用主 要有两类调制滤波器组：复调制滤波器组( d f t - f b ) 和余弦调制滤波器组( d c i ：f b ) 多速率数字信号处理的发展始于2 0 世纪7 0 年代中期 2 3 6 4 0 1 ，至今已经有3 0 多年的历史了当时，多速率技术主要用于抽样率的提高或降低，信号的子带编码 等对滤波器组的研究主要是如何极小化两通道滤波器组的各种误差1 9 8 0 年， j o h n s o n 提出了一类两通道正交镜像滤波器组1 2 2 1 ，该滤波器组没有混叠失真和相位 失真，只存在较小的幅度失真1 9 8 1 年，n u s s b a u m c r 提出了伪正交镜像滤波器 组1 9 8 3 年，c r o c h i e r e 和r a b i n e r 将当时的研究成果汇集成书，这是国际上第一本 多速率数字信号处理方面的专著 1 9 8 4 1 9 8 6 年，s m i t h 和m i n t z e r 各自独立的提出了两通道精确重构滤波器组的 设计方法唧1 随后，众多学者又开始研究m 通道滤波器组的理论【5 5 】r a m s t a d 和s m i t h 各自 独立地将精确重构的条件表示成矩阵的形式v e t t e r l i 2 3 l 和v a i d y a n a t h a n 2 4 各自独立 地采用了多相位分量的方法，多相位的表示方法极大的简化了滤波器组的理论 1 9 8 7 年，滤波器组的发展又取得了极大的发展：d y a l l a t h a n 【2 5 l 系统地提出了 m 通道正交滤波器组的理论他对正交滤波器组进行了参数化，提出了f i r 无损系 4 近似完全重构d f t 调制滤波器组的设计 统的格型结构任意一个正交滤波器组都可有格型结构实现，滤波器组的精确重构 性可由格型结构保证即使格型结构中的参数量化也不会影响滤波器组的精确重构 性因而，滤波器组的设计可表示成一个无约束的优化问题由于这种滤波器组满足 功率补的关系，因而只需极小化各分析滤波器组的阻带，就可获得具有良好特性 的滤波器组这一结果不仅对多速率信号处理理论本身的发展起着重要的作用，而 且为后来m 带小波理论的建立提供了理论基础【5 6 1 此后，v a i d y a n a t h a n 和d o g a n a t a ， h o n g ，n g u y e n 等人对该方法作出进一步的完善v a i d y a n a t h a n 还揭示了滤波器组的 无混叠性与伪循环矩阵之间的关系 在某些应用中( 例如图像的子带编码) 中，希望滤波器组具有线性相位在两 通道精确重构的正交滤波器组中，不存在非平凡的线性相位滤波器【3 l 】1 9 8 9 年， n g u y e n 和v a i d y a n a t h a n 3 2 提出了一种双正交的两通道线性相位滤波器组，并给出 了相应的格型分解结构随后，他们又提出了一种m 通道精确重构的线性相位滤波 器组i 驯他们给出的格型分解结构可同时保证线性相位性和精确重构性，但这种结 构仅包括这种滤波器组的一个子类，因而是不完备的v e t t e r l i 和g a l l 也提出了一种 不完备的线性相位滤波器组的分解结构【7 1 但在m ( h p 2 ) 通道精确重构滤波器组 中，这两个性质是可以相容的1 9 9 3 年，s o m a n ，v a i d y a n a t h a n 和n g u y e n 提出了m 通道线性相位正交滤波器组的理论【4 1 1 当m 是偶数时，他们给出格型结构是完备 的2 0 0 0 年，l a b c a u 4 2 1 等人提出了过采样的线性相位正交滤波器组的结构、分解和 设计标准 多速率滤波器组与小波变换有着非常紧密的联系 s 9 , 6 0 1 m 代小波可由迭代的m 通道滤波器组成2 0 世纪8 0 年代末到9 0 年代中期，小波分析研究成为热点1 9 9 3 年，s t e f f e n 等人在m 通道正交滤波器组的基础上提出了k 正则m 带小波的理论 相对于二带小波，m 带小波可以更细致更紧凑地表示信号 1 9 8 7 年，g i l l o i r e 将多速率滤波器组与自适应滤波相结合，提出了子带自适应 滤波的算法相对于全带自适应，子带自适应在很多情况下可以大大降低计算的复 杂度并提高收敛速度1 9 9 5 年，m o r g a n 和t h i 提出了一种无延迟的自适应滤波结 构d o r o s l o v a c k i ，h o s u r 等人提出了小波变换域的自适应滤波算法1 9 9 8 年，w u 和 c h e n 在语音增强中，提出了子带卡尔曼滤波的算法 1 9 8 9 年，h o a n g 和v a i d y a n a t h a n 提出了非均匀滤波器组的理论非均匀滤波器 组的抽取因子不完全相同，因而在频带划分上有更大的灵活性1 9 9 1 年，n a y e b i 等 人提出了非均匀滤波器组的时域设计方法k o v a c e v i c 和v e t t e r l i 提出了数据率可以 按有理数变化的非均匀滤波器组 1 9 9 2 年，n a y e b i 等人提出了滤波器组的时域设计方法该方法非常灵活，精确 重构的，近似重构的，线性相位的和低延迟的滤波器组都可以在该理论框架中实 现 第一章绪论 5 1 9 9 2 年，n a y e b i 等人提出了时变滤波器组在很多情况下，信号的时频特性是 时变的，因而有时需要用时变滤波器组来适应信号的时变特性此后，q u e i r o z ， h e r l e y 等人提出了时变正交滤波器组和小波包1 9 9 4 年，s o d a g a r 等人提出了时变 滤波器组和小波的时域设计方法1 9 9 6 年，p h o o n g 和v a i d y a n a t h a n 揭示了时变滤波 器组的许多重要性质，并指出它与传统滤波器组的差别不久，他们又对时变无损 滤波器组进行了分解1 9 9 8 年，l c m m a 和d e p r e t t e r e 提出了时变双正交滤波器组的 状态空间方法 1 9 9 1 年，k o i l p i l l a i 和v a i d y a n a t h a n 提出了余弦调制滤波器组精确重构的充要 条件，并给出了一种格型实现【5 盯余弦调制滤波器组是一种特殊的多速率滤波器组， 它的分析和综合滤波器组是由一个或者两个低通原型滤波器经过余弦调制得到的 因此，余弦调制滤波器组的设计可以简化为原型滤波器的设计余弦调制滤波器组 不仅设计简单而且有很高的实现效率因而，余弦调制滤波器组成为多速率滤波器 组的研究热点之一1 9 9 5 年，l i n 和v a i d y a n a t h a n 4 3 v 提了一种2 m 通道的余弦调 制滤波器组它的所有分析滤波器( 两个除外) 的带宽是2 石m ，而不是通常的疗m ， 其实现复杂度和编码增益相当于一个通常的m 通道余弦调制滤波器组1 9 9 6 年， x u ，n g u y e n 等人提出了双正交的余弦调制滤波器组，在双正交的余弦调制滤波器 组中，可以得到低时延的余弦调制滤波器组1 9 9 9 年，h e l l e r 提出了调制滤波器组 的一般理论框架2 0 0 0 年，s i o h a n 和r o c h e 提出了基于扩展高斯函数的余弦调制滤 波器组 1 9 9 2 年，n g u y e n 提出了一种二次约束的最小二乘( q c l s ) 算法该算法将优 化的目标函数和约束条件表示成优化函数( 滤波器系数) 的二次函数，因而可以 得到解析的梯度和h e s s i a n 阵在优化过程中，n g u y e n 使用的是通用( 标准) 的非 线性优化算法n g u y e n 用q c l s 算法设计了两通道滤波器组，近似重构的伪正交镜 像滤波器组，精确重构的余弦调制滤波器组等多种滤波器组，获得了较高的阻带 衰减此后，许多学者都采用q c l s 算法来设计滤波器组 1 9 9 8 年，k l i e w e r 和b o l e s k e i 各自独立地提出了过采样的余弦调制滤波器组 同时，c v e t k o v i c 和b o l c s k e 各自独立的提出了过采样滤波器组的框架理论1 9 9 9 年， x iz h a n g 和t o s h i n o dy o s h i k a w a 6 h 给出了一种两通道f i r 滤波器组的设计方法，该 滤波器组在结构上满足p r 条件，同时运用r e m e z 迭代算法，避免求解非线性方 程组2 0 0 0 年，c h a r ts c 】提出了基于两级合并结构和c m f b 的完全重构非均匀 滤波器组设计方法，这是最新的设计方法到目前为止，还没有人提出非均匀线性 相位的完全重构滤波器组的设计方法 最先提出的d f t 滤波器组按下列方式设计滤波器组： ( 1 ) 选择一个合适的低通滤波器日( z ) ，其截止频率为，r m ，按如下方式 日i ( z ) = 日乜砰篮) 七= 1 ，2 ，m - 1 ( 1 1 ) 6 近似完全重构d f t 调制滤波器组的设计 q ( ：) = o ( z r e z ) = m h ( z k )k = 1 ，2 ，m - 1 ( 1 - 2 ) 选择各通道滤波器，上式就是对z c ( z 1 等间隔频移的复调制，因此这种滤波器组称 为复调制滤波器组 ( 1 ) 滤波器组的频谱混叠只考虑相邻频带滤波器的混叠 ( 2 ) 通过抑制滤波器阻带增益减少不相邻滤波器之间的混叠 对于由式( 1 - 1 ) 和( 1 - 2 ) 定义的d f t 滤波器组，总结如下： ( 1 ) 由于各通道滤波器的频率响应不满足关于，r 2 的对称特性，因此可以称d f t 滤波器组为伪q m f 滤波器组 ( 2 ) 一般情况下，该d f t 滤波器组存在混叠：在滤波器只和耳+ ，之间过渡带的输入 信号频谱会在滤波器q 。和e 之间的过渡带产生混叠频谱，该混叠频谱通过q 输 出到输出信号，这一部分的混叠频谱不能被其他任何频谱抵消因此一般情况下 d f t 滤波器组只能是几乎完全重构，除非h ( z 1 是一个长度为m 的矩形窗函数， 事实上，上述d f t 滤波器组的传递矩阵是近似对角矩阵 和d f t 滤波器组一样，余弦调制滤波器组本质上也是一种q m f 滤波器组， 例如，根据下列方式选择各通道滤波器频率响应的余弦调制滤波器组： ( 1 ) 分析和综合滤波器组都有2 m 个通道 ( 2 ) 各通道滤波器的带宽为，r m ( 3 ) 第1 通道滤波器的频率响应通过一个合适低通滤波器m ( z 1 作频移为 ( 2 f + 1 ) l r 2 m 的复调制得到 ( 4 ) 各通道滤波器成对出现，且相互共轭，可合成一个实的冲击响应，即 研 ( z ) = 月0 阡苗1 ) i = 0 , 1 , - - - , m l ( 1 - 3 ) 研叫( z ) = 日( z 降苗。1 ) f = 0 , 1 ，m 一10 - 4 ) 上面两式在时域上可以表示为 批挖) ：矗( ) ，警f - 0 ，l ，肘一1 ( 2 t + 1 ) x 群一( 一) = o ) e - rj = 0 ，1 ，m 一1 ( 1 5 ) ( 1 6 ) 因此它们的合成滤波器冲击响应为 帕) = 帕) + 枷) - 2 坳胭( 咖垦笔马( 1 - 7 ) 滤波器组的设计可以归结为对目标函数和约束条件的优化问题，它们中或含 有非线性约束条件，或对初始值敏感，或对参数变化敏感，或在目标函数或约束 条件中出现积分运算，这些都会增加计算的复杂度 第一章绪论 7 在应用方面，多速率滤波器组最早是用在语音压缩编码中，同样的思想也被 应用到图像的子带编码中o l i v i e re g g e r f 4 5 1 、j o h nw - w b o d s h q 等在这方面做了很多 有意义的工作同时，多速率滤波器组和多速率信号处理的思想还被应用到通信( 包 括c d m a ) 系统、雷达信号处理及噪声抑制等许多领域 1 3 本文的主要工作 本文的主要研究内容包括两部分： 首先，提出了一种新的近似完全重构( n p r ) 离散傅立叶变换( d f t ) 调制滤波器 组的原型滤波器设计方法，原型滤波器的设计最终被转化为一个简单的非线性优 化问题该方法能有效控制滤波器组的失真水平，且可以根据实际需要灵活调节原 型滤波器阻带衰减、系统输出混叠及输出失真 其次，提出了一种新的迭代算法，该算法同时优化分析原型滤波器和综合原 型滤波器使得滤波器组的输出混叠、输出失真和原型滤波器的阻带能量的加权和 最小化 本文的结构安排如下： 第二章：概述了调制滤波器组的基本结构和理论，介绍了多相分解理论和n o b l e 等效理论，这些知识是本文工作的基础 第三章：提出了一种较为简单的n p rd f t 调制滤波器组设计新方法，其优化的 目标函数由滤波器组的输出混叠、输出失真及原型滤波器的阻带能量所导出我们 利用d f t 调制滤波器组的特殊结构合理简化了滤波器组的输出混叠，输出失真 该方法提供了相当大的灵活性同时具有简单的优化描述，仿真结果证实了所提出 的设计方法的有效性 第四章：提出了设计近似完全重构( n p r ) 离散傅立叶变换( d f t ) 调制滤波器组 原型滤波器的新的迭代算法在每次迭代时，此算法都会产生一个最优解针对于特 定的应用，优化问题中的输出失真、输出混叠及原型滤波器的阻带能量可以灵活 折衷 最后，简要总结了论文的研究工作，阐述了上述研究中的不足和下一步工作 的方向 第二章调制滤波器组的基础理论 9 第二章调制滤波器组的基础理论 当分析和综合滤波器组均满足特定条件时( 分析和综合滤波器组分别是一个 或两个原型滤波器的余弦或复指数调制形式) ，我们称这个滤波器组为调制滤波器 组【l o , 3 q 调制滤波器组是多速率滤波器组中一类非常重要的滤波器组各种滤波器 组的分类如图2 1 所示 滤波嚣组 余弦调制滤被嚣组 非均匀滤波器组 一， 1 均竺渡嚣组， 。 7 非调制滤波器组 ，删凇嬲h 晰调制滤潞组l 图2 1 滤波器组的分类 2 1 信号的抽取和插值 在多速率数字信号处理中，最基本的操作是通过对信号的抽取和插值来实现 信号采样率的变换，我们采用下采样器( 抽取) 和上采样器( 插值) 来实现之 2 1 1 下采样器( 抽取) ( 玎) = x ( m n ) 图2 2 ( a ) m 倍下采样 ! 叫工 生 胸卟 菇托 ( b ) l 倍上采样 图2 2 ( a ) 所示的是一下采样器，时刻r l 的输出等于时刻m n 的输入输出序列中 只保留了那些采样序号为m 的倍数的采样点，或者说是从输入序列中抽取出这样 的点，因此下采样操作也称为抽取显然，通过下采样可以降低采样率这样的操作 1 0 近似完全重构d f t 调制滤波器组的设计 意味着信号在时域的压缩，因此在频域中信号的频谱将会产生相应的扩展下采样 的输入输出的频域关系可表示为： ( 纱) = 面1 乙。m 。- l z ( e 胁2 ，村) ：域关系为： ( ：) = 上m 。y ”k = 一0 1 石( 形z 击) ， w = e - j 鲁 ( 2 2 ) 由式( 2 - 1 ) 可看出，将信号x ( n ) 作m 倍的抽取后，所得信号的频谱等于将原信号 x ( n ) 的频谱x ( e j - ) 先作m 倍的扩展得至f j x ( e 川”) ，再将x ( e 问) 在轴上2 疗区 间内作2 k l r m ( k = 1 ，2 ，肘一1 ) 倍的移位，幅度降为原来的1 m 后再叠加下采样 后信号的频谱如图2 3 所示因此，当信号带宽大于t r m 时，下采样就会引起混叠， 此时咖) 就不能由下采样信号蜘( 甩) 恢复 图2 3f 采样所引起的频域中的效果图例- 3 ) 这里我们介绍一下由于下采样所引起的混叠对于一个下m 采样器，其输入和 输出信号的时域关系为y d ) = x ( m n ) 图2 4 给出了一个下4 采样器的输入输出 示意图图2 4 中左图是输入信号x ) ，右图是输出信号y d ( n ) 下采样器输入输出 关系的频域表达式为式( 2 1 ) ，下面利用图2 5 来说明一下混叠现象的产生，在 此图中假定m = 3 第二章调制滤波器组的基础理论 t 新謦o o m p ht i m e 幽挪嘲 图2 4 下采样时域操作示意图0 i = 4 ，左为输k x ( n ) ，右为输出) ，( 玎) ) x 。、 ( c 3 场( 一勺 图2 5 下采样所引起的频域混叠现象衅3 ) 为了避免产生混叠现象，信号x ( 栉) 的频谱要限制在卜万m ，石m 】，一般会 在下采样之前进行低通滤波，压缩其频带，该低通滤波器称为抗混叠滤波器，如 图2 6 所示，h ( z ) 是一个理想低通滤波器，其频率响应为【1 1 】： 酢个 爱旧髦 ( 2 - 3 ) 令滤波后的输出为v ( ) ，则： v ( 玎) = h ( k ) x ( n k ) ( 2 - 4 ) 对v ( 竹) 抽取后的序列为y ( n ) ，则： y ( n ) = v ( m n ) = h ( k ) x ( m n 一后) 1 2 近似完全重构d f t 调制滤波器组的设计 那么： = x ( k ) h ( m n - k ) 】，( 扩) = 万1m 刍- i z ( e j ( m - 2 k z ) m ) 日( e j ( c j - - 2 k t t ) m ) 2 1 2 上采样器( 插值) 图2 6 抽取前滤波框图 ( 2 - 5 ) ( 2 6 ) 如果需要把几个窄带信号复合在一起构成一个宽带信号，则需要信号的上采样 过程，也就是增加信号的采样率一个三上采样器如图2 2 ( b ) 所示，其实质是在 输入信号x ( n ) 的相邻两个采样点之间插入工一1 个零点它的信号输入与输出的关 系是： 时域撩咖) = 心d 趟片墨数 z 域关系：( 痧- x ( z l ) ( 2 8 ) 频域关系：0 ”) = j 0 伽) ( 2 - 9 ) 式( 2 - 8 ) 的推导如下： 乓( z ) = y e ( n ) z 一= 儿( 甩) z ” = y e ( k l ) z 一= x ( k ) z 虹 ( 2 1 0 ) = x ( z ) 在式( 2 9 ) 中，x ( e j 。) 的周期为2 石，但x 0 廊) 和( p 归) 的周期均为2 丌l 在 啊万的范围内，y z ( e j 。) 是由x ( e ”) 的带宽压缩l 倍，同时产生了l 一1 个镜像频 谱，因此k 0 扣) 在一石一，r 内包含了l 个x ( e ”) 的压缩样本采样率的增加导致信 号的频谱在原始采样率归一化的数字频率域内，出现了l - 1 个镜像频率，为了得 到与原始信号一致的采样信号，需要进行抗镜像滤波，如图2 7 所示 图2 7 插值后滤波框图 第二章调制滤波器组的基础理论 h ( z ) 既去除了v ( e 扣) 中多余的l - 1 个镜像，又平滑了v ( n ) 中填充的零点从 式( 2 9 ) 可以看出输出信号的频谱是输入信号频谱压缩l 倍，并以2 石l 为周期 重复，只要原始信号满足采样定理，上采样后就不会发生混叠 2 1 3n o b l e 等效 三爿互卜掣m 叫g ( ) r 1 + ( 口) 三爿互卜酽 叫十卜_ 叫g ( ，) 卜- + ( 6 ) 图2 8 易位等效结构 在多速率信号处理中，n o b l e 等效 2 1 是很重要的特性，特别是在多相位分解中， 利用这种等效单元可以大大简化予带滤波器组的结构一个m 倍下采样器跟一个 滤波器6 ( z ) 级联等效于一个滤波器g ( ) 跟一个m 倍下采样器级联：一个滤波器 g ( z ) 跟一个l 倍上采样器级联等效于一个l 倍上采样器跟一个g ( z ) 滤波器级联 如图2 8 ( a ) 和( b ) ，这两个基本的易位等效结构也称为n o b l e 等效 在此，我们对n o b l e 等效做简单证明： 驰) 2 玄荟z ( z v m w k ) g ( z ) e ( z ) = 刍工( z 似形) g ( ( x ( z v u 矿广) = - 搓x ( z u u w ) g o ) ( 2 - 1 1 ) hl = o k - o 所以k ( z ) 等于五( z ) 同理可得： e ( z ) = 【x ( ：) g ( ：) 】忆= g ( 矿) x ( ) k ( ：) = g ( z ) k ( z ) = g ( z ) r ( z 。) ( 2 - 1 2 ) 亦知( z ) 等于墨( z ) 2 2 多相分解 我们可以将滤波器矗( ”) 的二变换h ( z ) 写成【1 6 1 1 4 近似完全重构d f t 调制滤波器组的设计 刖= 域啦 t = i g m o z - u 7 + h ( m l + 1 ) z 1 肿”+ + h ( m l + m - 1 ) z 叫7 删 l；l=i=- = h ( g o z - + r 1 h ( m l + 1 ) z - u 7 + + r 肌1 域m ，+ ，一1 ) z 州7 l=-l；l=曲 删 = 一弓) 一f 2 - 1 3 ) 式( 2 1 3 ) 是滤波器h ( z ) i 型多相分解的表达式( v a i d y a n a t h a n ，1 9 9 3 ) ，其中 弓( 力= h ( m l + j ) z 。 ( 2 1 4 ) - o 称为h ( z ) 的多相分量在此，滤波h ( z ) 被分解为m 个滤波器：第一个滤波器的 系数是_ j i ( 所) 中序号为m 的整数倍的样点，第二个滤波器的系数是 ( 聊) 中序号为 m 整数倍加1 的样点，依次类推 现在分析图2 9 ( a ) 中的先滤波再抽取的操作应用滤波器多相分解得到图 2 9 ( b ) ，再应用n o b l e 等效得到图2 9 ( c ) 实际上，图2 9 ( c ) 表明图2 9 ( a ) 中的整 个操作等价于将信号x ( m ) 中序号为k 加m 的整数倍的样点用滤波器系数为h ( m ) 中序号为k 加肘的整数倍的样点的滤波器滤波，k = o ，m 1 咖，匝乎叫互卜砌， ( a ) 誓一t 一 ( b )( c ) 图2 9 ( a ) m 倍抽取；( b ) 使用多相分解的抽取； ( c ) 使用多相分解和等效变换的抽取 同理，多相分解也为插值后再滤波的操作提供了另外一种重要的等价结构， “哪 第二章调制滤波器组的基础理论 如图2 1 0 所示，但通常要对式( 2 1 3 ) 稍做修改定义e ( z ) = 点0 - l - j ( ：) ，则插值 滤波器的i i 型多相分解为 m - 1 日( z ) = ：叫- - j r j ( z ”) ( 2 - 1 5 ) j = o 基于该式和等效变换，得到图2 1 0 ( b ) 删互卜叫互卜砌， ( a ) x ( 小) ：一1 z i ( b ) 图2 1 0 ( a ) m 倍插值：( b ) 使用多相分解和等效变换的插值 2 3m 通道滤波器组 2 3 1m 通道滤波器组的基本关系 x ( z ) 图2 1 1m 通道的滤波器组 y ( ：)