（应用数学专业论文）nsaf代数的并不可约理想.pdf

摘要 n s a f 代数是近几年引入的一类重要的非自伴算子代数，它包含了强极大t a f 代数 和通常的套代数，是套代数直和的极限( 范数闭) 不可约理想关于交与并的运算在非自 伴算子代数的研究中扮演着重要的角色，本文主要研究了n s a f 代数的并不可约理想 ( j o i n - i r r e d u c i b l ei d e a l ) 首先我们考察了并不可约理想与交不可约理想( m e e t - i r r e d u c i b l e i d e a l ) 之间的基本关系，然后给出由标准嵌入和加细嵌入得到的n s a f 代数的并不可约 理想接着研究了套代数直和的并不可约理想，它们直和的并不可约理想可由它们的并 不可约理想来表示接着我们研究了n e s tu h f 代数的并不可约理想，证明了任意一个 n e s tu h f 代数2 【中的一个理想s 是并不可约理想的充分必要条件是：要么s 是一个任 意生成的推广了的半投影理想要么s 是由2 【中的一个有限维因子里的一个同理想空间 中的任意一个部分等距算子主生成的半投影理想它覆盖了h u d s o n 关于强极大三角 u h f 代数的相关结果最后，我们定义了j i 一链，建立了n s a f 代数的并不可约理想与 j i - 链之间的关系借助j i - 链，我们刻画三角代数以及n s a f 代数的并不可约理想 关键词：n s a f 代数，并不可约理想，套代数，块理想，投影理想，半投影理想，j 卜 链 a b s t r a c t硕 = 论文 a b s t r a c t n s a fa l g e b r ai sa ni m p o r t a n tk i n do ft h en o n s e l f - a d j o i n to p e r a t o ra l g e b r a sw h i c hi s i n t r o d u c e di nt h er e c e n ty e a r s i tc o n t a i n st h es t r o n g l ym a x i m a lt a fa l g e b r aa n dt h eu s u a l n e s ta l g e b r a n s a fa l g e b r ai st h ei n d u c t i v el i m i to ft h ed i r e c ts u mo ft h en e s ta l g e b r a ( c l o s e d i nt h en o r mt o p o l o g y ) t h ei r r e d u c i b l ei d e a l s ( u n d e rt h eo p e r a t i o n so f j o i na n dm e e t ) p l a ya n l m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d y o ft h e n o n - s e l f - a d j o i n ta l g e b r a s t h i sp a p e rs t u d i e st h e j o i n - i r r e d u c i b l ei d e a l so ft h en e s ta l g e b r a a tf i r s t ，w er e v i e wt h eb a s i cr e l a t i o n sb e t w e e nt h e jo i n - i r r e d u c i b l e i d e a l sa n dt h em e e t i r r e d u c i b l ei d e a l s ，a n dt h e n i n v e s t i g a t e t h e j o i n i r r e d u c i b l ei d e a l so ft h es t a n d a r da n dr e f i n e m e n ta l g e b r a s s e c o n d ，w es t u d yt h e j o i n - i r r e d u c i b l ei d e a l so ft h ed i r e c ts u mo ft h en e s ta l g e b r a ；p r o v et h a tt h ej o i n i r r e d u c i b l e i d e a l so ft h ed i r e c ts u mo ft h en e s ta l g e b r a sc a nb ee x p r e s s e db yt h e i ro w n j o i n - i r r e d u c i b l e i d e a l s f u r t h e rm o r e ，w es t u d yt h ej o i n i r r e d u c i b l ei d e a l so ft h en e s tu h f a l g e b r a s ，a n dp r o v e t h a ta l li d e a l3i nan e s tu h f a l g e b r a9 1 i sj o i n - i r r e d u c i b l ei fa n do n l yi fsi se i t h e ra n a r b i t r a r i l yg e n e r a t e dg e n e r a l i z e ds e m i - - p r o j e c t i o ni d e a lo ras e m i - - p r o j e c t i o ni d e a lw h i c hi s p r i n c i p a l l yg e n e r a t e db yap a r t i a li s o m e t r yi nas i m i l a ri d e a ls p a c eo fs o m ef i n i t e d i m e n s i o n a l f a c t o r i tl a yo v e rt h er e s u l to fh u d s o n f i n a l l y ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no faj i - c h a i n ，e s t a b l i s h t h ec o n n e c t i o nb e t w e e nt h e j o i n - i r r e d u c i b l e i d e a l sa n dj i - c h a i n ，u s i n gt h ej i - c h a i n c h a r a c t e r i z et h ej o i n - i r r e d u c i b l ei d e a l so ft h et r i a n g u l a ra l g e b r aa n dt h en s a f a l g e b r a k e y w o r d s ：t h en s a fa l g e b r a s ，t h ej o i n - i r r e d u c i b l ei d e a l s ，t h en e s ta l g e b r a s ，t h eb l o c k i d e a l s ，t h ep r o j e c t i o ni d e a l ，t h es e m i - p r o j e c t i o ni d e a l ，j i - c h a i n i i 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本学 位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或公布 过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使用过的 材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均己在论文中作了明 确的说明。 研究生签名： 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或上 网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并授权 其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密论文， 按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名： 到听年钐月冶日 硕上论文n s a f 代数的并不可约理想 毛绪论 1 1 引言 对于算子代数的研究，通常可分为自伴算子代数和非自伴算子代数两种k a d i s o n 和i m s i n g e r 于1 9 6 0 年发表的【1 8 】，j r r i n g r o s e 于1 9 6 5 ，1 9 6 6 年发表的【2 9 ，【3 0 1 ， 以及eh a l m o s 发表的【1 1 】，【1 2 1 ，开创了非自伴算子代数的研究最近葛力明与袁巍给 出的k a d i s o n s i n g e r 代数也是一类重要的非自伴算子代数相对于自伴算子代数，研究 非自伴代数更困难，但数学现象更丰富，方法也更多样，并且非自伴算子代数与其他数 学分支也有着各种紧密的联系，因此很快成为算子代数的一个重要分支，吸引了一大批 数学家投身其中在七十年代，b r a t t e l 在 2 】中引入并研究了么fc + 一代数，随后e l l i o t t 的 9 】对么fc * - 代数进行了分类同时s t r a t i l a 和v o i c u l e s c u 也写了类似的文章【3 1 】重要 的是b r a t t e l i 推广了以前的u h fc 一代数的定义及性质k r d a v i d s o n 的专著【3 】( 1 9 8 8 年) 系统地总结了从6 0 年代到8 0 年代的研究成果，提出了许多新的问题，极大的推动 了套代数的发展，s c p o w e r 的专著【2 8 】( 1 9 9 2 年) 系统地总结了9 0 年代以前的套代 数，极限代数方面的成果，进一步推动了非自伴算子代数的研究正则极限代数作为一 类非自伴算子代数最近几年引起了广泛注意，它们是a fc 代数的非自伴子代数，具有 丰富的性质 许多类型的正则极限代数拥有丰富的理想结构，如三角代数，a fc 代数的套子代 数等都有大量的理想l a r s o n 提出了一个问题是：设4 ，幺是两个正则极限代数，如果 它们的理想格是格同构的，那么4 ，4 等距同构吗? a ed o n s i g 和t d h u d s o n 在【8 】中 对几类特殊的强极大三角代数回答了这一问题算子代数的理想全体关于运算a ，v 构 成一个格a ，v 是理想格的基本运算，交不可约理想与并不可约理想可以认为是理想 格中最基本的理想，即它们在理想格中是最基本的构成材料，它们的性质和特点直接关 系到理想的性质，进而影响到代数的性质与分类a ed o n s i g ，a h o p e n w a s s e r ，t d h u d s o n ，m p l a m o u r e u x ，b s o l e l ，e k a t s o u l i s ，j r p e t e r ，k r d a v i d s o n ，j l o r r 等等研究了三角代数的交不可约理想【5 】【7 】【1 9 】 2 3 ，但只有t d h u d s o n 在【1 6 】中 研究了三角u h f 代数的并不可约理想! 因此关于并不可约理想的研究很不充分 1 9 9 4 年t - d h u d s o n 的文章【1 6 】研究了三角u h f 代数中的并不可约理想，这非常 有意义因为如果一类代数中的理想足够丰富，那么怎样才能使得这个代数中的任一理 想都可以得到刻画? 类似于向量空间的基，我们感兴趣的是代数里的一些基本的理想 l 绪论硕十论文 因为并不可约理想不能表示为任意两个理想的并，所以可以认为是代数的理想格中基本 的理想一个理想3 对于理想f 和g ，如果有s = fvg ( s = fvg 表示3 是包含理想f 和g 的最小理想) ，就有f = s 或者g = s 则称理想s 称为并不可约理想如果可以将并 不可约理想的性质搞清楚，将对算子代数的结构有进一步的认识，比如对于问题：厶，厶 是4 ，么：的理想格，如果l 兰l ：，那么a 。兰a ，对于一般的n s a f 代数成立吗? 我们知道 这个问题是否成立依赖于嵌入方式，我们进一步问，上述问题对于哪种类型的n s a f 代 数成立? 这些问题都依赖于并不可约理想的刻画 在本文中，我们首先提出一个问题：对于一个代数中的理想，会出现以下四种情况 吗? ( i )理想，是交不可约理想但非并不可约理想； ( i i ) 理想，是并不可约理想但非交不可约理想； ( i i i ) 理想，既是交不可约理想又是并不可约理想； ( i v ) 理想，既不是交不可约理想又不是并不可约理想 本文对这个问题的肯定回答说明了研究交不可约理想和并不可约理想是有意义的 同时这个问题也考察了并不可约理想与交不可约理想之间的基本关系，接着本文给出了 由标准嵌入和加细嵌入得到的n s a f 代数的并不可约理想定理2 3 1 研究了套代数直和 的并不可约理想，之后本文研究了n e s tu h f 代数的并不可约理想首先引入块理想，定 理2 4 1 证明了n e s tu h f 代数的并不可约理想一定是块理想! 接着从简单的投影理想开 始讨论，给出了投影理想的一些性质，然后给出了一个投影理想是并不可约的充分必要 的条件在有限维的情况下，很显然投影理想都是并不可约的但是到了无限维，在一般 情况下，投影理想不是并不可约的，例如，在标准代数中的投影理想都不是并不可约的 但同时在中间扭转代数中的投影理想是并不可约的，这就说明并不可约理想是存在的 所以下一步我们把投影理想推广到了半投影理想，并给出半投影理想的性质，然后给出 了一个半投影理想是并不可约的充分必要条件投影理想和半投影理想都是基本的块理 想，在有限维情况下，块理想就是投影理想或半投影理想，由于投影理想和半投影理想 一般不是并不可约理想，所以我们进一步把半投影理想扩展为推广了的半投影理想定 理2 4 4 证明了任意一个n e s tu h f 代数觋中的一个理想s 是并不可约理想的充分必要 条件是：要么s 是一个任意生成的推广了的半投影理想要么s 是由烈中的一个有限维因 子里的一个同理想空间中的任意一个部分等距算子主生成的半投影理想它覆盖了 h u d s o n 关于强极大三角u h f 代数的相关结果最后，我们定义了j i 链，建立了n s a f 代数的并不可约理想与j i 链之间的关系借助j i 链，我们刻画三角代数以及n s a f 代 数的并不可约理想 有了这些知识，我们对n s a f 代数中的并不可约理想就基本清楚了 2 硕士论文 n s a f 代数的并不可约理想 1 2 基本概念 定义1 21 【2 2 】设日是一h i l b e n 空间，彳是作用在日上的一个v o n n e u m a n n 代数，若 a n a = c i d 日，则称a 是一个因子( f a c t o r ) 其中表示耻的单位算子，c 表示全 体复数 定义1 22 【3 】如果b 是一个因子，么是口的一个子代数，如果a n a 是b 中的一个极大可 换自伴的子代数( m q s a ) ，则釉是b 的一个三角子代数 定义1 2 3 【2 8 】代数2 【称为彳fc - 代数，若存在一个有限维c 宰- 代数的递增序列 2 【。 ， 使得2 【= u ：。( 范数拓扑) ，其中瓤，是有限维的c 牛一代数对于任意一个甄。，我们总可 以从中选取一些矩阵单元( 苟) 盯，而这些矩阵单元放在一起称之为一个矩阵单元系统， 记作m u s ，且矩阵单元系统中的元素满足：从4 中选取的每一个矩阵单元都可以表示 成从4 + ，中选取的一些矩阵单元的和 定义1 2 4 “1 6 】如果曰是一个彳f c 毒一代数，满足曰是单位的，墨包含在b 的单位里，而 且最是简单的，那么就称曰 u h f 代数因为色是简单的、有限维的c 幸一代数，所以木同 构于一个后k 的复矩阵 定义1 2 5 2 8 】设观是一个a fc 峰代数，d 是组的一个极大可换自伴子代数( 简称为 m a s a ) ，a 是瓤的包含d 的一个闭子代数定义d 在么中的正规化子为 d ( 么) = wea ：w 是一个部分等距算子，w o w sd ，w 木d wcd 假设存在一个有限维 c * - 代数的套序列 9 1 。 j 使得级= u ：。觋；且d = u 7 ：。d i ，其中对于任意的f ，d l = d n2 。 是级。中的一个肌绷且对于任意的f ，( 戮；) a + 。( 级m ) 那么d 是9 1 中的一个典型 m a s 口 定义l 26 2 8 】代数彳称为正则极限代数，如果a 是a fc 事代数2 【的范数闭子代数，且 包含一个典型脚伽d 这个定义等价于彳= 鳃( 4 ，仍) ，其中4 = a n 2 i 。，仍是么，到彳什l 的 单射，且满足( i ) 皿4 吸。；( i i ) 仍可延拓为级；到2 【的：i ：一单同态；o f f ) 够把a ( 级。) l 绪论硕十论文 映到+ 。( 9 1 ，+ ) 定义1 2 7 【1 6 】我们称。l i m ( ；纯) 是c 木- 代数b 的一个表像( p r e s e n t a t i o n ) ，如果对于一 些半一同态纯：m 丹寸m ，有： 仍纯纺，、 m n 专m 伪专一j ! 鳃( m ；纯) 兰b 其中 见) ：。是一个使得对v 以，岛都整除岛+ 。的严格递增的正整数序列 定义1 2 8 【5 】彳= l 。一i m ：a ：，纪) 是正则极限代数彳的一个表像，把1 9 ( 4 ，吼) 称为4 的表像 ( p r e s e n t a t i o l l ) 的压缩，其中t 是n 的子序列，饩= 吮h 吼+ ，缆 定义1 2 9 2 7 】一个b a n a c h 代麴被称为t a f 代数，若存在a fc 乖- 代数u 使得彳是u 的一个范数闭子代数且彳n a ，c 是u 中的一个典型的m a s a 定义1 2 1 0 【4 】一个t a f 代数a 级称为强极大t a f 代数，若a + a 宰在u 中稠密，即 巍= a + a 宰如果4 是强极大刚非数，那么么表示成42 ；鳃( 4 ，仍) i 其中么f 是全上三角矩 阵代数的直和，仍可以分解成重数为一的嵌入的直和更一般地，我们可以考虑么b 代数的套子代数，其中每一个4 是套子代数的直和且4 的每一个直和项都包含气 我们称之为n s a f 代数 定义i 2 i i “2 5 】设是h i l b e r t 空间中的一族子空间，称是一个子空间格，如果下列 条件成立： ( 1 ) ( o ) ，h n ( 2 ) 对的任意一族子空间 巨) 心，总有v 从巨和a i e a e , 属tn ，这里的v 和 分别表 示子空间的闭线性扩张运算和集合论意义下的交运算特别地，称子空间格为套，如 果中的元素按包含关系成全序集 定义1 2 1 2 “2 5 】设n 是日中的子空间族，定义a l g n 是耻的所有使n 中每个元素都不 变的有界线性算子的全体，即a i g n = 丁豸( 日) ：( j n ) t n = o ，v n ) 易i 正a l g n 是 含单位元的弱闭算子代数，如果n 是套，则称a l g n 是套代数 硕士论文n s a f 代数的并不可约理想 定义1 2 1 3 2 9 若n i v _ ，则称n e n _ 为的原子 定义1 2 1 4 【7 】b a n a c h 代数的一个理想，称为并不可约的，如果i a 且对于代数中的任 意的理想j ，k ，若i = j v k 则有，= ，或i = k ；理想，称为完全并不可约的，如果 ，= v 工。a 以；就有i = 以，其中a 人 定义1 2 1 5 1 6 】一个嵌入缈：级。- - o 戮州称为n e s t 嵌入，如果它将2 【。中的所有不变投影都 嵌入到级棚的不变投影中，即伊( 三口r 疆。) s 三口磁棚 1 3 基本结果 引理1 3 1 【1 6 】缈：鸠专心，是一个嵌入，p ，是心的矩阵单元，则对于伊( p ) 的每一个 子坐标呼都存在矽( ) 的一个子坐标z ，使得q 和z 的定义域，值域与e , f 的定义域，值 域具有相同的对角序关系 引理1 3 2 【2 5 】对于代数么的理想，如果 e ) 二满足： ( i ) 对于v n 七，e 都是4 l 的理想； ( i i ) v o 2 。是典型形式； ( i i i ) e c i n 4 ，这里“c 是真包含 令f = v 。n = 。e ，则f 是彳的一个理想且fc i 引理1 3 3 1 6 】对于代数a 的理想f ，g ，如果存在n o 使得f 是4 1 0 的部分等距算子， f f v g ，则存在使得v 刀，都有，嘞( 厂) 的所有子坐标都属于，或者g 定理1 3 4 【5 】令彳= j 受( 4 ，纪) 是a f 代数2 【= l ，一i m ( ，仍) 的n s a f 代数，b 是一个a f c * - 4 - 暾，那么对于从2 【到b 的单位完全正映射盯= ：i m 。o , ，有c 宰( 盯( 彳) ) = b 2n s a f 代数的并不可约理想 硕上论文 2n s a f 代数的并不可约理想 2 1 引言 我们知道胛，z 的全上三角矩阵代数瓦的每一个矩阵单元生成的理想，就是这个矩阵 厂o00 球 凇枣 摹 0o 瘩 冰球 球 00窄牢牢 韶 0 0 0o 0 00 0 o0 稻 其中幸号表示整个复数域中的复数同样的道理p ：。生成的理想也是这个，因为它们所在的 6 硕士论文n s a f 代数的并不可约理想 分块相同 注：如果n s a f 代数现有一个表像： 观j 烈，专2 【1 一专2 【 不失一般性，由 5 】可知我们可以假设下面的研究的n s a f 代数都满足：每一个双。的c 枣 包络都是单的c 代数 现在我们来讨论一个问题：对于一个代数中理想，会出现以下四种情况吗? ( i )理想，是交不可约理想但非并不可约理想； ( i i )理想，是并不可约理想但非交不可约理想； ( i i i ) 理想，既是交不可约理想又是并不可约理想； ( i v ) 理想，既不是交不可约理想又不是并不可约理想 显然在有限维矩阵代数中上述情况都可能发生，下面我们来举一个例子 例2 1 1 ：在强极大三角代数正中： ( i i ) a 1 1a 1 2 oo 00 oo 0o o o oo oo o o o o q 1 o o o o a 1 3 o 0 0 0 q 4 o o o o 0 a 1 4q 5 0 4a 2 5 0 a 3 4a 3 5 ooo ooo a 1 2 o o o o a 1 3 o o o o a 1 4 o o o o 是正的交不可约理想但非并不可约理想； 是瓦的并不可约理想但非交不可约理想： a 1 5 o o o o 既是交不可约理想又是并不可约理想； 7 5 5 5 5 5 矾现办以出 2n s a f 代数的并不可约理想 硕士论文 00 a 1 3a 1 4a 1 5 0 00 a 2 4 a 2 5 000 a 3 4a 3 5 o oooo o oooo 既不是交不可约理想又不是并不可约理想 到了无限维的正则极限代数里，以上四种情况也是可以发生的为了说明问题，我 们首先来看两种最基本但很重要的嵌入，标准和加细嵌入 标准嵌入盯：专鸠，是被定义为v 口鸭，仃( 口) = g 叟：叟g ； 例如： a i 。、| 乏广 a 1 1 a 1 2a 1 3 q 1a 1 2a 1 3 a 2 2a 2 3 a 2 2 a 2 3 口” j j 加细嵌入p ：坂专以被定义为 吩 c 鸠，p ( ) = ，这罩的是， 的单位矩阵 例如： a1(12争a23 口2 l 口2 2lo a 1 1 0 2 1 a 1 2 a 2 2 a 1 3 a 2 3 a 3 3 a 1 1 a 2 1 q 2 a 2 2 对于上面提出的问题，我们来看无限维时n s a f 代数的例子 例2 1 2 ： 对于问题( i ) ，一般的交不可约理想都满足 对于问题( i i ) ，我们来看下面的嵌入： 8 0 1 3 a 2 3 a 3 3 2 2q q 呸 ，。一 硕士论文n s a f 代数的并不可约理想 卜争 寸专观 即纯是对代数蹑。进行两倍加细嵌入到2 【槲中，由观。中的q 3 在极限代数2 【中生成的理 想是并不可约理想，但不是交不可约理想 对于问题( i i i ) ，我们来看下面的嵌入： 对于嵌入 ( 彳b 3 么b b b 3 伤 j j 观 0 2 2 9 3 3 3 半 吼水 吃水 q 3 3 3 木 水 水 2 2 2 水 吼木 吼木 吩 屹 毖 记 口 水 口 水 口 拳 术 q l嘶 2n s a f 代数的并小可约理想 硕士论文 2 2 两类重要嵌入得到的n s a f 代数的并不可约理想 定义2 2 1 我们把由标准嵌入得到的n s a f 代数叫做标准n s a f 代数：把由加细嵌入得 到的n s a f 代数叫做加细n s a f 代数 对于标准n s a f 代数，我们先来看一个例子 例2 21 特殊的二倍标准嵌入： 卜争 0 1 1 a 1 2 a 1 3 木 a 2 2a 2 3 木 a 3 2a 3 3 ，i c a 1 1 容易验证，瓤。中的所有矩阵单元在飘：中生成的理想都是观：的并可约理想，因此由此标 准嵌入得到的a f 代数没有并不可约理想! 对于加细n s a f 代数，我们也来看一个例子 例2 2 2 特殊的二倍加细： 1 0 卜小 q l 乖 q 1 n - - i 以验证4 中的a l ，在4 中生成的理想是： 0 0 0 枣木 毒奉 o 0 0 0 0 0 0 0 木木 丰宰 0 o 0 0 0o 0 0 b 为 弱 水 水 木 口 口 口 屹 丝 砣 水 水 水 口 口 口 b 犸 驺 术 统木 现串 口 n 拐 驺 q 串 水 吩芈 2 2 2 拳 吒水 吒木 q 屹 勉 砣 以 水 口 水 口 木 硕+ 论文 n s a f 代数的并不可约理想 4 中的q ，在4 中的处于吃6 位置的子坐标在4 中生成的理想也是： o o o 幸 宰 o o o o o o 0 0 木 幸幸 00 0o 0 o 0o 同样可以验证4 中的o l ：在鸣中生成的理想与o l ：在4 中处于位置的子坐标在4 中 生成的理想相同，由于呸，在4 中的子坐标在4 中处于同一个原子块中，因此生成的理 想是一样的所以对于由此加细嵌入得到的n s a f 代数，存在并不可约理想但由【1 6 】知 对于三角u h f 代数，加细代数不存在并不可约理想! 以上两个例子对于一般的标准和加细嵌入也成立，因此由以上两个例子，我们有下 面的定理 定理2 2 1 标准n s a f 代数不存在并不可约理想；对于加细n s a f 代数，如果它的格中 存在维数大于一的原子，即不是强极大三角a f 代数，它就有并不可约理想 2 3 套代数直和的并不可约理想 令彳= 厶o & o o 厶，其中厶是巧阶的套代数令d ( e ) 表示彳中e 生成的 并不可约理想，因为a = 厶。如o o 厶中的矩阵单元e 可以写作 oo op o o o ，其中口是 中的矩阵单元，易见d ( p ) = o 。o d ( e j ) 。o ， t i ；c pd ( e 7 ) 是 中对应于矩阵单元p 。的并不可约理想 定理 2 3 1 令a = a 伟o & o o 厶，e 是a 中的矩阵单元， e = oo op o o o ，d ( e ) 是 中对应于矩阵单元e j 的并不可约理想则 d ( p ) = o o od ( p 。) o oo 是彳中的并不可约理想，反过来彳中的并不可约理想都是 这种形式 证明：假设c j f ( p ) = o 。od ( p 7 ) 。oo 是彳中的并可约理想，即存在彳的理想f ，g 2n s a f 代数的并不可约理想 硕一卜论文 1 吏得d ( e ) = fvg ，又因为d ( e ) = o 。d ( p ) 。o ，d ( e i ) 是气中的并不可约理想 所以矛盾!反之，假设a 中的并不可约理想3 可以表示成 o 。d g ) o o 。o 。d g ，) 。o ，则s 是并可约的，矛盾! 因此定理得证 注：对于定理中的a2 以。气o o 厶，这里的七可以是任意的正整数 2 4n e s tu h f 代数的并不可约理想 本节所讨论的代数瓤都是a fc 一代数的套子代数 实际上，对于n s a f 代数，它根据套的原子分块后就是准全上三角代数【1 5 】，【2 4 】， 下面我们开始讨论n s a f 代数的并不可约理想 定义2 4 1 代数级。中的理想了。称为9 1 。的块理想，如果理想了。是由2 【。中的单个原子块 中的矩阵单元的线性组合z 生成的，即对于l a t ( 9 1 。) 中的m ，n 的原子，3 。是由m g t 。n 中的矩阵单元的线性组合生成的z 称为理想了。的生成元代数9 1 中的理想了称为块理 想，如果对于v 力，要么了 。是9 1 。中的块理想，要么了 默。= 0 易知，在有限维矩阵代数里，块理想和并不可约理想是等价的，但到了无限维a f 代数中，又是怎样那! 这里我们有下面的结果 引理2 4 1 假设对于正整数刀。，了 2 【是并不可约的，则对于v ，z 刀o ，了人吼嘞一定包 含在了八级。中的一个块理想里，特别的有了八9 1 。在中是并不可约的 证明：假设了人烈是由飘中的j 个生成元分别为z ，l i j 的块理想生成，j 2 ， 且这里的z 具有可分性，即对于v i j 都有： d ( z ) d ( 乃) ，( ，) ，( z ) 例如：对于i ，位置如 乃l ，乃总在，的右下方 假设对于一些胛n o ，了 2 【包含在以生成元为f 的块理想中，其中厂了 2 【。令 硕士论文n s a f 代数的并不可约理想 h 是2 【嘞d p 使得d ( f 1 ) - d ( h ) d ( 石) 且，( 石) ，( j l z ) ，_ ( 五) 的矩阵单元，因此办诺了人2 【， 令盔，g 。，j j l 分别为纯凡( 彳) ，纯怕( 五) ，纯怕( h ) 的在现。中具有最小定义域投影的子坐标， 而令畋，g ：，呜分别是纯，“) ，纯执( 石) ，纸凡( h ) 的在蹑。中具有最大值域投影的子坐标， 则由引理1 3 1 可得： d ( f ) - d ( d 1 ) d ( 魄) ，( 畋) 这又意味着办了 2 【。，因此办必须属于了 疆，矛盾! 因此假设不成立从而了人级包含在了 2 【。中的一个块理想中 特别的有了 甄。是疆。中的并不可约理想 定理2 4 1 如果了是n e s tu h f 代数烈中的并不可约理想，则了是吸的块理想，即对于 v 珂，要么了 2 【。是级。中的块理想，要么3 人2 【。= 0 证明：由引理2 4 1 可知，我们可以假设对于v 刀n o ，了 瓤。是由吼。中的个生成 元分别为，1 f 的块理想生成，2 如上面引理中那样，z ( 月在2 【。中具有可分 性，即对于v i ，都有： d ( z o ) d ( ) ，( z o ) ，定义e 和q 如下： e 是觋。中由c 一。生成的理想与，”生成的块理想的并，其中，d ) 不属于了 级在 2n s a f 代数的并不可约理想 硕十论文 2 l 。生成的理想中，且满足： ( i ) d ( z 月) 以( e 一。) ，或者 ( i i ) 吨( e 一，) d ( ) a o ( o o 一。) 且，( ) 名( 吒) 即位置形如： r 碱。 以( e 一。) d ( z ) 嚷 以( 瓯一。) f y ) 处于e 一，的右下方，但在q 一，的左方，瓯的上方 q 是2 【。中由q 一。生成的理想与z ( ”) 生成的块理想的并，其中z ( “) 不属于了 疆在 9 _ 1 。生成的理想中，且满足： ( i 7 ) d ( ”) 吃( 瓯一。) ，或者 ( i i7 ) a o ( r o 一。) d ( ) 以( 瓯一。) 且，( ) ( 吒) 即付詈形如： 1 4 f f f ) 处于g o 一。的右方； 或者形如： 以( 瓯一。) z ( ) 硕十论文n s a f 代数的并不可约理想 f ，吃( e 一。) l z ”处于e 一。的右下方，但在q 一。的左方，g 毛的下方 显然cvq = 了 观。，e 一。e ，q 一q ，且易知e 和q 都真包含在了人飘。中， 因为由e 或者qe e 的f ”) 生成的理想永远不会在q 或者e 中 令f = v 施e ，g = v ：，| d q ，那么f ，g 都是2 【中的理想，且fc 了，gg 了， 了= fv g ，下面证明f 和g 都真包含在了中，首先证明f 真包含在了中 令鼠= 蠢高，则( 气) _ ，对民，岛一。定义如下，对于满 足刀肌一1 的刀，( 1 ) 岛是级。的矩阵单元； ( 2 ) 邑是纯一。( 岛一。) 的子坐标； ( 3 ) ( c ) 一 ，；l ( 邑) 取以n o ，口是e 中的任意元素，由( 3 ) 知厂( 岛) 耐( 晶) = 0 ，由( 1 ) ，( 2 ) 知： l = l l g 珂1 1 = i 厂( 邑) 口d ( g ) - g 胛1 1 = 1 尸( 邑) ( 口一g ) d ( 邑) 1 1 - _ n o ， oq以 、l_， d 吒 d 2n s a f 代数的并不可约理想硕：七论文 b，、 尸= g 川， i = 1 ( i i ) 按照对角序，舒是一。( e p n - i ) 的最大子坐标，e 材是一。( e 2 0 ) 的 最小于坐标； ( i i i ) 存在一个部分等距算子序列 z ) ：，z 甄。使得尸2 【。q 上是2 【。中的由z 生成的块理想，序列 z ) ：不惟一，且可以有无穷多个这样的序列； ( i v ) p 烈q 上是9 1 的块理想； ( v ) p g i q 上e m y , j f o l l 生成的 很容易验证，在有限维代数里，投影理想就是并不可约理想，由于a f 代数可以由 有限维代数逼近，所以有下面结果 定理2 4 2 如果代数9 1 是一个n e s tu h f 代数，代数戮中的一个投影理想了是并不可约 理想的充要条件是存在n 使得了是由甄。里的一个同理想空间中的任意一个部分等距算 子主生成的 证明：设了是由p ，q 定义的投影理想，假设是使得p ，q 都属于吼的最小正 整数， z ) ：是生成理想了的矩阵单元序列由于一个算子和它的同理想算子生成的理 想相同，所以对于v 聊刀，如果厶与z 的子坐标是同理想的，我们就重新选取厶使得 厶是六的子坐标，由同理想的定义可知这种取法是合理的 ( j ) 假如对于v 疗，了都不能由现。里的一个同理想空间中的部分等距算子主生成的， 假设对于v 刀，。( ) 的子坐标以及与，。( 厶) 的子坐标的同理想的矩阵单元都不 包含在 厶) ：。中，由 z ) ：的选取可知，如果 厶 ：。中如果不含有，。( ) 的子坐 标的同理想的矩阵单元，一定不包含，。( z ) 的子坐标 令 = p 一舒，q = q + p 材 这里的吒和乙如上述引理2 4 2 中定义的那样 1 6 办 d ， o l l q 硕士论文n s a f 代数的并不可约理想 定义： e = 只甄。q 上，q = t , c a 。q 上 显然， 只) 。o o 嘞和 o n 一是2 【。的不变投影序列， e ) ”n = n o 和 q ) ：是满足引理1 3 2 中的条件( i ) 和( i i i ) 的理想序列，这些序列都是典型形式( 若不然，假设g 是使得 g 。af + 。的疆。中的矩阵单元，则g 了n2 【。，因此，( g ) 舒，如果g 叠e ，就有 r ( g ) = 毒，而由引理1 3 1 ，存在纯( g ) 的子坐标使得： ，( ) = m a x 帆( 舒) ) 但这也就意味着g 仨e + l ，矛盾! 因此g e ，从而双。ne + e ，因此序列 e 二 是一个典型形式同理可知 瓯) ：也是典型形式) 由引理1 3 2 知，如果f = u ：e ，g = u = = g ，那么f 和g 都是了的真理想由于 对于v n ，有： ev q = ( 了n2 【。) ( 册 雹：a c ，a o ) ) 由于五+ ，不是纯( z ) 的子坐标，所以z e “v q + 。，因此了n 疆，e + 。v q + 。，从 而了= f vg ，所以了是并可约的! 矛盾! ( 乍) 由已知可设对于正整数七，理想了是由2 【中的部分等距算子g 主生成的由 z ：的取法易知，对于，都有是纯，仇( g ) 的子坐标假设对于代数，存在 代数戮的理想f 和g 使得了= f vg 且了g 则由引理1 3 3 可知s n 使得 六) 二f u g ，这就意味着理想f 或者理想g 必须含有无穷多项五，由于 ： 是生成理想了的矩阵单元序列，所以了= f 或者了= g ，结论得证! 推论2 4 1 设理想了是一个投影理想， z ) ：是生成理想了的矩阵单元序列，则理想了 是并不可约理想的充要条件是除有限个”后的数外，z + 。是纯( 石) 的子坐标或者z + 。与 纯( z ) 的子坐标是同理想的 推论2 4 2 除特殊的强极大三角代数外，一般的套代数的加细代数中的投影理想中都存 在并不可约理想 1 7 2n s a f 代数的并不町约理想 硕十论文 证明：从加细嵌入的定义可以知道，对于投影理想了，存在了 烈川的生成元z + 。， 使得z + 。是岛( z ) 的一个子坐标所以由上面的推论可知了是并不可约理想 定义2 4 4 理想了称为n s a f 代数观的半投影理想，如果了，对于观中的不变投影 尸，o ，p o ，使得v ，z n o ，了n 级。= 纯( 尸) 观。纯( q ) ，纯( p ) ( q ) 上，这里( p ) 是9 1 。 中使得( 尸) p 的最小不变投影，纯( q ) 是2 【。中使得( q ) 上是观。的不变投影且 纯( q ) q 上的最小投影 注：显然，如果p ，9 是2 【的不变投影，则由尸，q 生成的半投影理想就是投影理想 定理2 4 3 一个n e s tu h f 代数盟中的一个半投影理想了是并不可约理想的充要条件是 了由甄中的一个有限维因子里的一个同理想空间中的部分等距算子主生成的 由定理2 4 1 知，n e s t 跏扭代数疆中的许多理想都是并可约理想，同时也说明一个 并不可约理想一定是块理想! 在前面研究的两种基本的块理想( 投影理想和半投影理想) 中，由定理2 4 2 和定理2 4 3 知投影理想和半投影理想并不一定是不可约的，因此下面 继续将半投影理想推广 定义2 4 5 一个理想了称为推广了的半投影理想，如果存在一个严格递增的半投影理想 序歹o 了。) ：。使得了= v ：了。；如果每一个了。都是投影理想，则称了为推广了的投影理想 引理2 4 3 令了= v 了。是n e s tu h f 代数2 【的一个推广了的半投影理想，则存在2 【的 一个表示。l i m 。( 甄。；纯) 使得： ( i ) 了是由算子序列 z 二生成的，其中z 是吸。中的单个原子块中的矩阵单元 的线性组合，以是3 n 观。的生成元； ( i i ) 对于v ”k ，z 和z + 。的定义域投影或者值域投影是正交的； ( i i i ) 对于v n k ，下面一种情况发生： ( a ) 在2 【川中，令d ( r “= m i n d o m 。( 厶) ，五+ 。所在的原子块处于r + 1 所在的 原子块的下方； l r 硕士论文n s a f 代数的