（应用数学专业论文）结构化风险率模型及其拓展研究.pdf

摘要 摘要 信用风险，又称为违约风险，是指由于金融合同中订约方信用品质的不可预 测改变而引起的损失，包括信用降级、不能支付债务和清算。随着企业债券市场 的快速发展，全球金融管制的放松，新型金融衍生产品的不断推出，人们越来越 认识到信用风险在资产定价及风险管理中占有越来越重要的地位。随之，产生了 大量的信用风险模型。最突出的表现是新、旧巴塞尔协议中信用管理方法的不断 深入。我国已经加入w t o ，本身竞争能力就较弱、身背沉重包袱的银行等金融机 构将会面临更加激烈的跨国竞争。同时，尽管我国的企业债券市场发展迅速，但 相对经济发达国家的债券市场还较为落后。所以，研究信用风险模型对提高我国 金融机构的竞争能力，为发展债券市场有着重要的理论和现实意义。 本文介绍了结构化风险率模型，并根据现实中回收率和违约概率之间的负相 关性这一事实对模型作了相应的扩展，最后利用扩展后的模型研究了可违约零息 债券的定价问题 关键词信用风险，违约概率，回收率，风险率 a b s t r a c t a b s t r a c t c r e d i tr i s ka l s oc a l l e dd e f a u l tr i s l ( i st h ed i s t r i b u t i o no ff i n a n c i a ll o s s e sd u et o u n e x p e c t e dc h a n g ei nt h ec r e d i tq u a l i t yo fac o u n t e r p a r t yi na f i n a n c i a la g r e e m e n t i t s r a n g e si n c l u d e sa g e n c yd o w n g r a d e s ，f a i l u r et os e r v i c ea n dl i q u i d a t i o n a l o n g 、i t i lt h e r a p i dp r o g r e s so fc o r p o r a t eb o n dm a r k e t , t h eg l o b a lr e l a x a t i o no ff i n a n c i a lr e s t r i c t i o n a n dt h ec o n t i n u o u sc o m i n gf o r t ho fn e wf i n a n c i a ld e r i v a t i o n ，p e o p l ek n o wt h ei m p o r - t a n c eo fc r e d i tr i s km a n a g e m e n tm o r ea n dm o r e a sar e s u l t , al a r g en u m b e ro fm o d e l s a b o u tc r e d i tr i s kh a v eb e e nb u i l t t h em o s to u t s t a n d i n gr e p r e s e n t a t i o ni st h ec o n t i n u - o u si m p r o v e m e n to fc r e d i tr i s km a n a g e m e n ti no l da n dn e wb a s e lc o m m i t t e e b e c a u s e c h i n ah a s j o i n e dt h ew t o ，t h ef i n a n c i a li n s t i t u t e sw h o s ec o m p e t i t i o n a b i l i t ya r ew e a k , a n dh a v eh e a v yc l o t h w r a p p e r s ，s u c ha sb a n k s ，w i l lf a c em o r es e r v e rc o m p e t i t i o n a t t h es a m et i m e ，a l t h o u g ht h ec o r p o r a t eb o n dm a r k e to fo u rc o u n t r yg r o w sr a p i d l y , i ti s a l s ol a g g i n gi fc o m p a r i n gw i t ht h ed e v e l o p e dc o u n t r y s o ，t h er e s e a r c ha b o u tc r e d i t r i s kh a si m p o r t a n tt h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a lm e a n i n gt oi m p r o v et h ec o m p e t i t i o no fo u r c o u n t r y sf i n a n c i a li n s t i t u t e 。a n dt od e v e l o pt h eb o n dm a r k e t t h i sd i s s e r t a t i o ni n t r o d u c e ss t r u c t u r a lh a z a r dr a t em o d e l ，a n dl $ 1 a k e ss o m ed e e p e r r e s e a r c h e sb a s e do nt h ef a c tt h a td e f a u l tp r o b a b i l i t ya n dr e c o v e r yr a t ea l w a y sh a v e n e g a t i v ec o r r e l a t i o n a tt h el a s t , w eu s et h em o d e lt op r i c ed e f a u l t a b l ez e r o - c o u p o n b o n d k e yw o r d sc r e d i tr i s k , d e f a u l tp r o b a b i l i t y , r e c o v e r yr a t e ，h a z a r dr a t e 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：局7 r 文 1 幻 二傍年朋沙日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：乌使 沙眵年厂月加e t 第一章文献综述 第一章文献综述 信用风险，也称为违约风险，是指由于金融合同中订约方信用品质的不可预 测改变而引起的损失，包括信用降级、不能支付债务和清算等。 信用损失的分布是非常复杂的，其主要变量有：( 1 ) 违约概率；( 2 ) 违约损失；( 3 ) 违 约暴露。其中，违约概率是信用风险的核心。为了估计违约概率，需要详细说明 违约事件的定义、信息到达及其发展，以及投资者的不确定性。对于信用敏感证 券的定价，还需说明无风险利率、违约回收及风险溢价。在对投资组合的信用风 险进行测度时，要说明违约的相关性。 自2 0 世纪7 0 年代以来，发展出了大量的信用风险模型。根据对违约事件的不 同定义，可以将其分成两种类型：结构化模型和简化形式模型。简单来说结构化 模型基于期权定价模型，将负债看成是公司资产的一个期权，当公司资产不足时 违约就发生。简化形式方法借用了保险精算的方法，并不说明违约为什么发生， 它通过一个外生的违约风险率或强度说明违约的动态性。两者不仅在理论基础上 有很大的差别，还在信用利差的期限结构、与实证结论的相符程度等方面存在显 著差异。鉴于两种模型均有优缺点，如何有效的融合两者己成为理论界研究的焦 点。下面将分别介绍结构化模型和简化形式模型，并对两者作简要的比较。 结构化模型将违约事件定义为：当资产价值低于债务价值，或者低于某一外 生给定的边界时，违约发生。模型的基本原理是将公司债务看成是公司资产价值 的或有要求权，这样信用风险就由公司资产价值的不确定性所驱动。比较典型的 结构化模型有 1 经典模型，即在债务到期日才可能发生违约。该模型由m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 首创。 设公司资本结构只包括所有者权益和一份零息债券，该债券的面值为f 。如果在债 券到期e t t ，公司资产价值诈低于f ，就会发生违约。这样债券在到期e i t 时的价 值相当于一个投资组合，该组合包括买入一份到期f t 为t 、面值为f 的无违约风险 债券，同时卖出一份到期日为t 交割价为f 的以公司资产价值为标的的短期欧式 看跌期权。这样，通过假设公司资产价值服从漂移率和波动率分别为p 和盯的几何 布朗运动，对债券的定价就简化为对欧式期权的定价，并可以用b l a c k 和s c h o l e s 的 第一章文献综述 期权定价理论对其求解，可以得到违约概率为： 尸( t ) ：n i n ( f y o ) - ( 尝- 0 s o r = ) t l 、。 口v 1 2 首次到达模型。该模型由b l a c k & c o x 提出，认为企业可以在债券到期日之 前的任何时候违约。违约时间被定义为企业资产价值在到期日之前首次对于某个 违约阈值及在到期日低于债务面值的最小时间。在到期日，对于债券投资者的相 应支付也等于一个投资组合，该组合包含了一个面值为f 到期日为t 的无风险借 贷，一个交割价为f 到期日为t 以公司资产为标的的短期欧式看跌期权，以及一个 交割价为f 到期日为t 的长期欧式d o w n a n d i n 看涨期权。假设违约阈值为d ，公司 资产价值服从同上的几何布朗运动，则违约概率为： p ( t ) ：f 幽坠韭逛掣1 、 o r 、t 。 + ( d v o ) 2 ( 肚钉2 ) 旷n 1 n ( d v o + p - 0 5 a 2 ) t o r v 除此之外，还有诸如漂移模型、相关违约模型等结构化模型。 简化形式模型不以公司价值为基础。实际上，这类模型比结构化模型更一般， 因为他们能够用简单的方法对突然发生的违约事件进行描述。比较典型的有强度 模型、信用等级模型、依赖违约模型等。 结构化模型与简化形式模型均有优缺点，它们的主要区别有以下几点： 1 结构化模型的基础是期权定价理论，明确定义公司资产价值的下降是违约 的基本原因，违约是一个内生的过程。而在简化形式模型中，违约是一个外生的 过程。 2 在公司资本结构方面，结构化模型假设公司债务结构是确定不变的，这就 表示随着公司资产价值的变化，公司资本结构会产生相应的变化。而简化形式模 型对公司资本结构没有作任何假设。 3 在违约概率所表示的含义方面，两种模型也有很大的差别。在结构化模型 中，违约概率和债券的价格都是根据公司的基本数据计算得到的。因此，违约概 率是实际的违约概率，反映公司实际有多大可能发生违约。在简化模型中，违约 是一个外生过程，违约强度由市场数据得出。因此，违约概率是债券市场中隐含 的违约概率。 4 在结构化模型中，资产价值的变动是不确定性的唯一来源，而模型中假设 资产价值服从几何布朗运动，因此违约是可料的，这就带来两个后果：其一为模 2 第一章文献综述 型所定的债券价格连续地趋于回收价值，其二为在临近到期日时，短期信用差额 趋于0 。而简化形式模型中，违约是不可料的，很好的克服了短期信用差额为0 这 一缺点。 5 在模型所涉及的参数方面。结构模型中需要获知的参数包含两类：第一类 为关于资产价值的信息，如初始资产价值，无风险利率，资产价值增长率，波动率 等。第二类是债券的信息，如到期日，债券面值，违约阈值等。在实际中，这些参 数的获得存在以下问题：( 1 ) 公司资产价值不能直接观察到，我们观察到的是上市 公司的权益价值；( 2 ) 结构模型假设公司负债单一面值，单- n 期日的零息债券， 现实中比这要复杂的多；( 3 ) 模型中包含的隐含假设为投资者可以获得真实完全的 公司信息，而现实中公司与投资者之间存在着严重的信息不对称。简化模型中， 参数估计就要比结构化模型简单的多，只需要估计违约强度以及回收值即可。 由以上比较分析可以看出，结构化模型的优点在于明确定义了违约的原因， 缺点在于模型结果与实证符合度不高；而简化模型的优点主要在于与实证结果比 较相符，但是没有为违约的原因提供理论依据。因此，模型的改进方向应该为两 类模型的融合，主要是在结构化模型的基础上引入简化模型来综合两者的优点。 为了下文叙述的方便，这里先将文章中用到的主要数学符号以及相应的意义 在下表中给出： 符号含义 符号 含义 ( q 厂q )域流概率空间q 风险中性测度 q t 远期测度 p 无违约风险债券价格 p d 8 可违约债券价格 r 无风险利率 f 债券面值g存活概率 b 货币市场基金帐户 下 违约停时 a 违约强度 违约风险率 违约回收 冗违约回收率 w 布朗运动 c s 信用差额 3 第二章结构化风险率模型 第二章结构化风险率模型 本章将介绍后面章节所要改进的基础模型即结构化风险率模型以及要在模型 中加入的变量相关性即违约概率和回收率之间的负相关性。由于结构化模型的缺 点较多并且缺乏实证研究基础，而简化形式模型应用了保险精算的思想对突然的 违约进行了巧妙的描述，并且能够较好的与实证研究结果相匹配，所以本文对简 化形式模型进行改进，并在模型中加入违约概率和回收率的负相关性。其中，结 构化风险率模型这一思想最早由u m a d a n 和u n a l ( 2 0 0 0 ) 提出，在他们的文章中称 为双因子风险率模型。下面着重介绍这一信用风险模型。 2 1 基本模型框架 在一般的简化形式模型中，风险率通常外生给定，并且与潜在状态变量无关。 本章所介绍的结构化风险率模型虽然也可以看成是简化形式模型，但模型近似内 生的决定了风险率的动态性，这样，对违约的定义就有了经济意义上的解释。 设p d b ( t ，t ) 是t 时可违约零息债券的价格，并且许诺在时刻t 支付f ( 债券的面 值为f ) 。同时，在市场中还存在一个货币市场基金帐户( m o n e ym a r k e ta c c o u n t ) ， 在时，单位帐户价值是b ( ) = e 印( 名r ( u ) 机) ，其中r ( t ) 是无违约风险即期利率。 违约发生在一个随机时间7 一( 7 - t ) = 碍7 【1 ( r t ) 】 则可违约零息债券的定价公式可以简单表示为t 帮- g ( 归) + ( 1 - g ( 例y 。 其中，y = 1 一i ，代表违约时的回收部分。需要注意的是，在上式的推导过程中， 假设回收率独立于违约时间。这样，如果能够求得公司的存活概率g ( t ，t ) 和无违 约风险债券的价格p ( ) ，就能够得到可违约零息债券的价格。 m a d a n 和u n a l ( 1 9 9 8 ) 将存活概率o ( t ，t ) 与违约风险率联系起来： o ( t ，t ) ：酽【e 卯( 一 ( u ) d u ) 】 与用无风险利率过程进行折现得到无违约风险债券价格相似，可以将上是看成是 用风险率进行折现的过程。这样，就可以将( 1 一a ( t ，r ) ) 看成是“违约价格”，并 且给定一个损失部分( 1 一y ) 。该部分与违约回收部分相加，并用r ( t ) 进行折现，就 得到了风险债券的价格。 传统的简化形式模型对风险率过程 ( ) 应用一个简化的形式，对违约事件不 加以定义。九( ) 通常被定义为一个常数或者某随机变量。尽管可能是合理的，但 这些简化方法对于经济状态的变化对公司信用差额变化的影响并没有提供多少指 导。针对这种情况，m d a n 矛h u n a l 在定义违约风险率的过程中说明了违约事件，从 一个显性违约状态中产生t h ( t ) 2 2 违约风险率 应用前一节的模型框架，并假设公司有一个简单的资本结构，即只有一份未 付的可违约零息债券风险债务。m d a n 和u n a l ( 2 0 0 0 ) 假设，在随机时间t ，公司面临 着一个随机的损失支付l 。如果该损失大于公司权益价值e ( 公司资产减去负债) ， 违约就会发生。其中公司资产价值包括两部分：一部分是与当前利率不敏感的现 5 第二章结构化风险率模型 金资产y ，另一部分是对利率敏感的资产夕( t ，r ) ( 这部分资产包括公司在市场中流 通的相关证券) 。而公司负债v ( t ，r ) 是未来许诺支付由无风险利率折现的当前价值。 按照这种假设，公司的权益价值可以表示为y 和无风险利率r 的函数： e = v + g ( t ，r ) 一口( ，r ) 按照m a d a n 和u n a l 的定义，当下式成立时违约发生： l e = v + g ( t ，7 ) 一v ( t ，7 ) 同时，违约发生时对债券持有者的支付为l 。从上式可以看出，现金价值和无风险 利率直接影响违约发生的可能性。所以m a d a n 和u n a l 将他们的模型称之为“双因 素风险率模型”。 对于较小的时间间隔( t ，t4 - d t ) ，风险率和时间间隔的乘积h ( t ) d t 是该期间的违 约概率： h ( t ) d t = p r o b t ( t ，t + d t ) ，l2 司= ( k r ) d t 上式意味着：在时间间隔( ，t + d t ) 内仅仅存在一个突然的损失到达才会发生即 时的违约，并且，损失大到足以驱动公司违约的条件概率可以用该损失到达的概 率 ( kr ) 来表示。显然，九( kr ) 依赖于损失的分布，即损失到达和损失事件到达 率的过程。m a d a n 和u n a l 假设损失事件的到达遵循一个强度为入的p o i s s o n 过程，并 且损失的分布密度函数为m ( l ) ，累积分布函数为m ( l ) ，这样，h 可以表示为： 危( k r ) = a ( 1 一m ( v + g ( t ，r ) 一v ( t ，r ) ) ) 应用泰勒展开，上述函数的一阶泰勒展开可以表示为： 九( kr ) 竺九( v o ，r o ) 一a m ( e o ) v o ( a l n v ) 一a m ( 岛) ( 办一坼) ( r ) 其中，a l n v = i n v ( t ) 一l n v o ，a r = r ( t ) 一内。这样，风险率忍( t ) 可以表示为： 其中， h ( t ) = a b l n v ( t ) + c r ( t ) 口= ( v o ，r o ) + b i n ( v o ) 一o f 0 6 第二章结构化风险率模型 b = 入m ( 岛) e 场v o b， 、 c 2 一e v o v o ( g , 一诈) 显然，m a d a n 和u n a l 给出了一个由公司现金资产价值和无风险利率这两个因素决 定的双因素结构化风险模型。 特殊的，他们假设了一个指数分布的损失事件，从而得到了个特殊结构的 风险率过程。假设损失服从参数为p l 的指数分布，则： m ( l ) = 1 一e x p ( - l t t 厶) ( k ，) a ( 1 - m ( 岛) ) 一去e 印( _ 比e 。) y o ( a f 佗y ) + 去唰一刊( 酬 = a b l n v ( t ) + c r ( t ) 这里 a = a ( 1 一m ( e o ) ) 一b l n ( v o ) 一c 殉 6 = 乏e 计爱炒 p 工 肛工 c 一赢一协) c 2 一吾石瓦【9 r 一协) 而且，m a d a n 和u n a l 假设公司现金资产价值遵循一个风险中性的几何布朗运动， 无风险利率的风险中性过程用v a s i c e k ( 1 9 7 7 ) 模型来表示： 警刊m d 巩 d r = p a r ) d t + r d 坼 其中，既和坼是测度q 下的标准布朗运动，并且它们之间的相关性为j d 。 应用测度变换，在测度q t 下，y ( ) 和r ( t ) 的公式变为： d l n v = p 一0 5 a 2 一p a ? n ( t ) ) d t + 盯d 眈 d r = ( 口一厅r 一叩2 ( 7 - ) ) 班+ 叩d l 砰 其中，眈和聊是远期测度q t 下的标准布朗运动，两者的相关系数为p ，n ( t ) = ( 1 一e 够p ( 一k 7 ) ) k 第二章结构化风险率模型 2 3 风险债务价格和信用差额 定理2 1 根据以上的假设，对于到期日为瓦带有常数回收值可的可违约零息 债券的价椰d 日( t ，t ) 由下式给出： p d b ( t ，7 。) = u p ( t ，7 ) - i - v ( t ，2 ) ( 1 一! ，) g ( 芒) 其中， g t ) = e x p h ( r ) 一口r 舶m 即) 一( ( 6 + c ) ( r ) 一尝) 叭圳 同时，无违约风险的债券价格可由坛s f c p 凇式推出： p ( t ，t ) = e x p ( a ( r ) 一( r ) r ( t ) ) 在上面的式子中，r = t t 为债券剩余的到期时间，日( r ) 和a ( r ) 将在下面的证 明中给出具体表达式。 证明在基本模型框架中，我们已经得到了可违约零息债券的定价公式： 帮- g ( 归) + ( 1 g ( 可 做间k a - - 单的变形即得到： p d b ( t ，t ) = y p ( t ，t ) + p ( t ，t ) ( 1 一y ) g ( ，t ) 由假设条件，资产价值过程服从几何布朗运动，利率v a s i c e k 过程，d 寸v a s i c e k 方 程的解可以得到： p ( t ，t ) = e x p ( a ( f ) 一( r ) r ( ) ) 其中， 椰) = ( 羔一罢) r 一( 善一导) ( 1 一e 一1 气r 2 。( e _ 2 k i , _ 1 ) ( r ) ：1 - e z p ( - k r ) ，r ：? 一t 仡 第二章结构化风险率模型 因此， p d b ) = u e x p a ( r ) 一( r ) r ( t ) 】+ ( 1 一y ) e x p a ( f ) 一( r ) r ( t ) 】g ( t ，t ) 又因为g ( t ，t ) = 砰r e x p ( 一j _ m ) 也) 】，并且由关于利率r 的站e 七方程可以得 到： 而 r ( 亡) ：伯e 印( 一k t ) + ( 吴一万r 2 ) ( 1 一e 印( 一k t ) ) + 筹e 印( 一k t ) ( e x p ( 尉) 一e x p ( 一疵) ) + 叼e 印( 州) e 印( 删d 孵 愀h 礼k + 0 2 让) - 0 5 a 2 - 缈7 7 生等等型) d u + a 町( t ) 将r ( t ) 的表达式带入上式我们可以得到： 因此： 2 n y ( 亡) ：z 佗v o + t o ( 三掣) + ( 吴一薯) 一1 - e x k p ( - a t ) ) + 羔e 1 竿0 2 1 - - e - - k ( t - a ) 醐s ) 一0 5 a 2 t - 删去一号掣m 嗽1 ) 九( 亡) ：口一b 2 n + ( c 一硫一b ( 1 - k e - t ) ) r 。 + ( 罢一筹) ( c ( 1 - e - 个6 ( t 一_ 1 - - _ e - 一t ) ) + 杀( c e 卅( e m e 一砒) _ b e - 一t 竿) + z 。( 旷耐一8 - e 一1 矽5 d 町( s ) + 0 5 6 盯；川棚( 毛一半) 一b o w s ( t ) 9 第二章结构化风险率模型 对于fh ( u ) d u ，我们将上面的表达式带入，可以计算得到其期望u 与方差铲为： u = a f b f l n v ( t ) + ( c ( 1 一e 一一r 、i ，r ) “【i 1 一e - 一r + 0 2 5 6 押2 + 百b p a 7 7 f 2 一皇譬( f t 妒= 切( ，t e k 0 一t ) 一e - 盯 e 一1 一r ) ) ) r ( t ) 一p 一心 ) ) 2 f ? ? 一i ) ) ) 一等口一s ) + 鲁( 1 一e 哺仃- 8 ) 】2 如 + 6 2 矿，t ( t s ) 2 d s 一2 j d 塘t ( t s ) 【c 叩( + 鲁( 1 一一) ) 】如 对方差铲进行计算整理可以得到： 其中： e k ( 8 一t ) 一e - 灯 ) 一等( t s ) 铲= r + 厶r 2 + r + 9 1 r e 一一r + 9 2 r 2 e 一一r + 9 3 f e 一2 盯 + h i ( 1 一e - 灯) - t - h 2 ( 1 一e - 心) + h 3 e k r ( 1 一e k r ) = 厶= ，3 = g l 5 仍= g a 2 h i 2 h 2 = h 3 2 b 2 y 22 b p c 叼22 b p c a y 万一下一丁 6 2 叼2 b 2 p q z 一万一下 丢( 万b 2 r 2 + _ 2 b ：p - a 叩+ 6 2 盯2 ) 4 6 叼2 2 b 2 7 1 2 2 b 2 舻叼 k 3仡4k 3 6 研2 b p a c 叩 万十t c 2 钉2 i 2 6 叼2 2 b 2 叩2 2 6 c 叩2 2 b 2 叩2 2 b c p a y 。2 b 2 p a y k 3仡4k 4k 3k 3 c 2 叩2 b 2 r 2 k 3 。 k 3 2 b c r 22 c a ，? 2 ，一尤3 l o 第二章结构化风险率模型 由此可以得到： g ( t t ) - - e x p ( 埘圳r ) + 6 r f 卅一( c ( 1 - k e - 一r ) 一i b f + 华) r 其中? 日( r ) = 一( 石0 一暮) ( c r c ( r ) - 0 5 b f 2 + 兰( r 一( r ) ) ) 一嘉c e 埘( 生譬兰) 一钯坩( t e r , g a m m a _ e - 一f i 2 f ) 一0 2 5 b a 2 r 2 百b p a 叩r 2 + 业乒( 宰- r )z kk o 、 k + o 5 r ( , + ，2 r + ，3 r 2 ) + 0 5 f e 一一r ( 9 1 + 9 2 r + 9 3 e 一一r ) + 0 5 n n ( f ) ( h 1 + h a e 一灯) + 0 5 h 2 ( 1 一e 一2 k r ) 将上述式子带入到可违约债券零息的定价公式即可得到该定理 口 进一步，通过上述定理很容易计算可违约零息债券的短期信用差额为： c s b 竺口一w 佗y + c r + 去( 6 口+ 叼b p c ( 1 一盯) + 叼2 c ) k + 吉( 扩p 一拶一栉一叼2 幻( 1 一枷+ 去秽 由这个式子可以很显然地看出：结构化风险率模型不但具有结构化模型的优点一 具有很好的经济解释意义，同时也克服了其短期信用差额为零的缺点，很好地融 合了结构化模型与简化模型的优点。 2 4 违约概率和回收率的负相关性 传统的信用风险模型，一般都是假设违约回收率为某一固定的常数，显然这 一假设不太合理。最近的几年中，很多研究人员开始在模型中考虑违约回收率和 违约概率之间的关系。比较著名的有f r y e ，j a r r o w ，h u 和p e r r a n d i n ，a l t m a n 等人。 这里我们主要引用一下相关研究人员的思想以及研究结果，并把他们的研究结 果引入到结构化风险率模型中，并在后面的章节中以此来考虑相关产品的定价问 题。 f r y e ( 2 0 0 0 ) 提出的模型认为违约是由唯一的一个系统性因素经济状态驱动 的，而不是一些相互关联的参数，引起公司违约的经济状态同样会使回收率下降。 第二章结构化风险率模型 也就是说，回收率的分布在公司违约多发时期和低发时期是不同的。在他的模型 中，违约概率和回收率都依赖于系统性因素的状态，所以这两个变量之间的相关 性是由于它们对系统性因素的共同依赖造成的。f r y e 理论模型很容易理解，其经 济意义也比较简单：如果某个借款人无法支付某笔贷款，则银行的回收率依赖于 贷款抵押品的价值。与其他资产价值相似，抵押品的价值依赖于经济状态。如果 经济不景气，抵押品价值下降，从而造成回收率下降，而同时违约概率趋于上升。 通过这种关联性，就给出了违约概率和回收率之间的负相关关系。同时，f r y e 应 用穆迪公司的违约风险数据库中1 9 8 2 1 9 9 7 年间关于美国公司债券的数据进行了 实证检验，结果表明：违约概率和回收率之间存在极强的负相关关系。 a l t m a n ，r e s t i 和s i r o n i ( 2 0 0 1 ) 应用1 9 8 2 2 0 0 0 年间可违约债券的数据作为样本 也进行了实证研究。其主要结果与f b e 一样：违约概率和回收率之间呈现很强的 负相关性。然而，他们发现唯一一个系统性风险因素即经济状态并不像f r y e 的模 型所认为的那样具有解释性。他们的计量经济学单变量和多变量模型指出违约率 和代表高收益债券市场规模和经济周期的变量一起解释了债券回收率的变化，其 中回收率是通过所有优先债务和抵押债务的加权平均得到的。他们总结到，一个 简单的基于供给和需求的微观经济机制影响了加权回归率，而不是违约概率和回 收率对经济状态的依赖这样一个宏观经济模型。在高违约的年份，可违约证券的 供给趋向于超过供求，因此促使二级市场价格下降。随之，这种供需不平衡会对 回收率的估计值产生负的影响。更进一步，为了评估违约概率和回收率的负相关 关系对信用风险模型的影响，a l t m a n 等人对一个简单的银行借款的投资组合进行 了蒙特卡洛模拟，并比较了主要的风险测度。发现如果假设违约率和回收率是不 相关的，期望损失会被极大的低估。因此，不考虑两者之间负相关关系的信用奉 献模型可能造成不充足好的银行资本准备，并且造成对金融市场不必要的冲击。 j o k i v u o u e 和p e u r a ( 2 0 0 3 ) 提出了一种非常特别的方法。他们对于银行借款提出 了一种模型，其中抵押品价值与违约概率相关。他们应用期权定价框架对风险债 务建模：借款企业的总资产价值会触发违约事件。然而，公司资产价值并没有决 定回收率。实际上，抵押品价值被认为是决定回收率的唯随机因素。由于这个 假设，可以在模型中应用一个外生的违约概率，所以公司资产价值参数就不必估 计。从这个方面来说，该模型综合了结构化模型和简化形式模型的特点。假设公 司资产价值和抵押品之间存在一个正的相关性，作者得到了个与f r y e 类似的结 论：违约率和回收率之间负相关。 1 2 第二章结构化风险率模型 应用1 9 8 2 1 9 9 9 年间美国可违约证券的观察价格数据，a c h a r y a ，b h a r a t h 和 s r i n i v a s a n ( 2 0 0 5 ) 发现优先级和安全性是回收率的主要决定因素。由于该结论很好 理解并且与先前的关于回收率的实证研究一致，他们的第二个主要结论非常令人 瞩目，并且涉及到了在违约年份的产业特点和宏观经济状况的效果。实际上，违 约时的产业情况被认为是回收率的重要决定因素。 诸多学者的研究及实证检验均反映出违约概率和回收率的确存在负相关性。 通过实证数据的计量分析，发现与现实模拟符合的比较好的回归式为： r ( t ) = r o + r 1 e 一九( ) 其中，r o 0 ，r l 0 ，0 r o + r 1 1 。在下面的章节中，我们将会把这一关系 式引入结构化风险率模型中考虑可违约零息债券的定价问题。 1 3 第三章可违约零息债券的结构化风险率模型 第三章可违约零息债券的结构化风险率模型 m a d a n 和u n a l ( 2 0 0 0 ) 提出的结构化风险率模型也是一种简化形式模型，但 与一般的简化形式模型相比，他们的模型假设造成违约的跳跃损失事件的到达概 率可以通过定价公式得到，这样便内生了风险率过程，从而可以产生较大的短期 信用差额，并且对违约的发生也有了经济上的解释。 本章建立的模型借鉴了m a d a n 和u n a l 的思想，也假设违约是由一个跳跃损失 事件造成的，这样便内生了风险率过程。同时，通过假设回收率和风险率负相关 放松了违约回收率和违约概率之间的独立性假设，构造了由参数决定的违约风险 率和违约回收率。为保持和第二章的一致，本章继续采用v a s i c e k 禾l j 率期限结构过 程以及违约时按面值回收的假设。 ， 3 1 基本模型框架 假设域流概率空间( q ，厂，q ) 满足一般状态，时间区间是【o ，。( ) ，域流f = r ： t 0 ) 代表信息的到达。概率q 是一个在给定短期利率过程门f 的等价鞅测度，该 概率测度的存在保证在这个无摩擦的市场中没有套利机会。 给定当前的时间t 和债券到期日t ，并假设p d 日( t ，r ) 和p ( t ，t ) 分别是可违约和 无违约风险的零息债券价格。同时存在一个货币市场基金帐户b ( t ) ，亡时刻的价值 由b ( t ) = e 严or ( s ) 出给出。违约时间用随机变量7 表示，该时间产生于风险率过程h ， 其直观意义是，对于较小的亡，乘积危( t ) 可近似看成在( t ，t + a t ) 期间内违约 发生的概率。违约发生时的回收为可( 丁) ，由债券持有者在违约发生的时间下立刻收 回。 根据以上假设，带有面值f 和剩余到期时间t 一亡的一个可违约零息债券的价 格由下式给出： p 。b ( t ，t ) ：霹【e f r ( a ) d 8 f 1 ( ， 】+ 霹 厂t e 一口r ( 。) d 8 y ( t 上) 1 似 e ( t ) = v ( t ) 一f p ( t ，t ) 或者 邵) 器一f 圳l f 第三章可违约零息债券的结构化风险率模型 其中， ) f n 器 风险率h ( t ) d t 是在时间间隔化t + d t ) 期间的违约概率。 ( u ) d t = p r v ( t ，t + d ) ) 其中，7 - 是根据上述定义的违约停时。假设损失事件是一个p o i s s o n 过程，单位时间 到达率为h ，损失服从参数为地的指数分布，则即时损失的累积分布函数为： m ( l ) = 1 一e 瓦 则： h ( w ) = a l 【1 一m ( e u f ) 】 利用泰勒公式将上式一阶展开： ( u ) = ( “加) 一入l m ( l o ) e 帅au 其中，m ( ) 是对应于m ( ) 的概率密度函数。将上式进行适当的整理，可以得到随机 风险率： h ( u ) = a 一鼬( 让) 其中， 口= 屯 1 一m ( l o ) 】+ b w o b ：生e 鼍e u 。 弘l l o = 嵩v o f2 而两一f 由以上式子可以看出，状态变量，资产价值和无风险利率都包含在风险率的非线 性表达式中。无论公司业绩如何，无法预测的损失事件都会冲击公司，但公司是 否违约仍然依赖于公司的财务状况，如和f 。同时，u 中显然包含了有关公司价 值过程和随机利率的信息。 和第二章的假设条件保持一致，假设公司价值在等价鞅测度q 下遵循几何布 朗运动： 可d v = t t d t + a d w v 第三章可违约零息债券的结构化风险率模型 同时，无风险利率的风险中性过程遵循v a s i c e k 模型： d r = ( 口一k r ) d t + 叩d v 昨 其中，钟k 是利率的长期均值水平，圪是利率r 向其长期均值水平靠近的速度，刀是 利率变化的波动率。同时，坼和既的相关系数为p 。 本章假设违约回收的形式是价值回收模型，即：y ( u ) = r ( u ) p ( u ，t ) f 。 此外，违约概率和违约回收率存在一个负相关关系，为在债券的定价模型中反映 出这样相关性，如上一章所阐述，可以假设回收率是风险率的一个函数： r ( u ) = r o + r 1 e 一 ( u ) 其中，r o 0 ，r 1 0 , 0 凰+ r l 1 。下面将具体考虑可违约零息债券的定价 问题。 3 3 可违约零息债券的价格 上述模型已经将结构化风险率模型进行了违约概率和回收率负相关假设的改 进，下面我们通过如下几个定理来给出可违约零息债券的价格以及信用差额的表 达式。 定理3 1 给出无风险利率的风险中性说明，无风险零息债券的价格由下式给 出： p ( t ，t ) = e a l ( 。，r ) - a 2 ( ，即( t ) 其中， 讹t ) ：( 羔一知叫一( 善一昙) ( 1 一e - 岬) ) _ 杀( 1 一e - 以n 2 a 2 ( t ，t ) = 去( 1 一e “口一) 定理3 2 给出公司价值和无风险短期利率的风险中性说明，定义为u ( u ) = 抚；鼢的违约测度在远期概率测度q t 下的随机微分方程是： 幽( u ) = p r 一0 5 d 2 ( u ) d u + 卢( 让) d w 蛩】 1 7 第三章可违约零息债券的结构化风险率模型 其中，在概率测度妒下，睨服从( o ，让一t ) 分布，而且： 证明在 亿如n 和啦d d d j 中已经证明，当概率测度从q 转换为远期测度q r 时，y ( 缸) 和7 ( u ) 的公式变形为： d v ( u ) y ( u ) = ( p p a r l a 2 ( u ，t ) ) d u + 口d w 移 d r ( u ) = ( 0 一r 1 2 a 2 ( u ，t ) 一k r ) d u + 叩d 仰移 根据肋定理，在远期概率测度q t 下，无风险零息债券价格的微分方程为： 却( 缸，t ) = 却i t ( u ) ，u 】 = 仇砒+ p r 打+ o 5 p ，( 打) 2 = p ( u ，t ) p + , 1 2 a 2 ( 牡，t ) 2 抛一, t a 2 ( 让，t ) d w l 同理再一次应i t o 定理，收益率 如( 钍) = v v d v + v p d p + 0 5 v v v ( d v ) 2 + o 5 ( d p ) 2 + v v a d v ) ( d p ) = 口( 缸) ( p r ) d u + v ( u ) s q r t a 2 + 1 1 2 a 2 ( 乱，t ) 2 + 2 p a r l a 2 ( u ，t ) = ( 钍) ( p r ) d u + v ( u ) p ( u ) d w c z 其中，在概率测度q r 下，咐服从( o ，牡一t ) 分布，所以， 幽( u ) = p r 一0 5