（应用数学专业论文）一般和广义混合隐拟变分不等式解的算法.pdf

一般和广义混合隐拟变分不等式解的算法 学科专业： 指导教师： 应用数学 邓磊教授 研究方向：非线性泛函分析 研究生：王广兰( 2 0 0 3 5 4 4 ) 摘要 最近，d e n g 6 4 ，6 5 和作者利用一般( 广义) 混合隐拟变分不等式与隐预解等式等 价这种关系，提出了解混合隐拟变分不等式的几种新的算法，并证明了在g 伪单调算 子的条件下新算法的收敛性 主要结果如下： 在第一章中，我们较系统全面的介绍变分不等式理论发展的历史背景、研究现状 以及本文所做的工作 在第二章中，我们研究了一般? 昆台隐拟变分不等式解的算法，利用隐预解等式技 巧，提出了解一般混合隐拟变分不等式的几种新的算法，并且证明了在g ，伪单调算子 的条件下新算法的收敛性 在第三章中，我们研究了广义混合隐拟变分不等式解的算法，利用隐预解等式技 巧，提出了解广义混合隐拟变分不等式的几种新的算法，并且证明了在分伪单调算子 的条件下新算法的收敛性 本文的结果是对以往一些相应结果的改进和推广 关键词：一般混合隐拟变分不等式广义混合隐拟变分不等式h i l b e r t 空间g 。伪 单调隐预解等式 a l g o r i t h m sf o rg e n e r a la n dg e n e r a l i z e d m i x e d i m p l i c i tqu a s i y a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s 1 m a j o r ； b a s i cm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y ： f u n c t i o n a la n a l y s i sa n di t sa p p l i c a t i o n s s u p e r v i s o r ：p r o f l e id e n g a u t h o r ： g u a n g - l a nw a n g a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tt h eg e n e r a la n dg e n e r a l i z e dm i x e di m p l i c i tq u a s i v a r i a t i o n a li n - e q u a l i t i e sa r ee q u i v a l e n tt ot h ei m p l i c i tr e s o l v e n te q u a t i o n s r e c e n t i y ，d e n ga n da u t h o r 6 4 ，6 5 u s et h ea l t e r n a t i v ef o r m u l a t i o nt os u g g e s ta n da n a l y z es o m en e wa l g o r i t h m sf o rs o l v i n gg e n - e r a la n dg e n e r a l i z e dm i x e di m p l i c i tq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s o u rr e s u l t si m p r o v ea n d g e n e r a l i z es o m er e n c e n tc o r r e s p o n d i n gr e s u l t s t h et h e s i si sc o m p o s e do ft h r e es e c t i o n s f i r s t ，w es h o wt h er e a lb a c k g r o u n do ft h ep r o b l e m sw es t u d ya n dt h em a i nw o r k st h a th a v eb e e ns t u d i e db ym a n ya u t h o r s w ea l s oi n t r o d u c e s o m eb a s i cd e f i n i t i o na n dt h em a i nr e s u l t si nt h i sa r t i c l e s e c o n d ，w es t u d yg e n e r a lm i x e d i m p h c i tq u a s i - v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，a n du s et h ee q u i v a l e n tb e t w e e nt h eg e n e r a lm i x e di m p l i c i tq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n di m p l i c i tr e s o l v e n te q u a t i o n st os u g g e s ta n da n a l y z e s o m en e wa l g o r i t h m s ，f i n a l l yw ep r o v et h ec o n v e r g e n c eo ft h e mi ng - p s e u d o m o n t o u eo p e r a - t i o nc o n d i t i o n i nt h el a s ts e c t i o n ，w es t u d yg e n e r a l i z e dm i x e di m p l i c i tq u a s i v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s ，a n dr i s et h ei m p l i c i tr e s o l v e u te q u a t i o n st e c h n i q u et os u g g e s ts o m en e wa l g o - r i t h m so fs l o v i n gg e n e r a l i z e dm i x e di m p l i c i tq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，t h e nw ep r o v et h e c o n v e r g e n c eo ft h e m ，i ng - p s e u d o m o n t o n eo p e r a t i o nc o n d i t i o n i na l l ，t h er e s u l t sp r e s e n t e di nt h i sp a p e re x t e n da n di m p r o v em a n yk n o w nr e s u l t si nt h e l i t e r a t u r e k e yw o r d sa n dp h r a s e s ：g e n e r a lq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yg e n e r a l i z e dm i x e dq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y h i l b e r ts p a c e i m p l i c i tr e s o l v e n t e q u a t i o ng - p s e u d o m o n t o n i c i t y 1 s u p p o r t e db yn a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a ( 1 0 4 7 1 1 1 3 ) ，b ym a j o rp r o j e c to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g yo fm o e ( 0 2 0 6 0 ) 、prca n db yp r o j e c t0 fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g yo fc h o n gq i n g p r o v i n c e ，prc h i n a ( 0 2 1 3 0 1 ，0 3 1 3 0 2 ) l 引言与预备知识 1 1 1 引言 1 9 6 4 年，s t a m p a c c h i a 5 8 提出变分不等式理论后，在众多科学领域显现出它的强 有力的作用，例如：物理、机械制造、统一和一般框架下纯的和应用科学，在应用方 面人们借助于改进的技巧，在不同方向把变分不等式进行了改进和推广 1 6 8 1 不论产 生于理论科学中的，还是产生于应用科学中的变分不等式问题，都得到了广泛的引申 和推广 这一变分不等式最先在有限维空间讨论，以后被l i o n s ，b r o w d e r 等人推广到无穷 维空间，沿着这一方向，变分不等式问题作为变分原理的主要推广得到大力研究和发 展，而变分包含问题作为变分不等式的一种更广泛的情形，随着变分不等式理论的成 熟和发展在最近几年同样得到广大数学工作者的重视和研究，如今变分不等式及变分 包含理论作为一个有效的工具，以统一的模式已被大量的用于研究产生于力学、微分 方程、优化与控制论、数理经济、对策理论、非线性规划等各个领域的问题。 1 2 文献综述 变分不等式中的一个重要推广是混合拟变分不等式，可参见 5 3 ，3 0 近年来，解变 分不等式及相关优化问题时，大量被改进的有效方法包括投影方法及它的变化形式、 w i e n e r h o p f 恒等式、线性逼近、辅助原则等备受关注 最近，m a n o o r 在文 3 9 ，4 0 ，4 1 ，5 3 中利用h b r e z i s 3 0 】在1 9 7 3 年给出的极大 单调算子t 生成的预解算子j t = ( i + 矿) _ 1 的定义及其性质，讨论了几类广义变分 不等式解的算法，并证明了算法生成的迭代序列的强收敛性 众所周知，由于非线性双射的存在，投影算子以及它的各种变化形式和w i e n e r h o p f 恒等式技巧不能被用来解混合变分不等式基于此，我们应用了预解算子的技巧在这个 技巧中，给定的算子被分解为两个( 或者多个) 极大单调算子的和，而极大单调算子的解 较容易估计，这样的方法叫算子变分法，关于应用和推广可参见 2 3 ，3 0 ，5 l ，4 0 ，5 5 ，6 0 ，6 6 由此以来，我们就有了一种有效的研究方法，即可以去独立的研究算子中的一部分， 在h i l b e r t 空间，d i n g 1 5 和 1 6 1 与c hl e e ，q ha n s a r i 和j c y a o 3 4 定义了真泛 函币在某点是q 一次可微分的以及该泛函的”一近似映像，讨论了q 一近似映像币生 成的预解算子础= ( j + p 妒) _ 1 是l i p s c h i t z 连续的单值映像在此基础上，他们利用 预解算子聊讨论了不同的似变分包含问题解的迭代算法，并证明了算法生成的迭代 序列的强收敛性y p f e n g 和n j h u a n g 2 0 1 引入一种新的单调算子呻一单调算子， 给出了相应的预解算子磷 = ( 目+ a f ) ，并在一定条件下证明了群 也是l i p s c h i t z 连续的单值映像利用该预解算子，讨论了一类广义集值变分包含的解的迭代算法， 并证明了该算法的强收敛性 在有关混合变分不等式问题的研究中，n o o r 4 1 ，5 3 1 曾经用预解算子的技巧提出 了一些迭代算法，解混合变分不等式的这些方法的一个显著特征就是预解步包含次微 分性质、凸和部分下半连续，另一部分使问题很容易被分解一般混合拟变分不等式 等价于一个不动点问题和预解等式被证明后，这个等价转换对一般混合拟变分不等式 解的算法的提出有重要的作用，这些算法中最简单的一种是预解算法，这种算法限制 了假设条件中算予必须是强单调和l i p s c h i t z 连续，这些严格的条件束缚了预解算法的 许多应用，为了克服这一困难，我们应用预解算子的技巧提出了解一般混合拟变分不 等式的修正预解算法，并证明了这种新的算法仅在g 一伪单调的情况下就收敛众所周 知，9 一伪单调的条件要弱于伪单调，而伪单调性要弱于强单调性相应的，证明了变 分不等式之前的一些算法和相关问题时本文结果的特例本文的结果推广和改进了有 关一般( 广义) 混合变分不等式以及相关的优化问题 本文第二章讨论了一般混合隐拟变分不等式解的算法；第三章讨论了广义混合隐 拟变分不等式解的算法 1 3 预备知识 为了叙述方便，我们简单的介绍一下相关的概念及相关的结果 设日为实的h i l b e r t 空间，其中的范数和内积分别用( ，) 和l l 表示，c b ( h ) 是口中所有1 e 空有界闭子集族，e ，f ：h - c b ( h ) 是集值映象，n ，g ：h 叶口是 单值映象，又设k 为h 中的非空闭凸子集，妒：hxh _ r u + o 。为一函数使得 对固定的z h ，z 妒( z ，z ) 是真凸下半连续泛函，并且9 ( h ) ad o m 0 妒( ，z ) d ，设 b ：hx h 寸r 是一个实函数并满足下列条件： ( 1 ) b ( x ，y ) 关于第一变元是线性的， ( 2 ) b ( x ，y ) 有界，即存在一个常数 0 使得 ( 3 ) 对任意的z ，y ，z h 6 ( 。，y ) 一6 ( 。，z ) b ( x ，y z ) 本文第二章将考虑下面的一般混合隐拟变分不等式问题： 对于e ，h ，求。h ，使得 ( ( z ) ，9 ( ) 一9 ( z ) ) + 6 ( 9 ( g ) ，e ) 一6 ( 9 ( 。) ，e ) 2 妒( 9 ( ) ，f ) 一l p ( 9 ( 。) ，) ，y g ( y ) h ( 1 3 1 ) 2 注1 显然，如果b ；0 ，则问题( 1 3 1 ) 就是n o o r 在文献 3 8 中所讨论的问题 以下是几种特殊情况： ( i ) 如果p ( 9 ( ) ，g ( z ) ) 2l p ( 9 ( ) ) ，b ；0 ，那么问题( 1 3 1 ) 就等价于求z h ，使得 ( ( z ) ，g ( y ) 一g ( 。) ) 一p ( 9 ( 可) ) + 妒( 9 ( z ) ) 0 ，v g ( ) h( 1 3 2 ) 问题( 1 3 2 ) 叫混合变分不等式，文献 6 2 讨论过 ( i i ) 如果_ p ( ，) 是h 中闭凸集k ( z ) 的指标函数，即 妒c z ，”，；，k 。，c 。，= 0 。：二芸：， 那么问题( 1 3 1 ) 就等价于求。h ，9 ( z ) k ( x ) 使得 ( ( z ) ，9 ( y ) 一g ( z ) ) 0 ，v g ( ) k ( z ) ( 1 33 ) 问题( 1 3 3 ) 称为一般拟变分不等式 注2 如果( z ) jk ，问题( 1 3 3 ) 就等价于求z h ，g ( 。) k 使得 ( ( z ) ，g ( y ) 一g ( z ) ) 0 ， ) k( 1 3 4 ) 问题( 1 3 4 ) 称为一般的变分不等式，这种形式的变分不等式被【4 2 提出并研究 ( i i i ) 如果g i ，则问题( 1 3 4 ) 就变为求z k 使得 ( ( o ) ，y 一。) 0 ，v y k ( 1 35 ) 问题( 1 3 5 ) 被称为古典形变分不等式，s t a m p a c c h i a 提出并研究了这种类型的变分不 等式 可见选择适当的n ，g 和空间h ，可以从问题( 1 3 1 ) 中得到大量的已知或新知的 变分不等式、变分包含和相关的优化问题，而且这些类型的变分问题使我们能以一般 和统一的框架去研究数学，物理和工程科学等方面的问题 本文第三章我们将考虑下面的广义混合隐拟变分不等式问题：求z h ，e e ( $ ) ，f f ( z ) 使得 ( ( 。) ，y g ( z ) ) + b ( y ，e ) 一6 扫( z ) ，e ) l p ( 玑f ) 一妒妇( z ) ，) ，v y 且( 1 3 6 ) 我们注意到满足条件( 1 ) 一( 3 ) 的函数b ( x ，y ) 曾出现在很多变分不等式问题中，见 3 8 ，1 8 但是，我们没有假设叱) 关于第二变元是凸的 以下是几种特殊情况： 3 ( i ) 如果妒( ，) i 妒( ) ，v ，日，bio ，那么问题( 1 3 6 ) 就等价于求z h ，9 ( z ) k ( x ) 使得 ( ( z ) ，y 9 ( 。) ) 一妒( 掣) 十妒( 9 ( z ) ) 0 ， v y h 问题( 1 3 7 ) 叫混合变分不等式，文献 6 2 】讨论过 ( i i ) 如果妒( - ，) 是h 中闭凸值的( z ) 的指标函数，即 妒c 。，v ，；坛c 。，c 。，= 十0 。：； 0 是一常数，称由下式定义的映射：节。：h 斗日， 0 ( 。，) = ( j + 一( - ，) ) 一，v ，h 是a ( ，) 的预解算子其中，为日上的恒等算子 事实上，a ( ，) 是一个极大单调算子当且仅当霉( ，是满射而且当a ( ，) 是 一个极大单调算子时，a ( ，) 的预解算子是单值的和非扩张的，即是说，对任给的 z y h j i 露，n 扛) 一口( ，j ) ( y ) l l l i z 一引i 注意：我们知道真凸下半连续泛函妒：h h _ r u + “ 的次微分却( ，) 关于 第一变元是极大单调算子我们用 力“，) = j + p l p ( ，) ，v f h 表示却( t ，) 的预解算子 定义1 3 3 3 8 对z ，y h ，算子n ：h _ h 被称为 ( i ) 9 单调的，如果( ( z ) 一( ) ，。一y ) o ； ( i i ) g 一伪单调的，如果( ( z ) ，。一) 0 蕴涵( ( g ) ，z 一) 0 注意：由定义不难看出如果是单调的，那么也是伪单调的，但反之不成立， 也就是说伪单调性要弱于单调性 定义1 3 4 【1 8 设集值映射a ：h _ c b ( h ) 被称为是豆_ l i p s c h i t z 连续的，如果存 在一个常数” 0 使得 丑( a ( z ) ，a 国) ) 1 l z 一，v x ，y 日 这里，亘( ，) 表示c b ( h ) 上的h a u s d o r f f 度量 定义1 3 5 3 8 函数妒( ，) 称为是斜对称的，如果 妒( ，“) 一l p ( “，v ) 一妒一，u ) + _ p ( ，。) 0 ，v “， h 引理1 3 1 1 8 1 设b ：h h _ r 是实函数并且满足前面所提的条件( i ) - ( i i i ) 那么 对每一个y h ，存在唯一的 ( y ) h 使得b ( x ，y ) = ( h ( ) ，z ) ，v z h 和 l h ( y ) 一h ( z ) | | 圳g z 扎v y ，z h ，即h ：h _ 十日是连续的 5 引理1 3 2 6 4 z 是一般混合隐拟变分不等式( 1 3 1 ) 的解当且仅当z h 满足 9 ( z ) = j 亨9 ( ，9 ( 2 ) b ( z ) 一p ( ( z ) 十 ( e ) ) 】 ( 1 31 3 ) 这里( ( e ) ，z ) = b ( z ，e ) ，p 0 是常数 证明假设。是问题( 1 31 ) 的解，则z 日满足 ( ( z ) ，g ( y ) 一g ( 。) ) + 6 ( 9 ( ) ，e ) 一6 ( 9 ( 。) ，e ) 妒( 9 ( ) ，g ( z ) ) 一妒( g ( z ) ，g ( z ) ) ，v g ( y ) h ( 1 3 1 4 ) 根据引理1 3 1 可得， 6 ( g ( ) ，e ) 一b ( g ( z ) ，e ) = b ( g ( y ) 一9 ( z ) ，e ) = ( ( e ) ，g ( y ) 一g ( 。) ) ，v g ( y ) h 因此( 1 3 1 3 ) 成立当且仅当 妒b ( 。) ，9 ( 。) ) 一妒( g ( 9 ) ，9 ( z ) ) ( n ( x ) + ( e ) ，g ( x ) 一9 ( g ) ) ，v g ( y ) 日 ( 1 31 5 ) 不等式( 1 , 3 1 5 ) 成立当且仅当 n ( x ) + h ( e ) a 妒( ，口( 。) ) ( 9 ( z ) ) ( 1 3 1 6 ) 由霹9 ( ，9 ( 2 ) 的定义可知( 1 3 1 6 ) 成立当且仅当 g ( z ) = 刀p ( ，9 ( 。) i g ( ) 一p ( ( 。) + ( e ) ) ， 这里( h ( e ) ，。) = b ( 。，e ) ，p 0 是常数因此，z 是问题( 1 3 1 ) 的解当且仅当。h ，满 足等式( 1 , 3 1 3 ) 引理1 3 3 1 8 对于给定“，”日满足不等式 ( “一z ，即一 ) + p o ( v ， t t ) 一p 妒m ，札) 0 ， v v 日 当且仅当 u = 刀咖) z 这里力9 ( ，) = 口+ p 却( ，) ) 1 是预解算子，p 0 是常数， 引理1 3 4 6 4 设矿日是( 13 1 ) 的一个解，如果算子n 是g 一伪单调的， 妒( ，一) 是斜对称的，那么 ( g ( z ) 一g 如+ ) ，d ( ) ) o i i r ( z ) 1 1 2 ，v 日 证明设矿h 是问题( 1 3 1 ) 的解，则 ( ( z + ) ，9 ( 口) 一g ( x + ) ) + 6 ( 9 ( g ) ，e ) 一6 ( g ( z + ) ，e ) 妒( 9 ( ) ，g ( z 4 ) ) 一p ( g ( 。+ ) ，g ( z + ) ) ，v g ( g ) h 6 根据引理1 3 1 和g ( z ) 的假设可得 ( g ( z + ) ，9 ( 可) 一9 ( z + ) ) 一| p ( 夕( 掣) ，9 ( 茁+ ) ) + 妒( 9 ( z 4 ) ，9 ( z + ) ) 0 ，v gc v ) h 因为是旷伪单调的，则有 ( g 匆) ，g 白) 9 0 + ) ) + 妒( g + ) ，9 0 ) ) 一c p ( g 白j ，g 知+ j ) 0 ，v g ( v ) h 在上式中令9 ( g ) = 垆阳 g ( z ) 一p g ( 圳i ，可以得到 ( g w ，w g ( x + ) ) 一妒( ，g ( x + ) ) + 妒( g ( $ + ) ，9 ( x + ) ) 0 由上式和算法2 1 4 可得 扫( z ) 一9 ( z + ) ，g 哪) ( r ( z ) ，g 删) 一p b ( z + ) ，9 ( z + ) ) + 妒( 叫，g ( z + ) ) ， = 一( r 扛) ，g 扛) g ) + ( r 如) ，g 扛) ) 妒( g ( z + ) ，9 忙+ ) ) + 妒( 枷，g ( z + ) ) 字j l r ( z ) jj 2 + ( _ r 扛) ，g ( 。) ) 一妒扫( 矿) ，9 ( 矿) ) 4 - 妒( ，9 忙+ ) ) ，( 1 31 7 ) 在引理1 3 3 中令z = 9 ( 。) 一p ( ( z ) + ( e ) ) ，“= 口( 。+ ) ，”： 可得 ( 9 0 ) 一p g ) 一 ，叫一g ( z 4 ) ) 一p l p 0 ( 矿) ，g ( x + ) ) + p 妒( 叫，g ( x ) ) 0 根据r ( z ) 的定义，有 扫( z ) 一9 ( z ) ，r ( 。) 一p g ( z ) ) 2i l r ( x ) 1 2 一p ( g ( 茁) ，r ( z ) ) + p 妒扫( z + ) ，9 ( 茁) ) 一p _ o ( w , g ( z 4 ) ) ( 1 3 1 8 ) 根据妒的斜对称性，把( 1 3 1 6 ) ，( 1 3 1 8 ) 相加可得 ( 夕) p ( 。+ ) ，r ( 。) 一p g ( z ) + p g 霹妒( ，9 ( 。) 胁( z ) 一j 9 g ( z ) j ) o - i i n ( x ) 1 1 2 根据算法2 i 3 中的口( 。) 的不动点公式形式可得 ( 9 ( 。) 一夕( z 4 ) ，d ( z ) ) 盯| | r ( z ) i 2 由引理1 3 4 不难得出引理1 3 5 ： 引理1 3 5 6 4 设。4 是问题( 1 3 1 ) 的解，z 。+ 1 是由算法2 1 4 而得的，那么 g ( 。n + - ) 9 ( z ) | | 2 f i 9 ( z n ) 一g ( z 4 ) 1 1 2 一雠 7 引理1 3 6 6 5 ( z ，e ，) 是广义混合隐拟变分不等式( 1 3 6 ) 的解当且仅当z h ，e e ( z ) ，f ( z ) 满足 g ( z ) = j ? 9 ( ， g ( z ) 一p ( ( z ) + ( e ) ) ( 1 31 9 ) 这里( ( e ) ，2 7 ) = 6 ( z ，e ) ，p o 是常数 证明：假设( z ，e ，) 是问题( 1 3 6 ) 的解，则z h ，eee ( z ) ，f ( 。) 满足 ( ( 。) ，y g 扛) ) 十b ( y ，e ) 一6 ( 夕( 。) ，e ) 妒( 玑，) 一p ( 9 陋) ，) ，y y 日( 1 32 0 ) 根据引理1 3 1 可得， b ( y ，e ) 一6 国扛) ，e ) = b ( y 一9 ( 。) ，e ) = ( h ( e ) ，y g 扛) ) ，v y h 因此( 1 3 2 0 ) 成立当且仅当 妒( 9 0 ) ，) 一妒扫，) ( ( z ) + 九( e ) ，9 ( z ) 一可) ，y y h( 1 3 2 1 ) 不等式( 1 3 2 1 ) 成立当且仅当 n ( x ) + h ( e ) a 妒( ，) ( g ( z ) ) ( 1 3 2 2 ) 由j o v ( ，) 的定义可知( 1 3 ，2 2 ) 成立当且仅当 9 ( z ) = j ? 9 ( ，k ( z ) 一p ( ( 。) + ( e ) ) ， 这里( ( e ) ，z ) = b ( z ，e ) ，p 0 是常数因此，( z ，e ，) 是问题( 1 3 6 ) 的解当且仅当 z h ，e e ( 。) ，f f ( z ) 满足等式( 1 31 9 ) 引理1 3 7 6 5 设矿h ，e + ef ( 4 ) ，f 4 f ( 。+ ) 是( 1 3 6 ) 的一个解，如果算子 是g 一伪单调的，妒( - ，) 是斜对称的，那么 ( 9 ( z ) 一9 ( z + ) ，d ( ) ) o l i r ( z ) i t 2 ，v 。h 证明 设矿h ，e 4 e ( z + ) ，8 f ( 矿) 是问题( 1 3 6 ) 的解，则 ( ( 茁。) ，y 一9 ( 茁+ ) ) + 6 ( 可，e 4 ) 6 ( 9 扛4 ) ，e 4 ) 2 妒0 ，f 8 ) 一妒( 9 ( z + ) ，+ ) ，v g h 根据引理1 3 1 和g ( 。) 的假设可得 ( g ( x 4 ) ，y g ( 。+ ) ) v ( v ，) + 妒b ) ，4 ) 0 ，y y h 因为是伪单调的，则有 ( g ( ) ，y g ( x + ) ) + 妒( 9 ( 。+ ) ，+ ) 一妒( ，f + ) 0 ，y y h 只 在上式中令= 霹9 ( ，7 g ( 。) 一p g ( 。) ； ，可以得到 ( g w ，w g 扛+ ) ) 一妒( 叫，+ ) + p 0 ( 茹+ ) ，+ ) 0 由上式和算法3 1 4 可得 ( 9 ( z ) 一目0 4 ) ，g w ) ( r 0 ) ，g w ) 一妒b ( z + ) ，+ ) + 妒( 删，4 ) = 一( r ) ，g 扛) 一g w ) + ( r 如) ，g 扛) ) 一v c g ( = + ) ，+ ) + 妒( ，4 ) 等忙( 圳h ( 跏) 矧圳一比( z h 一+ 咖，f 1 ( 1 3 2 3 ) 在引理1 3 3 中令z = g ( z ) 一p ( n ( x ) 一 ( e ) ) ，“= g ( z 4 ) ，v = ”可得到 ( g ( 。) 一p g ( x ) 一叫，如一9 ( 。4 ) ) 一p 妒( 9 忙+ ) ，+ ) + p 妒( 叫，f + ) 0 根据r ( z ) 的定义，我们有 ( 9 ( x ) 一目( z 4 ) ，冗( 。) 一p g ( z ) ) j | 冗( 。) i 2 一p ( g ( z ) ，r ( 茹) ) + p _ p ( g ( z + ) ，+ ) 一p 妒( ，4 ) ( 1 3 ，2 4 ) 根据妒的斜对称性，把( 1 3 2 3 ) ，( 1 3 2 4 ) 相加可得 ( 9 ( 茁) 一9 ( 。4 ) ，r ( z ) 一p g ( ) + p g j ? 妒( ，【g ( 嚣) 一p g ( z ) 】) 盯1 i r ( 茹) 1 1 2 根据算法3 1 ，3 中的d ( x ) 的不动点公式形式可得 ( g ( z ) 一g ( 4 ) ，d ( 。) ) o l i r ( z ) 1 1 2 由引理1 3 7 不难得出引理1 3 8 ： 引理1 3 8 6 5 设是问题( 1 3 1 ) 的解，。+ l 是由算法2 1 4 而得的，那么 9 0 2 i t r ( z 。) 1 1 4 i i d 如。) 1 1 2 2一般混合隐拟变分不等式解的算法以及算法的收敛性 2 1 一般混合隐拟变分不等式解的算法 算法2 1 1 | 给定z o h ，利用下面的迭代序列计算逼近解z 。+ 1 9 ( z 。+ 1 ) = j p o p ( ，g 扛n ) ) g ( 。) 一p ( n ( x 。) + ( e 。) ) ， 显然，如果算子n ，g 和h 是强单调并且l i p s c h i t z 连续，算法2 1 1 收敛，这些严 格条件限制了算法2 1 1 的应用，这个事实就启发我们找到了新的迭代算法，并且这种 算法对于伪单调算子是收敛的 定义剩余向量r ( z ) 如下： r ( 。) = 9 ( 茁) 一刀妒( ，g 扛) 由( z ) 一p ( ( 。) + 九( e ) ) ( 2 1 1 ) 根据引理1 3 1 ，z 是问题( 1 3 1 ) 的解当且仅当 r ( z ) = 0 ( 2 1 2 ) 取r ( 0 ，2 ) 常数，等式( 2 1 2 ) 可以写成下面的形式 9 ( z ) + p ( n ( x ) + ( e ) ) = g ( x ) + p ( 0 ) + ( e ) ) 一r r ( x ) 利用这个等式，可以得到解问题( 1 3 1 ) 的一种新的隐预解算法 算法2 12 给定z o 日，计算z l 9 ( x 1 ) = 9 扛o ) + p ( 扛o ) + h ( e o ) ) 一p ( 扛1 ) + h ( e 1 ) ) 一r r ( x o ) 依次类推，可以定义序列 。) 满足下面的条件： 9 ( z 。+ 1 ) = g ( x 。) + p ( ( z 。) + ( e 。) ) 一p ( ( z 。+ 1 ) + h ( e n + 1 ) ) 一r r ( x n ) 这里p 0 是常数 注5 如果c p ( ，) 是h 上闭凸集k ( 。) 上的指标函数，则预解算子谚9 ，9 。；p k ( 。) 为h 到闭凸集k ( z ) 上的投影算子相应的( 2 1 1 ) 式就可以写为 r k ( 。) ( z ) = g ( z ) 一f k ( 。) g ( 。) 一p ( ) + ( e ) ) ， 因此，由算法2 1 2 就可以得到下面的算法2 1 3 ： 算法21 3 给定z o h ，利用下面的的迭代程序计算序列( z 。) ， g ( z 。+ 1 ) = g ( z 。) + p ( ( z 。) + ( e 。) ) 一p ( ( z 。+ 1 ) + ( e n 十1 ) ) 一r r k ( 。) ( z n ) l o 这里p 0 是常数 对于一般混合隐拟变分不等式( 1 3 1 ) ，考虑隐预解等式解的问题 设g ( 。) = ( z ) 十 ( e ) ，= i 一矿( 圳，对给定的非线性算子g z ，z h ，使得 p g g 一1 j o p p ( ，g ( 。) ) ( z ) + 嘞( z ) = 0 为简化之便， 日- 口考虑求 ( 2 1 3 ) 这里g 。是g 的逆映射，p 0 是常数根据 3 8 ，( 2 1 3 ) 叫隐预解等式，又根据文 献 1 s ，问题( 1 3 1 ) 和隐预解等式( 2 1 3 ) 等价那么由引理1 3 1 可知，问题( 1 3 1 ) 的 解为g ( 。) = 苇9 ( ，9 ( 。) z ，z ：g ( 。) 一p g ( 。) ，代入( 2 1 3 ) 可得 9 ( z ) 一p a ( x ) 苇”( ”( 。) b ( z ) 一p g 扛) + p g g 一1 嚣9 ( ，9 ( 。) 9 ( z ) p g ( 。) = 0 也就是 r 扛) 一p g 扛) + p g g 一1 刀妒( ，9 扛) 函扛) 一p g 扛) = 0( 2 1 4 ) 对给定的常数a 0 ，等式( 2 1 4 ) 可以写成下面的形式 9 ( z ) = g ( x ) 一o d ( z ) 这里 d ( x ) = r ( 。) 一p a ( x ) + p g g 一1 霹p ( ，口( 。) g ( 。) 一p g ( z ) 】( 2 1 5 ) 根据这个不动点公式，得到求问题( 1 3 1 ) 的修正解的迭代算法 算法2 1 4 给定z o h ，利用下面的程序计算序列 z 。) ， g ( x 。+ 1 ) = 9 ( 。) n 。d ( 茁。) ，n = 0 ，1 ， 这里p 满足 p ( g x 。一g 。碧9 ( ，9 ( 。n ) 函( 。) 一p c ( z 。) ，r ( z 。) ) s ( 1 一口) i l r ( 。) 1 1 2 ，口( o ，1 ) ( 2 1 5 ) d ( z 。) = r ( x 。) 一p c ( x 。) + p g g 一1 刀9 ( ，9 ( 。n ) 函( z 。) 一p g ( z 。) 】 一裰群 这里o l 。是步长 2 2一般混合隐拟变分不等式解的算法的收敛性 定理2 1 1 设g ：日_ 日是可逆的，n ：h _ h 是g 一伪单调的，h 是实的有限 维的h i l b e r t 空间，那么，由算法2 1 4 得到的逼近解 。) 收敛到问题( 1 3 1 ) 的一个解 2 3 证明 定理2 1 1 的证明设矿是问题( 1 3 1 ) 的解，由引理1 35 可知，序列妇( z 。) ) 有 界，由g 可逆知， 。) 也是有界的，并且 量制。)一目(。-)llzid( 鲁i x n ) 1 1 2 “”“ 由此可知l i m 。_ + o 。n ( x 。) = 0 设z + 是 。) 的聚点，假设 z 。) 的子序列 z 。，) 收敛到 矿，由r ( z ) 的连续性可得 r ( 。+ ) = j i m r ( $ 。，) = 0 由引理2 3 可得 1 1 9 ( 。十1 ) 一9 ( z + ) 1 1 2 | | g ( z 。) 一9 ( 。+ ) 1 1 2 因此 z 。) 恰好有一个聚点，并且l i _ + 。g ( z 。) = g ( x + ) 因为g 可逆，所以l i r a 。o 。z 。= z + 因此，矿是问题( 1 31 ) 的解证毕 推论2 1 1 设g ：h 斗h 是可逆的，：日_ 日是g 一单调的，日是实的有限维的 h i l b e r t 空间，那么，由算法2 1 4 得到的逼近解 z 。) 收敛到问题( 1 3 1 ) 的一个解。+ 注6 文献 1 8 中讨论了比本文更广的一类一般混合拟变分不等式问题解的算法， 但文献 1 8 是在单调算子的条件下讨论算法的收敛性问题 1 2 3广义混合隐拟变分不等式解的算法以及算法的收敛性 3 1 广义混合隐拟变分不等式解的算法 算法3 1 1 给定x 0 h ，e o e ( z o ) ，o f ( 。o ) ，利用下面的迭代序列计算逼近解 x n + l f9 扛。+ 1 ) = j o o ( ， b ( z 。) 一p ( n ( x 。) + h ( e 。) ) 】， e 。e ( 。) ，i l e 。一e n + l | | s ( 1 + ( n 十1 ) 一1 ) 豆( 日( 。) ，e ( z 。+ 1 ) ) ， i 厶f ( z 。) ，l i 厶一 + l | | ( 1 + m + 1 ) 一1 ) 豆( z 。) ，f ( z 时1 ) ) n = 0 ，l ， 显然，如果算子n ，9 和 是强单调并且l i p s c h i t z 连续，算法3 1 1 收敛，这些严 格条件限制了算法3 1 1 的应用，这个事实就启发我们找到了新的迭代算法，并且这种 算法对于伪单调算子是收敛的 定义剩余向量r ( z ) 如下： 只扛) = 9 扛) 一刀p ( ， 9 扛) 一p ( n ( x ) + ( e ) ) ( 3 1 1 ) 根据引理1 3 1 ，( z ，e ，) 是问题( 1 3 6 ) 的解当且仅当 r ( z ) = 0( 3 1 2 ) 取r ( 0 ，2 ) 常数，等式( 3 1 2 ) 可以写成下面的形式 g 扛) + p ( 扛) + ( e ) ) = 9 扛) + p ( 扛) + ( e ) ) 一r r ( z ) 我们利用这个等式提出了解问题( 1 3 6 ) 的一种新的隐预解算法 算法3 1 2 给定z o h ，e o 曰( z o ) ，0 f ( 。o ) ，计算x l g ( za ) = g ( x a ) + p ( ( 。o ) + ( e o ) ) 一p ( n ( x 1 ) + h ( e 1 ) ) 一r r ( z o ) 因为f ( l ) ，f ( x 1 ) c b ( h ) 所以存在e l e ( z i ) ，l f ( x 1 ) 使得 i i e o e l l l ( 1 + 1 ) 百( e ( z o ) ，e 扛1 ) ) ， i i ，0 一，l | | s ( 1 + 1 ) 豆( f ( z o ) ，f ( 。1 ) ) 计算 9 ( x 2 ) = g ( x 1 ) + p ( ( 。1 ) + h ( e 1 ) ) 一p ( n ( z 2 ) + h ( e 2 ) ) 一r r ( x 1 ) 依次类推，我们可以定义序列 z 。) ， e 。) 和 厶) 满足下面的条件： l9 ( z 。+ i t ) = 9 ( z n ) + p ( ( z 。) + h ( e 。)