（中国古典文献学专业论文）张家山汉简《算数书》整理研究.pdf

碾家山漠筒算敦害整理研究 中圆古典文欣擎喜案硕士研究生胡憾涛 指尊教郦眼颞成教授 摘要 一九八四年在湖北江陵碾家山二四七虢漠墓出土的算数害是我圜目前所知道的最早 的敦单喜著。它的内容十分望富、深刻，包含了初等敦单中的整数舆分数建算、代数逼算、 裁何逗算，代表了公元前二世纪我回的敷孥骚展水平，忠寅地再现了富畴敦孕著作的原始面 貌。算敷害作属一部比九章算衍遇要早的敦旱尊著封於中圜古代敷旱史的研究具 有重要俱值。同畴，它作届比傅世文献更具真寅性的出土文献，属我们造一步嘹解富畴的话 言面貌和社官裴展状沉提供了一佃桓好的横官，燕疑具有重要的屣史卑、帮言晕、文字擘等 方面的研究佤值。 本文封算数害全文造行了整理和研究，力固整理出一佃既髓现算数害晕衍儇值 又具有可蘸性的本子，监喜题研究了算数害的残佃重要同题。 在整理篇中封算数害文本造行了考辨、校勘、翻诨，监封算题中涉及敦孥、捂言孥 罔题在疏箍中作了逐一探封。特别是将一些代表性的算题舆九章算衍中相虑章箭作了比 鞍研究。此外，遢封峙暨的研究成果中值得商榷之虞提出了自己的看法。 在研究篇中本文将解葫算敦害通程中鼗琨的罔题舆收槿的心得作了喜题阐述：算 敷害敷晕用语研究和作焉抄本算敷害中的袭佃罔题，以阐明算数害遣部数早著作 的敷早史料、社舍史料惯值。 髓键祠：漠储算数害整理研究 a r r a n g e m e n ta n dr e s e a r c ho nt h es u a n s h u s h uw d t t e n o nb a m b o os l i p se x c a v a t e df r o ma n c i e n tt o m b so ft h e h a n d y n a s t y a tz h a n g j i a s h a n p o s t g r a d u a t ew i t ht h em a j o ro f c h i n e s ec l a s s i c a lb i b l i o g r a p h y ：h uy i t a o t u t o r ：p r o f z h a n gx i a n c h e n g a b s t r a c t t h e 鱼d 舢 z 砌“i st h ee a r l i e s tm a t h e m a t i c sm o n o g r a p hi nc h i n au pt i l lt h e p r e s e n tm o m e n t w h i c hw a se x c a v a t e df r o mn o 2 4 7a n c i e n tt o m bo fh a nd y n a s t ya t z h a n g j i a s h a n ，j i a n g l i n go fh u b e ip r o v i n c ei n 19 8 4 i th a ss u b s t a n t i a lc o n t e n t ， i n c l u d i n gi n t e g e ro p e r a t i o nt o g e t h e rw i t hf r a c t i o n ，a l g e b r ao p e r a t i o n ，a n dg e o m e t r y o p e r a t i o n o fe l e m e n t a r ym a t h e m a t i c s t h es u a n s h u s h un o t o n l yr e p r e s e n t s d e v e l o p m e n t a ls t a n d a r do fc h i n e s em a t h e m a t i c si n2 n dc e n t u r yb c b u ta l s o r e a p p e a r st h eo r i g j i n a l f o a t u r e so fm a t h e m a t i c sm o n o g r a p h sa tt h a tt i m e a sa m a t h e m a t i c sm o n o g r a p hp r i o rt ot h en i n ec h a p t e r so nm a t h e m a t i c a lp r o c e d u r e s , t h e s u a n s h u s h ui so f g r e a tv a l h et os t u d yc h i n e s ea n c i e n th i s t o r yo f m a t h e m a t i c s b e s i d e s t h es u a n s h u s h ui sm o r ea u t h e n t i ct h a nad o c u m e n th a n d e dd o w nf r o ma n c i e n tt i m e s ， i to i r e r su saf a v o r a b l eo p p o r t t m i t yt ou n d e r s t a n dt h es i t u a t i o no f1 a n g u a g eu s ea n d s o c i a ld e v e l o p m e n t s oi ti st h u sc l e a rt h a tt h es u a n s h u s h ui su n d o u b t e d l yo fg r e a t v a l u et od or e s e a r c ho nh i s t o r y , l i n g u i s t i c s ，p h i l o l o g ya n ds oo n t h i st h e s i si n t e n d st oa r r a n g ea n ds t u d yt h ew h o l ea r t i c l eo ft h es u a n s h u s h u s t r i v et ot u r ni ti n t oab o o k l e tt h a tn o to n l yr e f l e c t si t sa c a d e m i cv a l u eb u ta l s o d e s e r v e sr e a d i n g i na d d i t i o n ，t h ea n t h o rm a k e sam o n o g r a p h i cs t u d yo ns e v e r a l i m p o r t a n tp r o b l e m so f t h es u a n s h u s h u h lt h ef w s tp l a c e ，t h ea u t h o rw i l ld i f f e r e n t i a t e ，c o i l a t ea n dt r a n s l a t et h ev e r s i o no f t h es u a n s h u s h u , t h e ni n q u i r yi i l t ot h et o p i c sc o n c e r n i n gm a t h e m a t i c s 1 i n g u i s t i c s w h i c ha r ei n v o l v e di na r i t h m e t i cp r o b l e m s e s p e c i a l l y , t h ea u t h o rm a k e sas t u d yo f c o m p a r i n 2s o m er e p r e s e n t a t i v ea r i t h m e t i cp r o b l e m sw i t ht h ec o u n t e r p a r t so ft h en i n e c h a p t e r so nm a t h e m a t i c a lp r o c e d u r e s , a n df i n a l l yp u tf o r w a r ds o m eo p i n i o n so nt h e p o i n t si nc o n t e m p o r a r yr e s e a r c h e r s a c h i e v e m e n t st h a ta r eo p e nt oq u e s t i o n s e c o n d l vi nt h ec h a p t e ro f r e s e a r c h ，t h em e s i sw i l le l a b o r a t eo nt h es p e c i a lt o p i c s w h a tt h ea u t h o rh a sl e a r n e df r o mt h ep r o c e s so fi n t e r p r e t i n gt h es u a n s h u s h u ，t h a ti s ， r e s e a r c hi n t om a t h e m a t i c st e r m sa n ds o m ep r o b l e m sw h e nr e g a r d i n gi ta sat r a n s c r i p t s oa st oe x p l a i ni t sv a l u eo f h i s t o r i e a ld a t ao nm a t h g i n a t i t sa n ds o c i o l o g y k e yw o r d s ： b a m b o os l i p so ft h eh a nd y n a s t yt h es u a n s h u s h u a r r a n g e m e n ts t u d y 独创性声明 学位论文题目：受塞直遗筒篡塾置翌整理班荭 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西南大学或其他教商机构的学位或证书面使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者：辣， 2 j 蔫 签字日期：知。b 年r 月j 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件帮磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在孵密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：揉， u 府 签字日期：为岫年j 月j 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 强家山漠筒算敷裔整理研究 尊谕 1 9 8 3 年底至1 9 8 4 年初，湖北江陵碾家山出土了一批漠墓竹筒，共1 2 3 6 枚，位於碾家山第m 2 4 7 虢西漠墓。徒墓中出土的唇措可以知道墓主大概在吕后二年( 公元前1 8 6 年) 左右去世。算数害 是我们迄今知道的年代最早的中圄敷早喜著，主要是以留题集的形式编纂的。而现存本九章算衔 是西漠晚期编定的，在年代上比算敦害要晚得多。徒内容上看，九章算衍中的一些算题舆算 敦耆大同小具，二耆的髓例也很相似。基於以上原因，一般旱者都勰磊二者之嗣是有渊源的。因 此，算数害作属一部比九章算衍遢要早的敦孕尊著，作属比傅世文献更具真寅性的出土文献， 燕疑具有重要的敦晕史、韶言晕、屣史孥、文献孥研究儇值。 一、出土情沉及全香内容 考古工作者在中固湖北省江陵躲城西北大约1 5 公里虚的碾家山驶掘了三座西漠畴期的古墓 ( 编虢分别焉m 2 4 7 、w 1 2 4 9 、m 2 5 8 ) 。慨4 7 虢墓中出髓的漠摘最多，其中的厝潜在惠帝元年( 公元前 1 9 4 年) 僚下记有“病免”二字。可能墓主在这一年因病免聪遢绑。墓中遥出土了一些臀害、律耆 和大量算篱、肇砚等寅物。由此我们推测墓主可能曾是一位文官。 到徽在九章算衍注序言中靛： 周公制褴而有九敦，九敷之流则九章是矣。往者暴秦焚害，短衍散壤，自畴厥後，漠北 平侯碾着、大司晨中丞耿爵昌皆以善算命世。蓍等因萏文之遗残，各稻刑袖，故校其目剐舆古 或翼，而所谕者多近藉也。 遣佃“漠北平侯强瞢”舆m 2 4 7 虢墓主是同一畴代的人。因此有研究者根掳墓主生活年代、出 土的文物等分析，推测造佃墓主可能就是张蕾。但有些晕者如黄展岳等持不同觐黠。，l ； j 於墓主的 碓切身份卑界遗没有定瀚。不遇链墓中出土的文物我们至少可以断定墓主通晚法律、瞽衍、敷孕、 厝法、兵陲隅等多多獯技萋，在富峙鹿算是博旱多才的。 m 2 4 7 骁墓中出髓的漠筒经遇整理有下列内容： 算敷害、二年律令、奏谳耆、盖唐、服耆、引言、日害、唇措和遣策。 遇去，人们恝焉九章算衍是中回最早的敦旱著作，大约成害於公元一世纪下半藁。而舆算 敷害同畴出土的屠裙，配戴的最後一年焉吕后二年( 公元前1 8 6 年) 。由此可知，墓主的下葬年代 虑在公元前1 8 6 年或稍晚一些。因此，算数窨的成害年代最暹不官暹於遍佃畴候。所以我们可以 就算敦害要比九章算衍至少要早一佃半世纪以上。 算数害共有竹筒1 9 0 枚，其中1 7 0 余支较屠完整，遢有1 0 余支已残破。全害缝字敷屠七千 赫字，编成一卷。算敷耆是一部敦旱罔题集的钞本，徒筒文看共有六十九佃题名，除了害名“算 敦耆”三字单猾害寓在一支筒的竹青一面以外，其他全部文字均害寓在竹黄一面。“键字髓貌察， 全害是由一人抄寓的”。害名“算敷害”三字比全窖其他文字要大一些，上面望有一黑色方堍作届 。李迪：江陵碾家山漠墓墓主是稚? ，敷单史研究文集，内蒙古大旱出版社，1 9 9 3 年版，百5 - 9 。 。黄展斑：碾家山不亩是碾蔷墓，中i 固文物辗，1 9 9 4 年5 月1 日。 。前州地匾博物铭：江陵碾家山三座漠墓出士大批竹简，文物1 9 8 5 年第1 期，页1 8 。 。彭浩：碾家山( 算敦害) 注释，科学出版社2 0 0 1 年。酉3 。 罪家山漠简算毁害整理研究 檩蒜。遣檬，富全害卷成册畴，作魇言名的“算数害”三字朝上，可以容易地铀芑其他害籍中辨别出 束。算敦害的题目皆害於竹筒弱端，後面一般情沉下是题斡部分、答案部分、算法部分。但全耆 的行文格式郁不是固定的。有的题只有“衔”，如： 分乘 分乘分术( 衍) 皆日：母相乘弱法，子相乘屠寅。， 石侑( 率)石衔( 率) 之术( 衍) 日：以所寅具屑法，以得线乘一石敷以屠寅，其下 有半者倍之，少半者三之，有斗、升、斤、雨、朱( 铢) 者亦皆t t 破其上，令下徙之以鼯法， 钱所乘亦破如此。，s 有的只有题斡、答案，燕“衍”，如： 乘 少半乘少半，九分一也z ；半步乘半步，四分一z ：半步乘少半步，六分一也z ；少 半乘大半，九分二也z ；五分乘五分，廿( 二十) s 五分一z ；四分乘四分，十六分一z ；四【分】 乘五分，廿( 二十) 分一z ；五分乘六分，坩( 三十) 分一也z ；七分乘七分，坩( 四十) 九 分一也z ；六分乘六分，世( 三十) 六分一也z ；六。分乘七【分】，甜( 四十) 二分一也z ； 七分乘八分，五十六分一也。- o 一乘十，十也z ；十乘菌。十蓠也z ：千乘蔺，千莴。一乘十 莴，十蓠也z ；十乘十葛，百葛z 。半乘千，五百z 。一乘百- ，莴，百蓠z ；十乘百蓠，千茼z 。 半乘莴，五千z ：十乘千，莴也z ；百乘蔺，百蓠z ；半乘百，五十。，。 有的题直接列出法则，卸不稻“衍”，如： 增( 增) 溅分增分者，增其子z ；满分者增其母。，。 分喾半者 褚分之富半者，倍其母z ；喾少半者，三其母z ；常四分者，四其母z ；誊五 分者，五其母；宫十百分者，辄十t 百其母，如所欲分。n 迢有的一题有雨佃或雨佃以上的“衍”，如： 约分 约分衍日：以子除母，母亦除子，子母敦交等者，即约之矣l 。有日。约分术( 衍) 日：可半，半之；可令若干一，若干一。其一术( 衍) 日：t ，以分子除母z ，少以母除子，子 母等以焉法，子母各如法而成。- e 不足除者可半，半母亦半子。1 9 二千十六分之百六十二，约 之百一十二分之九。 径分翟分以一人命其寅，故名。五人分三有半少半，各受世( 三十) 分之廿( 二十) 三。其术( 衍) 日：下有少半，以一焉六，以半属一( 三) ，以少半屠二，：。并之屠廿( 二十) 三，即值人数，因而六之以命其寅z 。有日，术( 衍) 曰：下有半，因而倍之；下有三分，因而 三之；下有四分，因而四之。z ， 有的“衍”在题首和题尾均出现，且算法亦重梭，如： 合分合分衍曰：母相叛，子相徒。母不相颓，可倍，倍：可三，三；可四，四：可五， 五；可六，六：七( 子) 亦辄倍，倍，及三、四、五之如母，母相颓：。者，子相 踅。其不相颓者， 母相乘属法，子互乘母并以藤寅z ，如法成一。今有【鲮】五分二z 、六分三、。：十分八z 、十 二分七z 、三分二焉建何? 日：二线六十分钱五十七z ，其衍如右方。五人分七钱、少半、半钱， 人得一钱廿( - - 十) 。a 分钱十七。术( 衍) 日：下【有】三分，以一魇六，既因而六人【敷】以 魇法，亦六钱【敷】以属寅z 。有日：母乘母届法，子羡乘母“屠寅，寅如法而一z 。其一日： 可十，十：可九，九：可八。八；可七，七；可六，六；可五，五；可四，四；可三，三：可 倍，倍；母相颊止z 。母相叛，子相 芷。s 有的题中分别有雨套题斡、答案和算法，如： 出金有金三朱( 铢) 九分朱( 铢) 五，今欲出其七分朱( 铢) 六，圊馀金裳何。日： 酴金二朱( 铢) 六十三分朱( 铢) t i i ( 四十) 四。其衍日：母相乘。s 也藤法，子互乘母各自禺 寅，以出除焉，馀既馀也。以九分朱( 铼) 乘三朱( 铢) 舆小五相口。”今有金七分朱( 铢) 之三，益之戏何而焉九分【朱( 铢) 】七z ? 日：益之六十三分朱( 铢) 廿( 二十) 二。衍日： 。筒文中使用了团、【】、( ) 等符虢，其作用群兄上篇凡例。 2 碾家山漠简算数害整理研究 母相乘屠法，子互乘母各自焉m 寅，以少除多，馀即益也。s 。 各题给出答案的方式也不相同，有的用“日：”或者“得日：”等引出结果，如： 狐出冈 狐、狸、犬出网，租百一十一钱。犬韶貔、狸韶狐：而皮倍我，出租喾倍哉 。圈出各线何。得日：犬出十五钱七分【钱】六，。狸出世( 三十) 一钱【七】分【钱】 五，狐出六十三镬【七】分【钱】三。术( 衍) 日：今各相倍也并之七扇法，以租各乘之羼寅， 寅如法得一。 女绒 郯里有女恶自喜也，娥，日白再，五日檄五尺。同始缴日及其次各袭何? 日：始 缴一寸六十二分寸t i t ( 三十) 八z ，次三寸六十。二分寸十四z ，次六寸六十二分寸廿( 二十) a l ，次尺二寸六十二分寸五十六z ，次二尺五寸六十二分寸五十z 。术( 衍) 日：直( 置) 二 z 、直( 置) 四z 、直( 置) a l 、直( 置) 十六z 、直( 置) 一- 1 i 1 ( 三十) 二，并以藤法z ，以 五尺偏( 褊) 乘之各自屠寅。寅如法得尺。不盈尺者，十之，如法一寸z 。不盈寸者，以法命分。 王已雠a 。 也有的是直接给出黠果，如： 共贸材 三人共材以贾，一人出五钱，一人出三【钱】z ，一人出二锺。今有赢四钱， 欲以镬敦衰分之。出五者得二钱，出三者n 得一钱五分钱一，出二者得五分钱四。术( 衍) 日： 并三人出钱敷以屠法，即以四钱各乘所出钱敷【以屠寅】，如法得一钱 有的题斡部分有明碓的提同，如： 兽庸 田徒i l l ( 三十) 步，焉兽庚畿何而屠田一歆? 日：兽八步术( 衍) 日：以廿( 三 十) 步届法，以二百1 l i t ( 四十) 步属寅。兽徒亦如此。m 有的刖没有，如： 困盖 园盖下周六丈，高二丈，屠稹尺二千尺。乘之之述( 衍) 日：直( 置) 如其周令 相乘也z ，有以高乘之，坩( 三十) 六成一。 退有的题纯属换算同题，只绐出了各獯换算棵辈，殿格地就不能算是算题，如： 程禾 程日：禾黍一石靥粟十六斗泰半斗，舂之屠精米一石，精米一石聪檠米九斗，繁 米【九】斗屠毁( 骰) 米八斗。王”程日：稻禾一石屠粟廿( 二十) 斗，舂之属【毁】( 毁) 米 十斗，属毁( 觳) 粲米六斗泰半斗。套十斗【魇】殖三斗。程日：套、菽、苔、麻十五斗【属】 一石，禀毁( 毁) 檠( 檠) 者，以十斗屠一石。 粟属米 麻、套、菽、苔三而富米- - ；九而省粟十粟五屠米三z ；米十焉稗九l ， 屠毁( 毁) a 。套三而富稻粟四，禾粟榻* 五晨稻粟四。，。 另外，“粟求米”、“羽矢”遣雨佃题名在算敦害中分别出现了雨次。 以上檀獯现象表明算敦耆的格式遗速速没有固定，分叛也没有象九章算衍那麽规整分 明。值管如此，但“其内容之叟富，算法之深刻，雕逐于九章算衍，但舆六七百年後编成的拣 子算缀相比毫不逐色。”。链题目的命名情沉柬看，有的以分敦遣算的算法命名，如“约分”、“合 分”等；有的是根捷算题内容概括出来的，如“出金”、“并租”、“税田”：有的是以算题内容 的前栽佃字作题名，如“傅属”、“狐皮”、“取程”；有的是各獯换算取一獯代替题名，如“粟 求米”、“米求粟”等；有的是以所求的畿何形髓名作题名，如“除”、“旋粟”、“困盖”等等。 僮徒遣些命名情况看，算敷害作焉一部数晕著作其旱衍性遇不麴，似乎更偏重於在生麈、生活中 的寅陈连用。比如靛有的题通通口袂的形式给出以方便逼用。如“乘”、“相乘”等：有的刖给出 各疆换算网保便於遵算象“金僵”等；有的通遇求解某佃嗣题给出了袋作或虞理某獯事物的遇程， 如“歆( 饮) 察( 漆) ”、“挈脂”等。 徒数早角度看，算敦害包含了初等欺早中的整敷分敷逼算、代敷逗算、袭何遁算。题叛分散 且有重梭，速未成髓系。但它代表了公元前二世纪我圆的敦单敦展水平。它雎然没有殿格的遥辑结 。段耀勇、挪大海：( 算数害) 中“以曩材方”、 “以方材爰”雨同校恙 自然科翠史研究2 0 0 3 年4 期第2 期 页1 6 8 1 7 2 。 3 碾家山漠筒算敦啻整理研究 槽，卸醴现了柬方古代数晕的基本特徵，即“寓算於理”的程序算法思想。它的格式雕然基本上由 同题、答案和衍文三部分组成，但我们不能将它富作单条毡的留题集柬封待。徒傅世的各稽中固古代 数孕典籍看，它们的算法、髓例、及解题思想均深受算敦害的影警。到了今天，现代数孥的输 蠢方法己舆中固古代敦孕思想很不相同，但中圄古典敷孥髓系及早衍成就在世界敷旱史上的地位卸 是不容忽视的。因此，算数害作聪寅物材料，其出土焉我们遣一步嘹解先秦欺早水平、螽言面貌 和社台骚展状况提供了一佃桓好的横官。 二、雷前研究状沉 自徙算敷害出土以柬，早者们封它的研究舆探衬就一直没有停止通。研究人员封算敷害 的文本造行了多次校勘，包括封其中文字的释荫舆考辨，指出靴误、稿出脱漏、檩出衍文、糸q 正算 法及计算结果的错误，遇封算敷害的成害年代、舆九章算衍的源流喇傈等造行了深入研究。 此外，孕者们逞通遇算敷害的内容考察富畴社官的政治制度、法律制度、田献土地制度、粳米 比率、人口管理制度、货啭制度等等。 下面我们简要地介绍一下雷前一些有代表性的研究成果。 江陵碾家山漠筒整理小组：江陵碾家山漠筒算数害) 释文。骚表以後，睦缠有一些校勘著 作骚表。其中有薛意雯、酥俊鸿、酥惠玉等的( 算敦害) 校勘。，郭世粲：( 算数害) 勘误9 ， 郭害春：( 箅敦害) 的校勘。洪莴生、林詹僮：( 算敦耆) 部分题名的再校勘。等，封算敦 害全文作了详钿的整理舆释葫。 算数害是我们现在所知道的最早的中圄傅统敦孥喜著。因此，阴於此害在中圆古代数单史 上的惯值同题，多位晕者均撰文给予了高度鲆俱。如李旱勤：中园敦孥史上的重大赣现江陵眼 家山漠筒一瞥、杜石然：江陵碾家山竹筒( 算数害) 初探、郝大海：( 算数害) 初探等文章， 一致恝属算敷耆的出土有著重要的意羲，它作禺一部敦孥再著，成害早于九章算衍，封於研 究中国古典数早的起源舆骚展提供了良好的契横，是一次十分重大的骚现。 嗣於算敦害的成害年代，孥界靛法不一。目前晕衍界封於算数害的成害年代，除了公 韶的不晚於公元前1 8 6 年外，迢有残檀不同的觏黠。揶大海勰聪：“雎然此本算敦害抄窟年代 的下限可能晚到公元前1 8 6 年下葬前夕，但此害的编害年代虑早遇若干年，可能在秦代或略早。”9 李迪恝藤算敦害的作者是碾蕾，成害年代是在公元前2 0 1 年至公元前1 9 6 年。郭害春勰属不是 一畴、一人之作 。 到金莘勰届：“算数害的成害年代似不虑晚至公元前2 世纪，可能是公元前4 世纪末至公 元前3 世纪前半蕖的作品，最早剐不早於公元前3 1 7 年”。他韶禺算敷害不早於公元前3 1 7 年 的理由是：“董靛七固考卷二行钱绦引秦刖纪云：秦惠文王生十九年而立，立二十 年，初行钱。静慎就文亦云：古者货只而寅巍，周而用泉，至秦始行锺。秦惠文王立二 十年，即更元七年，公元前3 1 7 年也。算敦害中的算题多有涉及钱者，由此而知算数音 成害富不早於公元前3 1 7 年。”。 o 文物2 0 0 0 年第9 期。 o h p m 通靓，2 0 0 0 年，第三卷第十一期。 o 内蒙古自币大单辗( 自然科早版) ，2 0 0 1 年3 期。 o 中圜科技史料第2 2 卷( 2 0 0 1 年) 第3 期。 o 删通讯，2 0 0 2 年第五期。 o 挪大海：出土( 算敦害) 初探，自然科孥史研究。 o 石云子：揭荫江陵碾家山西漠墓主之耧，中固文物鞭，1 9 9 4 年4 月1 0 日。 。郭窨春：弑萧( 算敦害 的理靛贡献舆编纂，法圆漠翠，第六辑中荤害局，2 0 0 2 年4 月，贾5 2 9 、5 3 0 。 。别金革：( 算数齑) 集校及其相响圈题研究，武漠大学博士黼文2 0 0 3 0 4 0 1 其1 6 。 o 判金莘：( 算数害) 集校及其相嗣嗣题研究，武漠大早博士输文2 0 0 3 0 4 0 1 页1 6 。 4 眼家山漠筒算敦害整理研究 但我们勰属理由不充分，因藤通觐全害，多次傅抄的痕迹十分明颗。有的是文字衍孰脱漏，有 的是整句脱落。有的算题结果有误，有的则是题斡不全。而且算敷害的内容十分堂富，包括各 獯度量衡换算、整敷分敷迢算、代敷逼算、袭何连算，涉及到社畲生座、生活的方方面面。算题的 麈生年代也早晚不一。因此根掳“钱”字的正式使用年代而定算敦耆的成害上限颞然不妥。根 掳算敷耆的内容，其中使用戳固晴期秦律的现象十分普遍，所以我们推测算数害的主要部 分是形成于戮固中晚期的，但其成害上限及下限遢很鞋用具髓年份柬限定。 阴於算敷害舆九章算衍的网僚，更是引起了早者们棰大的具趣。因屠二者燕葡在内容、 髓例遢是在解题思想等赭方面都有很大的相似性。遣些相似之虚可能暗示算敷耆舆九章算衍 在著述的迥程中同畴参考或者吸收了一部分常畴己缝存在的敦早著作。馈管算敷害一害已缀存 在十分明顾的分颓迹象，韭且在害题之下有题名遣一眉次，但是它遢没有如九章算衍那檬明磋地 分章，题名也不如九章算衍中各篇名那檬具有统领全章的作用。 在畴暨研究算数害舆九章算衍的嗣保的著作宫中，出现了雨疆不同觊黠。 有单者勰屠二者之同存在密切嗣保，恝属九章算衍受到算敷害的直接影窖。例如，李 迪：“九章算衍肯定辗转柬自算数耆，後者是前者的前身”，隙踞钧、隙燕萍：“算敷 害在畴代上比九章算衍早，在髓例上雎均探用同题集形式，但九章算衍封同题造行了高 度的繇纳、综合，更系统化、理输化；在内容方面，九章算衍不馑包含了算数吉的全部，而 且内容壁富，算衍起黠高，深度和唐度均在算数害之上。但雨害之同燕稳是髓例，或是内 容，都能使人看到一保一脉相承的脏络，即九章算衍源於算数窨，算敦害是九章算 栝 的母本。”o 李早勤：“除佃别文字外，和九章算衍基本相同，很明颢，九章算衍今本文字 是沿裴算数害而束，或者雨害有共同的柬源。”9 城地茂：“公元前2 世幺已以前的九章算衍 可能就是算敦害”。 也有孥者勰焉二者有著同一源颈，如郭誊春：“笄敦害的某些部分舆九章算衍在先秦 存在的以九敦屠主髓的某中形憋有血缘网傺”o ，邬大海：“在漠九章算衍之前，除了算 数害之外，肯定遗存在很多敷旱著作其中肯定有相誊一部分著作的内容超出了算数耆的内 容。因此，不能懂想二者有一部分内容相似就断言算数害封九章算衍有直接的影辔。而徒 另一方面柬靛，由於数孕知澈的庚泛道用性，各佃不同地域和不同屋史峙期都需要用到一些相近的 敷翠方法，自然也舍用文字窍下柬，富畴遗颓材料庶该很多，因此，任意雨獯材料之间有部分相似， 是很正常的事，而雨獯材料之同没有直接的绻承图保也是常例而非特例。所以，如果雨穗敦举材料 之同只是有部分相似但没有其他可判定性的特徵，遣雨獯材料之同有直接绻承阴僚的可能性不是很 大而是很小。”且勰屠：“九章算衍的祖本可能封算数害麈生遇影窖。”9 除此以外，研究人员迢就算数害的数单表连方式、文本结槽展阴了封瀹。 可以靛，缆2 0 世纪8 0 年代以柬九章算衍及割徽注的研究熟潮之後，算数害正在成屠中 国敦孥史界网注的一佃新熟黠。我们相信，通遇封它的研究，不馑可以考察先秦敦旱骚展的真寅面 貌，而且遢可以考察凿畴的社台政治、缀济面貌。 o 李迪：江陵碾家山西漠漠墓墓主是潍? ，敷翠史研究文集第四辑1 9 9 3 年，内蒙古犬翠出版社。 o 隙耀钧、隙燕萍：( 算数害) 舆( 九章算衍) ，湖北省考古晕亩黼文集( 一) ，武漠太早翠辗编辑部出版1 9 8 7 年。 o 李早勤：简帛佚籍熙孕衍史，江西教育出版社，2 0 0 1 年。 o 城地茂：( 算敷害) 成害年代，世界莘人科旱史早街研射亩舍埸封葫集合打本，淡江大孥雁史旱系、化翠系 2 0 0 1 年3 月，贾1 2 9 - 1 3 8 。 。郭害春：弑葫( 笄数音) 的理输贡献舆编纂( 固隙漠晕第六靼，中鼙害局，2 0 0 2 年版。 o 挪大海：再输( 算数害) 舆( 九章算衔) 的阴保，刊于筒帛研究绸，2 0 0 4 年8 月1 7 日。 碾家山漠简算数害整理研究 迟题意羲及研究内容和方法 自算数耆释文骚表以後，晕者们相绻袋表了很多研究成果，主要是封文本的释蓿舆校勘， 研究算敷害的成鸯背景、出土意羲等。我们勰屠作屠一部中圄古典敷旱著作，除上述研究外， 遥必须将螽言研究舆敷旱研究密切结合起柬。因魇，如果单链文本角度柬整理是鞋以真正骚掘遣部 敷掣著作的科孥佰值。反之，纯粹键数孕角度而不考虑文本的整理更逵不到遣佃目的。也就是靓， 我们力固将文献早舆敷孥遣雨朗孥科的研究方法有楗相结合，以骚押跨早科研究的侵势逵到封算 数軎鞍好地整理研究遣倜目的。鐾於此，本文徒以下畿佃角度柬探封遣部算数害： 封全文重新解蘸，封於畴臀的校勘中可商榷的地方提出自己的看法。 如“息钱”题中第6 4 筒的“葫”字：“贷鲮百，息月三。今贷六十锺，月未盈十六日龆，请息 袭何。”褚家均作“前”字，割金荦未校作“针”，他勰鼯：“然葫字，其本羲有求的意 思。莆，庚雅释祜三求也。”( 7 4 ) 我们勰屠，此虎的“精”字不宜作“求”耩。 因扁“莆”的“求”之羲乃是“请求”，如：褊螽八佾：“伐封人请兑。”隋害李密傅： “密初辞不受，赭特等固莆，乃徒之。”而本句浃燕“赭求”羲，因此此虏雷驯作“镇受”、“取 得”。 封一些算法遘行了群细的黼述舆耩解，蓝舆九章算衍造行了比较，指出其中的相同舆不同 之虞，可更清晰地看到二者之同在髓例、算法和解题思想上的昊同。 如“约分”题中具有首刽性的算法“更相波损”法。 约分衍日：以子除母，母亦除子，子母敦交等者，即约之矣z 。有日，约分术( 衍) 日： 可半，半之；可令若干一，若干一。其一术( 衍) 日：以分子除母z ，少以母除子，子母等 以屑法，子母各如法而成一m 不足除者可半，半母亦半子。二千一十六分之百六十二，约 之百一十二分之九：o 。 更相溅损法求最大公约敷演算如下： 气q 假毅求三的最大公约敷。赭分子、分母分置雨遗，翰流相减 3 9 1 3 = 2 6 2 6 - 1 3 = 1 3 9 1 9 1 3 9 = 5 2 5 2 3 9 = 1 3 遣檬，富雨遗的敷字相等畴，遣佃数就是分子、分母的最大公约敷。更相溅损法是中固古代求 最大公约敷的一佃倬大刽犟。遣幢辗转相溅求最大公约数的方法舆欧残襄德畿何原本卷7 第1 题相同。 在九章算衍“方田卷”也耩到了约分的法则。原文如下： 约分衍日：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少溅多。更相瀛掼，求其等也。 以等敦约之。 遣襄提出了“更相溅掼”的就法。雎然九章算衍的约分法则更言倚意骸，但其舆算敦害 中的约分思想本耍上是一致的。而且算数害中使用此算法比九章算衍要早得多，是迄今魇 6 碾家山漠筒算敦害整理研究 止最早逞用“更相溅损”法约分的寅例。 封一些古代数孥中常用的埋算衍螽和算法造行了研究。如考释“法”、“寅”的概念，“寅如 法而一”、“如法而一”、“如法得一”的使用和意羲等等。介绍了一些栽何形髓的算法思想和验 算瓣法，以帮助我们嘹解古代封於髓稹的针算方式。如“努童”的髓稹针算： 术( 衍) 日：上庸袤、下庚袤各自乘，又上- “袤徒下袤以乘上庚，下袤徙上袤以乘下鹰， 皆并，【以高】乘之，六成一。 蜀童的残何固形如下所示： c 算数害中贺童髓稹的算法如下： 贺童髓稹= l 6 ( 上庚x 上袤+ 下庚下袤+ ( 上袤+ 下袤) 上庚+ ( 下袤+ 上袤) 下鹰) 高 = l 6 ( a b + c d + ( a + c ) b + ( c + a ) d ) h = 1 6 ( 2 a b + c b + 2 c d + a d ) h = l 6 ( 2 a + c ) b + ( 2 c + a ) d ) h 鹤童的髓稹我们可以用正方髓( 畏方髓) 、三棱锥和三棱柱拼凑而骑算出其髓穑。遣獯辨法其寅 是一疆割褊衍，又n q 綦聩衍。早在到徽焉九章算衍作注畴就已经用造獯“, m h 相辅”的辨法柬 验算立髓圆形的髓横了。蔡是一獯特裂的立髓模型，包括正方髓( 畏方髓) 、童堵、赐属和睦膈。 一佃立方髓可以割成雨佃堑堵，一佃堑堵可以割成一佃赐属和一佃篚膈。如固示： 够令冬呤 徒圆中可以看出，堑堵是截面屠直角三角形的三棱柱；翰属是底面晨矩形，一侧棱垂直於底面 的四棱雉；氅脯是四面都是直角三角形的三棱锥，且一侧棱垂直於底面。图中立方的髓稹= 塑堵的髓 稹+ 陨属的髓稽+ 氅膈的髓稽。割徽在输九章算衍作注睛曾用立方髓、堑堵和赐禺拼溃成一努童 柬验箍其髓植。他用2 枚立方、6 枚墅堵及4 枚隅属拼成一佃上底面宽1 尺，畏2 尺，下底面宽3 尺，畏4 尺，高l 尺的努童。如固： 7 疆家山漠筒算敢害整理研究 又如封盈不足算法的算理分析，以及耆中用“筻毅法”将一些本不属於盈蔚颓的圊题化作此颧 同题求解的遇程作逐一耩解，监舆现代敷孥中的代数法相比较，盍可能将逭植古老的中国算法阐述 得通俗浅颢。 因鼹敷卑文献的喜桨性强，扇了蘸追部文献更具有可稿性，本文仿睡虎地秦墓竹筒，在释文和 校注的基磺上将算数害翻浑成现代漠捂，以使它的内容燮得更加易於理解。蓝且在疏耪中将各 题的解题思想舆解答步骤详细列出，必要的畴候给出公式和国草，力求清晰地再现常畴毁旱水平的 原貌。 本文希望将算敦耆燮成一佃易於理解的蔼本，因此主要致力於螽言晕舆敷旱的结合部分， 努力使诨文更通俗、使解题遇程更祥细。在用题中绐出的“衍”解题的同b 寺磕量用现代数擘的葫箍 方法给出各题的卦算遇程。喾前的晕者们大多是封算数害造行文字疏通和文本的成害背景、出 土意羲连行研究，而涉及解题遇程的著述很少。彭浩先生的强家山漠筒( 算数害) 注稃镧袖了 造侗不足，不馑分析了算敦害麈生的社畲背景，揭示了鞍园晚期至西漠初年中圜敦孕的骚展和 愿用情沉，迢列出了很多详细的解题遇程。因此，本文在解题部分舆之作了大量比封，监逐一列出 了值得商榷之虞。 此外，本文迢将在解葫算数害遇程中赣现的嗣题舆收攫的心得作了陈述，以帮助隙解算 数害遗部敦孕著作的敷翠史料、社亩史料儇值。 我们希望。通遇本文封算数耆追行了整理和研究，以期羼中固古代敦肇史的研究提供帮助， 监属建立更加完善的古代敦孕髓系提供有益的帮助。 碾家山漠筒算敦害整理研究 上篇：算数害的整理 凡例 一、封算敷雷全文6 9 佃算题按原题顺序逐一造行梳理，每题均加题名及序虢。即题名和序虢届 本文所加。 二、每题下分属释文、校注、霹文、疏恙四佃部分。 三、释文部分封照原筒固版，以江陵强家山漠筒整理小组骚表的江陵碾家山漠筒( 算敷者) 释文 鼹蓝本。 四、释文给筒文加上现代檩黠，韭特筒文中讹、脱字给予纠正和祜充，衍文刖在校注中就明。 五、释文封照褚家校勘结果，有参照或不同之虞在校注中靛明。 六、校注部分就明封简文文本的基本解疆。 七、释文部分力求封筒文作直辉。在诨文中需要楠充的字句加上圆括虢。 八、疏箍部分封某些字、嗣、短捂、算法作逞一步的尊题封瀚。必要畴络出图示。 九、假借字在释文中注山本字，外加圆括虢。 十、稃文中不保留重文虢，改焉相庶的字，韭在校注中靛明。 十一、 筒文中断句用的勾虢保留，加在字的右下角。其他符虢照绿。 十二、释文中後加的符虢意羲如下： 口筒文中字迹模糊，燕法辨勰者，每字一格。 团字迹模糊，且字迹不能碓定。 【】简文脱字，根掳上下文意辅出。 ( ) 筒文纠正错字。 有的原筒字迹模糊不清，按照文意辅出的，每佃字上加方框，如：团。 9 瞩家山漠简算数害整理研究 算数害卜1 六背 k 校注目 一 箅敦耆，害名。蓿属“算数害”，前端黑色方堍是眷名的檩菇。箅，筑文竹部：“畏六 寸。针屋敦者。从竹，从弄。言常弄乃不撰也。”它的本羲是算篱，也通“算”字。算，蔽文竹 部：“敷也。从竹，从具。蓿若笄”o 段玉裁注：“从竹者，胡必用箅以静也。从具者，具，敷 也箅屠算之器，算属笄之用。二者音同而羲别。”可以藐，“箅”是一獯封算用的工具，是名翮， 而“算”是用“箅”柬针算的，是勤词。 一、相乘 匝释文刃 相乘寸而乘寸，寸也z 仁 ：乘尺，十分尺一也2 1 z ；乘十尺，一尺 也么；乘百尺，- l - 尺t k ；乘千尺，百尺也厶，半园围睐尺，廿( - - - - b ) 分尺一也；握旺1 。三分寸乘尺，廿( 三十) 分尺一也z ；八分寸乘尺，八 十分尺一也。一半乘一，半也么；乘半，四分一也么。三分而乘一z ，三分 一也z ；乘半，六分也z ；乘三分，九分一也z 。四分而乘也陆3 ，握 。四分一也；乘半，廿( 三十) ( 八) 分尺一也七1 z 。四分寸乘尺，甜( 四 十) 分尺一也么；五分寸乘尺，五十分尺一也；六分寸乘尺，六十分尺4 一 也z ；七分【寸】乘尺u ，卡( 七十) 八分【尺】一也仇3 z 。乘三分，十 二分一也z ；乘四分，十六分一也z 。五分而乘一，五分一也么；乘半，十分 一也；。乘三分，十五分一也z ；乘四分，廿( 二十) 分一也么；乘五分，廿 ( - - 十) 五分一也z 。乘分之术( 衍) 日：母乘母魇法，子相乘焉寅叶1 。 k 校注习 一 相乘，题名。例题均焉雨数相乘，有整数舆接敦相乘，也有整数舆分数、分数舆分敷相乘。 二 最後一佃“寸”字原筒禺重文虢。 三 此虞省略主螽“寸”。即“寸乘尺，十分尺一也”，後三句皆同。後文也有造獯情沉。“十 1 0 瞩家山漠筒算敷窨整理研究 分尺一也”，即十分之一平方尺。 四 “半分寸”，指二分之一寸。整理小组及彭注注释不碓，群兄下文疏恙。 五 黑黠表示强调，强朝後面的“榻”字，“榻”是校封人的姓，有的地方作“榻已雠”。此颊 内容均抄在筒的下编缀以下部位。 e r “四分”意属四分之一，後面退有频似的表逵方式。 七 根掳上下文判断，虑晶“乘半，八分一也。”“坩”属“八”之袈，“尺”系衍文，常因上 文“分”後有“尺”而衍。 e a “七分”虑晨“七分寸”，“分”後脱“寸”字。 九 “八”系衍文，“分”後脱“尺”字。本句虑聪“干( 七十) 分尺一也”。 十 术，即“衍”。“衍”与“术”，上古音皆船母物部，二字音同。害者本凿害“衍”，而属了害 寤的便捷，便用同音字“术”代替，故筒文中的“术”实乃“衍”之假借，本字富屠“衍”。下文同。 衍，指的是某往数晕圊题求解的法则或算法。法在此虞指除数。寅，在此虎指被除敷。法和寅都 是中固古代的敷单用捂，法指乘敷或除数。寅指被乘数或除敷。如：以二乘四，以二除四，二属法。 四焉寅。本句意晨雨分数相乘，分母舆分母乘，所得之敷鼹被除敦，分子舆分子相乘，所得之敷焉 被除数，被除数除以除敦所得的商即焉结果。後文第七筒“母相乘呙法，子相乘届寅”意同。另，九 章算衍“衰分卷”中“衰分 柯”：“各置列衰，副并焉法，以所分乘未并者各自磊寅，寅如法而 ，其中的“法”、“寅”即是此獯用法。算数害筒文中的“法”、“寅”遏有很多，除 佃刖例外，大部分屠此叛用法。 匝器文习 相乘一寸乘以一寸，得一平方寸；一寸乘以一尺，得十分之平方尺；一寸乘以十尺，得一平方 尺；一寸乘以一百尺，得十平方尺；一寸乘以一千尺，得一百平方尺。二分之一寸乘以一尺，得二 十分之一平方尺：三分之一寸乘以一尺，得三十分之一平方尺：八分之一寸乘