（计算数学专业论文）不确定时滞系统的鲁棒h∞控制.pdf

北京科技大学硕士学位论文 摘要 在实际工程中，控制对象的数学模型大多是不确定模型，并且由于在控制系统的运 行中，会出现环境变化、元器件老化等问题，使得各种工程系统都存在时滞现象如果在 设计控制器时，不将这些因素考虑在内，最终得到的控制器可能不会使得闭环系统具有 所期望的性能因此对于不确定时滞系统的研究就有很重要的理论意义和实际意义 本文主要基于李亚普诺夫稳定性理论，采用线性矩阵不等式和矩阵分析等工具，研 究不确定时滞系统的鲁棒控制问凰主要工作如下： ( 1 ) 针对具有范数有界不确定参数的离散时滞系统，给出了其鲁棒二次可镇定的充 分条件，设计了相应的状态反馈控制器，结果以线性矩阵不等式的形式给出，并通过数值 仿真算例，证明了所给方法的正确性 ( 2 ) 针对带有非线性项的时变时滞系统，给出了对所有允许的不确定性系统鲁棒二 次稳定的一个充分条件 并设计了相应的有记忆状态反馈控制器，并通过数值仿真算例， 证明了所给方法的正确性 ( 3 ) 针对一类带有时滞的离散时间不确定系统研究了其严格耗散控制问题利用线 性矩阵不等式的方法，给出了滞后离散时间不确定系统严格耗散一个的充分条件，并且 通过求解一个线性矩阵不等式，就可得到有记忆状态反馈严格耗散控制器，并通过数值 仿真算例证明了所给方法的正确性 关键词：时滞系统，二次稳定，鲁棒日。控制，严格耗散控制，线性矩阵不等式( l m i ) 北京科技大学硕士学位论文 r o b u s t 日。c o n t r o l f o ru n c e r t a i nt i m e - d e l a ys y s t e m s m o s to fm o d e l so nc o n t r o lo b j c c ia 亿u l l o m a i n t ya n dt i m e - d e l a yi sc o m m o ni nt h ep r o c e s s o fp r a c t i c a le o n u o l , w h i c hi sb e c a u s ei t su n a v o i d a b l et oi n c l u d e 叫瞰七r i a i np a r a m e t e r sa n d d i s t u r b a n c ei np r a c t i c a le o n t t o ls y s t o m s m e a n w h i l e , t l l e r ea i el , r o b l o m s0 1 1 曲吧v a r y i n go ft h e e m , i t o n m c n t 衄d i h e a g e i n g o f t h e a p p a r a t u s i f t h e s e f a c t o r sa i l l o t l a l r a m i n t o a c c o u n t , w e w i l l l l o to b t a i nt h e 既l , e e t o ap c 椭舢a 噼o ft h ec l o s c d - s y 蛐oh e 啦，t l l c r e 批i m p o r t a n tt h e o r y a n dp r a c t i c a lv a l u e0 1 1t l a es t u d yo f r o b u s tc o n t r o l0 ! l i m ed e l a ys y s t e mw i t h 蛐l i e s b a s e d0 1 1l y a l m n o vs t a b i l i t yt h e o r y , 啦l 如跚m a l r i xi n c q u a l i t ya n dm a u i x 柚a l y s i s 笛 t h em a i nm a t h e m a t i c a lt o o l s , t h i sp a p e rs t u d i e st h er o l m s tc o n l z o l 0 b l 册o fs y s t e m s t h e m a j o rc o n t r i b u t i o n so f t h i sp a p e ra 把f o l l o w i n g ： ( 1 ) f o rt h e 血1 鲥e l a ys y s t e mw i t hm - b o t m d c d u n c e m i np a r a m e t e r s , t h es u f f i c i e n t c o n d i t i o nf o rq u a d r a t i cs t a b l ea n dt h ec o r r e s p o n d i n gl o b u s to o n t r o l l e ra e s i g n i n gm e t h o d s 眦 g i v e ni nt h et e r m so fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s f m a u y , 卸i l l u s t r a t i v ee x a m p l oi sp r e s e n t e d t o p r o v et h ec o r r c c t l l c s so f t l a i sm e t h o d ( 2 ) r o b u s tc x m u o l l e rd e s i g n i n g i sc o m i d e r e df o rt i m e - v a r y i n gd e l a ys y s t e m sw i t h l l o l l l i n c a rp e a m b a t i o n f o ra l lt h ea l l o w e du n c e r t a i n t i e s , 讹o b l a i nt h es u 茄c i e n tc o n d i t i o nf o r q u a d r a t i cs t a b l ea n dt h em e m o r yr o b u s te o n t r o l l e rd e s i g n i n gm e t h o d f i n a l l y , a ni l l u s t r a t i v e e x a m p l e i sp r e s e n t e dt op r o v et h ec o n 咖龉so f t h i sm c l h o 正 ( 3 ) d e a l i n gw i t hi l i c u l o l ys t a t ef e e d b a c ks t r i c t l yc l i s s i p a t i v cc o n t r o lf o rt m a , a i nd i s c r e t e s y s t e m sw i t ht i m e - d e l a ya n du s i n gt l a el i n e a rm a l r i xi n e q u a l i t ya p p r o a c h , i tg i v e sas u f t i c i c n t c o n d i t i o nf o rs l r i c t l yd i s s i p a t i v e ，a n dt h ed e s i g no ft h em e m o r yc o n t r o l l e rc a l lb eo b t a i n e db y s o l v i n go n e l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y f m a l l y , 柚i l l u s t r a t i v ee x a m p l ei sp r e s e n t e dt op r o v et h e c o l n n l n c s s0 f t l l i sm e t h o d k e yw o r d s ：t i m e - d e l s ys y s t e l l a t s , q u a d l r a l i e 嘲b l e , r o b u s th 。e o n t r o l , 劬r i 呻d l i s s 晒t i v e e o n t r o t , l m i 北京科技大学硕士学位论文 ，一 e a ，0 a 0 k ( a ) k ( a ) m 符号说明 m x m 阶的单位矩阵 e ( 七) 或巧( t ) 彳为正定矩阵 a 为负定矩阵 对称矩阵a 的最大特征值 对称矩阵a 的最小特征值 向量x 的e u c l i d 范数 向量聋的厶【o ，m ) 范数 2 独创性说明 本人郑重声明：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 北京科技大学或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表 示了谢意。 签名：墟日期硇! 亟：17 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京科技大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。 ( 保密的论文在解密后应遵循此规定) 北京科技大学硕士学位论文 引言 时滞系统控制问题的研究目前正成为鲁棒控制领域的热点课题之一这主要是由于 系统中信号的传递和观测需要时间以及被控对象的元件老化等原因，使得各种实际的工 程系统都存在时滞2 0 世纪六、七十年代主要研究时不变线性时滞系统的镇定问题到 八十年代人们开始对不确定时滞系统的鲁棒镇定展开了广泛的研究 日控制是鲁棒控制理论的重要组成部分原始的 r 尊控制问题只是考虑系统干扰的 不确定性，后来，同时考虑系统参数的不确定性和干扰的不确定性发展了鲁棒日。控制 理论随着i m i 的提出，出现了而乙控制问题的l m i 处理方法，d o l y e 等将王l 设计问题 转化为求解两个适当的代数r i c c a f i 方程标志着h 。控制理论的成熟近三十年来国内 外广大科研工作者在时滞不确定系统的鲁棒稳定性分析和鲁棒控制器设计上进行了广泛 的研充并取得了丰硕的成果本文主要对不确定时滞系统进行研究，主要内容如下： 第一章，主要对鲁棒控制的发展和不确定时滞系统的有关内容进行了综述，并给出 了本文用到的预备知识 第二章，研究了一类不确定离散时滞系统的鲁棒 l 控制问题，考虑的是具一般性的 范数有界参数不确定性通过构造l y a p u n o v 泛函，采用i m i 的方法，讨论了鲁棒h 。控 制问题，得到了确保鲁棒日。控制器存在的充分条件和h 。状态反馈控制器的设计方法， 结果是以u m i 的形式给出的最后的数值仿真说明了该方法的可行性 第三章，采用类似于第二章的方法，讨论了带有非线性项时变时滞系统的有记忆鲁 棒h 。控制器的设计问题给出了对所有允许的不确定性，被控对象满足h 。范数界，约 束下鲁棒二次稳定的一个充分条件通过求解一个l 皿即可获得有记忆的 乙状态反馈 控制器 第四章，研究一类带有时滞的离散时间不确定系统的有记忆状态反馈严格耗散控制 问题利用l m i 的方法，给出了滞后离散时间不确定系统严格耗散的充分条件，得到了 有记忆状态反馈严格耗散控制器的存在条件和设计方法最后的仿真实例，说明了方法 的正确性 1 北京科技大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 鲁棒控制发展简介 鲁棒控制的主要思想是针对系统模型中存在的不确定性信息，设计一个确定的控制 律，使得对于系统中所有的不确定性，闭环系统能保持稳定并具有所期望的性能也就是 说系统的性能具有鲁棒性 鲁棒控翻 ( r o b u s tc o n u e i ) 问题最早出现在1 8 世纪p e a n o , b e n d i x i o n 等人对于微分方 程的研究中【1 j 到了1 9 7 2 年，d i v i s i o n 首次提出“鲁棒控制”这一术语使得人们从实际和 理论上逐步认识到鲁棒控制具有的实践和理论意义，从而使鲁棒控制理论的研究扩展到 许多领域到了1 9 7 4 年，鲁棒控制首次在文献标题中出现1 2 】参数不确定系统的鲁棒性 能分析和综合问题，成为近3 0 年来国际自动控制界最热门的研究领域之一 而r - 控制是鲁棒控制理论的组成部分之一同时考虑系统参数的不确定性和干扰的 不确定性代替只考虑系统干扰的不确定性，从而发展了鲁棒 乙控制理论1 9 8 1 年， z a l n 嚣在文献p 1 中首次提出h 。控制思想经过几十年的发屁 l 鲁棒控制理论已经日 趋成熟- 其发展大致可分为两个阶段：第一阶段为基于传递函数矩阵的频率域理论，其中， d o l y e l 4 1 的工作具有代表意义；第二阶段为年代末期发展起来的直接状态空间模型的 时域理论，主要研究方法包括r i c c a t i 法和l m i 法1 9 8 8 年，d o l y e 等证明了日。设计问题 可以通过求解两个适当的代数r i c c a l i 方程得到嘲，标志着h 。控制理论的成熟；随后文献 网将该方法推广到了线性时滞系统1 9 8 8 年以后，。控制理论进步深入的发展，已经 从连续系统发展到离散系统，从时不变系统发展到时变系统，从有限维系统发展到无穷 维系统，从线性系统发展到非线性系统 鲁棒控制理论的应用不仅仅用在工业控制中，它还被广泛运用在经济控制、社会管 理等很多领域随着人们对于控制效果要求的不断提高，系统的鲁棒性会越来越多地被 人们所重视从而使这一理论得到更快的发展 1 2 线性系统按状态空间描述的分类 不失般性讨论连续时间系绕首先对系统分别选定1 7 i ： 状态工一k ，而， j 输入h h ，2 ，h p1 。 3 - 北京科技大学硕士学位论文 输出) ，一y l , 儿，凡1 。 其中上 矛t 表示转置 称一个系统为线性系统，当且仅当系统的状态空间描述 圣- f ( x , u ，t ) ( 1 1 a ) y g ( x ，t ) ( 1 1 b ) 向量函数，( 工，h ，f ) 和g ( 工，t ) 的所有组成分量均为状态变量毛，屯，和输入量l i l ， h ：，“，的线性函数，即有 ，( x , u ，t ) 一爿( f ) x + 口( f ) h s ( x ，t ) 一c ( o x * o ( o 等价地称一个系统为线性系统，当且仅当系统的状态空间描述可表为 章- 彳( f ) 工+ 丑( f ) 口 ( 1 2 a y - c ( o x + o ( o , , ( 1 锄 其中，4 ( f ) ，口( f ) ，c ( f ) ，d ( f ) 为不依赖于状态石和输入h 的时变矩阵 1 2 1 时变系统与时不变系统 不失一般性同样限于讨论连续时间系统 时变系统当且仅当动态系统的状态空间描述( 1 1 办( 1 1 b ) 或( 1 2 吐( 1 2 b ) 中显含 时间变量f ，即向量函数，( j ，h ，f ) 和占( j ，t ) 或参数矩阵 爿( r ) ，口( f ) ，c ( f ) ，d ( f ) 全部或 至少个是时间变量f 的显函数 时不变系统当且仅当动态系统的状态空间描述( 1 1 破( 1 1 b ) 或( 1 2 破( 1 2 b ) 中不 显含时间变量f ，向量函数为f ( x ，h ) 和g ( 工，口) 或参数矩阵为 彳，b ，c ，d 时不变系统物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统严格地诧由于内 部和外部影响的存在，使实际系统的参数或结构做到完全不变几乎是不可能的从这个 意义上来说，时不变系统只是时变系统的一种理想化模型但是只要这种时变过程比之 系统动态过程足够地慢，那么采用时不变系统代替时变系统进行分析，仍可保证足够的 精确度 1 2 2 连续时间系统和离散时间系统 连续时间系统当且仅当动态系统的输入变量、状态变量和输出变量取值于连续 时间点，反映变量问因果关系的动态过程为时间的连续过程 4 - 北京科技大学硕士学位论文 离散时间系统当且仅当动态系统的输入变量、状态变量和输出变量只取值于离 散的时间点。反映变量间因果关系的动态过程为时间的不连续过程 连续时间系统和离散时间系统在状态空间描述上存在基本区别对于连续时问系统。 状态方程为微分方程输出方程为连续变换方程；而对于离散时间系统，状态方程为差分 方程，输出方程为离散变换方程 但在实际生活中，由于时问本质上的连续性，自然界和工程界中的几乎所有系统都 毫无例外地归属于连续时间系统的范畴另一方面，时间度量上的离散特点，例如年季月 日、时分秒、毫秒微妙纳秒等，又使得社会经济领域中的许多问题适宜于作为离散时间 系统来处理和研究从一定意义上来诡离散时间系统是对实际问题因需要和简便而导 出的一类“等价性”系统特别是随着计算机的发展，大量连续时间系统由于采用数字计 算机来进行分析和控制的需要。我们可以通过连续系统离散化的方法，将一个连续系统 化成相应的离散时间系统作为考察对象 1 2 3 确定性系统和不确定性系统 确定性系统当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入和扰动，都是随 时间按确定的规律而变化的确定性系统的一个基本特点是，其动态过程即状态和输出 随时间的演化过程是时间变量的确定性函数 不确定系统也称系统的特性与参数中包含某种不确定性，即其变化不能采用确 定的规律来描述，或者作用于系统的输入和扰动是随机变量，即其随时间的变化是随机 性的通常情况下，把后一类情形的不确定性系统称为随机系统需要采用随机过程的理 论和方法来描述和分析 实际工程的控制系统，由于种种原因总是存在不确定性这种不确定性通常分为两 类：一是来自外部的不确定性，如干扰等；二是系统内部的不确定性，如量测误差、参数 估计误差及被控对象的未建模动态等因j 比，研究不确定系统的某些性能具有很大的现 实意义 1 3 不确定时滞系统概述与研究现状 早期的不确定线性时滞系统鲁棒稳定控制器的设计需满足一定匹配条件t h o w s e n 则将二次稳定的概念引入时滞系绑趴，俞立提出了一种无记忆状态反馈二次稳定控制律 的设计方i 去1 9 】，s h e n 等则提出了r i c c a f i 方程方j 去i 州，s h e n a n d 将r i c c a 虹方程方法推广到 时滞系统j 儿1 ，提出可以将不确定时滞系统的鲁棒稳定控制器问题转化成为一个线性时不 变系统的日控制标准问题，这样通过求解个代数r i c c a t i 矩阵方程求得无记忆状态反 5 北京科技大学硕士学位论文 馈控制器。m a l u n o u d 等则针对具有范数有界不确定的线性时滞系鲥竭，直接证明二次稳 定的充分条件可归结为一个r i c c a t i 方程的解存在性 在状态空间表示下，不确定线性时滞系统的控制器设计方法主要集中在用r i c c a t i 型 的矩阵方程或不等式和l m i 方法对采用r i c c a l i 方程方法1 1 3 】而言，r i c c a l i 方程的求解依 赖于参数的调整，对不确定系统无法对性能指标进行优化这给实际的应用带来了极大 的不便有时候即使问题本身有解，也找不出问题的解鉴于此1 w a s a k f l 等把日。最优控 制问题的求解归结为l m i 的求解【1 4 1 , u 沮方法则可较好地弥补上述不足由于u 沮方法 可较好地弥补r i c c a t i 方程方法的不足，近年来l m i 方法作为解决这些问题的主要方法 被国内外已有很多学者采用 文献1 1 5 1 8 】利用i m i 的方法，考虑了连续系统的无记忆的状态反馈控制问题；文 献【1 9 2 0 】则利用l _ b t i 方法研究了连续系统无记忆与有记忆的状态反馈控制律问题 需要指出的是，离散时滞不确定系统鲁棒控制的研究比起连续时滞系统的研究则少 的多，这主要是因为利用l y a p u n o v 方法研究离散不确定时滞系统时，l y a p u n o v 函数沿系 统的全差分中含有不确定矩阵的非线性项难以处理，虽然通过状态增维的方法可将离散 时滞系统转化为不含时滞的离散系绕但是在时滞未知的情况下，这种方法也是无法使 用的 k i l nj hp a r ki - lb 在文献1 2 1 】中曾指出，通过参数化可将不确定离散时滞系统转化 为确定型离散时滞系统，利用1 3 , f l 方法设计月r 控制器，但其不确定性必须满足一个严 格的匹配条r t t = ，在实际控制系统中这是很难满足的文献 2 2 - 2 4 考虑的是离散系统的无记 忆状态反馈控制律问题；文献【2 5 】考虑了离散时滞系统的保成本问题 文献【2 6 】对线性连续时间系统进行了耗散性分析和设计，但目前关于离散时间系统 的耗散性研究较少研究的严格耗散控制均是无记忆的状态反馈控制问题文献1 2 - 研究 的是线性离散时滞系统的输出反馈耗散控制文献【2 8 】研究的是二次型耗散线性离散时 间系统的鲁棒性分析与控制文献【2 鲫研究的是线性离散时滞系统的鲁棒严格耗散控制， 得到的均是无记忆的状态反馈控制器 作为无源概念和日性能的推广，耗散性是系统和控制理论中的一个重要概念耗散 性的概念是在研究诸如热动力系统电网这类能量以热能形式耗散的系统的过程中给出 的1 9 7 2 年w i l l e m s 通过引入由系统状态描述的函数作为储能函数来表征系统的储能， 由输入输出描述的函数作为供给率来表征系统的输入功率，由此定义了动态耗散系统 耗散性理论中一个重要的关系即所谓耗散不等式： 6 北京科技大学硕士学位论文 s k ) + c w o 之s “) ( 1 3 ) 该式表明：耗散系统在任意时刻的系统储能不超过以前时刻的系统储能与这一时间 间隔中的能量供给的和，换言之，系统的能量是耗散的储能函数s b ) 是系统的非负标 量函数，特别地若储能函数s b ) 是可微函毵且系统储能速率不超过供给率即： j ( 工) w ( t )( 1 4 ) 则可推出耗散不等式( 1 3 ) 从本质上讲，耗散性理论的源头可追溯到l y a p u n o v 的运动稳定性理论。可以说这一 理论是l y a p l m o v 稳定性理论的发展，储能函数在稳定性分析中是可充当l y a l m o v 函数 的直观上可以认为：系统的性能( 稳定性、鲁棒性、干扰抑制水平) 由系统的储能速率决 定，储能速率越小，系统的稳定性、鲁棒性、干扰抑制水平性能越好，控制的作用是降低 系统的储能速率，储能速率越小，控制代价越太这一理论的缺点是没有构造储能函数的 一般方法，设计方法具有保守性 1 4 预备知识 本节将介绍本文主要用到的几个定义和引理 1 4 1 离散时间系统中的些概念 考虑如下离散时间不确定系统 卜( 七+ 1 ) - 却( t ) + 今( 七- 1 ) + b 。u ( k ) + b 2 0 ) ( k ) 2 ( 七) - c ( 七) + c 一忙一f ) + d 1 ( 七) ( 1 国 i 工( 七) - 尹( 七) ，一ds 七s o 其中状态向量工( 七) 彤；控制输入向量“( 七) f ；观测输出向量z 似) 彤；干扰信号 ( 七) 曰且( 七) f 2 【o ，* ) ；4 ，呜，县，易，c l ，c 2 ，d 1 是适当维数的常数矩阵； f 是常数；中( 七) 是初始函数 定义1 1 如果存在函数矿卜( 七) ，七) 和正数q ，a ：，吩及k 类函数劬( ，) ，仍( ，) ， 使得 啪( x ( 七) 矿( j ( 七) ，七) 口：仍( 肛( 七) i i ) 矿( 毒( 七) ，七) i ( ls 耻( 七) | | 2 则称系统( 1 习是二次稳定的 7 北京科技大学硕士学位论文 定义1 2 闭若存在对称矩阵p ，0 ，w ，o ，使得对于任意容许的不确定性，任意 工忙) ，0 ，l y a l m o v 函数 y ( 工( 七) ，七) 一，( 七) ( 七) + ，k 至- i ，( f ) 服( f ) 关于七的前向差分满足y _ 似) ，七) - y 卜忙+ 1 ) ，七+ 1 ) 一矿扛( 七) ，七) c o ，则不确定时滞 离散时间系统( 1 5 ) 卜( 七) 一o ( t ) 一。时】是渐近稳定的 定义1 3 对于系统( 1 5 如果存在线性状态反馈控制器 u ( k ) - 缸( 七) + 厶( 七一j ) 其中k r ，l j r ”称系统( 1 国是具有日。范数界，鲁棒可镇定的，如果下列条件 满足： 珊( 七) o 时，闭环系统是二次稳定的； 给定正常数r ，在零初始条件下满足h 。范数约束条件 肛( 七) j j ：写r 8 吐，( 七) 也，v ( f ) 乞 o m ) 1 4 2 连续时间系统中的些概念 考虑如下非线性不确定时变时滞系统 。 p ( t ) 一耷( f ) + 4 x ( f d ( f ) ) + 即( r ) + 岛m ( i ) ：( f ) - q ( f ) + q ( f - d ( r ) ) + 却( f ) + d 2 埘( ，) ( 1 6 ) l j ( ，) 驴( f ) ，- d ，so ，o t d ( f ) s d 其中状态向量z ( f ) 彤；控制输入向量“( f ) r 。；被调输出向量z ( f ) 彤；干扰信号 ( f ) 且( f ) 如【o ，m ) ；4 ，4 ，日，易，c 1 ，c 2 ，d l ，d 2 是适当维数的常数矩阵； d ( f ) 是滞后时间，满足o s d ( ，) t d ，0 ( f ) s l ；驴( f ) 是连续的向量初始函魏 定义1 4 1 q 对于系统( 1 6 ) 卜( 0 - o ，( f ) 一。时1 ，如果存在对称正定矩阵p ，s 以及 正常数a ，使得对于任意的( 石( f ) ，t ) e n 。x r ，任意容许的不确定性，l y a p u n o v 函数 矿( 工( f ) ，r ) - ，( f ) ( f ) + l i i j ，( 一) ( 一炒 关于时间t 的导数满足条件 矿卜( r ) ，t ) 口怯p 扩 则称系统( 1 6 ) 卜( f ) - o ( t ) o 时1 是鲁棒二次稳定的 8 北京科技大学硕士学位论文 定义l j 川给定常数r ，o ，如果对于任意允许的时变参数不确定性，满足条件： ( 1 ) 系统是鲁棒二次稳定的； ( 2 ) 在零初始条件下，满足 乙范数界r 约束条件 i i z ( , ) l l ：s y0 m ( f ) l i ：，v ( f ) ：0 , 0 0 ) 则称系统( 1 6 ) 卜( f ) 一。时】是 乙范数界r 约束下鲁棒二次稳定的 1 4 3 关于耗散性方面的知识 以离散时滞系统( 1 5 ) 为例，对系统引入二次型能量函数川 e ( z ，。吗t ) 一( z ，q z ) ，+ 2 ( z ，s ) ，+ ( ，r ) r 其中q ，s ，r 是适当维数的权矩阵，q ，r 是对称矩阵 定义l 心竭对于给定的对称矩阵q ，r 和矩阵s ，如果存在正数口，使得在零初始条 件下，不等式 e ( z ，t ) 苫口( 矗，) r 对任意的非负整数t 成立则称系统( 1 国是严格( q ，s ，月) 一耗散的 基于上述定义1 6 当q ，s ，r 取合适的权矩阵时，系统( 1 国的严格( q ，s ，r ) 一耗散 性可分别退化为系统的日。性舷正实性以及扇形约束等嘲 一般情形下，对q ，s ，r 的选取有下列假设： 假设1 1 q s 0 r + d 1 7 s + s 7 d 1 + d 1 7 q d , 0 定义l 明不确定系统如果对于所有容许的不确定性渐近稳定且严格( q ，s ，只) 一耗 能则称该系统鲁棒稳定且严格( q ，s ，尺) 一耗戴简称鲁棒严格耗靓 定义l j 例给定的对称矩阵q ，r 和矩阵s ，对于系统( 1 5 ) 的一个线性反馈控制器， 使得其闭环系统鲁棒稳定且严格( q ，s ，r ) 一耗散，则称该反馈控制器为鲁棒反馈控制器 1 4 4 几个有用的引理 引理1 1 嗍给定适当维数的对称矩阵y 和适当维数的矩阵瓦，g ，如果存在正常数 鸬( i - 1 , 2 , ，n ) ，使得 y + e 谌o e ：+ g 谨，g ：q 9 北京科技大学硕士学位论文 其中 x p 咖 一，也，脚_ ) x ，一执g 一、时一”，h i o 则对所有满足e 7 e 1 0 的e 一 ，e r 竹叶( f - 1 ，2 ，) ，口。蔷q ， 下式成立 x + e 卡t g b + g ：f ；e ：t q 引理l 列对于任意向量y ，z f ，以及任意正常数 0 ，有 2 y 7 z e y 7 y + f 。1 z z 引理1 3 嘲给定适当维数实数矩阵q ，日，e ，其中0 为对称矩阵，则 q + 日a ( f ) e + e 7 7 ( f ) h 7t o ，a o ) a ( f ) ， 成立的充分必要条件是存在f ，0 ，使得 q + e e 7 e + e 1 胃7 h 0 驰- a 1 3 4 ( s c h u r 补懒对给定的对称觯s 【s n 斟其帆肌， 维的以下三个条件是等价的： ( o s 0 ； f n 3 s 1 i 0 ，一$ 0 s ： o ； ( i h 3 s 。 0 ，5 ，0 以及矩阵x ，l ，使得 对于任意满足( 3 2 ) 式的e ( f ) ，下列不等式成立 a t p + p a + s + 2 p + 配l b 7 p 醚p c p 曰 一( 1 一p ) s + 岛2 ， 0 d 厩c r 0d 7 一r 2 1 醒 d 2 一， t 0 ( 3 4 ) 则闭环系统( 3 3 ) 【m ( f ) 一。时】是鲁棒二次稳定的，且在零初始条件下有 l i ：主r 忪( r ) 0 ：，v w ( t ) ( e l ： o ，* ) 其中 a 一4 + 置k + m + 蝇k ，b - 4 + 即+ 鸲+ 蛆 c - c j + g x + a c j + a d l k ，d c ：+ d 拉+ c 2 + 蝉 b 2 一易+ a 易，6 ：_ d 2 + a d 2 证明为简便起见记 x - x ( t ) ，薯- 工( f d ( f ) ) ，o , - 0 4 0 ，z - z ( t ) - ，( 工( r ) ，f ) ，2 - ，( 工( f d ( f ) ) ，t ) 因为p 0 ，s 0 令 y ( j ( f ) ，r ) 一，f ) ( f ) + l f | l ，( p ) ( 口p 日 则y b ( f ) ，f ) 是正定函数，且满足具有无限大性质和无穷小上界，把它作为闭环系统( 3 3 ) 的l y a p u n o v 函数当珊( f ) - o 时，它沿闭环系统( 3 3 ) 轨线的导数满足 2 1 北京科技大学硕士学位论文 矿( z ( f ) ，f ) - ，既+ ，臌+ ，一1 一i ( r ) ) ， ( 血+ 如+ 正+ 厶厂a + ，( 血+ 如+ 五+ 厶) + 工7 一( 1 一) 五7 瓯 - z a 7 + 7 8 7 p x + x r p a x + x r p b x , + 舻耽+ 硝 + z s x 一( 1 一p k 7 岛 由1 4 4 中引理1 2 有 砹p | l 一2 ( p x ) t l 暑t p p x rl l 量t p 。l + b ：亡x 。 2 x t p | t 2 ( p x ) tl l t 亡p p x + f ：f t p x + j ；t x t 从而，有 矿( 工( f ) ，f ) ，( _ 7 p + p a + s + 舻+ 卯小+ x r p b x , + r b 7 a + f 【一( 1 一p ) s + 岛2 ，】 卟吖j 【 a r p + p a + 县s 9 + 批 ( 1 刊p b 堋 记 叫n 黝嚣研7 _ ( 1 一嚣驴】 由定理3 1 条件可知uc o 从而，有 矿( z ( r ) ，r ) k ( u ) 脚2 + 忙1 k 似) 2 由高等代数知识可知k ( u 。) t 0 ，令口- k ( u 1 ) ，则口，0 从而由定义1 4 可知，闭环系统( 3 3 ) 是鲁棒二次稳定的 另一方面，在零初始条件下，引入 ，一f p ( 岫( r ) 一r 2 矿( r ) ( r ) p 对任意的( f ) 厶【o ，m ) ，利用l y a p 咖v 泛函和零初始条件 可以导出 j f 一蠹f z 一，, 2 c o t c o d t s z t z ，v + 矿( 工( r ) ，) p 一2 2 北京科技大学硕士学位论文 由于 ：乙一r 2 矿- ( + 观+ 历n ，) t ( q + 观+ 厦m ) 一y 2 一圣e q 亡e 斑t 七亡e 西p 寸d 7 c x + x d r d x , t 口西p + 3 1 c x + d b ： d x , + 矿( 霹厩一y z l ) w - rrn ，】 - f c 7 cc 7 d c 7 厩 秽cd f d d t 玟 西：c 西：d 西：西：一y 2 f c 7 cc 7 d c 7 厩 矽c 疗d d f 瓦 西：c5 ：d 西：5 t y 2 i 言 工 n ， 亭1 u ：芋 矿( j ( f ) ，t ) - z p x + p 生+ x s x 一1 一孟( f ) ) ， ( 出+ 现+ + ，2 + 厦厂既+ j r r p ( 血+ 砚+ 五+ 厶+ 豆) + x s x 一( 1 一卢) t 7 瓯 s 工7 ( 爿7 p + p a + s + 2 p z + 卢, z 1 ) x + x 7 p b x , + 工7 p 瓦n ，+ 7 8 7 a + r 【_ ( 1 一p ) s + 舒j 】+ 矿霹a 玎 - f a t p + p a + s + 2 p + 醉i b 7 p 印 a t p + p a + s + 2 p 2 + & i b 7 p 印 p b 两1 一( 1 一p ) s + 卢：2 ，0 0o p b 腹 一( 1 一_ 1 1 ) _ s + 劈j 0 oo 一亭7 乩亭 所以，( 3 句式可得 j fs 【z 7 ( 岫( r ) 一r v ( r ) 珊( r ) + 矿( 工( r ) ，) p s 【矿( r ) ，右( r ) + f ( r ) 宇( r ) p 2 3 - 工 甜 北京科技大学硕士学位论文 f r c r cc r d c 7 臣1f a r p + 删+ s + 2 p 2 + 2 ，p b匾1 1 吖f 1 i 霹d r c c 舄厩嚣1 r i b 印r p 。卜一y 。0 。” - j ：p a r p + p a + s + 2 p 2 + j i + c 7 c b 7 p d 7 c 印+ 霹c 一、譬v 4 毒d t 其中 p b + c r d p 豆+ c 砸 一( 1 一芦) s + 岛2 i + d 7 dd 7 历 霹d磷5 2 - 7 2 i 亭- 亭( t ) - i t r ) ，( t d ( r ) ) n ，( r ) 】7 玑- a r p + p a + s + 2 p + 酹i + c c b 7 p + d r