（应用数学专业论文）ostrovsky方程的cauchy问题及一类新的混沌道路的研究.pdf

江苏欠学硕士擘谊论文 攘要 本文主要研究了两部分内容。本文的第二、第三章主要对 o s t r o v s k y 方程及广义o s t r o v s k y 方程的动力学行为进行了研究。我们 在第二章中对有界域上的0 s 方嫒作了一系列的先验估计，并利用 g a l e r k i n 方法从解序列中找到一个收敛予列，从两证明o s 方程的髂 在h 3 中整体存在。在第三章，我们通过对广义o s 方程添加一个小扰 动项，秘用谖移分聿厅魏方法证明了扰动静广义o s t r o v s k y 方毽豹释在 h 5 ( s 3 2 ) 中局部存在，然后做个先验估计，找到一个收敛予列， 从两证褥了广义o s 方程的解的蜀帮存在性。赉予在参考文献中已有 文章做过o s 方程的周部解问题，我们只需进行必要的范数估计就可 将o s 方程的简部解惩拓蓟整体，从而得整体解在砰中存在。 本文的四、五章主要研究了一类新型的混沌道路及湿沌控制的问 题。众所闵知，规则运动迸入混沌的道路一共有三种倍周期分又、 阵发混洮以及拟周期。我 f 】硬究了以帐篷映射为代表的类毒 光漫离 散系统，发现该类系统通向混沌的道路是一种新的混沌道路，并且不 燕予以往发现三静混涟道路，特别是与暑光、滑浚射中经常塞现麴v 型阵发也有本质的区别。通过研究我们还发现该类混沌可以从任意周 麓壹接进入混涟，并不像其它遘黯舔样有过度态。这是一种以蓠掰未 报道过的新型混沌道路。 本文的第六章主要介绍了一种特殊的反馈控制，能够将离散 l o g i s t i c 方程的解控制到光滑孤立波上。第六章对此进行了理论上和 数值上的分析与仿真。 关键词：o s t r o v s k y 方穰，c a u c h y 闯题，帐篷映射，直接混涟， 混沌控制 i 苏走擎硕士擘住论丈 a b s t r a c t t h e r ea r et w om a i np a r t si nt h i sp a p e lc h a p t e rt w oa n dc h a p t e rt h r e e s t u d yd y n a m i cb e h a v eo fo s t r o v s k ye q u a t i o na n dg e n e r a l i z e do s t r o v s k y e q u a t i o n i nc h a p t e rt w o ， w em a k es o m ep r i o re s t i m a t et o0 s t r o v s k y e q u a t i o ni nb o u n d e dd o m a i n ，a n dw ef i n dac o n v e r g i n gs e q u e n c ev i a g a l e r k i nm e t h o d s ow ep r o v et h a tt h es o l u t i o no fo s t r o v s k ye q u a t i o n e x i s t si nh i nc h a p t e rt h r e e 。w e 磊d das m a l ld i s t u r b a l i c e 。a n di tc a l lb e p r o v e db yu s i n g ，h a r m o n i ca n a l y s i s t h a tt h e 。s o l u t i o no fd i s t u r b e d o s t r o v s k ye q u a t i o ne x i s ti nh 5 ( s 3 2 ) 1 h e nw em a k eap r i o re s t i m a t e a n df i n dac o n v e r g i n gs e q u e n c e 。s ov c ep r o v et h es o l u t i o no fg e n e r a l i z e d o s t r o v s k y e q u a t i o n e x i s t s b e c a u s ei nr e f e r e n c e st h el o c a ls o l u t i o no f o s t r o v s k yh a sb e e ns t u d i e d ，t h el o c a ls o l u t i o nc a l lb ep r o l o n gt og l o b a l s o l u t i o n 酾s o m eu s e f u lp r i o re s t i m a t e s ow ep r o v et h eg l o b a is o l u t i o n e x i s t si n 膏， 一 4 一 c h a p t e rf o u ra n dc h a p t e rf i v es t u d yan e v fk i n do f r o a dt oc h a o sa n d c h a o s c o n t r o l l i n g i ti sw e l lk n o w n t h er o u t e sf r o mr e g u l a rm o t i o nt o c h a o sh a v et h r e er o u t e s , i n c l u d i n gc h a o sv i ad o u b l e - p e r i o db i f u r c a t i o n 。 i n t e r m i t t e n c yc h a o s a n dq u a s i p e r i o d i c i t y w bs t u d yak i n do fn o n - s m o o t h s y s t e mo fr e p r e s e n t a t i v e s w i t ht h et e n tm a p a n dw ef i n dt h e r o u t et o ：c h a o st 彝：嚣n e wc h a o s 。w h i c hi sd i f f e r e n to ft h r e ec h a o s w h i c h h a v eb e e nf o u n d e s p e c i a l l y , i th a se s s e n t i a ld i f f e r e n c e sw i t ht y p ev i n t e r m i t t e n c yw h i c ho f t e nh a p p e ni nb o b s m o o t hs y s t e m a n dw ea l s o f i n dt 瓢醣i tc a l lb eh a p p e n e df r o ma n yp e r i o dt oc h a o s 。s oi ti san e wr o u t e f r o mr e g u l a rm o t i o nt oc h a o sw h i c hh a dn o ts e e nr e p o a s c h a p t e r ：s i xi n t r o d u c e dak i n do fs p e c i a lf e e d b a c kc o n t r o lm a i n l y , w h i c hc a nc o n t r o ls o l u t i o no fl o g i s t i ce q u a t i o nt os m o o t hs o l i t a r yw a v e c h a p t e rs i xm a d ei tw i t ht h ea n a l y s i si nt h e o r ya n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n k e yw 、o r d s ：o s t r o v s k ye q u a t i o n ，c a u c h yp r o b l e m ，t e n tm a p ，d i r e c t c h a o s ，c h a o sc o n t r o l 学位论文版权使用授权书 y 1 0 0 8 9 8 3 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学位保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密圈，在1 年解密后适用本授权书。 不保密口。 学位论文作者签名： 湃列 指导教师签名： 伊刍 如哆年月日硝年钿日 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：呼同： 日期：知嵋年f 月 日 江苏大学硕士学住论文 第一章绪论 这篇论文主要完成了两部分的工作，一是洋流方程o s t r o v s k y 方程( 简称 o s 方程) 得解的适定性问题，包括广义0 s 方程局部解的存在唯一性、o s 方程整 体解的存在唯一性以及在有界域上的o s 方程得整体解问题。另外一方面就是我 们研究了进入混沌的几种不同道路，提出了一种新型的混沌道路，它可以从任意 周期直接进入混沌，并不需要经过其他的中间态。本章的第一节主要介绍 o s t r o v s k y 方程及混沌的研究背景、现状及研究意义：第二节主要介绍水波方程 的背景知识及概念：第三节主要介绍混沌的一些概念。 1 1 研究背景、现状及意义 1 1 1o s t r o v s k y 方程的研究背景、现状及意义 很多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，很多重要的物理、力学、 流体学科的基本方程本身就是偏微分方程。长期以来，人们一直用偏微分方程来 描述、解释或预见各种自然现象，并用于各门科学和工程技术，不断取得了显著 的成效。以应用为目的的或以物理、力学、流体等其它学科中的问题为背景的应 用偏微分方程的( 定性及定量的) 研究，不仅是传统应用数学的一个最重要的内 容，而且是当代数学中的一个重要组成部分。它是数学理论与实际应用之间的一 座桥梁，研究工作一直非常活跃，研究的领域日益扩大。 在上世纪3 0 年代以前的近二百年中，紧密地联系着物理学、力学、几何学 等方面的需要，对于几个在数学物理中最常见的偏微分方程( 热传导方程、调和 方程、波动方程等) 已有了系统的了解，并以多元微积分学为主要工具，形成了 许多至今仍在广泛使用的有效方法。其后，一方面是实践中不断提出新的研究课 题，而电子计算机的出现也为偏微分方程的研究提供了强有力的实现手段，因而 偏微分方程的应用领域前所未有的扩大了。另一方面，大量素材的积累进一步提 出了将它系统化的任务；早在1 9 0 0 年，h i i b e r t 为预见2 0 世纪的数学发展所提 出的2 3 个著名问题中，有好几个都提出了研究偏微分方程的重要性。上世纪3 0 年代开始，在s o b o l e v 空间理论基础上建立起来的范函分析方法，为处理线性及 非线性偏微分方程的问题提供了一个强有力的框架和工具，并在实践中已得到广 泛的应用。其后，拟微分算子、f o u r i e r 积分算子等强有力的工具的发展，又将 偏微分方程的发展带到了一个新的高度。另外一方面，偏微分方程的发展又许多 现实问题的解决带来了可能。例如，在流体领域诞生了许多新的重要的方程，如 江苏大学硕士学位论文 k d v 方程，c a m a s s a h o l m 方程等新型浅水波方程以及o s t r o v s k y 洋流方程等等。 关于流体中水波方程，本文在本章第三节作详细的介绍。 本论文前一部分就一类洋流水波方程o s t r o v s k y 方程进行了研究，主要目 的是对这类洋流水波方程动力学行为的研究，以期对受地球自转及地球磁场变化 影响的重力作用下的海洋运动的规律有所认识。 力学家们利用动量守恒和质量守恒建立了许多的流体运动的数理模型。在建 立的流体运动的数理模型中，大多数都是用偏微分方程进行表示的，其中最经典 的就是e u l e r 方程。将e u l e r 方程用各种数学方法进行渐进展开，获得了不同的 水波方程，如k d v 方程，b u r g e r s 方程，c a m a s s a h o l m 方程等。但这些水波方程 都是考虑不可压缩的无漩流体。对海洋中的流体运动来说，由于其是大范围的运 动，忽略地球自转的影响是不合理的。另外一方面，人们在研究磁化的带旋转的 等离子体中磁电声波的传播的时候，也得到了这个方程。由于这个方程在洋流和 等离子体等物理方面有很重要的作用，因此，吸引了许多物理学家对它的关注， 从物理方面也有一些相应的结果，但大都集中在实验分析等物理层次上。另外一 方面，数学家对此方程也产生了浓厚的兴趣，v a r l a m o v 等利用小扰动的方法研 究了o s 方程的局部解的存在唯一性及基本解的问题；y u el i u 研究了o s 方程孤 立波解的稳定性问题：s t e v el e v a n d o s k y 等研究了广义o s 方程的孤立波稳定性 问题；y u el i u 和v a r l a m o v 研究了弱旋转对o s 方程的影响及其稳定性问题。 由以上可以看出，在o s t r o v s k y 方程的研究中，方程本身的解的整体存在 性与唯一性，解的长期动力学行为，以及方程解的特性与洋流运动的关系，广义 0 s t r o v s k y 方程的解存在性与唯一性等问题都是没有解决的重要问题。 1 1 2 混沌的研究背景、现状及意义 l i ，y o r k 发现连续映射在区间上有周期三就一定有混沌的性质，这就是著 名的周期三意味着混沌。jpe c k m a n n 发表了一篇文章指出现代的观点认为从有 规则运动向混沌过渡有三条道路，即倍周期分岔、阵发和经过准周期。到目前为 止，对混沌运动的研究已经取得了非常多的成果，但是仍然没有发现新的通向混 沌的道路。倍周期分又是f e i g e n b a u m 在对l o g i s t i c 映射研究时发现的结果，是 一条最常见的通向混沌的道路。因此倍周期分翁也是研究最早、最充分、最成功 的一条道路，对于倍周期分岔已有许多非常好的结果。通过拟周期向混沌过渡也 经常在实验中发现。这样的受迫在在相位空间内的2 维环面上引起一种运动，由 于轨道在环面上要么锁定一条周期轨道要么是经历各态的( 拟周期) 。当非线性的 强度被增加时，这种运动就是混沌。阵发则是另一条在自然界和动力系统中普遍 发生的从周期向混沌过渡的道路。对于阵发混沌，到目前为止，一共发现有六种 类型的阵发混沌，i 型，i i 型，i i i 型，i v 型( 边界碰撞) ，v 型，v i 型( 开关型) 。 2 江苏大学硕士学位论文 关于i 型阵发，y p o m e a u 和jeh i r s c h 进行了数值实验和理论分析，在不 同的模型中都发现了i 型阵发混沌的踪迹。事实上，人们发现任何一个处处光滑 的一维不可逆映射中的i 型阵发可以由一个有峰值的函数曲线枝与对角线的相 交、相切然后不断远离的过程产生，倍周期分叉和i 型阵发几乎是孪生现象。i 型阵发常常可以看作是倍周期分叉的前奏。一般系统总是经过一个i 型阵发从混 沌转变为周期，再经过倍周期分叉从周期变为混沌。i i 型阵发混沌往往和亚临界 h o p f 分叉联系在一起，事实上，伴随使二维映像中的一个稳定不动点失稳的亚 i 临界h o p f 分叉将发生i i 型阵发。i i i 型阵发一般与亚l 临界倍周期分叉相伴而来， 由一对不稳定的不动点( 周期点) 逐渐向一个稳定的不动点靠近，三者相撞，不 动点失稳，这就产生了i i i 型阵发混沌。cg r e b o g i ，eo a 对内禀激变和循环激变 研究发现这两种激变会导致阵发，这种阵发就是i v 型阵发，即激变导致阵发。 不过i v 型阵发同i 、i i 、i i i 型阵发又有所区别：i 、i i 、i i i 型阵发描写的是稳定 周期轨道失稳导致的向混沌的转变，特征是周期轨道室温后留下一个以隧道( 或 低维区域) 表征的“原稳定周期轨道的鬼魂”。它们的时间序列表现为：混沌一 类似周期的层流相一混沌一类似周期的层流相而激变导致阵发是混沌向混沌 的转变，特征是混沌吸引子突变后留下一或两个以奇异吸引子为表征的“原混沌 吸引子的鬼魂”。它的时间序列表现为：混沌1 一混沌2 一混沌1 一混沌2 v i 型称为是开关型阵发。往往是在与一个吸引子横截相交产生的。除了v 型阵发 混沌，其余的五种阵发混沌都存在于处处光滑的动力系统中。而v 型阵发是在 研究一类非光滑映射时被发现的。v 型阵发告诉我们如果在分岔后失稳的周期轨 道的“鬼魂”仍然存在，刚刚出现的混沌时间序列会呈现类似周期的层流相和混 沌脉冲的无规律交替，这种阵发被称为v 型阵发。 除此之外，到目前为止，还没有发现其他类型的混沌道路。本文在此基础上， 在非光滑系统发现了一类不同于其他三种的混沌道路，这是第一次提出这种混 沌，我们把它称作直接混沌( d i r e c tc h a o s ) ，它可以从任意周期直接进入混沌。 并且我们给出了一个例子，证明对于这种混沌可以直接从周期进入混沌，不需要 其他的中间态，也就是说可以从任意周期直接到混沌。这种混沌的代表就是我们 所熟悉的帐篷映射。 1 2 研究内容 由于0 s t r o v s k y 方程是一类洋流方程，它是一个不可积系统，因此对于该问 题的研究显得比较困难，往往都停留在一些数值模拟层面。本文从数学角度出发， 研究了该方程的c a u c h y 问题，以此为基础，试图进一步分析它的动力学行为， 以期对受地球自转及地球磁场变化影响的重力作用下的海洋运动的规律有所认 识。因此，本文的第二、第三章主要对0 s t r o v s k y 方程及广义0 s t r o v s k y 方程的 江苏走擘硕士学位舌旨文 c a u c h y 问题进行了研究。我们猩第二肇中对有界域上的o s 方程作了一系列的先 验估计，并利用g a l e r k i n 方法从解序列中找到一个收敛子列。从而证明o s 方程 的解在糟中整体存在。在第三章，我们邋过对广义o s 方程添加个小扰动项， 利用调和分析的方法证明了扰动的广义o s t r o v s k y 方程的解税h “( s 3 2 ) 中局 部存在，然后做个先验估计，找到个收敛予列，从两证明了广义o s 方程的 解的局部存在性。由于在参考文献中已脊文章做过o s 方程的局部解问题，我们 只需进行必要的范数估计就可将o s 方程的局部解延擒到整体，从两褥熬体解在 ( s 2 ) 中存在。 另外一方蕊，混沌问题崴以来都怒人们比较关心的问题。混沌到腻是如何 定义的，又有多少种进入混沌的方式，到目前仍然没有给出明确的结论。因此举 文第四、五章主螫研究了从规则运动进入混沌的方式问题，提蹬了一种新型的泓 沌崴接混沌( d i r e c tc h a o s ) 。通常的观点认为，规则运动进入混沌的道路 欺有三种倍周期分叉、阵发混沌以及拟周期一我们研究了以帐篷映射为代表 的一类非光滑离散系绕，发现该类系统通向混沌的道路照一种新的混沌，并且不 间于以往发现三种混沌道路，特别是与 光滑映射中缝常出现的v 型阵发也肖 本质的区别。通过研究我们还发现该类混沌可以从任意周期直接进入混淹，并不 像其它道路那样有过度态。这是一种以前所未报道过的新型混沌道路。但是对于 这种滗沌的机理，我们并没有研究的很透彻。并置我们将著名的c a m a s s a h o l m 方程经过系列的变换，然后将其离散化，得到了一个维离散映射。这个映射 也有直接湿沌。我们对这个系统利用一斧申新的麓馈控制，将混沌解控制到原来的 c h 方程的尖峰孤立子。本文的第六章主要介绍了一种特殊的殷馈控制，能够将 离散l o g i s t i c 方程的解控制到光滑孤立波上。第六章对比进行了理论上和数值上 的分析与仿真。 1 3 水波方程和混沌的一些基本概念 1 3 1 水波方程的一些基本概念 在流场中任意取定一控制体r ，设r 的表面为控制表面s ，由质擞守恒定 律，从控制表顽s 流出的净质量流量等于控制体r 内流出的质爨流量： i s i p v n d s = - 鼍妒r ( 1 3 1 ) 其中矿袭示流体的流动速度矢量，”为控制表面上沿外法线方向的单位矢量。由 予控制体是取定的，不隧时间而变，故上式中积分号外的关于时间的偏导数运冀 江苏太季硕士擘谊论文 可以移鬓稷分号蠹，秀瘫高餐公式：矗p y - 根d s = 狮d i v p v d r 。 式矧 脾甲凇= 驴 r 月 一 我霸觚f l 。3 1 ) ( 3 2 ) 考感戮控制侮的任意性，裂我们进一步有 d i v p v ：一望 酣 将冀表示受辍标形式，剐褥到了流体连续方程： 望+ 型+ 必+ 曼竣：。( 1 3 3 ) 魏叙 母 矾 若考虑魄是不可压缕的流体，即p 。瞧为常数，则流体连续方程为 宴+ 宴+ 娑：04 ) 苏秘 这里，鲜，v ，w 分别表示速度矢量v 擞三个坐标轴方向上的速度分量。 根据牛顿第二定律，作用于质量为州的质点上的力与质点的加速度成正比， 辩f ：磁d ，若考察戆对象是流髂，剿牛顿第二定掺有形式；妒辈：f 。其中， 警。a _ 盘v + 杪v ) y = 1i d u f + i d r j + i d w ( 1 3 5 ) 出8 、。 瘫d l d | 外力f 有质量力和表面力组成，本论文中我们仅考虑重力的作用。通过对成 力张爨的计算，我们有 厶= v f ，这里为应力张量e 所以牛顿定律可 以表达戈 p 警= 腭丹勺 ( 1 3 6 ) p i 5 腭十。勺 【j j 0 j 上式中g 为羹力加速度。根据斯托克斯提出的基本假设： 1 ，淀箨楚连续熬，其应力张量t 逶誊是应变率懿线毪丞数； 2 流体是器向同性的，即它的特性与方向无关，因此变形率与坐标系的选 取无羌； 3 当应变率为零时，变形率必须化为流体静压条件f f = 一p 占，其中毛为 k r o n e c k e r 艿函数。 再经过一系列的推导与运算，碍到： 江苏大擘硕士学位论文 p 时隆甜毛 其中五是仪与体积膨胀有关，通常称为体积膨胀系数。将上式带入( 1 3 , 6 ) ， 我们便得到了著名的n a v i e r s t o k e s 方程： p 警= 昭一勖+ 毒h 考+ 嚣 + 毛枷v y ， 波动是自然界中最常见的现象之一，电磁波、声波、水波、地震波等等都是 波动现象。典型的一维波动方程可以如下表示： 娑一cz 芸；08 ) 萨”丽。 u j 两， 这里“0 ，r ) 表示波幅，c 为波速( 或波的相速度) 。方程( 1 3 8 ) 的通解形式为f 甜0 ，f ) = ，0 一c f ) + g ( x + c t ) 萁中，取一c 0 表述了囊玄簧撵瓣波，g ( x 。f ) 袭暴囊友蒋撵载波，渡邃露是e 。 典型的单色平面波解为材e ，f ) = 焉c o s 慨一c o t ) 。其中女= 等为波矢， 甜= 塾t = 2 矿为圆频率，五，f ，r 分别表示波长、频率和周期。显然，波速为c = 曼k 。 波包剿是由一赡波矢和频率相近的波所构成，波包运渤的群邋度为c 。：掣，群 a r 速度也是波包能量盼铸输速度。褥成波包数每一个单惫乎嚣波瓣渡蠡叛各鸯的摺 速度向前传播，显然只有当波速与波矢无关时波包才能保持其形状不变。当 出= ，( 蠡)l ，3 。 为k 的非线性函数，或 c ( 1 3 1 0 ) 与k 鸯关时，构戏没包的不嚣拶匏单色平面波的波i 遮度不周，波包将逐激交形 弥散，这正是甑散的效应，所以关系式( 1 3 9 ) 或( 1 3 1 0 ) 通常被称为色散关系。 流体力学中的波动现象十分丰富。流体魄内部可以传播声波，在不同流体或 同一流体不同密度的界面存在有内波，流体表渐有毛缩波，而水面的波浪、海啸、 潮汐及海岸附i 踵的风暴潮等都悬波动现象。与电磁波莘腿声波不同的是：对水波露 言，琶敝效应和非线性效应十分重要。另外覆只考虑麓力作阁下的水波运动霜寸， 水的压缩性可以忽略。因此，连续方程和动量方程( n a v i e r s t o k e s ) 可以表示为 如下形i 宅： 6 勰苏太肇硕士擘往论史 v = 0 1 3 1 1 ) ( 扣砂川( 暑+ 寸航 n ，加， 同样，这里“( x ， ) = 0 ，u w ) 表示速度矢肇，p ( x ，) 为服力，p 为密度常数， g 为重力加速度，u 为水的运动粘憔系数，x = 沁y ，z ) 为嫩标矢量，：轴铅直向 上，劳数流体无撬动静静建豪瑟为。= 0 。避一参，我霞骰定本终笼蕤运动，翻 对无旋的理想流体，其速度“可比袋示成标量势( 速度势) 西的梯度 “= v f l 。3 1 3 ) 由谶续方程我们可以得知速度势满足l a p l a c e 方程 v 2 审= a 辔= 0 ( i 3 1 4 ) 怨曦承的牯性 乍用，并设东深为d ，扰动露相对z = o 魏流体麴表蕊嵩度为毒。将 ( t 3 1 3 ) 代入( 1 3 1 2 ) 中，对空间变量积分，并选择适当的积分常数( 该常数与 瓣测糖关，与烹闻交量无关，剩在不彩豌遮瘦场蕊潺嚣下，运过逶豢靛变量变换， 可以使该积分常数取值为零) 。由此，我们得到了无旋的理想流体流动的伯努利 方程： 娑+ 三( v m ) 2 十彤：一旦，一d “掌 ( 1 3 1 5 ) 国2 、 74 d 。 、 为得到实际问题的解，我们还浠要知道流体运动所满足的边界条件。盟然， 瘩滚是不链浚遗容器边器熬。数在戮定豹辫体边器露上，漉俸魏泫内速爱必须楚 零，即 娑：0( 1 3 硒) 这垦珂是固体边界面上的单位法向量，方向指向流体。现在考虑与大气接触的流 体的自出表面。芷如上面所假设，蠢由表两的锚壹位移是掌0 ，y ，f ) ，剐自由表面 豹魏嚣方稷是 v ( x ，y ，：，) = = 一掌g ，y ，f ) = 0( 1 ，3 1 7 ) 设自出袭面的流体质点x 的速麓为q ，弼在短时阊旃戳后，餐豳表镒的方程 交为 ，( x + q 硪，f + 嘶) = 0 邋避t a y l o r 公式将上述方程震开，缮到 江苏大学硕士学住论文 ，( 砧) + ( 等v ，卜。= 。 注意n ( i 3 1 7 ) 式，则对足够小的西，有 娑岬v f ：o( 1 3 1 8 ) 流体质点在自由表面上的运动并不是单独的存在的，而是要保持与邻近质点 运动的连续性。考察一个薄层的控制体圪，其上表面为一小块自由面丛。若 中流体质点的法向速度与砩的法向速度不同，则流体就通过的底面以 有限速率损失或获得；同时，由于& 是自由表面，因此，流体只能通过的 侧缘以无限大的速率损失或获得，但这与物理实际是不相符的。这样，自由表面 上的法向速度必须与自由面上流体的法向速度相同，也就是说，自由面上的所有 流体质点除了随自由面整体移动外，只能做切向移动j 也即 业一业 i v f i1 v f l 由式f 1 3 1 8 ) 得到 _ = o f - + “v f = 0 ( z = f 时)( 1 _ 3 1 9 ) 西 。、 其等价于方程： 譬+ 中，+ 中，孝。= 中：( z = f 时) ( 1 3 2 0 ) o t 方程0 3 1 9 ) 或( 1 3 2 0 ) 称为自由表面上的运动学边界条件。在运动学边界条件 中，中和f 都是未知的函数，且在未知表面上，所以，自由面上的运动学方程是 复杂的非线性方程。 进一步，我们考察与作用力有关的动力学边界条件。首先，考虑波长较大 的情况，此时，表面张力对流体的作用相对重力作用而言不太重要，故可以先忽 略。在这种情况下，紧接自由表面之处的压力必定等于自由表面之上的大气压力 p 。，则自由面上的伯努利方程为： 詈+ 丢( v 。) 2 蟛= 一告。( z = 善时) ( 1 3 2 1 ) 若考虑瘤体表面的张力作用，微曲曲面流体中邻近表面的压力近似为 p = p 。一d ( 等+ 等 ，忽， 2 a 卅l 器+ 萨j ( 1 3 2 2 ) 江苏太擘硕士学位论文 其中岱为滚俸表嚣鹣强力系数。辩肖： 詈十三脚罗+ 菇一号( 窘十雾卜一告e z = 善时，辑弛， 方糨( 1 。3 2 1 ) 和方程( 1 3 2 3 ) 也称为自由面上的动力学边界方程。 下面我们攥导些常觅的永波方程。为表达的篱洁葙求解熬方倭，首先引入 两个重要的无量纲的参数： 舻翮ts = 令 这墨k 为波数( 或波矢) ，d 为静止流体表疆豹高度( 水深) ，a 为自由表瓣的振 幅。 霰设和# 都是、鬃，著黩。) = 。红2 j 0 l i m i n f p ( f “( z ) ，厂”( y ) ) = 0 l i ms u p p ( f ”( x ) ，f ”( y ) ) 0 v x ，y s ，x y v x ，y s v x s ，v p p ( f ) 其中n ( f ) 为f 的非游荡集，p ( f ) 为厂的所有周期点集合，则称厂为l i y o r k 意义下的混沌。 ( 2 ) d e v a n e y 意义下的混沌 江苏大学硕士学住论文 设( m ，p ) 为一度量空间，f ：m 斗m 为m 上的连续自映射，称离散动力 系统( m ，) 为d e v a n e y 意义下的混沌，如果成立有 f 敏感的依赖于初值，即存在占 0 ，使得肘上任意一点x m 的任 一邻域u ，当y u 时存在n 0 ，使得p ( ，“( x ) ，厂”( y ) ) j ： f 是拓扑可迁的，即对m 的任意非空丌子集u 和v ，存在k 0 ，使得 f 。( u ) n v 妒 f 的周期点p ( f ) 在m 上稠密； 则称厂为d e v a n e y 意义下的混沌。 ( 3 ) m a r o t t o 意义下的混沌 设r ”是玎为欧氏空间，为r ”中的范数，f ：r “- r “是r 上的一个连续 映射，若存在 一个正整数，使对每一个整数m n ，厂有周期m 的点； ，存在一个s c r a m b l e d 集s ，即s 为一个不可数的非周期点集，使得 ( a ) f ”( 5 ) c s ，对每一个玎 0 ： ( b ) h ，y s ，x _ y ，有 ! i m s u p ( x ) 一f ”( y ) l o ( c ) 讥s ，y p ( 厂) ，有 ! i ms u p i i s ”( 工) 一厂”( _ y ) | | o ( d ) 存在s 的一个不可数子集s 。，v x ，y s o 有 憋i n fj l s ” ) - f ”( j ，) = o 则称为m a r o t t o 意义下的混沌。 4 江苏大学硕士学住论文 第二章有界域上的o s t r o v s k y 方程的c a u c h y 问题 l a o s t r o v s k y 在1 9 7 8 年提出在考虑地球自转影响f 洋流的运动问题，并给 出了此时的洋流运动方程一o s t r o v s k y 方程： ( “，一肛一+ 02 ) 。) ，= y u ( 2 0 1 ) 这里，y ，p 都是常数。参数卢决定了色散的类型，参数y 0 反应了旋转影响的 强度。0 a g i l m a n 等利用反散射方法证明了该方程无行波解。 在( 2 0 1 ) 中，我们令y = 0 ，两边关于x 积分，该方程就演化为k d v 方程： u 一“。+ 2 u u 。= 0 ( 2 0 2 ) 另外一方面，从形式上看，该方程极其类似于k p 方程： ( 坼+ 。+ 2 u u 。) ，= “删 f 2 0 3 1 v v a r l a 1 0 v 和y u el i u 在置空间中研究了0 s t r o v s k y 方程的c a u c h y l b 题，得到了 当s 量解的局部存在性，这里置：矿h 。( r ) i f 一( 字) 日s ( r ) j 厂在x 。中 龇。彤卜纠。 本文研究了o s t r o v s k y 方程在h 。空间的初值问题，得到当硪时，解 u ( x ，) 整体存在唯一。我们考虑如下问题： ( “z 一9 一+ “x ) x 。州 x n c r ( 2 o 4 ) 【“( x ，0 ) = “o ( x ) 在本文中，( ，) 表示通常意义下的内积，h 表示由内积给出的范数， 川w = d “k ，显然，这里的范数与日f 中的范数是等价的。在本文中，我们汜 | | | | 。：= 础，w = 。，卜i i r = 。另外，在本章中，f 总是表示l 。在本 章的最后，我们讨论了0 s t r o v s k y 方程的解与对应的k d v 方程解之间的关系。我们 证明如果u o 联( q ) ，当，寸0 时，o s t r o v s k y 方程的解在r ( q ) 意义下收敛到对 江苏大学硕士学位论文 2 1 先验估计 得 为了得到一些守恒量，首先，我们对( 2 0 4 ) 式两边关于x 在q 上积分，可 j “出：0 为了研究方便，我们将( 2 0 4 ) 式改写为 ( 2 1 1 ) 一m 。+ 2 t t u ，= y d 。1 甜 ( 2 1 2 ) 下面，用“对( 2 1 2 ) 式做内积，利用分部积分和边界条件，得到 呈f “：d x ：0 以 即 “l 。= | u o i 。 从而知，“在口中一致有乔。 我们再用一p u 。+ “2 一y d 一2 “对( 2 1 2 ) 式做内积，即 ( 一。o + “2 一y d 一2 “，“：一卢“舢+ 2 u g y d 一1 “) = 0 ( 2 1 3 ) 利用分部积分和边界条件，得到 罢j ：= 雕+ 考( d - l + 如出= 。 ( 2 ) 两边对f 积分，得： 肪，2 + d - l u ) 2 + 1 出= 妣乏+ d - t u o ) 2 + 1 出 ( 2 1 5 ) 由p o i n c a r e 不等式， 由h o l d e r ，a g m o n ，y o u n g 不等式可以得到 ( 2 1 6 ) 删州胁i i 碱刊肌以洳卜赤俐? ( z ) 由( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 可以得到： 即 ；警卜丽3 l l u l l ，k ( 2 1 8 ) 江苏太学硕士学位论文 其中k = 到： 彦肛州：+ 赢陋硼洲f 从而可知1 1 在日中一致有界。 接下来，为了讨论“在抒2 中的有界性，我们先用d 4 村对( 2 1 2 ) 做内积，得 丢鲁 三出一zl ：“。汰一zl “。出= 。 ( z - 。) 用l l l * i 。对( 2 1 2 ) 式两边做雨积，得到： 要丘衽；呔一l 斑+ f lf u u 。u 森+ 2b 。i 斑一yk t 妇：e ( 2 。l 。l e a t 用对( 2 。1 2 ) 两边做内积，得到 罢l 。：威一2 l 峨出+ 2 e 1 5 虬出+ 2 f 。：出一，l ；d t “出：o ( 2 1 i t ) a t 阁“3 对( 2 1 2 ) 式两边作内积，得到 丢妄丘4 敷一矽l “：级一d n 3 d 。u d x = 。 ( z 。t 。；2 ) e b ( 2 1 9 ) ( 2 1 1 0 ) ( 2 1 1 1 ) ( 2 1 ，1 2 ) z 1 4 ： 妄i ：= ，成枷咖硒5n 蚓。y 弦姗等胁“斑( 2 1 1 3 ) 而l p ： d 1 “出i p ；出忪。“k 曼刘d 。“d “忻- c 2u “1 1 ：1 1 “k c ：k 剐i i 。 p3 d - 1 u d x _ a x l l , ,“峪冲哪“1 3 d x c 。p2 叔。 c ：i l u l l ：l l “例“阼= 啡蚓i 墨c ：k , z l u 。扎 ( 2 1 t 5 ) 瘤( 2 。1 。1 3 ) ( 2 1 1 4 ) ( 2 。1 。i 5 ) ，褥： 丢f ( 3 凰“2 + l o u u ：+ 瑟5 幽教墨彭：( 2 1 1 6 ) !15 其中k ：= c 2 k 2 t u 。 l 。+ 吱挺f + c 。必刘“。蝰。 对( 2 1 1 6 ) 式在【o ，r 上积分，得 ，卢肛虮1 。肛出十嘉p4 出，胁瑟出枷m m 砀si o , a x 捣r 1 7 江苏大学硕士举住论史 而 ，矧：f u = d x l l “1 1 。讣咖罐叫睡彭汛瞎 p 蠢蔓肘刮乩阐洳眨- i l 蚓眺羔k i 蚓 出( 2 ，1 t 7 ) ( 2 1 t 8 ) ( 2 1 1 9 ) ，可得： 瓢+ 嘉， ( 2 1 1 8 ) ( 2 。l ，1 9 ) ( 2 1 2 0 ) 其中蔗，= 帆睦+ 嚣群陋。畦。从而，我们得到对v t , t o 川，有“在日2 模中 有界。 蠲d 6 籍瓣2 1 2 ) 式嚣边骰肉强，我们褥到： 而 三2 旦d r l 二赤+ 5 k “三威= 0 ( 2 1 2 1 ) l j 哎n ：出 f 五出帆u 。酬弘“幢蔓k ；( 世，+ j k 西2r ) ；1 1 ( 2 1 2 2 ) 出( 2 1 2 1 ) ( 2 1 2 2 ) 可得到： 翱降膨每嘲1 1 由g r o n w a l l 不等式，得到： 糍地糯( 2 k k 噶粕( 2 1 2 3 ) 姨蠢，对予上述r ，f 【o ，t 】，有封在3 上有赛。 最后，我们来证明在五2 中有界。 由( 2 1 2 ) 式得：“，= 励。一2 u u ，+ y d “甜