（理论物理专业论文）几种强关联模型的严格解及热力学性质研究.pdf

摘要 在统计物理中，配分函数是研究体系热力学性质的基础，一旦知道了物理系统的 配分函数，就可以方便地计算各种物理量。对于一个给定的物理系统，如何精确计算 其配分函数是相对比较困难的问题。通常，人们依赖各种近似方法，简化计算。或运用 计算机进行数值计算。对一些特别的强关联系统，人们可以通过特定的方法，给出系 统的本征能谱或配分函数的解析表达式，从而实现对体系热力学量的精确计算。本文 将详细讨论分数统计h u b b a r d 模型、b a r i e v 模型、畸变的) ( x z 模型的精确解以及热力 学性质。 在本文第一章，我们简单介绍了精确可解模型的基础知识。 系统豹边界效应是凝聚态物理中的一个很重要的闯题，各种带边界条件的精确可 积系统已成为研究的热点，以期揭示边界效应对系统的影响。本文的第二章详细研究 了分数统计h u b b a r d 模型开边界条件下的精确解。在这个模型中，由于粒子遵守分数 统计，弓l 入了依赖于坐标和自旋的变形参数，这导致系统波蕊数发生了变化，关键是 如何构造与变形参数相关的不同区域的波函数；采用坐标b a 方法进行求解时，要使模 型主体部分可积，除了要求两体散射矩阵满足y a n g - b a x t e r 方程外，变形参数必须满足 一定的约柬关系，在此，求褥了两体散射矩阵也与变形参数有关。在开边赛条件下，德 到了b e t h ea n s a t z 方程、能量本征值、以及与可积性相容的四种边界条件。 在本文的第三章，主要研究了分数统计b a r i e v 模型周期性条件下的精确解，并讨论 了排斥和吸引势情况下的热力学性质。采用c b a 方法求解分数统计b a r i e v 模型，得到 系统的能谱和b e t h ea n s a t z 方程。由于分数统计的引入，不同区域的波函数与变形参数 相关，通过计算和分析，我们得到可积时变形参数应满足的约束条件；考虑分数统计时， 首先对粒子位置坐标确定一个顺序，而周期性条件意味着结果不依赖于起始点选择，这 两点导致在周期条件下波函数将产生相移，因此，对角化自旋自由度时与以前讨论的 问题有所差别。根据弦假设，分别在排斥势和吸引势两种情况下求解了b e t h ea n s a t z 方 程，得到了系统的热力学b e t h ea n s a t g 方程和自由能的表达式，并分析了t b a 在一些 极限情况下，鲡基态、强、弱作用稻舍下的一些性质。 在本文的第四章，我们首先构造了一个晶格畸变x x z 模型的哈密顿量，通过定义 良好的波函数试探解，利用坐标b e t h ea n s a f 二z 方法，对系统哈密顿量进行了精确的对 角化，得到了系统的能谱和b e t h ea n s a t z 方程，并研究了系统的一些热力学性质。 g a u d i n 模型是一类新爵勺量子- 7 2 模型，g a u d i n 模型的可积性与单李代数和半单李 代数的经典r 矩阵相关。在本文的第五章，我们给出了基于典型李代数a 。，b 。，c k ，k 的 椭圆型l a x 算子，通过计算相应的线性p o i s s o n - l i e 括号，我们获得与之相对应的r 矩阵 结构：同时，给出了运动积分的生成泛函t ( u ) ，由t ( 让) 可生成g a u d i n 模型互相对易的一 组h a m i l t o n i a n s ，系统可积。 关键词：分数统计h u b b a r d 模型，分数统计b a r i e v 模型，畸变x x z 模型，b e t h e a n s a t z ，量子反散射方法，椭圆g a u d i n 模型，l a xp a i r u s t u d yo nt h ee x a c ts o l u t i o n so fs o m es t r o n g l yc o r r e l a t e d s y s t e m sa n dt h e i rt h e r m o d y n a m i cp r o p e r t i e s a b s t r a c t i ns t a t i s t i c a lp h y s i c s ，t h ep a r t i t m nf u n c t i o ni st h ef o u n d a t i o nf o rc a l c u l a t i n gt h e t h e r m o d y n a m i c so ft h es y s t e m o n c ek n o w nt h ee x a c tp a r t i t i o nf u n c t i o n ，i ti se a s y t og e tv a r i o u sp h y s i c a lq u a n t i t i e ss u c h 鹄e n t r o p y , s p e c i f i ch e a ta n dm a g n e t i cs u s c e p - t i b i l i t ye t c g i v e nap h y s i c a ls y s t e m ，h o wt oe x a c t l yc a l c u l a t et h ep a r t i t i o nf u n c t i o n i sq u i t ec o m p l i c a t e d u s u a l l y , t h ep a r t i t i o nf u n c t i o nc o u l db eo b t a i n e db yu s i n gs o m e a p p r o x i m a t i o n so rn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ，w h i c hc o u l dn o tg i v ea l la n a l y t i ce x p r e s s i o n i no r d e rt oi n v e s t i g a t et h ec r i t i c a lp h e n o m e n ae x a c t l y , s b m es p e c i a lm e t h o d sw e r e f o u n d e dt oc a l c u l a t ea n a l y t i c a l l yt h ee n e r g ys p e c t r ao rt h ee x a c te x p r e s s i o no ft h e p a r t i t i o nf u n c t i o nf o rs o m es t r o n g l yc o r r e l a t e ds y s t e m s f u r t h e r m o r ei ti sp o s s i b l et o s t u d yt h et h e r m o d y n a m i c a lp r o p e r t i e so f8 y s t e m s i nt h i st h e s i s ，w ew i l ld i s c u s si n d e t a i lt h ee x a c ts o l u t i o no fb a r i e vm o d e la n dh u b b a r dm o d e lw i t hf r a c t i o n a ls t a t i s t i c s a n dd e f o r m e dx x z m o d e l ，m e a n t i m e ，d i s c u s s i n gt h e i rt h e r m o d y n a m i cp r o p e r t y t h e o r g a n i z a t i o no fp r e s e n tt h e s i si sa sf o l l o w i n g ： t h ef i r s tc h a p t e rd e d i c a t e dt or e v i e ws o m eb a s i cc o n c e p t i o no ft h ee x a c t l ys o l v a b l e m o d e l s t h eb o u n d a r ye f f e c t si sa l li m p o r t a n tt o p i ci nc o n d e n s e dm a t t e rp h y s i c s t h e e x a c ts o l v i n gs y s t e mw i t hv a r i o u sb o u n d a r yc o n d i t i o nh a sb e c o m er e s e a r c hf o c u st o u n c o v e rt h ea f f e c t i o no fb o u n d a r yo nt h es y s t e m 。i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ed i s c u s st h e e x a c ts o l u t i o no ft h eh u b b a r dm o d e lw i t hf r a c t i o n a ls t a t i s t i c su n d e ro p e nb o u n d a r y c o n d i t i o n s i nt h i sm o d e l ，t h ed e f o r m a t i o np a r a m e t e rd e p e n d so ns p i n sa n dc o o r d i n a t e s o ft h ep a r t i c l e so b e y i n gt h ef r a c t i o n a ls t a t i s t i c s ，w h i c hg i 惯r i s et ot h ec h a n g ei nt h e w a v ef u n c t i o no ft h es y s t e m t h ek e yp o i n ti st oc o n s t r u c tt h ew a v ef u n c t i o ni n d i f f e r e n td o m a i n sa s s o c i a t e dw i t hd e f o r m e dp a r a m e t e r b ym e a n so ft h ec o o r d i n a t e i i i b e t h ea n s a t z ( c b a ) ，t h em o d e lb u l ki n t e g r a b i l i t yr e q u e s t st h a tn o to n l yt w o - b o d y s c a t t e r i n gm a t r i xs a t i s f i e st h ey a n g - b a x t e rr e l a t i o nb u ta l s od e f o r m a t i o np a r a m e t e r h a v ear e s t r i c t i v er e l a t i o n m e a n w h i l e ，t h es c a t t e r i n gm a t r i xsi sa l s oa s s o c i a t e dw i t h d e f o r m e dp a r a m e t e r u n d e ro p e nb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，w eo b t a i nt h eb e t h ea n s a t z e q u a t i o n sa n dt h ee n e r g ys p e c t r u ma n df o u rc l a s s e so fc o m p a t i b l ew i t ht h ei n t e g r a b i l i t y b o u n d a r yf i e l d s i nt h et h i r dc h a p t e r ，w eg i v et h ee x a c ts o l u t i o no ft h eb a r i e vm o d e lw i t hf r a c t i o n a l s t a t i s t i c su n d e rp e r i o d i cb o u n d a uc o n d i t i o na n dd i s c u s st h et h e r m o d y n a m i cp r o p e r t y f o rb o t hr e p u l s i v ea n da t t r a c t i v ei n t e r a c t i o n s u s i n gt h ec b am e t h o d w eo b t a i nt h e b e t h ea n s a t ze q u a t i o na n de n e r g ys p e c t r u mo ft h eh a m i l t o n i a no fb a r l e ym o d e lw i t h f r a c t i o n a ls t a t i s t i c s ，d u et ot h ef r a c t i o n a ls t a t i s t i c s ，t h ew a v ef u n c t i o n si nd i f f e r e n t r e g i o n sc o n n e c tw i t hd e f o r m e dp a r a ：】m e t e r t h r o u g hc a l c u l a t i o n sa n da n a l y s i s ，w eo b - t a i nas e t so fc o n s t r a i nc o n d i t i o n sf o rd e f o r m e dp a r a m e t e r st ob e s a t i s f i e d c o n s i d e r i n g f r a c t i o n a ls t a t i s t i c s ，w er e s t r i c tt h ec o o r d i n a t et oas e c t o ro fo r d e r e dc o o r d i n a t e s h o w - e v e r ，t h ep e r i o d i c i t ym e a n st h er e s u l tb e i n gi n d e p e n d e n to nw h e r et h es t a r t i n gp o i n t w a ss e t t h e s et w op o i n t sr e s u l tt h ew a v ef u n c t i o np h a s e ss h i f t ，a n dd i a g o n a l i z i n g t h es p i nd e g r e eo ff r e e d o mo ft h eh a m i l t o n i a ni sd i f f e r e n tf r o mt h a tb e f o r e w ea l s o d e r i v eo u tt h et h e r m o d y n a m i cb e t h ea n s a t ze q u a t i o n sa n df r e ee n e r g yb a s e do nt h e s t r i n gh y p o t h e s i sf o rb o t hr e p u l s i v ea n da t t r a c t i v ei n t e r a c t i o n s t h e s ee q u a t i o n sa r e d i s c u s s e di ns o m el i m i t i n gc a s e s ，s u c ha st h eg r o u n ds t a t e ，w e a ka n ds t r o n gc o u p l i n g i nt h ef o u r t hc h a p t e r 。w ec o n s t r u c t e dan e wt y p eo fd e f o r m e d x x zm o d e l t h r o u g ht h ew e l l d e f i n e da n s a t zo ft h ew a v ef u n c t i o n ，w ed i a g o n a l i z e dt h eh a m i l - t o n i a no ft h es y s t e mb yc o o r d i n a t eb e t h ea n s a t zm e t h o d w eo b t a i n e dt h ee n e r g ya n d t h eb e t h ea n s a t ze q u a t i o n so ft h em o d e la n da l s od i s c u s s e ds o m et h e r m o d y n a m i c so f t h em o d e l g a u d i ns y s t e mi san e wq u a n t u mi n t e g r a b i l i t ys y s t e m ，t h ei n t e g r a b i l i t yo fg a u d i n m o d e li sr e l a t e dt oc l a s s i c a lrm a t r i c e so fs i m p l el i ea l g e b r a sa n ds e m i s i m p l el i e a l g e b r a i nt h ef i f t hc h a p t e r ，w ec o n s t r u c tt h ee l l i p t i cl ( 乱) o p e r a t o rb a s e do nt h e c l a s s i c a ll i ea l g e b r a 厶，鼠，g ，d 。w i t ht h eh e l po ft h ek n o w l e d g eo fe l l i p t i cf u n c t i o n ， w ep r o v et h a tt h el i n e a r - p o i s s o n l i eb r a c k e t sr e l a t e dt ot h e 舀v e nl a xm a t r i xl ( a ) g i v e s ar - m a t r i c e ss t r u c t u r e m e a n w h i l e ，w ep r e s e n tt h eg e n e r a t i n gf u n c t i o n so fi n t e g r a l so f m o t i o nt ( ) s ot h a tt h ef u n c t i o nt ( u ) g e n e r a l e saf a m i l yo fc o m m u t i n gh a m i l t o n i a n ， s y s t e mi si n t e g r a l k e y w o r d s ：f r a c t i o n a ls t a t i s t i ch u b b a r dm o d e l ，f r a c t i o n a ls t a t i s t i cb a r i e v m o d e l ，d e f o r m e dx x zm o d e l ，b e t h ea n s a t z ，q u a n t u mi n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d ， e l l i p t i cg a u d i nm o d e l ，l a xp a i r v 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学 位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。 学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时，本人保 证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北 大学。 拿裹蓑妻嚣霎墓霎? 翌指导教师签名煺 学位论文作者签名：堡笠i 耄指导教师签名矿锣舻、 2 i ) 0 7 年舌月7 日力7 年占月口日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西 北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的 同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名：嘈每u 克 2 0 0 7 年6 月7 日 第一章引言 人们通常运用统计的方法研究多粒子体系的宏观熟学性质及其变化规律。为了得 到体系的热力学函数，g i b b s 【1 】引入了配分函数的概念。配分函数是最基本的热力学 函数，在统计物理中起着至关重要的作用。对一个温度为t 的热力学体系，如果其微观 态s 的能量为e ( s ) ，其配分函数被定义为 z = 唧【警l ， ( 1 1 ) 式中k 是玻尔兹曼常数。利用配分函数，可以容易地得到体系很多的宏观量，比如自由 能f ，内能u ，比热c ，和磁化率始 f = 一k t i n z 。 。2 i 丽， u = 一丁2 而a ( 亍f ) ， ：一02fx ( 1 2 ) a h 2 2 一。 【l 2 ) 式中为系统总粒子数，日为外界磁场强度。 所以，求解一个体系的热力学问题便归结为求体系的配分函数。事实上，一个真 实体系的配分函数是非常难求解的。人们不得不采用些近似方法计算真实体系的配 分函数，但在描述临界点附近的行为时均是失败的。因此，人们试图用一些简单的模 型来代替真实体系以便使体系的配分函数能够完全计算出来。尽管它不能给出真实体 系热力学函数的信息，但因为临界指数具有普适性，因而可从简单模型中得到真实体 系的l 临界指数，从而有效地描述其在临界点附近的行为。精确可解的统计模型便来源 于这个思想。 1 1 可积性概念 物理系统的可积性是指系统的运动状态或者与热力学性质相关的热力学函数可以 严格的用基本函数解析的表示出来。对哈密顿系统，其状态可由一组动力学方程决定， 如果人们能严格求解这组方程，并满足一定的物理条件，则该物理系统是可积的。 通常系统的可积性有以下几种表述方式：刘维尔可积、l a xp a i r 可积、卜矩阵可 积、砒工可积等，它们之间有着一定的联系，但不严格等价。下面我们简单回顾其基本 定义。 对一个具有n 个自由度的经典哈密顿系统，如果可以找到n 个相互独立的整体运 动积分厶( p ，g ) ( 1 = 1 ，2 ，) ，且相互对合，即任意两个运动积分的泊松括号为零， 即 动= 喜 豢豢一o 轨l j 瓢o l q j - o ，瓴j _ 1 ，) ( 1 3 ) 其中口= ( q z ，啦，q n ) 和p = ( p 1 ，仡，p ) 分别是广义坐标和广义动量，则称这 样的系统是可积的，这也称为刘维尔定理 2 】。 对刘维尔可积系统，人们可以通过正则哈密顿变换给出所求解体系的守恒量。在 实际应用中，如何寻找正则哈密顿交换是相当复杂的，它依赖于具体的体系。此外刘 维尔可积是定义在有限自由度系统的，如何推广到无限维情况也是一个问题。而这恰 恰是物理学最感兴趣的。 为了研究这一问题，我们回亿最简单的l a xp a i r ( l ，m ) 的基本定义。如果一对方程 掣叫州巩掣= 脚雌，t ) ( 1 4 ) 的相容性条件 a 三( z ，t ) 一a 0 订( z ，t ) + 【l ( x ，t ) ，m ( x ，t ) 1 = 0( 1 5 ) 等价于某物理体系的动力学方程，则称方程( 1 4 ) 为该体系的l a x 形式，借助反散 射方法，人们可以求解相应的动力学体系。对高自由度体系，我们可以推广其l a x 形 式。为简化叙述，我们假定体系为离散空间格点空间。可通过在辅助空间引入l a x p a i r ( l ，m ) ，厶m 取值在李代数g ，定义在系统相空间上的两个函数，引入辅助函 数q ( t ；p ) ，其中t 是时间，肛是谱参数。若总可找到矩阵函数岛( t ；p ) ， 白( t ；p ) ，使 得岛( 岔弘) 作用在鸟( p ) 上产生平移，即 奶+ 1 ( 友p ) = 易( 肛) 包( 缸肛) 垡型d 蔓盟：坞0 ；也奶( 戈(16)t 一 。，、， 很显然，如果岛似) 可以改写成白似) = 1 + l j - ( p ) ，则方程( 1 6 ) 是方程( 1 4 ) 的离散 形式。 2 若系统的哈密顿运动方程可纳入如下的l a x 方程 掣半= 坞“t ；u ) l a 蝴) 一础；p ) m a 钰) ( 1 7 ) 通过l a x 方程很容易构造转移矩阵 i ( l ) = t r ( l n 二1 ) ( 1 8 ) 当满足周期条件 蛳+ 1 = 以 ( 1 9 ) 时，( l ) 就为守恒量 t r - 夏“( l n 工1 ) = 打( 朋+ 1 l l t l n l i m l ) = 0 ( 1 1 0 ) 即，d i ( # ) d t = 0 。这就意味着系统有无穷多守恒量，称该系统l a xp a i r 意义下可积。 有l a x 方程存在，很容易构造无穷多守恒量，但并没有证明这些守恒量彼此 对合。因此，l a x 对表示存在，并不自动满足刘维尔意义下的可积，只有当守恒 量n 哥在p o i s s o n 括号下对合 t r a l ，t r a l ”) = 0 ， 时，系统才在刘维尔意义下可积。 另一种证明刘维尔意义下可积的方法，寻找满足方程 l 1 ( u ) 譬如( w ) ，= 【r ( 让，口) ，l 1 ( q ) + l 2 ( u ) 】 的r 矩阵，有r - 矩阵存在，就可证明守恒量m 驴在p o i s s o n 括号下对合。由于p o i s s o n 括 号要满足j a c o b i 恒等式，所以卜矩阵不能是任意的，它必然受到某种关系的限制，这种 限制关系称为经典y a n g - b a x t e r 方程( c y b e ) 。 对于量子系统，要保证系统可积，需要找到系统的y a n g - b a x t e r 关系，由它可构造 出守恒量的生成泛函，可求得无穷多守恒量，因而y a n g - b a x t e r 关系是判断量子系统是 否可积的充分条件。 严格而言，一有限系统是否可积取决于人们是否能够找到足够数量的相互独立的 守恒流，如果仅从守恒量的数目来判断系统的可积性是不充分的，对有限系统可以肯 定上述无穷多守恒流是不完全独立的，但守恒量是否完备则很难确定。就我们所知，到 目前为止该问题还没有严格的数学证明。 3 1 2 可积系统的求解方法 目前可积系统的求解方法有：坐标b a 法、a b a 法、解析b a 法、渐近b a 法。 坐标b a 法( c o o r d i n a t eb e t h ea n s a t z ) 的基本思想是：波函数是分区域的函数， 在区域内部没有相互作用，波函数可写成平面波的叠加形式，其中叠加系数是待定的； 不同区域波函数应满足连续条件，将不同区的波函数代入薛定愕方程，由波函数的连 续性条件，可确定出波函数振幅之间的关系，采用矩阵形式，即为散射矩阵s ；同时s 矩 阵还应满足一些自洽性条件，这些自洽性条件现今通称为y b 方程。 坐标b a 方法是相当广泛的一种求解非线性问题的方法，它的本质是把通常的微分 方程本征值问题转化为代数方程。关健问题在于如何假设试探解。局限性是：仅求出哈 密顿量的本征值；且在未求出本征谱前，人们对于系统是否可积并不确信。c o o r d i n a t e b e t h ea n s a t z 方法( c b a ) 的产生是证明可积性的一个里程碑，它已被非常成功地应 用于解决相互作用电子模型，例如：x x x 自旋链模型【3 】、k o n d o n 模型【4 】c a l o g e r o - m o r s e 模型【5 】5 。 f l q f a d d e e v 和t a k h t a j a n ( 6 】于1 9 7 8 年提出的量子反散射方法( 代数b e t h ea n s a t z 方 法1 是处理低维量子可积系统的一种普适而有效的方法。此方法已被成功的应用于许 多不同物理背景的可积模型，如：x x x 模型、x y z 模型、o j 模型等，使得完全可积系 统理论的研究具有丰富的内容。 a b a 方法与c b a 方法的不同之处是：a b a 方法可同时求出所有守恒量的本征值。 量子反散射方法中一个关键工具是l a x 算子，l a x 算子是一个n n 的带有谱参数a 的 矩阵，此矩阵所张的空间称为辅助空间，其矩阵元为量子力学算符，矩阵元作用的空 间称为量子空间。为确保系统可积，l a x 算子应当满足一定的限制条件，即著名的量 子y a n g - b a x t e r 方程( q y b e1 ： r 1 2 ( p v ) l 1 i ( p ) l 2 i ( v ) = l 2 i ( v ) l “( p ) r 1 2 ( 肛一口) ，( l 1 1 ) 这里下标1 ，2 表示辅助空间，下标i 表示量子空间，见2 矩阵为n 2 n 2 的c 数矩阵。 对于y 幻哥b 哦e r 方程不同类型的解及其中的谱参数的不同取值，分别联系着不 同的可积模型( 如：x x x 模型，x y z 模型，c a l o g e r o - s u t h e r l a n d 模型，t - j 模型) 和对应 的量子代数结构，是研究物理问题的出发点。 4 有t i 子y a n g - b a x t e r 方程，我们就有办法构造一组包括哈密顿量在内的守恒量。 i v 例如，若定义t ( t 正) = n 厶( p ) 表示m o n o d r o l y 矩阵，丑，正分别定义为五= to ，以 f = l 及t 2 = iot 。则有下面一般的；l 亍：y a n g - b a x t e r 关系 尺1 2 缸一u ) 丑 ( p ) 乃f ( ) = t 2 t ( 矿) n i ( 肛) r 1 2 一u ) ， ( 1 1 2 ) 两边对辅助空间取迹，可得 卜( p ) ，下( | ，) 】_ 0 ， ( 1 1 3 ) 这里r ( p ) = 打( t ( u ) ) 为转移矩阵。可见，转移矩阵相对于不同的谱参数p 是相互对易 的。因此，这个量子体系可积。 一般说，选择守恒量的方式可以取打( ? ( “) ) 的展开式，亦可取i n t r ( t ( u ) ) 的展开式， 主要看它的经典极限形式而定。例如，这些守恒量( 定义为h j ) 可以通过下面的方式生 成 1 n r ( = 马 ( 1 1 4 ) j 显然， 吼，巧】= 0 ( 1 1 5 ) 当然，取哪个守恒量傲为哈密顿量h ，要根据具体物理模型而定。它可以是马中的某 一项或某些项的组合。在一些模型中，哈密顿量就取为i n 丁( p ) 展开式的一阶算符系数， 即 h 三些掣i o ， ( 1 1 6 ) a , 同时，l a x 算子满足归一化条件：工叮( o ) = ，哈密顿量可直接由l a x 算子表示为 h = 嘞仙 j + t = 岛+ t ( o ) 珏t ( o ) = 岛+ z ( o ) 易+ z ( o ) ( 1 1 7 ) 这样，就可构造周期条件下，具有近邻相互作用的可积模型。凝聚态物理中重要的可 积模型：自旋链模型、h u b b a r d 模型、t - j 模型均可由此得到。 渐近b e t h ea n s z t z 方法是处理长程关联系统能谱的有效方法，是由两体散射矩 阵( 或波函数的相移因子) 来区别各种不同的态和决定系统能量的本征值，但是，该 5 方法要求对系统可积性进行独立的证明。该方法的正确性及有效性完整地体现在具 有s i n h - 2r 势场的长程相互作用可积模型和一维t o d a 链上【7 】。 解析b e t h ea n s a t z 方法的关键是，要保证本征值的解析特性，在每个极点的残数都 必须为零。 自c h e r e d n i k 【8 】和s k l y a n i n 【9 研究有限体积系统的可积性以来，人们越来越注意 可积性对边界条件的依赖关系。在可积模型中，由于开边界问题的研究可以应用到边 界效应、杂质问题等多方面，近来也受到普遍的关注。在这种情形下，y a n g - b a x t e r 方 程( y b e ) 不再是系统可积的充分条件，而s k l y a n i n 引入的新代数结构所谓的反射 方程( 或称s k l y a n i n 代数) 是开边界条件下系统可积性的保证。利用反射方程，他构造了 系统的转移矩阵，并证明了不同谱的转移矩阵间相互对易，因此，系统可积。h a m i l t o n 量 的边界项由反射矩阵决定。开边界条件可以用满足反射方程的反射矩阵来描述，因此， 反射方程的解也是一类很重要的研究课题。 然面，s k l y a n i n 的方案仅仅适应r 矩阵具有t 对称性、p 对称性、么正性和交叉么正 性的可积模型。m e z i n c e s c u 和n e p o m e c h i e 将s k l y a n i n 的方案推广到r 矩阵具有p t 对 称性的系统f 10 】，y u e 等人【1 1 精确求解了最一般的具有s 己勺协 m ) 对称性的顶角模 型。y u e 等人又将其推广到r 矩阵具有p c t 对称性、么正性和弱交叉对称性的系统 1 2 j 。 这样，使得许多重要的可积模型可纳入这些拓展后的s k l y a n i n 方案中。利用嵌套b e t h e a n s a t z 方法，f o e r s t e r 和k a r o w s k i 【1 3 】精确求解了开边界条件下具有s 州口( 2 ，1 ) 不变性的 超对称t j 模型。g o n z a l e z r u i z 给出了该模型的更一般的反射k 矩阵( 1 4 1 。d ev e g a f 1 5 】对嵌套b e t h ea n s a t z 方法作了进一步的推广，求解开边界的如顶角模型。 对量子可积系统的深入研究揭示了物理学和数学在一些领域如代数结构等方面的 相互联系。例如，对y 如争b a x t e r 方程的深入研究直接导致了量子群的产生【1 6 1 【1 7 1 ， 具有量子群的物理学系统，一定是开边界【1 8 1 。量子群与量子对称性是可积系统研究 的最新发展方向，在广泛的物理问题中有重要的应用。 1 3 可积模型 强关联电子体系一直是凝聚态物理和数学物理的重要研究分支，尤其高温 超导的发现f 1 9 j 傻其倍受关注。而最受关注的模型是已被广泛研究的h u b b a r d 模 6 型。h u b b a r d 模型【2 0 】最早是用来解释过渡金属化合物的磁性质提出的，它的精确解 已由l i e b 和w u 于1 9 6 8 年给出 2 1 1 ，其量子涨落由同一格点的库仑排斥作用引起。后 来发现它和费米液体理论1 2 2 1 ，高温超导中的氧化铜平面都有联系1 1 9 从而引起了 人们广泛的研究兴趣，成为近几年来凝聚态物理中的一个研究热点。 一维h u b b a r d 模型的哈密顿量可写为 工2工 日= - t ( 岛，i 咖+ c - ) + 矿竹。吼。 ( 1 ，i s ) i = 1 口= lt = 1 式中珐( ，) 是第t 个格点，自旋为盯( 仃= 1 表示自旋向上，仃= 2 表示自旋向下) 的粒子的产生( 湮没) 算 守；n 徊是粒子数算符( n 。= ，0 五，。) ：t 是近邻粒子跳跃振 幅；u 是同一格点库仑作用势的强度；u 0 对应排斥势，u o 为吸引势。对该模型最 早的研究是当耦合常数u 为有限值时m o t t ( 导体绝缘体) 变换和有外加磁场时体系的磁 化行为。l i e b 和w u 还讨论了排斥势时系统的基态和在半充满状态时的激发谱，证明了 半充满对排斥势的h u b b a r d 模型是绝缘体。t a k a h a s h i1 2 3 ) 研究了零温磁化性质，给出了 半充满状态时，排斥势和吸引势下的零温磁化曲线和磁化率。s h i b af 2 4 把t a k a h a s h i 的 结果推广到具有排斥势的任意占据系统。b a h d e r 和w o y n a r o v i c h 研究任意占据系统在 吸引势下的基态特性。t a k a h a s h if 2 5 ，2 6 得到了排斥势下有限温度时的b e t h ea n s a t 方 程，低温比热。l e e 和s c h t o t t m a n nf 2 7 ，2 8 研究了吸引势时系统的热力学性质和低温特 性。系统激发谱的研究在文献f 2 弘3 3 1 中可以找到。文献【3 4 - 3 9 1 中研究了有限大小效 应。临界指数的研究在文献 4 0 ，4 1 中。s h a s t r y ( 4 2 】子1 9 8 6 成功地从一个经典可积模 型的转移矩阵构造y h u b b a r d 模型的哈密顿量。后来，m a a s s a r a n i 推广t s h a s t r y s 的方 法构造3 s u ) h u b b a r d 模型( 4 3 i y u e 等人用l a x 对方法构造了此模型( 4 4 i 。h o u 等人 用c b a 方法给出了周期条件下的精确解 4 5 】。开边界的精确解已由李等人得到1 4 6 】。 人们还研究了各种推广的h u b b a r d 模型，推广方式多采用改变哈密顿量的形 式，s c h u h 和s h a s t r y 【4 7 】提出一种推广的h u b b a r d 模型，引入了依赖于粒子两种不同自 旋取向的指数相互作用，即在原有模型的跳跃项中增加了指数因子作用，这可以解释为 在规范场中带电粒子的相互作用，而且这种作用并不影响系统的可积性f 3 8 】。a n d r e a s o s t e r l o h 等人进一步应用了s h u l z s h a s t r y 的结果，对单粒子、多粒子跳跃及复链形态 的h u b b a r d 模型进行了研究，并指出这种指数相互作用相当于在c b a 方法中引入带有 相因子的平面波，正好抵消跳跃项中引入的指数型相互作用【4 8 】。另一种推广方式， 7 不改变哈密顿的形式，而改变哈密顿量中粒子特性，由费米子变成服从分数统计任意 子。a n d r e a so s t e r l o h 【4 9 】研究了这种模型周期条件的可积性。但开边界条件下的精确 解至今还未见报道。在论文的第二章，我们采用坐标b e t h ea n s a t z 方法给出了此模型在 开边界条件下的精确解。 h i r s c h 于1 9 8 9 年提出了一个新模型f 5 0 ，5 l 】，用于解释高温超导现象。其中电子 或空穴的跳跃与能带的填充情况有关，并且依赖于末态是否为电子所占据。尽管一 维h i r s c h 模型不可积( 除非选取特殊耦和参数f 5 2 ，5 3 ) 。但h i r s c h 模型中存在c o o p e r 型 的空穴对，对高温超导的研究仍具有重要的意义。 b a r i e v 于1 9 9 1 年提出了一个改进可积模型 5 4 1 ，与h i r s c h 模型比较可知，其只在 一个方向上有关联，因此，b a r i e v 模型可被视为半个h i r s c h 模型。b a r l e y 后来将该模型 推广到具有任意分量( n 分量) 的情况 5 5 l ，并证明了它的可积性。其基态、激发态、关 联函数、高温极限、强相互作用耦合极限和弱相互作用耦合极限等情况下的一些热力 学性质在文献f s 5 - 5 8 中已被详细的讨论，具有各种边界场的b a r i e v 模型及其热力学性 质己经被广泛地研究【5 9 - 6 2 】。 在论文的第三章，我们讨论了分数统计的b a r l e y 模型。利用坐标b e t h ea n s a t z 方 法，研究了周期条件下系统的精确解和热力学性质。 在可积体系中，h e i s e n b e r g 自旋链是一个重要的模型。1 9 2 8 年，h e i s e n b e r gf 3 提出 了磁