（光学专业论文）基于数字全息的工件表面检测.pdf

烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 i摘 要 数字全息是光学全息、光电成像技术及计算机技术相结合的产物。数字全息术利用电藕合器件ccd代替传统光学全息中用来记录全息图的银盐干板，利用计算机编程对ccd记录下的离散数字全息图进行数字再现，实现了全息图记录、存储和再现全过程的数字化，省掉了传统光学全息复杂的再现过程，不但加快了全息图的再现时间，而且可以直接利用成熟的数字图像处理技术对再现图像进行图像处理， 使得再现结果更加便于观察和后续研究。 本文从理论分析、实验和计算机仿真三个方面对数字全息技术进行了初步研究，主要完成了以下工作： 首先，介绍了光学全息术和数字全息技术的基本原理和相关理论，对数字全息记录的条件、数值重现算法、以及相关的数字图像处理方法经行了详尽的理论分析。 其次，完成了计算全息的仿真模拟，对图像预处理展开了研究讨论，经过处理后的干涉图像信号增强。 最后，本文从数字全息的实验入手，对金属球的形貌进行了初步检测分析，并对小球进行了全息再现。 关键词： 数字全息、光学全息 、数字图像处理、计算机仿真、图像预处理 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 iiabstract digital holography is a mix of optical holography, photoelectrical imaging technology and computer technology. it utilizes charge coupled device(ccd) to record holograms instead of silver print which is used for the recording medium in optical holography and use computer programming to reconstructed the original object numerically. the digital holography pick up the reconstruction time by full numberical recording, storing and reconstructing process, and we can use mature digital image processing technology to dispose the reconstructed image to make it lcear. the preliminary study of digital holography technology carries out through theoretical analysis, experiments and couputer simulation. the main work is as follows: firstly, basic principles and interrelated theoretics of optical holography and digital holography are introduced. besides, the theories such as recording digital hologram, numerical reconstruction and the related digital image processing methods are analyzed. secondly, simulation of computer-generated holography is completed. image pre-processing is investigated and discussed. interference image sinal after processing is strengthened. at last, by starting with optical holography experiment, primary detection and analysis of exterior of the metal sphere and holography reconstruction are carried out. keywords: digital holography, optical holography, digital image processing, couputer simulation, image pre-processing 烟台大学学位论文原创性声明和使用授权说明烟台大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明原创性声明 本人郑重声明： 所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文使用授权说明学位论文使用授权说明 本人完全了解烟台大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 （保密论文在解密后遵守此规定） 论文作者签名： 导师签名： 日期： 年 月 日烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 11 引言 1.1 全息的出现和发展 全息技术已经有了近半个世纪的发展历史，由于它自身的一些独特的优点，曾在相当长的一段时间里是光学中最热门的研究领域之一。随着时间的推移，在全息的原理和实验技术相对成熟以后，人们很自然地将目光转移到了它的实际应用研究方面。从目前的情况看，虽然全息技术在应用方面取得了较大的进步，但相对它自身的特点来看，其优越性远未得到发挥。造成这种情况的一个根本的原因在于全息技术的操作程序比较复杂，一般包括曝光、 显影、 定影、 干燥等一系列处理。 复杂的实验手续， 限制了它在许多场合的应用。例如：由于全息可以同时记录光的相位和强度，理论上讲，它是一个非常优越的光测量方法。为了简化全息的实验手续，使之更方便实际应用，人们在全息记录材料方面进行了大量的研究，新全息材料的制备和测试形成了目前全息领域研究工作的主要部分。研究对象包括光致聚合物、光折变晶体等，这些材料由于不需要湿化学处理过程，理论上可以在很大程度上简化全息的实验手续。目前，这些研究虽然取得了一系列的进展，但在很多方面还很不理想，它们有的需要相当长的曝光时间，有的化学性质不稳定或容易水解。将电子器件用来作为全息的记录介质，是人们近年来在全息记录材料方面所做的又一尝试。由于这种技术在全息图的记录和再现两方面都明显区别于传统全息，因此一般被称为数字全息。 作为全息领域近年来的一个新的发展方向， 由于能和现代信息处理和传输手段相结合，所以自出现之日起，就得到了足够的重视，被认为是全息技术近年来的又一重大进步1。 全息术以波动光学为基础，利用光的干涉和衍射原理，将物体发出的特定光波以干涉条纹的形式记录下来， 并在一定的条件下使其重现。 全息术分为两步:波前记录和波前重现。波前记录是将物体光波与另一相干光波参考光波相干涉， 用照相的方法将干涉条纹记录下来，获得全息图或全息照片；波前重现是用原记录时的参考光波或其它合适的光波照射全息图，光通过全息图后发生衍射，其衍射光波会形成原物体逼真的立体像。 随着全息技术的发展，出现了多种类型的全息图，从不同的角度考虑，全息图可以有不同的分类方法2:从物光和参考光的位置是否同轴考虑， 可以分为同轴全息图和离轴全息图;从记录时物体与全息图的相对位置考虑， 可以分为菲涅耳全息图、 夫琅和费全息图和像烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 2面全息图；从记录介质的厚度考虑，可以分为平面全息图和体积全息图。 全息术具有如下的基本特点3 ：1)可以形成三维像；2)全息照相可以进行多重记录，信息容量大；3)光学系统简单原理上无须透镜成像，是一种无透镜成像方法；4)全息照片的重现像可放大或缩小。现今，光学全息已经广泛应用于很多领域，如:全息干涉计量，光全息存储，全息防伪等等。 1965 年，罗曼(lohmann)等人把通讯理论中的抽样理论应用到空间滤波器的计算机综合中， 奠定了计算全息技术的理论基础， 并且做出了世界上第一张计算全息图(cgh) 。 计算全息是先用计算机制作物体的全息图，然后用光学衍射的方法进行重现。一般来说，计算全息图的制作过程分为如下几个步骤4：1)设计与物光波数据有关的数学模型：2)根据模型和其它的预定要求进行编程；3)运算并控制绘图制成全息图样；4)光学缩版或光刻并精缩到适合的尺寸；5)光学重现所需要的光波波前。现在，由于计算机技术的发展，可以对一些复杂的物体制作全息图，并己经成功地应用在制作全息光学元件、空间滤波、像差校正版、以及信息加密等方面5。计算全息的优点是利用数字计算机来综合全息图，不需要物体的实际存在，只需要物光波的数学描述，因此，计算全息具有很大的灵活性。 数字全息技术6是goodman 于1967 年提出的。数字全息技术结合了数字处理技术和传统的光学全息技术，它用ccd记录物体的全息图，并将其存储到计算机，然后由计算机数值重现并进行处理和分析。数字全息技术实现了全息图记录、存储、处理、重现和显示等全过程的数字化，给全息技术的发展和应用增加了一种新的方法。 三种不同的全息方法对比如下： 光学全息： 物体 图像 计算全息： 物体 图像 数字全息： 物体 图像 干板记录 光 学 全息图 重现过程：光学衍射 计算+编码 计 算 全息图 重现过程：光学衍射 ccd记录 数 字 全息图 重现过程：数值重现 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 31.2 全息干涉测量 全息技术不仅在科学研究和工程技术中取得了大量的应用， 而且已经走进的人们的日常生活。它的具体应用包括全息光学元件、全息信息存储、全息干涉测量、全息防伪、全息显微镜及制作各种高档装饰品等。 全息干涉测量的基础7：同一张全息感光板可进行多次重复曝光记录。在某次全息拍摄曝光后， 只要稍微改变感光板的方位(如转动一个小角度)， 或改变参考光束的入射方向，就可以在同一感光板上重叠记录，并能互不干扰地再现各自的图像。如果在全息记录过程中，光路各部件都严格保持不动，只使被摄物体在外力作用下发生微小的位移或形变，并在变形前后重复使感光板曝光，则再现时物体变形前、后两次记录的物光波同时再现，并形成反映物体形态变化特征的干涉条纹。 全息干涉是全息应用的一个重要方面。全息干涉与普通干涉十分相似，其干涉理论和测量灵敏度基本相同，只是获得相干光的方法不同。普通干涉中获得相干光的方法虽然很多，但总的来说不外两大类：分振幅法和分波前法。分振幅法是将同一束光的振幅分为两部分或多部分，如迈克尔逊干涉仪、法布里一拍罗干涉仪等；分波前法是将一束光的同一波前分为两部分或多部分，如双棱镜干涉、双缝干涉及多缝干涉等。全息干涉则是将同一束光，在不同的时间记录在同一张全息干板上，然后使这些波前同时再现发生千涉。所以全息干涉的相干光波是采用时间分割法而获得。 时间分割法的特点是相干光束由同一光学系统产生，因而可以消除系统误差。 根据干涉的具体方法的不同，全息干涉可以分为实时干涉、双曝光干涉和时间平均干涉等。实时干涉是指将全息干板在原位置曝光、处理和再现的干涉技术，它可以实时地检测物体表面变形情况。双曝光干涉是指在同一块全息干板上记录物体变形前后两幅全息图，再现时，两幅全息图的再现像将发生干涉，从而达到测量的目的。时间平均全息图一般用于检测物体的振动情况，测量时在远大于物体振动周期的时间内将全息干板曝光，再现时物体在不同振动情况下的再现像将发生干涉。 随着相关技术的发展，全息干涉己与莫尔技术、散斑技术等结合起来。在测量结果的处理方面利用光电检测技术，ccd摄像机采集数据和计算机自动处理，达到计算速度快、精度高的要求。所研制的全息干涉计量仪器是光、机、电、算相结合的现代化设备。 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 41.3 数字全息技术 1.3.1 数字全息技术的概念 1971年， t. huang在一篇介绍二十世纪60年代到70年代早期数字计算机用于波场合成分析所取得的进展时，首次提出了“数字全息术”一词8。这之后的相当一段时间内，数值再现全息图的良好构想却一直受到计算机技术和电子技术相对落后的制约。近年来，计算机和电子图像传感器件的性能有了很大提高，数字全息术也因此得到了快速的发展。其中一个标志性的事件是， 德国人u.schnars和w.jiiptner于1994年首次通过ccd摄像机成功获取全息图9。 数字全息的概念是相对于光学全息并针对其不足而提出来的。数字全息技术是全息术、计算机技术及电子成像技术相结合的产物。它依然是基于光学全息记录理论，但以ccd摄像机等电子成像器件作记录介质获取全息图，并将其存入计算机，然后用数字方法来对此全息图进行再现。归纳起来，数字全息主要分为三部分10： 1）数字全息图的记录。将参考光和物光的干涉强度图样直接投射在ccd等电子成像器件上，经图像采集卡作模数转换后得到全息图的数字形式，并将其传入、存储在计算机上。 2）数字全息图的数字再现。这一部分在计算机上进行，包括三个步骤。一是数字全息图的预处理工作，即对数字全息图在记录过程中所产生的图像畸变进行补偿消除，如图像几何变形、光电探测器转换的非线性、随机噪声等。二是数字再现，即模拟物光波前在物平面与全息图平面之间的传播过程，需用到频谱滤波和离散傅里叶变换的相关理论，这是数字全息技术最核心的部分。三是对数字再现所得图像作各类数字处理，如图像校准、图像增强、图像特征提取等。图像校准用于消除图像畸变和噪声，图像增强可改善数值再现图像的质量， 利于人眼观察和满足各种测量的需要， 图像特征提取用于提取一定的数据，便于测量。 3）输出经数字处理的再现图像及相关实验结果。 从以上可以看出，在数字全息术的整个过程中，数字信号与图像处理技术具有重要的作用与意义。 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 5 数字全息较之传统的光学全息的最大不同是： 在数字全息术中， 由于全息图由ccd器件直接获得而不需要光敏记录介质，得到的物光波信息能够直接传送到计算机中，参数的计算可以立即进行。 两种方式的主要区别在于： (1)数字全息使用ccd记录干涉光波，可以实时监控并拍摄全息图，拍摄过程简单。而用光学方法拍摄时使用的全息干板必须遮光保存以防止曝光失效。 (2)拍摄后得到的全息图以数字图像的形式存储起来， 即所谓的数字全息图， 可直接计算再现。而拍摄得到的全息干板却要通过定影，显影等一系列复杂的暗室处理才能用于再现过程。 (3)数字重现的过程非常简单，输入数字全息图，再调用预先编写好的再现程序，就可以得到再现的结果.而光学方法再现必须将暗室处理后的干板再放回到原光路中， 准确复位并使用原参考光再现，才能得到无偏差的再现物光波。 (4)计算机技术和数字图像处理技术的引入，使数字全息记录和再现过程完全数字化，因此可以很方便地加入数字处理方法，消除像差、噪声以及干板特性曲线的非线性等因素带来的影响，提高全息图的质量。数字再现全息图得到的是物光场的复振幅分布，同时可通过计算得到强度和相位分布，易于实现两个或多个全息图的相加减、增减背景图像、叠加图像等操作，而这些在光学全息中很难做到，而数字全息术可以在很短时间内完成，由此也显现了数字全息技术更具实用性。 (5)由于受ccd分辨率的影响，要求形成离轴数字全息图时，物光和参照光的角度非常小或小物体放在远处。而传统的全息干板具有很高分辨率，物参光的角度可以非常大，而且物体放置的距离也没有严格的要求。 由此可见，虽然传统的光学全息术仍存在一些优势，但数字全息的引入使得繁琐的传统的光学全息方法得到了大大的简化。 1.3.2 数字全息技术的研究进展 现阶段各国科研人员对数字全息技术的研究成果，大多集中在实验方案改进、再现算法研究、增强实验显示效果以及提高数字再现像分辨率等方面。 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 6 根据不同的记录光路和数值再现方式，目前研究者已提出多种数值再现方法，如菲涅耳变换法11-12、相位恢复算法13-14、卷积再现算法15、相移法16、波长扫描数字干涉全息术17和无透镜数字傅里叶变换全息术18等。 scz1riats和jiiptner等首先提出用菲涅耳变换法数值再现离轴全息图。 该方法实际上是数值模拟光学全息的再现过程，它以菲涅耳衍射积分公式为基础，根据采样定理将菲涅耳积分离散化，并利用快速傅里叶变换获得再现物光波的复振幅分布。为了消除零级和共扼像的影响，需对全息图进行数字相减或带通滤波等处理。 kodama等人利用菲涅耳相位恢复算法重现了同轴软x线全息图。该算法是一种在强度约束条件下的迭代算法，由于能够解析出物场在全息图平面上的相位函数，故能够消除零级和共扼像对再现图像的影响。但相位恢复算法只适用于平面物体，难以实现对三维物场的重现，同时该算法需要较大的运算开销。 卷积再现方法的特点是物场的每一断层分布可用全息图强度分布函数与传播函数共扼的卷积表示， 但分层再现三维物场需进行至少三次傅里叶变换.卷积再现算法与菲涅耳变换法的思路大致相同，都是以计算菲涅耳衍射积分公式为基础的，但卷积算法的运算量较之菲涅耳算法要繁重。 采用离轴光路记录数字全息图时， 要求参照光和物光夹角非常小， 而同轴光路记录数字全息图可以在很大程度上解决满足采样条件的问题。 由于同轴全息术带来直透光和孪生像，大大降低了再现像的质量，yamaguchi 等提出利用相移技术再现同轴全息图。该方法需要改变参考光的相位，并分别记录参考光相位为0/2pp、和3 /2p时的四张全息图，由此解调出物光波在全息图平面上的相位分布。 该算法需要记录参考光相位变化后的多幅全息图，增加了对环境稳定性的要求，也就不利于瞬态过程的分析。 波长扫描数字干涉全息术利用波长扫描原理， 将不同照明光波长下记录的数字全息图利用菲涅耳衍射原理分别进行数值再现，再现波长与记录波长一致，然后将再现出的物场组合在一起，形成物场的断层扫描图像。这种波长扫描数字干涉全息术实际上需计算三维的傅里叶变换，该算法在描述三维立体物场方面具有很大的优势，可以获得较高的轴向分辨率，但是其记录过程中要求多个波长参与，轴向分辨率与所用波长的个数和波长间隔有关。 wagner c提出的无透镜数字傅里叶变换全息术， 采用球面参考光波， 从而能够获得高烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 7的横向分辨率，且能够充分利用ccd的全部空间带宽。从而可以增大记录物体的尺寸，减小记录距离，明显提高再现像的清晰度和分辨率。与菲涅耳全息、像全息等离轴全息术相比，无透镜数字傅里叶变换全息术有记录光路简单，光学元件少，可避免因透镜带来像差等非线性因素的影响的优点。 1.4 本论文的研究意义 和任何其他科学技术一样，随着相关技术理论的发展，数字全息术己从开始的一般性研究走向了实用化的道路。其应用领域涉及干涉计量、形变分析、三维物体识别、粒子与流场分布测定等方面。 由于数字全息采用ccd电子方法记录，计算机数字重现。因此，物体三维信息的所有数据都被直接读入计算机，包括其形状、位置和方向的全部信息。利用这些数据可以定量分析三维物体的形状及其表面变形，为干涉计量学提供了一种新的方法。数字全息干涉计量能达到很高的测量精度。数字全息利用高分辨率的ccd摄像机，可以实现结构复杂的微小物体测量，即无损测量。也可用于工业生产中的结构缺陷检测，由于数字全息测试具有很高的灵敏度， 利用构件在承载或应力下表面的微量变形的信息， 就可判定某些参量，发现缺陷部位，为控制应变，保证产品质量，特别是使用中的安全提供了有效手段。它还可用于振动的测量与分析、粒子与流场分布测定等。相信随着相关技术与理论的进步，它将得到更大的发展，并将拥有越来越广阔的应用前景。 1.5 数字图像处理技术应用背景 数字图象处理技术应用背景图象处理技术19就是，对图像施加某种运算和处理，从而达到某种特定目的，如：使图像更清晰，从图像中提取某些特定的如图像边缘或骨架等。数字图象处理是从 60 年代开始蓬勃发展起来的一门新兴学科，它所包含的内容涉及到信息科学、计算机科学、数学、物理等学科。数字图象技术发展与电子计算机技术的发展是分不开的，是随着计算机技术的发展而开拓出来的一个新的计算机应用领域。随着计算机技术的发展，数字图象处理技术也日趋完善成熟，而且越来越广泛地应用于空间探测、遥烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 8感、生物医学、人工智能、工业检测等许多领域，并促使其它学科产生了新的发展。利用图像处理技术可以实现非接触测量，并具有精度高、速度快、使用方便、自动化程度高等特点。在材料领域，计算机图像处理技术己经成功地应用于焊缝跟踪，缺陷的无损检测，材料结构分析等方面， 如： 焊缝的实时图像处理， 焊接金相识别网， 缺陷检测的成像处理，在纳米材料结构分析中的应用等。国内外很多有关数字图象技术在焊接领域的应用，是基于焊缝图象出发的。为了提高焊缝实时图像处理的准确性，清华大学的路井荣等提出了宏观处理与微观检测相结合的思想，并将分形理论引入到图像处理，建立了焊缝图像的分形数学模型。 哈工大的刚铁等人采用二维傅立叶变换对铝合金焊点x光图象的变换和低通滤波， 并在此基础上进行了背景校正。诸多无损检测技术如超声检测、x射线、ct层析等，是与数字图象处理技术密不可分的。随着计算机技术的迅速发展，利用数字图象技术与计算机结合在干涉图像的处理中得到了广泛的应用。在计算机图像处理技术发展之前，实验过程中记录的干涉图用于定量分析时，其照片的量化工作是通过手工采样进行的，这样采集数据的工作量很大，并且受人为误差的影响，其精度难于保证。利用计算机图像处理技术既可以提高实验结果定量分析的精度，又可以缩短数据处理的时间。而且，对于全息干涉图象，由于图像经过采集、传输、显示等处理以后，输出的图像不可避免地要降质。为了改善图像的质量，必须采用数字图象处理手段，进行去除噪声、图像增强。基于各种如莫尔条纹、 散斑干涉条纹、 指纹、 工程图样的条纹形状图象的细化处理， 也有了初步研究，用于条纹级数判别，以及特征识别等。 1.6 本章小节 本章通过查阅大量的文献和资料，简单介绍了全息的出现发展以及全息干涉测量，并且给出了光学全息的概念和研究进展， 对数字图像处理技术的应用背景和本文的研究意义做了介绍。 相信随着相关技术与理论的进步， 数字全息技术将拥有越来越广阔的应用前景。 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 92 数字全息理论基础 2.1 全息的基本理论 全息图的再现问题实际上就是照明光波经过全息图的衍射成像问题。 数字全息图的再现过程实际上是利用计算机，通过数值方法模拟照明光波经全息图衍射后的传播规律。用干涉方法得到的像平面上光波的全部信息（振幅和相位） ，存在于物像之间光波经过的任一平面上，如果在这些平面上能记录携带物体全部信息的波前，并在一定条件下再现物光波的波前，那么，从效果上看，相当于在记录时被“冻结”在记录介质上的波前从全息图上“释放”出来，然后继续向前传播，以产生一个可观察的三维像。如果不考虑记录过程和再现过程在时间上的间隔和空间上的差异，再现光波和原始光波毫无区别，因此，由光波传递信息而构成物体的过程被分解成两步：波前记录和波前再现。 2.1.1 波前记录 物光波波前信息包括光波的振幅和相位，然而现有的记录介质只能记录光强，因此，必须把相位信息转换为强度的变化才能记录下物场的所有信息。 设全息记录平面上物光波和参考光波分别为 ( , )( , )exp( , )o x yo x yjx yj=- (2-1) ( , )( , )exp( , )r x yr x yjx y=- y (2-2) 则全息图的强度分布为 222*22( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , ) ( , )( , )( , )2 ( , ) ( , )cos( , )( , )i x yr x yo x yr x yo x yr x y o x yr x y o x yr x yo x yr x y o x yx yx yj=+=+=+y- (2-3) 前两项分别是物光和参考光的的强度分布， 仅与振幅有关， 与相位无关。 第三项是干涉项，包含了物光波的振幅和相位信息。参考光波作为一种高频载波，其振幅和相位都受到物光波的调制，干涉条纹是参考光波振幅和相位信息受到物光振幅和相位调制的结果。 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 10记录介质的作用相当于线性变换器， 它把曝光时的入射光强线性地变换为显影后负片的振幅透过率。 假定曝光量在胶片te-(透过率一曝光量)图的线性区内变化， 而且胶片具有足够的分辨率，则全息图的振幅透过率可表示为 0( , )( , )t x yti x yb=+ (2-4) 式中0t 和b为常数，将式(2-3)代入上式，则 2*( , )bt x ytooro rbbb=+ (2-5) 式中，20bttrb=+，当参考光波是平面波，bt表示均匀的偏置透过率。 2.1.2 波前再现 用相干光波c(x, y)照射全息图，则全息图的透射光场为 2*1234*buctc ocorco ruuuubbb=+=+ (2-6) 分为四部分。若用原参考光波照射全息图，即( , )( , )c x yr x y=，则透射光场的四部分可分别表示为： 122232*4( , )( , )burtur our o x yur o x ybbb= (2-7) 其中，1u是参考光的直透部分。2u代表物体各点的自相干以及物体各点之间的互相干项。因为物体上各点相距很近，在全息图中记录的干涉条纹的空间频率很小，波前再现过程中该部分衍射光波偏离直射光的角度很小， 因而互相干项产生的衍射光分布在照明光波的附近， 形成一种晕轮光。 在离轴全息的情况下， 适当地加大物光和参考光之间的夹角，互相干项可以不干扰物体的再现像。 2r是参考光波的强度，当参考光为平面光波时，除了一个常数因子外，3u就是原始物光波前的准确再现。当这一光波传播到观察者眼睛里，和真实物体的光波完全相同，尽管物体己移开，仍可以看到物体的虚像。 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 11透射光场的第四项4u式中，*o是物光波前的共轭。若原始物波是发散的，则共扼光波是会聚的，所以4u给出物体的一个实像，但由于2r的调制，实像会变形。 如采用参考光的共扼照明全息图，即*( , )( , )c x yr x y=，则第三、四项分别为 *32*4( , )( , )( , )( , )ux yr r o x yux yr o x ybb= (2-8) 3u和4u仍然正比于物光波前或其共扼波前， 分别产生虚像和实像。 其中虚像有变形，而实像不存在变形。 2.1.3 重现像的位置 由于物体可以看成是点光源的集合， 所以我们可以通过研究点光源重现像的位置来确定数字全息重现像的位置。现假设空间物光波为从点源000(,)o xyz发散的球面波，参考点光源坐标为(,)rrrr xyz，则根据点光源的菲涅耳衍射公式可以求出在全息面接收到的物光波和参考光波的衍射像分别为： 22000022 ( , )( , )exp( , )( , )exp()()2 r( , )( , )exp( , )( , )exp()()2rrrrko x yo x yjx yo x yjxxyyzkx yr x yjx yr x yjxxyyzjj=-+-=-+-(2-9) 根据式(2-9)得出全息面接收到的光强分布为： 222022222200222200( , )( , )( , )exp()exp()exp()()()()22exp()()()()22orrrrorrrroi x yr x yo x yororjorjkkororjxxyyjxxyyzzkkorjxxyyjxxyyzzjjjj=+=+-+-=+-+-+-+-+-+- (2-10) 设重现光波为： 22( , )( , )exp( , )( , )exp()()2cccckc x yc x yjx yc x yjxxyyzj=-+- (2-11) 则可以根据式(2-11)得出重现波前为：烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 12()()22( , )( , ) ( , )expexpexp()exp()cccorcorx yi x y c x ycojcrjcrojcrojjjjjjjjjj=+-+-+(2-12) 上式中第三项的位相函数可以改写为： 322222200exp()exp()()()()()()222corrrccorccrojkkkcrojxxyyjxxyyjxxyyzzzyjjj=+-=-+-+-+-+-(2-13) 提取出与全息面坐标x，y无关的常数位相因子， 将它们合并为exp()jf， 则上式可以改写为： 2231 012001 0121 012111( , )exp()exp()()exp2()()rcccrrrcrcx ycrojjxyzzzxxyyxyjxyzzzzzzyfplllpllllll=-+-+-+ (2-14) 上式中的1l代表参考光和物光的波长，2l代表再现光的波长。同理可以得到第四项为： 2241 012001 0121 012111( , )exp()exp()()exp2()()rcccrrrcrcx ycrojjxyzzzxxyyxyjxyzzzzzzyfplllpllllll=-+-+ -+ (2-15) 上面两式即为重现的虚像和实像。再根据一个位于再现平面上的像点u(,)x y z发出的光波衍射到全息图的复振幅可以写为： 222222( , )( , )exp( , )( , )exp()()22( , )exp()exp() exp()cuku x yu x yjx yu x yjxxyyzu x yjjxyjxxyyzzjppfll=-+-=+-+(2-16) 通过比较上面三式的系数可以得出物像关系为： 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文)()()crcrcrcrcrzzzzxxxxzzzzyyyyzzzzmmm=-=-=- (2-17) 上式中，21/mll=，“+”号代表3j，“-”代表4y。 若重现光与参考光的波长相等，则21/1mll=，且均为平面平行光，即上式中的rczz=，所以重现像的位置应为： 101010zzxxyy+ = = = 101010zzxxyy- =- =- =- (2-18) 根据上式， 在物体的原位置可以观察到物体的原始像;在镜象位置可以看到物体的共轭像。 根据前式还可以确定像的横向放大率为： 1000001rczzdxdyzmdxdyzzzmm-= - (2-19) 由此可以看出，当参考光与重现光波长相同，且均为平行平面光时，上式等于1。即重现的虚像和实像均与原物体同样大小。 2.2 傅里叶变换 在数字全息术中，傅里叶变换是实现空域和频域信号转换的有效工具，数字全息图的再现及后续处理都离不开傅里叶变换。本文涉及到的主要是二维图像，这里仅对二维傅里叶变换理论进行介绍。 2.2.1二维连续傅里叶变换 设( , )f x y是两个独立变量x和y的二元连续函数，在整个xy平面上只有有限个烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 14极值点和间断点，且对整个xy平面绝对可积，则定义积分 ( , )( , )exp2 ()f u vf x yjuxvy dxdyp+-=-+ (2-20) 为二维函数( , )f x y的傅里叶变换，并定义 ( , )( , )exp2 ()f x yf u vjuxvy dudvp+-=+ (2-21) 为( , )f u v的逆傅里叶变换。式中x和y分别代表空间变量，u和v分别代表沿x轴和y轴方向的空间频率分量。( , )f u v和( , )f x y构成一个傅里叶变换对。从图像处理角度说，( , )f u v称为图像信号( , )f x y的频谱，一般是复数，可以写成： ( , )( , )( , )ji u vf u vf u v e=或( , )( , )( , )f u vr u vji u v=+ (2-22) 式中，( , )r u v和( , )i u v分别为( , )f u v的实部和虚部。 函数( , )f x y的傅里叶变换振幅谱、相位谱和强度谱分别为： 1/222( , )( , )( , )f u vr u viu v=+ ( , )( , )arctan( , )i u vu vr u vf= (2-23) 22( , )( , )( , )e u vr u viu v=+ 在光学信息处理中，频谱分析即对频谱( , )f u v的复振幅分布进行分析处理，通常可分解为振幅谱和相位谱分布分别进行。 2.2.2 二维离散傅里叶变换 所谓信号的频谱分析就是对信号进行傅里叶变换20，在信号的频谱域内进行某些操作。由于现代电子技术获取的信号往往是离散的数字信号，加之连续的傅里叶变换不便于直接利用计算机进行计算，人们提出了离散傅里叶变换(discrete fourier transform，缩写为dft)。 离散傅里叶变换是时域和频域均离散化的变换， 适合数值运算， 成为分析离散信号烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 15和系统的有力工具。 假设图像( , )f x y已在空间上采样成为二维离散信号，x轴方向采样点数为m采样隔为xd;y轴方向采样点数为n，采样间隔为yd。为方便起见，仍然把离散图像记作( , )f x y,可用下式表示： ( , )(,)f x yf x x yy=dd (2-24) 式中，为空间域采样值，0,1,2,1xm=-；0,1,2,1yn=-。 同样，二维离散频谱( , )f u v的具体含义为 ( , )(,)f u vf uu v v=dd (2-25) 其中，u、v为频率域采样值，0,1,2,1um=-；0,1,2,1vn=-。ud和vd分别为频率域中沿x轴和y轴方向的采样间隔。 二维dft具有如下的形式： 11001( , )( , )exp2 ()0,1,2,1;0,1,2,1mnxyuxvyf u vf x yjmnmnumvnp-=-+=-=- (2-26) 1100( , )( , )exp2 ()0,1,2,1;0,1,2,1mnuvuxvyf x yf u vjmnxmynp-=+=-=- 式中exp2 ()uxvyjmnp-+、exp2 ()uxvyjmnp+分别称为正逆傅里叶变换核。 与连续傅里叶变换一样，f(u, v)称为离散信号函数( , )f x y的频谱， 是复函数。 同时，离散信号函数( , )f x y的傅里叶变换振幅谱、相位谱和强度谱与连续信号函数( , )f x y的一样。可以看出，在离散傅里叶变换中，谱点总数与样点总数相等，而且也组成点阵形式。根据采样定理， 频率域谱点间隔ud和vd与空间域采样点间隔xd和yd之间有如下关系 11numxvyd =dd =d (2-27) 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 162.2.3 快速傅里叶变换 虽然dft是信号分析与处理中的一种很重要的变换，许多信号处理方法，如卷积、相关、滤波等都可以转化为dft实现。但是因为直接计算n点dft需要2n次复数乘法运算， 当n较大时， 运算量很大。1965年cooley和tukey提出了一种快速傅里叶变换(fast fourier transform，fft)21，其核心是不断地把长序列的dft分解为几个短序列的dft，并且利用变换核的周期性和对称性来减少dft运算次数， 该算法使n点dft的乘法计算量由2n次降为21/2lognn次。以此为契机，加之计算机的飞速发展，使得数字信号处理的理论在实际中得到广泛应用。 对于一幅二维图像，可把二维dft变换转化为两次一维dft，即先对图像矩阵的各行做一维傅里叶变换，然后再对变换结果的各列做一维傅里叶变换，如图所示。 图2.1 二维dft的快速计算 2.2.4 线性调频z变换(czt) 如前所述，采用dft计算图像的频谱时，其在频谱面上的采样点数与在空域的采样点数相同。要提高频域分辨率，只能增加采样点数，但是采样点数的增加却又导致计算量增大。当数据量足够时，我们有时并不需要得到全部频谱，而只关心某一个频带内的值。在这种情况下，用fft解决实际问题，可以进一步简化运算过程，以降低计算量22-23。 n点序列的离散傅里叶变换(dft)实际上就是序列在单位圆上z变换的n点均匀取样。而线性调频z变换(czt)算法可以用来计算在单位圆上任一弧段上的z变换，而且取样的间隔也可以自由确定。 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 17 图2.2 czt在单位圆上任意弧段均匀取样 对于一维序列( )f n，在01nn-条件下的czt定义式如下： 000011(),00()( )( )( ),01nnnjknkmknnf zcztf nf n zf n ekmqjq j-+-=- 式中0q为起始取样相位，0j为取样间隔，m为取样点数。 如图2.2所示，由参数0q、0j和m共同决定了需要细化分析的弧段范围000,(1)mq qj+-。如果00q =，mn=，02 / njp=时，czt变换就是dft变换。 2.3 利用衍射球面波理论再现物场 2.3.1 衍射的球面波理论 衍射的球面波理论24-26，实际上是将透过衍射屏的光波场，看成是来自衍射屏平面上不同面元发出的次级球面子波的相干叠加。 早在1678年惠更斯就提出了光的波动学说。按照惠更斯原理，光波在传播过程中，其波面(前)上的每一个面元，都可以看作是一个能够产生球面子波的次级扰动中心，并且后一时刻的波面(前)是前一时刻波面(前)上各点发出的球面子波的包络面。1818年，菲涅耳将惠更斯原理用光的干涉理论加以补充，做了如下修正：空间任何一点处的光振动为光源和该点之间任一波面上各点发出的子波场叠加的结果。 后来基尔霍夫与瑞利和索末菲等分别从不同的边界条件出发，求解波动方程，从而更加严格地证明了该理论。 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 18 图2.3 菲涅耳衍射 如图2.3所示， 设衍射孔径处的光波场分布为000u (,)xy， 平面物体的衍射规律可用瑞利一索末菲衍射积分来表示，成像平面上的光波场的复振幅分布为： 000001( , )(,)cosjkrdeux yuxydx dyjrql= (2-28) 式中 22200()()rdxxyy=+-+- (2-29) 为衍射孔径平面上0p与成像平面p上之间的距离，k为波数。cosq为倾斜因子，在傍轴近似条件下约等于1。 在傍轴近似条件下，222dxy+，将(2-29)式右端作二项式展开并取二级近似，得： 2222200003()()()()28xxyyxxyyrddd-+-+-=+- (2-30) 可以看出，若 232200max1()()4dxxyyl-+- (2-31) 则只需要保留(2-30)式中的前两项，即取一级近似。于是(2-28)式可简化为 2220000000( , )(,)exp()()2jkddejkux yuxyxxyydx dyj ddl=-+- (2-32) (2-32)式即菲涅耳衍射光场的复振幅分布表达式，也称为菲涅耳积分公式。相应地，(2-31)式表示的近似条件称为菲涅耳近似， 在这个区域内观察到的衍射现象叫菲涅耳衍射(或近场烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 19衍射)。 由(2-32)式看出，等式右端存在一个脉冲响应函数，即 22200001(,)exp()exp()()2jkh xxyyjkdxxyyj ddl-=-+-(2-33) 将上式代入(2-32)式中有 0( , )( , )* ( , )dux yux yh x y= (2-34) 这就是菲涅耳衍射的卷积积分表达式， 脉冲响应函数实际是点光源在自由空间传播的复振幅分布，也就是说，衍射可看成是无数点源的次级球面波的叠加。 如果将(2-32)式积分中的二次相位因子展开，可得到菲涅耳衍射的傅里叶变换表达式 22220000000002222000001( , )exp()exp()(,)exp() exp2 ()21exp()exp()(,)exp()2djux yjkdxyj ddjkxyuxyxyjxydx dydddjjkdxyj ddjkf uxyxydpllpllpll+-=+-+=+ ,xyxyffddll=(2-35) 式中，f表示二维傅里叶变换，xxfdl=和yyfdl=表示空间频率分量。 2.3.2 菲涅耳衍射的数值计算 设全息图复振幅透过率函数为(,)hhi xy， 用再现光波(,)hhr xy照明全息图， 则在全息图后的光场复振幅分布为