（概率论与数理统计专业论文）推广增长曲线模型参数的最小二乘估计.pdf

a b s t r a c t i 、h ec x t e n s i o no fgr o w t hc o r v em o ( | c i ( f i c g ) f y = a 或蟛+ u e ， 1 1 e 一( e ，e ) ( * ) 1 e ，m p ，”d e p d e 州e d “n t h e ( e ：。，) ；0 ，e ( a ( ，：) ) = 7 _ 3 w h e r eei sr a n d o me r r o rm a t r i x a 。n k i ，b 。户z u 。x oa r ek n o w nm a t r i x ， 肛： ，) 0 表示4 足对称的正定阵。 1 2 导出线性模型 对( 1 1 1 ) 式由拉直和叉积的关系可得： y = ( a 1 塌) 0 l + ( 2 i 2 ) 0 2 _ ( 己，o ，) j | ! ： 记y = y ，丁一( 以l o b ia 2 0 8 2 )f = ( “o i ) e 口一，账1 1 1 ) 为 y = 丁口+ e( 1 2 1 ) i d m = j 。一z z l ，窬易验证：m 是对称幂等阵。 若令硝= i m b ，7 m ：w = w r ” = f ，( h k ) v h ，k 甜 ( 甜， ) 是一个有限维的实内积窄间， 由于，m b m y t r ( m b m m y y m ) ，b r ”“ ，m y 的二次型也是m y y m 的线性 型所以 f ) l = m b m y ：b b 尽”。9 一渺( m b m m y y 肘) tb = b r w 一 是m y y m 的线性估计类，由此引出了另外一个线性模型( 称为导出线性模型) ： ( m y y m ，e m y y7 m c o y ( m y y m ) 其中e ( m y y 7 们) = m ( g o ) 肘 p ( k ) = m ( g o ) m ：0 p ( k ) 一 肘( ( ；ov ( ) ) m ：l ，( ) = v f ) ，j e 巾( ；= u u ( m ”m y y m ) 将m 【i4 j 小给1 1 1 。 引理 1 3 基本引理 在下面几节将讨论同归系数矩阵及t r ( c ) 的估计问题，讨论中需要下面一些 引理1 论a 一( 1 s ) ，那么 f ( j + c c ”) “( 7 l s b )1 一i c ，( j + ( x ，) 一1 ( 7 ，f 一了，s b + ) + b + jl c ( j + ( 1 ( ”) 一1 ( 7 一了叫s + ) + j 其中：b 一( ，一7 1 - + ) s c 一- us ( 一b b ) 证明：见e 8 v v - 1 2 2 i 引理2 ( 1 b ) 一b a 1 成立的充要条什足下列之一： 1 a + a b b a = b b a i b a a b = a a b 2 z ，( b b a ) ( 二p ( a ) ，户( a a b ) cp ( b ) ； 3 。a a b b 与a a b b 对称； 4 a + a b b a a b b + 一b b a a ： 5 a + a b b ( a b ) + a b ， b b + a = a 7 ( b ) ( a b ) 证明：见 6 i f 。及 7 ，) 。 2 引理3m = j 。p 一( a l b ) ( l 口1 ) + = ，。o m 2 + m 10 ( j ，一心) 其中：m 。一i 。一a 1 a t m 2 = ip i l 引 证明：见 4 ，” 引理4i a7 = a l o b ，s = az b 2 ，若( ( j 一，) s ) + = s 。( ，一，) ， 则m = ，。一( a 。o b ia 2 b2 ) ( i b 1a ? o b 2 ) 。 = 1 。 z + m l o ( j ，一m ? ) 一( j 一m 3 ) m 2 ( f ，一m ) m 2 一m t ( j 。一们3 ) o ( j p m ) ( j p m 。) 如一( ，一地) f m ? ( j p 一肘 ) ( ，。一肘2 ) 一 f l ( ，。一m 3 ) 肼l ( ，p 肘2 ) ( ，p 一帆) ( ，p 心) j r ”：m l = ，。一 i a l m z = ，p b ，肚f 1 m 3 = j 一a 2 a2 +m = j p a i a 。+ 证明：m 一，。一( l f o b fa 2 b ) f 月。 b fa 2 b 2 ) 4 一，。一( 7 s ) ( 7 s ) 仲一y 7 ( j p 一1 1 。) 5 ( j 。p l 1 ) s 叫 = j 。十一1 l 【( ，一p 7 ) 5 ( j p r 1 ) s 一 ，一( 月r o b ) ( 一，o b l ) ( ，一( “i 茸1 ) ( 一i 占1 ) ) ( ：眈) ( 一2 0b ：) + ，一( 以，o 抗) ( a l o 鼠) = j 。om ? + m ， ( j 。m 2 ) 一 ， 幔+ 彳， ( ，p m 2 ) o ( j 。 彳，) o ( ，p m ) j 。 m 。+ m l ( j ，一 彳2 ) 展j l h l l 得： s t 理s 设以= f 以a 。ir ：引可逆r 若i 川。，则： 【( 再1 + 磊a 1 2 磊1 1 2 1 a 再1a 再a ，2 a 磊1 1 i一 爿。a 2 la i l 拳lj 其中a22 1 ；a 一a ” 再 l z ( 证明：见e s p 。一，) 。i n e 若a 镞。删 厂l 亓+ ，4 再a ，2 五l 2 i i l a i l a2 l 以i ( 证明：见 s l i p 。一，z ) i a l 。a i 磊i 、j 第二章回归系数参数矩阵的估计 定义2 1若存在，t 1 向量n ，使得e ( 一y ) = 一p 对一切口成立，则称c 卢是 可估函数 定义22对可估函数c 口，称r p 为f p 的l s 估计 在考虑推广的增长曲线模型中回归系数参数矩阵的l 5 估计时，先考虑模型y = ，p + p e ( p ) = 0 ，c o y ( e ) 一d 2 ( * * ) 的参数p 的估计问题： 定理2 1在( * * ) 中，若r ( ) 一，= p ，则p = ( 一z ) 叫一y 为卢的l 5 估计， 若r ( x ) 芝r 0a + 2 6 + c t t 。( g 2 ) 0 ( 3 6 ) 式两端右乘以 以得 ( d + 6 ) 。m + + ( 6 + r ) 。m 。= y 一( ，p m 。) y ( 。一m ，) g y m 。 ( 3 7 ) ( 3 6 ) 式两端尢右分别乘以肘得 ( 4 - 2 b _ c ) m 。m = m l y g y m 4 、 即 m m = ( ，- g 2 ) 一m r g y m 。 将上式代入( 3 7 ) 式得 m 。一( ，g 2 ) 一1 帆r g y m + ( t r g 。m ，) 一1 ( ，一帆) y m ，g y m 代入( 3 6 ) 式得 c t , 一( g m 。) 2 一 y 一( ，p m i ) y ( 。一m 。) g y 一( ，。一m 。) y ( ，r m ) 一 t r ( g ( i 。m 3 ) ) 。 ( t r g 2 ) m y g y m 4 “，( g m 3 g ( i 。一m ，) ) ( 2 ( f r g 2 ) i m y g y m + ”( g 。m 3 ) 。( ，。一m ) r m 3 g y m + d ，( g 2 m 3 ) _ 1 m _ y g m 3 y ( i ，一m ) ) = ，t - ( g m j ) 2 ( ( i t g 2 ) m | y g y m 十( j ，一m ) 10 y m 3 g m 3 y ( i 十一m 一) + i t , ( g m 3 ) 2 e t , 。( g 2 m ，) _ 1 ( ( ，。m ) y ，g l m 一 f y g m 3 r ( ，一m ) ) ( ，g 2 ) “ f y7 g y m t r ( g m 。) 2 一1 ( j ，一肘。) y m 3 g m 3 y ( ，一m 。) 十d ，( g 2 以) 叫( ( ，一m ) y m j g y m , + 且以y g ，j y ( ，。一m ) ) ，7 ( c 1 ) 的晟小一乘估计足j j ( ( 1 ) ! 彳。g ：0 时，取一( t r g 7 2 ) _ m y g y m ，f ( ( ) = ( t r g 2 ) 一1 ( m 。( m 。y g y ) = ( t r g 2 ) - l y l ( g m c m ) y 当 彳，( j 0 时 ，( c 。) 一( t r g 2 ) 一1 y ( g o m c m - ) y ) + ( t r g 2 m 3 ) 一1 j ，( g m 3 0 m 4 c ( ，一m ) ) + y ( 肘3 g ( j p m ) c m ) y + e t r ( g m 3 ) 2 一1 y 7 ( f 3 g m 3 ( j ，一m ) c ( ，p m ) y ( ? f ) ，p m 4 0 时 联立( 3 4 ) 、( 3 5 ) 得 ( t r ( g m j ) 2 ) + t r ( g m l g ( i 。一m 1 ) ) ( m ：+ y _ 2 。m 2 ) 4 - i t , ( g ( ，。一m ，) 2 m 2 m 2 一 m 2 y t t 一( ，一m ：) y m ， g r y 肘2 + m i y ( i 一一 如) ( 3 8 ) ( i ) m l g = 0 时 ( 3 8 ) 式为( ，r g 2 ) m 2 m 2 一m 2 y g y m 2( 3 9 ) 一( ，i g 2 ) - 。m 2 y g y m 2 + w m 2 w m 2 ，w 足使w m 2 w m 2 对称的任何 ，阶方阵。 m g 0 时 ( 3 8 ) 式两端右乘以 彳。得 d ，。( g 2 m 1 ) m 24 - t r m i g ( i m 1 ) g + t r g ( i 一肘i ) 2 m 2 y _ 2 m 2 一m y g y m 2 - i - ( j 一m 2 ) y m 1 g y m 。 ( 3 8 ) 式两端左右分别乘以m 。得 m 2 m 2 = ( t r g 2 ) m 。y g y m 2 1 1 代入( 3 9 ) 得 m 。一( g 2 ) m 2 f g y m ，+ t r ( g 2 m ，) 一( j p m 2 ) y j m l g y m 2 代入( 38 ) 得 = ( t r g 。) m 2 y g y m ： ( ( ；：m ，) ( j ，一m ：) y ，m 1 g y m 。+ m 2 y g 肘1 y ( i ，m 2 ) 0e t r ( g m i ) 2 j ( ，r m z ) r m 1 g m y ( i 一m 2 ) 当m g = 0 时，取= ( t r g 2 ) 1 m 。y g y m 。 ( ( j ) = ( t r g 2 ) 一1 j ，( g om 。c m 2 ) y 当m 1 g 0 时 ( c 1 ) = ( t r g 2 ) 一1 一( “ m c m ? ) y + m ( g 2 m i ) j ( g m io m ：c ( ，p 2 ) ) ，+ y ( m ，g o ( ，一m 。) ( m 2 ) j ， + i t , ( g m i ) 2 j ， ( 肘1 f ；mo ( jp 。m 2 ) ( ( j ，一m 2 ) ) f i i i ) m ，= 0j | l ( 3 4 ) ( 3 5 ) 的联立等式为 e t , ( g m ，) 2 。 t r ( g m ，g m ( ，p m 。) 。) 千附( g m ，( ， = y 彳1 一( ，一 ) y m ，( ，。 ( ，一m ) ( j 。m 。) m ) ( 。( ，p m 。) + m a ) m i ) 2 ( ，p m 。) 。( j p m 4 ) m 3 ) m 1 g m l y m l ( j 。一m 。) m 1 y ( 3 1 0 ) ：、m ，“= o 时，上式显然成立 m 1 g 0 时，( 3 1 0 ) 式化简为 眇( g m m ，肘。) 2 + 眇( g m m 。肘1 g m 。( j 。 t f ，( ( j m ( ，。一m ，) 彳t ) 2 1 m m 。 = 【y m l 一( p m | ) y m l ( ，。一m 3 ) 彳1 g 彳1 y m 。) m ，) ( m + m 。) m ( j 一m 3 ) 肘l y ( i ，一m i ) ( 3 1 】) ( “) “肘i 肘3 m i = 0 时 ( 3 1 1 ) 式化简为【，j ( u m ) 2 m 。 厶= m y m j g m ，】，埘。 1 = e t , - ( g m 。) 2 m 。y7 m g m l y m 。+ w m w m ，其中w 是使w m w m 对称的任何，阶阵。 ( 6 ) g m l m 3 m l 0 12 ( 3 1 1 ) 右乘以m 得 ，r ( g m l m ，m l g m l ) m 。+ ( g m l g m l ( j 。一m 。) m 】) m 。m = y m l 一( ，pm ) y m l ( ，。一m 3 ) f 1 g m l y m 4( 3 12 ) ( 3 12 ) 左乘以肘得 i ( ( j m l ) ： m 。m = m ，y m l g m l y m 4 m 。m ，= f r ( g m 。) 。 m 。y m 。c , m ，y m 。 ， 代入( 3 12 ) 得 m = m ( ( j m l ) 2 一m 。y m l g m l y m _ + e t ，- ( g m i m l m l g m l ) 一1 ( i pm 4 ) y m i m l m i f ；肘l y m 。 代入( 3 1 i ) ，f ：化简为 【_ ，( g m l 肘。m i ) 2 = ( ，m ) r m m ，m g m ，m ，m l y ( i 。一 彳) + e t , - ( ( j m 。 肘，吖i ) 7 j e t , ( g m l m j ( j m l ) i ( ( ，p m ) y m l 彳3 m l g 彳i y m l 一i m 4 y m i g m l m 3 m i y ( i ，一m ) 4 - t r ( g m l m 3 m 1 ) 2 l e t , ( g m t ) 2 一 m y 朋1 g m t y m 。= ，r ( g m l ) 2 m 。y mj g m 】y m 。+ f r ( g m ，m 。m ，g m ，) 一1 ( ，。一m 。) y 1m l m 3 m i g m l y m + m l y 。m i g m 、m 3 m i y ( i 。一m 4 ) + e t , ( g m l m 3 m 1 ) 2 一。( ，p m _ ) y7 m l 彳3 彳l g m l m 3 m l y ( 1 。一m ) 当m ，g 0 g m i m 。m = o 取。一 f r ( g m l ) 2 ，肘y ，m l g m l y m ，i ( c ) 一眇( g m l ) 2 一y ( m t g m lo m i c m ) y 当m i g 0g m i m 3 m 1 0 时 j ( ( 。) = f t , ( f i m ) 2 3 ( m i ( j m iom ( 1 m 4 ) ，( g m l m ，m l g m i ) _ 1 l y 7 ( m i ( ；m l m l m ，o m c ( ，p m i ) y y ( m l m l m i g m l ( ，十一m d ) c m l ) ，) _ t e t , ( g m l m 3 m 1 ) 2 _ 1 ，( 彳l m 3 肘1 g m f m 3 m lo ( ，。一m ) c t ln m t l ， ( 向) 肘2 0 ，一m 2 0 ，j ，一m 0 ，当 f 2 肘。一m m 2 时 由( 3 3 ) 得( 3 4 ) ( 3 5 ) 的联立等式为： ( t r g 2 ) m ：1m 2 + i t r ( g 2 m 。) m ：。( ，p m ：) 一e t ，g z ( ，一m 3 ) m 3 x - j 、m z ( ，一m 。) 一d r ( g 2 m l ( 。一m 。) w ) 彳2 ( ，一m 2 ) 13 ( ，p - ) + r ，r ( ( i 2 m ) ( ， m 2 ) 。m z + ，r ( g m ，) 2 ( ，p m ：) ( ， m ? ) 一f ( g m l g ( i 。m 3 ) ) ( ，一m 2 ) m 2 ( ，p m ) e t ，( g m l g 们l ( ，。m 。) f i ) ( ，p m 2 ) ( ，一m 2 ) ( ，p m ) e t r g 2 ( ，。一m 。) m 2 ( j ，一m ) m 2 一 ，r ( g m l g ( 1 。一m 3 ) ) 肘z ( ，。一m ) ( ，。m 2 ) t 一 ( ( ；( ，。m ，) ) 。 m 。( ，m ) 村：( ，。 彳) + m ( g f l r m 、) g m l 仉m 。) m 1 ) 。( ，m ) ( ，r m 。) ( ，一m ) + ，- ( g m i ( ，m 3 ) m i g ) ( j ，一m 2 ) ( ，p m ) 。m 2 + e t r ( m i g m l ( ，一m 3 ) ) 2 ( ，r m 2 ) ( ，p m ) 、z j 、( ，p m 2 ) ( ，p 一肘) 一 f ( g m ( ，一一m s ) m ，g ) ( ，p m z ) ( ，p m 一) 。m 2 一i t , ( g m l ( j 一m 3 ) 彳i g m j ) ( ，p m 2 ) ( ，一m 。) ( ，m ：) 2 m z y t ( ，p m 2 ) y m l 一 f 2 ( ，m 1 ) ，。 n ) 一( ，p m 2 ) ( ，一m ) y f i ( ，。m 3 ) m , 3 g y m 2 + m l y ( i p m 2 ) ( ，一m 3 ) y ( ， 一m d ) f 2 一 f t ( ，。一m 3 ) m l y ( ，p m ) ( ，p m 2 ) ( 3 16 ) m i g = 0 ，m 。g = 0 时 ( 3 16 ) 化简为 ( t t g