（理论物理专业论文）lorentz破缺的时空几何.pdf

2 0 10 ，m dd i s s e r t a t i o ni n s t i t u t i o nc o d e ：l0 2 6 9 s t u d e n tid ：5 10 7 0 6 0 2 0 11 e a s tc h i n an o r m a iu n i v e r s i t y t h eg e o m e t r yo fs p a c e - t im e w i t hb r o k e nl o r e n t zs y m m e t r y c o l l e g e ： m a i o r ： u d e p a r t m e n t o fp h y s i c s t h e o r e t i c a lp h y s i c s s p e c i a l t y ：p a r t i c l ea n dc o s m o l o g y t u t o r ： g r a d u a t e ： p r o f e s s o rx u ex u n z h a n gl e i m a y , 2 0 1 0 f_ntl、 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文( l o r e n t z 破缺的时空几何，是在华东师范大学攻 读硕士博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 除丈中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：务啦 日期： 纠年月，日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 ( l o r e n t z 破缺的时空几何系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师指导下完 成的硕士博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所有。本人同意 华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国家图 书馆、中信所和“知网 送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范 大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文 共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其 它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) () 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密 学位论文宰， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 ( 、2 不保密，适用上述授权。 翩签名尊堕2 本人签名丕故 毛卜 沙年1 5 只t | 日 “涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位 论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上 述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用 上述授权) 。 l i i i tt l 1i ii tj ll t lli i u i y 17 4 2 4 9 7 受益硕士专业学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 刘宗华教授华东师范大学物理系 主席 杨继峰副教授华东师范大学物理系 马雷副教授华东师范大学物理系 2 0 1 0 届华东师范大学硕士研究生学位论文 摘要 局部l o r e n t z 不变与c p t 不变一起构成了所有现代物理学的基础。而当今物 理实验对这两者的破缺程度给出了很严格的限制。但与此同时，有诸多细微现象 都似乎在表示一件事情，那就是l o r e n t z 对称性与c p t 对称性很可能是破缺的。 因而，寻找这种可能的破缺，并且给出匹配的合理的物理图景，将是一件很有意 义的事情。 自从0 6 年c o h e n 与g l a s h o w 在 1 中提出了l o r e n t z 破缺图景下的物理概念 后，许多基于这种物理思想的构造方式被提出。本文将他们的思想与f i n s l e r 几何做结合，试图给出f i n s l e r 几何与l o r e n t z 破缺之间的联系，并且给出 f i n s l e r 时空上的物理。 首先从对称性破缺出发，我们选择l o r e n t z 李代数的四元素子代数与三元素 子代数作为破缺后时空的原始局部对称性，随后将它们与时空平移李代数做半直 积，再将其形变，从而得到l o r e n t z 破缺时空的对称性。 在得到上述李代数结构后，找出相应的矩阵表示，通过k i11i n g 矢量场方程 来得到平直的f i n s l e r m i n k o w s k i 几何的度量函数，该度量函数在上述形变群作 用下是不变的，从而反应了时空具有相应的对称性。 在得到了所需的背景f i n s l e r 时空后，我们将给出这种时空中的点粒子作用 量，从而得到点粒子在所选定f i n s l e r 时空上的色散关系。 在这里，我们将看到，f i n s l e r 时空可以看作是平直时空上加上了某种相互 作用势，因而可以将f i n s l e r 几何视为某种具体的动力学模型； 最后，在获得了f i n s l e r 时空中的点粒子作用量与色散关系后，我们可以设 法构造出f i n s l e r 时空中的经典场的作用量，包括标量场、旋量场与矢量场。而 同时，如果我们要求规范对称性依然成立，那么我们也将得到f i n s l e r 时空中的 规范相互作用。 同时，我们也会看到，f i n s l e r 时空中的场会展现出一些很不同的性质。场 的相互作用大多都是非定域，这种非定域性也可以看作是对场以及场的质量做了 某种特殊的“类重整化 修正。而另外一类特殊的f i n s l e r 时空也将为规范场提 供“质量”。 本文还只是在经典物理的范围来探讨l o r e n t z 破缺的物理与f i n s l e r 物理。 对于物理上不可或缺的量子化，这罩并没有涉及。 f i n s l e r 几何在物理上的应用目前仍很有限。通过本文有限的尝试，我们看 2 0 1 0 届华东师范大学硕士研究生学位论文 到f i n s l e r 几何在物理上会引起不少新奇的行为。相信以后随着对f i n s l e r 几何 在物理上的不断渗入，我们会看到更多有趣的f i n s l e r 物理行为。 关键字：l o r e n t z 破缺，对称性破缺，形变群，f i n s l e r 几何 2 0 1 0 届华东师范大学硕士研究生学位论文 a b s t r a c t l o c a ll o r e n t zi n v a r i a n ta n dc p ti n v a l i a n ta r et h eb a s e so fm o d e r np h y s i c s ，a n d m o d e r np h y s i c se x p e r i m e n t sh a v eg i v e nas e r i o u sr e s t r i c t i o no ni t b u tn o w a d a y s ， t h e r ea l em o r ea n dm o r ei n d i c a t o r ss h o w st h a to n eo rb o t ho ft h e ym i g h tb eb r o k e n s o ，f i n dan e ww a yt oc o n t a i nt h es y m m e t r yb r o k e na n dc o m b i n ei tw i t ht h ea l lt h e v e s t e dp h y s i c sf a c t sm i g h tb eam e a n i n g f u lw o r k s i n c e2 0 0 6 ，c o h e na n dg l a s h o ws h o w nt h ep h y s i c si d e aa b o u tb r o k e nl o r e n t z s y m m e t r yi n 【1 】，t h e r ea l el o t so fn e wp h y s i c a lc o n s t r u c t i o nh a v eb e e nw o r k e do u t t h i sa r t i c l et r yt oc o m b i n et h eb r o k e nl o r e n t zs y m m e t r ya n df i n s l e r i a ng e o m e t r y , f i n do u tt h ec o n n e c t i o nb e t w e e nt h e m ，a n dp o s et h ep h y s i c sr u l eo nf i n s l e r i a n g e o m e t r y f i r s t l y , w es e to f ff r o mt h es y m m e t r yb r o k e n w es e l e c tt h ef o u r - e l e m e n ts u bl i e a l g e b r aa n dt h r e e - e l e m e n ts u bl i ea l g e b r a so fl o r e n t za l g e b r at ob et h eo r i g i n a ll o c a l s y m m e t r y a n dt h e nc a l c u l a t et h es e m i d i r e c tp r o d u c t so ft h e ma n dt h et r a n s l a t i o n a l g e b r ao f ( 3 ，1 ) s p a c e t i m e a f t e rt h a t ，d e f o r mt h es e m i d i r e c tp r o d u c t s ，a n dt h e nw e g e tt h es y m m e t r yo ft h el o r e n t z - b r o k e ns p a c e - t i m e s e c o n d l y , f i n do u tt h em a t r i xp r e s e n t a t i o no ft h ed e f o r m e ds y m m e t r y a f t e r c h o s e na na p p r o p r i a t em a t r i xp r e s e n t a t i o n ，w ec a nc o n s t r u c tt h ei n v a r i a n tf i n s l e r i a n m e a s u r e m e n tf u n c t i o nu n d e rt h eg r o u pa c t i o nb yk i l l i n gf o r m u l a t h i sm e a s u r e m e n t c a nr e f l e c tt h el o r e n t z - b r o k e ns y m m e t r yo ft h eg e o m e t r y a f t e rt h a t ，w ec a nc o n s t r u c tt h ea c t i o no fp o i n t - l i k e p a r t i c l eb yf i n s l e r i a n m e a s u r e m e n t ，a n dt h e ng e tt h ed i s p e r s i o nr e l a t i o no fi t a tt h i sp a r t ，w ew i l ls e et h a tt h ef i n s l e r i a ns p a c e t i m ec a nb eu n d e r s t o o da saf l a t r i e m a n n i a ns p a c e t i m ew i t hs o m ek i n do fs p e c i a li n t e r a c t i o np o t e n t i a l s o ，w ec a n t h i n kt h a tf i n s l e r i a np h y s i c si ss o m ek i n do fd y n a m i c a lm o d e lo fs p e c i a li n t e r a c t i o n a tt h el a s t ，w ew i l lf i n do u tt h ea c t i o no fs c a l a rf i e l d ，s p i n o rf i e l da n dv e c t o rf i e l d ， e s p e c i a l l yt h eg a u g ef i e l db yt h ef i n s l e r i a nm e a s u r e m e n ta n dt h ed i s p e r s i o nr e l a t i o n o fp o i n t l i k ep a r t i c l e s a n di fw er e q u i r et h eg a u g ei n v a r i a n to fa c t i o n ，t h e nw ew i l l g e tt h eg a u g ei n t e r a c t i o nr u l eo f t h ef i n s l e f i a ns p a c e t i m e a l s o ，w ew i l ls e et h a tt h ef i e l di nf i n s l e r i a ns p a c e t i m ec a nb e h a v ev e r yd i f f e r e n t t h ea c t i o no ft h e ma r ea l m o s ta l ln o n l o c a l ，a n dt h i sk i n do fn o n l o c a lp r o p e r t yc a nb e 1 l l 2 0 1 0 届华东师范大学硕士研究生学位论文 u n d e r s t o o d 弱s o m ek i n do f “r e n o r m a l i z a t i o n o ff i e l da n dt h em a s so ff i e l d i ns o m e k i n do fs p e c i a lf i n s l e r i a ns p a c e t i m e ，t h ef i n s l e f i a ng e o m e t r yw i l lg i v et h eg a u g e f i e l d “m a s s ” t h i sa r t i c l ej u s td i s c u s s e ss o m ep r o b l e mi nt h ef r a m eo fc l a s s i c a lp h y s i c s ，n o t c o n t a i nt h es u b j e c to f q u a n t i z a t i o n i tc a n b ed i s c u s s e di ns o m ek i n do fs a m ew a y t h eu s eo ff i n s l e r i a ng e o m e t r yi n p h y s i c si s s t i l lv e r yl i m i t e d v i at h et i n y a t t e m p ti nt h i sa r t i c l e ，w ec a n s e et h a tp h y s i c si nf i n s l e f i a ng e o m e t r yc a nb e h a v ev e r y n o v e l t ya n di n t e r e s t i n g ，a n ds o m eo ff i n s l e r i a ng e o m e t r ym i g h ts h o wu ss o m ev e r y u s e f u l l yn e wp h y s i c s w i t ht h ed e v e l o po ff i n s l e r i a ng e o m e t r yi np h y s i c s ，w ew o u l d f i n do u tm o r ea n dm o r e e x c i t i n gn e wp h y s i c sb e h a v i o r k e y w o r d s ：l o r e n t zb r o k e n ，s y m m e t r yb r o k e n ，d e f o r m e dg r o u p ，f m s l e r i a ng e o m e t r y 2 0 1 0 届华东师范大学硕士研究生学位论文 目录 第- j 藓二榴一一一一一一 j 2 0 1 0 届华东师范大学硕士研究生学位论文 2 1 ，d i s i m 群 2 2 ，x d i s i m l ，2 群 2 3 ，i s i m 群 3 ，d i h o m 群 4 ，d t e 群 4 1 ，d t e l 群 4 2 ，d t e 2 群 4 3 d t e 3 群 4 4 ，1 瞰2 ) 群 5 ，d i s 0 0 ) 群 5 1 ，d i s 0 0 ) i 群 5 2 ，d i s o ( 3 ) 2 群 5 3 ，i s o ( 3 ) 群 6 ，d i s o ( 2 ，1 ) 群 6 1 ，d i s o ( 2 ，1 ) 1 群 6 2 ，d i s o ( 2 ，1 ) 2 群 6 3 ，i s o ( 2 ，1 ) 群 7 ，小结 更多种形式的度量函数 8 1 ，基本度量函数组合的度量函数 9 ，本章小结 1 ，l o r e n t z 破缺时空中的点粒子运动 1 1 ，l o r e n t z 时空 1 2 ，d t e 2 a l 时空 1 3 ，d i s i m 时空 1 4 ，t e ( 2 ) 时空 2 ，l o r e n t z 破缺时空中的场运动 i i 鸫 n 鲐 $ 靳 硒 卯 钞 n 以 记 的 b 够 岱 ：2 聪 毋 n n 刀 乃 乃 巧 他 舳 2 0 1 0 届华东师范大学硕士研究生学位论文 2 1 标量场8 2 致谢 9 7 9 9 2 0 1 0 届华东师范大学硕士研究生学位论文 第一章，介绍 局部l o r e n t z 不变与c p t 不变一起，是所有现代物理学的基础。而当今物理 实验对这两者的破缺程度给出了很严格的限制。如果我们可以找出一个合理的物 理图景，既给出l o r e n t z 破缺与c p t 破缺，又能满足当前的物理实验要求，那无 疑会给出一个非常有意思的新物理。 0 6 年，c o h e n 与g l a s h o w 在 1 中提出了l o r e n t z 破缺图景下的物理概念。 他们给出了三个从l o r e n t z 群破缺得到的小群，作为时空的局部对称群：e ( 2 ) 、 h o m ( 2 ) 与s i m ( 2 ) 。其中，e ( 2 ) 群作为时空局部对称群时能有不变4 一矢( 刺矢， s p u r i o n ) 万一 1 ，0 ，0 ，1 ) ，而在h o m ( 2 ) 与s i m ( 2 ) 群中则没有。此后0 7 年，g i b b o n s 、 g o m i s 和p o p e 在 2 中提出了基于s i m ( 2 ) 群作为时空局部对称群的时空图景，而 这种时空图景就是f i n s l e r 几何。 g i b b o n s 等三人的做法，是将s i m ( 2 ) 群与四维时空平移群的半直积群i s i m ( 2 ) 群做形变( d e f o r m ) ，从而得到d i s i m ( 2 ) 群，该群允许s p u r i o n 作为不变4 一矢， 但作为代价，时空将不再是平常的r i e m a n n 几何，而是f i n s l e r 几何，相应的时 空度量可以被写为： + d s 2 = ( ，7 ，。d x p d x ”) 1 曲( n ，, d x p ) 拍：( 1 1 ) 其中b 为形变参数。 但是，这样的f i n s l e r 时空存在一些基本问题有待解决。比如( 1 ) 式给出的 度规，在时空几何中就明显存在负数的分数次幂这样的问题。另外，由于刺矢的 存在，时空中的类光面比原本黎曼几何中的情况复杂了很多，也会带来很多复杂 的问题。 本文的目的，就是要给出一类不同的l o r e n t z 破缺的时空几何，尤其，这类 时空几何都是f i n s l e r 几何。 2 0 1 0 届华东师范大学硕士研究生学位论文 1 ，f i n s l e r 流形 第二章，f i n s l e r 几何 在我们所熟悉的r i e m a n n 几何中，流形上一点的领域内的线元总可以表达为 如下形式： d s 4 9 p 。出p 出”。( 2 1 ) 这里，g 。为流形的度规张量，是流形上点的函数，换言之就是流形坐标的函数。 我们可以在流形上选定点的切空间里来看这个问题：在这个切空间内，上述线元 实际上可以看作是给出了切空间中指定点到原点的度量，或者说是给出了两个指 定点之间的度量之所以可以这么看，是因为在切空间中度量的性质是全同的。 而f i n s l e r 几何，事实上是r i e m a n n 几何的一种推广：不再将度量函数限制 为( 2 ) 式那样的二次型，而可以是任意一阶线性函数，即满足如下性质： f ( 工一，；t d x ) - a f ( z p ，d x 一) ( 2 2 ) 其中a 为大于零的任意常数。可见，显然r i e m a n n 几何度量函数的形式( 2 1 ) 自 然是一类f i n s l e r 度量，因而r i e m a n n 几何可以作为f i n s l e r 几何的特例而存在。 上述定义的度量函数f ( x a , y 卢) ，可以视为定义在底流形m 的切丛t m 上的， 给出了m 上指定点pn o j 窄_ i et m ，中的度量性质。其中第二个参量可以写为切 空间坐标y p ，而它依赖于切空间基点坐标x p 的选取。 度量函数进行了如上推广以后，我们可以给出f i n s l e r 度规： g p 。一言5 卢5 。f 2 。( 2 3 ) 1 显然，这样定义的度规张量必然是指标对称的，而且它对切空间坐标的微分也是 指标对称的： a 。g 一。- o g 。- a 。g 掣“( 2 4 ) 并且，当我们将度量函数取为r i e m a n n 形式( 2 1 ) 时，自然就得到了r i e m a n n 几 何中的度规张量： 这里及以后，都用；p 表示o o x 一，用a 表示o o y p 。 2 垫! ! 望兰銮堕翌奎兰堡主竺茎竺堂竺丝苎 g 一。，1 _ b 芦6 。( y 。y ，) 。宫p 。- ( 2 5 ) 与r i e m a n n 几何中不同，现在的度规张量不单是流形上点的坐标的函数，更是该 点出切矢量的函数或者，也可以说是切空间坐标的函数。 在得到度规张量后，我们自然可以仿造r i e m a n n 几何的方法来构造诸如联络、 r i e m a n n 曲率张量、r i c c i 曲率张量等几何量。 2 ，f i n s l e r 联络 2 1 ，非线性联络 在f i n s l e r 几何中，最核心的是度量函数f ( 矿，y 声) ，除此之外，还有一个 很重要的f i n s l e r 量，便是f i n s l e r 非线性联络 譬。 f i n s l e r 流形可以视为以底流形上的切丛为基本研究对象的几何学。在流形 的每个点上，切丛都给出一个切空间，在该切空间中存在自然坐标系 ) ，它与 流形上所选坐标架 ) 适配，而且前者是后者的函数：y 一一y 一( 工。) 。所以：在 坐标变换下我们有如下关系： j 工：二5 z i 。9 ) 、( 2 6 ) l y 州= y 州( x , y ) 一7 在坐标变换时，切空间坐标作为切矢量就必须满足坐标变换规律： y 等y 口椰 从而坐标基矢在坐标变换下就有如下性质： 可见，现在专依然是一个好的切空间基矢定义，但嘉不再是底流形上好的基 矢定义。为此，我们引入新的微分算符嘉为： 屯- 嘉一专一蜕参c 2 功 3 一 生缸扩 口 一唯 口 一啦 缸一缸缸一缸 2 0 1 0 届华东师范大学硕士研究生学位论文 其中蜕就是f i n s l e r 非线性联络： 畔- i 1y 。y 卢5 一y 品+ ) ，品) ，4 ”( 2 1 0 ) 这里： ，品一芎1g p ”( ；。g 加+ 5 卢g 。一5 。g 叩) ( 2 1 1 ) 从形式上说，就是r i e m a n n 几何中的第二类克氏符。通过这样定义得出的微分算 符就可以定义出二个好的坐标基矢。 f i n s l e r 非线性联络与f i n s l e r 流形上的测地射丛2 ( g e o d e s i cs p r a y ) 有着 很密切的联系 1 3 。 在f i n s l e r 几何中，测地线可以从极值线方程来获得。假如流形m 上有曲线 c ：( 口，b ) _ m ( 2 1 2 ) 则有自然映射c 将曲线c 的位置与切矢量映射到流形坐标x 卢与切坐标y p ，从而 曲线长度可以表示为： l c 】= f 。( f ) 出( 2 1 3 ) 从而可由e u l a r 方程得其极值方程为： ；p j 。一丢( a 一芒) | o ( 2 1 4 ) 整理可得： 万d 2 ：( 。) + 丢( 2 ；服y 。y ，一5 函y 。y 声) 。占如( 2 1 5 ) 簪+ 耖( 2 ；加毛g 叩) y y 。铷伽) 由于测地线可以视为粒子运动轨迹，而粒子运动轨迹可以由辛几何中的测地 节丛来刻画，从而( 2 1 5 ) 自然可以写为节丛的形式： d 2 c 丁, + 2 g 。占。o ( 2 1 6 ) d t 2 、7 2 射丛，也称节丛，j e t 丛，足流形切从的切丛。n 阶节丛就是n - i 阶节丛的切丛。 4 2 0 1 0 届华东师范大学硕士研究生学位论文 从而自由可得测地节丛为： g p i 1g p ”( 2 ；声g 胆一5 p g 筇y 4 y # - - j 1 7 ，b “y 。y 卢( 2 1 7 ) 这样，非线性联络就可以由测地节丛表达为： 苫- a 。g e ( 2 1 8 ) 这里要注意到度量函数为切空间坐标的一阶齐次函数，所以度规张量为切空间坐 标的零阶齐次函数，所以有： y a o 。g ) ，p a 。g 删一y v # 。g 炒- 0 ( 2 1 9 ) 2 2 ，f i n s l e r 联络 在得到f i n s l e r 几何的非线性联络后，我们就有了流形上的良好定义的坐标 基矢6 。，以及对偶基矢： 出一，6 y td y 卢+ n vd x ”) ( 2 2 0 ) 随后，我们就可以在这组基上来构造各种r i e m a n n 几何中所熟悉的几何量了。 首先，和r i e m a n n 几何一样，我们要构造f i n s l e r 几何上的协变微分。由于 现在有两套坐标系( 流形上的坐标与切空间的坐标) ，所以相应地协变微分也要 分两套。和r i e m a n n 几何一样，与度规适配的协变微分必须保证度规的协变微分 为零，从而有： v 。g ，l 。一v 。g ，i 。= 0 f 6 。g 一。一f 2 9 声。一f 盘g 朋- 0 15 。g p 。一r 幺g 加一产乏g 印一o a 。g 芦p a _ l l g 。；a 。g 叩 屯一一j 1 ，g 印( 6 一g p 。+ 6 。g 朋一6 p g 一。) r 乙一c 二= 去g 印a p g ： ”( 2 2 1 ) 其中r ：。是流形上的联络，而c 二是切空间的联络。 进一步，就可以利用联络来给出相应的r i e m a n n 曲率张量与r i c c i 曲率张量 等，这里不再冗述。 2 0 1 0 届华东师范大学硕士研究生学位论文 3 ，m i n k o w s k i 流形 在f i n s l e r 几何中，有一类特殊的f i n s l e r 流形很值得关注，那就是 w i n k o w s k i 流形。 在r i e m a n n 几何中，m i n k o w s k i 流形就是一类平直几何流形，其度量或者说 度规不会随着底流形坐标的选择而改变，因而完全只是切矢量，或者说切空间坐 标的函数。由于m i n k o w s k i 流形的度量函数f ( y 4 ) 只是切空间坐标的函数，因而 其度规张量也只是切空间坐标的函数，因而伤一o ，从而非线性联络为零，进而 m i n k o w s k i 流形的所有联络恒为零，m i n k o w s k i 流形的曲率张量也就恒为零，所 以f i n s l e r w i n k o w s k i 流形是平直流形。 6 2 0 1 0 届华东师范大学硕士研究生学位论文 第三章，l o r e n t z 群的子群 l o r e n t z 群的李代数有6 个生成元，分别是三个转动( 、) 与三个 赝转动( 吃、6 ，、吃) 。因而，l o r e n t z 李代数在同构的意义下有如下不同的李 子代数 1 ： 1 ，单生成元的李子代数； 2 ，两个二生成元的李子代数： s p a n r ，吃) ，s p a n + q ，也) “( 3 1 ) 它们的结构常数分别是： ：p p a a n n 芝：芝：吃) ：譬：三z 】。也+ ，”。力 s + 也，吃j ：【吃+ o ，吃】2 也+ ， 卜“7 3 ，四个三生成元的李子代数： s p a n r ，o ，乞) ，s p a n b ，6 ，| ，乞) ，s p a nt l ，f ：，乞) ，s p a n ，f ：，也) ”( 3 3 ) 其中f 。一也+ 0 ，t ：一6 ，一。它们的结构常数分别是： 它的 其中 t ( 2 ) 2 0 1 0 届华东师范大学硕士研究生学位论文 。三生成元的李子代数中，第一个为s o ( 3 ) 李代数，第二个则是2 + 1 时空中的 l o r e n t z 李代数，第三个则可以看作2 维类空平面上的转动与平移变换构成的二 维欧拉群e ( 2 ) 对应的李代数e ( 2 ) ，第四个是2 维类空平面上的平移与缩放构成 的二维保定向相似变换群h o m ( 2 ) 对应的李代数h o r n ( 2 ) 。其中，非平庸的只有e ( 2 ) 与h o r n ( 2 ) 两个李子代数。 四生成元的李子代数，则是二维空间中的平移、转动与缩放构成的相似变换 群s i m ( 2 ) 对应的李代数s i m ( 2 ) 。 在l o r e n t z 群的情况下，由于平移群的生成元阢与l o r e n t z 李代数生成元的 对易子还是平移生成元，所以时空整体的对称群即p o i n c a r e 群为平移群与 2 0 1 0 届华东师范大字坝士研，冗生字位记又 第四章，形变群 假定一个群对应的李代数具有结构常数 z ，乃】。嗡瓦，则它的形变李代数便 是具有如下形式结构常数的李代数 2 ： 岛一瞄+ 皤+ f 2 噶+ ( 4 1 ) 这里t 为形变参数，表征了形变的大小。由于现在的结构常数必须要满足形变代 数依然为李代数这点，因而有j a c o b i 恒等式： ： 【五，乙】，瓦】+ 弓，瓦】，互】+ 【 t ，巧】，乃】。0 ( 句岛4 - a i k + c a 产ma 蔚i ) 乙- 0 稚宝】一句岛+ 舒以+ 曰吃一0 岛一瞄+ 罐+ f 2 噶+ 。c ，a 卜 c 】t + f ( 雒q 】+ q m p 气i 】) + f 2 ( 饰钙】+ b 叩 c f t 】+ c 叩 b 巧t 】) + 一0 。q 】。0 f ( 雒q 】+ c 个 a 】t ) + r 、a ， 卜a t 】+ b ” c t 】+ q m 弘气i 】) + 一0 ( 4 2 ) 形变结构常数要求对于形变参数的每一阶上面的等式都能独立成立，从而就 有约柬方程细： 雒m l 1 i + 筇a f 】i o 雒m 1 + 筇c 】l + q m n 气l 】；o ( 4 3 ) 进一步，要求形变后的李代数与原始李代数不同构，那就要求不存在一个一 般李代数矢量空间中的坐标变换- + f + g l ( ，1 ) 使得： 岛一( s 。1 ) 弦1 ) ： 笤一群岛一瞄彰一a 群。( 4 4 ) 定义a 一为原始李代数的基矢( 左不变1 形式) ，且有 7 ：d a 一一二tc 曲, a 4 矿， 从而可以定义矢量值的1 形式场西4 ；筇a 6 与2 形式场a 4 一 群a a 、 b 4 = 丢彤a a 7 ，以及一个矩阵值的i 形式场e = a 吒，因而可以定义现在这 9 2 0 1 0 届华东师范大学硕士研冗生学位论文 个矢量空间中的外协变微分算符d 。d + ca ，从而( 4 3 ) 第一式与( 4 4 ) 式可以写 为： d a 4 o ，a 4 一一d 西4 ”( 4 5 ) j a c o b i 恒等式则要求了d 2 。0 。现在，( 4 3 ) 第二式可以改写为： d b 4 + ( 彳彳) 4 一o ”( 4 6 ) 其中( 彳彳厂一互1 叩aa 叫b 矿。可见j 这个方程要可解就必须要求 d ( a 彳) 4 - 0 。 如果我们这里要求a 么= 0 ，则会发现二阶形变项也满足( 4 5 ) 式，从而b 一 的可取形式与4 ，可取形式相同，所以在这种情况下我们只需要讨论一阶形变项 2 0 1 0 届华东师范大学硕士研究生学位论文 第五章，不变度量与k i l l i n g 矢量场 f i n s l e r 流形上如果具有某个对称群l ，则该f i n s l e r 流形的不变度量f 就 是在l 的作用下不发生改变的度量函数。 将对称群元写为r ( 口) ：三，其中口为群作用参量，则不变度量要求如下等 式成立： 。 f ( 尺( 口，工8 ) 声，尺0 ，y ，) ”) 一f ( x 一，y j ) 厶( 5 1 ) 在一般f i n s l e r 流形上，上式虽然形式简洁，但实际上却很难求解。我们可 以只考虑无穷小群变换下的情况，此时度量应该依然是不变的。- 与r ( o ，r ) 一对 应的无穷小变换为石一+ o c x 4 + o a 一，相应的，在切矢量上给出的无穷小群变换 为) ，一+ 喇y 4 。从而( 5 1 ) 式可以写为： f ( x p + 印吁x 4 + 觎一，y ”+ 睇y 卢) ；f ( 工一，y ”) ( 5 2 ) 进一步可以写为： ( 贮石口+ a 一) ；p f + 形y 声a 。f o ( 5 3 ) 同时j 考虑到f - , g 。y p y ”，上式可以写成度规表达式： ( 彭工。+ a y 4 y p ；，g 印+ 形y ，y 4 y 户5 。g 叩+ 2 y p g 叩) 一o - - - - - - - - - ( 5 4 ) 由于度规是切空间坐标的零阶齐次函数，所以由( 5 4 ) 式可得： y 。y p ( 蟛矿纠) j p g a p + 磁】- 0 ( 5 4 ) 对于m i n k o w s k i 流形，由于度量函数只是切空间坐标的函数，因而上式可以 继续化简为： y y p 彬g 印一o ( 5 4 ”) 但要注意的是，这里最基本的还是( 5 2 ) 式，对m i n k o w s k i 流形则为： f ( y ”+ o q 喀y ，) 一f ( y ”) ( 5 2 ) 与之相关的，我们可以看一下流形上的l i e 导数与k i l l i n g 矢量场。 1 je 导数的定义为6 1 ： 2 0 1 0 届华东师范大学硕士研究生学位论文 驯p 姗尘芝盟- 鳓 这里妒为推前映射，t 为映射参数，y 为任意张量场。可以将其写为拉回映射的 形式： 驯p - n m t - - p o 型乎似) 这里拉回映射可以看作一个坐标变换，从而将p 点上的张量场变为p 点上的场， 从而拉回映射在这里就可以写为张量场在坐标变换下的相应映射变换，这点与上 面局部对称群作用在度量函数上的情况相同o 在无穷小变换的情况下，对二阶张 量场的l i e 导数可以写为： 似i ，。筹罟f p + 凹 一( 虻+ 噬) ( 彩+ 钟) l p 一 ( 5 6 ) 。匕。i p + 眦+ 口( 彩+ 衫) i 卯 圳p = 溉华 一 ( 杉矿+ a 芦) 5 卢。+ 衫y 。5 卢。+ ( 酽+ 衫) l ， 从而k i lli n g 矢量场就是满足下式的矢量场： ( 衫矿t a 卢) 5 ，g p 。+ 衫y 。5 声占p 。+ ( 筇彩+ 衫) g 筇= 0 ”( 5 8 ) 将上式乘以切矢量并矢y y ”可得： y p y ”( e x 4 + a 卢) ；户g ，。+ 虻y py ”y ，a 。g 印+ 2 y 卢g 筇) 0 ”( 5 8 ) 进一步可以化简为： ) ，p y ”f ( 衫z 。+ a ，) 5 声g 。+ 钟1 = o ( 5 8 ) 而这就是前面得到的( 5 4 ) 式。因而，k i l l i n g 矢量场就是让度规为群作用不变 度规的群变换的无穷小变换形式所给出的矢量场。 所以，我们既可以用群作用不变来寻找k i l l i n g 矢量场，也可以利用k i l l i n g 方程来寻找时空对称群。 2 0 1 0 届华东师范大学硕士研究生学位论文 第六章，p o i n c a r e 群子群的形变群 p o i n c a r e 群是由l o r e n t z 群与四维平移群半直积得来，其中l o r e n t z 群由6 个生成元构成，分别是三个空间转动( 、乞) 与三个时空赝转动( 吃、屯、 阢) 。l o r e n t z 群是p o i n c a r e 群的正则子群，而平移群是p o i n c a r e 群的a b e l 子 群，容易发现l o r e n t z 群的子群一样可以与平移群作半直积以构成p o i n c a r e 群 的子群。 p o i n c a r e 群的子群有很多种，本文只考虑l o r e n t z 群的子群s l 与平移群t ( 4 ) 的半直积群这类子群。 对于这类子群，其形变群也有两大类。 一类，是l o r e n t z 群子群s l 的形变群d s l 与t ( 4 ) 的半直积群，称为局部形 变群；另一类，则不能表达为第一类这种半直积群，是整体形变群。其中，第二 类还能细分为两类：一类整体形变群中，l o r e n t z 子群部分不发生改变，而第二 类整体形变群则连这部分也会发生改变。我们这里主要考虑的是l o r e n t z 子群部 分不发生改变的整体形变群。这类形变群中，l o r e n t z 子群与平移群的交叉部分 发生形变，同时平移群部分也会发生形变，所以并不能写为l o r e n t z 子群与平移 群的形变群的半直积群这种简单的形式，所以也称为整体形变群。 同时，需要注意的是，就和p o i n c a r e 群可以将h o r e n t z 群看作是局部对称 群而平移群则反映了邻域内的连结特性一样，p o i n c a r e 群的这些子群的形变群 有些也能做类似的分解，比如对于局部形变群