（应用数学专业论文）kam理论若干问题的研究.pdf

摘要 本文应用k a m 理论有关的技巧与方法，主要研究了以下的几个问题： 1 、非线性拟周期系统的约化 考虑了下面实解析非线性拟周期系统： 圣= a x + f ( t ，z ，e ) ，k i r 其中x r 2 ，a 是一个2x2 阶的实矩阵，f ( t ，0 ，) = d ( e ) ，o z f ( t ，0 ，e ) = d ( e ) 当e _ 0 在系统的频率和矩阵a 的特征值满足一定的非共振条件下，我们不需要任何的非退化条 件，对绝大多数充分小的扰动参数e ，通过一个仿射的拟周期变换，把上面的系统在零平 衡点附近约化成 多= a 。y + o ( y 2 ) ，或雪= a 。y + d ( y ) ， 的形式从而对绝大多数充分小的e ，系统( 1 ) 有实解析的拟周期解，其频率与系统的频 率相同 2 、哈密顿系统不变环面的保持性 考虑下面实解析近可积的哈密顿： h ：e + ( u ，可) + 昙a ( t 正2 + t ，2 ) + 丢匆q ( z ) ，) + p ( z ，y ，u ，t ，；e ) ， ( 2 ) 这里( z ，y ，u ，口) 俨xr nxrxr ，是小扰动参数，u 是d i o p h a n t i n e 频率向量，对应的 辛结构为冬ld x i 妣+ d u a d v 我们假设q ( x ) 的平均【q 】是个非退化的矩阵，p 满足 a 刍l i q z ，y ，z ，牙；e ) k 。，z ) ：o = d ( e ) ，当e _ 0 ，i t l + t + 歹2 ， u 和入满足m e l n i k o v 非共振条件在上面的条件下，我们证明了对绝大多数充分小的扰 动参数e ，哈密顿系统( 2 ) 有频率为u 的不变环面 3 、可逆系统k a m 环面的g e v r e y 正则性 本文还考虑了下面形式的解析可逆系统k a m 环面的g e v r e y 正则性问题： 圣= u ( 毒) + f l ( z ，y ，u ，口，毒) ，雪= f 2 ( z ，y ，u ， ，荨) ， ( 3 ) 也= a ) u + 1 ：3 ( z ，y ，u ，u ，) ，西= 一a ) u + 1 4 ( z ，y ，u ，秒，荨) ， 一 i 这里( z ，y ，u ，t ，) 俨r r p x 孵，a = d i a g ( a 1 ，入p ) ，oc 舯是参数，其中o 是闭 的有界连通区域，p ( 1 4 ) 是扰动项对应的对合变换g ：( z ，y ，u ，t j ) _ ( 一z ，y ，一t ，u ) 在u ( ) 和a ( ) = ( 入1 ( f ) ，a p ( ) ) 满足r i i s s m a n n 非退化条件和m e l n i k o v 非共振条件 下，我们证明了当扰动项充分小时，存在一个非空康托尔集瓯cp ，使得对比伉，未 扰动系统的不变环面都可以保持下来，并且关于参数在w h i t n e y 意义下是g e v r e y 光 滑的 4 、可逆系统不变环面的保持性 考虑下面形式的可逆系统： 圣= u + q ) y + c l ( z ) 牡+ c 2 ( z ) t ，+ ，1 ( z ，y ，t 正，口) ， ( 4 ) 雪= ，2 ( z ，y ，u ，口) ，吐= a v + ，3 ( z ，y ，u ，口) ，移= b u + ，4 ( z ，y ，u ，口) ， 这里( z ，y ，让，u ) t r , p 础r p ，u 是d i o p h a n t i n e 频率向量，”( 1 4 ) 是扰动项， 对应的对合变换g ：( z ，y ， i t ，u ) 一( 一z ，y ，一u ，口) 令 q = ) 我们得到以下的结论： ( i ) 如果矩阵q 的所有特征值有非零实部，并且q ( x ) 的平均 q 】满足r a r k ( q ) = n ， 在上面的条件下，我们证明了未扰动系统的不变环面在小扰动下能保持下来，并且不变 环面频率为u ( i i ) 当矩阵q 有纯虚的所有特征值时，我们通过考虑未扰动系统的高阶项，也得 到了类似的结论 关键词：哈密顿系统，可逆系统，低维不变环面，r i i s s m a n n 非退化条件，g e v r e y 光 滑，k a m 迭代 a b s tr a c t a p p l y i n gs o m et e c h n i q u e sa n dm e t h o d si nk a mt h e o r y , w em a i n l yd i s c u s st h ef o l l o w i n g s e v e r a lp r o b l e m si nt h i st h e s i s ： 1 o nt h er e d u c i b i l i t yo fn o n l i n e a rq u a s i - p e r i o d i cs y s t e m c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gr e a la n a l y t i cn o n l i n e a rq u a s i - p e r i o d i cs y s t e m ： 圣= a x + f ( t ，z ，e ) ，k i r ( 1 ) w h e r ez r 2 ，a i sa r e a l2 x 2c o n s t a n tm a t r i x ，f ( t ，0 ，e ) = d ( e ) a n do x f ( t ，0 ，e ) = o ( e ) 船e _ 0 w i t hs o m en o n - r e s o n a n tc o n d i t i o n so ft h ef r e q u e n c i e sw i t ht h ee i g e n v a l u e so faa n dw i t h o u t a n yn o n d e g e n e r a c yc o n d i t i o nw i t hr e s p e c tt oe ，f o rm o s to ft h es u f f i c i e n t l ys m a l lp e r t u r b a t i o n p a r a m e t e re ，w eh a v ea na f f i n ea n a l y t i cq u a s i p e r i o d i ct r a n s f o r m a t i o nw h i c hc h a n g et h ea b o v e s y s t e mi n t ot h ef o l l o w i n gf o r m - 雪= a + y + o ( y 2 ) ，o r 雪= a 。y + 0 ( 剪) t h e r e f o r e ，t h es y s t e m ( 1 ) h a sr e a la n a l y t i c a lq u a s i - p e r i o d i cs o l u t i o n sw i t ht h es a i n eb a s i c f r e q u e n c i e sa st h es y s t e mf o rm o s to fs u f f i c i e n t l ys m a l lp a r a m e t e r se 2 t h ep e r s i s t e n c eo fi n v a r i a n tt o r if o rh a m i l t o n i a ns y s t e m s c o n s i d e rt h ef o l l o w i n ga n a l y t i cn e a r l yi n t e g r a b l eh a m i l t o n i a n ： 日= e + ( u ，! ，) + 三a ( u 2 + u 2 ) + 互1 ( 可q ) ，秒) + p ，y ，让， ；e ) ， ( 2 ) w h e r e ，y ，u ，钉) t n x r n x r x r ，e ( 0 ，1 ) i sas m a l lp a r a m e t e r ，ui sad i o p h a n t i n ef r e q u e n c y v e c t o r t h eh a m i l t o n i a n 日i sa s s o c i a t e dw i t ht h es t a n d a r ds y m p l e c t i cf o r m ：ld x iad y l + d uad v w es u p p o s et h a t 睁】i san o n s i n g u l a rm a t r i x ( h e r e q 】i st h ea v e r a g eo fq ) ) ，p s a t i s f i e s 锐碰罐p 扛，y ，z ，露e ) i ( 掣，：，三) ：o = d ( e ) ，i l l + i + j 2 ， ua n das a t i s f yt h em e l n i k o v sn o n - r e s o n a n c ec o n d i t i o n s t h e nt h eh a m i l t o n i a ns y s t e m ( 2 ) h a s i n v a r i a n tt o r iw i t ht h et a n g e n t i a lf r e q u e n c i e suf o rm o s to ft h es u f f i c i e n t l ys m a l lp e r t u r b a t i o n 3 g e v r e yr e g u l a r i t yo fk a m t o r ii nr e v e r s i b l es y s t e m s u l c o n s i d e rt h er e v e r s i b l es y s t e m so ft h ef o l l o w i n gf o r m ： 圣= u ( 毒) + ，1 ( z ，暑，u ， ，) ，雪= ，2 ( z ，剪，t 正，u ，毒) ， 吐= a ( ) u + ，3 ( z ，y ，u ，u ，f ) ， 心= 一a ) t + y 4 ，y ，z t ， ，) ， ( 3 ) w h e r e ( z ，y ，u ，t ，) n x r m x r p x r p ，a = d i a g ( a 1 ，入p ) ，oc t “a r e p a r a m e t e r s ，w h e r e p i sab o u n d e dc l o s e dc o n n e c t e dd o m a i n ，p ( 1 4 ) f l r es m a l lp e r t u r b a t i o nt e r m s t h e c o r r e s p o n d i n gi n v o l u t i o ng i s0 ，y ，u ，v )一( 一z ，y ，- - u ，口) u n d e rr i i s s m a n n sn o n - d e g e n e r a c y c o n d i t i o no fuw i t hr e s p e c tt ot h ep a r a m e t e rfa n dm e l n i k o v sn o n - r e s o n a n c ec o n d i t i o n so fu a n de i g e n v a l u e so fq ，t h e r ee x i s t san o n e m p t yc a n t o rs e tgcps u c ht h a tf o ra l lf o ，t h e i n v a r i a n tt o r io fu n p e r t u r b e dr e v e r s i b l es y s t e mc a np e r s i s tu n d e rs m a l lp e r t u r b a t i o n m o r e o v e r ， w ep r o v et h a tt h o s ei n v a r i a n tt o r ia r eg e v r e ys m o o t hw i t hr e s p e c tt ot h ep a r a m e t e r sfi nt h e s e n s eo fw h i t n e y 4 t h ep e r s i s t e n c eo fi n v a r i a n tt o r if o rr e v e r s i b l es y s t e m s c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gr e v e r s i b l es y s t e m ： 圣= u + q ( x ) v + c l ) u + 岛 ) 口+ f x ，y ，u ，t ，) ， 雪= ，2 ( z ，y ，u ，口) ，也= a v + y 3 ( z ，y ，u ，口) ，西= b u + ，4 ( z ，y ，让，口) ， w h e r e ( 。，y ，u ，u ) 俨r m r p r p ，ui s ad i o p h a n t i n ef r e q u e n c yv e c t o r ，”( 1 4 ) a r es m a l lp e r t u r b a t i o nt e r m s t h ec o r r e s p o n d i n gi n v o l u t i o ngi s ( z ，y ，“，u ) _ ( 一z ，y ，一u ，”) w eh a v et h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： q = ( 呈吾) i fa l le i g e n v a l u e so ft h em a t r i xqh a v en o n z e r or e a lp a r t sa n dr a n k ( 【q 】) = n ( h e r e 【q 】 i st h ea v e r a g eo fq 扛) ) ，w ep r o v et h a tt h ei n v a r i a n tt o r io fu n p e r t u r b e dr e v e r s i b l es y s t e mc a n p e r s i s tu n d e rs m a l lp e r t u r b a t i o n t h ef r e q u e n c yo ft h ei n v a r i a n tt o r ii su ( i i ) i fs o m ee i g e n v a l u e so ft h em a t r i xqa r ep u r ei m a g i n a r y , w eh a v es i m i l a rr e s u l tb y c o n s i d e r i n gt h eh i g h e ro r d e rt e r m so ft h eu n p e r t u r b e di n t e g r a b l es y s t e m k e yw o r d s ： h a m i l t o n i a ns y s t e m s ，r e v e r s i b l es y s t e m s ，l o w e rd i m e n s i o n a li n v a r i a n t t o r i ，r f i s s m a n n sn o n - d e g e n e r a c yc o n d i t i o n ，g e v r e ys m o o t h ，k a mi t e r a t i o n 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用 过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 研究生签名：近 日期；华 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研 究生院办理 研究生签名：二嶂 导师签名： 日期：掣 第一章引论 1 1 哈密顿系统的基本概念和定理 定义1 1 1 辛流形设m 2 ”是一个偶数维的可微流形，刃2 是a f 2 n 的2 形式，并且 满足 以，仍2 是闭的，即d w 2 = 0 例刃2 是非退化，即对比0 ，却：刃2 ( ，7 ) 0 ( ，卵t a 缸) 则( m 加，刃2 ) 称为辛 流形，历2 称之为辛结构 例1 1 1 取m 2 n = r 孙，田0 = e 2 d p , a d q i ，其中( 口，p ) = ( 9 1 ，q n ，p l ，骱) 是r 2 n 上的坐标则有 司( u ，u ) = ( j u ，u ) ，对所有的u ，u 嗽n ， 这里，( ，) 代表r 2 n 中的欧几里得内积， j = ( 三吉) 其中厶是佗阶单位矩阵。通常我们称( r 加，刃3 ) 是r n 上的标准辛空间，称弼是舻n a 吾- o 标准辛结构 定理1 1 1 ( d a r b o u x ) 3 8 】设 f 2 ”是2 n 维流形，刃2 是m 2 n 上的非退化2 一形式 则d w 2 = 0 当且仅当在每一点p m ，存在坐标( 阢妒) ，使得妒：( x l ，z 。，耖1 ，y n ) _ q ucm 满足妒( 0 ) = p ，且有 矿刃2 = 刃3 = 如i 毗 即m 2 “上的任意一个辛结构仍2 都局部地同构于r 2 n 上的标准辛结构刃3 定义1 1 2 哈密顿向量场设( m ，仍2 ) 是一个闭的2 n 维辛流形，h ：m 2 n _ r 是 一个光滑函数，由等式 仍2 ( x h ，) = 一d h ( )( 1 1 1 ) 2 东南大学博士学位论文 确定的向量场妇：m 知_ t m 2 n 称为哈密顿向量场 赡d i f f ( m 2 “) 满足 爰螃= 妇。墙，以= 记 它诱导的单参数微分同胚群 ( 1 1 2 ) 称为由日决定的哈密顿相流 定义1 1 3 辛矩阵设d 是2 nx2 n 阶的矩阵，如果存在p 0 ，使得 d 丁j d = p 五 这里t 代表矩阵的转置那么我们称d 是以p 为乘子的辛矩阵特别地，p = 1 ，即 d t j d ：j 时，称d 为辛矩阵 容易验证：如果a 和b 是辛矩阵，则a t ，a ，a b 都是辛矩阵所以辛矩阵组成 的集合构成了一个乘法群 定义1 1 4 辛变换设( ) 是r 2 n + 1 空间的某个空间开集，映射 ：0 毫2 ”+ 1 r 2 ”， ( 岛z ) 一荨= ( ，z ) 是个光滑映射如果对v ( t ，z ) 0 ，甏都是辛的，即 ( 塞归譬= j 则称西是辛变换或辛映射 容易验证：辛变换有下面的性质： ( 1 ) 辛变换的复合也是辛变换 ( 2 ) 辛变换的逆变换也是辛变换 ( 3 ) 辛变换把哈密顿系统变成哈密顿系统 定理1 1 2 ( l i o u v i l l e ) 7 哈密顿相流保持辛结构不变，即 ( 以) 刃2 = 刃2 ， 第一章引论 因此k 是辛映射从而哈密顿相流是保体积的，即对任意区域d 我们有 m e a s ( 曲( d ) ) = m e a s ( d ) ， 这里i n e a s 表示勒贝格测度 p o i s s o n 括号是一种特殊形式的算子，在哈密顿系统中扮演着重要的作用，下面我 们给出p o i s s o n 括号的定义 定义1 1 5p o i s s o n 括号辛流形( m 轨，留2 ) 上的函数h 和f 的p o i s s o n 括号 f ，日 定义为函数f 沿着哈密顿相流西备的方向导数。 【f 日) ) = 丢i 扛。f 。咖备 ) 例1 1 2 在例j 1 j 的标准辛空间( r 凯，留3 ) 下，p o i s s o n 括号有下面的计算公式： f ，日) = ( j v f , v h ) = ( 箐八筹) 一( 筹八等) u uu j pu 。pu 0 易见：p o i s s o n 括号有下面的一些重要的性质： 1 由p o i s s o n 括号的定义可得： f ，h = d f ( x h ) = 钌2 ( 妇，x f ) = 一d h ( x f ) 2 满足j a c o b i 恒等式： f ， g ，日】) + g ，_ 【h ，f ) + 日， f g 】) = 0 由上面可知：无穷可微函数集合在p o i s s o n 积运算下构成了李代数 定义1 1 6 首次积分函数f ：m 2 ”叶r 称为向量场x h 的首次积分，如果它沿着 该向量场的方向导数为零，即d f ( x h ) = 0 关于哈密顿向量场的首次积分，我们有 1 f 是向量场x h 的首次积分当且仅当 e 日 = o ； 2 h 是向量场x h 的一个首次积分； 3 如果eg 都是x h 的首次积分，则 0 ，如果l l 6 口2 ，那些频率u q 口的未扰动系统的 不变环面( n ，u ) 都能保持下来，只不过稍微有些变形并且保持下来的不变环面关于 u 是l i p s c h i t z 连续的，在相空间dx 俨中是几乎充满的，其余集的测度不超过d ( a ) 经典的k a m 定理考虑的是哈密顿系统最大维数的不变环面的保持性问题，下面我 们考虑哈密顿系统低维不变环面的保持性问题所谓低维不变环面，就是指即不变环面 的维数低于哈密顿系统的自由度 考虑下面形式的哈密顿系统t 圣= h v = u + q y + b ，痧= 一也= 一b ，右= ，风= j m z + ，只 ( 1 1 9 ) 第一章引论 其中 h = e + ( ，y ) + 言白，q 可) + 言( m z ，z ) + p ( x ，y ，z ) ， ( 1 1 1 0 ) 这里( z ，y ，名) 俨xr ”xr 2 m ，z ，y 和z 分别是角变量，作用变量和法向变量，p 是扰动 项 如果p = 0 ，哈密顿系统( 1 1 9 ) 变成了 圣= u - 4 - q y ，i l = 0 ，三= j m z ( 1 1 1 1 ) 哈密顿系统( 1 1 1 1 ) 是可积的，并且有不变环面 i nx o ) o ) ，在这个不变环面上有拟 周期流z = w t + t o ，y = 0 ，名= 0 ，我们称u 和q = ( q l ，q 2 ，q m ) 分别为该不变环面的 切向频率和法向频率，其中士，i q j0 = 1 ，2 ，m ) 是矩阵j m 的特征值当j m 的 所有特征值都有非零的实部时，我们称哈密顿系统( 1 1 1 1 ) 的不变环面是双曲的如果 j m 的所有特征值都是纯虚的，我们称哈密顿系统( 1 1 1 1 ) 的不变环面是椭圆的关于 哈密顿系统( 1 1 1 1 ) 的不变环面在小扰动下的保持性问题，已经有了很多结果 首先m o s e r 6 2 】研究了哈密顿系统低维双曲不变环面的保持性设哈密顿哈密顿函 数由( 1 1 1 0 ) 给出作者假设u 是一个d i o p h a n t i n c 频率，q 和 f 分别是nx 佗，2 mx2 m 的非奇异对称常矩阵，j m 的特征值是互异的实数在上面的条件下，m o s e r 6 2 】证明了 频率为u 的环面 o ) 【o ) 在小扰动下可以保持下来 1 9 7 4 年g r a f t 3 2 】推广了m o s e r 6 2 】的结果，容许j m 有重的实特征值随后z e h n d e r 1 1 2 】用隐函数定理的方法给出了g r a f t 3 2 结果的证明 以上结果都是针对哈密顿系统低维双曲不变环面的j k n g e lj o r b a 和j o r d iv i u a n u e v a 在 4 4 】中考虑了哈密顿系统低维椭圆不变环面的保持性问题，作者研究的哈密顿函数是 n m h = e + u t 犰4 - 石1 q j ( 嵋+ 亏) - i - 吉( q y ，y ) + p ，y ，u ，口，e ) ， ( 1 1 1 2 ) i-1。j=l 这里( z ，y ，u ，口) 矿xr nxr ”xr ”；e ( 0 ，1 ) 是小参数；q 是nx 佗非退化矩阵；p 满足 或说碍p l ( ! ，“。) ：o = d ( e ) ，当e _ 0 ，+ i i + j i 2 相应的辛形式为銎l 如ad y i - 4 - 墨1d ad v j 作者假设 ( i ) u 和q 满足下面的非共振条件： i ( k ，u ) + ( z ，q ) i 爵，k ez - 0 ，z n ，雌2 ， ( “1 3 ) 7 8 东南大学博士学位论文 这里8 0 ，7 诧一1 ( i i ) i 警i c _ 。 0 ，i 垫d e 霸2 j ) l c _ 0 州庐1 2 ， m ， ( 1 1 1 4 ) 其中q ( e ) = ( q 1 ( ) ，瓯( e ) ) 是第一次迭代后系统的法向频率 在上面的条件下，a n g e lj o r b a 和j o r d iv i l l a n u e v a 4 4 】证明了：存在一个充分小的e o 0 和一个非空康托尔集以c ( 0 ，e o ) ，使得v e 7 r 。，原哈密顿系统有一个频率为u 的不变 环面并且对每个0 仃 4 n + 6 ) 光滑的 1 1 1 2 东南大学博士学位论文 后来，p s s c h e l 【7 3 】把扰动项的光滑性降到了p c 2 ( 2 2 扎) ( 同时推荐参考【8 2 】) ，也 就是说；在扰动项满足2 n 阶偏导数是h 6 1 d e r 连续的条件下，同样也可以得到类似的结 果 事实上，扰动项p 的光滑性还可以被进一步的降低2 0 0 7 年，j a l b r e c h t 3 】在扰动 项p 满足更弱的光滑性条件下，得到了下面的结果： 定理1 1 6 【3 】考虑哈密顿系统印j 幻j ，其中是q 非退化的常矩阵，u 满足下面的 d i o p h a n t i n e 条件l ，蚓斋，。o ，k = ( k 2 ，z n 0 ) 记z = ( z ，可) ，p ( 名) 关于每个变量都是2 7 r 周期的，并且p ( z ) 有连续的偏导数蓑多o = 1 ，2 ，2 n ) 令 = z，i 雾一肇，) i , z e r 2 n , i z g j s u p v 1 zer2n,iz-z1 6 ( 6 ) = i 毛云( z ) _ 。h 一、，) i u z u z 假设； z 1 竿认o 。，对川 2 渤( 1 1 2 2 ) 则存在正常数e ( 仅依赖于礼，a ，q ，k i ，配， 2 n ) ，使得当s u p z e r ：。i p ( z ) i e 时，哈密 顿系统以j 2 纠有解并且存在可微的函数： u ：r “一r ，z = ( x l ，x 2 ，z 。) _ v ( x ) u 的梯度巩是2 7 r 周期的，并且满足： h ( x ，巩( z ) ) = c o n s t 这样方程y = ( z ) 定义了( r 2 ) nxr ”的一个环面，它在哈密顿系统以j 2 f ，流下是 不变的 容易看到：2 扎阶偏导数是h s l d e r 连续的函数一定满足( 1 1 2 2 ) ，反之未必成立所 以，a l b r e c h t 3 】的结果对扰动项p 的光滑性要求更一般 4 、k a m 环面的g e v r e y 正则性 通常的k a m 定理揭示了：在一些非退化和非共振条件下，未扰动系统的绝大多数 的不变环面在小扰动下能够被保持下来，并且这些被保持下来不变环面依赖于一个定义 第一章引论 在康托尔集上的参数由于小分母问题，通常会导致了在k a m 迭代中，系统关于参数 的光滑性的损失我们想知道这些不变环面是如何依赖于参数的 首先，j p s s c h e l 【7 4 】考虑了下面的解析近可积的哈密顿： h = n + p = e + ( u ，y ) + p ( x ，y ，u ) ，( 1 1 2 3 ) 这里( z ，y ) d 邗cr ”俨，u 0cr “是参数，p 是扰动项，对应的辛结构是 留2 = 警1d x iad y i j p s s c h e l 7 4 】证明了未扰动系统的绝大多数的不变环面可以被保 持下来，并且关于参数u 在w h i t n e y 1 0 0 】意义下是c o o 光滑的 后来，p o p o v 【7 0 ，7 1 ，7 2 】改善了p s s c h e l 【7 4 】的结果，证明了这些k a m 环面关于频 率u 是g e v r e y 光滑的就光滑性而言，g e v r e y 光滑介于c o o 和解析之间下面首先给 出g e v r e y 光滑的定义 定义1 1 8 设pc 即是一个闭有界区域对于任意p l ，我们记俨( d ) 表示 定义在0cr n 上的具有指标p 的所有g e v r e y 函数构成的空间，即，g 肛( p ) 如果 ，c o o ( d ) ，且存在常数m 使得 s u pi 霉，( f ) i m i 卢i + 1 p v p = 慨，庞，阮) z 华，( 1 1 2 4 ) f o 这里例= p 1 + 岛+ + 风，卢! = 历! 仍! 风! 由g e v r e y 函数的定义可知：指标为1 的g e v r e y 光滑函数类g 1 恰好对应解析函数 类而且对于1 p l m 一1 ，a 0 是个常数 非退化条件： 爰( 砾) 一砖( e ) ) | e = 0 o ，i j ， ( 1 3 3 ) 其中( e ) 是矩阵a + e 旧】的特征值这里旧】代表矩阵q ( t ，e ) 关于时