（应用数学专业论文）ortho紧、基ortho紧空间的性质研究.pdf

摘要 o r t h o 紧、基一o r t h o 紧空间的性质研究 作者简介：彭海峰，男，1 9 7 7 年5 月生，师从成都理工大学曹金文教授及 魏贵民教授，2 0 0 8 年6 月毕业于成都理工大学应用数学专业，获得理学硕士学 位。 摘要 本论文共分为四章。 第一章是引言，主要介绍了本文的研究背景和选题依据，以及本文的一些主 要结论。 在第二章中，我们介绍了有关论文的一些预备知识，特别介绍了基仿紧空间 的相关性质和结果。 第三章给出了用基对几类广义仿紧空间的等价刻画： l 、拓扑空间x 是一个次仿紧空间的充分必要条件是空间x 有一个基留， 由留的元素构成的x 的任一覆盖具有一个仃离散闭加细覆盖。 2 、设留是拓扑空间x 的一个基，则x 是中( 亚) 紧空间的充分必要条件是 由留的元素构成的x 的任一覆盖具有一个紧( 点) 有限的开加细覆盖。 3 、对于拓扑空问x ，下列各条等价： ( 1 )x 是o r t h o 紧空间； ( 2 )x 存在一个基历，由留的元素构成的x 的任一覆盖具有一个内核保 持的开加细覆盖。 4 、若x 是o r t h o 紧空间，则x 存在一个基历，由历中元素构成的x 的 任一覆盖历有一个留”凹是留的内核保持加细。 第四章是本文的重点。本章通过覆盖与映射的方法研究了基一o r t h o 紧空间 的相关性质及其等价刻画。并己获得以下主要结果： 1 、设x 是基一o r t h o 紧空间，m 是x 的闭子集，满足( x ) = ( m ) ，则m 是 基一o r t h o 紧空间 2 、可数紧的正则l 伽如z 西空间是基一o r t h o 紧空间 3 、对于拓扑空间x ，下列各条等价： 成都理工人学硕士学位论文 ( 1 ) x 是基一o r t h o 紧空间； ( 2 ) 存在x 的一个基留，有i 劈i ；僻) ，由留中元素构成的x 的任一覆 盖留有一个留”c 勿是留的内核保持加细； ( 3 ) 存在x 的一个基留，有i 留l = ( x ) ，由历中元素构成的x 的任一覆盖 留有一个x 的开覆盖是历的内核保持加细。 4 、l 空间x 是遗传基一o r t h o 紧的当且仅当x 的每一个开子空问是基 一o r t h o 紧的。 5 、基一o r t h o 紧空间在有限对一开映射下的象是基一o r t h o 紧空间。 关键词：基o r t h o 紧内核保持基一o r t h o 紧有限对一映射 i i a b s t r a c t s t u d y o nt h e p r o p e r t i e so fo r t h o - c o m p a c ta n d b a s e - o r t h o - c o m p a c ts p a c e s h l t r o d u c t i o no ft h ea u t h o r ： p e n gh a i f e n g ，m a l e ，w a sb o m i nm a y 1 9 7 7w h o s e t u t o r sw e r ep r o f e s s o rc a oj i n w e na n dp r o f e s s o rw e ig u i m i n h e 舯d u a t e df r o m c h e n g d uu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o g yi na p p l i e dm a t h e m a t i c sm a j o r 姐dw a s 黟a n t e dt h e m a s t e rd e g r e ei nj u n e ，2 0 0 8 a b s t r a c t i h l sp a p e rc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s c h a p t e r1i sp r e f a c e w ei n t r o d u c er e s e a r c hb a c k g r o u n da n dt h eb a s i so ft o p i c c h o i c e 卸dm a i nr e s u l t so ft h i sp a p e r i nc h a p t e r2w ei n t r o d u c ep r e l i m i n a r i e si nt h i sp a p e r i tp u t sg r e a te m p h a s i so nt h e i n t r o d u c t i o no fp r o p e n i e sa n dr e s u l t so fb a s e - p a r a c o n l p a c ts p a c e s i nc h a p t e r3w eg i v ec h a r a c t e r i z a t i o no fg e n e r a l i z e dp a r a c o m p a c ts p a c e sb yb a s e t h ef o l l o w i n gr e s u l t sa r eo b t a i n e d 1 at o p o l o 西c a ls p a c exi ss u b p a r a c o m p a c ti fa n do n l yi ft h e r ee x i s t sab a s e留 f o rxs u c ht h a tf o ra n yo p e nc o v e fb ym e m b e r so f 留? h a sad i s c r e t ec l o s e d r e f i n e m e n t 2 l e t 。缪b eab a s ef o rat o p o l o 酉c a ls p a c ex t h e nji sm e s o c 0 m p a c t ( m e t a c o m p a c t ) i fa n do n l yi ff o ra n yo p e nc o v e rb ym e m b e r so f 历t h e r ee x i s t sa c o m p a c t - f i n i t e0 0 i n t f i n i t e ) o p e nr e f i n e m e n t 3 l e txb eat o p o l o 百c a ls p a c e 7 r h e nt h ef o l l o w i n ga s s e n i o n sa r ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) xi so n h o - c o m p a c ts p a c e ( 2 ) t h e r ee x i s t sa b a s e历f o rxs u c ht h a tf o ra n y0 p e nc o v e r b ym e m b e r so f 。缪h a sa ni n t e r i o r p r e s e i n go p e nr e f i n e m e n t 4 l e txb ea n0 r t h o c o m p a c ts p a c e t h e nt h e r ei sab a s e历f o re v e r yo p e n c o v e r 劈o fxb ym e m b e r so f 留，t h e r ee x i s t sa 留”c 留，s u c ht h a t 留i s 锄 i n t e r i o r p r e s e i n go p e nr e f i n e m e n t c h a p t e r4i st h ek e yo ft h i sp a p e r t h ep r o p e r t i e sa n de q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o n s o fb a s eo n h o c o m p a c ts p a c ea r eg i v e nb yc 0 v e r i n ga n dm a p p i n gm e t h o d si n t h i s c h a p t e r w eh a v et h ef o l l o w i n gr e s u l t s 1 l e txb eb a s e o r t h o - c o m p a c ts p a c e i f 彳 i sac l o s e ds u b s e to fxs u c ht h a t ( x ) = ( m ) ，t h e nm i sb a s e - o n h o c o m p a c ts p a c e 2 l e txb eac o u n t a b l yc o m p a c ts p a c e xi sr e g u l a r 三伽如z 万s p a c e ，t h e n m 成都理工人学硕士学位论文 xi sb a s e 0 n h o c o m p a c ts p a c e 3 l e txb eat o p o l o 百c a ls p a c e t h e nt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa r ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) xi sb a s e - o r t h o - c o m p a c t ( 2 ) t 1 l e r ei sab a s e 。缪w i t hl 留i 一( x ) f o re v e r yo p e nc o v e r 留o fxb y m e m b e r so f 历，t h e r ce x i s t sa 劈”c 留，s u c ht h a t 留”i sai n t e r i o r p r e s e r v i n go p e n r e f i n e m e n to f 留 ( 3 ) n e r ei sab a s e 历 w i t hi 历i = 僻)f o re v e r yo p e nc o v e r 历o fxb y m e m b e r so f 移，t h e r ee x i s t sa no p e nc o v e r o fxs u c ht h a t i sa i n t e r i o r - j ? r e s e i n g o p e nr e f i n e m e n to f 留 4 疋一s p a c ex i sh e r e d i t a r i l yb a s e o n h o c o m p a c ts p a c ei fa n do n l yi ff o re v e r y o p e ns u b s p a c e0 fxi sb a s e - o n h o c o m p a c t 5 b a s e - o n h o - c o m p a c ts p a c ei sa l s ob a s e o n h o c o m p a c tu n d e rt h ef i n i t e - t 0 - o n e o p e nm a p p l n g k e y w o r d s ：b a s ei n t e r i o r - p r e s e i n go n h o c o m p a c tb a s e - o n h 0 - c o m p a c t f i n i t e t o - o n em a p p i n g i v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盛都理王态堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签 翰哪 砩年f 月 学位论文版权使用授权书 日 本学位论文作者完全了解盛整理王太堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权盛都理王太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 学位论文作者导师签 砂8 年f 月移日 第1 章引言 第1 章引言 1 1 国内外研究现状及选题依据 拓扑学是从1 9 世纪发展起来的。拓扑学的主要问题是研究各类图形的拓扑 不变性。拓扑学中两个最基本、应用最广泛的是度量空间和紧空间；仿紧空间是 二者的共同推广，而仿紧空间的进一步推广就是广义仿紧空间。广义仿紧空间的 理论( 即覆盖性质理论) 与处理技巧是仿紧空间的理论与处理技巧的进一步推广 与发展。广义仿紧空间理论是当代一般拓扑学一个非常重要的组成部分。自2 0 世纪7 0 年代以来，关于广义仿紧空间类的研究一直是国际上一般拓扑学家研究 的热点之一。国内著名拓扑学家刘应明教授、蒲保明教授、蒋继光教授、高国士 教授以及林寿教授等就广义仿紧空间类做了大量的前沿性的工作。国外 n a g a m i ，m o r i t a ，n a g a t a ，b u r k e ，a r h a n g e l s k i i 等著名拓扑学者在这一方面也做 了许多卓有成效的工作。其中n k e m o t o 和y a s u s h i 等对o r t h o 紧空间的乘积性 和逆极限等性质做了深入的研究，并得到了许多好的结果。 最近几年，用基对广义仿紧空间的刻画成了国内外研究的热点。国内刘德金、 刘文虎、王子华等发表的用基对几类拓扑空间的刻画就是用基对一些常见的 拓扑空间给出了相应的等价刻画。2 0 0 3 年，国际著名拓扑学家j o h ne p o r t e r 在数学杂志t o p 0 1 0 9 ya n di t sa p p l i c a t i o n s 上发表论文b a s e p a r a c o m p a c t s p a c e s ，由此更深刻的利用基的概念对t o t a l l y 仿紧空间进行了推广。不久他 又发表论文s t r o n g l yb a s e p a r a c o m p a c ts p a c e ，对强基仿紧空间进行了研究。 随即国内外对由此引起的相关研究掀起了一场热潮。例如，国内拓扑学专家葛英 教授研究了基仿紧的闭逆象，得到了一些好的结果；李克典教授也给出了一个基 仿紧空间的等价刻画。在导师曹金文教授的指导下，学长邓小彬、纪广月、康素 玲等人对基亚紧空间、基可数仿紧空间等进行了初步研究，获得了一些结果。 本文重点研究的o r t h o 紧空间、基一o r t h o 紧空间是广义仿紧空间中的两类 空间。虽然有许多人研究了o r t h o 紧空间，但在这之前没有学者用基对o r t h o 紧 空间进行刻画以及对基一o r t h o 紧空间进行研究，因此这是一类新的研究方向。 成都理工大学硕士学位论文 1 2 主要结论 本文利用覆盖与映射方法对几类广义仿紧空间的性质尤其是基一o r t h o 紧空 间的一些性质及等价刻画做了初步的研究，并已获得以下主要结果： l 、拓扑空间x 是一个次仿紧空间的充分必要条件是空间x 有一个基留， 由留的元素构成的x 的任一覆盖具有一个d 离散闭加细覆盖。 2 、设历是拓扑空间x 的一个基，则x 是中( 亚) 紧空间的充分必要条件是由 历的元素构成的x 的任一覆盖具有一个紧( 点) 有限的开加细覆盖。 3 、对于拓扑空间x ，下列各条等价： ( 1 ) x 是o r t h o 紧空间； ( 2 ) x 存在一个基留，由留的元素构成的x 的任一覆盖具有一个内核保持 的开加细覆盖。 4 、若x 是o r t h o 紧空间，则x 存在一个基留，由留中元素构成的x 的任一 覆盖留有一个留”是留的内核保持加细。 5 、设x 是基一o r t h o 紧空间，m 是x 的闭子集，满足( x ) ；似) ，则m 是 基一o r t h o 紧空间。 6 、可数紧的正则三跏如z 研空间是基一o r t h o 紧空问。 7 、对于拓扑空间x ，下列各条等价： ( 1 ) x 是基一o r t h o 紧空间； ( 2 ) 存在x 的一个基劈，有i 留i _ 似) ，由历中元素构成的x 的任一覆盖 历有一个历”c 够是历的内核保持加细； ( 3 ) 存在x 的一个基留，有i 留i = 僻) ，由留中元素构成的x 的任一覆盖 历有一个x 的开覆盖是留的内核保持加细。 8 、l 空间x 是遗传基一o r t h o 紧的当且仅当x 的每一开子空间是基一o r t h o 紧的。 9 、基一o r t h o 紧空间在有限对一开映射下的象是基一o r t h o 紧空间。 2 第2 章预备知识 第2 章预备知识 2 1 基本概念与符号 本文采用了通用的符号和术语。 以尺表示直线，q 和，分别表示尺的自然数子集，有理数子集和单位区间。 有三种含义，一是尺的子集u o 】，二是第一个无限序数，三是最小的无限 基数，它的确切含义在上下文中是不会引起混淆的。 两个集彳，b 的并、交及差分别表示如下： 彳u b = 缸：x 彳鲰b ) ， 彳n 口= 缸：x 么且爿b ， 4 一b = 缸：x 彳且j 硭曰) 。 这里”，”硭”分别表示”属于”，”不属于”。空集用m 表示，彳nb = m 表示 集彳与集b 不相交；4 一b = m 表示4cb ，也就是z 彳辛x b 。符号”净”表 示”蕴含”。符号”铮”表示”当且仅当”。彳cb 时称为彳是b 的子集。如果彳c 口 且彳口称为彳是b 的真子集，空集是任何集的子集。 以集为元素的集称为集族，或简称为族。集族似， ，日，或写作似，：) ，n ， 这里r 是指标集。由集组成的序列即。，彳：，彳) 为集族的特例，这时可表示为 似。) ，或写作o 。：，l ) ，这里指标集是自然数集，或省去指标集记为幽。) 或印。 ：。集族的并，交可表示为u ，日彳，n ，日彳，；在集的序列情况下则为 u 庇么。( 或u ：。彳。) ，n ，e 4 ( 或n ：，。么。) 。 下面给出拓扑空间的定义。 定义2 一卜1 集合彳，设少是x 的子集所成的集族满足： ( 1 ) m 乃x 。髟 ( 2 ) 女口u ，聊= 1 ，2 ，z ) ，贝0 n ? 。，u f 甑 ( 3 ) 如u ，歹( y r ) ，则u u ，：y r 甑 这里指标集r 是无限集，则称( x ，乡猩拓扑空间。少是该空间的拓扑，少的元素 称为开集。在没有必要指出x 上的拓扑少时，通常简单地用x 表示拓扑空间。 特别说明，本文中所述的空间均表示拓扑空间。 定义2 一卜2 设x 是拓扑空间，z x ，如果x 的子集u 包含着某一开集， 这开集包含着点石，则称u 是石的邻域；如果u 是丌集，则称u 是点x 的丌邻域。 定理2 一卜1 设“) 是点x 的所有邻域所成集族，则满足： 3 成都理工人学硕士学位论文 ( u 1 ) x 0 ) ， ( u 2 ) 如u 0 ) ，则石u ， ( u 3 ) 如u ) ，y3 【厂，则矿髟 ) ， ( u 4 ) 如u ，y o ) ，则un y 髟 ) ， ( u 5 ) 如u 0 ) ，则存在集矿使x ycu 及对任何z y ，y 髟o ) 定理2 一卜2 拓扑空问x 中的子集厂是丌集当且仅当u 是它的每一点的邻 域。 对集合x 的任意一点x 确定了一个子集族髟0 ) 如果满足条件( u 1 ) 一( u 5 ) ， 我们就称伍) 的元素为点x 的领域，然后利用前面的定义、定理，再由( u 1 ) ，( u 3 ) 及( u 4 ) 知所定义的丌集族“) 满足拓扑空间的定义的( 1 ) ，( 2 ) 及( 3 ) ，从而x 形 成拓扑空间。这里是以邻域作为原始概念，由此出发定义的拓扑空间。 对于空间x ，夕和百均表示x 上的拓扑。对于集和x 的子集族，x x ， 彳cx ，记 = p 尹：x p ) ， 蛩爿= p 夕：pn 么m ) ， i _ = pn 么：p 夕) ， s t ( x ，) = u p ) “) ， s t ( 4 ，) = u p 夕：pn 彳币 ， “= 沙凹：矿是有限的 。 若石。o ) 是x 中的一列点， 表示x 的子集缸。：，l 】， 。) 表示笛 卡儿积x “中的第，z 个坐标为z 。的序列。像通常一样，缸。】表示x 中的第，z 项为 x 。的序列。对于x 中有多个下标的序列，如缸。) ，分别记缸。) 。和缸。) 。为固 定m 关于矗和固定，l 关于，j ：l 的序列。若空间x 的序列缸。) 收敛于点x ，记 【石。】= 缸) u 缸。：，l 】。对于空间x 的子集族驴及映射f ：x _ y ，分别记沪 的c l ( 窈= c 1 ( p ) ：p 沪】- 及伊在厂的象厂( 刃= 厂( p ) ：p 毋。对于积空间 兀剧x 。及优，以万。：兀刺x 。一x 。及表示兀删x 。在第川个坐标上的 投影映射。 有限集的基数定义为这个集合的元素个数，称为有限基数，否则称为无限基 数。所有自然数所成的集合的基数记作k 。，即i l = k 。；所有实数所组成的集 合尺的基数记作c ，即侧= c 。一个集合是可数的，当且仅当它是有限集或具有 基数k 。 关于基数和与积的规定如下：两个基数m ，咒的和m + ，l 规定为集xuy 的基 数，这里l x i = m ，l y i = ，l 且xn l ，= 中。优，以的积脚，l 规定为集x y 的基数，这 4 第2 章预备知识 里i x l = 朋，i y i 一，l 。对每一个肌，2 ”规定为集x 的一切子集所成集族的基数，可 以证明2 ；c 。更一般地规定刀”为所有x 到y 内的映射所成集的基数，这里 j xj = 优，i 】，i = ，l 。基数有以下的运算关系： 甩“1 + “2 = ，l ”1 ，l ”2 ， ( ，1 1 以2 ) ”= 咒f ，l ；，( ，l ”1 ) “2 = 疗“1 ”2 。 关于两个基数大小规定如下：设m ，l 是两个基数，l x i = 聊，| y i = ，l ，规定 ms ，z ( 或以垅) ，如果存在由艇0 】，内的单映射。由c a n t o r b e r n s t e i n 定理： m s 以及咒s 聊辛m ；，l 。k 。是最小的无限基数，两个基数，如果至少有一个是 无限基数，则它们的和或者积等于其中非较小的一个( 在积的情况这两个基数都 异于零) ，特别有历+ 优= 朋m = 历，所芑k o 。 如果聊s ，z 且聊，l ，则规定优 ，l 沏小于咒) 。由集合论知，对每一个基数m ， 有历 中的某一个元素风。 因此 风= b 。 n 佃：b ：勃”) 。再由前述得风= n 佃：b ：勖”) = n 留。是开集。 定理4 2 4l 空间x 是遗传基一o r t h o 紧的当且仅当x 的每一个开子空间 是基一o r t h o 紧的。 证明必要性显然。 下面证明充分性。 设4 是瓦空间x 的任一子空间，髟是4 在空间x 中的任一开覆盖，v u 髟存在开于x ，使得n 么= u 。设殆 ：u ) ，显然是x 的开集族， i 留i ；伍) 且彳cu 髟易知是u 的一个丌覆盖。因此u 是x 的开子空间。 由已知u 是基一o r t h o 紧的，设d = u 髟则存在d 的基勿，有l 留i _ ( d ) ，使得 对于d 的任一开覆盖彰存在历c 缪，使得留是的内核保持加细，并有留是d 的开覆盖，又彳cd ，故可设留”= 似n 曰：b 留】，v 历c 留 ” ， 觑乙【n 彳n b ：b 历 + 】=觑乙【么n ( n 历 ) 】= 彳n ( n 留+ ) = m 彳nb + ：b + 劈= n 砌乙【弘nb + ：b + 历+ 】，故留”是的内核保持 加细，并使得历”是彳的开覆盖，显然有i 留”i 一口) 。 下面证明留”是彳的一个基。 事实上，任取u 由前面过程知， 【，= 4nk ，vx 4 ，由于 历”= 研n b ：b 勃】是彳的一个开覆盖。故jb 。勃使得x 4n b 。又留是 的加细，且留c 留，所以| k ，使得b 。c 矿，因此有 x 彳nb 。c4n ，= u 。由x 的任意性知，对任袁 x u 。，都有 x 4nb ，cu ，髟由定理2 一卜6 知历”是4 的一个基。 定理4 2 5 基一o r t h o 紧空问在有限对一开映射下的象是基一o r t h o 紧空间。 证明：设空间x 是基一o r t h o 紧空间，映射厂：x 呻y 是有限对一的开映射。 设是空间y 的一个基，有i i _ ( y ) 。又设是y 的任一丌覆盖，因为厂是开映 射，则有 厂。) ：y 叨是x 的一个开覆盖。因为x 是基一o r t h o 紧的，所以存在 x 的一个基历，有i 历i - ) ，使得对于开覆盖 厂- 1 缈) ：y 叨存在留c 勿，使 得历是 厂。1 缈) ：y 乃的内核保持加细覆盖。不妨置留= 。) 。副，其中u 。的 因为，是开映射，所以 ，。) ) 。副是】，的开覆盖的开加细覆盖。 下面证明 ，缈。) ，矧是内核保持的。 事实上，v4 c4 ，如果n 矧，厂( u 。) 囝，取任意y n 。副，( u 。) ，从而 1 9 成都理工人学硕士学位论文 厂_ 1 ( ) ，) nu 。a ，其中口彳，因为厂是有限对一的，可设 厂- 1 ( y ) = x l ，工2 ，x 3 ，x 。) ，l 置4 = 口：口彳，t u 。 ，f 一1 ，2 ，3 ，以不失 一般性，可设每一彳：不空，易知彳= u 乙彳对每一 t n 硎u 。，有y ，( n 。副t 【，。) cn 。副厂( 【厂。) ，从而有 y n 乞。厂( n 。叫u 。) cn 2 。n 。刮厂缈。) = n 。副厂。) ，因为缈。】。副是内核保持 的，所以n 。副，u 。是x 的开集，又因为，是开映射，所以n ：。厂( n 。“u 。) 是y 的 开集，上述关系式说明y 是n 。副，。) 的内点，由y 的任意性知n 。副厂( u 。) 是开 集，所以 厂缈。) ) 。副是内核保持的。 由上述证明过程易知i ，。) 】- 。副l = ) 。最后证明 ，。) ) 。副是】，的基 事实上， vy 髟vy y 因为厂是有限对一的。不妨设 厂1 ( y ) = 缸l ，z 2 ，z 3 ，工。) ，刀。任取t 厂1 ( y ) c ，1 缈) ，1s fs 以由于留是 x 的一个基，由定理2 一卜6 知，存在x 的一个开集u 而历，使得 t u 却c 厂- 1 ) 。又厂是开映射，则有，o ，) 厂缈而) cy ，即y 厂却) cy ， 又由前知，而) ，。) ) 矧因此 厂。) ) 矧是y 的一个基。 2 0 结论 结论 本文在前人所研究广义仿紧空间类的成果上给出了用基对次仿紧空间、中紧 空间、亚紧空间、o r t h o 紧空间的等价刻画；并对基一o r t h o 紧空间的一些性质进 行了初步研究，并给出了它的一个等价刻画。进一步的研究工作主要是研究基 一o r t h o 紧空间的其他的等价刻画以及基一o r t h o 的一些映射性质和乘积性。还要 借鉴当前最新的研究结成果来分析和讨论基一o r t h o 紧空间以及它与其他广义仿 紧空间的关系。 2 1 成都理工人学硕士学位论文 致谢 首先我要真诚地感谢导师曹金文教授和魏贵民教授! 三年来，两位导师在 生活上和学业上都给我提供了大量的帮助和指导；他们更是精心地指导我完成 了这篇硕士毕业论文。对此，我向他们致以最崇高的敬意! 感谢成都理工大学信息管理学院院长郭科教授、周仲礼副教授、胡灿副教授、 郭发明教授、王玉兰副教授、范安东副教授、王茂芝副教授、王文娟副教授、耿 援朝老师等以及研究生院的领导和老师对我的关心和教导! 感谢我的师兄邓小彬硕士及师姐张孟英、康素玲、纪广月硕士；感谢贾永进、 付传秀、周艳红硕士；感谢所有的2 0 0 5 级数学班硕士同学以及我的师弟师妹们； 感谢我的室友史锋硕士、孙维兵硕士、康鸿跃硕士、姜赞成、陈勇、王栋、顾勤 平等室友! 感谢他们对我的支持和帮助! 感谢成都理工大学为我提供了优越的学习和生活环境；也感谢母校对我在资 料搜集和科研上提供的物质与资金上的帮助! 感谢在百忙之中抽出宝贵时间来评审本论文的各位专家! 谢谢你们的辛勤工 作和宝贵建议! 我要用最诚挚的感恩之心来感谢父母给我的无私帮助和支持! 感谢我妹妹、 妹夫对我的大力资助! 因为有了他们的支持，我才得以顺利完成三年的学业。 最后，在此感谢所有的亲人和朋友对我的关心和帮助! 参考文献 参考文献 【1 】e n g e i k l n gr g e n e r a lt o p o l o g y 【m 】p o l i s hs c i e n t i f i cp u l i s h e r s ，w a r s z a w a ，1 9 8 9 【2 】y o s h i k a z u y a s u l t b p i c s i i l g e n e r a l t o p o l o g y 【m 】，e l s e v i e r s c i e n c ep u b l i s h e 娼 b v ，( 1 9 8 9 ) 1 6 1 - 1 9 9 【3 】j o h ne p o n e r ，b a s e p a m c p l p a c ts p a c e s 【j 】，t o p o l o g ya n d i t sa p p l i c a t i o n s1 2 8 ，( 2 0 0 3 ) 1 4 5 1 5 6 【4 】j e p o n e r s t r o n 舀yb 勰e - p a m c o m p a c ts p a c e s 【j 】c o m m e n t m a t h u n i v c a r o l i n 扯，2 0 0 3 ， 4 4 ( 2 ) ：3 0 7 31 4 【5 】w 孙i g h t ，o nt h e 眦t r i z a b i l i t yo fs p a c e sw i t has h a 印b a s ep 】，t 0 p o l o g ya p p l ，1 2 5 ， ( 2 0 0 2 ) 5 4 3 5 5 2 【6 】g u o s h i hg a oa n dl i - s h e n gw u ，m a p p i n gt h e o r e mo nm e s 0 c o m p a c ts p a c e s 【j 】，p r o c e e d i n g so f t h ea m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y ，8 9 ( 1 9 8 3 ) ：3 5 5 - 3 5 8 【7 】y i n gg e ，o nc l o s e di n v e r s ei m a g e so fb a s e p a r a c o m p a c ts p a c e s 【j 】，l o b a c h e v s k i ij o u m a lo f m a t h e m a t i c s 2 1 ( 2 0 0 6 ) 5 7 6 3 【8 】n k e m o t o ，o n h o r c o m p a c t n e s si np m d u c t s 【j 】t 鲫k u b aj m a t h 1 6 ( 1 9 9 2 ) 4 0 7 4 2 2 【9 】y a s u s h ia o k i 0 n h o c o m p a c t n e s s o fi n v e r s el i m i t sa n dp r o d u c t s 【j 】t s u k u b a j m a t h ，1 9 8 0 4 ( 2 ) ：2 4 1 【1 0 】e a o k i ，p a f a c 0 i n p a c t n e s s 她dt h el i n d e l 6 fp r o p e r t yi l lc o u n t a b l ep r o d u c t s 【j 】t b p o l o g ya p p l 1 4 6 ( 2 0 0 5 ) 5 7 6 6 【1 1 】g g n l e n h a g e b a s e - p a r a c o m p a c t n e s sa n db a 一n o 姗a l i t yo fg o - s p a c e s 【j 】q & ai n g e n e r a lt o p o l o g y ，2 0 0 5 ，2 3 ( 2 ) ：1 3 7 1 4 1 【1 2 】k y a m a z a k i r u d i n sd o w k e r s p a c e s ，s t r o n g b a 一n o 珊a l i t y a n d b a s e s t r o n g - z e r o d i m e n s j o n a l i t y 【j 】t o p o l o g ya p p l ，2 0 0 6 ，1 5 3 ：2 8 0 5 2 8 1 4 【1 3 】y y a j i m a ab a s ep r o p e n yi np a r a c o m p a c tp m d u c t s a n di t sa p p l i c a t i o n s 【j 】t o p o l o 舒a p p l ， 2 0 0 4 ，1 4 2 ：1 9 3 0 【1 4 】y y a j i m a c h a r a c t e r i z a t i o n so fn o 衄a lc o v e 硌o fr e c t a n g u l a rp r o d u c t s 【j 】t o p o l o g ya p p l ， 2 0 0 6 1 5 3 ：3 2 2 0 - 3 2 2 9 【1 5 】l w u s u r v e y si ni n v e r s ei m g e so fc o v e r i n gp m p e n i e s ，2 0 0 5i n t e m a t i o n a lg e n e r a lt 0 p o l o g ) r s y m p o s i u m ，z h a n g z h o ut e a c h e r sc o l l e g e z l l a n g z h o u ，p r c h i n a 【1 6 】ek v a nd o u w e n s t a rc o v e r i n gp r o p e r t i e s 【j 】1 1 b pa p p l ，1 9 9 1 ，3 9 ：7 1 1 0 3 【1 7 】mvm a t v e e v a b s o l u t e l yc o u n t a b l yc o m p a c ts p a c e s 【j 】t o pa p p l ，1 9 9 4 ，5 8 ：8 1 9 2 1 8 蒋继光一般拓扑学专题选讲 m 成都：四川教育出版社，1 9 9 0 年3 月第l 版 1 9 熊金城点集拓扑讲义 m 北京：高等教育出版社，2 0 0 3 年第3 版 2 0 高国士拓扑空间论 m 北京：科学出版社，2 0 0 0 年7 月第1 版 2 1