（应用数学专业论文）混沌系统中的随机性质.pdf

中文摘要 摘要 本文主要讨论了在确定性系统的随机动力学研究中提到的随机性质和混沌 定义的关系。证明了混合映射是拓扑传递、拓扑混合和初值敏感的，并进一步 讨论了混合性与混沌定义的关系。本文还证明了满足大数定律的映射也是拓扑 传递和初值敏感的，并进一步讨论了这个随机性质与混沌定义的关系。 在本文的前言部分，介绍了混沌的研究背景和发展。 在第一章中，我们首先介绍了一些动力系统的基本概念。其次，给出了几 种混沌的定义。最后，介绍了一些和混沌定义有关的定理。 在第二章中，我们首先介绍了混合的定义，其次，证明了混合映射是拓扑 传递、拓扑混合和初值敏感的，并进一步讨论了混合性与混沌定义的关系。 在第三章中，我们首先介绍了满足大数定律的映射的定义，其次，证明了 满足大数定律的映射也是拓扑传递和初值敏感的，并进一步讨论了这个随机性 质与混沌定义的关系。 关键词：混沌，混合性，满足大数定律的映射 中图分类号：0 1 9 英文摘要 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，s t o c h a s t i cp r o p e r t i e sp r o p o s e di nt h er e s e a r c ho fs t o c h a s t i cd y - n a m i c so fd e t e r m i n i s t i cs y s t e m sa r ea s s o c i a t e dw i t hd e f i n i t i o no fc h a o s am i x i n g t r a n s f o r m a t i o ni sp r o v e dt ob es e n s i t i v e l yd e p e n d e n t0 nt h ei n i t i a lv a l u eo ft h e i t e r a t i o n ，t o p o l o g i c a l l ym i x i n ga n dt o p o l o g i c a l l yt r a n s i t i v e f u r t h e r m o r e ，t h er e - l a t i o n s h i pb e t w e e nt h i ss t o c h a s t i cp r o p e r t ya n dd e f i n i t i o no fc h a o si sd i s c u s s e d a t r a n s f o r m a t i o nw h i c hs a t i s f i e st h el a r g ed e v i a t i o n st h e o r e mi sa l s op r o v e dt ob e s e n s i t i v e l yd e p e n d e n to nt h ei n i t i a lv a l u eo ft h ei t e r a t i o na n dt o p o l o g i c a l l yt r a n s i r i v e f u r t h e r m o r e ，t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h i ss t o c h a s t i cp r o p e r t ya n dd e f i n i t i o n o fc h a o si sd i s c u s s e d i nt h ep r e f a c eo ft h i sa r t i c l e ，t h er e v i e wo ft h ec h a o sr e s e a r c hb a c k g r o u n da n d d e v e l o p m e n t si sp r e s e n t e d i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ef i r s t l yi n t r o d u c es o m eb a s i cc o n c e p to fd y n a m i cs y s t e m s e c o n d l y ，s o m ek i n d so fd e f i n i t i o no fc h a o sd i eg i v e n f i n a u y ，w ei n t r o d u c es o m e t h e o r e m sa b o u tt h ed e f i n i t i o n so fc h a o s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ef i r s t l yi n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fm i x i n g s e c o n d l y ， a m i x i n gt r a n s f o r m a t i o ni sp r o v e dt ob es e n s i t i v e l yd e p e n d e n to nt h ei n i t i a lv a l u e o ft h ei t e r a t i o n ，t o p o l o g i c a l l ym i x i n ga n dt o p o l o g i c a l l yt r a n s i t i v e f u r t h e r m o r e ， t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h i ss t o c h a s t i cp r o p e r t ya n dd e f i n i t i o no fc h a o si sd i s - c u s s e d i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ef i r s t l yi n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no ft h et r a n s f o r m a t i o n w h i c hs a t i s f i e st h el a r g ed e v i a t i o n st h e o r e m s e c o n d l y ，at r a n s f o r m a t i o nw h i c h s a t i s f i e st h el a r g ed e v i a t i o n st h e o r e mi sp r o v e dt ob es e n s i t i v e l yd e p e n d e n to n t h ei n i t i a lv a l u eo ft h ei t e r a t i o na n dt o p o l o g i c a l l yt r a n s i t i v e f u r t h e r m o r e ，t h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h i ss t o c h a s t i cp r o p e r t ya n dd e f i n i t i o no fc h a o si sd i s c u s s e d k e yw o r d s ：c h a o s ，m i x i n g ，t r a n s f o r m a t i o nw h i c hs a t i s f i e st h el a r g e d e v i a t i o n st h e o r e m c h i n e s el i b r a r yc l a s s i f i c a t i o n ：0 1 9 2 前言 刖吾 2 0 世纪6 0 年代以来，混沌研究的进展无疑是非线性科学最重要的成就之 一。“混沌”这一现象及有关的概念已渗透到数学、物理、化学、天文、生 物、力学、经济、医学等领域，甚至有人估计它对全部科学( 包括自然科学、 社会乃至经济) 所起的作用将相当于微积分学在1 9 世纪对数理、工程科学的影 响。 这门新学科的渊源可追溯到上个世纪，法国著名数学家朱雷昂利庞加 莱( j u l e s h e n r ip o i n c a r 6 ) 在研究三体问题时发现了混沌的现象。他在研究双曲 点内轨线的变化时，发现了被人们称为p o i n c a r 6 栅栏的极为复杂的几何图象， 发现了某些系统对初值具有敏感依赖性和行为不可预见性，实际上已经蕴涵了 “确定性系统具有内在的随机性”这一混沌现象的重要特性。 2 0 世纪6 0 年代初，a r n o l d 【2 2 】和m o s e r 【2 3 ，2 4 分别独立的证明了关于弱不 可积h a m i l t o n 系统的k a m 定理从对立面揭示了确定性保守力学系统中类随机 运动的普遍性。 1 9 6 3 年气象学家l o r e n zf 2 1 1 在研究大气对流模型中抽象出一个简单的3 维 常微分方程组，通过计算机数值计算在耗散系统中首先发现了后来被称之为混 沌的非周期流。混沌现象的发现使人们惊奇地看到在初始条件有微小的扰动下 确定性激励竟然会使系统的长期行为发生很大的变化，引起某种类似随机的现 象，从而使得确定性系统表现为非周期性和长期行为不可预测性，这正好解释 了对天气状况不可作长期预报，同时也消除了“l a p l a c e 关于决定论式可预铡性 的幻想”。 1 9 7 5 年，华裔数学家李天岩和美国数学家约克首次在其著名的论文“周 期三蕴涵混沌”f 1 1 中提出了混沌一词，并论述了混沌的数学特征。在这篇文 章中，作者指出了简单的区间上的连续映射只要具有周期3 的轨道，则定 具有以任何自然数为周期的轨道，并且从一个不可数集合中出发的轨道表现 出时分时合的不稳定性态，事实上，早在1 9 6 4 年，俄罗斯数学家萨科夫斯基 ( s h a r k o v s k i i ) 3 6 1 给出了一个更为精致的定理，定理叙述了区间上的连续映射 的周期之间出现的必然次序与此同时，美国物理学家f e i g e n b a u m 【3 7 在研究 l o g i s t i c s 虫口模型时发现了f e i g e n b a u m 常数，把混沌学研究从定性分析推进到 了定量计算的阶段，成为现代混沌学研究的一个重要里程碑。 1 9 7 8 年，马罗陀( m a r o t t o ) 【1 9 将李一约克定理进一步推广到了胛中的连续 可微的映射的情形，使得判断一般的n 维映射的复杂动力学行为的存在性成为 了可能 1 9 8 9 年，美国数学家狄万尼( r o b e r tl d e v a n e y ) 【3 】3 从拓扑的角度总结了一 个更为全面的混沌定义，而这个混沌的定义往往是数学工作者们研究和探讨混 沌应用最多的 近些年来，混沌的研究有了更进一步的发展，由于许多杂志与专业学术 刊物大量的介绍混沌科学，促使混沌学与其他科学迅速相互渗透，我国学者 3 前言 2 5 3 5 1 在混沌学的研究中也做了大量有意义的甚至是开创性的工作。 本文主要讨论了在确定性系统的随机动力学研究中提到的随机性质【1 5 】和 混沌定义的关系。证明了混合映射在修改的d e v a n e y 意义下是混沌的。在与区 间同构的空间上混合映射在d e v a n e y 意义下是混沌的。另一方面，在一定条件 下，混沌映射也是混合的。本文还证明了在一定条件下，满足大数定律的映射 在修改的d e v a n e y 意义下是混沌的。在与区间同构的空间上满足大数定律的映 射在d e v a n e y 意义下是混沌的。另一方面，在一定条件下，混沌映射也是满足 大数定律的。 在第一章中，我们首先介绍了一些动力系统的基本概念。其次，给出了几 种最常用到的混沌的定义。最后，介绍了一些和混沌定义有关的定理。 在第二章中，我们首先介绍了混合性的定义，其次证明了混合映射在修 改的d e v a n e y 意义下是混沌的。在与区间同构的空间上混合映射在d e v a n e y 意 义下是混沌的。另一方面，在一定条件下，混沌映射也是混合的。 在第三章中，我们首先介绍了满足大数定律的映射的定义，其次，证明了 在一定条件下，满足大数定律的映射在修改的d e v a n e y 意义下是混沌的。在与 区间同构的空间上满足大数定律的映射在d e v a n e y 意义下是混沌的。另一方 面，在一定条件下，混沌映射也是满足太数定律的。 4 第一章混沌的几种定义和相关的定理 第一章混沌的几种定义和相关的定理 研究混沌现象，首先要对混沌有一个精确的定义。目前，对于混沌还没有 一个统一的数学定义。1 9 7 5 年，华裔数学家李天岩和美国数学家约克首次在其 论文f 1 1 中从数学角度提出了混沌的概念并给出了混沌的定义之后，一些学者在 他们的论文中也给出了一些不同的混沌定义。在本章中，我们将介绍几种最常 用到的混沌定义以及一些相关的定理。在第一节中，首先介绍了一些动力系统 的基本概念。在第二节中，介绍了几种混沌的定义。在第三节中，我们介绍了 一些和混沌定义有关的定理。 1 1 基本概念 混沌是动力系统研究中一个重要的方面，在混沌的几种定义中也用到了一 些动力系统的基本概念。因此，在介绍混沌的几种定义之前，首先先介绍这些 动力系统的概念。 定义1 1 ：设x 是一个拓扑空间，：x x 是一个连续映射，z x ，把集合 o r b ：( x ) = z ，( 茁) ，- ，”( z ) ，) 称为，过x 点的轨道 在不会混淆时，往往就省去了上述记号中的下标，而以o r b ( x ) 代替o r b ( x ) 。 定义1 2 ：设f ：x x ，z x ，若存在n n ，使得广( 。) = z ，则称。为， 的周期点，过周期点的轨道称为周期轨道；如果 ，( 。) = x ，”( 。) z ，m = 1 ，2 ，一，k 一1 则称k 为z 的周期；特别，当= 1 时，点x 称为，的不动点。，的周期点集合 和不动点集合分别记为p e r ( ，) 和f i z ( ) 。 一条轨道为周期轨道的充分必要条件是它为有限轨道。 定义1 3 ：设z x ，若，：x x 连续，称 l ( z ) = n 铲两两 h e n 为轨道o r b ( x ) 的u 极限点集，而称l 。= u 。；x l 。( 。) 为，的w 极限集- 5 第一章混沌的几种定义和相关的定理 定义1 4 ：若ecx 且( e ) = e ，则称e 为，的不变集。 定义1 5 ：设m 是度量空间，：m m 是m 上的映射，若对于任意一对开集 以v c m ，存在正整数k ，使得 则称，是拓扑传递的。 ，( u ) n v d 定义1 6 ：设m 是度量空间，：m m 是m 上的映射，如果对任意给定的开 集v c m ，存在一个正整数“o ，使得对所有的n 礼o ，有 ，“( 【，) n v 0 则称映射，是拓扑混合的。 由以上定义可知，如果一个映射，是拓扑混合的，则，一定是拓扑传递的。反 之，不一定成立。 定义1 7 ：设m 是度量空间，：m m 是m 上的映射，若对任意自然数k ， 有，是拓扑传递的，则称，是完全拓扑传递的。 定理1 1 ：设m 是度量空间，如果映射，：m m 是拓扑混合的，则，是完全 拓扑传递的。 证明：要证明，是完全拓扑传递的，也就是要证明对任意自然数k ，有，是拓 扑传递的。对任意给定的开集uvcm ，因为，是拓扑混合的，所以存在一个 正整数n o ，使得对所有的n n o ，有 ，”( u ) n v 0 对任意的自然数k ，存在自然数m ，使得m k n o ，所以 即 ，m ( 矿) n v 0 ( ，) ”( u ) n v 0 所以，是拓扑传递的，是完全拓扑传递的。 口 第一章混沌的几种定义和相关的定理 1 2 混沌的几种定义 1 9 7 5 年李天岩与y o r k e 发表了以“周期3 意味着混沌”为题的论文【1 ，第 一次正式从数学角度提出了混沌( c h a o s ) 的概念。首先，我i l l 就来介绍l i - y o r k e 意义下的混沌定义。 定义1 8 ：设j 是冗上的一个闭区间，f ：j t ，是连续映射，如果f 满足下列 条件，则称f 在j 上是l i y o r k e 意义下混沌的 ( 1 ) 对于任意自然数k = 1 ，2 ，区间，上具有f 的周期为k 的周期点； ( 2 ) 存在一个不可数集合scj ，s 不包含f 的任何周期点，并且对任意的 p ，q s ，p q ，有 ( a ) l i r a s u pi p ( p ) 一p ( q ) i 0 ， ( b 1 l i 。m 。i 。n fi f “扫) 一f r i ( g ) l = 0 ( 3 ) 对于任意p s ，周期点q j ，有 l i ms u pl f ”( p ) 一p ( q ) l 0 n + l i y o r k e 意义下的混沌定义只能用来描述区间上的连续映射具有的复杂动力 学行为，而无法用来描述其他空间上的连续映射具有的复杂动力学行为。1 9 7 8 年，m a r o t t o 【1 9 】把l i - y o r k e 定理推广到礼维欧氏空间的情况，并给出了n 维欧 氏空间上的混沌定义。 定义1 9 ：如果连续映射，：彤一舻满足如下条件 ( 1 ) 存在自然数，对于任意p n ，具有周期为p 的周期点 ( 2 ) 存在一个不包含，的周期点的不可数集s 满足： ( a ) ，( s ) cs ， ( b ) l i ms u p | | ，( z ) 一，( ) | | 0 ，v z y s ， ( c ) l i m s u p | i ，( 茁) 一，( ) i | 0 ，v 。s ，y 是，的周期点 k _ ( 3 ) 存在s 的不可数子集铲，对于任意z ，y 铲 1 i m i n fl i f ( z ) 一，( ) | | = 0 7 第一章混沌的几种定义和相关的定理 则称，是混沌的。 除了l i y o r k e 意义下的混沌之外，还有许多种混沌的定义。其中最常被使 用的是d e v a n e y 意义下的混沌定义。美国数学家狄万尼( r o b e r tl d e v a n e y ) 3 】 在其著作中，从拓扑的角度给出了一个适用范围更广的混沌定义。接下来，我 们就将介绍这个混沌的定义。 定义1 1 0 ：设m 是度量空间，映射，：m m ，若甜 0 ，对比m 及z 的 任何领域，3 y n ，及n 1 ，使得 则称，是初值敏感的。 d ( f “( o ) ，“( v ) ) 6 定义1 1 l ：设m 是度量空间，如果连续映射，：m m 满足： ( a ) ，是拓扑传递的； ( b ) f 是初值敏感的； ( c ) ，的周期点在 彳中稠密； 则称，在d e v a n e y 意义下在m 上是混沌的 文【3 4 认为，在定义1 1 l 中条件( c ) 说明没有周期点的系统( 如极小系统) 都 不是混沌的，所以把诸如极小系统排斥在混沌系统之外是不适当的，所以文 3 4 中给出如下定义： 定义1 1 2 ：设m 是度量空间，如果连续映射，：m m 满足 ( a ) ，是拓扑传递的； ( b ) ，是初值敏感的： 则称，在修改的d e v a n e y 意义下是混沌的 1 3 与混沌定义相关的定理 在了解了以上几种混沌的定义之后，可以发现要验证是否满足这些定义并 不是一件很容易的事隋，所以定义的提出者和之后的一些学者在他们的论文里 陆续给出了一些关于混沌定义的定理。李天岩与y o r k e 在提出了混沌概念的同 时，给出了以下定理来判断什么样的连续函数是混沌的。 定理1 2 ： 1 设j 是r 上的一个闭区间，f ：，一j 是连续映射，若存在一点 o j ，使得对于点b = f ( n ) ，c = f 2 ( o ) ，d = f 3 ( a ) 满足下列不等式之一 d 茎a c ) 一8 一 第一章混沌的几种定义和相关的定理 则有 ( 1 ) 对于任意自然数k = 1 ，2 ，区间j 上具有f 的周期为七的周期点； ( 2 ) 存在一个不可数集合scj ，s 不包含f 的任何周期点，并且对任意的 p ，g s ，p g ，有 ( a ) l i ms u pl f ”( p ) 一p ( g ) i 0 ( b ) l i 。r a 。i 。n f f “0 ) 一p ( q ) l = 0 ( 3 ) 对于任意p s ，周期点q j ，有 l i m s u pi p ( p ) 一p ( g ) i 0 n + 。 也就是说连续映射f ：j j ，若存在一点a j ，使得对于点b = f ( o ) ，c = f 2 ( 。) ，d = f 3 ( o ) 满足d sa c ) ，则f 在j 上是l i - y o r k e 意义下混沌的。 如果在此定理中取d = o ，则有如下定理 定理1 3 ：设j 是r 上的一个闭区间，f ：j j 是连续映射，如果f 在，上有 周期为3 的周期点，则f 在j 上是l i - y o r k e 意义下混沌的。 这也就是说，周期三意味着混沌。 m a r o t t o 在他的文章f 1 9 1 中提出了，如果一个连续映射具有一个排斥回归 子，那么这个映射是混沌的。 在介绍这个定理之前，首先介绍一下什么是排斥回归子。在以下的定义 中，b r ( z ) 表示r n 中以z 为中心r 为半径的闭球。 定义1 1 3 ：设，在毋( z ) 中可微，如果f ( z ) = z ，并且对耳( 孑) 中的任意一点 z 的雅科比矩阵d f ( x ) 的所有特征值的模( 绝对值) 大于1 ，则称点z 是，在 b ，( z ) 中的一个扩张不动点。 定义1 1 4 ：设z 是，在b r ( z ) 中的一个扩张不动点，如果存在b ，z ) 中的一个点 x 0 z 和大于1 的自然数n ，使得广x 0 ) = z ，d e t d f “( 。o ) ) 0 ，则称z 是映 射，的一个排斥回归子( s n a p b a c k - r e p e l l e r ) 、 定理1 4 ：【1 9 j 如果连续映射，：r “一兄”具有一个排斥回归子，则映射，是混 沌的，即以下性质成立。 ( 1 ) 存在自然数，对于任意p n ，具有周期为p 的周期点； 9 第一章混沌的几种定义和相关的定理 ( 2 ) 存在一个不包含，的周期点的不可数集s 满足： ( a ) ( s ) cs ， ( b ) l i ms u p l i f 。( z ) 一，( ) | | o ，v z y s ， ( c ) l i m s u p l i f ) 一，( g ) i l o ，v z s ，y 是，的周期点 k o ( 3 ) 存在s 的不可数子集铲，对于任意x ，y s o 1 i 皿i i l fi i f ( z ) 一，( g ) l i = 0 数学工作者们研究和探讨混沌时，最常用到的定义是d e v a n e y 意义下的混 沌定义，所以关于d e v a n e y 意义下混沌定义的讨论也最多。其中许多的讨论集 中在d e v a n e y 意义下混沌定义的三个条件之间的关系上。1 9 9 2 年，& b a n k s 等 人在他们的论文【4 】中- 提出在这三个条件中，如果满足其中的两个条件拓扑传 递和周期点稠密，则第三条也满足。 定理l5 ：f 4 】如果连续映射_ ，：m m 是拓扑传递的，并且，的周期点在m 中 稠密，则，是初值敏感的。 这也就是说，一个连续映射只要满足拓扑传递和周期点稠密，这个映射就是在 d e v a j l e y 意义下混沌的。 1 9 9 4 年，在文 5 1 中，作者提出在映射是区间映射的情况下，如果一个映射 是拓扑传递的，那么它也满足d e v a n e y 混沌定义的其他两条。 定理1 6 ： 5 】i 是r 上的一个区间，连续函数，：i j 是拓扑传递的，则 ( 1 ) ，的周期点在，中稠密； ( 2 ) ，是初值敏感的： 也就是说，区间映射如果是拓扑传递，则它也是d e v a n e y 意义下混沌的。 定理1 7 ：，是月上的一个区间，连续函数，：i 一，是拓扑传递的，则，是 d e v a n e y 意义下混沌的。 此外，如果，是与区间同胚的度量空间上的映射，则它也有类似的性质。 定义1 1 5 ：设x 和，是拓扑空间，：x y 是一个映射。如果，是连续的双 射，且，1 也连续，则称，为同胚映射，拓扑空间x 和y 同胚。 定理1 8 ：设m 是一个度量空间，若存在r 上的区间，使得m 与，同胚，并 且连续函数f ：m m 是拓扑传递的，则 一1 n 一 第一章混沌的几种定义和相关的定理 ( 1 ) ，的周期点在m 中稠密； ( 2 ) ，是初值敏感的； 即，是d e v a n e y 意义下混沌的。 证明：m 与同胚，所以存在一个同胚映射h ：m 一，。以y 是j 中的开集，则 九- 1 ( u ) ，h - 1 ( y ) 是m 中的开集。，：m m 是拓扑传递的，所以存在非负整 数k ，使得 ，m _ 1 ( v ) ) nh - 1 ( y ) 0 所以 h ( f ( 一1 ( u ) ) ) nv 0 记g = h 。，0h 一，则g = h 0 ，oh 一1 g ( u ) n v o 即g 在上是拓扑传递的，由定n 16 可知，g 的周期点在，中稠密。对m 中任 意的开集w ，h ( w ) 是，中的开集，所以存在g 的周期点p h ( w ) 。设p 的周 期为n ，则扩0 ) = p 。因为 1 ( p ) w ，且 ，“( _ 1 ( p ) ) = h - 1 ( 矿( 九( _ 1 ) ) ) ) = h - 1 ( 矿0 ) ) ；h - 1 ( p ) 所以，h - 1 ) 是中，的周期点，所以，的周期点在m 中稠密。由定 理1 5 可知，是初值敏感的。命题成立。 u 除了讨论d e v a n e y 意义下混沌的三个条件之间的关系，也有一些工作【3 8 l 给出了d e v a n e y 意义下混沌的等价命题。 定义l _ 1 6 ：设m 是一个度量空间，：m m 是一个连续映射，叽，巩“ 是m 上的非空开集，如果存在一个，的周期点p ，满足p u x ，并且存在非负整 数k 1 ，k 2 k 一1 ，使得 y , , - i ( p ) 玑i = 2 ，3 - - n ， 则称巩，观分享一个周期轨道。如果存在无穷多个，的周期点满足这样的 条件，则称巩，巩分享无穷多个周期轨道。 定理1 9 ： 3 8 】m 是一个度量空间，：m m 是一个连续映射，则下列命题等 价 第一章混沌的几种定义和相关的定理 ( 1 ) ，在m 上是d e v a n e y 意义下混沌的 ( 2 ) m 上的任意有限个非空开集阢，巩“分享一个周期轨道 ( 3 ) m 上的任意有限个非空开集巩，巩碥分享无穷多个周期轨道 一1 2 第二章混合性与混沌 第二章混合性与混沌 在研究确定性系统的随机动力学的过程中，一些学者1 5 1 提出了一些随机 性质来刻画确定性系统的复杂动力学行为。这些性质和之前提到的几种混沌的 定义有些什么样的关系昵? 在本章中，我们就将讨论其中的一个随机性质混合 性和这些混沌定义的关系。在第一节中，介绍了相关函数、混合性，指数混合 性等一些基本的概念。在第二节中，我们给出了一些定理来说明混合性意味着 混沌。在第三节中，进一步讨论了混合性与混沌定义的关系。 2 1 基本概念 首先对本章中出现的一些函数和记号作如下约定。在本章中，m 是赋予黎 曼度量的紧致连通流形，映射f ：m m 是m 上的连续可微的映射。 对于映射，：m m ，定义如下函数为相关函数 g ( 妒，妒) = ( 妒。，n ) 妒d m 一妒d m j 厂妒d m ， ( 2 1 ) 其中，连续函数妒：m r 和妒：m r 被称为观测函数。 定义2 1 ：，：m m 是m 上的映射，如果对任意的i p ，妒，有 则称，是混合的。 g ( 妒，妒) l 一0 ，礼一。o( 2 2 ) 定义22 ：，：m m 是m 上的映射，如果存在r 0 ，使得 i c k ( 妒，妒) i e p ，对所有n l 成立。 则称，是指数混合的。 由以上定义可知，如果一个映射是指数混合的，则它也是混合的。反之，不一 定成立。 52 2 混合性意味着混沌 在这一节中，我们首先将通过几个定理的论证来说明如果一个映射是混合 的，那么它也是拓扑传递的、拓扑混合的和初值敏感的。 1 3 第二章混合性与混沌 定理2 1 ：若映射，：m m 是混合的，则，是拓扑传递的，即对任意非空开集 阢vcm ，存在自然数使得 ，( u ) n y o 证明：用反证法来证明这个定理。假设映射，不是拓扑传递的，根据定义，则 存在m 中的非空开集u 和矿使得 ，“ v ) a v = o ，对所有n 成立， 构造两个连续函数妒：m r 和妒：m r 满足 j 妒a m o j ：f l c l m o 茁v 其他， z u 其他 由妒和移的定义可知 厂( 妒。，”) 妒d m = o ，对所有n 成立 通过计算可得 c k ( 妒妒三一( q o 妒o d f 。“) 妒d m 妒d - m 妒d m 蜘 = 一m ( u ) - m ( y ) 声0 ，当n 一。o 时 与映射，：m m 是混合的定义矛盾，所以假设不成立，映射，是拓扑传递 的。 口 1 4 0 o 0 0 = = 、i、j 嚣 z z z 妒妒 妒妒 ，j、，j、 第二章混合性与混沌 定理2 2 ：若映射，：m m 是混合的，则，是拓扑混合的，即对任意非空开集 以vcm ，存在自然数k o ，当女时，有 ，( u ) n y o 证明：对任意非空开集以vcm ， 构造两个连续函数妒：m r 和妒：m r 满足 记 因为，是混合的，所以 卜汛 。， 唾a m n z v 其他， 2 7 u 其他 1 节帆f c a m = n a g ( 蛾1 】 ) = ( 妒。r ) 妒d m 一妒d m 妒d m 一。 所以，存在自然数o ，当k 时 伉( 忆妒) = 当n _ 时 弘胁一咖蜘 一 由于，妒d m f c d m = o ，两边消去一口，得 ( 妒) 妒d m 。 如果，( n v = d ，则由妒和妒的定义可知 o ，) 砂d m = 0 ，矛盾! 所 以，p ( u ) n v 0 ，由定义可知，是拓扑混合的j 。 口 接下来证明如果一个映射是混合的，那么它也是初值敏感的，在此之前我 们先来证明一个引理。 一1 5 o o o 0 = | i l、j z z z 妒妒 妒廿 ，_(i【，il，cl【 第二章混合性与混沌 引理23 ：如果映射f ：m m 在m 上是拓扑传递的，则对于任意给定的开集 n c m 和正整数k ，存在整数k o k ，使得 产( ) n o 证明：如果映射f ：m m 是个开映射，由于，把开集映成开集，所以对任意 非空开集ncm 和正整数k ，( ) 也是开集。由拓扑传递的定义可知，存 在自然数s ，使得 ，5 ( 产( ) ) n o 朗 r k ( n ) n n j 自 命题显然成立。接下来我们只讨论，不是开映射的情况。 用反证法来证明这个定理。假设命题不成立，即存在开集ncm 和正整数 使得 ，4 ( ) n n = o ，对所有整数i 矗成立 映射f 在m 上是拓扑传递的，所以存在一点孟m 使得点集 p ( 孟) ) 嚣od = e f ld 在m 上稠密，即 可丽= 西= m 因此，存在点y = f l ( x ) 口也属于开集。所以由假设可知 ，( g ) g n ，对所有整数i 晶成立 f i + p ( x ) 掣n ，对所有整数i 死成立 则集合n 口中点的个数是有限个。设集合n n 口中点的个数为m 。显 然，这些点都是开集的内点。记这些点分别为x t ，z 2 ，z 。构造m 个闭 球0 c “= 1 ，2 ，m ) ，球心为甄，半径为r ，使得任两个闭球的交为空 集，并且 n u o i o 则集合 一u 吼c m = 1 1 6 第二章混合性与混沌 为非空开集，但不含有集合d 中的点。与集合d 在m 上稠密矛盾，所以引理 成立。 口 定理2 3 ：若映射，：m m 是混合的，则，是初值敏感的，即存在一个实数 d 0 ，对m 中任意一点x m 和z 的任意领域，存在一点y n 和整数 佗l ，使得 | | 尸( z ) 一，“( ) j | a 证明：用反证法来证明这个定理。假设映射，不是是初值敏感的，由定义可知 对任意正实数6 ，存在矿m 和矿的开领域，使得 ，“( ，) 一r ( ) | l 。 嚣 取6 0 0 使得玩。互m 。根据式( 2 3 ) 可知 z 既 其他， z n 其他 尸( z + ) 一，“( ) | | 6 0 ，对所有y n 和正整数n 成立 因此，对任意两点y ，z n 和正整数n ，有 0 ，“( 口) 一，“( = ) | is1 1 ，“( z + ) 一，“b ) | i + l l ，“( z + ) 一，” ) 1 使得 d f ( x ) j j 口l l v l l ，对所有。m 和u b m 成立 则称，是膨胀映射。 定理2 8 ：如果映射，：m m 在修改的d e v a n e y 意义下是混沌的，并且满足 如下条件 掣l ，对所有的z m 矛i ：i 瓦m 成立 则，是膨胀映射。 1 9 第二章混合性与混沌 证明：用反证法来证明这个定理。假设，不是膨胀映射，由定义可知，对任意 给定的f 1 ，存在茁。m 和v x ，正。m 使得 d y ( x 。) 。，i l 盯i i 由于m 是紧致连通流形，易得存在x o m 和v o b 。m 使得 i i d f ( x o ) v o l i l i v 0 0 1 由于掣1 对所有的z m 和u 已m 成立，则有 蝗掣 1 (25，iv o l l 、7 又因为流形m 是紧致和连通的，所以 d f ( x ) tu l l f s u p v t ；m 1 ，对所有的z m 和 瓦m 成立 d f ( ：c ) - ” i l 由此可知，对任意z ，y m ，有 所以 l ，对所有的x m 成立( 2 6 ) ，( z ) 一，( g ) 1 1t 。s 硅u p 。紫l i z 一i i | i z 一i i 疋m咿| | | i ，”( 茁) 一，“( 可) | | 0 ，在m 中取一点x m 和z 的一个领域n = d ( z o ，6 ) 对任意y n 和整数n 1 ，有 ，“( z ) 一，“( 可) | l l l z 一掣| | 占 所以由初值敏感的定义可知，不是初值敏感的但f 在修改的d e v a a e y 意义 下是混沌的，所以，也是初值敏感的。矛盾! 所以假设不成立，是膨胀映 射。 口 一2 0 一 第二章混合性与混沌 这个定理告诉我们，在一定条件下，一个在修改的d e v a n e y 意义下混沌的 映射，是膨胀映射。而文 1 5 中的结论告诉我们，一个映射是膨胀映射那就意 味着这个映射是混合的。所以也就是说在一定条件下，一个在修改的d e v a n e y 意义下混沌的映射是混合的。 由于如果一个映射是d e v a n e y 意义下混沌的，它也是修改的d e v a n e y 意义 下混沌的。所以也就是说在一定条件下，一个在d e v a n e y 意义下混沌的映射是 混合的。 2 1 第三章满足大数定律的映射和混沌映射 第三章满足大数定律的映射和混沌映射 上一章我们讨论了混合性与混沌定义的关系，满足大数定律的映射也是确 定性系统的随机动力学中一个重要的概念，在本章中，我们就将讨论它和这些 混沌定义的关系。在第一节中，介绍了一些基本的概念。在第二节中，我们给 出了一些定理来说明满足大数定律意味着混沌。在第三节中，进一步讨论了这 个概念与混沌定义的关系。 3 1 基本概念 首先对本章中出现的一些函数和记号作如下约定。在本章中，m 是赋予黎 曼度量的紧致连通流形，映射f ：m m 是m 上的连续可微的映射。 首先，我们来看一下下面这个定理。设凰，五。，是独立同分布的随 机变量，且数学期望贾= e ( ) 小。 这个就是概率论中的大数定律。参照这个定理，在确定性系统的随机动力学 中，有如下这样一个概念来刻画广( z ) 的有限时间平均 ；n - i 妒( ，( z ) ) j = 0 f 妒虮附近的摆动a 定义3 1 ：如果对任意连续函数：m r ，连续映射f ：m m 满足，对任 意给定的 0 ，存在 ( e ) 0 使得对足够大的n 1 ，有 小m ：睡卜j f 呻 s ) ) e m 则称，满足大数定律。 3 2 满足大数定律意昧著混沌 在这一节中，我们将通过几个定理的论证来说明如果一个映射满足大数定 律，那么它也是拓扑传递的，并且在一定条件下是初值敏感的。 定理3 1 ：若，满足大数定律，则映射，是拓扑传递的，即对任