（应用数学专业论文）极小曲面的造型设计.pdf

摘要 由于在理论研究和自然科学及工程技术领域应用方面的重大价值，极小曲面始 终是一个热点问题，近年来极小曲面造型的设计得到了人们越来越多的关注。 本文提供了一类构造极小曲面造型的新方法。基于孔斯曲面片，本文定义了一 种新的插值边界的曲面一孔斯一b 样条曲面，类似的还定义了三角孔斯一b e z i e r 曲面， 并给出在等温参数下是极小曲面的条件。利用改进的平均曲率流的方法优化曲面的 内部控制点，对初始控制点提出用d e r ! ：h l e t 泛函先进行优化，最后通过数值实验验 证这种方法是有效的。 关键词：极小曲面，孔斯曲面，b 一样条曲面，孔斯一b 样条曲面，等温参数，d e r i c h l e t 泛函 中图分类号：0 2 9 1 1 a b s t r a c t t h em i n i m a ls u r f a c e sh a v eb e e ne x t e n s i v e l ye m p l o y e di nm a n ya r e a ss u c ha s a r c h i t e c t u r e ，a v i a t i o n ，s h i pm a n u f a c t u r e ，a n ds oo n h o w e v e r , t h ec o m p l e x i t yo ft h e m i n i m a ls u r f a c ee q u a t i o n p r e v e n t sp e o p l ef r o m m o d e l i n gt h em i n i m a ls u r f a c e i n c a d c a g d t h ea i mo ft h i sp a p e ri st op r o v i d ean e wm e t h o df o rm o d e l i n gm i n i m a ls u r f a c e s b a s e do nt h ei d e ao fc o o n sp a t c h ，an e wk i n do fs u r n c et h a ti n t e 耳、l a m sb o u n d a r y c u r v e si sd e f i n e da n dc a l l e dc o o n s b - - s p l i n es u r f a c ei n t h i sp a p e r , a n db ya n a l o g y c o o n s b e z i e r - t r i a n g l ei sa l s od e f i n e d t h ec o n d i t i o no fb e i n gam i n i m a ls u r n c eu n d e r i s o t h e r m a lp a r a m e t e r sh a sb e e ng i v e n i na d d i t i o n ，t h em e t h o do fm e a nc u r v a t u r ef l o wi s i m p r o v e dt oo p t i m i z et h ei n n e rc o n t r o lp o i n t so f t h es u r n c e i na d d i t i o n ，b e t t e rc o n t r o lp o i n t sc a nb ec h o s e ni n i t i a l l yb ym i n i m i z i n gt h ed e r i c h l e t f u n c t i o n a l f i n a l l y ，s e v e r a ln u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e nt os h o wt h em e t h o dw o r k s w e i j k e y w o r d s ：m i n i m a ls u r n c e ，c o o n sp a t c h ，b s p l i n es u r n c e ，c o o n s b s p l i n es u r f a c e ， i s o t h e r m a lp a r a m e t e r s ，d e r i c h l e tf u n c t i o n a l i i i 第一章绪论 极小曲面最早是由p l a t e a u 根据“肥皂泡现象”提出的，故又称p l a t e a u 问 题由于它在理论研究和自然科学及工程技术领域应用方面的重大价值，该问 题自十九世纪二三十年代提出开始便一直成为许多学者研究的重要课题 严格地说，p l a t e a u 问题即给定一条闭的可求长的空间j o r d a n 曲线，寻找以这 条空间曲线为边界的具有极小面积的曲面 极小曲面以平均曲率恒为0 作为特征，因此除了在有限个点以外，极小曲面的 g a u s s 曲率恒为负，所以极小曲面具有很多优良的性质，其结构稳定，自然光顺，在 建筑设计、飞机轮船制造、分子化学、晶体学等各个领域都有很重要的应用例 如，用极小曲面作房顶曲面，结构稳定，美观大方，特别是有不积水的特点 e n n e p e r 曲面是一个著名的三次参数多项式极小曲面的例子文献 1 1 使用 e n n e p e r 曲面进行了房项曲面设计的研究，文献 1 2 证明了实际上e n n e p e r 曲面是 惟一的一类三次参数多项式极小曲面该文还给出了一个参数多项式曲面表示极 小曲面的充分条件虽然这些多项式极小曲面可以适用于c a d c a g d 系统，但它们 的自由度太少，不便于控制，在实际应用中极不方便，所以研究具有给定边界的极 小曲面，对于将极小曲面引入c a d c a g d 系统具有积极的意义 极小曲面方程是一个非线性的二阶椭圆型方程，一般没有解析解，这给极小 曲面在c a d c a g d 领域的应用带来极大的困难极小曲面问题在二维情形就是两个 平面区域之间的共形映射问题共形映射和极小曲面问题都与相应的曲面 d i r i c h l e t 能量有关它们使曲面的面积和d 1 r l c h l e t 月一m 量达到极小文献 1 3 指 出，仅仅对d i r i c h l e t 能量进行极小化，得不到满意的结果，因此引进了一个所谓 的共形能量泛函，通过对该共形能量极小来计算共性映射和离散的极小曲面 参数p l a t e a u 问题就是要寻找具有给定边界的曲面面积极小的参数曲 面d ol 1 9 1 a s 和r a d o 将问题转化为在等温参数或称共形参数化下，d i r i c h l e t 能量 极小的问题p l a t e a u 问题的解具有如下性质： ( 1 ) f 的各个坐标分量函数是q 上的调和函数： ( 2 ) u ，v 是等温参数，即第一基本形式满足：e = g ，f = o 因此，参数极小曲面问题实际上是在满足给定边界条件下，曲面参数化的最优化 问题这给参数极小曲面方程的求解带来了极大的困难有许多文章研究参数 p l a t e a u 问题的数值解 在文献 2 中，作者提出了p l a t e a u 一8 e z i e r 问题，即在所有的具有固定边界 的b e z i e r 曲面中寻找具有最小面积的那个，文中利用d e r i c h l e t 泛函代替面积泛 函给出了p l a t e a u b e z i e r 问题的近似解。显然p l a t e a u b e z i e r 问题的解并不一 定是p l a t e a u 问题的解，也就是说，即使边界都是b e z i e r 曲线，极小曲面并不一 定是多项式曲面。而且用d e r i c h l e t 泛函代替面积泛函对参数有要求，不过文章 提供了一种把极小曲面引入c a d c a g d 系统的思路。在文献 1 6 中，作者提出了b 样条型的极小曲面，利用对面积泛函极小的办法得到近似极小曲面，但是边界依 然需要是多项式的情形。 本文提供了一类构造极小曲面造型的新方法。基于孔斯曲面片，本文定义 了一种新的插值任意边界的曲面一孔斯一b 样条曲面，类似的还定义了三角孔斯 一b e z i e r 曲面，这里不再局限边界的曲线类型，可以是非多项式曲线；给出了在 等温参数下是极小曲面的条件；利用改进的平均曲率流的方法优化曲面的内部 控制点，对初始控制点提出用d i r i c h l e t 泛函先进行优化，最后通过数值实验验 证这种方法是有效的。这种方法对于构造更广泛的极小曲面造型提出了一种思 路，可以在工程、建筑设计中得到更多的应用。具体内容见本文第三章。 本文的结构安排如下：第二章将介绍相关的基础知识；第三章引入孔斯一b 样条曲面相关的定义、性质，给出在等温参数下是极小曲面的条件，提出利用改 进的平均曲率流方法对孔斯一b 样条曲面的内部控制点进行优化。第四章主要是 该方法在计算机辅助几何设计中的应用，提出对初始控制点先利用d e r i c h l e t 泛函优化，并给出数值实验结果。 第二章预备知识 本章将介绍本文涉及到的b e z i e r 及b s p l i n e ，孑l 斯曲面，和极小陆面的相关 知识。 2 1b e z i e r 及b 样条基础 这部分主要介绍本文涉及到的b e z i e r 及b 样条基础知识。 b e z i e r 理论在计算机辅助几何设计中具有非常重要的应用，它具有高度的 几何、直观特性。 要表达一条曲线有多种方式，但有些并不能体现曲线的几何特征，基于 b e r n s t e i n 基的b e z i e r 曲线很好的解决了这个问题。 一般的，n 次b e z i e r 曲线可以表示如下 ) = 孵( t ) t e o , 1 其中驰) = 睁_ t ) 叫t i 表示n 次b e r n s t e i n 基 ( 2 1 ) b ：为b e z i e r 曲线的控制点， b e z i e r 曲线具有许多良好的性质： 1 ) 端点插值) ( ( 0 ) = b o 和x o ) = b o 2 ) 仿射不变设是一个仿射变换，那么有她 b ：i ( t ) = 砭b i b l ( t ) ) i = oi = o 3 ) 凸包性质b e z i e r 曲线在由它的控制点组成的控制多边形内 4 ) 线性再生若n 个控制点共线，得到的b e z i e r 曲线就是所在直线 另外b e z i e r 曲线还具有变差缩减等性质。 对( 2 1 ) 式描述的b e z i e r 曲线作微分可得： 掣= 妁= 嚷n - i 蝌- l ( t ) ( 2z ) 其中b ，= b 。一b ，是控制点的向前变差 特别地，z t ( o ) - - n a b o ，i ( 1 ) - = n a b + 1 任何一条r 1 次b e z i e r 曲线都可以看作是条n + 1 次的b e z i e r 曲线，即 b e z i e r 的升阶公式： q = b i _ l + ( 1 一磊1 ) b ， ( 2 3 ) 对b e z i e r 曲线，还可以推广定义张量积形式的b e z i e r 曲面如下 x ( u ，v ) = b m ( u ) b m t m ( u ) b o ，o b o ，n ： b n o b n 。 b n ( v ) ： b ( v ) ( 2 4 ) 类似与上述曲面，又引入了三角b e z i e r 曲面，一张n 次的三角b e z i e r 曲面 定义如下： 削= b i b f l ( u ) = n ( 2 5 ) 其中u = ( ，v ，) 是重心坐标，j i i = n 表示指标( i j k ) 的和为n ，b 。表示控制网 州= 盎砂切。 三角一b e z i e r 曲面具有端点插值，线性再生，凸包，仿射不变等性质。 b 样条方法是在保留b e z i e r 方法的优点，同时克服其由于整体表示带来不 具有局部性质的缺点，及解决在描述复杂形状时带来的连接问题下提出来的，b 样条的理论最早在1 9 4 6 年$ c h o e n b e r g 提出，后来到1 9 7 2 年b eb o o r 和c o x 分 别独立的给出关于b 样条计算的标准算法，才得到广泛的应用。 类似于b e z i e r 曲线的定义，b 样条也有控制点以及一套特殊的基函数即b 样条基函数，b 样条曲线方程可表示为 p ( u ) = d nk ( u ) ( 2 6 ) 其中d 。( i = 0 ，n ) 为控制点，又称d eb o o r 点。n 。( u ) 为k 次规范b 样 条基函数，b 样条基是多项式样条空间具有最小支承的一组基，为计算b 样条基， 现给出德布尔一考克斯递推公式如下： m ，= ：翻l 魏 n i , k ( u ) = 粤n “u ) + 上卫n 。* ，( u ) ( 2 7 ) u i 十k u iu l + h l u i + 1 1 特别地，规定= 0 ：0 n 。( u ) 的双下标中，k 表示次数，i 表示序号：第i 个b 样条基，由递推公式知 要确定n 址( u ) 需要用到u 一，u 。+ 。共k + 2 个节点， u ，u 。+ 1 为n ，。( u ) 的支承 区间 b 样条具有如下性质： 1 ) 递推性定义可知 2 ) 规范性n 让( u ) = 1 3 ) 局部支承性质 n “u ) = 三：若u u u 其i + 他k + i 4 ) 可微性在节点区问内部是无限次可微的，在节点处是k - r 次可微，r 是节点的重复度 考虑b 样条基的局部性质，可以把b 样条曲线改写成分段表示 ( 2 8 ) 特别地，如果所有节点区间长度相等，这些节点定义了均匀b 样条曲线，如 果除了两端节点具有重复度k + l ，所有内部节点区间相等，那么这组节点定义了 准均匀b 样条曲线，准均匀b 样条曲线可以得到与b e z i e r 曲线类似的端点几何 性质。 给定( 叶1 ) ( n + 1 ) 个控制顶点d i j ( i _ 0 ，m j = 0 ，n ) 构成一张控制网。分别 给定参数u ，v 的次数k 与1 ，设定节点矢量 汁 uu r l u 、， u l k n d k 。一 | i 、， u ，l p u = u o ，u m + k + l 】和v = v 。，v h + 1 】，就可以定义k 1 次的张量积b 样 条曲面： p ( u ，v ) = d u n 。k ( u ) n j , i ( v ) u k u u r e + l , v l v - v ，i ( 2 9 ) i = 0 j = 0 2 2 孔斯曲面基础 在许多实际问题中，人们往往先构造一个框架( 比如船的龙骨，飞机的骨架) ， 然后用曲面糊在这些框架上，局部的问题归结为构造插值，但需要插值的不是有 限的数据信息，而是无限的，为了实现这个目的，美国麻省理工学院的c o o n s 在他的著名的“小红书”里详细介绍了一个独特的构造方法，于是称之为孔斯曲 面。 双线性混合孔斯曲面是孔斯曲面中最简单常用的，问题开始是这么提出的： 给定任意四条参数曲线围城的封闭空间曲四边形，使两对边分别定义在 u o ，】与v o ，1 上，要求找到一张以这四条曲线为边界的曲面 p ( u ，v ) ，0 u ，v 茎1 ，即现在己知曲面的四条参数边界p ( u ，o ) ，p ( u ，1 ) ，p ( 0 ，v ) ，p ( 1 ，v ) ， 要求该曲面。 先在对v 边界之间由线性插值构作u 向直纹面： q ( u ，v ) = ( 1 一u ) p ( 0 ，v ) + u p ( 1 ，v ) 0 u ，v i ( 2 1 0 ) 它插值一对v 边界，但不插值u 边界。类似的，在一对u 边界之间可构造另 一v 向直纹面： r ( u ，v ) = ( 1 一v ) p ( u ，o ) + v p ( a ，1 ) 0 u ，v 1( 2 1 1 ) 它插值一对u 边界，但不插值另一对v 边界。为得到要求的插值曲面，两直 纹面迭加必须减去由四顶点决定的一张双线性插值张量积曲面： s c u ，班卜u ，u ，f 嚣昌 0 u ，v 蔓1( 2 1 2 ) 7 于是得到双线性混合孔斯曲面片： p ( u ，v ) = q ( u ，v ) + r ( u ，v ) 一s ( u ，v ) ( 2 1 3 ) 容易验证该曲面插值四条边界曲线。 定义两个算子的布尔和如下： p l op 2 = p 1 + p 2 一p l p 2 ( 2 1 4 ) 那么上述双线性混合孔斯曲面片实际上是两个线性插值算子的布尔和。 类似地，还可以定义线性三角孔斯曲面片，不妨设三条边界曲线： x a b ，xb c ，x c a ，在三角片上定义插值算子p a ，p b ，p c 分别插值点a 和对边x b c ， 点b 和对边x 。，点c 和对边x a b 而构成三张直纹面， 定义三个算子的布尔和 c = p a op b o p c ( 2 1 5 ) 容易验证p ：。插值三条边界曲线x a b ，x 。，x c a ，这张曲面片成为三角线性 孔斯曲面片。它不同于分片线性插值，该曲面不是分片线性的，也不是直纹面， 它不仅插值了顶点还插值边界。 2 3 极小曲面基础 在微分几何中，对极小曲面有严格的定义： 定义2 1 如果一个曲面的平均曲率在每点都为0 ，那么这个曲面称为极小 曲面。 不妨设曲面的第一、二基本形式分别用g n ，b i 表示，那么极小曲面只需满 足方程： 9 2 2 b 1 i ( n ) + 9 1 l b 2 2 ( n ) - 2 9 1 2 b 1 2 ( n ) = 0 ( 2 1 6 ) 设s 是由定义在域d 上的函数x ( u ) c 2 所确定的正则曲面，记 h ( u ) c 2 是域d 内的任意函数，作曲面： 只：牙( “) = z ( 甜) + 五矗( “) ( “) ， “d 具甲五是仕蒽头毅，微分上瓦得 掣：i o x + x h a ，n + - o hn 曲fd ，仇l ，仇f l 吼：f 豢娶) = g , s - 2 2 h b , j ( ) + 庇扣) 勘2 瓦瓦 a h 肌“础 其中c o ( u ) 是定义在d 上关于“的连续函数 从而可见 d e t 垦。= a o + q 五+ d 2 五2 其中：= = 一d e t g u 2 h ( g 、。b 2 2 ( ) + 9 2 2 b 、( ) 一2 9 、：b ，：( ) )q = 一1 1( ) + 2 2l l ( ) 一1 21 2 ( ) ) a 2 是关于“和五的连续函数 于是有 j 厢一c 压+ 景， 剃 其中m 是常数 记s 。的面积为a ( 旯) ，那么 a ( o ) = 扣u 。d u ： 卜叫旷五味州u ：i 0 ( 2 2 4 ) 就解析的表示了这个性质，满足这个条件的参数u 。，u ：，称等温参数。 若采用了等温参数，曲面论中的许多基本量的表示就变得相当简单了。易得： d e t ( g 。) = 五4 平均曲率的公式可以简化为： h ( n ) = 监等巡 ( 2 2 s ) 下面再介绍一个常用的、可作为一个曲面的坐标向量的拉普拉斯( l a d l a c i a n ) 公式。 引理2 。2 设正则曲面s 是由x ( u ) c 2 级定义的，u 。、u ：为等温参数， 则 a x = 2 旯2 h ( 2 2 6 ) 其中h 是平均曲率向量。 引理2 3 设x ( u ) c 2 级确定了用等温参数表示的正则曲面s ，则坐标函数 x 。( u 。，u ：) 为调和函数的充要条件是s 为极小曲面。 由此可见，从与最小面积完全不同的角度出发也能很自然的提出极小曲面的 问题。 第三章孔斯一b 样条曲面 对极小曲面的逼近 为了解决更广泛的极小曲面造型设计问题，本文基于孔斯曲面定义了孔斯 一b 样条曲面、三角孔斯一b e z i e r 曲面等一系列曲面，引入平均曲率流的方法并作 了一定改进，本章将详细介绍这种极小曲面造型设计的新方法。 3 1 引言 在微分几何中，对极小曲面有严格的定义，把平均曲率恒为0 的曲面称为 极小曲面。由于它在理论研究和自然科学及工程技术领域应用方面的重大价值， 该问题自1 9 世纪二三十年代提出开始便一直是许多学者研究的重要课题。除了 众多的理论结果外，近年来，又有不少学者研究工程中常用的极小曲面造型。 如j m o n t e r d e 在文献 2 中提出了p l a t e a u b e z i e r 问题，即在所有的具有固定 边界的b e z i e r 曲面中寻找具有最小面积的那个，文中利用d e r i c h l e t 泛函代替 面积泛函给出了p l a t e a u b e z i e r 问题的近似解，给出了b e z i e r 张量积形式下 的曲面使得d e r i c h l e t 泛函极小的条件： 定理3 1 在固定边界下，b e z i e r 曲面的控制网格p = 。n ，, m o 使d e r i c h l e t 泛函极小的充要条件是： p ；j 要满足如下方程组 。= 赤h1 肥 蔫= a ：k 2 2n2mi (一) l八jj ，o “ + 志幄1 特唧。 舯吣：一f 去车b ( 3 1 ) 但是仅仅对d i r i c h l e t 能量进行极小化，得不到满意的结果。 满家巨( 见 1 ) ，利用迭代的方法给出b 样条型的近似极小曲面造型，以上 都是在某种特殊的曲面类中寻求近似极小曲面，特别是对边界有明确的限制。对 于一般边界的问题，g u ol i a n gx u ，q i n gp a n 在文献 3 中利用曲率流构造几何 偏微分方程提出了一种新的研究方法。从孔斯曲面片的构造思想出发，本文定义 了一类新型的插值边界的曲面，考虑的是一个有条件的p l a t e a u 问题，把可能 存在的所有曲面类限制为定义的那类曲面，但对边界曲线的类型不再要求。参考 了文献 3 中曲率流的方法并作改进，得到了任意形态函数边界的极小曲面造型 的构造方法。 3 2 孔斯_ b 样条曲面 首先，考虑关于孔斯曲面的一个命题。 孔斯曲面定义为 x ( “，v ) = ( 1 一“，“) x ( o ，v ) ，x o ，v ) 】+ ( 1 一v ，v ) x ( u ，o ) ，x ( u ，1 ) 它具有很好的边界插值性质，因为是用直线连接相对两条曲线，构成的曲面 类似极小曲面，但是由于它和参数相关以及对边界的敏感性，孔斯曲面并不一定 是极小曲面。给一个函数型简单的反例： z ( “，0 ) = ( u , o ，“2 ) ，r ( “，1 ) = ( “，1 ，“2 ) ，x ( o ，v ) = ( o ，v ，o ) ，x ( 1 ，v ) = ( 1 ，v ，1 ) 则 x ( u ，v ) = ( “，v ，“2 ) e = 1 + 4 u 2 ，f = o ，g = 1 ，l = 1 _ ，m = n = 0 、，1 + 4 “2 所以日( “，v ) = 击。，于是有 命题3 1 孔斯曲面不一定是极小曲面。 因为孔斯曲面本身具备p l a t e a u 问题的前提一可以插值边界，但是由以上命 题知因为自由度太少，使得无法进一步优化，从这个角度出发，本文定义了如下 曲面，既满足孔斯的基本性质，又有足够的自由度实施控制，以达到我们的需求。 定义3 1 四边孔斯一b 样条曲面 任意给定4 条参数曲线x ( u ，0 ) ，z ( “，1 ) ，x ( o ，v ) ，x ( 1 ，v ) ，v 0 , 1 定义曲面 x ( u ，v ) = ( 1 一“，“) x ( o ，v ) ，x ( 1 ，v ) + ( 1 一v ，v ) z ( “，o ) ，x ( u ，1 ) 一x 口 ，v ) ( 3 2 ) 其中 x 。( “，v ) = x 。? ( “) 吖( v ) 是b 样条曲面，x 。是它的控制点，且满足边界 插值由x ( k ，) ( 七= 0 ，1 ，= o ，1 ) 四个顶点顺次连接而成的矩形框 则z ( “，v ) 被称为四边孔斯b 样条曲面。 为方便起见，以下记号将做如下简化： x 。( “，v ) ：= ( 1 一“，“) 【z ( 0 ，v ) ，x 0 ，v ) + ( 1 一v ，v ) t 【z ( “，0 ) ，x ( u ，1 ) 】 从而x ( “，v ) = x ( “，v ) 一x 口( “，v ) 。 这类曲面具有我们需要的插值性质 性质3 1 1 定义3 1 中的四边孔斯_ b 样条曲面插值给定的四条曲线。 证明：由x ( u ，v ) 的定义以及x 。( “，v ) 所满足的条件容易验证。 注： 1 ) 把极小曲面的逼近问题转化为z 。的控制点的确定问题 2 ) 当边界为( 分段) 多项式曲线时，曲面就转为( 分段) 多项式插值曲面， 所以文献 1 7 中的曲面构型是这类构型的一个特例。 l3 类似地，下面考察三角曲面的情况 定义3 2 三角孔斯一贝塞尔曲面 已知三条边界曲线x 目，x “，x “。x 。，也，鼍分别是三个顶点，由孔斯曲面 片的理论知，适当的参数化后 只= ( 1 一v ) w ( u ( 1 一v ) ) 4 - v z 匕= ( 甜+ v ) x _ c ( v ( u + v ) ) + ( 1 一甜一x 占 尼= ( 1 一“) + z “( v ( 1 一“) ) + 甜j ，c ；中“【o ，1 ，v o ，1 】，( “+ v ) 【0 , 1 】 只，p 8 ，足分别是插值b c 边界和a 点，a c 边界和b 点，3 边界和c 点的直 纹面 只。r = 只o bo 尼= 只+ 局十足一2 ( v x d + “如+ ( 1 一“一v ) - ) ( 3 3 ) 这里。表示布尔和，即只o p 口= 只+ 岛一只岛 那么。就是一个插值x 。，x 舱，x 。三条曲线的曲面，称为孔斯曲面片 注意到式( 3 3 ) 最后一项的表示，参数在边界上体现为重心坐标 所以( 3 3 ) 可改写为 只。= 只。兄op c = 只+ 兄十弓一2 b 1 ( u ) 其中b i ( u ) 2 6 i 斛( u ) 是1 次的贝塞尔三角片， 川= 1 定义 x ( u ，功2 只= 只+ 晶+ 足2 b o ( u ) ( 3 4 ) 6 ”( u ) 2 b 。霹( u ) j i f = n 彤( u ) 2 靠“w 。 i ：( f ，m ) ，t l - - - - - ( ，w ) ，w = l 叫 且满足6 ”( u ) i 。= 6 。( u ) i 。，6 ”( u 4 。= b i ( u ) 。，6 ”( u i 。= b i ( u ) i 。 那么就称x ( u ，v ) 为三角孔斯一贝塞尔曲面 性质3 2 1 三角孔斯贝塞尔曲面插值三条边界曲线。 4 证明：由6 ”( u ) 满足的条件，结合x ( u ，- 9 ) 的定义式，容易验证三角孔斯一贝塞 尔吐面具有插值性。 在极小曲面中，有唯一的一种旋转极小曲面叫悬链面，x 2 + y 2 = ( c o s h ( z ) ) 2 ， 这是一个管状的极小曲面，对定义3 1 作如下改进，使之包含管状曲面的情况。 定义3 3 管状孔斯一贝塞尔曲面 给定两条封闭曲线x ( o ，v ) 和x ( 1 ，v ) ，及连接前两条的第三条曲线 x ( u ，0 ) = x ( u ，1 ) ( 也可以待定) 定义曲面 x ( u ，v ) = ( 尉( 甜) ，b ? ( “) ，) z ( o ，v ) ，x ( 1 ，v ) l 卜( 磁( v ) ，b ? ( v ) ，霹( v ) ，霹( v ) ) 【x ( “，0 ) ，x ( u ，1 3 ) ，x ( u ，2 3 ) ，x ( u ，1 ) 卜x 日( ，v ) ( 3 5 ) 其中 x 。( “，v ) = z ，b t ( u ) 彤( v ) 是贝塞尔曲面且满足 ( 1 ) x 8 0 ，o ) = x b ，1 ) = ( 1 一“) x ( o ，o ) + “x ( 1 ，o ) ( 2 ) 肖。( o ，v ) = ( 联( v ) ，b ? ( v ) ，b i ( v ) ，b ；( v ) ) x ( o ，o ) ，x ( o ，1 3 ) ，x ( o ，2 3 ) ，x ( o ，1 ) 】 ( 3 ) z 。( 1 ，v ) = ( 露( v ) ，b f ( v ) ，占；( v ) ，霹( v ) ) 瞵( 1 ，o ) ，x ( i ，1 3 ) ，x ( 1 ，2 3 ) ，x 0 ，1 ) 1 则x ( u ，v ) 被称为管状孔斯一贝塞尔曲面 性质3 3 1 管状孔斯一贝塞尔曲面插值其边界上两条封闭曲线( 如果存在 第三条边界，也满足插值性质) 证明：由贝塞尔曲线曲面理论的升阶公式知存在满足定义中三个条件的贝塞尔曲 面，再根据定义式( 3 5 ) 容易验证得曲面插值边界。 在这类曲面中，其形状完全由相应的贝塞尔曲面的控制网来确定，处理起来 更加方便。特别地，第二、三种曲面很容易推广到b 样条的情况。 下文将以这类曲面为基础去构造极小曲面造型。 3 3 等温参数下孔斯- b 样条曲面是 极小曲面的条件 觏参( 才嬲怵愀一刮黧别= 。 容易验证得： e = d 否，f = d 万，g = d 否，于是 j ( z ) = 删面否一万2 d 劢i = f r 赢丽西= 4 ( j ) 即z 的面积与参数无关，所以极小曲面也与参数无关。在等温参数下，极小 曲面理论中的许多量的表示变得更简单。 等温参数：若曲面的第一基本形式e ，f ，g 满足e = g ，f = 0 ，则对应的参数 叫等温参数。 记e = g = 五2 ( u ) ，则g ，= 五4 ( u ) ，容易得 日( u ) ：饕 ( 3 6 ) 于是有 引理3 1 m 1 设正则曲面s 是由z ( u ) 定义的，u 为等温参数，则 战= 2 2 2 h ( u )( 3 7 ) 于是，极小曲面的充要条件变成x = 0 ，即x 是调和函数，所以有更直接的 推论 引理3 2 “”设z ( u ) 确定的是等温参数的正则曲i 2 i s ，则s 是极小曲面的充 要条件是x ( u ) 的每一个分量函数都是调和函数。 在等温参数下，本文定义的曲面满足适当的条件也可以成为严格的极小曲 面。于是有 定理3 2 当等温参数下的孔斯一b 样条曲面x ( u ) 对应的控制点x i 满足如 下条件时 ”，掣m ，挈邶氆，掣鸲挈 一善玛+ 嘉 孵。( 啪一2 屹2 ( 柑+ 川k + - ：2 ( 啪 嘭( 蝴+ 嘉 ( 嘭一2 ( 蝴一( 3 8 ) 2 咐鸲) + 川k + - ：2 ：) j 祥 。) s0 那么x ( u ) 是极小曲面。 证明：由引理3 2 知只需a x ( u ) = 0 鼍( t - u 2 ，鼍竽+ ”掣一否乃c 掣咖帆，掣， 。， 不妨考虑均匀节点序列，设节点间距为h 由b 样条基的性质： d n k , ( u ) ：( 型：! 生! 一型! i ! 盟) ： ( ? 一、( “) 一譬( “” d u i l k + i _ 1 一甜f _ lu k + ，一“j n ( 3 9 ) 可化为 筹+ 筹邓叫，一掣蝎一0 2 x 毗( 1 一 。u 2 ) + ( 1 _ u 2 ) 0 2 x 嘶( u o ) 坞 一 吉 ? - 2 ( u 0 - 2 n ) + 掰州k + 嘉孵k 2 ) _ 2 - 彬0 ( “：) + n 。k - 2 ( 、u ：) ? ( “。) ；0 a 2 x ( u ，1 ) d “， 等温参数的条件在实际应用中不容易达到，一般情况下，只能采取逼近的方 法去实现我们的需要，通常取k = 2 ，3 就可以达到很好的逼近效果。 3 4 一般参数下的孔斯- b 样条曲面 在计算机辅助几何设计中采用3 次b 样条已经可以达到不错的逼近效果，这 里不妨设k = 3 ，且除重节点外节点序列均匀分布，b 样条曲面j 乙可以改写为 当“，“ u + i , v j v v j 十1 时 首先，我们来讨论边界上控制点的确定问题。 由定义知应满足 1 7 掣塑w塑钟 3 i ， 杰铲 ，” 爿b ( u ，v ) = ( 1 v ) x ( o ，o ) + v x ( o ，i ) 也( 1 ，7 ) = ( 1 - v ) x ( 1 ，0 ) + ( 1 ，1 ) ( 3 1 0 ) x b ，o ) = ( 1 一u ) x ( o ，o ) + u x ( 1 ，u ) x e ( “，1 ) = ( 1 u ) x ( o ，1 ) + u x o ，1 ) 由升阶公式可以得边界控制顶点由两个端点决定如下：特别地，记两个端点 分别为a 和b ，则有 定理3 3 若把参数区域分成聆胛片，那么从端点 a 到b 的边界控制点分别 为 小爿，扣2 叫埘。扣川帅c f _ 1 删幺”b x 2 砉( 爿m 2 叫b ) ，x m 2 b 在每一个参数方格区域，曲面由附近的1 6 个控制点完全确定。现考虑曲面 上任一点( “，v ) 处的平均曲率h ( “，v ) ，不妨设“，“ “，v j v ”川我们得 定理3 4 h ( u ，v ) = 四边一b 样条曲面上任一点处的平均曲率为 、g l 一2 f m + e n 互1 i 巧广一 甜，“ u i + l ，v j v “ ( 3 1 2 ) 其中e ，f ，g ，厶肼，由如f 式( 3 5 ) u ( 3 1 0 ) 表不。 证明： 记。( 爿j ) = 爿j 一置一u a o l ( x ) = x 一x 州 z o 巧= a - o ( 乃) 一l o ( 五山) a m ( 爿j ) = a 。z ( 爿j ) 一o ( g - ，) 。- ( ) = o t ( ) 一o ，( 五。，) 五= x a 。( “，v ) 一i 1 l 。( 巧) 孵( “川( v ) ， , r li = k - 2 ，刮一3 五2 以v ( 巩v ) i 1 ，毛丕a o l ( 蜀) 3 ) 孵( 力， 瓢，咖印。啦l 五知，v ) 2 瓦。v 卜矿1 。塞毫加( 蜀w 川( v ) 瓦( 州) 2 以v v _ 矿1 毫妻，0 2 ( ) 3 ( “川( v ) 五，( “，v ) = 瓦。，一矿1 。毛k 萎i 。i ，( ) 3 ( “川( v ) e = 砉( ( 。( 墨) ，。( 置：，：) ) 焉( “) 峨( “) 叼，( v ) 曝( v ) ，l i l = k - 2 j l = l 一3 i 2 = k 一2i 2 = ，一3 。 一云，丕k 荟( 一”，。乃) 2 ( “) 川( v ) + ( 以。，以。) 31 3， ， ( ) g = 砉莓，车，二( ( 。( 互。) ，。( ，：) 嬲( ”) 峨( “) 蝣( v ) 娘( v ) “”7 “2 。“，2 2 “ 。 ( 3 1 4 ) 一詈，( x 。”( “) ；( v ) + ( 髟，l ，) 忙 一3 = 1 2 f2方邑萎，萎，丕：(“置w“护肼“煽(“)呜(v)吆(v卜ilil l = i 1 2 2 ( 3 1 5 ) 7 = t 一2一j = t 一3 = 卜2 。 门 1 f 、 ( ；，车( 乃。局) n ，3 ( “) 吁( + 窆( 蜀，。蜀) 研( “) 弼( v ) ) + ( 也。，髟， ，目一2i = k 2 ，d j 上= ( 丙，瓦) = ( 丙，l 。) 一嘉姜毫( 丙2 。凇( “) ( v ) ( 3 1 6 ) = ( ，瓦) = ( 丙，e v ”) 一矿1 。塞塞( ，0 2 玛) 研( “) 彬( v ) ( 3 1 7 ) m 2 ( 丙，瓦”) = ( 丙，蜀。，) 一万1 ，毫毫( 丙，iz ) f 2 ( “) 孵( v ) ( 3 。1 8 ) 从而代入h = i 1 g l l - 蟊2 f = m r + e n 可得。 3 5 平均曲率流方法 对任一曲面( “，1 ) ，定义其面积泛函为 9 爿( x ) = 吖丽咖 n 记五( u ) = 五( u ) + ，+ 五( u ) 丽( 3 1 9 ) 表示一族曲面，由x o ( u ) 开始沿法线移动而得，其中 ( u ) 表示移动的速度，关于 面积泛函的变化有如下引理 引理3 3 1 5 1 设x 。( u ) = x 。( u ) + ，+ ( u ) 丙丽，万面表示法方向，矗( u ) 如上 所述，为时间参数。记4 ( 彳) = 爿( 五( u ) ) 表示五( u ) 的面积，那么a ，( 彳) 满足 如下微分方程： 掣一舯州咖 z 。， i g 里h ( u ) 表示曲面在参数u 处的平均曲率，即日( u ) = j 1 e n _ + 琵o 二- l 了- 2 广f m 一 这个引理非常重要。式( 3 2 0 ) 表明只要右边适当的选取 ( u ) 使得a ( u ) 日( u ) 恒大于o ，则爿，( z ) 总满足皇兰i 粤 o ，即面积不断缩减，那么必然最终缩减为 极小曲面。在文献 3 中，作者取厅( u ) = 日( u ) ，显然有 掣一妒加 ) 2 。 4 2 数值实验 为了验证上述方法的有效性，现选取两个典型的大家熟悉的极小曲面作为实 例：正螺面和e n n e r p e r 曲面。 正螺面的方程为： x ( u ，v ) = u c o s ( v ) ，u s i n ( v ) ，v 】 在 o ，1 】 o ，】上逼近的效果如下图一。 e n n e r p e r 曲面是三次多项式型的极小曲面其表达式为 x ( u ，v ) = 一“3 3 + a v 2v v 3 3 + u v 2 , “2 一v 2 ； 图二是利用d e r i c h l e t 泛函极小对该曲面的逼近，这时大部分参数区域的平 均曲率在0 附近，但是局部有较大偏差。用以上结果作初始控制点再对e n n e r p e r 曲面的逼近的平均曲率h 2 0 7 1 0 1 ( 见图三) 。 综上对两类曲面的逼近知本文提供的方法能够达到较好的逼近效果。 利用本文提供的方法，可以实现满足各种边界需求的极小曲面造型的设计， 特别地马鞍型的极小曲面在房屋屋顶设计中有很普遍的应用，比如给出四条抛物 型的边界，可得到如图四的马鞍型曲面造型。图五、图六和图七分别给出了以悬 链线为边界的四角，五角和六角亭顶的造型。 图一 图二 图三 图四 图五 嚣七 鹭六 4 3 总结与展望 由于极小曲面的重要意义，将极小曲面引入c a g d 是很有意义的工作由于极 小曲面表达复杂，我们希望寻求适合c a g d 系统使用的极小曲面的表达方式为 此，基于孔斯曲面的构造思想，本文定义了孔斯一b 样条曲面并讨论了矩形域和 三角域上对任意边界的极小曲面方程的近似解，为解决任意区域上的极小曲面问 题提供了一种思路。 对于任意区域上的问题，在直接应用b 一样条函数空间求解时很难处理边界 条件文献 1 3 利用区域几何描述函数作为权函数研究了d i r i c h l e t 问题的加权 b 一样条函数逼近这个方法也可以用来解决任意区域上的极小曲面方程如何使 用参数样条曲面逼近参数极小曲面仍然是一个需要继续研究的问题 参考文献 1 g e r a l df a r i n ，d i a n n eh a n s f o r d ，d i s c r e t ec o o n sp a t c h e s j c o m p u t e ra i d e d g e o m e t r i cd e s i g n ，1 9 9 9 ，( 1 6 ) ：6 9 1 7 0 0 【2 j m o n t e r d e ，b e z i e rs u r f a c e so fm i n i m a la r e a ：t h ed e r i c h l e ta p p r o a c h j c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ，2 0 0 4 ，( 2 1 ) ：1 1 7 1 3 6 3 】g u o l i a n gx u ，q i n gp a ng e o m e t r i cm o d e l i n gb yd i s c r e t es u r f a c e sp a t c