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状态空同模型在经济指标中髂应用 硕士学位论文 中文摘要 对经济系统的研究离不开模型，丽一个系统往往可以用不同的模型去描述， 其中之一就是状态空间模型。2 0 世纪8 0 年代以来，状态空间模型已成为研究经 济系统的种有力的建模工具。它的应用范围越来越广泛，已经引起了国内外 学者的普遍关注。 本文应用状态空间模型的时间序列预测方法对居民消费价格指数与社会消 费品零售总额进行了研究，主要工作如下： 1 首先介绍了状态空间建模法的历史发展历程以及居民消费价格指数、社 会消费品零售总额的基础知识和传统的技术分析方法。 2 。详细介绍了状态空间模型及k a l m a n 滤波。其中涉及了a r i m a 模型的状态 空间模型表示，以此为例的k a l m a n 滤子的推导，稳定状态的k a l m a n 滤子的性 质，以及k a l m a n 滤子的平滑和缺失值。 3 详细介绍了状态空闯的参数估计。其中有状态空间模型参数的极大似然 估计算法，e m 算法及其相关性质，g e m e c m 算法，e m n e w t o n 算法，淞麟 算法等。 4 分别使用居民消费价格指数和社会消费品零售总额的历史数据，运用状 态空间建模法对其时间序列进行建模。 5 根据预测值得出结论。 ( 1 ) 未来6 个月消费价格指数虽仍有一定上涨，但上涨幅度较前2 0 0 7 年 前半年小得多。这也说甥国家在上半年蹴台的一系列紧缩性的政策开始见效， 消费价格指数得到定的控制，结合这次通货膨胀的特点即投资升温过快，农 副食晶行业薄弱。所以政府还必须在抑制一部份行业过度投资的同时，也要积 极鼓励一些薄弱行业的发展， ( 2 ) 从模型预测结果来看，今年以来，消费品市场运行平稳，零售额增长 加快，市场供求形势比较稳定。0 7 年下半年社会消费品零售总额为1 5 8 7 9 6 9 亿元，同比增长1 7 1 3 ，是历年以来的最快水平。虽然消费增长呈不断加快之 势，但消费与投资的比例依然畸形。因两必须调整投资和消费的关系，努力扩 大消费需求。 关键词：状态空间模型，居民消费价格指数，社会消费品零售总额 状态空阍横型在经济撬标中的应用 硕士学位论文 a b s t r a c t t h es t u d yo ft h ee c o n o m i cs y s t e mi sc l o s e l yr e l a t e dt ot h em a t hm o d e l 。o n e s y s t e mc a nb em a t c h e db ys e v e r a lm o d e l s ，a n do n e o ft h e mi st h es t a t es p a c em o d e l s i n c e19 8 0 s ，s t a t es p a c em o d e lh a sb e p 沁m es t r o n gm o d e l i n gt o o l so fs t u d y i n g e c o n o m i cs y s t e m 。t h e r ei sr a p i d l yi n c r e a s i n gr a n g eo fu s e sf o rs t a t es p a c em o d e l ， a n di th a sa t t r a c t e dal o to fa c a d e m i ca t t e n t i o n t h i sa r t i c l eu s e dt h es t a t es p a c em o d e lt oa n a l y z ea n dp r e d i c tt h ec o n s u m e r p r i c ei n d e xa n dc h i n e s et o t a lr e t a i ls a l e so fc o n s u m e rg o o d s 。霸1 et h e s i sc o n s i s t so f f i v ep a r t s 。 1 f i r s t l y , i ti n t r o d u c e dt h eh i s t o r yo fs t a t es p a c em o d e la n df u n d a m e n t a l i n f o r m a t i o no nc o n s u m e rp r i c ei n d e xa n dc h i n e s et o t a lr e t a i ls a l e so fc o n s u m e r g o o d st r a d i t i o n a la n a l y t i c a lm e t h o d so fi tw a sa l s oe l a b o r a t e d 2 。t h i sa r t i c l ei n t r o d u c e dt h es t a t es p a c em o d e la n dk a l m a nf i l t e r a m o n gt h i s ， t h e r ei st h es t a t es p a c em o d e l r e p r e s e n to fa r i m am o d e l ，t h ed e d u c eo f t h ek a l m a n f i l t e r , p r o p e r t i e so fs t a b l es t a t e dk a l m a nf i l t e r , s m o o t h i n gf i l t e r , a n dt h em i s s i n g v a l u e 3 ，i ti n t r o d u c e dp a r a m e t e r se s t i m a t i o no f t h em o d e l ，s u c ha sm a x i m u ml i k e l i h o o d e s t i m a t i o n , e x p e c t a t i o n m a x i m u m f e m )a l g o r i t h m ,g e n e r a l e x p e c t a t i o n m a x i m l z a t i o n ( g e a r - - e x p e c t a t i o nm a x i m u ma l g o r i t h n a ，e m n e w t o na l g o r i t h m ， e t c 。 4 。u s et h ec p ia n dt h es u mo fr e t a i ls a l e so fc o n s u m e rg o o d st ob u i l dt h em o d e l b a s i cs t e p sa sf o l l o w s ： 5 。a c c o r d i n gt ot h ep r e d i c t i v ev a l u e ，w ec a ng e tt h ec o n c l u s i o n ( i ) n e x t6m o t h s ，c p if i g u r eh a sc o n t i n u e sg r o w n , b u tt h ep e r c e n t a g ei n c r e a s e s b e c a m el e s st h a nt h ef i r s th a l f - y e a r 弧1 i sm e a n st h et i g h t e n i n gm o n e t a r yp o l i c yt h a t t h eg o v e r n m e n ta n n o u n c e di nt h ef i r s th a l f - y e a rh a st a k e ne f f e c t ，a n dc p if i g u r e c o m e so ng a i np r o p e rc o n t r o l 。c o m b i n ew i 也t h ei n f l a t i o n sf e a t u r e s ，n a m e l y i n v e s t m e n tr o s es h a r p l y , a g r i c u l t u r a la n ds i d e l i n ep r o d u c t sa r et o ow e a k , t h e g o v e r n m e n tn e e d st oc o n t a i no v e r i n v e s t m e n tf r o mac e r t a i np a r to fi n d u s t r y , a n d e n c o u r a g et h ew e a ki n d u s t r i e st og r o w ( 2 ) a c c o r d i n gt ot h ep r e d i c t i v ev a l u e ，c o n s u m e rm a r k e t sr u n ss m o o t h l yt h i sy e a r , h 状态空间模型在经济指标中的应用 硕士学位论文 a n dt h er e t a i ls a l e so fc o l l s u m c ! rg o o d sh a v ei n c r e a s e df a s t t h es i t u a t i o no fm a r k e t d e m a n da n ds u p p l yi ss t a b l e i nt h es e c o n dh a l fo ft h e2 0 0 7 ，t h es u mo fr e t a i ls a l e so f c o l l s u m e rg o o d si sr m b158 7 9 6 9m i l l i o n , a ni n c r e a s eo f17 13 y e a r - o n - y e a r i t s r i s ei st h ef a s t e s ti n c r e a s eo v e rt h ey e a r s c o n s u m p t i o ng r o w t hi sr i s i n gf a s t , b u tt h e r e h a v eb e e ni m b a l a n c e sb e t w e e nc o n s u m p t i o na n di n v e s t m e n t t h eg o v e r n m e n tn e e d s t or e g u l a t et h er e l a t i o n s h i po fc o n s u m p t i o na n di n v e s t m e n t , a n dm a k ea ne f f e c tt o e x p a n dt h ec o n s u m e rd e m a n d k e y w o r d s ：s t a t es p a c em o d e l ，c o m u m e rp r i c ei n d e x ，c h i n e s et o t a lr e t a i ls a l e s o fc o n s u m e rg o o d s i l i 学位论文独创性声明 本人郑重声明： i 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他入或其它机构 已经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均己在论文中作了声明并表示 了谢意。 作者签名：盔垃二 蜀期：盆缱。氐圭 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保警、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向藿家主管部门或其指定机构送交论文的电予舨翻纸 质葳：有权将学位论文霜予菲赢利誉的的少量复铡并允许论文进入学校豳警 馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学链论 文的标题和摘要汇编蹴版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名：纽盘= 日 期：泌。6 ：丕 状态空间模型在经济指标中的应耀 硕士学位论文 第一章绪论 1 1 基于状态空间模型的时间序列分析发展综述 隧着科学技术的进步和社会经济熬发展，在许多领域，人们日益重视对各种现象的定 量观测和有关数据的搜集和分析。这些数据一般按时间顺序摊列，由于受到多种偶然因素 的影响，往往表现出某种随机性，且观测值之间存在着相互依赖关系。对这种按时间顺序 排列的动态数据进行研究，构成了数理统计的一个重要分支一对闰序列分析n 1 。 时间序列分析最基本的理论基础是上世纪4 0 年代分别由n o r b o r tv i e n e r 和a n d e i k o l m o g o n o r 羽l 立给出的，他们对发展时阀序列的参数模型拟合釉推断过程做出了贡献，促 进了时间序列分析方法在工程领域上的应用。1 9 6 8 年，美国著名的统计学家博克斯( b o x ) 和英国的詹金耘( j e n k i n s ) 在理论上提出了一整套的随机时间序列的模型识别、参数估计和 诊断检验的建模方法，并予1 9 7 0 年出版了专著时闻序列分析一预测与控制，使时阉序 列分析广泛的应用成为可能，自此时间序列模型得到了飞速的发展强1 。1 9 7 6 年，针对具有 明髭趋势项的非平稳序列，b o x 和j e n k i n s 提出鲁回归求和滑动平均模型一 a r i m a ( a u t o r e g r e s s i v ei n t e g r a t e dm o v i n ga v e r a g e ) 。但是由予a r i m a 只考虑时闻序列本 身的特性，没有考虑到事物本身受许多不可测的复杂因素影响，所以在实际中未得到广泛 应用。 现代控制理论创始人之一r e k a l m a n 予1 9 6 0 年在论文c an e wa p p r o a c ht ol i n e a r f i l t e r i n ga n dp r e d i c t i o np r o b l e m 中提出了状态空闻方法。状态空阌方法是一种对域 方法。其中引入了状态变量概念，用状态方程描写动态系统，用量测方程描写量测信惠， 由状态方程和量溺方程构成状态空闻模型h 1 。 1 9 8 7 年日本的m a s a n a oa o k 出版了有关状态空间建模的专著( s t a t es p a c em o d e l i n g 甜 t i m es e r i e s ，开始了时间序列状态空间分析的新纪元h 1 ，但是有关篇幅很少，缺乏系统 的理论性。对于以状态空间模墅为框架的时阅序列预测方法，具有代表性的还有k i t a g a w a s h u m w a y 以及y o n g p c 等人对此方法的研究。k i t a g a w a ( 1 9 8 4 ) 对时间序列的建模过程采用 了向状态空闭模型的转化技巧，但是无法实现对对交过程建模璐3 。对于状态空间模型的参 数估计，s h u m w a y ( 1 9 8 8 ) 提出针对状态空间模型的参数估计方法一泓算法 ( e x p e c t a t i o r r - - m a x i m i z a t i o nl g o r i t h m ) 。y o u n g ( 1 9 9 0 ) 对模型的每一步都实现了完全 递推形式，但是没有给出模型参数的新的估计方法h 。状态空间模型的研究和应用还有待 进一步发展。 l 状态空间模型在经济指标牛酶应用硕士学位论文 在国内，1 9 9 4 年，顾岚在自己的著作时间序列分析在经济预测中的应用中提到时 滴序列的状态空阀的研究方法哺1 。1 9 9 8 年，高紫光、路磊在“非平稳时间序列的状态空间 建模与预测”的文章中给出结合k a l m a n 滤波的状态空间方法的一些理论介绍嘲。2 o 年。 任光和张均动教授正式将现代控制理论的状态空闻技术和时间序列分析耜结合的时间序列 状态空间技术引入我国h 嬲。他们从离散系统出发，从空阔映射的角度系统地论述了整令建 模过程，形成了比较完整和系统的时间序列的状态空间建模理论，并将该瑾论应用到实际 中。2 0 0 1 年，营敬毅在“关于状态空闻方法中超参数估计的札记”中对状态空间方法中超 参数估计基本思想进行了论述，并对一般文献中未详细证明的部分给出了证明3 。2 0 0 2 年， 于福江、张占海、林一骅在文章“一个稳态k a l m a n 滤波风暴潮数值预报模式”中用迭代法 得到状态向量的稳态k a l m a n 滤波，进而得到最优线性校正结果。利用这种资料同化技术， 对1 9 5 6 年发生在东海的一次强风暴潮过程进行了后报试验，结果表明，该简化方法对短期 风暴潮水位后( 预) 报有一定的改进n 引。2 0 0 6 年2 月，仇伟杰在文章“基予状态空间模型与 k a l m a n 滤波的中国电力需求分析”中利用状态空间模型和k a l m a n 滤波技术预测了未来5 年中 冒电力需求增长状况，取得缀好的结果，对中国的电力工业未来的发展具有重要的指导意 义邯。2 0 0 6 年8 月，孙宏义、陈平、朱梅、陈建丽在“股票指数的孵闻序列模型分折”中将 把与滤波结合的状态空间模型的分析结果和常见的时间序列模型如：a r i m a 模型、逐步自圃 归模型以及指数平滑模型豹分析结果进行比较，比较的结果说明结合滤波的状态空间模型 分析的结果比后三种的结果更加精确n 鞑。 时溺序列分析豹主要呋容有：频域分柝、时域分析、模型分析、回归分析。一个时间序 列可以看成各种周期扰动的叠加，颡域分析就是确定各周期的振动能量的分配，这种分配 称为谱或功率谱，因瓶频域分析又称为谱分析：时域分析目的在于确定时间序列在不同时刻 取值的相互依赖关系或序列的相关结构：模型分析主要指a r i 漱模型：如果时闻序列可表示 为确定性分量与随机性分量之和，根据样本值来估计确定性分量及分析随机性分量的统计 靓律，员l j 属子回归分析阀的闯题。 1 2 经济指标介绍 王2 1 居民消费价格指数 c p _ i ( c o n s u m e rp r i c ei n d e x ) 指瑶民消费价格指数，是反映与居民生活有关的产品及 劳务价格统计出来的物价变动指标。我国的c p i 包括食品、烟洒及用品、家庭设备用品及维 修服务、衣着、医疗保健及个入用品、交通及通讯、娱乐教育文化用晶及服务、居住等八 类。如果c p i 升幅过大，表明通胀已经成为经济不稳定因素，政府会有紧缩货币政策和财政 2 状态窑间模型在经济指标中鹩应用 硕士学位论文 政策的风险，从而造成经济前景的不明朗。一般说来当c p i 大子3 9 6 的增幅时我们就视为逶货 膨胀：而当c p i 大予5 的增幅时，就是严重的通货膨胀。从目前情况来说，物价上涨已经形 成了诱发通货膨胀的压力。对此，政府金融宏观调控已经采取了系列措施，如提高银行存款 准备金率，提高存贷款秘率，潮时将汇率的波动幅度由原来豹3 提高到5 。这些措施有利 于抑制上涨过快的物价指数。 过去对居民消费价格指数的预测主要使用的有直接线性回归法与累加生成回归法，但 随着市场经济在我国的逐激发矮，物价指数与时间之阊已无线性关系可言，之蜃新的预测 模型的新起，如灰色理论模型、数据处理群组方法( g r o u pm e t h o do fd a t ah a n d l i n g ，涮疆) 、 定比回归法均可见应用于物价指数预测，但最常用的则是时间序列的自回归求和滑动平均 模型a r i m a 。本文采用新的模型状态空间模型拟合，分析，预测。 1 2 2 社会消费晶零售总额 社会消费品零售总额是现行贸易统计专业的主要指标，是指国民经济各行鼗通过各种 渠道向城乡居民如售生活消费商品、向社会集团出售公共消费用商品的总价值额。 要准确理解享会消费品零售总额的含义，器要把握以下个要点： 第一，社会消费品零售总额是麸全社会焦度定义的贸易指标，不仅包括转卖者( 批发 零售贸易业) 实现的零售，还包括生产者( 酃工业生产企业、农遭生产者等) 实现的零售。 第二，社会消费品零售总额不是所有的商品销售，而是售给城乡居民和社会团体供其 直接生活消费和公共消费的商品，因此不包括对生产经营者出售的用予生产和经营使用的 商晶、对贸易餐饮业等供其转卖用的商晶。 需要指出的是，消费品零售总额不等予居民消费、公共消费之和，尽管= 者问存在一 定关系。前者主要是一个商品销售概念，以零售方式实现的销售主要满足居民个人消费和 社会团体赡买的需要，但并不等于屡民消费和公共消费的全部，因后者还包括自给性消费 和服务消费。 3 状态空闰模型在经济指标率盼应用硕士学位论文 第二章状态空间模型及k a l m a n 滤波 2 1a r m a 模型 a r m a 模婆 指自回归滑动平均过程，一个自回归移动平均过程包括一个自回归项和一 个移动平均项； z = e + l z l + 2 心+ + p z 一尹+ 岛+ 岛s f l + + e q c , - 鼙 ( 2 1 1 ) 或者，以滞后算予来表示， o 一珐曰一矿2 8 2 一一c v b p 江= c + ( 1 + 岛艿+ 岛艿24 - - o q b g h 、， 渤 埘 嗡 童 3 美 泣 q 亿 状态空间模型在经济指标串的应用 磺学位论文 如果观测方程噪声和状态方程的嗓声是不相关的，即e ( v , w a = o 时，状态方程和替代方程 之闻没有实质性的区别；两在两静噪声据关的情形下，结合替代方程的状态空间模型和 ( 2 3 1 ) 。( 2 3 2 ) 表示的状态空闻模型是有区别的1 1 蜘。 系统( 2 - 3 1 ) ( 2 3 7 ) 也可以推广到v 和嵋相关的系统，g a n d e r s o n , b r i a nd o 和j o h n b m o o r e0 9 7 9 ) 。 状态空间模型包括了一类非常广泛的模型，若缓定预测空阕是有限维的，那么任何赛 斯多元平稳时间序列都可以写成状态空间模型形式，特别的任何a r b t a 过程有一个状态空 间表示，且可逆，任何状态空间过程可以表示成一个a 褂舱形式( a k a i k e ，1 9 7 4 ) 。下面我们 给出a r m a 过程的状态空间表示。 首先考察一个蝴) 过程： 囊l 一声= 磊( 誓一声) + 珐( 影_ l 一) + 妒p ( 誓p l 一) + 岛+ l ( 2 3 1 3 ) e c q q ，幂 ：三： 可以写成如下的状态空间形式： 破红 1o oo 九一，力 oo 1o + 一 0 3 1 4 ) 聊邙“。嗣 ， 参= 】：一 鼍l 一 鼍p + l 一 f = 破如 lo 0o c p - 1 0 ： l纠 叫r 洲 z k ， 一y 圹 囊r ，即 _。，。l 状态空间模型在经济指标中盼应用 硕士学位论文 l 钆1 l 0 m + 1 = l： l | 0 f 盯2 o q ：l ? l l00 羁 = g 墨= lh = 【l ，o ，0 】心= or = 0 更为一般的剡龇 过狂也可以写成状态空闻形式。定义，= m a x p ，q + l z 一= 热( 一) + 如( 鼍2 - 0 + + 砟( 影，一) ( 2 3 1 6 ) ， p 对，移= o ，歹 g 时，够= o 状态方程( ，= m a x 弘譬+ l ) 研+ l 一 苁魂 lo o 薹 oo 九，谚 oo 00 lo + 岛+ 嘿量q + 岛q 一2 + b l 曩一州 毒+ 蜀+ 1 o o ： o 观察方程 r = + f l ，鼋，岛，谚一，】参 下面证骧( 2 3 1 7 ) 和 得： 参= 毒p l + 磊一l h ( h t , 一。珂+ 霆) q ( 善一么置一日毒卜，) 与之相应的m s b 记作乓，可由( 2 4 1 2 ) 求褥： g 蠢。t o ) ( 2 霹1 1 ) ( 2 4 1 2 ) ( 2 4 1 3 ) ( 2 4 1 4 ) ( 2 4 1 5 ) 状态空间模型在经济指标中的应用 硕士学佼论文 乓= 球当氲) 一磊) ，】 。昧毒磊。) ( 蠡一磊一；) 1 一 瞰轰一星 ) ( 鬈一毫q ) ，】 硪( 一瑶q 鬈一毫；) 】 卅 霹( 誓一乓，) 赣毒) 】 = 磊一l 一l n c n e , 一l 嚣+ 爻) q 日一l ( 2 + 4 。1 0 有了关于毒的现值的推断，我们就可以生成关于磊+ l 的预测，由状态方稷( 2 4 1 求缛皇+ l 的预测： 善+ 搿= 雪( 磊| 甲，) = 惑蛲| 甲，) + 窟( 毽i e ，) = 聘。( 2 4 1 7 ) 将( 2 。4 1 5 ) 代入( 2 。4 。1 7 ) 得。 毒+ 玲= f 善- l + 冠一l h ( h 霉g l 嚣+ 欠) 一1 ( 鬈一z 一h 毒 。) ( 2 4 1 8 ) 记 、 墨= ，臻q h ( h 霉v - 日+ 震) q ( 2 4 1 9 ) 则( 2 。4 1 8 ) 记作 毒+ l | f = ，岛，1 + 墨( z 一彳x 一日鼠1 ) ( 2 4 2 0 ) 墨一般称为增益矩阵。 由( 2 4 1 7 ) 及状态方程( 2 4 1 ) 可以求得此预测的m s e 为； 只+ i i f = e 【( 茧+ l 一磊+ l i ，) ( 磊+ i 一受+ m ) ，】 = e ( 聪+ u + 。一比p ) ( + u + ，一f ) 】 拦f 是【( 姜一磊) ( 螽一鼠) ，】f + e l y , 卅k q 】 = 鹚p f + q ( 2 4 2 1 ) 总结上述的推理可知，磁岫躐滤予以专豹无条件均值昶方差翕= e 缓) ， 露i o ：e 轰一e ( 磊) 】鹜一互鳐) 】 开始，典型的取初始值满足躲下条件：毒豁= o ， 1 2 状态空间模型在经济指标中的应用硕士学位论文 v e c ( 舅l o ) = 【l 一( ，of ) 】v e c ( q ) ，然后对 毒坤= 碟+ 赐1 日( 胃蜀纠胃+ 天) 一1 ( z 一彳。墨一毛一1 ) ( 2 4 2 2 ) 和( 2 4 2 1 ) 求f = l ，2 ，t 时的迭代然后我们可以得到+ 1 的预测为： 薯+ 毕= e ( 囊l | 置+ l ，、壬，) = 彳墨+ l + 嚣轰瑚 褶应的m s e 为： 昱【( 一坛班) ( 取l 一) ，】曼日p h + r ( 2 4 2 3 ) ( 2 ，4 2 4 ) 我们注意到( 2 4 2 1 ) 申不含有毒啦，所以即使不计算( 2 。4 2 2 ) ，也可以计算递归( 2 。4 。2 1 ) ( 2 。3 2 1 ) 中的蜀- l 的值和( 2 3 1 9 ) 中靛墨嚣擅并不是数摄的丞数，蔼完全由过程的总体 参数决定。有了一步向前预测，我们进一步可以给出蘸s 期的预测。( 2 4 2 1 ) 孛的誓的预 测就是z 以墨和甲“犁( r l ，鬈一：，耳，z l ，五一2 ，墨) 为基础的精确有限样本预 测，如果五是确定性的，也容易由滤子计算前期s 的预测。 点+ 。= f 5 点+ f 。1 u + 1 十f 5 2 u + 2 + + f 1 _ 一l + m s = 1 ，2 ( 2 4 2 5 ) 点幻关于点和、王，的投影为 e ( 缸。| 参，￥，) = f 5 晏 从两 毒牛雄= 占( 毒+ 。i 掣，) = f 5 氦 由( 2 4 2 5 ) ，状态向量的前期s 的预测误差为 ( 2 。4 2 6 ) ( 2 4 2 7 ) 毒+ ，一鲁+ 婶= ，5 ( 毒一靠) + f 3 1 h + l + f 。2 v t + 2 + + f h + ，一l + v f + 。 ( 2 4 2 8 ) 其m s e 为 鬈+ 对r = f 5 忍p ( f ) 5 + ，州q ( f ) + + f q f + q 为了预测观察到的向量+ 。，我们由观察方程知 1 3 ( 2 4 2 9 ) 状态空间模型在经济指标中的应用硕士学位论文 z 村= a 。墨+ ；+ 日点+ 。+ 。眦+ ， 如果是确定性的，那么y 的向前s 期的预测为 囊j i r = 占( 鬈+ 。l 一) 篁彳甄。+ 日售+ 瓣 预测误差为 囊，一致雄= 而( 毒一点+ 巾) + 弼+ ， 其m s e 梵 e ( 取。一鬈+ 砖) ( 1 ，+ ；一取印) ，】= 日霉+ 如h + r ( 2 4 3 0 ) ( 2 。4 3 1 ) ( 2 。4 3 2 ) ( 2 4 3 3 ) 2 5 稳定状态的k a l m a n 滤子 本节主要讨论 霉砷 二，和 k t 。，的极限性质。 定理l ；令f 必一个p ，) 矩阵，其特征根全部在单位圆之内，h 表示任意一个即，) 矩 阵，q ，足分剃是( r x r ) ，妨阶半正定矩阵，而 霉“ 二，是由k a l m a n 滤子计算得到的 m s e 矩阵序列 霉砷= 研。i 一蜀，冒( 1 嚣+ 震 1 目i f + q ( 2 5 。1 ) 其中令异。为驴，) 半正定阵，且满足 阮c ( 矗o ) = 【- ( f e e ) 以v e c ( q ) ( 2 5 2 ) 则 只+ 斟f 二l 是一个单调菲增序列，且r 一时收敛子一个固定的矩阵p ，满足 p 茹f p - p h ( h p h + r ) 。日】，+ q( 2 5 3 ) 另外 墨 二的稳定状态定义为 p 攀f p h ( h p h + r ) 一1( 2 5 其中( f k h ) 的特征根全落在单位圆上或之内。 1 4 状态定闻模登在经济指标中的应用 矮士学位论文 证明：因为气1 l r 可以解释作缶+ l 关- t q ，舔( f ，i 1 ，耳，置，x f ，o ，五) 的线性授影 鹃m 娆 露+ l l f = 旌e e g + l | 甲，) 】 ( 2 5 5 ) 假定只使用麓察值2 ，3 ，r 丽不用对期l 的观察值预测磊“，这样，定义 甲，兰( f ，y 。f ，) l ，近，置，置，墨) ，且令 p | 钟= m s e e g + l lv ，) 】 ( 2 5 6 ) 则显然( 2 5 6 ) 不会比( 2 5 5 ) d 、，因为线性投影窟( 蠡+ 1l 甲，) 最优地使用了w t 及附加信息 ( x ，五) 。特别地，如果a 是任意驴1 ) 向薰，互一l = 售+ 1 关于甲，的线性投影有m s e 为 研磊+ ，一雪( 互+ “￥，) 】2 = 研蠹姜+ l 一磊雪( 毒订l 甲， 】2 = 是互 隆q 一童( 点+ ；l 甲，) 】嗡+ ；一童( 鼠；l 、壬，) 】， h = 五z 诎h 类似地，z f + l 关于甲，的线性投影有m s e 为而f 诎h ，盛有 螽霉+ m h 磊f + l p h 霉5 7 ) 但是对于一个形如( 2 5 1 ) 和( 2 5 。2 ) 的系统，若f 的特征值落在单位圆之内，且系数随 时闻变化露变化，则为如下情况： m s e e ( 舌t + 。| r ，t l ，一，写，置，互州，五) 】 = 掀踞 量( 戋| t 。，茸印，夏，置巾暑珈，墨) 】 即 p 娜= 磊1 因藤( 2 5 。7 ) 意味着对于任意( ，1 ) 向量h ，有 1 5 状态空问模型在经济指标中的应用 硕士学位论文 办z + 班h 办疡一l h 因而数列 办z 小办) 二。是单调非递增的且具有零下界，因此它收敛于某个固定的非负值。因 为对任意( ，1 ) 向量乃这一点为真且因为矩阵+ l | r 是对称的，所以数列 名+ 堆 二l 收敛于某 个固定的半正定矩阵尸。 为了证明关于矩阵( f - k h ) 的特征值的理论，注意如果尸是( 2 5 3 ) 的一个不动点， 则它也是等价差分方程( 2 4 2 9 ) 的一个不动点： p = ( ，一k h ) p ( f k h ) + k r k + q ( 2 5 8 ) 令x 表示( y - k h 7 ) 的一个特征向量且令旯为其特征值： ( ，一脚) x = a x( 2 5 9 ) 尽管f ，k 表示日都是实的，但特征值旯和特征向量x 可以是复的。如果x 。表示x 的共 轭转置，则 x 一( f k h ) p ( f - k i i ) x = 【( f - k h ) x r p ( f k i i ) x 】 = ( 五x ) p x x 】 = w x p x 因此，如果( 2 5 8 ) 左乘以x 。再右乘x ，其结果为 x p x = wx p x + x 。( k r k + q ) x 或 ( 1 一l 旯1 2 ) x p x = x 。( m u c + q ) y ( 2 5 1 0 ) 现在( k r k + q ) 是半正定的，因而( 2 5 1 0 ) 的右边是非负的。与此相似，尸是半正定的， n d a x p x 是非负的。则式( 2 5 1 0 ) 要求例1 ，意味着( f - k - ) 的特征值必须落在单 位圆之上或者之内。 但是我们注意到尽管 只砷 二收敛于矩阵p ，但是( 2 5 3 ) 的解未必是唯一的，不同 1 6 狭态空闻楱整在经济指标孛豹应用 硕士学位论文 叠冬冀沁开始就可以得到收敛予满足( 2 5 3 ) 的不同矩阵p 的序列，如果q 和r 是正定的， 则( 2 5 1 ) 的迭代收敛予( 2 5 3 ) 的唯一解。 定理2 ；设f 为一个( r ，) 矩阵，其特征值全落在单位圆之内，h 为任意( n x 0 矩阵，q ，r 分别是妒r ) ，0 嚣) 矩阵，q 或疋是严格芷定熬，则由( 2 5 1 ) 决定的k a l m a n 滤子的 m s e 矩阵序列 只+ 垮 二d 收敛于唯一的满足( 2 5 3 ) 的半正定稳定状态矩阵，且与半正定对 称开始值墨j o 的选择无关，鼠( 2 5 4 ) 中的k 的稳定状态值有如下性质：( f - 9 2 j 7 ) 的所 有特征值都落在单位圆之内。( 证明略) 2 6 平滑 l 锄m a l l 滤子在前面是作为计算状态向量毒关于先前观察值的线性函数的预测的一种 算法提出来的 参，茹昱( 善| 甲硝) ( 2 。6 1 ) 其中、壬，f _ l 拦( z _ 1 ，鼍2 ，墨，墨1 ，五一2 ，五) ，矩阵易一，表示这一预测的m s e 岛。= e l ( c , 一磊 一1 ) ( 磊一点州) ，】 ( 2 6 2 ) 如果以所有收集到的数据包括观察值鬈，墨，砟为根据形成轰的推断，这样的推 断称为毒的平滑推断，记作 姜留= e 媛i 甲f )( 2 6 3 ) 该平滑的m s e 记作 露矿= e l ( c , 一氏r ) ( 磊一磊旷) 】 ( 2 6 4 ) 鬈r 表示螽基于直到时凝r 的y 窝盖的观察值的估计的m s e 。 考察毒基于宣到时期f 的观察值的估计鼠，假定又知毒+ 1 的真实值，由校正线性投影公式 1 7 鉴查窒塑堡型奎丝鲨塑堡皇箜窒星 堡圭兰垒笙奎 - _ - _ _ _ _ - _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ - _ _ _ - _ 。_ _ _ _ _ - l l - - _ _ _ i _ _ _ _ l _ _ _ - i - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - - _ - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ 。一 参的新估计为 童( 磊i 磊“，甲r ) = 善p + e 【( 缶一鲁p ) ( 磊“一鲁+ l l f ) 】) e ( 缶+ ，一毒+ 1 i f ) ( 磊+ 。一点+ l i f ) 】 毒“一舌+ l | f (26a a 5 ) ，、一j ，、 由( 2 4 i ) 和( 2 4 1 9 ) 式( 2 6 5 ) 的右边积的第一项可化为 e 【( 缶一色) ( 缶+ 一毒+ p ) 】= e 【( 茧一毒p ) ( f 六+ v f + 。一f 缶a p ) 】 由于v + l 与毒和氦不相关，因而有 e ( 当一鲁i r ) ( 毒“一善t + l l t ) 7 】= e 【( 缶一鲁p ) ( 毒一毒p ) f 】= 蜀，f ( 2 6 6 ) 将( 2 6 6 ) 及础的定义代入( 2 6 5 ) 得 雪( 磊| 缶+ 。，甲，) = 鲁p + 局，f t p - i t + l l t ( 缶+ 。一c t + l l t ) 令 以= - p , f p ，+ 1 l ， ( 2 6 7 ) 则上式为 e ( 点i 六+ l ，甲，) = 最p + 以( 毒+ l 一缶+ l i f ) ( 2 6 8 ) 因为 w o ，z + = 么z + j + 日( ，- 1 毒“+ ，一2 m + l + + v + ) + w f + 从上式可见w 0 时r + ，或五+ ，的信息完全由缶+ l 决定，因而专+ l 已知时，z + - ，或z + 歹的 信息不再提供更多的信息，其误差 当一窟( 毒i 缶+ 。，甲，) ( 2 6 9 ) 与茧+ l 无关，因而当 0 时，误差( 2 6 9 ) 与z + 或置+ 不相关。 因而 e ( 专i 磊+ ，甲r ) = e ( 当l 毒+ l ，甲，) ( 2 6 l o ) 即 1 8 状态空间模型在经济指标中的应用 硕士学位论文 e ( 毒l 毒+ l ，甲丁) = 缶p + 以( 色+ l 一舌+ 堆) 从而我们可得 e ( 毒l 甲r ) = 氢+ 【e ( 磊+ 。| 甲r ) 一磊钟】 或 磊i r = 氢+ 以( 缶+ l i r 一直+ l ) 因而，平滑估计序列 言矿曩l 可作如下计算，首先计算k a l m a n 滤子鲁i f ， 其中导矿就是平滑 量矿) 二。的最后一项，运用( 2 6 7 ) 生成 以 ：，则 磊哪= 品_ l i n + 厶一l ( 磊i r 一岛n ) 备一2 i n = 磊一2 l r 一2 + 山一2 ( 靠一耵一昴一1 1 7 2 ) 如此下去，可求出 旷，t 。 下面考察相应的均方误差 毒一毒l r = 毒一毒p 一以当+ l i t + 以当+ l p缶一缶l r2 缶一白p 一，r 缶+ f 白+ l ” ( 2 6 1 1 ) ( 2 6 1 2 ) 毒+ l l r ，耳，曩l i f ， 毒一岛r + 以毒+ l f 7 = 当一氲+ 以毒+ l i t e ( 点一毒矿) ( 量一知) 】+ 以e 【( 毒+ 耵敛，l 丁) 】z = e ( 缶一参p ) ( 毒一色k ) 】+ 以e ( 喜+ l 口最m ) 】 ( 2 6 1 3 ) 左边的交叉项因毒+ l i r 是甲，的线性函数，因而与投影误差当一缶1 7 不相关，类似地右边毒+ l j f 与六一氛不相关，由( 2 。6 1 3 ) 得 e i r = i + 以 一e ( 毒+ l i r 靠妒) 】+ e ( + 印象p ) 】 z ( 2 6 1 4 ) 化简得 c l r = 弓p + 以( 只+ 1 l r 一只+ 1 l f ) ( 2 6 1 5 )