（运筹学与控制论专业论文）国内权证市场的定价模型及实证分析.pdf

i 摘要 自从 2005 年 8 月 22 日股改后第一支权证正式上市后，权证交易构成了国内金 融衍生市场的重要部分。目前较前沿的研究都来自国外，而这些理论研究不一定能 适合国内市场。本文在前人工作的基础上，对各种权证定价模型及其在国内市场的 应用进行了研究。 首先，本文引入了三种模型：black-scholes 模型，双指数跳-扩散模型以及 hull-white 模型，并在国内存贷款利率不同且尚未允许卖空的条件下，通过风险中性 测度和无套利组合策略求出了权证理论价格的无套利区间。 其次，在对国内七只权证采用上述模型及不同的参数估计方法进行实证分析后， 我们得到了以下结论：无套利区间相比理论价格更贴近权证的实际价格；在不 允许卖空的市场上，权证价格跃出无套利区间的次数相对于允许卖空的市场较少， 这说明国内市场上的权证价格被低估的可能性较大；基于隐含波动率的模型对权 证市场价格的解释能力强于基于历史波动率的模型。 最后我们一方面对市场提出了一些政策建议，另一方面从风险控制的角度，通 过引入 copula 函数，对投资者提出了最优投资组合建议。 关键词：关键词： 权证，black-scholes，双指数跳-扩散，hull-white，无套利区间，copula ii abstract the warrant transactions have been an important part in domestic financial derivative market since the public listing of the first warrant after the share reform. several studies on the frontier are from overseas, although these theories may not fit in domestic market. in this paper we studied the various warrant pricing models and their application to the local market based on the previous work of others. firstly, we introduced three models: black-scholes model, double exponential jump-diffusion model, and hull-white model. and we derived the no-arbitrage interval of the theoretical price on the condition of different interest rates of deposit and loan and no short selling allowed. second, after the empirical study of 7 warrants in local market using different models and different evaluating methods, we got the following conclusions: the no-arbitrage interval better reflects the market price than the theoretical price; the times of market price jumping out of the no-arbitrage interval in a market where short-selling is not allowed are less than a short-selling-free market, which implies that the probability of warrant price being underestimated is large in the domestic market; the explanation ability of the models based on the implied volatility is stronger than those based on the history volatility. at last, we proposed some policy advice to the warrant market. on the other hand, we provided warrant investors with the optimal portfolios for risk controlling by introducing the copula functions. keywords: warrants, black-scholes, double exponential jump-diffusion, hull-white, no-arbitrage interval, copula 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师的指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。近我所知，除文中已标明引用的内容外，本论文不包含任何其他 人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和 借阅。 本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密，在_年解密后适用本授权数。 本论文属于 不保密。 （请在以上方框内打） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 1 1 绪论 1.1 研究背景 权证是所有衍生产品里面风险比较小、市场需求又十分大的品种。在我国证券 市场发展股指期货、股票期权等金融产品条件还不成熟的条件下，率先推出权证产 品是安全、有效和可行的选择。推出权证产品有利于我国证券市场尽快实现与国际 市场的接轨，能够为投资者提供新的投资工具，活跃市场交易。同时，有利于券商 提升竞争力和参与国际竞争。 权证的推出，有利于完善证券市场结构和功能；为投资者提供了有效的风险管 理工具和资产组合调整手段，极大地丰富市场投资品种；为上市公司提供了新的融 资方式，同时又可减轻上市公司的圈钱目的；可以缓解证券公司的经营困境；有 利于促进资本市场的金融创新。 权证是我国金融衍生市场上的一大工具， 我国权证市场从第一支权证上市起就 十分活跃，研究好权证价格的内在规律，对于金融衍生工具的定价研究以及投资者 的投资策略都有十分重要的意义，因此我们在本文中主要讨论了这一问题。 1.2 文献综述 国外专门对权证定价的研究文献并不多，sinkey 和 miles(1982)1第一次使用 b-s 模型对权证定价做了研究。此外，schwartz(1977)2使用数值方法对权证定价进 行了实证研究。noreen和 wolfson(1981)3，ferri、kremer 和 oberhelman(1986)4， 以及lauterbach和schultz(1990)5比较了bs模型和其它固定方差模型的定价效果。 kremer 和 roenfildt(1993)6首次将跳-扩散模型应用到权证定价当中。 2 但是， 由于权证与期权的定价原理十分相似， 事实上权证就是一种特殊的期权， 而对于期权定价方面的研究则从很早就开始了。在理论模型方面，fisher black 和 myron scholes(1973)7提出了划时代的 black-scholes 定价模型，该模型在金融衍生 市场应用最广泛，影响也最为深远。但是由于 b-s 模型在实际应用过程中出现了一 些问题，后来的学者对其进行了修正并提出了大量新的模型。 由于 b-s 模型是基于布朗运动和正态分布假设的， 在实证过程中会出现两个值 得注意的问题： （1）非对称的尖峰特性，也就是说，与正态分布相比，实际的收益 分布偏向左边，而且有更高的尖峰和更厚的尾部； （2）波动率微笑的问题。在解释 资产定价的非对称尖峰特性方面，后人提出了以下模型： （1）混沌理论，分形布朗 运动和稳定过程，参考 samorodnitsky 和 taqqu(1994)8， rogers(1997)9； （2）广 义双曲线模型，包括 logt 模型和对数双曲线模型，参考 barndorff-nielsen 和 shephard(2001)10；（3） 时变布朗运动， 参考 madan et al.(1998)11和 heyde(2000)12。 以上模型的主要问题是可能很难得到期权价格的解析解。确切的说，这些模型也许 可以得到标准欧式看涨看跌期权的解析解， 但几乎不能得到利率衍生品和路径依赖 的期权，如永久美式期权、障碍和回望期权的价格。 在解释波动率微笑方面，提出了以下比较流行的模型： （1）随机波动率和 arch 模型，参考 hull 和 white(1987)13，fouque et al.(2000)14； （2）固定弹性模 型（cev） ，参考 cox 和 ross(1976)15，和 davydov 和 linetsky(2001)16； （3）由 merton(1976)17提出的一般跳模型； （4）精细随机波动率和精细跳-扩散模型，参考 heston(1993)18，和 duffie et al.(2000)19； （5）基于 levy过程的模型，参考 geman et al.(2001)20及其参考文献； （6）隐含二项树的数值方法，参考 derman 和 kani(1994)21和 dupire(1994)22。以上模型的主要问题一方面是可能不容易找到解 析解，另外一方面是其中的一些模型无法表现出非对称尖峰的特性。为了解决以上 问题，s.g.kou（2002）23提出了一种双指数的跳-扩散模型，可以同时比较好的解 释上述两个现象。双指数跳-扩散模型与一般的跳-扩散模型相比，主要好处在于对 路径依赖的期权的解析易解性。 3 其中特别要提出的是，b-s 模型假设标的资产的波动率是一个常量，而在现实 世界中，出现了波动率微笑的现象。一些研究学者认为这是由于该波动率其实是 服从某个分布的随机变量。为了使定价模型更能反映现实世界，后人又提出了许多 的随机波动率模型。最早最经典的是 hull 和 white（1987） 13提出的随机波动率模 型。许多标的资产，如货币、商品、能源、气温甚至一些股票都具有均值回复和随 机波动的特性。hoi ying wong和 yu wai lo（2009） 24研究了当标的资产服从具有 随机波动率的均值回复的对数正态过程时的期权定价模型。在货币期权定价中， ekvall et al.(1997)25得出了欧式期权的封闭式解。他所使用的方法同样用在了 hui 和 lo(2006)26，wong和 lau(2008)27的路径依赖式货币期权的定价中。 作为一种平行的发展，模糊设定理论也被用于期权定价中。simonelli(2001)28 提供一种使用特定的等价物来评价金融工具的方法论，但这种方法并不是基于 b-s 公式的。 andres 和 tercenno(2004)29使用模糊回归技术估计出一种模糊的利率期 限结构。yoshida(2003)30和 yoshida et al.(2006)31通过向随机金融模型引入模糊逻 辑，讨论了欧式和美式期权的估值，这些期权的输出变量同时具有随机性和模糊性 的不确定性。lee et al.（2005）32在期权分析中采用了模糊决定理论和贝叶斯法则 来测量模糊性。papadopoulos（2007）33在 b-s 公式中建立了一个模糊估计量来衡 量波动性。 国内对于权证定价的研究有以下特点： （1）实证分析较多而理论模型较少。由 于我国期权定价模型的研究还落后于国际水平，而国内金融衍生市场又不够成熟， 很难建立较为成熟的模型， 因此大多文献采用计量统计等工具对国内权证市场进行 实证研究； （2） 政策分析较多而模型解释较少。 由于国内权证市场交易有诸多限制， 而且受政策影响较大，因此大部分不合理处都不能通过模型解释，而只能从政策上 提出较为合理的解释。 在理论模型方面，国内对于 b-s 定价模型的研究比较多。周延(1998)34运用期 权定价理论推导出认股权证定价模型，并对 bs 模型进行改进得出认股权证的定价 公式。丁峰(2006)35对国内股改权证的理论价格和实际市场价格进行了比较分析， 4 认为权证市场交易行为是导致市场价格与理论价格相互偏离的主要原因。 在实证方 面，裴蕾（2006） 36在对我国市场上存在的全部认购、认沽权证采用协整技术进行 研究后，发现权证与标的股票之间具有长期稳定的均衡关系，但是所有的权证都不 满足期权平价关系。张晓彬和李浩（2006） 37通过分析过分析影响权证收益的内在 价值、隐含波动率、溢价率与换手率等影响因素，并通过对武钢权证的实证研究分 析，得出了我国权证现阶段的投机性多于投资性的结论。刘玄（2008） 38采用了无 套利区间的方法讨论国内权证市场的定价问题，并将基于不同参数估计方法的 b-s 和 hull-white 模型进行了比较。 本文采取了该文的无套利区间方法来讨论不同的模 型， 但采用的模型和参数估计方法均有不同， 而且还首次引用了 copula 函数来讨论 权证投资组合。蔡立(2006)39比较了经典 b-s 模型、一般跳跃扩散模型和随机波动 率模型的定价与实际价格的差异， 发现采用隐含波动率的 b-s 模型和随机波动率模 型要明显优于其他模型。本文采用的模型和参数估计方法均比该文有所改进， 从而 得到了误差更小的估计结果。 在对国内的研究现状进行考察后，一方面，我们发现大部分文献采用的定价模 型主要集中在经典的 b-s 模型、一般跳-扩散模型和 hull-white 模型，而这些模型 虽然应用广泛，也非常经典，却是较早提出的，在那以后许多学者又提出了很多新 的模型和新的参数估计方法。为了更好的评估国内的权证市场，在本文中采用了一 些更前沿的模型和更合理的参数估计方法，希望能得到比前述文献更合理的结果。 另外一方面，目前的文献往往通过定价模型给出权证的一个理论价格，而事实上由 于市场上是存在存款和贷款两个不同的利率的，这对权证价格的确定也产生了影 响，我们在本文中会考虑到这个问题给出合理的修正。最后，我们引入了 copula 函数对权证投资组合的风险进行测量，并对投资者提出最优投资组合的建议。 1.3 文章结构 本文结构如下：第二章介绍权证定价的三种主要模型，并对存贷款利率不同， 5 且不允许卖空的市场求出无套利区间；第三章介绍实证研究的方法；第四章对定价 模型进行实证研究，得出结论，并通过 copula 函数提出对投资者的投资组合建议； 第五章总结文章的不足和展望未来的工作。 本文的创新之处为如下几点： （1）针对国内市场的实际情况，采用无套利区间而不是理论价格的方法来对市场 价格进行估计，而且讨论了无套利区间的好处：由于采用了一个价格区间，从理论 的角度比只采用无风险存款利率得到一个理论价格更全面的考虑了市场的实际情 况，从而对于投资者更有价值。 （2）与前人采用较为基础的定价模型不同，采用了较新的期权定价模型双指 数跳扩散模型来进行权证定价分析，紧跟学科发展前沿，对权证定价理论的应用研 究起到了很好的推动作用。 （3） 对参数估计方法进行了讨论， 采用了更贴近实际资本市场的 egarch 时间序 列模型来估计波动率。与国内其他权证价格的实证研究相比，采用的模型得到的实 际效果更好。 （4）首次引入了 copula 函数对权证投资组合进行风险测量，与前人工作相比，更 多的从投资者的角度分析结果， 得到的实证结果分析以及投资组合建议对权证市场 投资者有较高的参考价值。 6 2 权证定价模型 2.1 引言 由于权证本质上就是一种期权，期权的定价模型均可应用于权证定价 （尽管还 是需要根据实际情况进行修正） 。 本节主要引入了三种期权定价模型， black-scholes 模型，双指数跳-扩散模型和 hull-white 模型。下面将对各个模型一一介绍。 2.1.1 black scholes 模型 black-scholes 定价模型（模型介绍参考 fisher black 和 myron scholes(1973)7） 是建立在五个基本假设基础上的， 其中一个最重要的假设就是标的股票的价格是随 机移动的，满足一个几何 brown 运动过程。那么股票收益率就可以由如下公式表 示 sdbsdtds 其中，是常量，为即时的期望回报率，dt 表示极短的一个时间，b 服从 标准 brown运动。这个股价模型是由保罗.萨缪尔森在 1965 年首次提出的。 标准 brown运动则可以定义为如下形式 tdb 其中满足) 1 , 0(n。 其他假设如下：无风险利率是常数；标的资产不支付；股息不支付；交易费和 税收不存在套利机会。 由此我们可以得出，对于标的资产是无股利支付的普通股票的一份看涨期权， black-scholes 定价模型可以表示为如下形式： 7 )()( 2 )( 1 dnkedsnc ttr ， tt ttrks d )(2/()/ln( 2 1 ， ttdd 12 ， 其中 c 表示看涨期权的价格，s 是当前的标的股票的价格，k 是这份看涨期权 的执行价格，是股票的价格波动率，tt 是期权离到期日的时间，r则是无 风险利率，(.)n是标准正态分布的累计概率分布函数。 2.1.2 双指数跳-扩散模型 b-s 模型是最经典的模型，应用十分广泛。但是由于它是基于布朗运动和正态 分布假设的，在实证过程中会出现两个值得注意的问题： （1）非对称的尖峰特性， 也就是说，与正态分布相比，实际的收益分布偏向左边，而且有更高的尖峰和更厚 的尾部； （2）波动率微笑的问题。 为了解决以上问题，前人提出了许多新的模型，其中之一就是跳-扩散（jump diffusion）期权定价模型（merton，1976）17。这里我们使用s.g. kou（2007）23 提出的一种双指数跳-扩散模型： )1)-(v()(/ n(t) 1i i dtdwdtsds， （2.1.1） 其中 是期望回报率，是在无重要信息情况下（即没有 poisson 跳）的回报 率的标准差，)(tw是一个标准 brown运动，n(t)是频率为 的 poisson过程， 而 i v 是一系列独立同分布（i.i.d）非负随机变量，而且log(v)y 为非对称双指数分布， 其密度函数为： 0201 21 )( y y y y y ieqiepyf ， （2.1.2） 1 0， 2 0 其中1, 0,qpqp，分别表示向上跳和向下跳的概率。也就是说： 8 q p 以概率 以概率 , , ylog(v) （2.1.3） 其中 和 分别是均值为 21 /1 ,/1的指数随机变量。在模型中，所有的随机 源)(tw，n(t)和 y 都假设为独立的。 由 ito 公式， （2.1.1）可以写成为 t n i it t ywtkr s s 1 2 0 ) 2 1 ()ln( 令 t n i itt ywtz 1 ，则有 ),;,()( 21 tapatzp 其中a为任意常数。 在 s.g. kou（2007） 23的文中，给出了该概率分布函数的表达式以及欧式看涨 期权的价格公式： ),ln(;, 2 1 ( * 2 * 1 *2* t k s pkrsc ),ln(;, 2 1 ( 21 2 t k s pkrke rt （2.1.4） 其中 ) 1(, 1 11 ),1(),1(, ) 1)(1 ( * 2 2 1 1 2 * 21 * 1 1 1 * k qp k k p p 由式（2.1.3）可知，跳-扩散模型与 b-s 模型的不同之处就在于假设资产运动 服从一个带跳的 poisson分布，其余部分均相同，故跳-扩散模型可看作是 b-s 模型 的改进。 9 2.1.3 hull-white 模型 基于对 bs 模型固定波动率所存在缺陷的认识，hull 和 white（1987）13提 出了具有随机波动率的期权定价模型，该模型假设波动率也服从一个几何布朗运 动： ttttt dbdtsds/ ttt dwdtd 22 / 其中，变量和可能依赖于t t, ，但是假设它不依赖于变量 t s。 tt dbdw 和都 是标准 brown运动，它们有相关系数。 如果在风险中性测度下面，期权在 t 时的价格),( 2 tsf tt 是期望终值f 经 无风险利率折现后的现值，即： tttttt ttr tt dsssptsfetsf ),|(),(),( 22)(2 其中,t的定义如前所述； t s表示时间 t 时的证券价格；),|( 2 ttt ssp表示在 给定 t 时刻的证券价格和波动率情况下， t s的条件概率分布；)|( tt sse= )(ttr te s ； ),( 2 tsf tt =, 0maxxs 。 对上式求近似解： , 3 )618248()189( 8 )() 1)(3)( 6 1 ) 1(2 4 ) 1)( 2 1 )(),( 3 323 6 5 2 2 2 121211 4 2 4 3 211 22 k kkkeke dddddddntts k kedddntts csf kk k 其中，)( 2 ttk 10 2.2 无套利区间的理论模型 cvitanic 和 ioannis karatzas（1993）40采用了随机控制的方法来研究当市场上 存在存贷两种不同的利率时的期权价格。该方法涉及到了比较艰深的数学工具，即 随机控制的鞅方法，十分复杂。这种方法主要用来研究不完全市场上，相机权益的 标的投资组合只能从一个给定的闭合凸集中取值时的套期保值问题。 此种方法过于 复杂而且不易理解， 因此我们采用基于完全资本市场假设的无套利组合策略重新进 行了证明。我们参考了刘玄（2008） 38的证明过程，但市场假设及条件设定均有不 同，从而使得结果的应用更有广泛性。 2.2.1 市场假设 假设在完全的资本市场上只存在两种资产： 银行账户 （无风险资产） 和股票 （风 险资产） 。 其中，股票价格满足： , 0,ttdbsdtsds tttttt 银行账户的价值满足： , 0,ttep rt t 其中，, 0),(tttb是定义在完备概率空间),(pf上的标准 brown运动，定 义, 0),(tttft，假设 , 0 )( ttt ff ， tt ,是 t f-可测过程，r 表示无风险收 益率，称这个市场为 0 m。我们假设股票价格服从一个 ito 过程而非几何布朗运动， 从而可以使用随机波动率模型来求解。 2.2.2 建立模型 我们已经知道股票价格是服从 ito 过程的，但是我们并不知道在存在两种不同 11 利率的市场上的投资者的总财富是否也服从 ito 过程，所以我们需要首先证明总财 富服从 ito 过程。 在证明过程中我们需要用到 girsanov定理，下面我们先介绍该定理。 girsanov 定理：设 t w是维纳概率空间,pf上的维纳过程。令 t x为与维纳过 程 w t f相适应的可测过程，定义 tt xz)( （2.2.1） 其中)(x为 x 对应 w 的随机指数，即 ) 2 1 exp()( 0 2 0 dswdx t ss t st （2.2.2） 如果 t z为鞅，那么可以在,f上定义一个概率测度 q，使得 ttf xz dp dq t )(| （2.2.3） 如果 x 是一个连续而且 w 是测度 p 下的一个布朗运动，则过程 t stt dsww 0 （2.2.4） 是测度 q 下的布朗运动。 接下来我们证明投资组合是风险中性的。 引理 1：假设市场上存在两种无风险利率，r 和 r，其中 r 为存款利率，r 为贷款利 率， 且 r r， )(),(twtv分别表示 t 时刻的投资组合和组合中股票的权重， 则在, 0 t 时间段内，)(tv也服从 ito 过程。 证明：投资者的总财富计算如下： )()()()()(1 ()(1)()(tdbtdtttwrdttwrdttwtvtdv （1）当0)(1tw时，有 12 )()()()()()( )()()()()(1)()( tdbtdtrttwtvrdttv tdbtdtttwrdttwtvtdv 令 )( )( )( t rt t ， )( 2 1 )()(exp)( 0 2 0 * tt dsssdbstz， t f dsstbtbtz dp dp t 0 * * )()()(),(| 满足了条件（2.2.1）（2.2.3） ，则)( * tb在 * p下是 brown运动，且 )()()()()()( * tdbttwtvrdttvtdv （2.2.5） 从而可知)(tv服从 ito 过程。 （2）当0)(1tw时，有 )()()()()()( )()()()()(1)()( tdbtdtrttwtvrdttv tdbtdtttwrdttwtvtdv 令 )( )( )( t rt t )( 2 1 )()( exp)( 0 2 0 tt dsstdbstz， t f dsstbtbtz dp pd t 0 )( )()( ),( | 则)( tb在p 下是 brown运动，且 )( )()()()()(tbdttwtvrdttvtdv （2.2.6） 从而可知)(tv也服从 ito 过程。 在证明了)(tv服从 ito 过程后，我们就可以采取构建无套利组合的策略来对权 证的无套利区间做出证明。下面我们先对市场上的套利机会做出定义。 定义 1 （参考刘玄 （2008） 38） 对于欧式认购权证， 如果存在 )0)0(v(0)0(v或， 13 且对于 a=-1（或 a=1） ，当有以下不等式成立时 , 0)0( m apv （2.2.7） 0)()( ktsatv （2.2.8） 我们称市场上存在套利机会。其中， m p表示初始时刻权证的市场价格， 1a时为 买方套利，1a时为卖方套利。 在证明了投资组合是风险中性过程后， 我们就可以用无套利组合的方法来证明 以下的定理。 定理 1（参考 cvitanic 和 ioannis karatzas（1993）40）如果市场上存在两种利率， rrrr且,，则到期时间为 t，行权价格为 k 的欧式认购权证价格的无套利区间 为 ), 0(), 0(rcrc （2.2.9） 其中，), 0(), 0(rcrc和分别表示在无风险收益率为 r 和 r 时的权证理论价格。 证明：当), 0(rcpm时，构造如下的投资组合：在 0 时刻，投资者持有权证，则 t 时刻的损益是： )(kst 此时投资者的投资组合和股票权证 v(t)，w(t)满足（2.2.5） ，且 0)()( kstv t 则利用风险中性定价原理， ), 0()()0( * rckseev t rt * e 表示 * p下的数学期望。 这样在初始时刻： 0), 0()0( mm prcpv 由定义 1 知，此时存在买方套利机会。 若), 0(rcpm时，构造如下的投资组合：在 0 时刻，投资者卖出权证，则 t 14 时刻的损益是：v(t)，w(t)满足（2.2.6） ，且 0)()( kstv t 则利用风险中性定价原理， ), 0()( )0(rckseev t rt e 表示p 下的数学期望。 这样初始时刻： 0), 0( m prc 由套利的定义 1 知，此时存在卖方套利机会。 而), 0(), 0(rcrcpm（时，假设1a，即 0)()( , 0)0( ktstv pv m 则 0)0( ), 0()0( ), 0()()()0( )()(0)()( * m m rt rtrt pv prcv rcktsetxeev ktsetvektstv 这与（2.2.7）式矛盾。 假设1a，即 0)()( , 0)0( ktstv pv m 则 0)0( ), 0()0( ), 0()()()0( )()(0)()( * m m rt rtrt pv prcv rcktsetxeev ktsetvektstv 这与（2.2.7）式矛盾。 在定理 1 中， 我们考虑了存贷利率不同而且允许卖空的市场中的欧式认购权证 15 的无套利区间，这也是在 cvitanic 和 ioannis karatzas（1993）40中讨论的情形。但 是目前中国市场上还没有正式推出融资融券条例， 因此我们继续考虑了不允许卖空 时的无套利区间。 定理 2 若市场上对股票是不允许卖空的，那么欧式认购权证的无套利区间是： ), 0(, 0rc （2.2.10） 其中), 0(rc是利率为 r 时，b-s 模型的欧式权证理论价格。 证明：从定理 1 的证明过程知，当), 0(rcpm时，应当构造买方套利组合，那么 在任意时刻，买方投资组合的价值过程满足： )()( ), 0()0( )()()()()()()( ktstv rcv tdbtdtrttwtvrdttvtdv 这样，根据 b-s 公式，在任意时刻都有： )()()( 2 )( 1 dnkedntsc ttr ， (2.2.11) tt ttrkts d )(2/()/ )(ln( 2 1 ， (2.2.12) ttdd 12 ， (2.2.13) 由式（2.2.11）可知，权证的价值由两部分组成，一部分是股票)(ts，另一部 分是无风险资产 )(ttr ke ,其中股票所占的比例是)( 1 dn，即 , 0, 0)()( 1 ttdntw 也就是说，当), 0(rcpm时，必须通过卖空股票才能进行套利，但是如果市 场上不允许卖空，那么就无法套利，即权证的无套利区间的下限是 0。 以上我们是基于 b-s 公式证明了无套利区间，但由于跳-扩散模型、随机波动 率模型也都是建立在风险中性测度上的， 定理 2 的证明还可以扩展到这两种模型的 应用中。 16 定理 3 当市场不允许卖空时，基于 b-s 模型的欧式认购权证的无套利区间与基于 双指数跳-扩散模型和 hull-white 模型的无套利区间都是 ), 0(, 0rc （2.2.14） 证明：由定理 2 知，当), 0(rcpm时，应当构造买方套利组合，即任意时刻都有： )()( ), 0()0( )()()()()()()( ktstv rcv tdbtdtrttwtvrdttvtdv 则根据双指数跳-扩散的定价公式（2.1.4） ，任意时刻都满足 ),ln(;, 2 1 ( * 2 * 1 *2* t k s pkrsc ),ln(;, 2 1 ( 21 2 t k s pkrke rt 其中 ) 1(, 1 11 ),1(),1(, ) 1)(1 ( * 2 2 1 1 2 * 21 * 1 1 1 * k qp k k p p 从价格公 式可 以看到 权证价 格也 分为两 部分， 其中 股票的 权重为 ),ln(;, 2 1 ( * 2 * 1 *2 t k s pkr，由(.)分布的性质知其为正数，从而 知道其权重为负，因此基于双指数跳-扩散模型的无套利区间也是), 0(, 0rc。 同理可证基于 hull-white 模型的无套利区间同样为), 0(, 0rc。 2.3 本章小结 在本章中我们首先介绍了三种权证定价模型，其中既有比较经典的 b-s 模型和 随机波动率模型，也有较前沿的双指数跳-扩散模型；然后我们讨论了市场上存在 两种不同利率时的无套利区间， 并进一步得出了在不能进行融资融券的情况下的无 17 套利区间，最后证明了该无套利区间适用于以上三种模型。我们发现后者比前者的 范围扩大了，这对市场的主要影响就在于会导致价格波动的空间变大，市场价格可 能会趋于不稳定，因此从这个角度考虑，推出融资融券有利于稳定权证市场。 18 3 实证方法 3.1 数据描述 本篇论文所使用的数据主要有以下来源：ccer 数据库，中国人民银行网站， 新浪财经和雅虎财经。其中权证的原始数据都来源于新浪财经和雅虎财经。数据包 括了七只在上交所上市的权证和标的股票每日的收盘价以及成交量。 我们选择这些 权证主要考虑了两点： （1）均为欧式权证，目前市场上还存在百慕大权证和美式权 证，但是后两者的定价都比较复杂； （2）既有最早发行的宝钢 jtb1，也有最近才 到期的云化 cwb1，因为考虑到市场是不断完善的，在不同时间发行的权证其市场 价格合理性也可以进行比较。这七只权证分别为：宝钢 jtb1，国电 jtb1，伊利 cwb1，中化 cwb1，云化 cwb1，招行 cmp1，南航 jtp1，均为欧式权证，其中， 看涨权证有 5 只，看跌权证有 2 只。表 3.1 给出了样本权证的详细信息。特别要注 意的是，这七只权证全部都是股本权证，也就是在到期日结算时会通过发行新股来 满足权证对标的股票的需要。因此我们采用了摊薄的价格模型来计算权证价格（参 考刘玄（2008）38） ，其公式如下： )()( 1 1 2 )(* 1 * dnekdns a w ttr tt 其中 a 为行权比例，k 是执行价格，是股票的价格波动率，无风险利率为 r， 且akk * ， ttt awss * ， tt ttrks d t )(2/()/ln( 2* 1 ， ttdd 12 。 我们采用中国人民银行一年期定期存款利率和贷款利率作为无风险利率。 关于 19 权证执行的条款信息主要来自于新浪财经网，包括了权证的类型，执行价格，到期 时间，以及每一个权证可购买的股票数量。 表表 3.1 文中权证样本文中权证样本1 类型 发行时间 到期时间 敲定价格 宝钢 jtb1 看涨 2005-8-22 2006-8-30 4.5 国电 jtb1 看涨 2006-9-5 2007-9-4 4.8 伊利 cwb1 看涨 2006-11-15 2007-11-14 8.0 中化 cwb1 看涨 2006-12-18 2007-12-17 6.58 云化 cwb1 看涨 2007-3-8 2009-3-7 17.83 招行 cmp1 看跌 2006-3-2 2007-9-1 5.48 南航 jtp1 看跌 2007-6-21 2008-6-20 7.43 3.2 各模型的参数估计方法 3.2.1 black-scholes 模型的参数估计方法 b-s 模型中的参数包括：c期权的价格，s标的股票的价格，k期 权的执行价格，股票的价格波动率， t-t到期时间以及 r无风险利率。 其中，唯一需要估计的参数是标的资产的波动率。hull（2001）41将波动率定义 为对于某一资产不确定收益实现的度量。 我们采用如下方法来估计波动率：历史波动率模型，指数自回归条件异方差 (egarch)模型和隐含波动率模型。 （1）历史波动率 历史波动率由以下方法计算得出： 注1 ：来自新浪财经。 20 t nti it rr n 22 1 )( 1 1 )/ln( 1 iii ssr t nti i r n r 1 其中 n=20（参考 chairas 和 manster（1978） 42 ） ，2 1 t 是 t+1 天波动率的估计 值， i r是第 i天的股票收益率， i s是第 i天的股票价格，r则表示平均收益率。最 后得到我们所需的波动率： 全年实际交易天数 （2） egarch（1，1）波动率 egarch 模型 即指 数（ exponential） 自回 归条 件异 方差 模型 ，是由 nelson(1991)43提出的。其目的是为了刻划条件方差 2 t 对市场中正、负干扰的反应 的非对称性。此时条件方差 2 t 为延迟扰动项 1t 的反对称函数： tt r * 2| )ln()ln( 2 1 1 2 1 12 1 2 t t t t tt 其中 * 表示到 t 天为止 t r的均值， t 为残差项， 2 t 即波动方差。 模型中条件方差采用了自然对数形式，意味着杠杆效应是指数型的。 如果波动 率和收益的关系为负相关，就是一个负值。因此egarch模型可以很好的刻画金 融市场中的非对称性。此外由于 2 t 被表示成指数形式，因而对模型中的参数没有 任何约束，这是egarch模型的一大优点。计量统计软件eviews中可直接求出 egarch模型的各参数。 （3）隐含波动率（参考 latane 和 renleman(1976)44） 在本文中，我们先通过 t-1 天时的股票价格计算其隐含波动率 * 1t ，然后将该 21 值作为 t 天时的估计，即 * 1 tt ，然后代入 t 天时的股票价格，及其他参数，最 终得到对期权价格的估计。 3.2.2 双指数跳-扩散模型的参数估计方法 双指数跳-扩散模型的参数估计方法相对比较复杂，由于其参数没有解析解， 必须通过模拟的方法来估计。 目前比较流行的方法是马尔科夫链蒙特卡洛 （mcmc） 方法（参考杨云霞（2006）45） ，该方法的主要思想是将马尔科夫过程引入到蒙特 卡洛模拟中， 从而实现动态模拟。 主要步骤为： 首先将双指数跳扩散模型离散化 （采 用 euler 方法） ，然后将市场历史数据作为后验分布的基础，从中抽取隐含变量，进 行蒙特卡洛模拟，通过最大似然法选取最优估计的参数作为模型参数， 用以估计理 论价格区间。具体实施步骤见杨云霞（2006）45 。 3.2.3 hull-white 模型的参数估计方法 hull和 white（1987）13模型的参数估计方