（应用数学专业论文）下降流不变集方法及其在偏微分方程中的应用.pdf

摘要 本论文通过研究下降流不变集的性质，并用收缩性质替换通常使用的( p ) 条 件，得到了一类泛函四个临界点的存在定理应用我们的方法可以避免考虑空间嵌 入的问题 作为下降流不变集方法的应用，我们证明了形如 l 一“+ o ( z ) “= ，( z ，n ) ，在q 中， i u = 0 ，在锄上 的s c h r o d i n g e r 方程的四解定理，其中n r ”有界，a n 光滑，：n r _ r 连续 可微，a ：n - 冗连续 关键词：下降流不变集、上下解、收缩性质、i l 占界点、s c h r o d i n g e r 方程 a b s t r a c t t i p r o p e r t i e so fi n v a r i a n ts e t so fd e s c e n d i n gf l o wd e f i n e db yap s e u d o g r a d i e n tv e c t o r f i e l do faf l m c t i o n a li nab a n a c hs p a c ea r es t u d i e d f o u rc r i t i c a lp o i n t sc a nb ef o u n db y r e p l a c i n gt h ec o n d i t i o no f ( p s ) b yr e t r a c t a b l ep r o p e r t y , i nt h i sw a y , w en e e dn o tc o n s i d e r t h ee m b e d d i n go fs p a c e s a sa na p p l i c a t i o no fi n v a r i a n ts e t so fd e s c e n d i n gf l o w ，w ep r o v e dt h ee x i s t e n c eo fa t l e a s tf o u rs o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n 一“+ 。( 。) u 2 ，( 二享 ：三 k e y w o r d s ：i n v a r i a n ts e t s o f d e s c e n d i n g f l o w ，s u b - a n d s u p e rs o l u t i o n ，r e t r a c t a b l e p r o p e r t y s c h r o d i a g e re q u a t i o n 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或 证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 签名：塞盎壶日期：至碰! 至 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查 阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授 权东南大学研究生院办理。 签名； 第一章引言 设x 是b a n a c h 空间，伊( x ，r ) ，记，( “) 是，在t x 处的梯度算 子，则，( t ) ex + ，其中x + 是x 的对偶由p a l a i s 2 5 知，存在伪梯度向量 场：弱_ x ，而且是l i p s e h i t z 连续的其中x o = x 墨k = e x l f 7 ( u ) = o ) 令u o x o ，考虑初值问题 掣= 一( 删， t o ( 1 1 ) t ( 0 ) = u 0 由常微分方程知识知，( 1 1 ) 的解存在且唯一，记为u ( t ，咖) ，其右向最大存在区间记 为 o ，q ( “o ) ) 因为，( “( t ，u o ) ) 关于t 单调下降，我们称u ( t ，t t 0 ) 是下降流为了考 虑问题的方便，对u o k ，我们规定u ( t ，“o ) = u o 文献 1 7 】通过研究u ( t ，t t 0 ) 的性 质，提出了下降流不变集的概念，并得到了下降流不变集上的下有界泛函i f 缶界点的 存在定理在所讨论的问题中，满足( p - s ) 条件和有内点是两个基本的要求众所周 知，h i l b e r t 空间中的锥不一定是体锥，而泛函在h i l b e r t 空间上满足( p 曼) 条件，但 在另一拓扑更强的空间中可能就不满足文献 1 0 通过空间嵌入解决了这一矛盾 在此基础上，文献f 1 利用下降流不变集方法得到了泛函四个临界点的定理，并且每 个临界点的所在区域也可以确定用变分方法研究椭圆方程边值问题的基本思想就 是求其对应泛函的临界点，从而我们就可以利用下降流不变集方法研究方程问题 而且下降流不变集方法在解决方程多解问题方面具有独特的优势，不但可以证明方 程多个解的存在性，且可以确定每个解的存在区域利用下降流不变集方法和变分 法，文献 1 证明了非线性椭圆边值问题以及非线性常微分方程边值问题四个解的存 在性；文献 2 2 】、 2 3 、 2 4 则研究了拟线性椭圆特征值的多解问题； 2 1 则把四个 临界点的情况推广到一般情况，得到泛函( 2 n + 1 ) 个临界点的结果，并把这一结果 应用到般椭圆边值问题上，得到了理想的结果我们的论文在文献【1 】的基础上， 用收缩性质替换( p 剐条件，从而避免了空间嵌入的问题，也得到四个临界点的存 在性 近几年来，形如 r 州咖2 翟： 在q 中， 在鲫上 、。 塞壹盍堂塑圭堂垡堡皇 2 的s c h r o d i n g e r 方程的解存在和多解问题得到了广泛的讨论，其中ncr 有界， a n 光滑，：n x r _ r ，连续可微，o ：n _ + r 连续所不同的是o ( 。) 和，( 。，u ) 条件，在【8 】中，若a e ( r ”，矿) ， o ( z ) _ + o o ，当。_ + 。时 且 m ，= 旷2 螂( 2 ，2 ) ，2 + = 篙， 则( 1 2 ) 有无穷多解由 19 知：在上述条件下，( 1 2 ) 的无穷多解中存在一个正解和 一个负解有关( 1 2 ) 的解的结论在文献 7 中有详细的归纳文献 6 中给出( 1 2 ) 一个变号解的结果另外利用下降流不变集方法， 4 给出了( 1 2 ) 有三个解的结果， 其条件除要求，( z ，“) 保证( 1 2 ) 对应的泛函满足( p s ) 条件外，还要求 a ( x ) 工麓( r “) ，e 8 8i n f a ( x ) 0 ， 和 1 慧脚u p 瞰掣- o i v t o , 或者是对任何m 0 和r 0 成立下式： r n c s ( x b r ( y ) ：o ( 卫) m ) ) _ o ，岱r i v ter ，当f y l _ o o 时 ( 1 2 ) 的三个解中，一个为正解，一个为负解，另一个为变号解在我们的论文中， 结合下降流不变集方法和变分法，在n ( 。) 和，( z ，u ) 适当条件下，得到了( 1 2 ) 的四 解定理，作为我们定理的一个推论，我们可以得到( 1 2 ) 个正解，一个负解和一个 变号解的结果 本文的内容归纳如下： 第二章：介绍下降流不变集的定义、由下降流不变集方法得到的泛函单个临界 点和多个临界点的存在定理、下降流不变集的基本性质和我们得到的关于下降流不 变集的一些重要性质 第三章：我们提出泛函在空间的个子集上关于实数c 具有收缩性质的概念， 进一步推广泛函的伪梯度向量场的定义，结合下降流不变集方法，并用收缩性质代 替( p s ) 条件，得到泛函一个临界点的存在定理， 在这个定理基础上，得到了泛函四个临界点的存在定理相比较文献 1 中的 四个临界点定理，我们得到的定理不再考虑空间的嵌入 壅宣盘堂塑主堂垡堡塞 第四章：利用下降流不变集方法和变分法，证明了( 1 2 ) 四个解的存在性定理， 其中主要的工作是验证( p s ) 条件，以及嵌入空间的选择和下降流不变集的构造 3 第二章下降流不变集基本理论和性质 2 1 下降流不变集基本理论 x 是b a n a c h 空间，是定义在x 上的c 1 泛函，7 ( “) 是，在点u x 处 的梯度，记k = u l u 置，( u ) = o 和x o = x k 定义2 1 ( 伪梯度向量场) l i p s c h l t z 连续映射w ：凰- x 称为，的一个伪梯度向量场，若满足； ( 1 ) ( ，7 ( “) ，形( u ) ) 洲，7 ( u ) 1 1 2v u e x o ，其中( ，_ ) 表示x + 与x 的对偶， ( 2 ) 1 1 w ( “) | | 2 咿( u ) | | v u x o 这个定义最初由p a l a i s 2 5 】给出，且有结论：任一c 1 泛函都至少存在个伪梯度 向量场 令( “) 是，的一个伪梯度向量场，“o x o ，在x 中考虑初值问题： 牡裂： 协， 由常微分方程知识知，( 2 1 ) 的解存在且唯一，记为u ( ，u o ) 其右向最大存在区间 记为 0 ，q ) ) ，其中q ) 可能为+ o 。因为 堕笺掣= ( ，( u 托砒。u 0 ) ) _ ( ，( u 心砒一卟训) ) 冬一扣( u ( t ，咖) ) 肚m 所以， ，u o ) ) 关于t 单调下降，其中t o ，口) ) 因此我们称“( t ，u o ) t 0 ，q ( “o ) ) 为下降流，为考虑方便，若u oe k 则“( ，u o ) = u o ，t 0 下面给出下降流不变集的定义 定义2 2 ( 17 】) 非空集合m x 称为，的伪梯度向量场产生的下降流不变 集，若 “( t ，u o ) 1 0 墨 一。，f 在m d 上满足( p s ) 条件则 i 仉凡a f c f ( d ) ，沁) 机厶8 m d ，托) 一。 和i n 厶c 。( d ) ，( u ) 是f 的i 占界值，且在_ 9 m c m ( d ) 中存在，的i l 缶界点对应于 此值 注：定理中的c m ( d ) m 很重要，实际上定理的条件只要保证我们得到 i n f u e o m c m ( d ) f ( u ) 讯丘斯d ，( u ) 就可以了，这样就可以在a m c m ( d ) 上应用定理2 1 ，另外需要o m c m ( d ) 是下降 流不变集 在 1 】中，有下面结论： 引理2 1 设m 是连通的下降流不变集，d 眠d 是m 中的开集，且是相对 于m 的一个完全下降流不变集，若d m ，则： 东南大学硬士学位论文6 ( 1 ) d 相对于m 的边界d 非空 ( 2 ) d m d 是相对于m 的完全下降流不变集 x 是b a n a c h 空间，是定义在x 上的c 1 泛函，是，的一个伪梯 度向量场，有了以上的准备，给出主要的泛函四个临界点定理，见【1 】 定理2 3 ，在x 上满足( p s ) 条件，仇和d 2 是两个连通的开下降流不变集， c x ( d 1 ) ) o d l ，c x ( d 2 ) o d 2 ，d in d 2 0 若存在道路h ： 0 1 _ x 和点 d l n d 2 ，使得 h ( o ) d l d 2 ，h ( 1 ) d 2 d 1 8 h ( 0 ) + ( 1 一s ) w d 1 ，s ( 1 ) + ( 1 一s ) 叫d 2 ，v0 8 1 ， 和 i n f , , e b ，n 岛，( s u p t f o ，l 】，( ( t ) ) ， 那么，至少有四个临界点“l ，u 2 ，u 3 ，“4 且 1 d l n d 2 ，u 2 d 1 岛，t 上3 d 2 d 1 ， “4 x ( 西1u 岛) 注意到定理中重要的( p s ) 条件，是在b a n a c h 空间上提出的；条件 c x ( d 1 ) o d ；，c x ( d 2 ) o d 2 ， 都不易验证通常( p s ) 条件是在h j b e r t 空间上验证的，但在h i l b e r t 空间上锥不 是体锥，通过空间的嵌入，【1 】很好的解决了这一矛盾，另外 1 在h i l b e r t 空间h 上证明了下面的结论，其中d l ，d 2 是h 中的开凸集 s i 理2 2 ，c 1 ( 日，r ) ，( u ) = u a u 对u h ， d in d 2 o ，a ( o d l ) c d l ，a ( o d 2 ) c d 2 那么存在，的伪梯度向量场w ，使得d l 和d 。是下降流不变集，且 c h ( d 1 ) b d t ，c a r ( d 2 ) o d 2 注：在啦的证明中用到下面的引理，详细的引理证明见f 1 中的附录 引理2 3 豆= “t ，s ) i o t ，s 1 ) cr 2 ，o 是豆中的开集，使得： ( t ，o ) l o ! 1 c 0 ， ( ( t ，o ) l o t 1 ) n o = 0 那么存在0 0 的连通分支r ，其中0 0 是o 在啻中的边界，使得， ( o ，s ) l o 8 1 ) n t 0 ， ( 1 ，s ) 1 0 8 冬1 ) n r 0 日是h i l b e r t 空间，x 是b a n a c h 空间，x q 日，是定义在日上的c 2o 泛 函 假设一：( “) = 一a u ，和，( “) 也是x - x 的l i p s c h i t z 连续泛函 假设二：k = 扣日f ，( u ) = o c x 对u o x ，在日和x 中分别考虑初值问题 警一酢) + 州现( 2 2 ) 【z z 【u ( o ) = u o 、 u ( t ，u o ) 和百( t ，u o ) 分别是( 2 2 ) 在日和x 中的确切解，其右向最大存在区间分别 记为 0 ，”( “o ) ) ， o ，巧( 咖) ) 因为x q 日，所以 i ( u o ) ”( “o ) 币e ( t ，“o ) = u o ，u o ) ，v 0 t i ( t 幻) 假设三：目) = v ( u o ) 和d ( ，“。) = u ( t ，咖) ，v 0 冬 s u p t e o ，1 】，( ( 吼 那么，至少存在四个i 占界点，t l d 1n d 2 ，“2 d l d 2 ，u 3e d 2 a 和 t $ 4 x ( d l u 西2 ) 其中觑d 和西。分别表示d 相对于x 的边界和闭包 壅壹盍兰塑主兰垡迨皇 2 2 下降流不变集的性质 8 关于下降流不变集的一些基本性质，在文献【1 】1 中已详细的证明在文献f 1 】的 基础上，本节继续研讨下降流不变集的一些性质，这些性质在第三章的讨论中将起 重要作用 命题2 1 若m 是相对于x 的完全下降流不变集，dc x 是下降流不变集则 d m 是下降流不变集 证明：y u o d 蝎因为d 是下降流不变集，所以u ( t ，u o ) d ，v 0 t q ) 蛳聋m 又因为m 是完全下降流不变集，所以u ( t ，u o ) 尬 0 ，口( “o ) ) 从而 d m 是下降流不变集 命题2 2dc x ，d 是开集，则d 是下降流不变集乍： 西是下降流不变集 证明：先看必要条件，v u o 西，若坳d ，因为d 是下降流不变集，所以 ( u 0 ，“o ) 1 0 t 一0 0 ，在m 上关于实数c 具有收缩性质，则，在m 中至少存在一个临界点，且c 是 ，的渐近临界值 证明：第一步证临界点的存在性 ( 反词日：若，在m 上不存在临界点，贝目对于b = c + ；，k n - 1 b6 】n m = o ，由 收缩性质定义知，cnm 是，6nm 的收缩核另由确界定义知 nm 0 ，所以 ，c n m 0 从而存在o m 使得，( z o ) = c = i n 丘m ，( ) ，根据假设，在m 上无临 界点，因此d r ( 。) 0 考虑初值问题 = - 一v ( x ) i 慨。， 因为m 是下降流不变集，所以扛( t ，。o ) r o t 一。 且，在o m c m ( d ) 中至少存在一个临界点，c 是，的渐进临界值 定理3 2 的证明需要下面两个引理： 引理3 1 ( 【17 】) m 是连通的下降流不变集，dcm 是开集，d 是相对于m 的完全 下降流不变集，若d m 那么d 相对于m 的边界( d ) 非空，并且也是相对于 的完全下降流不变集 引理3 2 ( 1 2 1 ) m 是连通的下降流不变集，dcm 是开集，d 也是下降流不变集 那么： ( 1 ) c m ( d ) 是m 中的开集 ( 2 ) 若c m ( d ) m 和i n 九( d ) ，( t ) 一。，那么： 机厶a f g j _ f ( d ) ，) i n a e o ( d ) f ( u ) 一0 0 定理3 2 的证明：结合引理3 1 ，引理3 2 和定理3 1 很容易验证 3 2 多解定理 记e 1 = d 1nd 2 ，马= o b 。c b ，( d 1n d 2 ) ，岛= o d 2 c 镜( d 1n d 2 ) ， 凰= o c e ( d 1nd 2 ) ；c i = 哦d l n 西2 ，( u ) ，c 2 = i 吒】( 西i o l d 。) ，( 札) ， c 3 = i 。c b ，( d 1 n d 2 ) ，( “) ，c 4 。i n f 阳e ( n l n d 2 ) ，( u ) - 定理3 3e 是b a n a c h 空间，f c 1 ( e ，r 1 ) ，d l ，d 2c e ，d 1 ，d 2 是e 中的开集，连通且 是下降流不变集，g e ( d 1 ) ) o d l ，c 台( d 2 ) 3o d 2 ，且d 1 n d 2 0 ，在蜀0 = 1 ，2 ，3 ，4 ) 上关于q0 = 1 ，2 ，3 ，4 ) 满足收缩性质，若存在道路h ：【0 ，1 】- 4 e 和点 w d 1n d 2 ，使得 ( o ) d 1 d 2 ，h ( 1 ) d 2 d 1 ， 壅塑盎兰壁圭堂焦迨塞 1 3 s h ( o ) + ( 1 一s ) w e d l ，8 h ( 1 ) + ( 1 8 ) we d 2 ，v0 s 1 ， 和 i n 丘d i n d 。，( “) s u p t e o ，l l f ( h ( t ) ) ，( ) 那么，至少存在四个临界点“l ，u 2 ，u 3 ，“4 且1 d 1n d 2 ，“2 d 1 岛，3 d 2 a ， “4 e ( d 1 u 西2 ) 且c l ，q ，c 3 ，q 是，的渐进临界值 证明： 第一步：易证西1 和岛是连通的下降流不变集，那么d 1n 岛是闭的下降流 不变集，由条件知，讥k d i n 。：，( “) 一。由定理3 1 得： ，在西ln 现存在 一个临界点“1 ，且q 是渐进临界值又因为c e ( d i _ ) o d l ，c e ( d 2 ) o d 2 ，所以 o d tn k = 0 ，o d 2c 1 k = 0 从而“1 d l n d 2 第二步：西1nd 2 是西- 中的开集，且是下降流不变集，因为： h ( o ) d 1 d 2 ，和i n f u 西，n 西。，( t 上) ，( ( o ) ) ， 所以h ( o ) 西l c 岛，( 西1n d 2 ) 从而c h ( d 1n d 2 ) 西1 由引理3 2 知，g d 。( d 1nd 2 ) 是西1 中的开集，由确界定义得 i n 凡。( 西。n d 。) ，( ) f n 凡亩。n d 。，( u ) 一o 。， 从而 n 九如1 。( a n d 。) ，( “) i n i u e o b 。( a n d 。) ，( u ) 一o o ， 由定理3 2 知，存在一个临界点u 2 ，( 西z nd 2 ) ，且c 2 是渐进i 临界值因为 ，( d l n d e ) c d l ， 所以u 2 d 1 ，又因o d ln k = 0 ，所以u 2 d 1 由 如。( g 西。( d 1n d 2 ) ) n ( d 1n d e ) = 吐 和o d 2 n k = 0 ，得u 2 譬西2 ，从而忱d l 西2 第三步：同第二步方法可证u 3 d z 西- ，且c 3 是渐进临界值 第四步：先证e ( 西- u 西2 ) 非空 亩是引理2 3 中的方形，定义映射g ：豆_ e 形式如下： a ( t ，s ) = s h ( t ) + ( 1 一s ) w ，0 s 1 ，0 t 1 ， 东南大学硕士学位论文 其中 ( t ) 和w 都是定理中给定的，易证g 关于( t ，s ) 连续，令 v = ( ，s ) ( ，s ) 亩，g ( t ，s ) c e ( d 1 nd 2 ) ) 1 4 因为c e ( d ，n d 。) 是e 中的开集，g ：啻_ + e 连续，所以y 是虚中的开集( 连续映 射映开集到开集) ，因为g ( t ，0 ) = d 1n d 2 ，所以( t ，0 ) vv0 t 1 由( + ) 知，存在叩 0 ，使得： i n u d 1 n 西2 ，( u ) 8 u p t 6 o ，1 1 ，s e l l q f ( g ( t ，s ) ) 所以， y n ( t ，5 ) 忙【o ，1 】，s 1 一r ，1 ) = 0 让o 是y 的连通分支，( o ，0 ) o ，那么o 是雪中的开集，满足 ( t ，o ) l o t 1 c 0 ， 和 f 0 ，1 ) j o t l n o = d 由引理2 3 知，存在o o 的连通分支r 1 使得： 和 f n ( o ，s ) l o s 1 ) 0 r n ( 1 ，s ) i o 8 1 ) 0 所以g ( r ) 是连通的，且 g 一) n s h ( 0 ) + ( 1 一s ) 1 0 5 1 ) 0 因为 和 g ( f ) n s h ( 1 ) + ( 1 一s ) | o 8 1 ) o f s ( o ) 十( 1 一s ) 叫j o 8 1 ) d 1 f s ( 1 ) + ( 1 一s ) ”i o s 1 ) c d e 东南大学硕士学位论文 所以g ( r ) n d l 0 ，和g ( r ) d d 2 o 又因o 是y 的连通分支，所以0 0c 毋v 从而 由f 8 v 和g 是连续得：g ( t ) ca ( o v ) 由y 的定义知， c ( o v ) a ( g ( y ) ) o c e ( d ind 2 ) ， 从而g ( r ) co c e ( d 1n d 2 ) ，所以g ( f ) n c e ( d in d 2 ) = 0 又因为 c s ( d i ) do d i ，c e ( d 2 ) 3o d 2 所以， a n 晚c c w ( d i n d 2 ) ， g ( r ) n ( a n d 一2 ) = 0 由g ( r ) n d t 0 ，和 g ( r ) n ( a n d 一2 ) = 0 有 g ( r ) n ( d 1 如) o 同理可证g ( t ) n ( d 1 d 2 ) o 令a 是0 c s ( d i n d 2 ) 的连通分支，使得g ( f ) c a ，那 么a 与功d 2 和d 2 西相交，定义a l ，a 2 如下： a l = u oe a l u o d 1 西2 ，存在0 f ”) ，使得：u ( t ，- o ) ed l 岛 ， a 2 = u oe a l u o d 2 西，存在0 f 叩( “o ) ，使得：u ( ，u o ) d 2 西1 ) 则a 和a 。是a 中的非空不交开集，由a 的连通性知， a ( a 1u a 2 ) d ， 为此找们就证明了e ( 西- u 西z ) 非空 令u oe a ( a 1u a 2 ) ，若u 0 k i 结论显然成立 若“o 芒k 因为 h o c e ( d i n d 2 ) ， 和o c e ( d 1nd 2 ) 是下降流不变集，所以 扣( t ，- o ) i o t 一o o 由定理3 2 知存在u 4 o c e ( d 1 n d 2 ) ，且c 4 是，的渐进临界值因u 4 o c e ( d 1 n d 2 ) ， 所以u 4 薯( d l n d 2 ) ，又因为u o 隹( a 1 u a 2 ) ，所以u 4 l d i 西2 且2 2 4 聋d 2 西又因为 8 d 1 n k = 0 ，o d 2r l k = 0 ， 从而u 4 隹( a u 晚) ，所以“t e ，u 岛) ，证毕 引理3 3 设m 是b a n a c h 空间e 中的闭凸子集，c 1 ( e ，r ) ，w 是，的伪梯度向 量场，具有形式：w ( u ) = “一a u ，且a ( o a 0 m ，则存在，的伪梯度向量场y ，使 得m 是出v 确定的，的下降流不变集 证明：记e o = e 耳，其中k = 川u e ，( u ) = o ，设t + ，定义 u ( 矿) = 如e o 舭一a u + l | ；l l f ( u * ) l l 则 矿( 矿) 妒岛 是凰的一个开覆盖，由s t o n e 2 6 ，必存在局部有限开覆盖，记为 t i 1 a ) 对予 a ，定义 a x ( u ) = p ( 让，e o 矸) ， u e o 则0s 钡( “) 】且傲0 ) ：e o - e 满足局部l i p s c h i t z 条件，对任何一a a ，选定 一点吣眠满足如果矸- n o m o ，则o 矸n o m 定义 b ：_ + e ，b u = a a 九( u ) 呶，u 岛 则口：e o e 满足局部l i p s c h l t z 条件，因此v ：j b 也满足对任一“e o ，只 有有限个w i ，记为。0 = 1 ，2 ，n ( u ) ) 包含u 对每个i 0 = 1 ，2 ，n 0 ) ) ，存在 u 气岛使得f cu ( u ；) ，因此吼；职，c 矿( u ；) ，u 。c 矿( “：) 因此有 舭一a 啾，i i | | a u 一肌i 。i i + i i a 嘁一血凡i i 1 1 1 ：，( u 驯l 扣，( u ) 勖 、， 呶 l r0坝 a埏 | | 奴 及 查查太芏亟主堂垡垫塞 故 1 7 l l y ) l l = i m b 训l = l i a 咖 ( ) 沁一a o 。) j | sj 1 a 奴( “) 一a u + a u a o k ) f l e a 籼( u ) ( 2 护( u ) 0 + 剖，( u ) 1 1 ) = 翔，( u ) | j ( ，7 ( u ) ，y ( u ) ) = ( u b u ，7 ( u ) ) = ( “一a u + a u b u ，m ) = ( t 矿( “) ，7 ) ) + ( a u b u ，( u ) ) ij ，( u ) 1 1 2 + ( e 埏a 枞( “) ( a u a a ) ，( 钍) ) ( u ) 1 1 2 一钏，协) 1 1 2 = 如，7 ( “) 1 1 2 因此y ( u ) 是，的伪梯度向量场 可以证明b ( a m n 岛) cm 事实上，如果t o m n e o ，且对a a ，呶( ) 0 ， 则“盼n o m ，因此n o m 0 且。 n o m 由于a ( o m ) c m ，故以o m ， 故由m 的凸性及e a 九( 曲= 1 知b u m 下证m 是下降流不变集设t o m k ，如果存在0 t 1 q ( “o ) 使得u ( 1 ，u o ) 譬 砑，则存在t 2 满足0 t 2 1 ，( 2 ，“o ) o m ，且当t 2 t 0 ，使得当0st 6 时，u ( t ，u ( t 2 ，u o ) ) m ，因此当t 2 t 0 ，满足to ( 。) 三理，矗1 i r a i 。_ + n ( z ) ! n ( 。) ( 0 ，。) ( h 4 4 ) o a ( n ，r ) ( h 4 5 ) 存在c 0 和p ( 2 ，2 ) 满足： l ，( 。，t ) i 兰c ( 1 4 - 阽一1 ) z 矗，t r 其中2 8 = 器 ( h 4 6 ) 存在” 2 ，兄 0 满足： 0 叩f ，t ) ，缸，t ) t 。n ，r 其中f ( x ：t ) = 石f ( x ，s ) 出 由( h 4 3 ) ，( h 4 4 ) 得； u = 酬a + a ) = 一i n f 吣剑等掣 ( i t 4 7 ) 1 皿口p o 一，( z ，t ) t _ 1 矿，对。一直成立 苤直盍堂堡堂焦迨塞 2 0 ( i t 4 9 ) l i m s u p t _ + + o 。，( 。，t ) t 一升1 of ( t ) t _ 2 0 和彤 0 使得，( z ，班_ 1 0 和 蚓 r + 注：条件( h 4 1 ) 可以由下面形式给出： ( 1 ) 存在k 0 ，满足i ，( 。，亡) l kt 一c k ，c 翻其中c k = m a x ne ，e 满足： ( _ 扣：篡差袭 z ， ( 2 ) ，( 盈0 ) = 0 ，一( z ，0 ) “+ 对任意的。e 而 应用变分思想，我们知道( 4 1 ) 的解对应于泛函 j ( ”) = ；正( v “v u + 。( z ) u 2 ) 如一上f ( u ( 瑚如 的临界点，给出一些记号t 记k = n h i j ( u ) = o h i l b e r t 空间h = ( u 础( 磊) ：如o ( z ) u 2 d x o o ) 在h 上定义内积( 屿= 矗( v u v v + n 扛) w ) 如坞”h 由内积导出h 的模| l “l l - = ( 丘( i w l 2 + n ( 。) u 2 ) 出) i 1 ueh 在条件( h 4 3 ) 成立的情况下，空间日等同于空间硎( 矗) 由f c 1 ( f i r ，r ) ，易知j ec 2 ( 日，励且t ，在一点u 处的梯度( ) 有形式， ( u ) = “一( 一+ n ) 一1 矿( - ，( 。) 】，a ( u ) = ( 一a + ) 一1 ，( - ，u ( ) ，h - + h 既然空间日等同于空间硪( a ) ，令x = 四( q ) 由椭圆方程的p 理论和空间嵌入理 论，根据文献 1 6 】知：( “) 和a ) 都是h _ + h l i p s c h i t z 连续的，从而也是x _ + x l i p s c h i t z 连续的 下面给出本章的主要定理： 定理4 1 ( h 4 1 ) 一( h 4 6 ) 成立，则( 4 1 ) 至少有四个解 定理4 2 ( h 4 1 ) ( h 4 5 ) ，( h 4 7 ) ( 4 1 0 ) 成立，则( 4 1 ) 至少有四个解 定理4 3 旧4 。1 ) ( h 4 5 ) ，( h a 7 ) ，( h 4 8 ) ，( 刖11 ) 成立，则( 4 - 1 ) 至少有四个解 我们用定理2 4 证明上述定理，定理2 4 需解决以下的困难： 第一，空间的嵌入，在实际的应用中我们选择的两个空间是x = 铝和日= 明 第二，( p s ) 条件的验证 东南大学硕士学