（应用数学专业论文）一类广义zakharov方程的适定性.pdf

摘要 摘要 本文讨论一类广义z a k h a r o v 方程组分别在一维情形和二维情形下，研究 该方程组的周期初值问题整体古典解的存在性与唯一性并且在一维情形下， 研究该方程组局部解的b l o w u p 问题存在唯一性的证明方法是先作g a l e r k i n 近 似解，得到局部古典解，再由积分先验估计得到整体解证明了：在一维情形 下，当0 p 4 时，方程的周期初值问题的整体古典解是存在且唯一的：在 二维情形下当0 p 2 及l k o ( o ) | | 充分小时，方程的初值问题的整体古典解 是存在且唯一的并且在一维情形下得到了：当p 型塑生粤尝鬟兰塑堡及 初值满足一定条件时，方程的解在有限时间内出现b l o w u p 关键词 广义z a k h a r o v 方程组；先验估计；广义解；近似解；b l o w u p 广州大学理学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w es t u d yac l a s so fg e n e r a l i z e dz a k h a r o ve q u a t i o n s w ec o n s i d e r e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n so ft h ep e r i o d i ci n i t i a lv a l u ep r o b l e mo ft h i s e q u a t i o n si no n ed i m e n s i o ns p a c ea n dj 1 1t w od i m e n s i o ns p a c e t h eb l o w u do ft h e1 0 - c a is o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n si sa l s od i s c u s s e d b ym e a n so ft h eg a l e r k i nm e t h o da n d t h ei n t e g r a le s t i m a t e s ，w eo b t a i nt h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n s ：i no n ed i m e n s i o ns p a c e ， i f0 p 4 ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h eg l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o ni so b t a i n e d ； i nt w od i m e n s i o ns p a c e ，i f0 p2a n d | | e o ( z ) | | i se n o u g hs m a l l ，t h ee x i s t e n c e a n du n i q u e n e s so ft h eg l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o ni so b t a i n e d t h e n ，i no n ed i m e n s i o n s p a c e ，i f p22 ( 1 + t r a 2 e l o ) + n 2 2 俪e n a n di n i t i a ld a t as a t i s f ys o m ec o n d i t i o n s ，t h el o c a l s o l u t i o nw i l lb l o wu pi nf i n i t et i m e k e y w o r d sg e n e r m i z e dz a k h a r o ve q u a t i o n s ；i n t e g r a le s t i m a t e ；g l o b a ls o l u t i o n ；叩一 p r o x i m a t i n gs o l u t i o n ；b l o w u p 一 广州大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引 用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或捞； 写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律 后果由本人承担。 学位论文作者签名：赫稻嗨 日期：妒 0 我们主要研究上述方程组( 1 3 ) ，( 1 4 ) ，分别在一维情形和二维情形下，周 期初值问题整体古典解的存在唯一性以及在一维情形下讨论该方程组的局 部解的b l o w - u p i n 题由于上述方程组是在原z a k h a r o v 方程组( 1 1 ) ，( 1 2 ) 的基础 之上，增加了n h ，e 这一非线性项，而使问题变得更加复杂证明前述适定性 的方法是先作g a l f i r k i n 近似解，得到局部古典解，再由积分先验估计得到整体 解在第二章中，我们得到了在一维情形下，该方程组的周期初值问题整体古 典解的存在唯一性在第三章中，我们得到了在一维情形下，该方程组的局部 解的b l o w u p 在第四章中，我们得到了在二维情形下，该方程组的周期初值问 题整体古典解的存在唯一性 无论是一维还是二维情形下，对忆。的估计是非常重要的因为要得 到u 的某些其他阶偏导数的l 2 模估计，它的l o o 模估计是至关重要的在一 维情形下，当对忆| | p 进行积分先验估计时，我们较多的利用s o b o l e v 不等式： “忆一酬孔怯f i ： ( 1 5 ) 即只要知道了u 的h 1 模估计，就能得到u 的l 一模估计但在二维情形下， 不等式( 1 - 5 ) 就不成立了，继而代替它的是不等式： “f f p c l i o 。u 睡1 i 。 这就是说，只有在知道了u 的日2 模估计之后，才能用s o b o l e v 不等式得到u 的 l 。模估计而在估计的过程中我们会发现，需要利用的l o 。模估计，来得 到u 的h 2 模估计显然这是矛盾的为了解决这个问题，在二维情形下我们 引进了b r e z i s 的一个引理( 见引理4 3 ) 从这一点也可以看出，二维情形并不是 一维情形的简单平推，它比一维情形更复杂 本文用到的几个函数空间： 第1 章绪沦 1 ) 复h i l b e r 空间，它的内积和模的定义为 ( ，) g ) = f ( x ) f f + ( x ) d x ， i l f l l ! 。= l f l 2 d x j a j n 其中旷( z ) 为9 ( z ) 的共轭函数为简单起见，文中用i l 表示”l i 肛 2 ) h 3 空间：，的广义导数o a f 江s ) 为平方可积的函数全体组成的空间 其t - _ 模定义为 i i f 1 备，= 伊刑2 。 h l 茎5 3 ) z e ( o ，丁；h 8 ) 空间： 表示由( 0 ，t ) 一h 3 的函数t 一，( ) ，在h 5 上强可测，使 ( z t 忖) ； 0 为了研究( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的守恒量，引进方程组 害一髻= 。 警小+ i i = o i 窑+ 笔吨刊讹i ：o 2 瓦+ 百一”。+ 0 1 6 8 5 o ( 2 - 3 1 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 其中为速度势 本章研究了上述方程组( 2 一1 ) ，( 2 2 ) 的周期初值问题的适定性证明了，当 0 p 4 时，该方程古典整体解的存在唯一性首先讨论( 2 3 ) ( 2 5 ) 式，然后 讨论( 2 1 ) ，( 2 2 ) 证明的方法是先作g a l e r k i n 近似解，得到局部古典解，再由积 分先验估计得到整体解在第一节中建立了( 2 3 ) 一( 2 5 ) 式的先验估计，在第二 节中建立了它的光滑解的存在性，在第三节中建立了整体光滑解的存在性和 唯一性，在第四节中证明了( 2 1 ) ，( 2 2 ) 式整体古典解的存在性和唯一性 2 2 积分估计 定义2 1 ：求以2 7 r 为周期( 对z 而言) 的函数n ( z ，) ，妒( z ，) 和( z ，t ) ，z 豫，t 4 第2 章一维广义z a k h a r o v 方程的适定性 0 ，明，使满足( 2 - 3 ) 一( 2 5 ) 式及初始条件 n ( z ，0 ) = n o ( z ) 妒( z ，0 ) = 妒o ( z ) ，e ( z ，0 ) = c o ( z )( 2 6 ) 则称它为j 司题a 其中n o ( x ) ，妒o ( z ) 和e o ( z ) 为以2 1 r 作周期的函数 2 2 1 n ，咿，及其一阶微商的估计 引理2 1 ：若e o ( z ) l 2 ，记e o = i 暇则对问题a 的解e ，有 2 = e o ，耽0 证明 由( 2 - 5 ) 式与作内积，取其虚部得 三- el l l i 2 ：0 2 d t 。l l 。 所以 2 = e o 引理2 2 ：若c o 。，妒o 。和n o 均属于l 2 ，且n oj e o l 2 l 1 ，则对问题a 9 3 n - ，有 肼蚓2 州2 印1 21 扛羔h 舢 如 = 肼蚓2 叫1 印+ 知喇) 墨h 卅卜 = m 其中尬= 后” i c o a 2 + n o b l 2 + j 妒恐+ j n 3 一箍i = 。i 一+ 2 出 证明 由( 2 - 5 ) 式与黾作内积，取其实部得 r e ( i e t + e z z n e + d l e l e ，自) = 0 而 r e ( 锄，= 叭 r e ( 忍) = 一；翱洲 ! 坐! 盔主兰兰竺圭兰生笙苎，! ，! ! ，! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ， r ( - n o , c t ) = 一；z 2 ”礼i e i d z _ ：1d d 。，f 。2 nn l e l 2 d 茁+ ；z 2 ”礼t l s l 2 d z 一互l 。d 。，f 。2 i s l 2 d z + ；z 2 ”妒。( 妒t n ) d z ；爰小h 2 如 蜊叩叫小南爰a 中+ 2 出 所以 爰 i i e 。1 1 2 + z 0 2 7 rn i e l 2 a z + ；z 2 ”妒：d z + 从而 1df 2 丌。， ；磊o 虻出；盖小2 如 掐粕z 一雨2 0 f 办p 2 d z _ o 川b 印印1 21 n 2 一是h 川卜= 尬 利用关系式n = 恍一2 ，得到 川b 卜弘1 卜弘1m 2 ) - 墨卅卜= 尬 引理2 3 ：( 1 ) 如果札l q ( i r “) ，d ”“l r ( p ) ，1 茎q ，r 。，0sj m ，则有 估计 l l d j “怯曼c l l d “1 | z ，| i u 1 - ，“ 其中 ；：；+ 。( ；一罢，+ c 一。，百1 且熹a o 和正整数f ，则存在依赖于1 和f 的常数c ，使 象忆纠l u 忡7 | 1 嘉”t z ；l | 象忙c + 7 | i 翥i i 6 后 2 第2 章一维广义z a k h a l o v 方程的适定性 引理2 4 ：当 0 且0 p 4 时，若e oe 日1 ，妒oeh 1 ，n oel 2 ，则 对问题a 的解，有 e i l 备，兰e l ，i l n l l2 n 1 ，l i 妒| | 刍。中l ， l i 妒t | | 2 西2 证明( i ) 当。 0 时，由引理2 2 及引理2 3 ，得 门钟id z i j r 0 2 1 r i 印圳m l i 挑圳忙胪+ l m l c 1 1 岛1 1 + 川；c 1 2 + 批1 1 2 + i m l l 所以恢1 1 2 c ；+ 2 1 m t l 结合引理2 1 ，有 l i e l l ，e i 由引理2 2 可得 z 2 ”；( 妒；+ 妒劲妇曼互1z 2 丌i e l 4 出+ l 尬i ；c ；十割蚓l 2 + l 尬l 鼋+ 2 | 尬 即1 i 妒t l l 2 + | 1 1 1 2 2 彳+ 4 lm l l 取 圣：= 2 4 + 4 1 m 1 i ， 可得 l l 妒t 1 1 2s 壬： 由( 2 4 ) 式有 1 1 n 1 1 2 = o 打( 忱一m 2 d x _ 2 0 打( 妒；+ d x 0 且0 p 4 时，由引理2 2 知 f 0 2 r k o 打弘1 + 0 2 ”墨h + i 尬 而由引理2 3 及y o u n g 不等式知 z 2 ”墨h 帆曼墨刮训i i 忙萨砒圳 扣酽+ q 从而有 f 0 2 rb 1 2 如扣i i2 + 扣旷+ c 2 + 恻= 沁1 1 2 + + c 2 十i 炳 所以 注意到引理2 1 ，可得 1 1 2s2 c i + 4 c 2 + 4 l m e 临，骈 其次由引理2 2 ，可得 f 0 2 7 r 形1 + 妒弘f 0 2 r 扣如+ o h 币2 a 妒2 如+ 尬 即 ；c + 剖1 洲i i + 扣1 1 2 + c 。+ i m l ；c + 4 3 e q - c 2q - 1 尬 洲刊蚓2 c + _ 2 3 u + 2 c 2 + 2 l 取 壬：= c + i 日+ 2 c 2 + 2 1 m l l ， 可得 l l 妒t i l 2 壬： 由( 2 4 ) 式有 一2t27r o ( ( f l t - - i = 1 2 ) 2 d z 2 j o ( 妒 + i 1 4 ) 如6 c i 十3 e ：+ 4 c 2 + s l m l i 8 m 第2 章一维广义z a k h a r o v 方程的适定性 同样，由( 2 4 ) 式与妒作内积，可得 ；d l l 妒1 1 2 扣1 1 2 + i i n i l 2 + o 打l e l 4 d x _ 扣i i 2 + 吖+ 2 c 2 + 2 l 尬 因此 1 1 妒1 12 ( t ) 茎 1 1 妒1 1 2 ( o ) + 2 ；+ 4 c i + 4 1 m , i e t = 垂： 所以 i l 妒l i 备。墨圣：+ 圣；= 圣： 综合( i ) ( i i ) ，取 e 1 = m a x e i ，e ：n 1 = m a x 吖，i ，) 垂l = m a x 西：，西：)圣2 = i l l a x 西2 ，壬： 引理24 即得证 推论2 1 ：若满足引理2 4 的条件，则当o l 0 且0 p 4 时，有 i i e i i l 。e 2 ，i l 妒l l 一中3 证明结合引理2 3 和引理24 即得证 引理2 5 ：当o z 0 且0 p 4 时，若。o h 2 ，妒o h 2 ，n o h 1 ，则 问题a 的解有估计 证明 由( 2 3 ) 式对t 微分，( 2 _ 4 ) 式对z 微分两次，消去妒，并将( 2 5 ) 式 对t 微分，得到 将( 2 - 8 ) 式与e 。作内积，取其虚部，得 i ( n t e , u t 卅l 等办r 2 文鳓2 如 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 广州大学理学硕士学位论文 利用( 2 5 ) 式可得 圳忙川+ 掣忙叫2 ；驯州+ 2 1 、e z 十i n p i e g l l 郇 桁( 2 7 ) 瓦与m 作网秩，开旺恧到上瓦，伺 ；爰 | | n 川2 + | | n 。1 1 2 = z 2 ”i s l ：。n t d z = z z 2 ”l s 。1 2 n t d x + 2 ，f 。0 2 ”l s 2 n t d 。一。nz 2 ”i e l p + 2 n 。如 + iz 2 ”( e e ；一e t s ：) n t d 。 对上式右端四项作如下估计： (i)22”le。12ntdx，2”ie。14dxj0j 0+ j ，0 2 ”n ；d z ( i )2 l e 。1 2 讥t i e 。1 4+ 几；d z s 恢1 1 2 。恢1 1 2 + i i n t l l 2 s 2 c 2 1 1 e 。1 1 2 + 7 2 i l 。1 1 2 + i i m l l 2 南r 2 s 、式得 i l e 。i 2 ( i i n - ；i l + i i 岛1 l + | | o i e l p e | | ) 2 2 1 b e l l 2 + 4 i l 乱1 1 2 + 4 l i a l e l p e | | 2 2 i l 1 1 2 。i i n | | 2 + 4 l le | | 2 + c | | l i i l ej 1 9 + 2 茎2 n 1 鹾+ c 研+ 1 + 4 | | 岛| | 2 所以有 2 z 2 ”i e 。 2 n t d x c 3 i i s t i l2 + | | 几t l l 2 + c a 第2 章维广义z a k l l a m v 方程的适定性 ( i i ) 2 z 2 ”n i e 2 n t d z j f 0 2 rn 2 l e f 4 如+ z 2 ”n ；d z l e i 2 。| | n | j 。+ | | n 川z 2 霹 c 2 1 1 礼1 1 2 + 7 2 | | n 。 1 2 + ij n t | | 2 c 5 + c 6 1 1 n 。1 1 2 + l i n l 2 ( i i i ) zz 2 ”n l s i ，+ 2 n t a z l 茎z 2 ”。2 i e l 2 p + 4 d xq - f 0 2 1 r n 2 d z s 2 7 r 血2 1 1 e 1 1 l 2 p - - 4 + l i 凡tj | 2 2 7 r d 2 霹p + 4 + l i m 1 2 ( i v ) i z 2 ”( e e ；一e + e t ) n t d z l z z 2 ”i s l 2 i e 。| 2 d z + i 0 2 ”n ；a z s 2 硎洲+ 扣t i l 2 综上所述，可以推得 面d n 1 2 + 1 2 sc ， 1 l n , l l 。+ l z + l 。 十c 8 其中c 7 = m a x 2 c a + 4 e 2 + 易+ i q l p 霹，7 + 马，2 c 6 ) ，c 8 = 2 c 4 + 2 c 5 + 4 7 r a 2 霹9 + 4 于是有 川毗| | 2 + i l e c l l 2 + l l n 。1 1 2 ( 丁) f 1 i 毗1 1 2 + | | 旬i i2 + i l n 。| | 2 2 2 二阶微商的估计 引理2 6 ：当o l 0 且p 4 时，若n 托( o ) ，n 耐( o ) 及e “( 0 ) 均属于l 2 则有 j | 礼壮1 1 2 ( t ) + i l n 耐1 1 2 ( t ) + l l e n i i2 ( t ) m s 广州大学理学硕士学位论文 证明 由( 2 7 ) ，( 2 8 ) 式对t 微分，得到 雌矾 n s t e 一2 n t e t 一礼e 能+ ( a i i p ) 恍= 0 ( 2 9 ) r 2 - 1 0 ) 将( 2 1 0 ) 瓦与e “作网袱，职具崖_ i i 付 狲圳卜l ( 掣h 坤s + 毫) 掣i 旷i2 啦铲，) + l ( 掣 i 飞3 ) 2 j ) ( 釉坤拈“) i + l ( ，) l + l ( 2 n t s t ，c u ) i s 而( 扣卅掣) 忙蚓1 2 i i t i i + 吲2 柏i it 1 1 2 + 扣i i c 。1 1 2 + 1 1 1 1 2 + 2 1 i n t i l l 。慨i = - i l 瓜( 扣川卅掣) 硎洲i i + 7 2 i i e 。t0 2 i i e “| | + l i e “1 1 2 + 2 m 2 c 2 i i n t l l 2 + 7 2 l i n 。t l l 2 + l 警l 霹1 1 1 1 2 + ；而 h n 1 1 2 + i i e t , 1 1 2 而由( 2 8 ) 式与黾作内积，可得 i l e 。t | | 2 1 ( e 沁乱) l + i ( 他t e ，旬) l + i ( 礼岛，旬) i + l ( ( o i e i p e ) t ，矗) l l i e 。1 | l i 魂i i + ；1 1 e i i c 。 1 | n t l | 2 + i i 乱1 1 2 + l i n i i c 。i i s t i i 2 + ( i 掣跏h 艮i i 洲i i 第2 章一维广义z a k h a r o v 方程的适定性 1 孵| | e “| | + 晚尬+ c l 扎| | + 7 | | n 。 m 2 + ( f 掣+ 霹尬 从而有 i 勃1 1 2 c 1 洲1 1 2 + c l l 旷+ c 1 。i i 酬2 + c l 。 将( 2 - 9 ) 式与作内积，得 而 ；： | | n “f | 2 + i i n 。t i l 2 = z 2 ”l e l ：。r 。“d z ； 1j | s l ：。1 1 2 + i i n 。1 1 2 e l ：。| | 曼2 i l e l l l 。l i e 。t | | + 4 lj e 。| | l o 。l l 矧e | | + 2 l l 旬| | l i i e 。 ( 2 1 1 ) 茎 2 e 2 i i e 。| j + 4 【c | | | | + 7 i i e 。j | e 。| | + 2 c | | 魂| | + 7 l l e 。t | | 。 又由( 2 - 8 ) 式知 z z | | i i 托| | 十| | n 亡e | | + i i 礼乱| | + l i ( a l e i p e ) f | | i i 拙| | + c 1 4( 2 1 2 ) 1 1 e = 1 1 冬i i e 。| | + | | n | | + 1 1 e 1 | | m 彳1 + 马幛+ l 。l 霹+ 1( 2 一1 3 ) 结合( 2 1 1 ) 式，有 于是有 罴( 1 1 2 + r 1 1 1 2 ) c 1 。恢l l2 刊训2 + c l 。 广州大学理学硕士学位论文 所以 爰 i t - t t 2 + i i n 剃1 | 2 + i i s 圳1 2 c ，川n 剖1 2 + i l 札耐i i 2 + i i s “i t 2 + c s 其中c 1 7 = m a x 2 c o + c 1 5 ，2 c l l + 1 ，2 c 1 2 ，c 1 8 = 2 c a a + c 1 6 因此 ( 1 l 礼“1 1 2 + i i n 。, 1 1 2 + | | s 托1 | 2 ) ( t ) 慨 推论2 2 ：若满足引理2 6 的条件，则有 n 。忾t ) n 2 证明利用已得的估计及礼“一n 。= h ：。可得 推论2 _ 3 ：若满足引理2 6 的条件，则有 l b 。忾t ) 茎e 3 推论2 4 ：若满足引理2 6 的条件，则有 l l 妒硝1 1 2 ( t ) s 圣4 ，l i 妒。i l2 ( t ) 垂5 ， 1 i 妒托1 1 2 ( t ) 中6 2 _ 2 - 3 三阶微商的估计 引理2 7 ：若满足引理2 6 的条件，则有 1 1 e 限丁) e 4 证明由( 2 1 2 ) 式及引理2 6 可直接推得 引理2 8 ：当o l 0 且p 4 时，若l l n 亡“i l2 ( o ) + i i n i | 2 ( o ) + 慨圳l2 ( o ) c o n s t ，则有 l i 礼谢1 1 2 ( t ) + l i 礼。壮1 1 2 ( t ) + l i e 饿i i2 ( 丁) m 4 证明由( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) 式对t 微分，可得 n 饿一n t = h ：删 ( 2 1 4 ) 一1 4 第2 章一维广义z a k h a r o v 方程的适定性 田【2 一1 ) j 氏与e t t t 仆职，耿共匣鄙h j 干寻 ；知。i i2 驯吼叫。) l + 3 1 ( 毗训i + 3 训f + l ( 掣i s j 一一4 s ；c e + 21 g t t t ) f + j ( 掣i s l p - 2 9 t l s z 2 1g t t t ) + 3 0 e p ( p + 2 ) 1 e i p - 2 c * c t c t t ，g t t t ) l + l ( 掣i s i 2 s = ；e n ，e t 乱) l + ( 竺! ! ( ! 掣i e l 9 6 s 4c s t ) 3 ，e t t t ) + l ( 掣j sj 9 2 s e t e 毳，e t “) + l ( 兰竺1 4 竺掣l e l 9 4 e 2 e ；i s c 2 e t t t ) l + i ( ! 芋l e l 9 2 e 2 e ：t ，e t “) l + 1 ( 半l e l 94 e 3 e ；e 毳，e t “) 1 ；局 t i l 2 圳唰1 2 + 扣忆。 l | 2 + i i 吼i i 2 + 狐忆。 1 l e r t 2 + i i 。1 1 2 十瓜i 掣悟2 i i 蚓良i i 。i i + 瓜( 1 望攀i + i 堂二掣i ) 矿忙圳诽i i m 1 1 + 磊 竺堕二型堕二1 2 8 霹_ 2 恢悒。忙。 + l 掣旧蚓b 川2 圳川2 + 吲驯川2 c 1 9 lj n 1 1 2 + c 2 0 i l e 僦| | 2 + c 2 1 广州大学理学硕士学位硷文 由( 2 1 4 ) 式与n t t t 作内枳，得 ；知划1 2 制吲1 2 = f 0 2 rl s i 毛t t n t t t d x _ 孙屯。| | 2 + | 1 1 2 而 | | i e 巨。| l 茎2 l i e i l l l e 。z 扰i f + 4 | | 矗l l 工l i z z t | | + 2 旧“l f l i 陋z 。1 | + 4 | | 岛i i l o 。1 1 e 。托 + 4 、厮i b l i i 。 2 易怯| | + 4 i c 孵十7 曰1 l 鹾1 r】1 + 2 。埘；+ ，l l s 。们m ；十e 2 析+ i 。i 霹+ 1 + 2i c 孵+ ，l l e 。“| | l l m 孑十e 2 研+ i o i 霹+ 1 l + 4 c e ；+ ，y i i x x l l ll i 。乱| | + 8 、际ce 3 c 2 e 3 + 7 2 e 4 + 4c e ；+ ，y i | i 。乱| | + 8 、2 7 r + 7 2 其中 慨“i i 墨c 怯删c 怯。孵 又由( 2 1 0 ) 式知 l i 。n | | 曼i i l i + i l n n | l + 2 i n t e t 1 + i i n e r t i + i | ( n i 1 9 ) “| | l e - t t t 1 + c 2 2 所以 e t l i c 2 3 慨t l l 2 + c 2 4 因而得到 引d 慨t l l2 + l l 唰1 2 c 。舳胛+ l i 叫1 2 + c z t 于是 瓦d 1 i n t 1 1 2 + l l 吲1 2 + 慨胴c 2 5 t n 怯t 1 1 2 + 1 1 蚓卅c 2 6 其中c 2 5 = m a x 2 c 1 9 + 1 ，1 ，2 c 2 0 + c 2 3 ) c 2 6 = 2 c 2 1 + c 2 4 所以引理结论成立 第2 章一维广义z a k h a r o v 方程的适定性 推论2 5 ：若引理2 6 和引理2 8 的条件成立，则有l k l | 茎e 5 引理2 9 ：若满足引理2 8 的条件，则有 | | n 。托1 1 2 + j | n 。戚1 1 2 + i i n 。| | 2 + l l e 册t lj 2 + l l e 。“1 1 2 + l e 。黜i 2 】( t ) s 如 2 3 局部光滑解的存在性 2 3 1g a l b r k i n 方法构造近似解 取特定的以2 7 r 为周期的专门的基函数 ”。( z ) ) h 2 ，它们在l 2 中处处 稠密且满足： 一a w j = w j ，j = 1 ，一，m 这样的基函数是存在的令 s 。= ( t ) ”tn 。= ( t ) 毗 i = 1 = h i 。( t ) ”。 寻求问题a 的近似解n 。，妒。，e 。有如上形式，其中9 。，h 。， 。满足下述常 微分方程组 ( 鲁，屿) 一( 等，屿) = 。 ，a 、 i 百 佗一1 6 ) ( 2 1 7 ) ( z 鲁，屿) + ( 貉，) 一( 7 t m e r r t , 屿川蚓，屿，邓邶， 及初始条件 ( n 。( o ) ，w j ) = ( 7 2 0 。( z ) ，w j ) ( 垆。( o ) ：w j ) = ( 妒o 。( z ) ，w j ) ( 。( o ) ，w j ) = ( e o 。( z ) ，w j ) 一1 7 一 ( 2 1 9 ) ( 2 - 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) 广州大学理学硕士学位论文 我们如下选取n o m ( z ) ，( p o m ( z ) 和e o 。( z ) ，当m o 。时有 ( n o 。( z ) ，w j ) ，( n o ( x ) ，w j ) ，( 妒o 。( z ) ，2 ) + ( 妒o ( z ) ，w j ) 关于非线性常微分方程组的一般结果保证了问题( 2 - 1 6 ) 一( 2 2 1 ) 的解在区间 0 ，t 。 存在，现在对( 2 1 6 ) ( 2 - 2 1 ) 式的解进行估计，并由此建立局部解 2 3 2 迎1 以群即元驻佰计利j 义群耵仔任旺 引理2 1 0 ：若。( o ) l 2 ，则有l | 。( t ) 1 1 2 = i i c 。( o ) 1 1 2 = e 6 证明将( 2 1 8 ) 式乘以如。( ) 的共轭函数，并对j 求和，得 i ( 鲁，e 。) + ( 务，e 。) 一( n m s m , e m 川一i i p c m ，e m 取上式虚部有j l 面dl l e 。1 1 2 = 0 ，引理由此得证 引理2 1 1 ：若e 。( o ) 日1 ，妒。( o ) 日1 ，礼。( o ) l 2 ，则有 刎鲁卜k h ；( 等) 2 印1 毛一墨r 2 卜m 其中 m = z 2 ” | 掣卜互1 ( 掣) 2 卜 川印1 驷) - 墨似胪+ 2 卜 证明将( 2 1 8 ) 式乘以孥的共轭函数并对j 求和，取其实部得 r e ( t 鲁+ 丽a 2 e m 针啡。i ，鲁) = 。 1 8 ，；耋量= 丝墨三些j ：= ：互堡塑鎏塞生 而 r e ( 。0 _ g n 、 6 l a 5 m 、。 百j = ”r e ( e g q 万e m j = 一互1 别d 瓦o e m1 1 2 r e ( i 卜。，百o e m ) = 甭a 五dz h i 甜i 魄 r e ( 鲁) =；，打。雠出oj 0 ；象序删2 蚺茅鲁卅如口z z ， 而将( 2 1 7 ) 式乘以百g q g i m 的共轭函数并求和得到 ( i e m l 2 ，鲁) = ( 鲁，面o h m ) 一( 鲁) 将( 2 1 6 ) 式乘以警的共轭函数并求和得到 ( 鲁，鲁) = ( 鲁，警)i 百百2i 百，百j f 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 结合( 2 - 2 2 ) 一( 2 2 4 ) 式知 r e ( 一礼。，百o e r n ) , 1 l 面d 0 2 “ u r n 卅出一；爰门警) 2 扣砸ld 办茏如 所以 ：d l o 打【例l o c a l2 一雕2 7 似ka y 吖) 印1 象一墨k r 2 卜。 1 9 广州大学理学硕上学位论文 从而 刎鲁卜k h ；( 警) 2 印1 毛一熹计2 卜m 引理2 1 2 ：当0 p 4 时，若。( o ) 日1 ，妒。( o ) 日1 ，n r n ( o ) l 2 ，则有 刊胁 c o n 瓯卜咄胁 c o n 文l | 警忙c 。n s t 证明由引理2 1 1 知 制m 旷剑卅s 协删卜掣序如 剑卅扣旷+ 掰甜出+ 觜5 g m 咖肌圳铡+ 驯制+ ( 掣) 南丁4 - - p p 6 剑卅扣旷+ 1 o x | | 2 + ( 等) 2 + ( 箬) 焉t 4 - - p p 6 剐叫h 2 ) + g 2 旷如n s t 从而 1 | e 。l i 备，c o n s t ，i i n 。1 1 2 茎c o n s t 将( 2 1 7 ) 式乘以h 。的共轭函数并求和可得 ；爰i l 妒。i i2 ( n m q - i e 。1 2 ，妒，。) i s ：i i l o m l l 2 + i n 。i i2 + ；l i 妒。胪+ 0 2 ”i e 。1 2 出 s ； 1 妒m l lz + c 于是得到 | | 妒。j | 2 c o n s t 由引理2 1 1 还可知 隆卜z m + 。f 0 2 n m 卅如卜掣o 斯槲舶出 +。2+021mi i i ni i h州dzo+ 等q - 2 + 。2 + 训4 + 等l | 等旷 j | | u 以| i 剑卅忙肌c + 列10 圳c m2 + ( 辈) 南丁4 - p p 南 所以 l i 妒。l i 备。c o n s t 将( 2 1 7 ) 式乘以警的共轭函数并求和可得 l l 警 l2 = z 孙c n 州鲁如划警十g 所以 降o n s t 推论2 6 ：若满足引n 2 1 2 的条件，则当0 p 4 时，有 。l i 一c o n s t ，l l 妒。| | l o c c o n s t i j i n2 1 3 ：当o p 4 时，若 i i 鲁1 1 2 + l l 鲁l 2 + i l 誓| l 2 ( o ) c o n s t , 则存 2 l 广州大学理学硕士学位论文 在常数，使当0 t o 时，有 鲁n i l 鲁卜i | 等忙c 。n s t 证明将( 2 1 8 ) 式关于t 微分，有 0 2 e 。0 3 o n 。 i 。i 面r 十o x 2 0 t 一j f 5 ” 上式乘以曼挚的共轭函数，并对j 求和，得 争+ 急一鲁e 。 取其虚部有 屿1 ：o ( 2 - 2 5 ) 鲁礼。小i 础i 引。，酉o c m ) = 。( 2 - 2 6 ) 圳鲁1 1 2 钏刮圳鲁鲁孙叫圳鲁1 1 2 g 悯1 2 + i l 钏 由( 2 一1 6 ) 式对t 微分，注意到( 2 1 7 ) 式，得到 r 2 2 7 ) ( 簪，w j ) 一( ( n 。仆。1 2 ) 训呐) = 。 ( 2 _ z s ) 将上式乘以警的共轭函数，并对j 求和，得 ；圳鲁+ ；到鲁卜2i 叫鲁) = 。 注意到i s 。巳= e 。( 号争) + + 2 l 智1 2 + 号争e 赢，就得到 ( 2 2 9 ) ( 圳。，鲁) l z 忙圳c 。1 ( 警，鲁) 卜i 0 2 _ 坠o z1 4 蚺5 | 鲁1 1 2 曼g 恪脚刊2 冬g 憋1 1o z 。1 1 2 + 1 1 1 o h m 2 + m 0 2 e 刈r ai ； s g 鲁| 1 2 + l 脚+ ，1 口s 。， 而由( 2 1 8 ) 式，并注意到不等式l 曲lsn 2 + 譬，可得 1 1 鲁舴l ( 鲁，鲁) h ( 晰。，象) h ( 。槲，祭) 1 。悃c 。2 洲5 m + 矧1 2 + i i 刊1 2 + f | 啡舶旷 到象俐2 + g 漩 2 g 恻1 2 + 1 结合( 2 2 9 ) 一( 2 31 ) 式知 互1 五d 川百o n t o l l 2 + l l 杀1 = 也警) i g 怜俐2 + ，l 陪。2 ， 综合( 2 2 7 ) ，( 2 3 2 ) 式知 面d il l 瓦o c m l l 2 + l l 警nl l 鲁 e 鲁n0 鲁n0 警n - 广州大学理学硕士学位硷文 故存在乃，使当0 t t o 时，有 鲁卜0 鲁卜i i 鲁伴c o n s t 推论2 7 ：若满足引理2 1 3 的条件，则存在常数t o ，当0 t t o 时，有 繁忙o n s t ，l | 象洚o n s t 定义2 2 ：函数妒( z ，t ) ，e ( z ，t ) l 。( o ，t o ；日2 ) ，n ( z ，t ) l ”( o ，t o ；日1 ) ， 帆，r t t ，毗l o 。( 0 ，t o ；l 2 ) ，若对v u l 2 ，t3 - 0 满足积分恒等式 和 ( n ，u ) 一( 。，u ) 一0 ( 妒， ) 一( n + l e l 2 ，u ) = 0 f 2 3 3 ) ( 妒( z ，o ) ，u ) = ( 妒o ( z ) ，u )( 2 - 3 4 ) ( e ( z ，o ) ，u ) = ( e o ( z ) ，u ) 则称n ，妒，e 为( 2 1 6 ) 一( 2 2 1 ) 式的局部广义解这里的n ( z ，t ) ，c p ( z ，t ) ，( 。，t ) 均 为空间的以2 ”为周期的函数 引理2 1 4 ：设x 是可分的b + 空间，那么x + 上的任意有界列 厶 必有弱+ 收 敛的子列 引理2 1 5 ：设d 为磷r t 的有界区域，g “和9 为l 。( d ) ( 1 q o ( 3 ) 中函数 且 1 1 9 p i b ( d ) c ， g u 一9 在d 中几乎处处收敛， 则乳一g 在l q 中弱收敛 2 4 定理2 1 ：若引理2 1 0 至引理21 3 的条件均满足，则问题a 的局部广义解存在 证明 根据引理2 1 0 至引理2 1 3 ，利用引理2 1 4 及h 1 ( q ) 紧嵌入2 ( n ) 从序列m ，n m ，妒。中，能选取这样的子序列，吼，当肛一。时，使 知一e 在l 。( o ，t ；h 2 ) 内弱 收敛， 等一在三o 。( o ，t ；l 2 ) 内弱t 收敛， 一n 在l o 。( o ，t ；日1 ) 内弱* 收敛， 鬻一毗在l ”( o ，t ；l 2 ) 内弱+ 收敛， 蛳一妒在l 。( o ，丁；h 2 ) 内弱 收敛， 警一忱在l o 。( o ，t ；l 2 ) 内弱 收敛， 一e 在l 2 ( 0 ) 内强收敛和在q 上几乎处处收敛， 一n 在l 2 ( q ) 内强收敛和在q 上几乎处处收敛， j i ，一曲在l 带( q ) 内弱收敛q ：( o ，t ) o ，2 。1 根据引理21 5 ，有币= i c i 从而可以在( 2 1 6 ) 一( 2 1 8 ) 式中令m = 卢，先固定j 且p j ，再令“一。，得到 ( 吼，w j ) 一( 妒。，w j ) = 0 ( 妒，) 一( n + i e l 2 ，w j ) = 0 由 w i ) 0 = 1 ：2 ，) 的稠密性推得( 2 3 3 ) 式同理，根据( 2 1 9 ) 一( 2 2 1 ) 式可推 得( 2 3 4 ) 式， 2 3 3 古典局部解的存在性 引理2 1 6 ：当。 p 4 时，若号铲 2 十炉。挑j j 2 + l i q o k t z 胪 ( o ) sc 。n s t ，则 存在蜀，当0 t t o 时，有 l l 警| 1 2 + | 1 1 1 2 + i l