（应用数学专业论文）带有双可动边界条件的一维分数阶微分方程的某些结果及其应用.pdf

山东大学硕士学位论文 带有双可动边界条件的一维分数阶微分方程的某些结果及其应用 尹晨 ( 山东大学数学学院，山东，济南2 5 m o o ) 中文摘要 本文由彼此相关而又独立的三章组成。 第一章为预备知识，简要的介绍了本文所需要的数学工具，即分 数阶微积分的基本概念、性质及常用的特殊函数。在第一节中，简要 介绍了分数阶微积分的发展历史及其最近的应用给出了r i e m a n n - l i o u v i u e 型分数阶微积分算子。钟，o 町p 和c a p u t o 型分数阶微积分 算子o c 上，。，o c d t 卢的定义，并且给出分数阶微积分理论中常常用到的 性质和公式在第二节中，简要介绍了在解微分方程中需要用到积 分变换的知识在第三节中，简要介绍了在分数阶微分方程中占有 重要地位的特殊函数，特别是给出了广义m i t t a g - l e f f t e r 函数玩口( z ) ， w r i g h t 函数以及h - f o x 函数硪“( 名) 的定义及其某些重要公式 第二章应用分数阶微分积分理论在一维空间的数学模型，描述 了一个可扩散药物从可溶解基质中释放的过程假定药物承载在药 物基质中，此基质可以被溶剂溶解，这样，当溶剂进入药物，基质 就会被溶解这种现象将在药物控释问题中出现两个可动边界：腐 蚀性边界和扩散边界，这就是我们称之为双可动边界问题由于可 动边界的出现将在扩散方程中出现非线性项，增加了我们解决此类 问题的难度，只有少数几种特殊情况有精确解 在第二章第一节中简要介绍药物控释中可动边界问题的历史与 现状。在第二节中说明有了分数阶微积分理论的加入可以更好地描 述超长扩散模型，本文对f i c k 扩散定律进行推广，在完全汇条件下 ( p e r f e c ts i n kc o n d i t i o n ) 建立了一类用分数阶可动边界问题微分方程描 i i i 东大学硕士学位论文 述的数学模型第三节，分析了药物从可缓慢溶解的基质中释放的 双可动边界问题，并且使用双参数摄动法对此非线性问题进行了求 解，得出了带有腐蚀性边界被缓慢溶解的双可动边界由w r i g l t t 函数 表示的无量纲近似解： 其中 o ( u ，i 7 ，) = o o ( v ，t ) + 口1 ( 可，) 7 7 + 0 2 ( v ，t ) e + 似，= 凰卜7 ( 一南；一洲， 吣) = 譬1 y ( 番；一詈卜n ) + 字r 即吒豢；一罢卜詈) 以) = t l r h o 矿。w ( 嚣；专2 一q ) + 孚r 卵吒争罢争罢) 在第四节中对于该近似解做出了一定的分析说明。 第三章是本文的总结部分，说明了分数阶微积分在可动边界问 题中的指导作用以及本文的意义 关键词：分数阶微积分；可动边界；特殊函数；摄动法；近似解 山东大学硕士学位论文 s o m er e s u l ，r so f f r a c t l 0 n a ld i f f e r e n t i a le q u a t l 0 n s w i t ht w om o v i n gb o u n d a r i e si n o n ed i m e n s i o na n di t sa p p l i c a t i o n s y i nc h e n ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，s h a n d o n g2 5 0 1 0 0 ，p r c h i n a ) a b s t r a c t t h i sp o j p e ri sc o m p o s e do f t h r e ec h a p t e r s ，w h i c ha r ei n d e p e n d e n ta n dc o r r e l a t i v e t oe a c ho t h e r i nc h a p t e r1 ，s o m ee l e m e n t a r yk n o w l e d g e ，h i s t o d a n da p p l i c a t i o n so ff r a c t i o n a l c a l c u l u sa r ei n t r o d u c e d i ns e c t i o n1 ，t h ed e v e l o p m e n th i s t o r ya n dr e c e n ta p p l i c 扣 t i o n so f f r a c t i o n a lc a l c u l u sa r ei n t r o d u c e dc o u c i s e l y t h ed e f i n i t i o n sa n dm a i np r o p - e r t i e so ft h er j e m a n n - l i o u v i l l ef r a c t i o n a lo p e r a t o ro d p ，o d f p a n dc a p u t of r a c t i o n a l o p e r a t o r 孑田，0 c d 7 pa r ea l s od i s c u s s e d i ns e c t i o n2 t h ei n t e g r a lt r a n s f o r m sa r e i n t r o d u c e d i ns e c t i o n3 ，t h es p e c i a lf u n c t i o n s ，w h i c hp l a yi m p o r t a n tr o l ei nf r a c - t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a r ei n t r o d u c e d t h ed e f i n i t i o n sa n ds o m ei m p o r t a n t f o r m u l a eo ft h eg e n e r a l i z e dm i t t a g l e m e rf u n c t i o nb a z ) ，w r i g h tf u n c t i o na n dh - f o xf u n c t i o n 硪“( z ) a r eg i v e n s p e c i a lf u n c t i o n sa r et h ep o w e r f u lt o o l sf o rs o l v i n g o ft h ef r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e r2 ，w es e tu pao n ed i m e n s i o nm a t h e m a t i c a lm o d e lo fd r u gr e l e a s e d f r o mp o l y m e r i cm a t r i xt h a tc a nb ed i s s o l v e di nt h es o l v e n tu s i n gt h et o o l o f f r a c t i o n a l c a l c l l l u s a s s u m i n gt h a tt h em a t r i xs o l v e n tc a l lb ed i s s o l v e d ，i tw i l ld i s s o l v ew h e n t h ed r u ga r ed i s s o l v e di nt h es o l v e n t t h e nt h e r ew i l lb et w om o v i n gb o u n d a r i e s ： t h ed i s s o l v i n gb o u n d a r ya n dd i f f u s i n gb o u n d a r 矿i ti sc a l l e dt w om o v i n gb o u n d a r i e s p r o b l e m s t h ea p p e a r a n c eo ft h en o n l i n e a rt e r m sc a u s e db ym o v i n gb o u n d a r i e s m a k e st h ep r o b l e md i f f i c u l tt os o l v e ，a n dt h e r ea r ev e r yf e we x a c ts o l u t i o n st o m o v i n gb o u n d a r yp r o b l e m i i i 山东大学硕士学位论文 i n s c c t i o n1 ，t h eh i s t o r ya n dr e c e n tr e s e a r c ho fm o v i n gb o u n d a d , p r o b l e ma r e i n t r o d u c e dc o n c i s e l y i ns e c t i o n2 ，w ep o i n to u tt h a tt h em o d e ld c 焉c l 。i b i n gt h ed r u g r e l e a s ef r o map o l y m e r i cm a t r i xw i l lb cm o r ea c c u r a t eb yu s i n gt h cf r a c t i o n a ld e l 。i v a - t i v eo p e l a t o r s a n dw eg e n e r a l i z ct h ef i c k sl a wa n ds e tl l pam a t h e m a t i c a ln m d e l o fd r u gr e l e a s ef r o mad i s s o l v a b l em a t r i xu s i n gf r a c t i o n a lo p c r a t o rw i t ht h ea s r u m p - t i o no fp e r f e c ts i n kc o n d i t i o n i ns e c t i o n3 ，t h es p e c i a lt w ob o u n d a r i e sp r o b l c mi s p r e s e n t t h ef o u r i e rt r a u s f o r ma n dl a p l a c et r a n s f o r ma n dt w o - p a r a m c w t 。p e r t u r - b a t i o nm e t h o da r cu s e dt os o l v et h en o n l i n e a rp r o b l e mw h e nt h em a t r i xi sd i s s o l v e d s l o w l y t h e nw eg e tt h en o n d i m e n s i o na p p r o x i m a t es o l u t i o nt h a t i se x p r e s s e db y w r i g h tf u n c t i o n ： w h e r e o ( v ，t ；7 7 ，e ) = e o ( y ，t ) + 口l ( y ，t ) n + 0 2 ( v ，t ) e + 蹦州，= 凰i - w ( 一南；一詈1 ) ： 州引) = 丁, r h o f 。弋( 丽- y ；一罢p 口) + 7 r h 2o t l _ a 1 2 b , ( ”- - 声y 一詈p 詈) ， 以州) = 丁l r h o c 1 - 口, r , 弋, 面- y ；一詈，2 一q ) + * r h 2 o t l _ a 1 2 w ( 妒- 声y 一詈2 - 詈) i ns e c t i o n4 ，w ea n a l y z et h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n c h a p t e r3i sas u m m a r yo ft h i sp a p e r w eo b t a i nt h ec o n c l u s i o nt h a tt h e f r a c t i o n a lc a l c u l u sc a nb eu s e di nt h em o v i n g b o u n d a r yp r o b l e ma n dg e tg o o de f f e c t s k e y w o r d s ：f r a c t i o n a lc a l c u l u s ；m o v i n gb o u n d a r yp r o b l e m ；p e r t u r b a t i o nm e t h o d ； s p e c i a lf u n c t i o n ；a p p r o x i m a t es o l u t i o n i v 山东大学硕士学位论文 o d p o d i 8 乎聊 c d - - # 0 一f f ( z ) 既( z ) e a ，口( z ) w ( z ；o l ，p ) m ( z ；口) 硫“z ) 歹 ，( z ) ；k ) c ，( ) ；p ) 朋 ，( r ) ；s ) e r f ( z ) e r f c ( z ) 贸( z ) 符号说明付丐说明 q 阶r i e m a n l l l i o u v i l l e 分 p 阶r i e m a n n l i o u v i l l e 分 口 p c a p u t o c a p u t o m i 广义m i 数阶微分算子 数阶积分算子 数阶微分算子 数阶积分算子 g a m m a 函数 t t a g - l e f f i e r 函数 t t a g l e f f t e r 函数 w r i g h t 函数 m a i n a r d i 函数 h f o x 函数 f o u r i e r 变换 l a p l a c e 变换 m e l l i n 变换 误差函数 余误差函数 z 的实部 v 分分阶阶 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：孕是 e l 期：一哦4 知 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 诊文作者签名：一- y l 导师签名：举日期：型迎 第一章基本知识 1 1 分数阶微积分( f r a c t i o n a lc a l c u l u s ，f c ) 的简介 分数阶微积分( f r a c t i o n a lc a l c u l u s ，f c ) 理论是研究任意阶微分积分 算子理论和应用的学科。分数阶微积分理论的研究历史几乎和整数 阶微积分理论的发展史一样久远。早在1 6 9 5 年，l h o s p i t a l 曾经写信 给l e i b n i t z 讨论过关于二个函数的分数阶导数的问题，但是直到1 2 4 年之后，即1 8 1 9 年，才由l a c r o i x 首次给出一个简单的函数分数阶导 数的结果【l 】： d l 2 z2 一 一d x l 22 而、z ( 1 1 1 ) 、厅” 卜叫 之后经过了数百年的发展历史，先后曾有l e u l e r ，p s l a p l a c e ，j b j f o u r i e r ， n h a b e l ，j l i o u v i l l e ，b r i e m a n n ，a k g r i i n w a l d ，a v l e t n i k o v ，h w e y l jp l d v y ， m r i e s z 等数学家对于f c 理论进行了更加深入的研究i 推动了这门 学科的发展 由于缺乏实际的应用背景，分数阶微积分理论初期的发展十分 缓慢。直到1 9 8 2 年，b b m a n d e l b r o t 第一次指出在自然界和其他一些 科技领域存在大量的分数维数以及整体和部分之间的自相似的例子 【2 】从那以后，分数阶微积分作为分形几何和分数维数的一个基本 概念得到了快速的发展，并被应用到了许多领域，比如松弛阵，振 荡，随机扩散理论和波的传播，生物材料，高分子链的形变，混沌 和湍流，分子谱阵，随机游走，控制和机器人，粘弹性动力学，量子 力学等( 3 j 3 7 j 【8 】1 2 】f 3 1 j 【3 2 j 反过来，这些应用的研究又加速了分数 阶微积分理论的发展当今，分数阶微积分理论以及混沌和耗散结 构理论被认为是当前非线性科学的理论基础。这可以从分形理论创 始人耶鲁大学教授m a n d e l b r o t 发表在“2 1 世纪的挑战”一“基础科 学：数学与理论物理”一书中，在“数学和物理中的分形课题”的论 述中看出。 l 【i 东大学硕士学f 诳论文 关于分数阶微积分贷：子( f o ) 有多种定义3 ，包括g l 微积分算 子，r - l 微积分算子和c a l m t o 微积分算子等 以下我们将主要介绍r - l 微积分算子和c a p u t o 微积分算子首 先引入r i c m m a n - l i o u v i l l e 微积分卿：子的定义， 。刚：= 竺d t , 。志z 。揣d 丁 辑= 高序叫纠m 胪 ( n 一1 0 t ) ，( 1 1 2 ) 然后再引入由c a p u t o 在2 0 世纪6 0 年代后期提出的c a p u t o 微积分算 子的定义， o c d 尹f ( = 而1j ( 器由( n - l a n ) | ( 1 1 4 ) 衙8 作) ：= 丽1 小叫m m ) d 下 ( 。 0 性质4 ： o d o d t # f ( t ) = o d ? 一卢，( t ) ，q o ，卢 0 特别地，我们有 o q o t o - - 。，( = | f ( t ) ，口 0 2 ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) ( 1 1 1 0 ) ii j 东大学硕士学位论文 公式1 ： 。f p c p = 揣z + ，p 。，p 一， o d p t p 。f l i 淌。“一口，。 o ，l 一1 ( 1 1 1 2 ) 需要指出的是，传统的微分算子是一种局部算子，而分数阶微 分算子是一种非局部的整体算子这是由于分形物体不是光滑可微 的，它要求的只是处处连续，可以是处处不可微的。例如，在传统的 整数阶系数系统中定义的速度和加速度在一维标量下的形式为u = 面d x = l i 。r a 一。玺，。= 卺= l i 。r a 。a 。“，而在分数阶的系数系统中，则有 筘，( t ) = 恩警是一种超长时间极限【4 】( u l t r a l 。n g t i m el i m i t ) 如果 从粗颗粒化进程c o a r s eg r a i n i n gp r o c e d u r e ) 的观点来看，二者是可以统 一的。 公式2 ： c o d t a i ( t ) ；p = p - o f ( p ) ，n l _ ；8 7 1 , 其中， f ( p ) = c ，( ) ；p = e - 弘f ( t ) d t ， ，十o c j 0 公式3 ：对于r - l 微分算子来说 ( 1 1 1 3 ) ( 1 1 1 4 ) c o d 尹，( t ) ；p ) = p 口f p ) 一p 【o d 尹- k - 1 ，( t ) 1 t ：o ，礼一1 口 n ( 1 1 1 5 ) k = o 特别地，当0 o t 1 时，上式可以简化为 c o d p ，( t ) ；p ) = p a f 臼) 一【o d t o t a t ) l , ：0 ， ( 1 1 1 6 ) 对于c a p u t o 微分算子来说 t - - 1 c ( 手d ，( ) ；p ) = p a f 0 ) 一p 口一一1 ，( o ) ，n 一1 c o ， ( 1 2 7 ) 1，c 十z 我们称f ( p ) 是巾) 的l a p l a c e 变换，( t ) 是f 扫) 的逆l a p l a c e 变换 这个积分收敛的条件是，( t ) 随t 的增长的速度不能超过指数项e - p t 随时间t 减少的速度，当这个积分收敛时，我们就说，( t ) 的l a p l a c e 变 换存在 下面我们介绍 4 i 上j 东大学硕士学位论文 关于o t 阶r - l 微分算子的l a p l a c e 变换的公式： n 一1 d f m ) ；p ) = p 。f c p ) 一p 【o 田- k - 1 巾) 汹，n 一1 q n k = o 关于a 阶c a p u t o 微分卿：子的l a p l a c e 变换的公式： z o c d y ( t ) ；p = 矿f o ) 一矿一严( o ) ，n 一1 qs 竹 ( 1 2 9 ) k = 0 l a p l a c e 卷积定义如下： r t 广t r ( t ) 章9 ( ) = f ( r ) g ( t r ) d r = ，0 一r ) g ( r ) d r ， ( 1 2 1 0 ) 0 0j 0 对于l a p l a c e 卷积的l a p l a c e 变换在求解分数阶微分方程中有重要 地位( 我们假设以下各函数的l a p l a c e 变换皆存在) c ，( ) 幸9 ( ) ；p ) = f p ) g p ) ，( 1 2 1 1 ) m e l l i n 变换： f ( s ) = m ，( r ) ；s ) = f ( r ) r 5 d r ，y 1 r e ( s ) 能，( 1 2 1 2 ) f ( r ) = 朋。1 f ( s ) ；r ) - 2 豪上哦f ( s ) 7 _ 1 d s 7 l 7 仇，( 1 2 1 3 ) 1， 十；o o 我们称f ( s ) 是，( r ) 的m e u i n 变换，f f f ) 是f ( s ) 逆m e l l i n 变换。 m e l l m 卷积定义如下： i ( t ) + 9 ( ) = f ( t r ) g ( r ) d r ， ， ，0 对于m e l l j n 卷积的m e l l i n 变换在求解分数阶微分方程中有重要地 位( 我们假设以下备函数的m e l l i n 变换皆存在) 朋 ，( t ) 年9 ( t ) ；5 ) = f ( s ) g ( 1 5 ) ， ( 1 2 1 5 ) 1 3 关于特殊函数的简介 特殊函数在分数阶微积分理论中占有特殊地位，本节将介绍分 数阶微积分理论中常常用到的一些特殊函数。 5 山东火学硕士学f 讧论文 我们首先来介绍一下m i t 1 a g l e f t l e r ( m l ) 函数，在文献 1 5 1 1 1 0 1 1 1 7 1 中 也有详细介绍。 我们知道指数函数e ：在整数阶微分方程中占有重要的地位，其 单参数推广即是m i t t a g l e f t l e r 函数，有如下定义： 耻卜n 妻= - 0 孟= 去厶。涔心，一，3 m 其中积分路径h a ( h a n k c l 路径) 是一个自一( 3 0 为起点绕| ( i i z l - 。一周 ( 一丌 2 ( 1 3 9 ) 然后我们介绍一下另一类在分数阶微分方程中占有重要地位的 函数w r i g h t 函数，其级数展开式定义如下： w ( 础棚= 南 (1310)k= o 、 。 积分表达式定义则为： w ( 鹕聊2 丽i 厶。7 - 邓，帕r ”打 ( 1 3 i i ) 同时我们引入与w r i g h t 函数密切相关的m a i n a e d i 函数m ( z ；a ) 酢= w ( - z ；- a , i - e ) = 薹丽嘴 ( 1 3 舶) 7 山东大学硕士学位论文 另外广义m i t t a g - l c f l t c r 函数和w r i g h t 函数之问通过l a p l a c e 变换可以有 如下联系 删既p ，= c 薹蒜南；p ) 一虽 11 一厶f ( e , k k = o + p ) 3 1， = 8 - 1 玩a ( s 一1 ) ( 1 3 1 8 ) 在文献【1 8 1 9 2 0 2 1 1 1 2 2 1 中有w r i g h t 函数的一些详尽介绍 最后我们再来介绍一类在分数阶微分方程中常常需要用到的特 殊函数h f o x 函数【2 3 】 h f o x 函数又称为f o x 函数、广义m e l l i n - b a r n e s 函数、广义m e i j e r s g 函数。其广泛应用在物理学、统计学和工程学的分数阶的线性微 分方程的解的问题中几乎所有的在应用数学和统计学上的函数都 是h f o x 函数的特例，甚至诸如广义m i t t a g l e f l l e r 函数、广义m e i j e r s g 函数、广义超几何函数等复杂函数也可以用其米表示，在文献【2 3 】 【2 4 1 1 2 5 1 1 2 6 1 1 2 7 1 1 2 8 1 中有详细说明 下面我们给出一个广义m i t t a g - l e f f i e r 函数和h - f o x 函数的关系： e o a c - z ) = h i 制( 0 ，。) * ( 1 3 “) 和一个w r i g h t 函数和h - f o x 函数的关系【2 2 】 w ( ：；印) = 高k= o 、7 州0 , 2h ( 0 1 ) i 二跏) i 。 ( 1 3 1 5 ) li 【u l j ，l l 一，q jj 8 h - f o x 函数可以用如下的m e l l i n b a r n e s 型积分来定义： 聃，= 鼢“般引 = 哝“瓮啬裟，僻剖 ：= 熹z 脚圳， i 【i 东大学硕士学位论文 其中积分密度 x ( s ) = a ( 8 ) = a ( s ) b ( s ) c ( 5 ) d ( s ) m i i r c b 一岛s ) ， j = l q c ( o = r ( 1 一b + 岛s ) ，d ( s ) = j = m + l r ( 唧一q s ) ， 这里m ，n ，p 和q 皆为满足条件0 nsp ，1 m q 的非负整数并且当 礼= 0 时，b ( s ) = 1 ；当q = 7 n 时，c o ) = 1 ；当p = 礼时，d ( 5 ) = 1 参数 q 0 = 1 ，2 ，p ) ，b ( j = 1 ，2 ，g ) 是复数，c , j ( j = 1 ，2 ， 是正数并且这些参数还满足如下条件 其中 p ( a ) p ( b ) f 2 t 5 2 f = s2 【 p ( a ) n p ( b ) = d ， b + k 0 ，p ) ，岛d = 1 ，2 ，口) j = 1 ，2 ，m ；k = 0 ，1 ， 叼一1 一惫 q j j = l 加川后= 。 ) 分别是a ( 5 ) 和b o ) 的极点集合而积分路径l 是 s=c4 - i o o 端。 由s = c i o o 到 的路径，p ( a ) 要分布在l 的右端，p ( b ) 要分布在l 的左 h f o x 函数拥有以下重要性质【2 3 】： 性质1 ： 性质2 ： ( a j ，q j ) l ，p 一 ( b ，岛) 1 口- 1 ( a l ，口1 ) ( 叼，q ，) 1 矿l ( b l ，角) ( 6 l ，历) ( ，岛) 2 口 觋” ： m p z z ( a j ，) 2 ，p ( 幻，岛) 1 俨1 ( a j ，) 1 ，p 一1 ( b ，岛) 2 ，q ， ， ( 1 3 1 7 ) ( 1 3 1 8 ) ( 1 3 1 9 ) 9 口+ 町 一lr 。n 斛 | l 0 b ，一 1 一 n 一 一丹 k 冉 擘 路 = = 1j 1j 眩 i i 旧 - 1j 、，、， 岛叼b 勺 一 一 q q = 1j 、，、，q 岛旧渤 山东大学硕士学位论文 衙外甥剖， 3 m ， 这里南 0 一般来说，h - f o x 函数是多值的；但在l o g z 的r i e m a n n 面 上则是单值的且有下式给出： - ；, q ( 扣一、叫揣：。) ( 1 3 2 2 ) 8 e p ( a 】 、7、7 对于h - f o x 函数的l a p l a c e 变换有以下公式【2 5 】： 宙( p ) = c ( 日( ) ；p ) = l p l n + l m p l ( 1 ( 1 ) ( i - 1b ，j , ，j 蚓) ( o 卸 1 ) ， ( 1 3 似) h ( t ) = c - 1 疗( p ) ，) = 璐乩- ! ：端雌心，n 3 筋， 日( ) = c - 1 膏( p ) ，t ) = 詈醌”q 鼢q 幢u ( 1 3 邯) 关于h - f o x 函数的分数阶微分有以下表达式 2 5 】： 似b “( ，p 懒；) 一，g p m 扎n + 州l 卜卢1 。乏茏嚣2 盎 3 ， 这样在分数阶微积分理论中常常用到的几类特殊函数我们都已 讲行了介绍 1 0 均 及& 0 唧岛岛 盯 仃 + + 一 一 | | 岛、) p 口，m 一 - 嗡 妒 c ；5 质性 第二章分数阶可动边界问题模型的建立和求解 2 1 整数阶可动边界问题的历史研究和现状 我们可以将药物或其他具有生物活性的的物质以溶解或弥散的 方式与聚合物基质相结合，来控制它们的释放在研究这类问题的 释放特性时需要用简单的数学模型来刻画药物或生物活性物质的释 放动力学特性。 大多数分布于聚合物基质中的药物或生物活性物质的释放，可 以用两类f i c k 扩散定律的形式表示 j 一d o c ， o z 等= 。堂a x 2一= j 一挑 一 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 上述是f i c k 第一和第二扩散定律的一维直角坐标系下的表达式其 中c 和j 是溶质的浓度和质量流量，x 、t 分别是坐标和时间，d 为 溶质的扩散系数。 1 9 6 1 年h i g u c h i 最早把f i c k 扩散定律应用于药物释放系统的研究 中，提出了一个悬浮药物从软膏机制中释放的概念性模型，并且给 出一个简单实用的释放量q 和时间t 之间关系的表达式【3 3 1 ： 其中q 为药物扩散量，也称药物的溶出量；s 为溶出面的面积； a ，g 分别是基质中药物的初始浓度和溶解度( 即饱和浓度) ，且有 a g 。公式( 2 1 3 ) 在临床上，特别是药物缓慢释放系统的设计中， 得到了广泛的应用。由于在推导该公式时，h i g u c h i 做了稳态处理， 所以此后许多学者试图改进这一工作h i g u c h i 自己在1 9 6 3 年 3 4 1 也 改进了他的模型k o n z u m i 等人i 3 5 j 利用更加合理的边界条件得出了 q 的更加精确的表达式p a u l 和m c s p a d l e n 3 7 1 在半无限系统中求解 该类问题，指出当a a 时，h i g u c h i 的上述结果和精确解有1 1 3 的误差。以上工作都是对于一维片状系统的研究。1 9 9 5 年k o i z l t m i 3 6 1 l f j 东大学硕二 ：学位论文 等人解决了有关三维球形装咒的问题。1 9 9 6 年安玲玲和徐明瑜等人 【3 8 】解决了柱形基质中悬浮药物的释放问题，得到了药物随时间变化 的关系式，仍具有i t i g u c h i 公式的特征与形式，但此式为二维情形下 的修正。 以上研究者的工作均是在准稳态( p s e u d o - s t e a d y s t a t e ) 的假设下得 到的，也即假设分界面与完全汇( p e r f c c ts i n k ) 之间的浓度是线性分布 的然而这一假设与实际情况并不完全符合，为了更好地描述药物 释放的动态过程，1 9 9 1 年n o r m a ne c o o k e 3 9 1 引进了临界长度( c r i t i c a l l e n g t h ) 和临界时间( c r i t i c a lt i m e ) 的概念，来描述通过杆或片状基质 的药物溶出问题，使之与实际情况更加接近。姜红麓 4 0 1 1 9 9 6 年通过 上述两个概念把药物从球形基质的释放过程分为j 个阶段，并且分 别求解。他们二人得到的结果要比准稳态假设下得到的结果精确 但是他们假设分界面移动的速率为常量，并把药物的释放过程分解 为相对独立的四个阶段。因此，本质上仍不能确切地描述实际的药 物释放过程 关于一般的可动边界问题，在j c r a n k 的文献【4 1 】中有详细的描 述可动边界问题也被称为s t e f a n 问题，或者自由边界问题，最早是 由j s t c f a n 于1 8 9 0 年在研究冰帽融化问题时引入的。为了更好地描述 药物释放的动态过程，p i l e e 4 2 1 引入了可动边界的概念，把聚合物 基质分为腐蚀性与非腐蚀性的两种。而悬浮药物从腐蚀性基质释放 的过程中，存在着两个可动边界( m o v i n gb o u n d a r y ) ：一个是腐蚀性边 界( 其移动的驱动力是基质的膨胀或降解分化) ；另一个是扩散边界 ( 其移动的驱动力是边界两边的浓度差) l e e 同时指出：非腐蚀性基 质中仅存在一个可动边界，也即扩散边界。由于可动边界的存在导 致了非线性，因此，只有少数几种情况存在精确解，而一般情况下是 不存在精确解的之后由很多学者对此类问题进行了研究a n t o n i o f a s a n o 等人【4 5 】对此曾做过比较全面的研究k o i z u m i 3 5 】得到了一个 一维直角坐标系下药物从软膏基质溶出的精确解l e e 4 2 】运用二次 积分法，研究了非腐蚀性基质在完全汇和固定的有限外部体积情况 下的释放机制他所得到的近似分析解比准稳态假设下得到的结果 要精确得多，并且实用得多。以上这些研究都是对非腐蚀性基质而 言的，没有考虑基质也会被腐蚀的情况 1 2 l - i i 东大学硕士学位论文 从数学方程的角度来考虑，非腐蚀性基质中的扩散问题属于单可 动边界问题( 只包含有一个浓度的扩散边界) ；而药物从腐蚀性基质 中的释放问题则是一类双可动边界问题( 腐蚀性基质在溶液中的溶解 产生的腐蚀性边界和药物浓度不同产生的扩散边界) 。h o f e n g b e r g 4 6 】 假设了溶蚀速率与连续变化的装置表面积成正比，推导出溶质从可 降解分化的片状基质、柱形和球形基质中的表达式。l e e 在文献【4 2 中用二次积分法研究了球形可降解分化基质的数学模型。陈丽梅【4 7 】 应用奇异摄动法，分别研究了球形腐蚀性边界和非腐蚀性边界的药 物释放问题，得到了比l e e 结果更加精确的解。谭文长和徐明瑜【4 8 】 在2 0 0 0 年采用修正积分法得到了药物从溶蚀性高聚物基质内释放的 双可动边界问题的近似解析解，给出了药物满足零级释放的近似条 件对于可膨胀基质的问题很多学者做了研究k o r s m e y e rr w 等 人【4 3 】提出了一个关于可膨胀基质中溶质扩散的问题的数学模型。 s i n g hs k 和f a nl t 1 4 4 在1 9 8 6 年提出了一个更为一般化的数学模 型。d o n a l ds c o h c n 等人【4 9 】于1 9 8 8 年应用摄动法，得到了一维片状 或者棒状情况下的解陈建荣【5 0 j 提出了一个球形坐标系下的数学 模型来描述可扩散药物从球形可膨胀基质中释放的过程，应用奇异 摄动法得到了球形情况的近似解析解。 2 2 分数阶可动边界模型的建立和假设条件 在时间上用分数阶导数来代替d d t 在某些情况下可以更准确地 描述超长扩散释放过程 对于一维问题的单可动边界问题在刘君义和徐明瑜的文章【5 2 中 进行了研究，他们用。研c = d 0 2 c o z 2 来描述已溶解药物在溶液中 的扩散过程，并得到了以g r e e n 函数和w r i g h t 函数来表达的精确解。 之后在李西成、徐明瑜和王少伟的文章【5 3 1 1 5 4 】中对于时间空间分数 阶可动边界问题进行了讨论文章【5 3 】中对 5 2 】中所用过的模型进行 时空分数阶化并得到了精确解，从文中分析可以看出时空分数阶模 型更加灵活，但是由于文中的空间分数阶算子是r i e s v f e h e r 算子【1 3 】 在有限空间上使用会有误差出现，故文章( 5 4 】用c a p u t o 算子和r - l 算 子代替r - f 算子并且给出了相似性解，通过分析找出了在不同的初 1 3 山东大学硕士学f 证论文 图2 1 ：示意图 装浓度下这两种算子表现出来的不同性质，对这两类算子的使用给 出了一些启示 本文将【5 2 】的问题进行推广如图所示，由于假设问题中基质可 以被缓慢腐蚀，将会出现了腐蚀性边界，原问题就变成了一类的双 可动边界问题。 我们假设：( 1 ) 作为基质的高分子聚合物可以在溶液中腐蚀，这 样会产生腐蚀性边界，并且此边界随时间的增长被腐蚀十分缓慢， 可以近似看做带小参量的时间线性函数；( 2 ) 药物吸收满足完全汇 条件( p e r f e c ts i n kc o n d i t i o n ) ，即在接触面上，药物溶出后被完全吸收； ( 3 ) 药物在基质内的扩散系数d 是常数；( 4 ) 药物的初装浓度大于药 物的溶解度，即c o c 。其中岛，c 分另0 是药物的初装浓度和溶 解度。 根据f i c k 第二扩散定律，可以得到推广后的主控方程和边界条 1 4 山东大学硕士学位论文 件为： 孑d p c ( z ，) c c ( c o g ) 孑田s ( ) r ( t ) = s ( t ) = 。面0 2 c ( 月( ) z 咄 =0 ( t = o ) ， ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 这里的c ( z ，t ) 是在基质中的药物浓度，s ( 0 是溶质在基质中对时 间变化的扩散边界，r ( t ) 是基质在溶质中对时间t 变化的腐蚀性 边界，边界条件( 2 2 2 ) 表示在z = r ( 0 位置上方程符合完全汇( p e r f e c t s i n k ) 条件，方程( 2 2 4 ) 是在扩散边界上的质量守恒方程c a p u t o 分数 阶微分积分算子的表达式我们在上一章已经由( 1 1 4 ) 和( 1 1 5 ) 给出 2 3 主控方程的求解 为了便于求解，引入以下无量纲变量 睢= 警，c = ( 务啦= 爰， r ( t ) = r ( f o ，矿( r ) = 1 s ( f o ，z = 丢 为了简单起见，以下我们将省略“一，则原方