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一维四阶发展方程的混合有限体积方法 摘要 有限体积方法从微分方程的积分守恒形式出发导出计算格式。该方法具有 非常好的守恒性质。且计算量小，计算精度高，在偏微分方程计算中应用广泛。 本文主要由两部分组成，一是考虑如下形式的方程 罢一鲁。m ，f ) x ( 咖) riz flt 卜id ，l 砸缸 。77 a 2 “ y _ 一= 觑 从积分守恒形式出发导出一类混合有限体积格式，给出了格式的截断误差估计， 导出了该格式按离散口模对时间和空间具有一阶精度，数值算例验证了格式的 有效性。 二是针对一类带对流项四阶发展方程 詈+ 6 ( 蹦) 罢一目等+ 参( p ( z ) 窘) = ，( 彬) x 咏川 运用特征线方法逼近流项，直接从积分守恒形式出发导出一类混合有限体积格 式，给出了格式的截断误差估计和u z a w a 迭代算法，并用比较直观的方法导出 了该格式按离散r 模对时间和空间具有一阶精度。最后，具体算例表明，该算 法计算效果良好。 关键词四阶发展方程，混合有限体积格式，误差估计 m i x e df i n i t ev b l u m em e t h o d sf o rs o l v i n go n e - d i m e n s i o n a l f o r t h - o r d e re v o l u t i o ne q u a t i o n s a 山s t r a c t f i n i t ev 0 i u m em e t h o d sd i s c r e t i z ed i f f e r e n t i a ie q u a t i o n sf r o mt h e j ri n t e g r a i f o r m0 fc o n s e r v a t i o ni a ww h i c hh a sav e 吖g o o dp r o p e 哪o fp r e s e r v i n gt h e m a s sc o n s e r v a t i o n b e c a u s et h em e t h o d sh a v ei e s sc o s ta n dh i g ha c c u r a c y ； t h e ya r ew i d e i yu s e di nn u m e r - c a ip a r t i a id i f f e r e n t a le q u a t i o n s t h i sp a p e rc o n s i s t so ft w op a r t s ，f i r s t ，w ec o n s i d e rt h ef o 0 w i n gf o r m s0 f e q u a t i o n s 詈一tm ，r ) x ( 啪) a 2 甜 一面 s t a r t i n gf r o mt h ei n t e g r a ic o n s e r v a t i v ef o r m 0 ft h ee q u a t i o n ，w ed e r i v ea m i e dv 0 i u m es c h e m e t h et r u n c a t i o ne r r o re s “m a t e sa r ed j s c u s s e dj nd e t a i 1 t s p r o v e d t h a tt h es c h e m eh a sf i r s to r d e ra c c u r a c yi nd i s c r e t e 日1 s e m - - n o r ma n dd i s c r e t ern o r mb yav e 吖c i e a rm e t h o d n u m e r i a le a m p l e 川u s t r a t e st h ee f f e c t i v e n e s so ft h es c h e m e i ns e c o n dp a r t ，w ec o n s i d e rt h ef o u r t ho r d e re v o l u t o ne q u a 啊o nw t h c 0 n v e c t i v et e r m 詈叫) 罢一g 窘+ 吾( 比) 等卜m 力x ( 啪) w eu s em e t h o do fc h a r a d e r i s t i c st 0a p p r o x i m a t et h ec o n v e c t i v et e r m a n d t h e0 t h e rt e r m sa r ed l s c r e t i z e df r o mt h ei n t e g r a if o r m0 ft h ee q u a t j o n w e d i s c u s st h et r u n c a t i o ne r r o ra n dp r e s e n ta nu z a w ai t e r a t i v ep r o c e d u r e 1 t s p r o v e dt h a tt h es c h e m eh a sf i r s t0 r d e ra c c u r a c yi nd i s c r e t e 日1s e m i - n o r m a n dd i s c r e t e n o r mb yav e r yc i e a rm e t h o d f l n a y ，o n ee a m p i es h o w s t h a tt 1 em e t h o di se 仟e c t i v e k e y w o r d ： f o u r t h o r d e re v o i u t i o ne q u a t l o n ，m i x e df i n i t ev o l u m em e t 1 0 d ， e r r o re s t m a t e 。 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽 我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得基鲞! 至蕉盘堂或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意。 签名：塑丝日期：尘2 学位论文版权使用授权书 本人完全了解天津师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：童璺左旦 导师签名： 日 期： 占f p 1 引言 四阶双调和方程描述了梁的平衡问题，有广泛的应用。其数值解法一是直接 离散，二是降阶，导出所谓的混合方法。二十世纪七十年代，有大量文献讨论混 合差分方法( 2 9 3 3 】) ，随后发展了混合有限元方法( 【1 6 ，2 8 】) ，混合广义差分 方法或混合有限体积元方法( 【3 5 】) 。有限体积元方法从微分方程的积分守恒形 式出发，通过选取试探函数空l b j 为一次有限元空间来导出计算格式。由于该方法 具有非常好的质量守恒性质，在计算流体力学领域得到了广泛的应用。广义差分 方法相对于有限元方法而言，试探函数空间没有改变，而检验函数空问为分片低 次函数空间，从而可以在保证计算精度的前提下，有效减少计算量。就方法而言， 有限体积元方法相当于李荣华教授提出的广义差分方法( 【1 】) 的特殊情形，即取 试探函数空间为线性或双线性有限元空问，检验函数空问为分片常数空间函数空 间。无论是有限体积元方法，或广义差分方法，其共同特点都是通过有限元方法 的思想来导出差分格式，它们是有限差分方法和有限元方法之间的桥梁。他们的 计算精度高于差分格式，略低于相应的有限元格式，但计算量比有限元方法大为 减少。 关于四阶方程的有限体积元方法，倪平( 4 ) 通过构造三次h 锄i t e 元导出 了解梁的平衡方程的广义差分方法。吴微( 2 7 ) 在更广泛的框架下讨论了解双 调和方程的基于c i a r e l e t r a v i a n 变分原理的混合广义差分法，其理论结果比混合 有限体积元方法有所改进，但证明过程仍不直接。 王同科( 【5 ) 对梁的平衡方程 鲁b 鲁1 - m ) x ( 口，6 ) 万【p 万j - ，w 艇渺 “( 口) = 掰( 6 ) = o ，秘7 ( 口) = “( 6 ) = o p ( x ) ，厂( x ，f ) 充分光滑， 直接从积分守恒形式出发导出一类混合有限体积格式，并给出了一类自适应 u z a w a 迭代算法。其证明方法不同于混合有限体积元方法，不再引入任何投影， 直接从格式本身出发，用比较直观的方法导出了该格式的离散日1 模或口模误差 估计。本文将在此基础上，针对两类发展型四阶方程，给出时间方向向后离散的 混合有限体积元方法。 上世纪八十年代，d o u 西a s 教授等( 【2 】) 提出的特征线方法对于对流扩散方 程比较有效。在力学，物理学和其它应用领域内，经常遇到对流占优的对流扩散 方程。特征线方法常用于对流占优的对流扩散方程，其特点是计算精度高，稳定 性好，适用于小扩散系数情形。 2 本文主要由两部分组成，一是考虑如下形式的方程 害一窘：你，z ) z ( 啪) = ，lr fir fl 娌，l a 叙2 j 、“”，- 。， a 2 “ 忙一万 从积分守恒形式出发导出一类混合有限体积格式，给出了格式的截断误差估 计，证明了“按离散日1 半模，v 按离散口模对时间和空间具有一阶精度，并给出 数值例子验证了格式的有效性。 二是针对一类带对流项四阶发展方程 考+ m 力塞一2 窘+ 导( 夕窘) = ( 纠x 币纠 首先运用d o u 哲a s 教授等提出的特征线方法逼近对流项，采用基于二次差值的特 征差分格式计算对流项，并直接从积分守恒形式出发离散其它项，导出了一类混 合有限体积格式，给出了格式的截断误差估计及u z a 、硼迭代算法，用比较直观 的方法导出了该格式按离散r 模对时间和空间具有一阶精度。最后，具体算例 表明，该算法计算效果良好。 2 一类四阶发展方程的混合有限体积格式 2 1 混合有限体积格式 考虑区间，6 】上的抛物型方程初边值问题 象一窘= m ，r ) x ( 啪) 1 ，：一氅 ( 2 1 a ) 1 ，= 一_ z i a ， 苏2 “( x ，o ) = 甜。( x ) “( 口，f ) = “。( f ) ，“( 6 ，f ) = “。( f ) ( 2 1 b ) 尝( 训= 口( r ) ，塞( = ( z ) 其中【x ，) 充分光滑该万程本质上为一凹髟7 抛物型万栏，经降髟7 后我们将兵 写成了( 2 1 a ) 的形式 对区间j = 【口，6 】做分割e ，节点为口= 6 ，并记勘口瑚= 1 0 4 2 利用追赶法依次求解( 2 3 a ) ，( 2 3 b ) ，得，研待1 ，2 ，3 ，l l 3 按以下公式求解曙，嘭，并分别记为略”，嘭”， 坼p 卜，一华一如州 磐咖 华叫小私删 ( 2 3 c ) u z a w a 迭代 ，若仿，z 。删1 v 6 ，z 。硎，则置詈p 5 若仿，l d 删1 1 0 _ 4 ，计算结束否则，瑶1 瑶，嘭1j 嘭，幽d 瑚1jv 6 以d 册，重 复2 5 5 。屯lj r 渺。 一 淤。 ii、 + r喈 一 喏 n 卜 = i黼d扎西 算 计4 2 2 误差估计 将( 2 2 ) 离散为 暂学+ 6 警! + 掣 + 华 8i出& 出 矗 = f i ：出+ 矿，2 ， 卜2 二竺芈=鲁(。+6v?+，)+倒“+碍2，女，z=，2，刀一， ( 2 4 ) 口( 气) 一华= 鲁( 3 v + v ：) + 碍酽，华一( ) = 舡l + 3 ) 埘懈2 i 其中，碍m ，群1 ，碍2 均为截断误差， 掣2 姓+ 6 生笪 ，气h _ ，气) = 一鲁( 堙。+ 6 t + 唬。) + v ( z ，) 出 式j = 令 一“三i + 2 “? 一“墨。 - 一 警( t 一：，颤) 一罢( t + ：，气) 等= “? 一阱，群= 诺一k ，且菇= 岔= o ( 2 3 ) 与( 2 4 ) 相减得误差方程 垒f 畦l 二煎：+ 6 血型 8l f f + 破。一唬1 一哇。+ 2 嘭一落。 1 + 五鼍拭：矿，2 ，( 2 5 ) j 二童擎= 鲁( 硅。+ 6 矿+ 破。) + 群j + 彤2 ”，z = 1 ，2 ，刀一l 一学= 拟+ 群) 城2 i ，学= 粒吲) 城铖砧 对v w ( 圪) ，记w = w ( 毛) ，定义其离散r 模，日1 半模分别为 砘 = 亿鲁+ 莩彳办+ ， 半) 2 j 另外，l | i l ：，i i ，仍表示通常的s o b 0 1 e v 连续模下面进行截断误差估计利用带积分余 6 +出 笙西 2 愚一8 x ， | l 厂；j ： 加一缸 秽l _ 1 _ l ， ， 办 ，l。两 ，、l 记 ：等k ，叫曼等。玎卅 一私等”出+ 等k 。叫叶乩2 ，尹- = 一水等c 而 一x ) 2 出+：? 等( _ 掣= 去陋等( 灿+ 互= ：等( 一石) 2 出，互= 互= 弘等( ) 2 出，= 则掣女= 去【五+ 正一互一墨】，f = 1 ，2 ，以一l ，从而 ：旧 l ( 掣) 2 扩“， 百【薯一- 吖) 2 a 3 “7 万【 卅 一石) 2 一x ) 2 一x ) 2 基石2 + 互2 + 互2 + 砰k l 2 ，扩1 ， 叫2 出心：( 同理可得互，互，瓦的估计，总之，有 同理可得 ( 矿) 2 一l 而 斟出黔，叫4 出= 篙 ( 掣) 2 嘉( 钎出 盖e ( 等卜二3 ，扩t ( ) 2 未( ( 舛，t ) 2 函，眦，窆( 掣，t ) 2 鳓，眦 2 ( 矿) f = o 2 国5 l l v l l ：，( 群2 ) s 鳓训 7 f = o a 3 “、2 ， 百p 1-1 出 p 鼻p 誓 丝掰 p 县! x 丝甜 ，： r 上， ，l 2 叮 出 vi、 型甜 渊 m 下面估计耳 项 记 倒 “= 碍1 l 。= 罐，一、留 + 6 生生 f 一味。+ 2 t 一罐。 一 塞( t 一：，) 一塞( t + ：，气) 矽= 古( 掣一掣 一古址雾( ) 触 其中为空间方向的分段线性插值算子。利刚线性插值误差估计和c a u c h y 不等式，得 ( 矿吩譬 而碍 如的估计与舛j 类似，总之，有 黔一2 sc 瞄 ( 矿) 2 sc l 惫 f - i。 总之，截断误差项估计为 a 2 v 西2 啦眨 出+ 出i i i * i i 2 嘞。| | 优1 1 0 2 2 ：，( 妒) 劬5m i ) 2 c 陲 f = o j 槲川 1 酗剖斛删叫刁 引理2 1 【5 】对于网格函数，7 ，孝( 岛= 磊= o ) ，成立 一l f 掌l墨弛： j i l “ 专。一考1 引理2 2 【5 1对于网格函数孝。 引理2 3 善1 2 - + 莩血学+ = 等= 0 1 ，成立 8 引 一色一。 ( 2 6 ) 出 笙西 一 、， 矗一8 2 o 加一出 川渊 乱一况 ， 2 3 “ 七 ，il 川瑚 菇 ，ji_、 2 l p曳 磺 盥 纠m 硅。一绣1 证：由 + 6 掣+ 掣卜击( 蝌一妙咿ff j 2 f 。 ” “， 月一l + 等 f = l 盘孥= 舡+ 6 矿+ 碾。) 州酽m 2 ，扩， 两式相减，并乘 = 鲁( 花l + 6 + 朽1 ) + 矿+ 妒川，2 ，川 求和，得 一( 莩 ( 等一器) 一f 芝 忙1 卢i 一一户t l b f f i ) 挚 一( 去( 眦一矽叭耖訾 引理2 4 【5 】 扣) 引理2 5 去艺( 彤，： ( 缸) 2 鲁r 、 证 + 月一l 掣卜 f厂 群等 毯。j 髻 n l 一i 醚。专： f = i 琏。专：一 芝群z t 等一艺彤，z ，等+ 艺群t 等 j - lf = l f = l 弦。1 髟) 主 等b 一耖一引古 、1 k _ k 、之 鲁( 仍一。+ 6 珞+ 饶+ 。) 仇+ 鲁( 仉一。+ 3 叩。) 仇圭| l 叩眩 ，坶2 卜1 ) 2 三c 瓢 2 西 2 9 ( 出) 2 h l ( 矽 f = l 坶) 2 c 鲁 2 d t 3 ，。l 一8 川吲 等 卜 彤 川h 嚣 七2 碍 川剐 一 等 t2 一瑚，一 ，一出 一 劈一出 以 ，一， 一8 “浏 + 等 ，- 掣 川矧l 厣学学 铊 学 疑 川渊 州闽硝 + 等 卜2 群 川h 篮出 墓一 一 盖世 等一 ， 1 一矗 瑚 华 一血 一 瑚 劈 七 群 川州 + 劈 卜2 碍 川矧 锄一新 加一西 碍2 i = 一鲁( 唾。+ 6 t + 唬。) + l v ( 五r ) 出 ( y ( x ) 一( x ) 弦+ ( v ( 工) 一v ( 工) 炒 ，v ( x ) 为，的线性插值函数， 记 雕2 j =( ( x ) 一印( 工) p ，彤2 2 =麒( x ) 一印( x ) p 设在【t 巾再】上的线性插值基函数分别为7 0 ( x ) ，7 l ( 石) ，则 v ( x ) 一v ( x ) = ，o ( x ) ( 誓一，一s y 印( s ) 凼+ ( x ) ( 誓一s 矿o ( j ) 出 所以， 倒二t 1 一彤2 七- 1 1 = 吣) 。( h 一坩( s ) _ 1 1 2 训出卜 f i ( 石) ( 五一坩( s ) - i ( 2 训出p 妒七1 卅小胁；幢 a 2 v a 2 ，一1 苏2 r a 2 1 l ， l 百一 a 2 ，一1 缸2 a 2 y 。一1 2 卜( 袅卜 彤z 一彤2 川，l i 国；( 垃) ：( 。e 。( 将( 2 5 ) 式两边同乘以等 ，对i 从1 到万一l 求和， l o j 1 5 址 r | 1 1 5 严 l _ i f 屯1 2 出 3 2 d t 2 2 d t 2 f p l p ； p 工p l 2 r 上p + o：ll， 出 型掰 ，。l 出 v 一西旦掰 加一况 加一所 锄一钟 c 一 ，一” 妃 ：卜 拦缸 啦 “ n ， 吨 一 卜 耻 彬 彤 带 静静静 三埘上上 由引理2 1 群 f = 0 + 破。一唬1 一唬1 一，礁。+ 2 矿一以 户+ 融训磋+ ”一i + 鹾。 啸+ 群_ 饼+ 群。_ 彬= 击( 蝌一妙| ：) + 妒胪 妒囊群 f = 0 由带s 的柯西不等式得 窆( 辟，) 2 + 主( 彤2 ) 2 f = 0f ；0 + k l l 孝眨+ s f | 刁i l ： 取s 丢可得 扬) 2 l + k 恻l ： + + 古融2 叫2 ) 等 古喜( 群”一彤 叫矽 击( 蝌一矿咿妒胪 啦) 2 + 斋 月一i ( 牡矿1 ) 2 + 南 去( 蝌一矽| ：卜护胪 艺( 妒) 2 + f 耳l 上式两边同时乘以2 础对j 求和 击缸坶) 2 1 1 ：出 + ( 缸) 2 + n l 矿等 f = i (g，2，t碍，2，t一1)2 (-v，2，t-碍，2，女一1)2 等 七 碍 七 、芒王、 ，【 h + k + 一 一 蓝址 彬一 6+ 朽二 磋一 l 一o o 州h ，。一 一8 州渊 稀群 + 劈 七 碍 川斛 + 矿 彤 得 等碍 川阿 h 渊 ，i- 剃随 + 。l c 一 剃渊 + r 七 2 群 ，f-l 。瑚 + 。删 1 2 + 2 l 七 声j 、 等抽矽。2 由引理2 2 ( 缸) 2 由离散g m n w a l l 引理及前面截断误差( 2 6 ) 估计得 吖+ 1 7 i l 2 f ( 碍“” 月一l ( 足“ f 暑l c 黔川+ 群弘2 + 黔弘2 + ( ? 2 r + c ( 4 r 黔 以上结果总结为以下定理 2 出+ 办2 2_ 卅卅 j j ； 一矽一) i ) 纷 l 设( 善= 掰一u ，7 7 = v y ) ( “，) 日：( j ) r 、日5 ( ，) 日3 ( ，) 是( 2 l a ) ，( 2 l b ) ，则有限体积格式( 2 3 ) 有误差估计 孝。1 2 + f c 黔州+ 嚣融2 + 瓣弘2 + ( 2 r 斗r 懋 2 出+ 矗2 2 1 2 卅 a 2 v 西2 司 川h r 总 彤 ，jii 川 + u ， 脯 2 群 ，- 。咖 + 。删 f髟+ 一 m2 碍 一 晰2 碍 ，j- 川川。州 丝 + o ，g 为常数且g o 。 引入变量v = 一p 窘则( 3 1 口) 变为u 耳 a 2 “1 一爵2 万v 詈悱r ) 罢+ 吾y 一窘= m r ) ( 3 2 ) 对区间p ，6 】做分割瓦，节点为口= j c o 五 o ，并记记疗d ，铆= 1 0 4 ，取形= h ( f = o ，1 ，2 以) ，求解( 3 4 b ) 得阱， 2 求解( 3 4 a ) 得杉 3 按以下公式求解瑶，嘭，并分别记为聪”，嘭”， 讣扣沪华一去聪 跆p 华叫小去嘭 4 计算访，z 。删l = ( 略”一礤) 2 + ( 嘭”一嘭) 2 2 ，若诌玎。删1 勘。删，则置詈j p 5 若v 6 ，l d ，m ls l o _ 4 ，计算结束。否则，略j 瑶，嘭1j 曙，勘d 删1j 砌d 删，重 复2 5 由u z a w a 迭代法的有关理论，存在0 p ，使得上述迭代过程收敛， 但难以精确计算，所以我们将上述过程设计成自适应格式 3 2 误差估计 将方程( 3 1 ) 离散为 譬五+ 警w + 半= 妙出w m 2 ，3 扩t&p；h由。 兰盘掣= 鱼w + 掣，七+ 彤2 七，f = 1 ，2 ，以一l ( 3 5 ) n p i 酬一华= 去诺埘2 i ，华一( 气) = 去荫埘一砰j 1 6 其中，倒m ，碍 ，碍2 。均为截断误差， 刷1 ，= 一哇i + 七 。七i 叫一“f 彤2 囊= 倒“= 五一互格叫巩) 卦务一啪砒胁 一 塞( t 一：，气) 一象( t + ：，气) + 刍v ( 训出 一罐l + 2 甜二盛 一 塞( 一：，气) 一尝( t + ：，气) 令等= 矿一研，矿= 嘭一k ，则菇= 等= o ( 3 5 ) 与( 3 4 ) 相减得误差方程 算一 办+ 詈枷盔孕五皤1 j p t n 望奠墼盈：鱼矿+ + 妒t h po 一华= 去前坶w 一，华= 去磋城叫j 对v w ( 圪) ，记w = w ( 玉) ，定义其离散r 模，日1 半模分别为 w l l o = 诟鲁+ 薯嵋 + 兰) j ， 另外，i i 1 l ：，仍表示通常的s o b o l e v 连续模，记 喜( 乎) 2 ) i m 5 鼢p ( x ) ，m2 珊n 】p ( x ) 首先，给出( 3 5 ) 式中的截断误差估计。由( 2 6 ) 式知 n l f = l 2 ( 群 ) 锄州，萎 对于群2 ，有中矩形公式误差估计。 1 7 2 ( )伪3 眦 ( 3 6 ) m 口 2 嗲 一只 一 和碍“计算类似 引理3 城扛( 瞎) ：一 其中 证 坩= 其 炉 ra “、七 i y 瓦上 m a x 。j 一托s k o & c斟蜘刊2 出 “? 叫( ；r ) 雾( 刈) 鳓3 | l v l l ； 测新2 ，创 ，则川| j l k ，出驯 a 2 “ a r 2 中彳= ( ，气) ，b = ( i ，气一。) ，当f k ，气】，l 一i l = 防l 出k 出时，得到 雾( 警n 警v 肛卜黑笺血 又陋b l = 出，故有阿1 2 k 。f n l 川j l k 。办& f = l 由引理3 1 得艺( 彤 t ) 2 f = l n l 雾( 彬) 2 等r ) 卜酗正常数 瓢r ，卜眦8 掣 奶3 ( 盹州小k 触 总之，截断误差的估计式为 一l f 毒l 。1 1 a 2 比( f ) a f 2 p ( ) 酬堰删训m 剐! 出 1 8 卜 d r l 2 i 九 ， ， 3 ， c - 、1 - ：， i l i， +x ， 一、l， x ，i、 只 一 i - 2 x ， 一 ，e2 碍 ，l 剃趟 出 坐铲 a 一 pl， 2 矗 川阔坐铲 a r f，一 出 驭蛳 m 1 r a 宅 m 搴- ，e 渊 艺( 彤z ，t ) 锄3 m ；，窆( 彤) 。劬3 呱 ，= i f = 0 玩一使用二次插值计算，对于二次插值有 引理3 2 【1 7 】 手叫眨一l ! f 一1 畦= o ( | i 善一1 哐+ l 卜叫哐 4 ) r 误差方程( 3 6 ) 中第一式两边同乘以等，从江l 到嚣一l 求和得 由 可得 牮鼽 f 一 一l ) 等矗圭 莩( 等) 2 办一喜( 手；叫 ) 2 避上k 善? ( 3 7 ) | | ；( 孑；一) 2 办 + 薯二塑耋学等+ 莩詈彬等办薯g 1 ，等 去( 纠咿却 彩 f = o 由菇= 菇= o ，有 故可导出 所以 一i f = l +妒囊群 f ；o + 尹l ：= 艺 j = l 刁叫 h i f = l l i 善一i i ：+ 8 摊i 一 l ； 4 ) 二丝! 兰丝二篮l 譬t ， = 一g 川：+ 艺g ( 彤，i + 群五垮 1 9 卜 矗 等矿 g 鼽渊华 瑚 一，k 一声j 、 一 等 ，-_l 汹 一矗 y 等 h 。l 一| 弛 o ，9 为常数且g o 。 ( “，) 雕( ，) n 日5 ( j ) h 3 ( j ) 是( 3 1 a ) ，( 3 1 b ) 的解，则有限体积格式( 3 4 ) 的 误差估计式如( 3 8 ) 所示 、l_、 阍 研 七2 川川 ，。l c+ 、lli， 4 l 2 3 ，i 一出一2 ，l c 一 ，f-_i、 一出一2 ，一 c 一办 3 3 数值算例 为了检验以上格的有效性，给出以下数值例子。 例2 在( 3 1 ) 中分别令6 = l ，g = 1 ，p = l ，厂= 0 ，则( 3 1 ) 的精确解为“= p 一， 利用混合有限元体积元格式( 3 4 ) 计算，设掰，v 在各个时间层上的节点最大绝对误 差分别为色，巨，各个时间层上节点最大相对误差分别r ，r ，结果如下表所 示。 表3 1拧= 1 0 时部分时间层节点计算解和精确解比较 f o 0 20 0 60 1 色1 8 3 8 1 0 - 41 8 2 0 1 0 _ 41 7 5 0 1 0 4 民 9 3 1 5 1 0 59 5 9 6 1 0 。59 6 0 0 1 0 5 e ，5 9 5 7 x 1 0 - 35 7 2 0 x1 0 35 4 9 8 1 0 _ 3 足，6 0 7 7 1 0 - 3 6 0 7 3 l o - 36 0 7 6 1 0 - 3 由上表可知，本文所给的混合有限体积元格式确实达到了比较理想的计算效果。 2 l 参考文献 【1 】r o n 曲u al i ，z h o n g y i n gc h e f la n dw dw u ，g e n e r a l i z e dd i 虢豫1 c em e t h o d s 矗) r d i 仃e r e n t i a le q u a t i o n s ：n u m e r i c a la n a l y s i so ff i n i t ev r o l u m em e t l l o d s m a r c e l d e k k e r ，1 1 1 c ，2 0 0 0 【2 】d o u 酉a s j j l a n dr u s s e l l t f ，n 啪e r i c a lm e t h o df o rc o n v e c t i o n d o m i n a t e d d i f m s i o np f o b l e m sb a s e do nc o m b i n i n gt h em e t h o do fc h a r a c t 嘶s t i c sw i mf i n i t e e l e m e n to rf i n i t ed i a 研e n c ep r o c e d u r e s 【j 】s i a mj o u m a lo nn u m e r i c a la n a l y s i s ， 1 9 ( 5 ) ，1 9 8 2 ，8 7 1 8 8 5 【3 】w a n gt o n 班e ，am i x e df i n i t ev o l u m ee l e m 锄tm e t h o db a s e do nr c c t 锄g u l a rm e s h 蠡贸b i h 锄o i l i c e q u a t i o n s j o 啪a l o f c o m p u t a t i o n a i l d a p p l i e d m a t h e m a t i c s ，1 7 2 ( 2 0 0 4 ) ，1 1 7 - 1 3 o 【4 】倪平，解梁的平衡方程的广义差分法 j 】，高校计算数学学报，4 ，1 9 8 4 ，2 8 5 2 9 5 【5 】王同科，解梁的平衡方程的混合有限体积方法，工程数学学报2 ，2 0 0 4 ，3 1 3 4 【6 】王同科，几类微分方程数值算法研究，山东大学博士学位论文，2 0 0 2 3 、 【7 】王同科，马明书二维对流扩散方程的二阶精度特征差分格式 j 】工程数学学 报，4 ，2 0 0 4 ，4 3 4 6 【8 】s u nzz a nu i l c o n d i t i o n a l l y s t a b l ea n do ( 2 + j i l 4 ) o r d e rkc o n v e r g 铋t d i 伺衙e l l c es c h 锄ef o rp a r a b o l i c c e q u a t i o nv 撕a b l ec o e 衔d e n t s n 啪谢c a l m e t h o d sf o rp 枷a ld i f r e r 朋t i a le q 删i o n s ，1 7 ，2 0 0 l ：6 1 9 - 6 31 9 】王同科一维二阶椭圆和抛物型微分方程的高精度有限体积元方法【j 】数值 计算与计算机应用，4 ，2 0 0 4 ，5 6 5 9 【1 0 】杨海天有限体积法在固体力学中的应用 j 】大连理工大学学报， 3 ，1 9 9 5 ，7 8 8 1 【1 l 】j w ：t h o m a s p a i t i a ld i f j 衙锄t i a le q u a t i o l l s ( f i n i t ed i f j 衙锄c em e t h o d s ) m 】， s p r i n g e rv c d a g r e p r i n t c di nc m mb yb 询i n gw 6 d dp u b l i s h i n gc o 印o r a t i o 玛 1 9 9 7 【1 2 】石玉凤广义差分法介绍和解带低阶项梁的平衡方程的广义方法 j 北京 石油化工学院学报，3 ，1 9 9 5 ，3 5 3 8 【1 3 】k a l i t ajc ，d a l a l d c ，d a s sak ，ac l a u s so f l l i 曲e ro r d e rc o m p a c ts c h e m ef o r t h ei l l l s t e a d yh 哟一d i m e n s i o n a lc o n v e 硝o n d i 血s i o ne q u a 蛀o n 耐t hv 撕a b l e c o n v e c t i o n e 伍c i e n t s i n t ，j n 啪既m e m f 1 u i d s ，3 8 ，2 0 0 2 ，1 1 1 1 一1 1 3 1 【1 4 】戴嘉尊，邱建功，偏微分方程数值解法【m 南京：东南大学出版社 2 0 0 2 1 9 4 1 9 5 【l5 】d o u 西a sj rj a l t 锄a t i n gd i r e c t i o nm e t h o d s 矗玎t h f e es p a c ev 撕a b l e s n 啪e r m a t h 4 ，1 9 6 1 ，4 l 一6 3 【1 6 】王烈衡，许学军，有限元方法的数学基础 m 】，北京：科学出版社，2 0 0 4 1 7 】胡健伟，汤怀民，微分方程数值解，科学出版社，1 9 9 1 18 】 j i m d o u 西a s ， j r - ， s e o n 西a i k i ma n d h y e o n a l i m a n i m p r o v e d a l t e m a t i n 哥d i r e c t i o nm e t h o df o rav i s c o u sw a v ee q u a t i o n i n “c u 盯c n tt r e i l d si n s c i e n t m cc o m p u t i n g ，z c h e i l ，r g l o w i n s k i ，a n dk a i t a i “，e d s ，c o n t e m p o r a r ) r m a t l l e m a t i c s ，3 2 9 ，2 0 0 3 ，9 9 1 0 4 【1 9 】王彩华，王同科，抛物型方程非齐次边值问题的推广型l o d 有限差分及有 限元格式 j 】，高校计算数学学报，2 8 ( 2 ) ，2 0 0 6 ，1 3 8 1 5 0 2 0 】w b i 匠l o n gd a ia n dr 面an a s s 戤af i i l i t e d i 筇孙e i l c es c h 锄ef o rs o l v i n gt 1 1 eh e a t t r a l l s p o r te q u a t i o na tt l l em i c r o s c a l e j o u m a lo fc 伽1 p u t a t i o n a la i l da p p l i e d m a t h e m a t i c s ，1 3 2 ，2 0 0 l ，4 3 1 4 4 1 【21 】j l l l lz h a l l g ，j e l l i l i 向j z h a o u n c o n d i t i o n a l l ys t a b l e 矗n i t ed i 仃硫n c es c h e m ea n d i t e r a t i v es o l u t i o no f2 dm i c r o s c a l eh e a t仃a n s p o r te q u a t i o n ，j o 啪a lo f c o m p u t a t i o n a lp h y s i c s ，l7 0 ，2 0 01 ，2 6l 一2 7 5 【2 2 】陆金甫，关冶，微分方程数值解法( 第二版) 【m 】，清华大学出版社，2 0 0 4 1 【2 3 】a l e x a i l d e ra s 锄a r s k i ，1 1 1 et 1 1 e o r yo fd i 妇衙e n c es c h e m e s ，m a r c e ld e k k i n c ， 2 0 0 1 2 4 】p e a c e m 龇 r a d l f o r d 1 1 1 en 1 1 i i 】耐c a ls o l u t i o no fp a r a b o l i c d i t i a le q u a t i o n s js o c i i l da p p l m a t h ，3 ，l9 5 9 ：2 8 - 41 【2 5 】 j h nd o u 西a u s儿 s e o n g j a i 髓m h i l p r o v e da c c u r a c y 0 n e - d i m 髓s i o n a lm e 吐l o d sf o rp 娥l b l 0 1 i ce q u a t i o n s m a m 锄a t i c a l m e m o d si na p p l i e ds c i 肌c e s ，1 1 ( 9 ) ，2 0 01 ，15 6 3 15 7 9 a n de l l i p t i c f o r l o c a l l y m o d e l sa 1 1 d 口6 】撕z h o n gs u i l ，as e c o n d o r d c ra c c u r a t e1 i n e a d z e dd i f j 衙e i l c es c h 锄ef o rt 1 1 e 觚o - d i m 饥s i o n a lc a l l n - h i l l i a r d e q u a t i o n m 础e i l l a t i c so f c o i n p u t a t i o n 6 4 ，1 9 9 5