（光学专业论文）多粒子、多维粒子纠缠态的制备与应用研究.pdf

中固科学技术人学博卜学位论义 摘要 量子纠缠是量子信息学中最重要同时也是最为神奇的研究课题。在量子信息 学中，量子态是信息的载体，量子信息的加工处理归根到底是种量子态的操纵 过程。纠缠态作为一种重要的“量子资源”，近年来，随着量子信息学的蓬勃发 展得到了广泛的应用，诸如成功地应用于量子密钥分配、量子密集编码、 量子隐形传态、量子纠错码、量子计算等领域。由于多子系统的纠缠 态具有很多两子系统纠缠所不具有的性质，多维量子系统的信息处理 在某些情形下是更有效的，而且，目前日益发展的实验技术使得对高 于两维的量子信息携带者的信息处理成为可能。因此，对于多粒子、多 维粒子纠缠态的量化、操纵、制备、存储、应用等问题的深入研究，有着十分重 要的意义。这不仅关系到量子纠缠的本质问题，还有助于人们对于量子力学基础 理论的理解，更可能开发出许多神奇的应用。更何况目前对于多粒子纠缠态、 多维粒子纠缠态的研究，还有很多重要的问题未完全解决，有待进一步深入研究 和大胆探索。基于以上原因本人将多粒子、多维粒子纠缠态的制备、纯 化和应用研究作为礴士论文的内容。主要取得了以下的研究成果： l 、多粒子纠缠态的制备 在量子信息技术中，异地多粒子纠缠念的制备和任意操纵是建立量子通信的 信道，实现量子计算的重要基础因而，各种异地多粒子纠缠态的制备与操纵对 推动量子信息科学的发展有着重要的意义在本文中，( 1 ) 我们研究了大振幅情 况下的单模压缩相干态腔场，其特性类似于大振幅情况下的单模相干态腔场，与 自旋l 2 的两态粒子同构，腔场的宇称与粒子自旋类似，通过对腔场的宇称的测 量，得出与局域隐变量理论完全相反的结论，并首次利用大失谐的 j a y n e s c u m m i n g s 模型制备了处于压缩相干态的三个腔场的类自旋g h 2 态。( 2 ) 利用一个二能级原子与一两模腔场的非共振相互作用制备了多成分的纠缠压缩 相干态。( 3 ) 提出利用多粒子纠缠纯态，经由纠缠交换和纠缠浓缩概率制备分布 2 0 0 4 芷中国科学技术人学博士学位论文 式n 粒子6 h z 态的方案，在中心处，控制者a 1 i c e 进行所有的量子操作和经典通 信。该方案提供了种简单、易于实现的多粒子纠缠建立的方法，为网络量子通 信提供了可能。 2 、利用g h z 态实现量子隐形传态 量子隐形传态是较早在实验上获得突破的典型量子通信方式之一，其特点是 利用量子通道和辅助经典信息来实现量子态的传送，而粒子本身不被传送。本文 系统地研究了利用三粒子纠缠态作为量子通道，实现多粒子纠缠态的 量子隐形传态的多种不同方案。( 1 ) 在三粒子最大纠缠g h z 通道中， 通过引进单个辅助粒子，进行b e l l 基测量等操作实现两粒子纠缠态 的量子隐形传态。( 2 ) 在三粒子非最大纠缠通道中，可以利用p o v m 测量等实现两个非正交量子态的最佳识别，实现概率量子隐形传态。 ( 3 ) 利用含有一个单模高q 腔和两个两能级原子的三粒子g h z 态作 为量子通道时，可以实现多原子纠缠态的量予隐形传态。由于单模高 q 腔的存在，大大地简化了量子隐形传态中的联合测量过程。还研究 了将隐形传态作为量子通道的一般表达形式及保真度问题，给出利用 噪声纠缠资源的最佳隐形传态过程。 、 3 、对多粒子纠缠态中单个粒子的远程控制 量子操作的特性和操纵技术一直是量子信息技术中较为热门的课题，人们曾 设想将量子操作像对量子态一样地进行处理，例如，h u e l g a e t a l _ 等人研究了利 用局域量子操作和经典信息交换实现对远程单个粒子的任意幺正变换，所耗费的 资源至少为实现双边量子隐形传态所需要的。这种量子操作的隐形传态被称为量 子远程控制。本文提出一种利用纠缠交换及局域量子操作、经典通信实现对多粒 子纠缠态中的单个粒子的远程控制方法。该方案易于实现，其资源耗费少于双边 量子隐形传态方案，还有可能用来控制其他量子系统，并可望用于分布式量子计 算。 4 、高维粒子纠缠态的纯化与应用 中固科学技术人学博i 。学位论文 近束，高维量子系统的纠缠及信息处理问题引起人们极大关注。先后在实验 上利用参量下转换实现了三维粒子纠缠态的制备和纠缠纯化，还提出了三维乃至 高维粒子系统的多种量子密码方案。由于量子纠缠态在传输过程中，不可避 免地会与环境发生相互作用，从而导致量子系统的消相干现象，使得 初始的最大纠缠态演化为非最大纠缠态乃至混合态。为此，人们提出 纠缠纯化概念来解决这一问题。在本文中，我, f f 研究了利用局域量子 操作和经典信息交换从非最大多粒子纠缠纯态中提取最大纠缠态的纯 化方案。在此基础上，提出两种最佳实现高维量子系统的纠缠纯化方 案，( 1 ) 通过单边引入单个辅助粒子实现高维非最大纠缠对的一次纠 缠纯化，经过反复迭代从而实现最佳概率提取最大纠缠态。( 2 ) 双边 引入辅助粒子，利用双边操作实现高维非最大纠缠对的次纠缠纯 化，经过反复迭代达到最佳概率提取最大纠缠态。此外，还研究了一 种利用非最大多维两粒子纠缠态，通过纠缠纯化实现概率量子密集编 码的方案，其成功概率由纠缠态中最小的系数决定。 型堕一 ! 里型堂垫查盎兰堕：! ：兰些笙壅堡 a b s t r a c t q u a n t u me n t a n g l e m e n ti s o n eo ft h em o s t i m p o r t a n ts u b j e c t ，a n da l s o t h e s u p e m a t u r a ip a r to fq u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c e i nq u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n e e q u a n t u ms t a t ei st h ec a r r i e ro fq u a n t u mi n f o r m a t i o n ；t h ep r o c e s s i n go fi n f o r m a t i o n d e p e n d s o nq u a n t u ms t a t ea n di t sm a n i p u l a t i o ni nt h ef i n a la n a l y s i s i n r e c e n t l y , a sa n 1 m p o r t a n tq u a n t u mr e s o u r c e ，t h ee n t a n g l e ds t a t e sa r ew i d e l yu s e dt om a n ys o r t so f q u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s e s ，s u c ha sq u a n t u mk e yd i s t r i b u t i o n ，q u a n t u md e n s e c o d i n g ，q u a n t u mt e l e p o r t a t i o n ，q u a n t u mc o r r e c t e r r o rc o d e ，a n dq u a n t u m c o m p u t a t i o n e ta 1 f i e l d sw i t ht h ev i g o r o u sd e v e l o p m e n to f q u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c e a sw e k n o w , t h ep r o p e r t i e so fm u l t i p a r t i t ee n t a n g l e m e n ta r ed i f f e r e n tf r o mt h a to fb i p a r t i t e e n t a n g l e m e n t ，h i g h e r - d i m e n s i o n a lq u a n t u me n t a n g l e m e n ts y s t e m sa r ee f f i c i e n ti n s o m es p e c i a lc a s e ，f u r t h e r m o r e ，t h ea d v a n c i n g e x p e r i m e n t a lt e c h n i q u e sa r es u r et h a t t h ei n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g o fc a r r i e ro fm o r et h a n t w o d i m e n s i o ni s p o s s i b l e t h e r e f o r e ，al a r g ep a r to ft h en e w q u a n t u m i n f o r m a t i o nt h e o r yi st h eq u a n t i t a t i v ea n d m a n i p u l a t i n g ，p r e p a r i n g ，s t o r i n g a n d a p p l y i n gs t u d y o f m u l t i p a r t i t e o r h i g h e r - d i m e n s i o n a le n t a n g l e m e n t t h e s ea r er e l a t i o nt o t h ee s s e n c eo fq u a n t u m e n t a n g l e m e n t ，h e l pf o rc o m p r e h e n d i n gt ot h eb a s i co p i n i o n so fq u a n t u mm e c h a n i c s a n d o p e nm o r ea n dm o r ew i z a r da p p l i c a t i o n s i nt h i st h e s i sw ef o c u so u rr e s e a r c ho n t h ep r e p a r a t i o n sa n d a p p l i c a t i o n so fm u l t i p a r t i t eo rh i g h e r d i m e n s i o n a le n t a n g l e m e n t t h em a i nr e s u l t so f t h i st h e s i sa r ef o l l o w s ： 1 t h e p r e p a r a t i o no f m u l t i p a r t i t ee n t a n g l e ds t a t e s i n q u a n t u m i n f o r m a t i o n t e c h n o l o g y , t h ep r e p a r a t i o n a n d m a n i p u l a t i o n o f m u l t i p a r t i t ee n t a n g l e ds t a t e sd i s t r i b u t e di nv a r i o u sl o c a t i o n sa r ef o u n d a t i o nf o rs e t t i n g u pq u a n t u mc h a n n e l sa n dc a r r y i n go u tq u a n t u mc o m p u t a t i o n t h o s ea r es i g n i f i c a n t f o r p r o m o t i n g t h e p r o g r e s s o fq u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c e ，i nt h i s t h e s i s ，( 1 ) s q u e e z e dc o h e r e n ts t a t e sa r ec o h e r e n ts t a t e si nq u a s i - - p a r t i c l es p a c e ，w en o t et h a tt h e c h a r a c t e r i s t i co ft h e s i n g l em o d ec a v i t yf i e l d i na s q u e e z e d c o h e r e n ts t a t ew i t h s u f f i c i e n t l yl a r g ea m p l i t u d e si sa n a l o g o u st ot h a to ft h es i n g l em o d ec a v i t yf i e l di na c o h e r e n ts t a t ea n di s i s o m o r p h i ct oat w o - s t a t ep a r t i c l ew i t hs p i n 一1 2 as c h e m ei s 2 0 0 4 链 中国科学技术人学博b 学位论文 f i r s t l yp r e s e n t e d t op r e p a r es p i n t y p eg h zs t a t e so ft h r e ec a v i t i e si ns q u e e z e dc o h e r e n t s t a t e sv i a t h ej a y n e s - c u m m i n g sm o d e lw i t h l a r g ed e t u n i n g t h ec o n c l u s i o nc o n t r a r yt o t h el o c a lh i d d e nv a r i a b l e st h e o r y ( l h v ) i so b t a i n e db y m e a s u r i n gt h ep a r i t y o f c a v i t y f i e l d ( 2 ) t h em u l t i e l e m e n te n t a n g l e ds q u e e z e dc o h e r e n ts t a t ei sp r e p a r e dv i a t h en o n r e s o n a n ti n t e r a c t i o nb e t w e e nat w o - l e v e la t o ma n dat w o m o d e c a v i t yf i e l d ( 3 ) t w os c h e m e sf o rp r e p a r i n gt h en - p a r t i c l eg h z s t a t e sv i ae n t a n g l e m e n ts w a p p i n ga n d e n t a n g l e m e n tp u r i f i c a t i o na r ed i s c u s s e d i nt h ec e n t e r ，t h ec o n t r o l l e r ，a l i c ep e r f o r m s a l lr e q u i r e dl o c a lq u a n t u m o p e r a i o n sa n dc l a s s i c a lc o m m u n i c a t i o n t h o s ep r o v i d ea p o s s i b l ef o r t h en e tq u a n t u mc o m n m n i c a t i o n 2 t e l e p o r t a t i o no f aq u a n t u me n t a n g l e ds t a t ev i aag h z s t a t e t e l e p o r t a t i o ni so n eo ft y p i c a lf a s h i o n so fq u a n t u mc o m m u n i c a t i o ns u c c e e d e di n e x p e r i m e n t s i t s t r a i ti s t r a n s m i t t i n g aq u a n t u ms t a t ev i aaq u a n t u mc h a n n e la n d a n c i l l a r y c l a s s i c a li n f o r m a t i o n ，a n dt h a tt h ep a r t i c l ep e rs ei sn o tt r a n s m i t t e d t h e d i f f e r e n ts c h e m e sf o r t e l e p o r t a t i o n o fm u l t i p a r t i t e e n t a n g l e d s t a t e s b yu s i n gt h e t r e e p a r t i c l ee n t a n g l e ds t a t e sa sq u a n t u mc h a n n e l sa r ep r o p o s e di nt h i st h e s i s ( 1 ) a t w o p a r t i c l ee n t a n g l e d s t a t ei s t e l e p o r t e db yi n t r o d u c i n ga na u x i l i a r yp a r t i c l e a n d p e r f o r m i n gt w i c eb e l lb a s i sm e a s u r e m e n t sv i aao h z s t a t ec h a n n e l ( 2 ) t w os c h e m e s a r e p r o p o s e d f o rt h e p r o b a b i l i t yt e l e p o r t a t i o n o fa b i p a r t i t ee n t a n g l e d s t a t ev i a n o n m a x i m a l l yt r e e - - p a r t i c l ee n t a n g l e ds t a t eb yu s i n gp o v m m e a s u r e m e n to rc n o t o p e r a t i o n s ( 3 ) t h em u l t i a t o me n t a n g l e ds t a t ei st e l e p o r t e db yu s i n gag h z s t a t ea s t h eq u a n t u mc h a n n e l w h i l et h eg h zs t a t ei s c o m p o s e do fas i n g l e m o d eh i g h q c a v i t ya n dt w ot w o - l e v e la t o m s ，t h ep r o c e d u r eo ft h er e q u i r e dj o i n tm e a s u r e m e n ti s s i m p l i f i e d 3 r e m o t ec o n t r o lo f o n e q u b i to f am u l t i p a r t i t es t a t e t h ep r o p e r t ya n dm a n i p u l a t i o nt e c h n i q u eo fq u a n t u mo p e r m i o n sa r ea l la l o n g f a s c i n a t i n gs u b j e c t s q u a n t u mo p e r a t i o n sa r ec o n s i d e r e da sau s e f u lp h y s i c a lr e s o u r c e o na ne q u a la n dl o g i c a l l yi n d e p e n d e n tf o o t i n gt oq u a n t u ms t a t e sa n dp r o c e s s e da s q u a n t u ms t a t e s h u e l g ae t a 1 h a v ei n v e s t i g a t e dt h ei m p l e m e n t a t i o no fa na r b i t r a r y u n i t a r yo p e r a t i o n u u p o na d i s t a n t q u b i to n l yb yl o c a lq u a n t u mo p e r a t i o n sa n d 2 0 0 4 盆 中同科学投术大学博士学位论文 e x c h a n g eo f c l a s s i c a lc o m m u n i c a t i o n ( l q c c ) a n d p r o v e dt h a tt h er e q u i r e dr e s o u r c e s a r e ，n e c e s s a r i l y , t h o s en e e d e d f o ri m p l e m e n t a t i o nb yb i d i r e c t i o n a l q u a n t u m s t a t e t e l e p o r t a t i o n ( b q s t ) t h i st e l e p o r t a t i o no fu c a nb ev i e w e da saq u a n t u mr e m o t e c o n t r o l ，w ec o n s i d e rt h er e m o t ei m p l e m e n t a t i o no fa na r b i t r a r yu n i t a r yo p e r a t i o no n o n eq u b i to fap u r et w o q u b i te n t a n g l e ds t a t ev i ae n t a n g l e m e n ts w a p p i n gi nd e t a i l ， t h e ng e n e r a l i z et h i sp r o t o c o lf r o m t w o q u b i tt od - q u b i te n t a n g l e ds t a t e s t h er e s o u r c e s r e q u i r e d f o rt h i s p r o t o c o l a r el e s st h a nt h a to ft h eb i - d i r e c t i o n a l q u a n t u ms t a t e t e l e p o r t a t i o nm e t h o d t h i sw o r km a yb eu s e dt o c o n t r o lr e m o t e l yo t h e rq u a n t u m s y s t e m s a n dh a v eap o t e n t i a la p p l i c a t i o ni nd i s t r i b u t e dq u a n t u m c o m p u t a t i o n 4 t h e p u r i f i c a t i o na n da p p l i c a t i o no fh i g h e r - d i m e n s i o n a le n t a n g l e ds t a t e s t h e r ee x i s t sas t e a d i l yg r o w i n gi n t e r e s ti ne n t a n g l e m e n ti nh i 曲e rd i m e n s i o n s s i n c ei ta l l o w sr e a l i z a t i o no fn e wt y p e so fq u a n t u mc o m m u n i c a t i o np r o t o c o l sa n d p r o v i d e sm o r es e c u r i t yi nq u a n t u mc o m m u n i c a t i o na p p l i c a t i o n s m o s to f t h ec n r r e n t a p p l i c a t i o n s o fe n t a n g l e m e n ti n q u a n t u mi n f o m a a t i o nw o r kb e s t f o r m a x i m a l l y e n t a n g l e ds t a t e s h o w e v e r ，i np r a c t i c eo n ea l w a y sh a st od e a lw i t hn o n m a x i m a l l y e n t a n g l e do rm i x e ds t a t e s t h e r e f o r e ，m a n yq u a n t u mp r o t o c o l ss u c ha sd i s t i l l a t i o n ， p u r i f i c a t i o n ，c o n c e n t r a t i o n a n de r r o rc o r r e c t i o nh a v eb e e n s u g g e s t e d i no r d e rt o e n h a n c et h eq u a l i t yo f e n t a n g l e m e n t i n t h i st h e s i s ，t w os c h e m e sa r ed i s c u s s e df o rt h e p u r i f i c a t i o no f am u l t i p a r t i t ee n t a n g l e ds t a t eb yu s i n gt h ep o v mm e a s u r e m e n ta n da u n i t a r y t r a n s f o r m a t i o no nt w op a r t i c l e s m o r e o v e r , t w os c h e m e sf o r r e a l i z i n g e n t a n g l e m e n tc o n c e n t r a t i o nf r o mp u r ee n t a n g l e dp a i r so fq u t r i t sa r ep r e s e n t e db yl o c a l o p e r a t i o n sa n d c l a s s i c a lc o m m u n i c a t i o n t h o s em e t h o d sc a nb ee a s i l yg e n e r a l i z e dt o d - d i m e n s i o n a l ( d 3 ) q u a n t u ms y s t e m s c o m p a r et w om e t h o d si nt e r m so fr e q u i r e d r e s o u r c ea n dl o c a lo p e r a t i o n s ( l o s ) o n eq u d i ti si n t r o d u c e da n da l i c em a k e sa l ll o s i nt h ef i r s tm e t h o d o nt h eo t h e rh a n d ，n 一1 q u d i t sa r er e q u i r e da n da l i c ea n db o b m a k eb i l a t e r a ll o si nt h es e c o n dm e t h o d f i n a l l y ，ap r o t o c o lf o rt h ep r o b a b i l i s t i c d e n s ec o d i n gv i aag e n e r a lp u r eh i g h - d i m e n s i o n a l b i p a r t i t ee n t a n g l e m e n t s t a t ei s p r o p o s e d t h es u c c e s s f u lp r o b a b i l i t y i sd e t e r m i n e db yas m a l l e rc o e f f i c i e n to ft h e e n t a n g l e dp a i r t h e n i ti sg e n e r a l i z e dt oh i g h e r - d i m e n s i o n a ls i t u a t i o n 2 0 0 4 盘i 中国科学技术夫学博：卜学位论文 第一章量子纠缠态及 应用简介 信息时代，人类对信息需求的日益增加，促使人们不断地致力于信息技术的 更新和发展。奇妙无比的量子力学与信息科学的结合便诞生了一门新的科学一 量子信息科学。所谓的量子信息科学，实质上就是研究用量子态编码信息，并进 行信息处理、传输的理论和技术。由于物理学家将信息的基元由经典比特扩展到 量子态，应用于量子通信和量子计算理论。信息的演变遵从薛定谔方程，信息的 传输就是量子态在量子通道中的传送，信息处理是量子态的幺正变换，信息的提 取便是对量子系统实行量子测量【1 】。从而使量子信息具有经典信息所没有的许多 新特征和无法比拟的优势。尤其量子力学理论中，像纠缠态这样奇特的量子态， 涉及实在性、定域性、隐变量以及测量理论等量子力学的基本问题，曾经困惑了 几代人。近年来，随着量子信息学的蓬勃发展，量子纠缠态得到了广泛的应用， 诸如应用于量子密钥分配、量子密集编码、量子隐形传态、量子纠错码、 量子计算等领域 2 1 1 】。而且，量子纠缠态在信息领域中具有独特的功能， 在提高运算速度、确保信息安全、增大信息容量和提高检测精度等方面可能突破 现有的经典信息系统的极限 1 】。因此，对量子纠缠态的深入研究，诸如纠 缠量化、制备、操纵、控制等，无论是对于量子信息的基本理论还是对未 来的实际应用都具有十分重要的意义。而且，量子信息学的发展又直接推动了 纠缠态理论的研究与发展。 第一节量子纠缠态的引入 量子纠缠指的是两个或多个量子系统之间的非定域、非经典的关联 t 2 】，即 对一个子系统的测量结果无法独立于其它子系统的测量参数。具有这种 关联的多体系的特殊形式的量子态被称为量子纠缠态。虽然，近些年来，随着量 子信息这一新兴领域的蓬勃发展，量子纠缠态逐渐为人们所熟悉，但它并不是什 么新生事物。纠缠态的概念最早是在著名的文章“e p r ( e i n s t e i n - p o d o l s k e y - r o s e n ) ” 2 0 0 4 自三 中国科学技术大学博l 学位论文 佯谬【1 3 】和“s c h r 6 d i n g e r ”猫念【1 4 】中率先提出并使用的。以上两篇文章对量子 力学的基本原理和概念的正统诠释提出了激烈的批评。他们的批评一方面促进了 人们对量子力学的基本概念做更深刻的探讨，另一方面也使人们逐渐搞清了他们 对正统量子力学的责难，究竟问题出在何处。 1 、 e p r 佯谬 e p r 认为 1 3 ，( 1 ) 量子力学对于“物理实在”的描述是不完备的，主要起 因于对量子力学概率幅解释的质疑。e i n s t e i n 的名言“上帝是不掷骰子的”，充分 体现了他对量子力学本质上体现的不确定性的反对。( 2 ) 量子力学的理论体系是 不自洽的，主要来源于对纠缠态概念的澄清。e i n s t e i n 提出了一个基于他的物理 直觉的假定，称为局域性假定【1 5 ：如果a 、b 是两个类空分离的系统，那么对 一个物理实在能够进行完备描述的理论框架中，对a 系统进行的操作不应该改 变对b 系统的描述。现在，让我们来看看，如果用此观点来解释纠缠态时会发 生什么情况。 假设彼此分离的a l i c e 和b o b 共享一个纠缠态 i 西 么= 击( 1 0 0 + 1 1 1 ) 。8 ( 1 1 ) 他们之间的距离如此遥远以至于他们事实上处于类空间隔中，他们在整个事件发 生过程中从来不曾发生也来不及发生任何形式的相互作用。a l i c e 可以自由地选 择对a 粒子进行某一种正交基测量，比如 10 。，1 1 。 。根据量子力学原理，测 量结束后，a l i c e 将以1 2 的概率得到1 0 。或l l 。，又由于a 、b 处于方程( 1 1 ) 所示的纠缠b e l l 态中，b o b 处b 粒子的状态在测量结束后也将相应变为 0 。 或1 1 。但是，在测量之前b 粒子的状态是由下砸的密度矩阵描述的 p 目= r r ( 1 m 五。； 和j b 两个内部态之间的 r a n 振荡，再交替使用微波辐射场使9 + 的质心运动从谐振子基态激发到相干 态。最终，实现了把9 m + 质心运动的相干态波包与9 + 内部态的纠缠态 l 掣 = 击e 1 、 l x l + l 山 x 2 】 ( 1 3 ) m o n r o e 还对这种s c h r 6 d i n g e r 猫态进行了一系列操作，观测结果肯定了量子力学 2 0 0 4 色中国科学技术人学博 学位论文 中的非定域性。 第二节量子纠缠态的度量与分类 1 、 量子纠缠态的定义 考虑体系a 、b 组成的二体系纯态情形。设a 的一组力学量完全集的共同 本征态记为l “ ，u 代表一组完备量子数，b 的一组力学量完全集的共同本征 态记为jv ，v 代表一组完备量子数，则 “ 。圆i - p 。可以作为复合体系a + b 的一个完备基，复合体系的任意量子态1 v 。可以表示成他们的线性叠加 t 月8 = c 。i “ 月lv b ( 1 4 ) 如果整个体系的态矢量1 掣 。不可能写成子系统态矢量的直积形式 “ 。o lv 。( u ，v 任意) 时，则称量子态l 掣 。为纠缠态 2 6 】。而直积形式的 量子态i “ 。oiv 。( u ，v 任意) ，称为非纠缠态，而体系一般状态则是这种直 积形式量子态的线性叠加，这就构成纠缠态。 以上定义可以推广到多体系或多自由度体系。 对于混合态情况，两个子系统构成的复合系统的混合态，当且仅当不能表示 成 k ( a ，b ) = 只i 一( 爿，b ) 都是可分离态时，这样的混合态是混合纠缠 态。否则，就说它是一个混合非纠缠态 2 7 】。 2 、纠缠态的度量 违背b e l l 不等式虽是量子纠缠的一个显著特征，但并不是所有纠缠态都违 背b e l l 不等式。因此，就需要对一个纠缠态在多大程度上违背b e l l 不等式以定 量描述。这就启发了最初的对纠缠度量问题的研究。最近几年来，在量子纠缠度 量方面已经取得了一些重要进展，对于两个子系统构成的纯态纠缠已研究清楚， 2 0 0 4 疰中国科学技术大学博j ：学位论文 有较为确定的结果，但对于混合纠缠态的度量、多子系统纠缠态的度量，仍然是 亟待解决的关键性问题。 纠缠程度的度量简称纠缠度，所谓纠缠度，就是指所研究的纠缠态携带纠缠 的量的多少 2 8 。纠缠度的提出，为不同的纠缠态之间建立了可比关系。纠缠度 的定义有多种，但都必须满足以下几个基本要求： ( 1 ) 可分离态的纠缠度为0 ； ( 2 ) l u ( 局域幺正变换) 等价的态应具有相同的纠缠度； ( 3 ) l o c c ( 局域操作和经典通信) 变换后，平均纠缠度不增： ( 4 ) 对于直积态，纠缠度是可加的。 下面，我们就先来介绍两子系构成的复合系统的纠缠定量化问题。目前，人 们已广泛使用的由b e l l 基 2 9 描述的四个最大纠缠态作为定量化两子系统纠缠 的标准，每个b e l l 态的纠缠度定义为1 ，也称为一个e b i t ( 纠缠比特) 。对于 个两子系的纯量子态i i i f ，) 。，它的纠缠度等于任一子系统约化密度矩阵的v 。n n e u m a n n 熵s ( p 1 ) 3 0 。例如，子系a 的v o nn e u m a n n 熵的表示为 s ( p ) = 一p ，l 0 9 2n ( 1 6 ) 其中b 为予系a 约化密度矩阵p 。= t p 。的所有本征值。两子系复合系统的一 个特征是它可以进行s c h m i d t 分解 3 1 ，3 2 。比如说一个m h 维的复合系统，不 妨令聊兰疗，则此系统中的任一纯态i 力。可以写成： l y ) 。= p fl i a l i ) 。 ( 1 7 ) i = 1 这里 f ) 。 与 f ) 。 分别为a 与b 子系m 维空间中的一组正交基。由此我们可以 看出两个子系统的v o nn e u m a n n 熵是相等的。但对多子系复合系统，s c h m i d t 分解 不再是展开一个纯态的必要条件，于是，单个子系的v o nn e u m a n n 熵也无法完全 刻画多子系系统的纠缠。 在实际的纠缠态的产生、传送和存储的过程中，我们无法完全避免其与外界 环境、各种噪声和耗散因素相互作用，而作用的结果可能会使其从一个纯态变为 混和态。因此很有必要对混合纠缠态加以研究。由于在混合纠缠态中，量子关联 2 0 0 4 生中国科学技术火学博士学位论文 成分和经典关联成分杂揉在了一起，给纠缠定量化带来一些困难。对于混合纠缠 态的量化，可以采用从中提取出最大纠缠态或者生成时所消耗的最大纠缠态的数 量等方式来加以量化。 蒸馏纠缠( d i s t i l l a b l eo fe n t a n g l e m e n t ) ：对于一个给定的态p 月8 ，利 用局域量子操作和经典通信( l o c c ) 可以提取出的b e l l 态的最大数目定义为蒸馏 纠缠 3 3 。假设有n 份拷贝，可从中提取k 个b e l l 态，则数学表达式为 e d ( p 8 ) = 1 i m 争 ( 1 8 ) 生成纠缠( f o r m a t i o no fe n t a n g l e m e n t ) ：对于一个给定的纠缠态p b ， 利用局域量子操作和经典通信( l o c c ) ，为制备态p 。所消耗f f t j b e l l 态的最小数 目定义为生成纠缠 3 3 。数学表达式为 e f ( p 。月) = l i m 争 ( 1 9 ) 这两种纠缠度定义分别反映了混合态的两个不同的方面。当所考虑的态为两子系 复合系统的纯态时，昧( p 。) = e 。( p 。) = s ( p 。，) ，与纯态情况下的定义是相吻 合的。 多子系系统的纠缠态具有很多为两予系系统纠缠态所不具备的性质，但是到 目前为止，多子系统的定量化纠缠仍是一个十分棘手的问题 3 4 ，3 5 。对多粒子 纠缠纯态，不存在通常意义上的s c h m i d t 分解 3 6 ，但推广的s c h m i d t 分解则是可 能的 3 7 ，3 8 。于是，各个子系的v o nn e u m a n n 熵可能是不相等的，这启示人们， 描述多子系系统的纠缠度不能由一个数，而应由一组数来描述。b e n n e t t 等人定 义一组态g = ，：，) 为最小可逆的纠缠生成集。任何一个多子系系统的纯 纠缠态可由这组生成集以渐进可逆的方式实现，每个生成元都联系着一个纠缠 度。但是，目前对这个生成集的构成尚不十分清楚。 对于多子系复合系统混合念的纠缠，情况更加复杂。e i s e r t 和b r i e g e l 引入了 一种基于s c h m i d t 数的纠缠度来定量化多粒子的纠缠 3 9 1 ，可以证明它是一种纠 缠单调 4 0 ( 即符和h o r o d e c k i 的基本假定) 。但人们更倾向于将讨论二子系问题 时的概念