（概率论与数理统计专业论文）非线性数学期望.pdf

附件一： 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名：日期： z - 一j 、午、f r 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅：本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本 学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 一：哔翮签名融 强；沙王? 引5 蟑 山东大学博士学位论文 非线性数学期望，期望理论及其在金融中的应用 江 龙 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 中文摘要 期望效用理论是现代数理经济学的基础，但是诺贝尔经济学奖获得者a l l a i s 提 出的著名的a l l a i s 悖论使得期望效用理论受到了很大的挑战科学家们已经发现传 统的期望效用理论的线性性一源于线性数学期望一是导致a l l a i s 悖论的主要原 因为了克服基于线性数学期望的期望效用理论在解释经济现象时的不足，许多数 学家与经济学家致力于研究非线性数学期望，如法国著名数学家c h o q u e t 提出了 c h o q u e t 期望理论但c h o q u e t 期望和其它许多非线性期望一样在定义t 时刻已知 信息下的条件期望时遇到了实质性的困难，这个闻题的存在使得他们的理论难以用 于动态经济模型彭实戈 1 通过倒向随机微分方程引入了g 一期望与条件g 期望的 概念，从而在一定的框架下建立了动态非线性数学期望理论的基础特别是经过近 年来的研究，科学工作者已经发现9 期望是研究递归效用理论与金融风险度量的 有力工具 为叙述方便，我们介绍如下记号对于如下形式的倒向随机微分方程 玑：一r9 ( s , y s , z s ) d s t z s d b ，o ts 丁( 1 ) 我们设9 满足( a 1 ) ：一致l i p s c h i t z 条件与( a 2 ) ：平方可积条件9 被称为倒向随机 微分方程( 1 ) 的生成元，( g 、t ) 被称为例向随机微分方程( 1 ) 的标准参数我们j 肾 以( 9 ，t ，0 为标准参数的倒向随机微分方程( 1 ) 的惟一一对平方可积的适应解记为 ( k ( 9 t ，) z t ( 9 t ，f ) ) n t ! - 如果g 还满足( a 3 ) ：g ( t 0 ) ；0 那么将k ( 9 t f ) 记为岛k _ 并弥之为f 的9 期望，将m ( 9 ，t ) ，记为岛睁五】i 并称之为f 的条件g ，期望 本文深入地研究了倒向随机微分方程特别是g 期望理论中的很多基本问题，并 研究了它们在金融风险度量与金融资产定价中的应用在以下方面取得显著进展： 一、第一章建立了倒向随机微分方程生成元的一般表示定理1 3 5 f 该工作的阶段性结果已发表于法国c r a c a d s c i a 3 1 ) 该结果对本文第二、第三、第四章结果的获得具有关键性的影响 为了研究倒向随机微分方程理论中的逆问题，b r i a n d c o q u e t h u - m m i n p e n g ( 2 0 0 0 ) 在假设g 满足附加条件( 9 ( ，y ，= ) ) 。n r l 关于时间t 连续与es “p o c r i g ( t 、0 o ) 2 | o c t 山东大学博士学位论文 的情况下建立了关于倒向随机微分方程生成元的如下形式的表示定理：对v ( t ，y ，：) 0 ，t rx r “，有 1 g ( t ，= ) = l 2 l i m m ( g ，t + e y + z - ( b t + 。一b ) ) 一y ( 2 ) 进一步的研究表明倒向随机微分方程理论与非线性数学期望理论中的很多基本 问题与生成元9 的表示问题有紧密的联系，同时由倒向随机微分方程描述的金融资 产定价机制的研究也与生成元的表示密切相关但是上述两个附加条件使得该结果 的应用受到了很大的限制本文第一章在一般情况下证明了 定理1 3 5 ( 生成元表示定理) 设g 满足( a 1 ) 与( a 2 ) i 设1 p 2 则对任 意( ，= ) r r 。，如下等式对 0 ，t 中几乎所有的t 都成立： 1 9 ( t ，y ，= ) = l p l i m m ( g ，t + e y + z ( b l + f b ) ) 一y 由于没有b r i a n de ta 1 ( 2 0 0 0 ) 的两个附加条件，因此本文建立的表示定理的形式 与( 2 ) 有明显的不同，同时在证明中需要寻找一些本质的关系并克服一些实质性的 困难定理1 3 5 无论从条件、形式还是从证明方法上看都是b r i a n de ta 1 ( 2 0 0 0 ) 表 示定理的实质性的、一般化的结果同时由于定理1 3 5 是在关于倒向随机微分方 程的两个最基本的假设条件下获得的，因此其应用范围可以扩展到倒向随机微分方 程理论的基本研究领域 二、第二章我们系统、深入地研究g 期望理论的基本问题 我们完整地证明了彭实戈1 9 9 7 年提出的关于g 一期望的生成元的惟一性猜想 ( 定理2 2 1 ) ；为了将g 期望理论应用于金融风险度量并建立g 期望与当前金融风 险分析领域著名的一致性风险度量( c o h e r e n tr i s km e a s u r e ) 与凸风险度量( c o n v e xr i s k m e a s u x e l 理论之间的联系，我们研究了g 期望的平移不变性、次可加性与齐次性问 题，获得了g 期望的平移不变性定理2 3 1 ( 这也是9 - 期望的概念提出以来研究者 一直关注但始终没有解决的问题) 得到了9 一期望的次可加性与齐次性成立的充分必 要条件 ( 本章部分r 阶段性j 结果发表于美国s t a t i s t i c sa n dp r o b a b i l i t yl e t t e r s 3 4 ，法 国c r a c a d s c i 3 5 以及a c t am a t h a p p l s i n ( e n g s e r ) 【3 6 ) 值得特别指明的是：以上结果都是在关于驴期望定义的一般假设( a 1 ) ，( a 3 ) 条 件下得到的，结果的形式均以充分必要条件给出与以往的研究者不同的是他们的 充分必要条件需要借助于9 关于时间的连续性假设并且常常借助于倒向方程的解的 过程( 6 f f l ，, ) ) 来完成对9 的性质的描述而本文不需要连续性假设并且只要利用 解在初始时刻的值岛就完成了对9 的性质的描述证明的关键性在于作者得到 了一般情况下的表示定理1 35 ，并由此得到了一般条件下的驴期望的生成元的惟一 山东大学博士学位论文 性定理；进而发现了g 一期望具有平移不变性的本质条件，并利用9 一期望的平移不 变性定理发现了g 期望的次可加性成立的充分必要条件；利用g - 期望的惟一性定 理给出了g 一期望的齐次性的充分必要条件 本章我们还获得了关于倒向随机微分方程生成元的惟一性定理与一般逆比较定 理以及关于g 期望的逆比较定理， 本章还给出了g 期望是c h o q u e t 期望的一个有趣的必要条件 本章关于g 期望的生成元的惟一性与逆比较问题的研究深受彭实戈 1 1 陈增 敬b r i a n de ta 1 ( 2 0 0 0 ) c o q u e te ta 1 ( 2 0 0 1 2 0 0 2 ) 的工作的启发 以下是第二章的主要结果 定理2 2 1 ( 9 期望的惟一性定理) 设9 l ，9 2 满足( a 1 ) 与( a 3 ) 那么以下条件 ( i ) 与滔) 等价： ( i ) d p d t os ，v ( ，z ) r x r d ，9 1 ( t ，：) = 卯( t ，p ，z ) ( i i ) 岛：蚓= 岛。，v l 2 ( 旺厅，p ) 定理2 2 3 ( 倒向随机微分方程生成元的惟一性定理)设两个生成元9 l ，9 2 满 足似，似到与连续性假设似纠则以下两个条件等价： ( 1 ) 对任意停时r t ，有：均( 9 l ，r ) = y o ( 9 2 ，r ，) ，v ( f 2 ，i ，p ) ( i i ) p 一。s ，对任意( t ，。) 0 t 】rx r “有：9 1 ( ，g ，2 ) = 9 2 ( t ，：) 定理2 3 1 ( g 一期望的平移不变性定理) 设g 满足一z ，与阻到则下列三个条件等价： ( i ) g 不依糊于变量： ( i i ) 岛碴+ c j = 9 g + c v f l 2 ( f ) ，斤p ) c r ( i i i ) 对v l 2 ( n ，厅、p ) 0 ，f 】，露l 2 ( n 五p ) 有： p g s ，岛膳+ q 1 c j = 岛 4 i j - , 】+ 1 定理2 3 2 ( g 一期望的次可加定理) 设g 满足似j ，似弘则如下条件等价： ( i ) 9 不依赖于口并且g 关于变量。是次可加的，即 d pxd t 一s vz l ，z 2er ， g ( t ，z 1 + z 2 ) 9 ( f 2 2 ) + 9 ( t ，z 2 ) ( i i ) g 一期望岛 是次可加的 命题2 3 1 0 如果一个9 期望h 是c h o q u e t 期望则 ( i ) g 不依翰于，并且g 关于z 是正齐次的 ( i i ) 特别地，如果d = l ，则存在两个有界的循序可测过程( o f ) t e - 0 , t 1 与 ( 卢) r e f o ，引，使得口( ，。) = a d zj + 卢c 2 ，v ( z z ) 0 ，t 】r 定理2 , 4 2 ( g 一期望的逆比较定理) 设两个生成元9 1 ，9 2 满足( 4 1 ) ( a 3 ) 并且 它们都不依赖于则以下两个条件等价： 山东大学博士学位论文 ( i ) d pxd t d ，vz i ：t “，g l ( t ，o ) 出( t ，2 ) ； ( i i ) 对任意f l 2 ( n ，厅，p ) ，有：岛。岛： 定理2 4 4 ( 倒向随机微分方程生成元的一般逆比较定理) 设g l ，9 2 满足1 ) 与( a 2 ) 则以下条件等价： ( i ) d p 出一a 8 ，v ( y ，z ) rxr d ，g l ( t ，y ，z ) 9 2 ( t ，y ，：) ( i i ) 对v t 0 ，t 1 ，f l 2 ( n ，五，p ) ，有： p a 8 ，k ( 9 1 ，t ，f ) k ( 9 2 ，t ，) ，y s 0 ，t 】 三、第三章深入、系统地研究了基于g 期望的j e n s e n 不等式的问题 获得了基于g 期望的j e n s e n 不等式成立的充分必要条件，该条件的形式是出 人意料的 本章的阶段性结果已陆续发表于法国c r a c e l ( i s c i 1 0 - 1 1 1 与c h i n e s ea n n a l s m a t h s e r b 3 s 我们知道，关于经典的数学期望的j e n s e n 不等式是现代概率论与鞅论中的一个 基本不等式我们也知道g 期望是一种推广的非线性数学期望，那么一个自然的问 题是： 基于g - 期望的j e n s e n 不等式能够一般成立吗? 也就是说，对于给定的9 - 期望 岛限如果凸函数妒：r 时r 与随机变量 满足f ，妒( f ) 驴( q ，矗，p ) ，那么 岛怕( f ) i 五】妒i 岛( 引五) 】 一定能够成立吗? b r i a n d e t a l ( 2 0 0 0 ) 给出了个反例指出即使对线性函数妒，基于g - 期望的j e n s e n 不等式也不能一般成立 p e n g ( 1 9 9 9 ) 通过倒向随机微分方程引入了一类非线性鞅一俨鞅，他还介绍了 旷上鞅与9 - 下鞅的概念运用惩罚方法p e n g 获得了关于9 - 鞅的一个基本结果： 哥上鞅的非线性d o o b - m e y e r 分解定理一个自然的问题是： 对于争鞅( 咒) t m ，卵与凸函数妒：rh + r ，我们应该如何对g 赋予适当的条件 才能使得( 妒( 噩) ) o 。”成为一个g 一下鞅? 以往关于基于9 期望的j e n s e n 不等式的研究大多是在一些很特殊的情况下给 出某些成立的条件，而本章对上述问题进行了系统、深入的研究，并幸运地找到了 结论的正确的形式，该形式与研究者一般设想的形式不同( 由于j e n s e n 不等式研究 的是期望算子与凸函数交换次序后的关系，因此有人猜想：要使得基于g - 期望的 j e m e n 不等式一般成立，那么g 应该是凸函数因此以往关于基于g 期望的j e n s e n 不 等式的研究大多假设g 是凸的) ，得到了系列、完整的结果使用的主要理论工具是在 i v 山东大学博士学位论文 前二章我们建立的表示定理、平移不变睦定理、逆e 匕较定理以及著名的比较定理 本章得到如下主要结果： 定理3 2 2 设9 满足( a 1 ) 与( a 3 ) 则以下三个条件等价： ( i ) 9 不依赖与g 并且9 关于= 是超齐次的，即d p d t a 8 ， + a i t , ：r 4 g ( ，a z ) a 9 ( ，z ) ( i i ) 对任意o ，b r ，l 2 ( q 乃、，p ) ，有岛江+ b 】o 岛+ b ； ( i i i ) 基于g 一期望的j g n s e n 不等式一般成立，即：对v f l 2 ( n ，而，p ) 以及凸函数：r _ r ，如果妒( ) l 2 ( f 2 厅，p ) ，则 p 一。s v t 0 t 9 ( ) 五 妒汪j ( ( 1 7 t ) 推论3 2 4 设9 不依赫于y j9 eo 并且9 关于z 是超齐次的 设( 甄) 。i 0 , t 是9 一鞍，妒r r 是一个凸函数，且p ( 五) 上2 ( q 五，p ) ，v ! 0 ，z j 则( p ( x f ) ) i o ，t 1 是g 一下鞍， 定理3 2 5 设9 满足( 4 1 ) ( , 4 3 ) 并且不依赖于i 又设9 是关于z 的凸函数 则以下两个条件等价： ( i ) g 是正齐次的； ( i i ) 基于g - 期望的j et l s c , 1 不等式一般成立 定理3 3 1 设满足( j 4 1 ) ，( 4 3 ) 则以下三个条件等价： ( i ) g 不依赖于y 并且d p d t n s ，va 0 ，z r d ， g ( t ，：) 三a g ( t ，：) ( i i ) 对任意q20 ，b r ，专l 2 i n ，厅，p ) ，有岛( 。+ b d 9 引+ 缸 ( i i i ) 基于9 期望的j c n s 不等式关于单调增加的凸函数一般成立 定理3 3 4 设9 满足( a 1 ) ，( 4 3 ) 且g 不依赖于则以下条件等价： ( i ) d p d t 。s a 0z r 。，9 ( t ，n z ) a 9 ( t ，。) ； ( i i )基于9 期望的j c n s e n 不等式关于单调下降的凸函数一般成立 四、在第四章，我们将在前二章获得的成果应用子风险资产的价格系统理论与 金融风险度量问题的研究 ( 本章在e 1k a r o t z i 一 。e n c = ( 1 9 9 7 ) 工作的基础上得到的关于由倒向随机微分方 程诱导的风险资产非线性价格系统的部分结果已发表于a c t am a t h s i n i c a e n g l i s h s e r 【叫) 关于g 一期望理沦在金融风险度量中的应用，我们先介绍 定义4 2 8 令g 满足阳j 和口3 对vx l 2 ( n ，厅，p ) ，定义 矿( x ) ：= 岛【一捌，p t ( x ) ：= 白i - x j , vt 【0 丁 山东大学博士学位论文 则称矿为由g 一期望岛诱导的静态风险度量，称( 硝) 为由g - 期望岛诱导的动态风 险度量 在关于g - 期望的一般假设条件下，在r o s s a z a ( 2 0 0 4 ) 等工作的基础上，利用第 二章我们得到的结论，我们建立了9 一期望与著名的一致性风险度量( c o h e r e n tr i s k m e a s u r e ) 和凸风险度量( c o l i v e xr i s km e a s u r e ) 之间的联系： 定理4 2 6 设g 满足似i ，和似印则一r 由三个条件是等价的 ( i )9 不依赖于y 并且关于：是次线性的 ( i i ) 矿是一个静态一致性风险度量细h e r e n ti t t e o s t t r eo 临纠 ( i i i ) ( 西) t e o 门是一个动态一致性风险度量 定理4 2 7 设g 满足阻，和阻圳则下面三个条件是等价的 ( i ) g 不依赖于y 并且关于z 是凸的 ( i i ) 矿是一个静态凸风险度量f c o n 口e zm e a s u r eo l 胁纠 ( i i i ) ( 群) c 0 ，t 】是一个动态凸风险度量 关键词：倒向随机微分方程；9 期望；生成元表示定理； 基于9 - 期望的j e n s e n 不等式；金融风险度量 v i 山东大学博士学位论文 n o n l i n e a re x p e c t a t i o n - - g e x p e c t a t i o nt h e o r y a n di t sa p p l i c a t i o n si nf i n a n c e j i a n gl o n g ( s c h o o lo fm a t ha n ds y s t e ms c i e n c e s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t b yp a r d o u x p e n g ( 1 9 9 0 ) w ek n o wt h a tt h e r ee x i s t sau n i q u ea d a p t e da n ds q u a r e i n t e g r a b l es o l u t i o nt ot h ef o l l o w i n gb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( b s d ei n s h o r t ) 玑= f + ，t 9 ( s , y s , z j d s z 7 ，d b 。，。玉? ： ( 1 ) p r o v i d i n gt h a tt h ef l m e t i o ngs a t i f i e st h el i p s c h i t za s s u m p t i o n ( a 1 ) a n dt h es q u a r ei n t e - g r a b l ea s s u m p t i o n ( a 2 ) gi ss a i dt ob et h eg e n e r a t o ro f t h eb s d e ( 1 ) ，( g ，t ，f ) i ss a i dt o b et h es t a n d a r dp a r a m e t e r so ft h eb s d e ( 1 ) w ed e n o t et h eu n i q u ea d a p t e da n ds q u a r e i n t e g r a b l es o l u t i o no ft h eb s d ew i t hs t a n d a r dp a r a m e t e r s ( g ，t f ) b y ( k ( 9 ，r f ) ，a ( g ，t ，) ) r o 丁- i f ga l s os a t i s f i e sg ( t ，0 ) ；0f o ra n y ( ，) t h e n ，y o ( g ，t ，) ，d e n o t e db y g i sc a l l e d g - e x p e c t a t i o no ff ：y t ( g ，t f ) 、d e n o t e db y 岛譬五】，i sc a l l e dc o n d i t i o n a lg - e x p e c t a t i o no f t h eo r i g i n a lm o t i v a t i o nf o rs t u d y i n gg - e x p e c t a t i o nc o m e sf r o mt h e t h e o r yo fe x p e c t e du t i l i t y ，w h i c hi st h ef o u n d a t i o no fm o d e r nm a t h e m a t i c a le c o n o m c s ，t h en o t i o n o fg - e x p e c t a t i o nc a nb ec o n s i d e r e da san o n l i n e a re x t e n s i o no ft h ew e l l - k n o w ng i r s a n o v t r a n s f o r m a t i o n s t h i sd o c t o r a lt h e s i ss t u d ys o m ef u n d a m e n t a lp r o b l e m si ng - e x p e c t a t i o n st h e o r ya n d t h e i ra p p l i c a t i o n st or i s km e a s u r ea n dn o n l i n e a rp r i c es y s t e m ( i ) i nc h a p t e r1 ，w ee s t a b l i s hag e n e r a lr e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mf o r g e n e r a t o r so fb s d e s t h i sr e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mw i l lp i n yak e yr o l ew h e nw es t u d ys o m ef u n d a m e n t a l p r o p e r t i e so fg - e x p e c t a t i o n si nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r s f o rs t u d y i n gak i n do fc o n v e r s ec o m p a r i s o np r o b l e m ，b r i a n de ta 1 ( 2 0 0 0 ) a s t a b l i s h e d t h ef o l l o w i n gr e p r e s e n t a t i o nt h e o r e m ： v i i 山东大学博士学位论文 f o rv ( t ，2 ) 0 ，t x r r 。，t h ef o l l o w i n ge q u a l i t y 9 ( t ，。) = l 2 一：。l i m 。+ i 1 m ( 9 ，+ e ，g + z 。( 口f + r 日f ) ) 一 ( 2 ) h o l d s f o rgk l _ n d e r t w oa d d i t i o n a lc o n d i t i o n s t h a t ( 9 ( t ，z ) ) 蚝i o ，t ii sc o n t i n u o u s w i t hr e s p e c t t otf o re a c h ( y ，。) a n des u p 。 丁i g ( t ，0 ，o ) f 2 l i nf a c t ，m a n yp r o b l e m si nb s d e st h e o r ya n di nn o n l i n e a re x p e c t a t i o nt h e o r ya r e r e l a t e dt ot h ea b o v ek i n do fr e p r e s e n t a t i o np r o b l e m an a t u r a lp r o b l e mi s ： w i t h o u tt h ea b o v et w oa d d i t i o n a lc o n d i t i o n so ng ，c a nw ee s t a b l i s has i m i l a rr e p r e - s e n t a t i o nt h e o r e mf o rg e n e r a t o r so fb s d e s ? i nc h a p t e r1w ee s t a b l i s ht h ef o l l o w i n gr e p r e s e n t a t i o nt h e o r e m1 3 5 ： t h e o r e m1 35 ( r e p r e s e n t a t i o nt h e o r e m ) l e t ( + 4 1 ) a n d ( a 2 ) h o l d 扣r g il e t 1 曼p 2 t h e n o re a c hp a i r ( g ，：) r r “，旃e f o l l o w i n ge q u a l i t y g ( 蜘、：) = 驴一卜如l i m + 瞰( g ，t 托+ ：( b m b ) ) 一胡 h o l d s o ra l m o s te v e r yt f o ，丁 s i n c ew eh a v e n tt h et w oa d d i t i o n a la s s u m p t i o n so fb r i a n de ta 1 ( 2 0 0 0 ) ，t h ef o r m o fo u rr e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mi sd i f f e r e n tf r o m ( 1 1 2 ) ，a n dw eh a v et oe s t a b l i s hs o m e e s s e n t i a l l ya u x i l i a r yl e r n m a sa n dp r o p o s i t i o nt og e to u rr e p r e s e n t a t i o nt h e o r e m ( i i ) i nc h a p t e r2 ，w es t u d ys o m ef u n d a m e n t a lp r o b l e m si ng - e x p e c t a t i o nt h e - o r y u n d e rt h ea s s u m p t i o n s ( a 1 ) a n d ( a 3 ) o ng ，w ep r o v et h a tt h eg e n e r a t o rgo f a l l9 - e x p e c t a t i o n gc a nb eu n i q u e l yd e t e r m i n e db yt h eg - e x p e c t a t i o n g ，t h u s w ec o m f i r mac o n j e c t u r eo fp e n gp r o p o s e di n1 9 9 7 f o ra p p l y i n gg - e x p e c t a t o nt h e o r y t oc o h e r e n tm e a s u r e so fr i s ka n dc o n v e xm e a s u r e so fr i s k ，w es t u d yt h et r a n s l a t i o ni n - v a r i a c e ，s u b a d d i t i v i t ya n dh o m o g e n e i t yo fg - e x p e c t a t i o n ，w eo b t a i nn e c e s s a r ya n d s u f l i c i e n tc o n d i t i o n sf o rg - e x p e c t a t i o n sw i t ht r a n s l a t i o ni n v a r i a n c e ( r e s p s u b - a d d i t i v i t y ，h o m o g e n e i t y ) w eo b t a i nt w oc o n v e r s ec o m p a r i s o nt h e o r e m sf o rg e n e r a t o r s o fg - e x p e c t a t i o n s w ea l s og e tau n i q u e n e s st h e o r e ma n dag e n e r a lc o n v e r s ec o m p a r i s o nf o r g e n e r a t o r so fb s d e s t h ef o l l o w i n ga r et h em a i nr e s u l t so fc h a p t e r2 山东大学博士学位论文 t h e o r e m2 2 1 ( u n i q u e n e s st h e o r e mf o rg - e x p e c t a t i o n ) l e t ( a 1 ) a n d ( a 3 ) h o l d1 0 rt w og e n e r a t o r sg la n d9 2 t h e nt h e o i i o w i n gs t a t e m e n t s ( i ) a n d ( i i ) 。”e q u i v a - l e n t ： ( j ) d p d t n 、v ( 9 ，。) r r 4 ，g l ( t y ，：) = 9 2 ( t y ，。) ( j i ) 岛。吲= 岛：圈，v l 2 ( n ，乃，p ) t h e o r e m2 2 3 ( u n i q u e n e s st h e o r e mf o rb s d e s ) l e tt w og e n e r a t o r sg l ，9 2 s a t i s f ya s s u m p t i o n s 似j ，似砂a n d( a s ) p 一| n s ，v ( y ，z ) r r 4 ，t _ 9 ( y ，z ) i s c o n t i n u o u s t h e nt h ef o i l o w i n gt w oc o n d i t i o n sa f ee q u i v a l e n t ： ( j ) 而re a c hs t o p p i n gt i m erst ，w eh a v e ： y o ( 9 l ，r ，f ) = ( 9 2 ，r ，) ，联l 2 ( q ，p ) ( i i ) p a , s ，f o re a c ht r i p l e t ( t ，y ，z ) 0 ，t r r 4 ，w eh a v e ： 9 1 ( t ：y ，z ) = 9 2 ( t ，y ，z ) t h e o r e m2 3 1 ( t r a n s l a t i o ni n v a r i a n c et h e o r e mf o r9 - e x p e c t a t i o n ) l e t ( a1 ) a n d ( a 3 ) h o l df o rg t h e nt h ef o l l o w i n gt h r e es t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： ( i ) 9i si n d e p e n d e n t 吖 ( i i ) 岛畦+ c = 岛毖】+ e ，比l 2 ( n ，行，p ) ，c i ：t ( i i i ) f o r v f l 2 ( n ， ，p ) ，t 0 ，t ，叩l 2 ( n ，五，p ) ，w eh a v e ： p a s ，岛涪+ _ 五】= 岛健l 五 + q t h e o r e m2 3 2 ( s u b a d d i t i v i t yt h e o r e mf o rg - e x p e c t a t i o n ) l e t ( a i ) a n d ( a 3 ) h o l dy 0 7g t h e nt h e1 0 u o w i n gs t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： ( i ) gi si n d e p e n d e n t 吖ya n dgi ss u b a d d i t i v ew i t hr e s p e c tf oz ，i e d p d t a s ，vz l ，z 2 r “， 9 ( t ，z l + z 2 ) sg ( t ，z 2 ) + g ( t ，砘) ( i i ) t h e9 - e x p e c t a t i o n 岛 i ss u b a d d i t i v e p r o p o s i t i o n2 3 1 0 l e t9s a t i s f y ( a 1 ) a n d ( a 3 ) s u p p o s et h e9 - e x p e c t a t i o n 岛 i sac h o q u e te x p e c t a t i o nt h e n ( i ) g 话i n d e p e n d e n to fya n dp o s i t i v e l yh o m o g e n e o u sw i t hr e s p e c t 幻z ( i i ) 巧d = 1 ，t h e nt h e r ee x i s t st w ob o u n d e da n dp r o g r e s s i v e l ym e a s u r a b l ep r o c e s s e s ( q d t e 0 ，邛a n d ( , 2 t ) t e 0 ，t 1s u c ht h a t g ( t ，# ) = o t h + 觑：，v ( t ，z ) 0 ，明r t h e o r e m2 4 2 ( c o n v e r s ec o m p a r i s o nt h e o r e mf o r9 - e x p e c t a t i o n ) l e tt w o g e n e r a t o r sg la n d9 2s a t i s f ya s s u m p t i o n s ( a 1 ) a n d ( a 3 ) a n db eb o t hi n d e p e n d e n td ，y t h e nt h ey o l l o w i n gt w os t a t e m e n t sn r ee q u i v a l e n t ： ( i ) d p xd t a s ，v 。r 4 ，g l ( t z ) 虫( t ，2 ) ； ( i i ) ，d re a c h 铲( n ，g e t ，p ) ，w eh a v e ：岛i 岛2 i x 山东大学博士学位论文 t h e o r e m2 4 4 ( c o n v e r s ec o m p a r i s o nt h e o r e mf o rb s d e s ) l e t ( a 1 ) a n d ( a 2 ) h o l d o rt w og e n e r a t o r sg la n d9 2 ，t h e nt h ey o l l o w i n gs t a t e m e n t sb me q u i v a l e n t ： ( i ) d p d t o s ，v ( g ，= ) r r 4 ，g l ( t ，y ，：) 9 2 ( t ，z ) ( i j ) f o rvt o ，丁】，f 三2 ( f l , 五，p ) ：p a 8 ， y , ( g l ，t ，) y , ( g z ，t ，) ，v s 【o ，日 ( i i i ) i nc h a p t e r3 ，w es t u d yj e n s e n si n e q u a l i t yf o r9 - e x p e c t a t i o n s u n d e rt h e u s u a la s s u m p t i o n s ( a 1 ) a n d ( a 3 ) ，w eo b t a i nan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n f o rj e n s e n si n e q u a l i t yf o rg - e x p e c t a t i o n w ea l lk n o wt h a tj e n s e n si n e q u a l i t yi saf u n d a m e n t a li n e q u a l i t yi np r o b a b i l i t yt h e - o r ya n dm a r t i n g a l et h e o r y , s i n c eg - e x p e c t a t i o ni sak i n do fn o n l i n e a re x p e c t a t i o n ，i ti s i n t e r e s t i n gt os t u d yj e n s e n si n e q u a l i t yf o rg - e x p e c t a t i o n r o u g h l ys p e a k i n g ，t h ep r o b l e m o fj e n s e n bi n e q u a l i t yf o rg - e x p e c t a t i o ni s ： g i v e nag e n e r a t o r9s a t i s f y i n g ( a 1 ) a n d ( a 3 ) a n dac o n v e xf u n c t i o n 妒：t ：b r ，i f f ，妒( f ) p ( n ，矗，p ) ，t h e n ，c a nw ep r o v et h ef o l l o w i n gi n e q u a l i t y w i l lh o l di ng e n e r a l ? 岛归( f ) l 五 妒【岛( f 五) b r i a n de ta 1 ( 2 0 0 0 ) g a v eac o u n t e r e x a m p l et oi n d i c a t et h a te v e nf o ral i n e a rf u n c t i o n ，j e n s e n si n e q u a l i t yf o rg - 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