（光学专业论文）附加克尔介质双模纠缠相干光场和三能级原子的光场压缩效应.pdf

华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 - i - 摘 要 在 偶 极 和 旋 波 近 似 下 ，研 究 二 能 级 原 子 与 单 模 辐 射 场 相 互 作 用 的 jaynes- cummings 模型（简称 j- c 模型） ，是量子光学中一个重要的研究领域。j- c 模 型从建立初始到现在，人们对这个模型进行了深入的研究。原子从简单的二能级原 子发展到三能级原子（v 型，型，阶梯型） ，光场的选择可以有真空态，数态，相 干态，压缩态，光场的模数从一模发展到两模，j- c 模型所处的环境从真空环境变为 附加克尔介质的环境。 光场的压缩效应反映了光场的一类非经典性质，在压缩态下可使光场算符的某 一个正交分量具有比相干态更小的量子噪声，因而压缩光在光通信，光信号检测以 及高精密干涉测量等方面具有重要的应用前景， 自 1976 年 h.p.yuen提出光场的压缩 态概念以来，人们对压缩光进行了大量而深入的研究。 本文中，首先介绍了 j- c 的物理模型和光场所处的各种状态（真空态，数态， 相干态，压缩态） ，并介绍判断光场处于单模压缩光场和双模压缩光场的定义。讨论 了在附加克尔介质环境中，双模纠缠相干光场与 v 型三能级原子相互作用系统中的 光场的压缩效应。根据光场压缩态的定义，采用数值计算的方法，直观的给出了在 不同的克尔介质与光场的耦合强度，光场失谐量和原子初始状态情况下，光场压缩 效应随时间的变化曲线，重点讨论了克尔介质与光场的耦合强度，光场失谐量和原 子初始状态对光场压缩效应的重要影响。 结果表明： (1) 随着 kerr 介质与光场相互作用的耦合强度的增大, 光场的压缩程 度随之加深，振荡频率随之增加; (2) 随着失谐量的增大, 光场的压缩程度随之减少， 振荡频率随之减少，直至压缩完全消失；(3)当原子初态的基态概率幅的逐渐增大， 光场的压缩效应变小，压缩程度变小甚至消失。 关键字：j- c 模型 克尔介质 双模纠缠相干 光场压缩效应 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 - ii - abstract in the dipole and the rotating- wave approximation, the interaction of the quantized radiation field with the two- level atomic system is a very important research in quantum optics.this physical model is jaynes- cummings model (j- c model).j- c model has been deeply studied and developed in the past three decades.in the j- c model,we can study three- level atom(v - t y p e . - t y p e . l a d d e r - t y p e ) and two- mode light field(vacuum states.number states.coherent states.squeezed states) in the kerr medium instead of the quantized radiation field and the two- level atomic system in the vacuum environment in 1976,. h.p.yuen brought forward the squeezed states of light field.the squeezed states of light field is a quadrature of electromagnetic field with reduced fluctuations below the standard quantum limit,it has had many attractive applications in optical communication,photon detection techniques,high exact interferometry and noise- free amplification. in this paper, we firstly introduce the jaynes- cummings model.secondly,we introduce all kinds of light fields (vacuum states,number states,coherent states and squeezed states) and the definition of one- model squeezed states and two- model squeezed states.thirdly,we discuss the squeezing properties of light fields in the system of the two- model entangled coherent states interacting with a v - type three- level atom in the kerr medium.finally,we use the method of numerical calculation , picture the figures about the squeezing properties of light fields in the different conditions in the beginning,and discuss the important effect of the coupling intensity between the kerr medium and the two- model light field,the detune of light field and the original states of the atom. we can gain some conclusion :(1)with the coupling intensity of the kerr medium- field interaction increasing, light squeezed degree deepens and the oscillation frequency increases; (2)with the detuning of light field increasing, light squeezed degree and the oscillation frequency reduced until the light squeezed degree completely disappears.(3) with the probability of the atomic initial state gradually increasing, the light squeezed degree becomes small or even disappears. key words: j- c model kerr medium two- model entangled coherent squeezing properties of light fields. 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密 ，在_ _年解密后适用本授权书。 不保密。 （请在以上方框内打“” ） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 本论文属于 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1 1 综综 述述 1.1 量子光学的发展概况量子光学的发展概况1,2,3 量子光学是近代物理中一个十分重要的分支。19 世纪初期普朗克的量子理论和 爱因斯坦的光量子理论对光量子理论的诞生有很重要的影响，尤其是 60 年代产生的 激光器使人们能从实验上对光的量子特性以及光和物质（原子.分子等）的相互作用 加以探究，揭示了许多新的光学效应。这些新的光学效应充实了量子光学的内容，促 进了量子光学理论的进一步深化和完善. 激光场与原子的相互作用效应是量子光学研究的重要内容， 人们对它进行全面而 深入地研究。在原子(单原子或多原子系统)和激光场(单模光场或多模光场)相互作用 系统中,辐射场和原子都具有量子特性,而这些特性在经典物理范畴内是不能揭示出来 的.近代量子光学的研究表明:应用量子理论,并通过近代光学实验手段,人们能过从量 子层面上揭示辐射场和原子行为的许多量子特性.它们表明量子光学理论的精确性,并 显示其重要的实际价值和广阔的应用前景. 近代量子光学的研究主要集中在:运用全量子理论来研究激光场与原子相互作用 的量子特性上,其主要内容主要包括光场的量子特性和与光场相互作用原子的量子特 性.这些量子特性主要表现在原子布居数的时间演化,场熵的演化,光谱结构,光子统计, 原子偶极压缩,光场的压缩效应等方面,其中光场的压缩效应是量子光学一个重要的研 究课题.光场的压缩态对限制量子噪声有重要的作用.我们知道在光通讯问题中,提高 信噪比是非常重要， 而噪声的来源除了通信设备以外， 还有热噪声和光场的量子噪声， 即使应用处于相干态的光场的某一个正交分量 i x 携带的信号，其能量噪声仍为 /4?。由于光场的频率约为 1415 1010hzhz，因此光场的 i x分量约有1ev的量子噪 声，而在室温下（t=300k）,热噪声能量 b k t才有 2 2.6 10 ev 。可见，量子噪声要比 热噪声大得多。这样,在未来的光通讯问题中,量子噪声就成为提高信噪比的主要限制. 如果能够找到光场的一种量子态,在这种态中,光场的某一分量(如 i x ) 的涨落可以小 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 2 于相干态相应分量的最小涨落值,利用这种光场进行光通讯时,量子噪声就大大减小. 1.2 jaynes-cummings 模型模型4及其发展及其发展 在研究激光场与原子相互作用的量子特性时,最近经常使用的模型是1963年由 e.t.jaynes和f.w.cummings提出的jaynes-cummings模型.这一模型是用来描述单个 二能级原子(或分子)与一单模量子化的光场组成系统相互作用的理想模型,它是建立 在两个基本假设的基础上:第一,忽略原子与原子之间的相互作用,即仅考虑一个原子 与光场的相互作用;第二,原子只有两个非简并的能级,电磁诱导本征态间跃迁是原子 本征频率与光场频率近似相等的跃迁,即共振.自从j-c模型建立以后,人们对它表现出 极大的兴趣,特别是j-c模型的实验演示的成功,使这一模型的理论价值和真实的物理 背景更加得到重视,各种推广后的j-c模型相继提出.我们可以改变j-c模型所处的环 境由真空变为附加kerr介质的环境5,6,7,8,9,10,考虑到原子的运动11,12,13,14,原子间的偶 极-偶极相互作用15,16和原子和光场耦合时对光场的依赖作用17,18,19,20.这些模型的提 出,极大的丰富了量子光学的内容,对人们认识激光场与原子相互作用的量子特性具有 重要意义. 人们可以对j-c模型的原子和光场进行丰富.原子实际上往往具有许多能级,因此 三能级原子模型的提出与研究实际上对二能级原子的进一步深化,更加接近现实的原 子.而实际上,三能级原子具有一些二能级原子所不具有的量子特性.例如可以产生无 粒子数反转激光21.自感应透明22.自由感应衰减23等现象。三能级原子的能级分布可 以分为v型,型和级联型.光场的模数可以有单模光场和双模光场,光场的类型可以 选择真空态场，粒子数态场，相干态场，压缩态场,二项式光场,真空压缩场,纠缠相干 场.这样,光场的不同的模数和不同的类型就可以组成不同的光场. 对于研究的jaynes-cummings模型,一般情况下,模型的结果比较复杂,其精确解不 易求出,因此其规律和所包含的物理特性不容易直接观察出.为了更好的了解模型解的 特点,我们通常结合数值计算的方法对结果进行讨论和分析.数值计算方法是量子光学 理论研究中一个非常重要的方法. 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 3 1.3 本人的工作本人的工作 目 前, 在 旋 波 近 似 下 研 究 二 能 级 原 子 与 单 模 辐 射 场 相 互 作 用 的 jaynes-cummings模型 （简称j-c模型） 是量子光学研究领域的一个重要的物理模型。 人们对这个物理模型进行了深入的研究和推广，把原来的二能级原子与单模场的相 互作用推广到三能级原子与双模场相互作用，并且把j-c模型所处的环境由真空变 为kerr介质，通过选取不同的三原子的能级模式（v型，型，级联型）和腔内光 场的状态来研究。许多文献都对上述问题作了研究.本人选取的j-c模型作为基本理 论框架,将原来的真空环境改变为在附加kerr介质的环境,研究的是v型三能级原子 与双模纠缠相干光场相互作用系统的光场的压缩效应.通过数值计算的方法,做出了 光场压缩效应的时间演化曲线,重点讨论了kerr介质与光场的耦合强度， 光场失谐量， 原子初态对光场压缩性质的影响. 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 4 2 光场的量子描述光场的量子描述1,2,3 2.1 真空中电磁场的经典描述真空中电磁场的经典描述 在经典电动力学里,真空中的电磁场借助拉格朗日(lagrangian)密度l来描述: 22 0 ()() 2 laca t = (2.1) 其中 0 是真空中的介电常数,a是满足库仑规范0a=i的矢量势. 能够利用(2.2)式: ba= (2.2.1) ea t = (2.2.2) 2 1 eb tc = (2.2.3) 容易得到电磁场矢势a满足的波动方程: 2 22 2 0aca t = (2.3) 与矢势a共轭的广义动量: 00 () l ae a t t = (2.4) 把(2.4)式代入(2.1)式,得到真空中电磁场的拉格朗日密度可表示为: 2 2 0 1 () 22 c laa t = i (2.5.1) 真空中的电磁场的哈密顿函数为: 32223 0 0 11 ()() 2 f hal d rcad r t = + (2.5.2) 如果假定电磁场限定于边长为l的立方体腔体内,腔体的立方体积 3 vl=,而且在 立方体的腔壁上满足周期性边界条件,那么波动方程(2.3)式的解可利用傅立叶(fourier) 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 5 展开成: * 1 ( , )( )exp()( )exp() jjj j kkkk k a r te atik re atik r v =+ (2.6) 这里的( ) k a t , *( ) k at是傅立叶级数的展开系数,它们表征电磁场的振幅.k为波矢 量,它反映电磁波的传播方向.由周期性边界条件得知,波矢k满足: 2 () xxyyzz ke ne ne n l =+ (,0, 1, 2,) xyz n n n = (2.7) 把(2.6)式代入方程(2.3)式可得展开系数( ) k a t满足的方程,可求出矢势a(r,t): * 1 ( , )( )exp()( )exp() jjj j kkkk k a r te atik re atik r v =+ (2.8) 与a(r,t) 相对应的广义动量(r,t)以及电场强度e(r,t)和磁场强度b(r,t)分别是: * 0 1 ( , )( )exp()( )exp() jjj j kkkkk k r tie atik re atik r v = (2.9) * 1 ( , )( )exp()( )exp() jjj j kkkkk k e r tie atik re atik r v = (2.10) * 1 ( , )( )exp()( )exp() jjj j kkkk k b r tike atik rke atik r v = (2.11) 把腔体v中的电磁波分解为一组无限多个分离的平面波模式， 每一个模式由波矢 量k和极化矢量 j k e（j=1,2）表征。 2.2 辐射场的量子化辐射场的量子化 光波是电磁波，从（2.8）式和（2.9）式出发，对电磁场进行量子化。电磁场的 量子化的方法是把描述电磁场的经典物理量( , ) j k ar t和( , ) j k r t用算符( , ) j k ar t 和 ( , ) j k r t 来取代.并且令它们满足对易关系: ka (r,t),(r,t) =i i j k ? (2.12) 引入两个新的算符( ) j k at和( ) j k at + 来取代算符 j k a (r,t)和 j k (r,t),它们可定义为: 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 6 1 2 0 ( )( ) 2 j k k a tat = ? (2.13) 1 2 0 ( )( ) 2 j k k tiat + = ? (2.14) 由(2.12)式.(2.13)式和(2.14)式得知,它们之间满足的对易关系为 , j j k kkkjj aa + =, ,0 jj jj kk kk aaaa + = (2.15) 把(2.13)和(2.14)代入(2.8)和(2.9)式,可得电磁场的矢势量( , ) j k ar t 和广义动量算符 ( , ) j k r t 为: 1 2 0 ( , )( )exp()( )exp() 2 jjj j kkk k k a r teatik ratik r v + =+ ? (2.16) 1 2 0 ( , )( )exp()( )exp() 2 jjj j k kkk k r tieatik ratik r v + =+ ? (2.17) 将(2.16)和(2.17)代入(2.5.2)式,并对体积v积分,经过简单的代数运算和矢量分析 的通常规则可以得到,自由场的哈密顿量的简单表示式: 1 2 jj j fkkk k haa + =+ ? (2.18) 自由电磁场能量算符 f h的归一化本征函数具有 1 12 2 , k jk j nn的形式,其中每一个 kj n均为正整数.这表明, f h的本征态是由波矢为 1 k .极化为 1 1 k j e模式的玻色子 1 1 k j n和波 矢为 2 k .极化为 2 2 k j e模式的玻色子 2 2 k j n表示的,这些电磁场的玻色子也表征通常所说的 光子. 根据玻色子算符的对易关系(2.15)式可以得知谐振子算符 j k a+和 j k a的性质,由于 它们满足下列关系: 1 12 2 , l ljl ll l k jkk jk jk jk j annnnn= (2.19.1) 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 7 1 12 2 1,1, l ljl ll l k jkk jk jk jk j annnnn + =+ (2.19.2) l ll ljl lj k jk jkk jk aannn + = (2.19.3) 从而可以看出， l l k j a+对 f h的本征态的作用是湮没一个模式为 ll k j的光子， 而 l l k j a+ 则是产生一个这种模式的光子， 称a和a+为光子的湮没和产生算符,而乘积算符a a + 则 称为光子数算符. 这样,就实现了辐射场的量子化,从而能采用光子产生和湮灭算符a+和a来描述光 场. 2.3 描述光场的态函数描述光场的态函数 对于光场的许多量子特性，采用不同的态函数描述，可以较清楚地展示出来。描 述光场态函数有许多种， 如光场粒子数算符()n a a + 的本征态粒子数态n;光场湮灭 算符a的本征态相干态;光场压缩算符 2*2 1 ( )exp () 2 saa + =+直接相关的压 缩态等等.对于两模的光场,系统的光场可以是非关联的双模相干态 12 ,双模真空 压缩光场,双模纠缠相干光场 1212 +(, 是描述纠缠程度的参量)等 等. 2.3.1 光场的粒子数态光场的粒子数态 如果只考虑频率为的单模光场,那么单模光场的哈密顿量由(2.18)式得到: 1 () 2 ha a + =+? (2.20) 单模光场的光子数算符na a + =的本征值方程为: n nn n= (2.21) 由对易关系 ,1a a+=可知,本征值n 为正整数,即n=0,1,2,3 由系统的能量本征值方程: n h ne n= (2.22) 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 8 可知单模光场的能量本征值为: 1 () 2 n en=+? (2.23) 当光场的能量由(2.23)给定时,系统处于第n个激发态.若n=0,系统处于真空态(基 态),但此时仍有零点能量 2 ? 存在. 将它推广到多模光场的情况,由哈密顿量(2.18)式描述的光场,其能量本征态可能 在第一个模式里有 1 n个光子,第二个模式里有 2 n个光子,第l个模式里有 l n个光子, , 于是本征态矢可以写成: 1212 , lll nnnn nnn= = (2.24) 因此态矢 l n就是描述多模光场的粒子数态.需注意在哈密顿量(2.18)式中光场 各模之间无耦合,因此,哈密顿量中的() ll a a+只作用在该模的粒子数态 l n上,对其他态 不发生作用. 光场一般的态矢可以利用本征态矢集 l n表示为: 1, 2, 12 12 , ll ll n nnlnl nnnn cn nncn = = (2.25) 2.3.2 光场的相干态光场的相干态 在量子力学中,光子数n对应强度i ,它是粒子图像,而相位则是波动的概念,两者不 能同时确定.用粒子数态n描述的单模光场,光子数有确定的值,而相位则不确定.可以 采用另一种描述光场的态函数,它称为相干态,用这种态函数描述光场可以构成一个波 包,其相位有近似确定的值,但光子数具有较大的不确定度. 理论上把相干态定义为非厄米算符a的本征态矢: a = (2.26) 利用粒子数算符a a + 的本征态矢集n的完备性和态函数的归一化条件,来求解 a的本征值方程(2.26)式,从而得到相干态的表示式为: 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 9 2 0 exp() 2! n n n n = = (2.27.1) 其它表示形式: 2 exp()exp() 0 2 a + = (2.27.2) * exp() 0aa + = (2.27.3) 下面介绍一下相干态的性质: (1)相干态不具备正交性,具有完备性. a. 对应于不同本征值和的两个相干态并不具有正交性. 利用(2.27.1)式有: * 2222 * 00 11 exp()exp() 22! nm nm n m nm = =+=+ (2.28) 当=时,有1 =; 而当时, 2 2 exp0 =. b. 相干态满足完备性的关系,可以证明下式成立: 2 0 1 n dnni = = (2.29) (2)相干态具有最小不确定态 在量子力学中，谐振子的坐标算符q和动量算符p与粒子算符,a a+有确定关系： () 2 qaa + =+ ? (2.30.1) () 2 piaa + = ? (2.30.2) 且p,q满足对易关系: , q pi= ? (2.31) 根据(2.30)式很容易得到光场处于单模相干态时p,q, 2 p和 2 q的期望值,从而 算出正则坐标和动量的均方涨落为: 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 10 2 22 () 2 qqq = ? , (2.32) 2 22 () 2 ppp = ? . (2.33) 所以, 得到: 2 p q = ? (2.34) 这就是海森伯关于粒子坐标和动量不确定关系 2 p q ? 所允许的最小不确定度, 它说明用相干态描述的光场,能够确定一个小的波包,它揭示出光场的波动形态. 2.3.3 双模光场的纠缠相干态双模光场的纠缠相干态24,25,26,27 双模纠缠相干光场的光场的模式是两模，两模光场是纠缠相干的，光场的波函数 的表示形式： 1212 12 1212 22 12 ,0 12 (0) 1() () ) exp(), 2! f nnnn n n n mnm nmn n nn = =+ + =+ (2.35) 式中 22 1+=，0,1，.为描述双模纠缠相干光场纠缠程度的参量， 12 12 , ii neme = n,m分别为双模光的平均光子数的平方根, 12 , 分别为双 模光的位相因子(上式已设 12 .0 =). 2.4 光场的压缩态光场的压缩态 28,29,30,31 对于一模光场: ( )() i ti t e taea e + =+ (2.36) 如果定义两个厄米算符 1 x, 2 x取代算符a和a+: 1 1 () 2 xaa+=+ (2.37.1) 2 1 () 2 xaa i + = (2.37.2) 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 11 那么(2.36)式变为: 12 ( )(cossin)e txtxt=+ (2.38) 可见算符 1 x, 2 x是描述光场的两正交分量的算符,它们满足对易关系式: 12 x ,x 2 i = , (2.39) 于是按海森伯不确定原理, 1 x, 2 x的量子均方涨落之积应满足: 22 12 1 () () 16 xx (2.40) 其中: 2 22 () iii xxx= (i=1,2) (2.41) 若光场处于相干态，那么它的两正交分量算符 1 x, 2 x的量子涨落有最小值 1/4，即： ()() 22 12 1/4xx= = (2.42) 这就是说，相干态是光场的振幅涨落有最小不确定值的态，它的两正交分量 1 x , 2 x都取最小的不确定值1/4，这个值通常称为光场的真空涨落。 如果找到光场的一个量子态，在这种态中，光场的某一分量（如 i x）的涨落可 以小于相干态相应分量的最小涨落值,即: () 2 1/4 i x.就称光场的 i x分量量子噪声 被压缩,从而有利于提高信噪比,有利于进行光通讯. 2.4.1 单模光场的压缩态单模光场的压缩态 a 压缩相干态的引入压缩相干态的引入 1976年,h.p.yuen最先引入算符b, b+: baa + =+ (2.43.1) * baa + =+ (2.43.2) 式中参数, 满足如下关系式: 22 1= (2.44) 算符,b b+满足对易关系: ,1b b+= (2.45) 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 12 这也就是说,算符,b b+是和光场的湮灭,产生算符,a a+性质相似的玻色子算符,它 们可以通过对算符,a a+进行规范变换s而联系起来,即: bsasaa + =+ (2.46) 由于,b b+满足对易式(2.42)式,所以 g nb b + =也是粒子数算符,称之为准光子算符. 它对应本征值为 g m的本征方程是: gggg nmmm= ; (2.47.1) 00 g g n= . (2.47.2) 式中0 g称为准真空态. 算符b的本征态 g ,满足 gg b =,可以得到准相干态的表示: * 0exp() 0 ggg dbb + = (2.48) 下面来讨论处于这种准相干态 g 中的光场,振幅算符a的两正交分量 12 ,xx的涨 落值. 由(2.43)式和(2.44)式可知: * abb + = , * abb + = (2.49) 于是: * gggg aabb + = , (2.50.1) 2 2 * ()() gg a abbbb + =+ (2.50.2) 2*2* 2* ()() gg abb + = (2.50.3) 因此,由(2.37)式.(2.41)式和(2.50)式 可得光场的 1 x, 2 x分量的涨落分别是: () 2 22 2 1 111 () 444 xaaaa + =+= (2.51.1) () 22 2 1 4 x=+ (2.51.2) 它们满足(2.40)式,对于满足条件(2.41)式的参数, ,总可以选择它们的值,使得光 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 13 场的某一正交分量的量子涨落满足: () 2 1/4 i x (i=1或2) (2.52) 通常把光场的某一正交分量的量子涨落可以小于相干态中相应分量的涨落的准相干 态 g 称为压缩相干态. 压缩相干态( )( ) 0 g sd=是通过么正算符( )s对相干态作用后得到的, 而相干态是通过平移算符( )d作用到真空态得到的,其数学表示形式: ( )( ) 0 , g sd= (2.53.1) * ( )exp(),daa + = (2.53.2) ( ) *22 11 exp() ). 22 saa + = (2.53.3) 由于处于压缩相干态的光场,其某一正交分量的量子涨落值低于相干态相应分量 的涨落值,所以它的量子噪声被压缩,而量子噪声被压缩的原因是由于算符( )s对相 干态的作用,我们称算符( )s为单模光场压缩算符. b 压缩真空态压缩真空态. 下面讨论压缩真空态这一在实验室中已经制备出来的非经典光场。 压缩真空态的定义为： 0( ) 0 g s= (2.54) 与压缩相干态 g 相比，只需令:0= 。 这就是说， 压缩真空态是由压缩算符( )s对真空场作用后形成的， 它使得光场的 某一正交分量的量子噪声减小,而另一分量的涨落增大. 2.4.2 双模光场的压缩态双模光场的压缩态. 频率为+和的双模光场的压缩相干态有如下两种定义: ,( )()() 0sdd + = (2.55.1) ,()()( ) 0dds + = (2.55.2) 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 14 这里算符,d d s +分别表示为： * ()exp()daa + = (2.56.1) * ()exp()daa + = (2.56.2) * ( )exp()sa aa a + + = (2.56.3) 式中(),()aaaa + + 分别表示频率为() + 的湮灭,产生算符. 它们满足对易关系: ,1,0a aa aa a + = . (2.57) 很显然, ,d d +分别表示频率为 , +的光场的平移算符,它们与单模光场的平移算 符( )s相比可以看出, ( )s + 已含有双模场的算符a+和a+ +,此外，前的因子也只相 差1/2。因此称( )s + 为双模压缩算符。 容易证明： ( )( )coshsinh ,() ii bsa sara erre + + =+= (2.58) 利用（2.58）式和（2.55）式可得： _ ,( )( )()() 0,bsa sdd + + = (2.59) 由（2.55）式定义的双模压缩相干态 _ , + 是算符( )b b + 的本征值为( ) + 的本征 态.对于由(2.55)式定义的双模压缩相干态来说,光场任一模的两正交分量所具有的压 缩性质与由(2.53)式定义的单模相干态光场的压缩性质完全相同. 利用(2.58)式可以证明: ()( )()( )dsds + + = (2.60) 式中与满足如下关系式: * coshsinh i rer =+ (2.61) 因此双模压缩相干态的两个定义式可以在形式上化为一致. 对于双模光场而言,光场的两正交分量算符可定义为: _ 1 () 2 2 aaaa u + + + = (2.62.1) 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 15 _ 2 () 2 2 aaaa u i + + + = (2.62.2) 它们满足对易关系: 12 , 2 i u u= (2.63) 因此 12 ,u u的量子涨落所满足的不确定关系为: 22 12 1 () () 16 uu (2.64) 与单模光场一样,对于双模光场,如果光场两正交分量的任一分量 i u的量子涨落满 足: 2 1 (),(1,2) 4 i ui= (2.65) 就说双模光场的第i个正交分量的量子噪声被压缩,(2.62)式和(2.65)式成为判断双 模光场压缩效应的判据. 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 16 3 在真空环境下原子与腔场的相互作用模型在真空环境下原子与腔场的相互作用模型 3.1 狄克狄克(dicke)模式与模式与 jaynes-cummings 模型模型 3.1.1 狄克狄克(dicke)模式模式 首先简单介绍描述原子和多模辐射场相互作用的典型模型-狄克模型.假设原 子仅有一个处于中心势场v(r)中且质量为m,电荷为e的电子(如氢原子),电子动量为 p.如果这个原子与由矢势(),a r t描述的辐射场相互作用,那么描述系统的哈密顿量可 表示为: 2 1 (/ )( ) 2 fafi hpea cv rhhhh m =+=+ (3.1) 其中描述原子的哈密顿量为: 2 ( ) 2 a p hv r m =+, (3.2) 在薛定谔绘景中,原子系统的能量本征值为: an hne n=, (3.3.1) 其中 n e是相应能量本征态n的本征值. n构成一组完备基矢. 这样, 原子哈密顿量也可表示为: an he nn=. (3.3.2) 引入一组广义原子算符: nm nm= , 则 : annn n he=. (3.4) 任何描述原子行为的算符可一般地表示为: , nm n m gng m=. (3.5) 对于二能级原子,此时只有2和1态,原子算符 nm 具有如下形式: 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 17 11 0 0 0 1 = 22 1 0 0 0 = 21 0 1 0 0 = 12 0 0 1 0 = (3.6) 如果引入算符, z s ss + 它们为： 2211 ()/2 z s= ; (3.7.1) 21 s + = ; (3.7.2) 12 s = . (3.7.3) 这就是描述二能级原子的赝自旋算符. 可将二能级原子的哈密顿量算符表示为: 112222110 ()/2 az hees + =+=? (3.8) 描述自由场的哈密顿量为: jjj j fkkk k haa+ + =?, (3.9) 描述原子与场相互作用的哈密顿量 i h为 2 1 ()(/ ) 22 i e hp aa pea c mcm = + (3.10.1) 上式第二项含 2 e,与前一项相比非常小,而且它表征的不同辐射振子之间通过电 子与场的耦合而发生的相互作用,这种相互作用导致双光子跃迁过程,作为近似可略 去这一相对微弱的项.于是 () 2 i e hp aa p mc = + (3.10.2) 由于算符() jjj j ik rik r kkk k aa eae + =+ ,含有坐标算符r,所以 , 0a p .但对于原子 范围来说,一般情况下,r可取玻尔半径