（发展与教育心理学专业论文）陈述性知识和数学信念在问题解决中的影响研究.pdf

摘要 许多教育工作者认为，学生不仅要习得各种知识和技能，重要的是学生能够 运用知识和技能解决问题。从一定程度上讲，问题解决能力是学校教育的一个重 要目标。 认知心理学家将知识分为陈述性知识和程序性知识，两种知识共同构成了学 校各个学科的内容。面临“知识爆炸”的局面，许多人认为，学校教学应该从“知 识中心”转向“能力中心”，要求学生从“学会知识”转向“学会学习”。以专长 研究为代表的研究领域用实验的方法证明包括陈述性知识在内的知识从很大程 度上决定学生的问题解决能力，陈述性知识在一定程度上可以弥补所谓先天能力 上的缺陷。这些研究成果同样可以用于数学学科。 学生并非在一个“真空”环境中学习，他或她对自己、对学科、对外部环境 拥有或积极或消极的信念。在数学领域，舒菲尔德最早提出“数学信念”，认为， 消极信念会妨碍学生的在问题解决任务上的表现，随后许多研究者认为数学信念 应该存在一个系统。众多研究从不同维度的数学信念表明，学生的数学信念影响 问题解决能力。 本文以初三几何相似三角形判定定理2 ( 两边对应成比例且夹角相等，两三 角形相似) 为实验材料。首先，运用能力成分分析法将该定理进行分解，根据分 解出的知识点编制相应的题目用于考察学生所掌握的与该定理有关的陈述性知 识；其次，对国外的数学信念系统问卷( m r b q ，s t u d e m s m a l e m a t i c s r e l a i e d b e l i e f sq u e s t i o 皿a i r e ) 进行试测，然后进一步修订，最终形成本文的数学信念系 统问卷，用以考察学生拥有的与数学有关的信念：最后，根据该定理与中学教师 合作编制一套可以说明学生运用定理解决问题能力的测题。本研究以山东、上海 两地的两所初中的2 7 0 名初中三年级学生为被试进行实验，考察陈述性知识和数 学信念在问题解决上的影响。结果发现： ( 1 ) 修订后的数学信念系统问卷具有较理想的信效度。 ( 2 ) 陈述性知识和数学信念系统对问题解决能力具有独立的预测作用，但 在问题解决能力上，陈述性知识比数学信念系统的贡献要大一些。 ( 3 ) “数学重要性和自我胜任力的信念”因子对问题解决能力具有独立预测 作用，其它三个因子不具备独立预测作用，但与问题解决能力间存在显著的相关。 ( 4 ) “数学是一个社会领域”因子和陈述性知识之间存在显著的交互作用。 ( 5 ) 陈述性知识、“数学重要性和自我胜任力的信念”和性别之间存在显著 的交互作用。 ( 6 ) 初三学生在“数学重要性和自我胜任力的信念”因子上需要进一步提 高，中学生表现出对“数学社会化”的渴望。 关键词：陈述性知识，数学信念，问题解决 a b s t r 8 c t m a n ye d u c a t i o n a l i s t s 廿l i n k 也a ta l lk i n d so f k n o w l e d g ea 耐s k i l l sa c q l l i r e d 雒en o t e n o u 曲，w h a ti sm o r ei m p ( i n 趾ti st h a tl c a r n e rc o l | l ds o l v ep r o b l e m sw m lt h e s e k 1 1 0 w l e d g e 趾ds k i l l s 1 1 1s o m es e n s e ，t l l ea b i l i t yt 0s o l v ep m b l e mi sa i li m p o n a m t o b j e c tf 研s c h o o l i n g c o 朗i t i v ep s y c h o l o g i s t s s o r t k n o w l e d g e i r l t od e c l a r a t i v e h o w l e d g e趾d p o c e m 】r a lb l o w l e d g e j _ h i c hc 或i n l t em a i l lc o n t e n to fe v e r ys l l _ b j e c ti 1 1s c h 0 0 1 c o n 舶m i n gw i 也h o w l e 姑ee x p l o r a t i o n ，i 啪yp e o p l et l l i n kt h a ts c h o o l i n gs h o u l d s 1 1 i r 舶m k n o w l e d g e a sc e n t e rt o a b i l i t ya sc e n t e r w 1 1 i l es m d e n t ss h 0 1 l l ds h m 缸) m l e a m i n gt l l ek n o w l e d g e t o l e a m j l l gt o1 e 姗m a i l yr e s e a r c h i n gd o m a i n ss u c ha s e x p e n i s e a t t e s tb ym e a n so fe x p e r i m e n t s 也a tk n o w l e d g c 协c l u d i n gd e c l a r a t i v e k n o w l e d g ed e d d e sp r o b l e m s o l “n ga b i l i t yo fl e 锄e r st o a1 a 蜡ee x 鼢ta n d d e c l a r 砒i v e 妯o w l e d g ec o u l dm a k eu p l el i m i 协t i o i l so fs o c a l l e di i l i l a t ea b i l 吼a u t l l e s er e s c 盯c l l i l l gr e s l l l tc 趾b ea l la p p l i e dt om a t i l e r n a t i c s l e 锄e r sa 阳n o ts t i l d y i n gi na v a c u u m e n _ v i r o n m 咖sa r l dh eo r h eh a v ep o s i t i v e o rn e g a t i v eb e l i e f st o w a r ds e l f 、s u b j e c ta i l do u t e re n v i r o 肿e n 乜i nm a l h e m a t i c a l d o m a i n ，s c h o e n f e l dp u tf b n v a r d m a t h e m 撕c a lb e l i e f a tf i r s ta n dt l l i n kt h a tn e g a t i v e b e l i e fc o u l du 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本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者魏杨摇巷导师繇疑南 日期：圣垒! i ：i ：! 日期：丝! i ：! ! ! ： 第一部分理论综述 1 问题、问题解决及相关研究 1 1 问题的界定、分类及特性 1 1 1 不同研究者对“问题”的界定 为了探讨问题解决能力，首先应该对问题进行明确地界定，然而，不同的研 究者从不同的角度对问题进行地界定并不相同。 b r a i l s f o r da i l ds t c i n ( 1 9 8 4 ) 在他的著作中提出，当现况与要达成的目标之问存 在差距时，问题便存在了。 从认知心理学的角度出发，张春兴( 2 0 0 4 ) 认为，所谓问题是指个人在有目 的、有待追求而尚未找到适当办法时所感到的心理困境。 有些研究者认为，所谓问题必须是人首次遇到且无现成可回忆的经验来解决 的一种情境。有些研究者则认为，问题是这样一种情境，在这种情境中，个体想 做某事，但还不知道该采取什么样的行动才能得到他或她所需要的。与此类似的， 有些研究者认为，问题是一种情境，在这种情境中个体尽力去达到某种目标，但 必须找出一种有效的方法。 还有研究者认为，问题是一个人在事物的发展过程中，意识到新的目标或情 境不如预期或有新的因素介入引发情境改变的情形时，产生一种乞求处理、解决 的心理状态。 从问题界定理论的演变中，我们可以发现，越来越多的研究者将问题看作是 一种心理状态，个体抱有完成目标的心愿，并努力找出有效的解决方法。 1 1 2 问题的分类 对问题的分类，研究者之间的看法存在较大的一致性。例如，n e w e na n d s i m o n ( 1 9 7 2 ) 从问题的形式出发将问题分为具有结构性、半结构性、无结构性三 类。结构性的问题一般都是明确度较高的、可清楚界定其内容及形式的，例如解 数学题等。无结构的问题则是比较无法预期及明确界定的，如恐惧、忧虑等情绪 等。张春兴( 2 0 0 4 ) 将问题分成结构性问题、无结构性问题和争论性问题三种。 1 1 3 问题的特性 1 1 3 1 问题的明确度 有些问题有明确的初始状态和目的状态，例如由3 x 一5 = 4 的方程式( 初始状态) 求得x = 3 ( 目的状态) 的结果。有些问题有明确的初始状态但目的状态不清晰，只 是一个方向性的目标，例如，某学生拿着资料要去学习( 初始状态比较明确) ， 但在宿舍学习还是到图书馆学习，什么时间去都没有确定( 目的状态不清晰) 。 有的问题初始状态不明确，目的状态是明确的，例如，何时在何种情况下会发生 火灾并不明确，但如何处理火灾却是明确的。有的问题的初始状态和目的状态均 不明确，如股票问题。不明确的问题很难操作，可以通过把大问题分解为小问题 之后再进行操作，这样初始状态或目标状态会较以前明确一些。 1 1 3 2 问题的动力性 有些问题是静态的，如解决许多数学问题，它们不会随环境的改变而改变。 而有些问题是动态的，动态问题会随着环境的改变而改变其意义，甚至问题本身 也可能发生变化。因此，处理这些问题时候要随时调整策略。动态问题常常需要 事前的评估和及时的评定以使状态明朗化，或依据发生过程把问题进行切分，分 部进行。 1 1 3 3 问题的目的性 根据问题的目的可以将问题分为期望取得资源( 如购买食物、获得友谊等) 、 解决困惑( 如研究、侦察) 、排除障碍( 如比赛、抗争) 等。我们日常碰到的大 多数问题往往具有多重目的。 1 1 3 4 问题的规模 问题有大和小之分，有自然发生和蓄意发生之分。太小或太不在意的问题往 往看不出其解决过程，更感觉不出它的意义( 如司机师傅在得知前方塞车时试图 转向) 。有的问题是具有较大的挑战性( 例如失业后寻找更适合的工作) 。 1 1 3 5 问题的个体性 同样是一个问题，但对于某些人而言构不成“问题”，而对于某些人则可以 称之为问题。如l o + 1 2 = ? ，对于成人而言，并非问题，但对于刚刚学习计算的 学生则称之为问题。 2 问题的明确度、动态性、因果性、规模、目的性和个体性构成了问题的性质。 1 2 问题解决的界定及特征 1 2 1 不同研究者对“问题解决”的界定 g a g n e ( 1 9 8 5 ) 从认知的角度出发，认为，问题解决( p r o b l e ms o l v i n g ) 是个 体将已学过的概念与规则加以组合，解决某一问题的过程。 k a h n e y ( 1 9 8 6 ) 除了以认知的心理活动过程界定问题解决外，特刖提及情境 的限制条件；他认为，问题解决是个体在情境的需求下利用已学过的知识、技 能解答问题的过程。 h a t c h ( 1 9 8 8 ) 强调解决问题的关键在于形成有效的策略，他认为，问题解决 是寻求适当解决问题方案的一种过程。 张春兴( 2 0 0 4 ) 认为，问题解决乃是个人在面对问题时，综合运用知识、 技能以期达到解决问题的思维活动过程。 d z u r i l l a g 0 1 d f r i e d ( 1 9 7 1 ) 指出，问题解决是一行为历程，个体在此过 程中寻求各种可用来解决问题的反应，并在这些反应中选择最有效的途径。 认知心理学家通常使用“问题空间”( p r o b l e ms p a c e ) 和问题空间搜索 ( s e a r c h i n ga ”o b l e ms p a c e ) 来描述问题解决。他们将问题空间看作问题解 决者在解决问题时所经历的各种问题状态，包括由问题解决者最初面对的问题 情境( 起始状态) 、在达到目的途中所面临的各种问题情境( 中间状态) 和最终 达到的目的状态。问题解决者不断启用各种算子使得一种状态过渡到另一种状 态，直到解决问题为止。因此问题解决的过程实质上是问题空间的搜索过程。 从以上可以发现，在研究人们如何处理问题、解决问题时，研究者都把问 题解决看作是一个心理活动过程。只是，在这个心理活动过程中涉及到对问题 的认识，对前提知识、技能、目标和策略上，不同的研究者各有侧重。 1 2 2 问题解决的特征 一般而言，问题解决具有三大特征。 一是目标指向性。即，当人们考虑或者着手做某事时，人们都具有一定的 目的性。 二是将目标分解为若干子目标。在解决问题时候，问题解决者无法一步到 位实现总目标，往往将其分解为许多子目标后才能有效的实现总目标。 三是算子的选择。算子是指一种方法，是问题解决者实现在问题空间中各 个状态之间进行转换的方法。因此，问题解决者如果要实现从初始状态到目标 1 状态一步步的过渡，必须选择算子，以便从一种状态顺利地过渡到另一种状态。 1 3 问题解决能力的界定 如同对问题和问题解决的界定存在各种形式一样，问题解决能力的界定对 不同研究者而言也存在差异。一般而言，对问题解决能力的看法主要集中在以 下两种理论。 许多研究创造力的研究者认为，问题解决能力在一定程度上等同于创造 力。例如，加涅认为，伟大的科学发现或伟大的艺术作品是问题解决活动的产 物。因为，首次发现和发明与学生首次遇到的问题一样，都是无现成的、可直 接用于解答的知识，都需要综合早先获得的各知识和技能，才能把问题情境转 化为某种解决情境。而且，从纷繁复杂的情境中觉察问题，需要批判性思考， 需要拥有相关问题的知识，需要进行归纳总结，因此从一定程度上可以说，发 现问题需要创造力，其次，在解决问题阶段也需要创造力，提出假设和策略、 在执行中克服各种非预期的困难、灵活的综合性的运用已有的知识也需要创造 力。 许多研究概念的研究者将概念认知等同于问题解决能力。他们从概念如何 有效地被运用解决问题的角度来分析，认为所谓的概念认知有不同的层次，最 低层次是知道一些事实性知识，如知道太阳东升西落。再深入一层的认知是理 解，理解的层次横跨范围较大，可以由复杂内容的知道深入到理论和诠释，例 如知道万有引力定律，动力场等理论。而概念认知的最高层次是掌握原理、通 过推理或类比思考运用到许多情形中。当一个人认知许多概念、认知了许多概 念与概念间的关系及其交互作用的变化关系，就建构了个人的认知结构体系。 当个体接受新信息时，新信息与原有的认知结构发生互动，“同化”、“顺应” 达到平衡。如果个体是利用原有的认知结构加工新的信息或处理事务时，即是 创造性思考的结果。 综上，在本研究中，问题是指一个人的心理状态，个体拥有解决问题的意 愿，并努力寻找解决办法；问题解决是一种心理活动过程；问题解决能力是概 念认知的最高层次，即，掌握原理、通过推理或类比思考运用到许多情形中去 的能力。在本研究中，实验材料是初三几何教材中相似三角形判定定理2 ( 两 边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似) 。问题是运用该定理才能解决的 各种问题；由于问题解决过程中涉及到各种知识、技能和认知策略等因素的影 响，本研究主要是考察陈述性知识对问题解决的影响；问题解决能力是考察初 三学生运用所拥有的与该定理有关的陈述性知识解决问题的能力。 1 4 数学问题解决能力的影响因素研究 1 4 1 加涅的学习层级理论 2 0 世纪7 0 年代，心理学家m 加涅综合许多心理学家的研究成果，将学习 结果分为五大类：言语信息、智慧技能、认知策略、运动技能和态度。其中， 智慧技能是指“使个体通过观念的使用同自身的环境发生相互作用”，通常包括 辨别、具体概念、定义性概念和规则以及高级规则四种能力，智慧技能构成学 校学习的基本内容。针对智慧技能在学校教育中的重要性，加涅提出包括八类 学习的学习层级理论用于解释智慧技能的获得。八类学习包括信号学习、刺激 一反应学习、连锁、言语连锁、多重辨别、概念学习、原理学习和问题解决。 加涅认为学习具有一定的连续性，通过最低级的学习所获得的能力为逐次获得 比自己更高一级的能力奠定基础或前提。因此，学生在获得问题解决这一高级 能力之前，他们必须获得构成问题的各个规则，要获得必要的原理或规则，学 生必须首先获得构成原理或规则的具体概念和定义性概念，依次前推，直至推 到学生的现有水平。 加涅的智慧技能主要适用于理科课程的学习，如数学、科学等。掌握加涅 的理论精髓，对于教师教学具有很强的指导意义。如，数学教师在该理论指导 下，利用任务分析法将要学习的智慧技能进行分解，直至分解到学生的现有水 平，然后教师按照这种层级进行教学无疑非常符合学生的学习心理。教师还可 以根据分析结果诊断造成学生学习失败的原因，如明确学生是因为哪个环节掌 握不当而失败。 然而学生并非在拥有一定的概念规则后，就可以顺利的解决问题。有些学 生拥有知识但不会运用知识，因为他缺乏策略。还有些学生讨厌学习，不会付 出努力，这是因为学生消极信念的结果，虽然加涅也在五类学习结果中提出认 知策略和态度，但他把认知策略和态度看作是一种学习结果或目标，认知策略、 态度和智慧技能的研究处于相对割裂的状态。随后，许多研究者认为有两种因 素对问题解决产生重要的影响。一是事实性知识作为问题解决的一种资源而对 其发生作用，其次，运用知识的方法( 如启发式) 是影响问题解决能力的一个 重要因素。舒菲尔德也认为，有两种因素对问题解决有着重要影响，一是指导 使用资源和启发式的策略( 控制) 和问题解决者的态度( 信念) 。 1 4 2 国内外的专长研究 专家和新手研究在国外已经取得了相当一致的结果。许多研究者认为，专家 和新手的差异主要表现在：( 1 ) 专家的专长优势具有领域局限性，专家并不能将 此领域的技能迁移至彼领域；( 2 ) 专家能在自己的领域内知觉一些大的有意义的 模式；( 3 ) 专家具有短时和长时记忆的优势；( 4 ) 专家是快手：他们在执行自己 领域内的技能时比新手更快捷，而且可不费吹灰之力地快速解决问题；( 5 ) 专家 比新手能更深刻地( 更依靠原理来) 了解和表征自己领域中的问题，而新手往往 只能在肤浅的水平表征问题；( 6 ) 专家用更多的时间对问题作质的分析。如在解 决问题的初期，专家总是试图“理解”问题，而新手总是急于使用方程求解；( 7 ) 专家具有很强的自我监控技能。与新手相比，专家似能意识到自己何时会犯错， 为什么自己不能有所理解，以及自己何时该检查自己的解答。 国内关于专长的研究也日益增多，具有代表性的是，胡谊( 2 0 0 4 ) 以大学物 理系学生( 相对专家) 和哲学系学生( 相对新手) 为被试，采用专家新手比较和个案 探讨，经过原始记录分析发现，从知识数量看，专家比新手拥有更多的且正确的 公式，这是由于专家精致化过程的结果；从整体上看，专家的知识结构特征具有 限制化的特点，专家在程序性知识上添加更多条件，使得其行为受领域限制，从 而能产生更符合领域任务要求的行动。知识的限制和精致是造成专家和新手差异 的一个重要原因。 在对专家和新手的比较结果进行分析时，我们不难发现，造成专家新手之间 差异的原因主要在于专家拥有丰富的特殊领域知识，具体来说，专家拥有更多更 好的陈述性知识，拥有更多更好的自动化基本技能和拥有更多更好的特殊领域的 策略性知识。其中，正因为专家拥有丰富且结构化的陈述性知识，才使得专家能 够知觉更大的意义单元、能够进行深刻的表征、具有高超的短时记忆和长时记忆 优势和解题速度快。也正因为陈述性知识的领域局限性，使得专家的优势也具有 领域性。 1 4 3 陈述性知识与问题解决能力之间的相关研究 鲁滨逊和海斯( 1 9 7 8 ) 发现，对代数应用题拥有良好的观念性理解的学生能 够确定问题陈述中哪一部分是重要的，哪一部分是不重要的。迈耶( 1 9 8 2 ) 通过用 学生对代数应用题的回忆实验发现，如果被试把注意力放在图示匹配的信息上， 而忽略其它信息，就更有可能回忆出所注意到的信息。雷斯尼克等人发现，如果 儿童拥有错误的观念性理解，会影响他们的学习效果。 数学领域中陈述性知识的主要领域包括数字感觉( n 啪b e rs e n s e ) 和量观念 ( q 啪t i t a t i v ec o n c e p t s ) 。数字感觉是指使数字和数字系统有意义的观念。如果， 一名儿童想把3 角6 分钱分给六个人，且把3 角6 分看作6 个5 分和6 个1 分， 那么，该儿童便对该数字( 3 6 ) 拥有了自己的了解，他可以用钱币系统进行理解， 6 同时也说明该儿童具备了数字感觉。量观念( q u a 瓶t a t i v ec o n c e p t s ) 有助于个体 理解某个量所包含的状态，以及各个量之间的关系。量观念最重要的一点是，量 和用来代表它的数是不同的，且数量关系不等同于用来获得一个量的算术操作。 1 4 4 数学认知模型 舒菲尔德( 1 9 9 2 ) 提出了数学认知模型，在该模型中，数学和其它领域一 样都包括自动化的基本技能、陈述性知识、策略和认知监控，不同的是，该模 型将自动化基本技能和陈述性知识用知识来表示，并增添数学信念这一成分。 即，该模型包括知识、策略、监控和信念四种成分。 1 4 2 1 知识 舒菲尔德的认知模型中，知识包括陈述性知识和程序性知识，舒菲尔德将算 法( a l g o r i t h m ，是一系列步骤，如果执行正确，就能l o o 的获得所需要的结果) 纳入模型中的程序性知识部分，而且他认为其它的程序( 如，常规步骤) 也可以 使学生毫不费力且正确地解决问题，但是这些程序无法象算法一样能够保证不出 错误。他认为，优秀的数学问题解决者能够流利地表述出由数学概念等组成的陈 述性知识。他强调知识对工作记忆资源的重要影响，问题解决依赖于短时记忆容 量，而短时记忆容量是有限的。由于长时记忆的知识组织良好且具有组块化，因 此对专家的工作记忆容量降低要求：优秀的问题解决者比不熟练的问题解决者能 够在有限的工作记忆中操作更多的知识，部分原因是他们的组块更大而且更具有 组织性。 1 4 2 2 问题解决策略 舒菲尔德认为p o l y a 策略是问题解决策略的核心，但他强调，只有学生拥有 大量的数学知识和与解决特定类型问题的策略知识，这些策略才能起作用。舒菲 尔德( 1 9 7 9 ) 在数学课堂中教授给学生类似于p o l y a 策略的策略，然后对这些课 程进行评价。这些策略包括分析问题( 如，画图) 、探索问题并提出解决计划( 如， 将当前的问题与类似的问题进行比较) 、验证解决结果( 如，使用所有的数据核 查解答结果是否合理等) 。舒菲尔德发现，只有问题解决者拥有大量的与该题有 关的数学概念和步骤，这些策略才能适用于具体的问题。 1 4 2 3 监控和控制 监控是舒菲尔德重点强调的元认知的一个方面，舒菲尔德比较重视监控对个 7 体在调节使用知识包括程序性知识时所起到的作用。他认识到专家在解决问题过 程中的计划阶段，元认知理解是很重要的部分。例如，数学专家在开始解题之前 会花费很多时间分析问题，而新手在计划上几乎没有花费时间。一旦一个策略被 激活，专家会监控问题解决过程中是否取得进步，当专家意识到没有取得任何进 步或发现更好的解决方法，专家会转变策略。而这种转变对于新手而言则很少发 生，因为新手对问题解决过程很少进行监控。 1 4 2 4 信念和情感 学生依据数学学习中的经验建构起他们对数学持有的信念。这些信念有时是 错误的，会破坏高级数学行为的发生。例如，“数学问题有且只有一个正确答案”、 “解决任何数学问题只有一个正确的方法一通常是数学老师经常在课堂上提及 到的定理( r u l e ) ”、“当教师在数学课中提问问题，理解问题的学生只需要几秒 钟的时间便可以正确回答”，这些信念很可能会阻碍学生在问题解决中的反思过 程。某些学生认为，学校里学到的数学由“不得不记忆的事实和步骤”组成，许 多学生认为，记忆是构成数学成绩的一个主要过程而非反思。如，“学好数学的 最好的方法是记忆所有的公式”。这些错误的数学信念会妨碍学生在面i 每难题时 付出必要的努力。舒菲尔德认为，学生形成这些信念的根源在于学生无休止的家 庭作业( 而且这些作业往往只有一个答案) 和数年来参加的测验( 这些测验往往 要求学生进行快速反应) 。信念会影响动机进而影响行为。这些错误的信念鼓励 学生记忆公式、做出快速反应、当一个问题的解决方法并不明显时就要放弃。因 此，如果学生要成为一个反思型学生而且在面临难题时候能够坚持，那么他必须 改变错误的数学信念。 从舒菲尔德的认知模型中，我们可以看出，舒菲尔德强调知识尤其是陈述性 知识的重要性，例如，组块化的陈述性知识会使得专家释放更多的工作记忆资源 用于更高水平的问题解决过程，问题解决策略的使用前提是学生拥有与问题有关 的陈述性知识。舒菲尔德的认知模型与以往的研究不同的最大的特点在于，他看 到了数学信念在学习和问题解决过程中的重要性，即错误的信念会破坏学生的问 题解决过程。然而，舒菲尔德在该模型中虽提及陈述性知识的重要性，但陈述性 知识除了通过减轻工作记忆负担从而提高问题解决能力外，它还通过何种途径提 高问题解决能力，这个问题，舒菲尔德的研究还存在缺陷。其次，该模型提到的 数学信念，局限于某单一且是错误的信念，数学信念的研究非常分散，而且除了 错误信念妨碍问题解决行为外是否存在积极信念提高问题解决能力，该模型也未 涉及。 综上所述，从加涅的学习层级理论、到专长研究到舒菲尔德的数学认知模型， 对问题解决能力的影响因素研究逐渐深化。相对于加涅的学习层级理论，专长研 究从更深刻的层面剖析知识的何种特性影响学生的问题解决能力，如，自动化的 基本技能、丰富的陈述性知识和策略性知识是造成专家和新手之间差异的重要原 因。现代认知心理学用三类知识解释了专家和新手解题能力的差异，这是心理学 史上对解决问题能力实质认识的一大进步。然而，专长研究和加涅的学习层级理 论都将人的学习放入一个“真空”的环境里，都忽略掉人类“信念”等非认知因 素的影响。无疑，人类的学习是认知和非认知因素共同起作用的结果。舒菲尔德 在其数学认知模型中提出“数学信念”，用以弥补以往研究的缺陷。但在他的视 野中，信念的内容仍旧有些贫乏和空洞。信念真的只是一系列单一的错误信念组 成吗? 它是否也和知识一样包含多个维度? 它对问题解决能力的影响到底有多 大昵? 这些研究并未给出满意的答案。 2 数学信念 一直以来，情感、态度在数学教育中倍受忽视。到2 0 世纪6 0 年代，关于情 感和数学关系的研究日益增多，但这些研究主要集中在学生对数学的态度和他们 的数学成绩之间的联系。大多数此类研究，往往采用心理测量的方法，主要的数 据收集技术是对学生进行大规模的问卷调查，然而结果发现数学态度和数学成绩 之间关系非常微小( 相关系数在0 2 0 至0 4 0 之间) 。这些研究使得研究者重新以 不同的视角观察情感和数学成绩之间的关系。 2 0 世纪7 0 年代以来，研究者更多的从认知的观点出发，通过例如言语报告 等技术去探索学生在数学学习和问题解决的过程。一般而言，这种观点的转变实 质上是将情感、态度概念与认知概念的信念隔离开来。随着教育心理学的认知化 程度的加深，对数学态度的研究逐渐淡出人们的视野，而教师和学生对数学持有 的信念逐渐成为一个重要的研究主题，走向学术前沿。在这里我们的重点不是教 师的信念，而是更多的关注学生对数学持有的数学信念。 2 。l 何谓信念 信念和态度、情绪通常被认为是情感的主要因素( m c l e o d ，1 9 9 2 ) 。有些研 究者把信念看作是知识的一部分( p a j a r e s ，1 9 9 2 ；f 埘n g l e n i ，1 9 9 6 ) ，某些研究者把 信念看作是态度的一部分( g 啦吡t s c h ，1 9 9 8 ) ，有些人把信念看作是是感知 ( c o n c 印t i o n ) 的一部分( t h 伽印s o n ，1 9 9 2 ) 。因此，在提出数学信念的定义之前 有必要弄清信念和情绪、态度以及信念与知识之间的关系。 9 2 1 1 信念、态度和情绪 m c l e o d ( 1 9 9 2 ) 将情感领域分成情绪、态度和信念。三者在稳定性、强度，在 认知发展和形成时间上有所不同。情绪分消极或积极的情绪，是最强烈的也是最 不稳定的。涉及最少的认知评价，出现和消失的速度相当快，与数学有关的情绪 包括害怕、生气、恐惧或者恐慌，其中，嗣哈体验是非常短暂的积极情绪， 完成一个具有挑战性的数学任务后体验到的满意和喜悦是稍微长期的积极情绪： 态度的强度相对较强，包含长期积极或消极的情绪( m c l e o d ，1 9 9 2 ) ，相当稳定， 认知和情感方面能够得到平衡。与数学有关的态度包括喜欢、喜爱和兴趣，相反 的和最糟糕的是数学焦虑症( m a mp h o b i a ) 。数学是一个很广的领域，学生对数 学的不同部分的态度不同( m c l e o d ，1 9 9 2 ) 。态度的形成有两种方式：反复的情 绪反映可以稳定成为态度；一个现存的态度可以迁移到一个新的相关的任务上， 如一个对代数持消极态度的学生可能对几何也持有消极的态度。信念是认知的， 而且他们形成速度很慢( m c l e o d ，1 9 9 2 ) 。 就如有研究者用形容词表达出三者之间的关系：情绪是“热的( h o t ) ”，态度 是“凉爽的( c 0 0 1 ) ”，信念是“冷的( c o l d ) ”。 2 1 2 信念和知识之间的关系 f l 】r i n 曲e t t i 和p e l l k o n e ( 2 0 0 2 ) 认为，要正确认识信念，首先应该对两种知识 ( 客观知识和主观知识) 进行区分。在数学中，客观性知识( 正规的知识，官方 知识，公众知识) 是指被普遍接受的数学结构，它由2 0 0 0 多年来数学家的工作 组成。数学知识的一个主要特征是它的纯逻辑性。主观性知识( 通俗知识，个人 知识和内隐知识) 具有唯一性，仅仅由个体本身所掌握，尽管它以个人经验和理 解为基础。两种知识之间的差异在于客观性知识是由研究社团接受，而主观性知 识不一定受到来自外界的评价。数学信念存在于个体的主观性知识中，而且如果 它们表述成为句子的话，可能具有逻辑性也可能不具有逻辑性，而客观性知识始 终具有逻辑性。也可以这样说：客观性知识正确的概率为l o o ，而对于信念， 它的概率通常小于l o o 。信念属于主观性知识。 2 1 3 数学信念的发展 2 0 世纪9 0 年代及其以前，数学信念的研究主要集中于不同类型的学生信念 对课堂中的认知过程、动机过程和情感过程的影响研究。研究者发现，对数学、 数学学习和问题解决的信念决定个体如何解决一个问题和他使用何种技术和认 知策略。除影响学生认知过程外，学生的数学信念对他们的动机和意志力有着重 要影响。如，学生在数学学习和问题解决背景中的价值观和或期望信念与学生 的动机以及他们参与数学学习和问题解决的方式之间的存在相互联系。研究者还 发现，学生对教学和具体课堂背景持有的信念是影响数学课堂行为的一个重要因 素。当然这不仅指学生对具体课堂背景持有的信念，学生对数学教学、学习和自 我持有的一般信念也是重要因素。 研究者在学生的信念对数学学习和问题解决重要影响方面逐渐达成基本的 一致，但事实上，大多数研究都是分别受限于认知的、动机的或情感的研究传统， 而且很多情况下这些研究都是在相互隔离的状态下进行的。尽管舒菲尔德早已指 出信念的系统本质是信念作用的一个关键特征。 2 2 数学信念系统 s c h o e n f e l d ( 1 9 8 5 ) 最早在其著作中提出，信念系统是一个人的数学观，是 个体处理数学和数学任务时持有的观点。个体的数学信念会决定个体如何选择处 理问题，使用或逃避使用何种技术，努力工作的时间长度和程度等等