（运筹学与控制论专业论文）广义系统比例导数反馈保性能控制的研究.pdf

e0 ! 乙：? j - at h e s i si no p e r a t i o n a lr e s e a r c ha n dc y b e m e t i c s r e s e a r c h0 np r o p o r t i o n a l p l u s - d e r i v a t i v e f e e d b a c kg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lo f d e s c r i p t o rs y s t e m s b yz h a n gg a i p i n g s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rz h a n gq i n g l i n g n o r t h e a s t e mu n i v e r s i t y j a n 岫r y2 0 0 8 叶 j 一 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢 ：正 恳。 学位论文作者签名：跟双军 日 期：二网箩年7 冈o 月 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： 东北大学硕士学位论文摘要 广义系统比例导数反馈保性能控制的研究 摘要 广义系统一般含有脉冲模式，在系统具有不确定性时，脉冲模式往往使系统具有 不稳定性。所以必须考虑从系统中消除。在广义系统不是脉冲能控的情况下，单纯的比 例状态反馈无法消除脉冲。此时，有必要使用导数反馈来消除系统的脉冲。虽然导数反 馈可以改变系统的动态阶并对系统的性质产生质的影响，但是导数反馈并不总是比比例 反馈对系统的性能有更多的改进，实际上，根据系统结构的不同，比例反馈与导数反馈 具有各自的优越性。这就显示了比例导数反馈方法的优势，本文就是主要研究比例导数 反馈控制器的设计问题，主要内容如下： ( 1 ) 研究了广义系统在比例导数反馈控制下的脉冲的消除以及极点的配置问题。使 用比例导数反馈的方法给出了闭环系统正常、稳定的充要条件，并给出了任意配置极点 的充要条件。而且在文后用数值例子说明了此方法的有效性。 ( 2 ) 研究了广义系统的线性二次型最优控制问题。文中讨论了广义系统在带状态导 数项二次指标下的最优控制问题，给出了最优控制存在的充分必要条件，并将最后结果 综合为比例导数反馈。 ( 3 ) 研究了不确定广义系统的保性能控制问题。针对一类含有时变、范数有界参数 不确定广义系统，结合一个含有状态导数项的二次性能指标函数，研究其保性能控制律 的设计问题。文中设计了一种比例导数反馈保性能控制器，不仅使闭环系统具有正常鲁 棒稳定性，而且具有某一个性能指标上界。最后，用数值算例说明了方法的有效性。 ( 4 ) 研究了不确定广义系统的非脆弱保性能控制问题。针对一类具有结构不确定性 的线性广义系统，结合一个带有状态导数项的性能指标，研究其非脆弱保性能控制律的 设计问题。应用y 口p 姗d 化稳定性定理和线性矩阵不等式基于对增广系统的讨论来解决 控制器具有加法式摄动和乘法式摄动的两种形式的保性能控制。该控制器能保证闭环系 统稳定并使给定的性能指标具有一定的上界。最后，针对加法和乘法两种形式的摄动情 况，用数值例子说明文中方法的有效性 东北大学硕士学位论文摘要 关键词：最优控制；不确定性；广义系统；比例导数反馈；保性能控制；线性矩阵不等 式；非脆弱 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t r e s e a r c ho np i o p o r t i o n a l - p l u s - d e r i v a t i v ef e e d b a c kg u a r a n t e e d c o s tc o n t m lo fd e s c l i p t o rs y s t e m s a b s t r a c t i na c t u a ld e s c r i p t o rs y s t e m s ，t h ei m p u l m o d e su s u a l l yc a u s ei n s t a b i l i t ye s p e c i a l l yf o r t l l e 明c c n a i nd e s c f i p t o rs y s t e m s s o ，t l l ep r o b l e m0 fe l i m i n a t i o n0 fi l i l p u l m o d 鼯m u s tb c c 咖s i d e r e d i ti sd i f 诧r c n tt 0j u s tu s ep r o p c n i o n a ls t a t ef c e d b a c kt oe l i m i n a t et h ei m p u l s e sf o r t l l e i l i l p u l i n c o n t i o l l a b l ed e s c r i p t o rs y s t e m s f 讲t l l 鸸i ti s 玳c c 跚yt 0u d e f i v a t i v e f e c d b a c kt 0e l i i i l i n a l ci 玎1 p u i s 懿a l 岫g hd 耐y a t i v cf c e d b a c k na l t e ft h ed y n a m i co r d c r s 觚di n f l u e n c et h ec h 缸a c t e 珞o ft h es y s t 锄su l t i m a t e l y ，t l l cd e r i v a t i v ef c e d b a c k 啪，ta l w a y s i m p r o v e t l l es y s t e m sm o r et h a nt h ep r o p o n i o n a lf c e d b a c k a c t u a l l y t h ep r o p 0 i n i a lf c e d b a c k 柚dt h cd e 咖a t i v ef c e d b a c k h a v ct h e i rf e s p c c t i v ca d v 柚t a g 骼b 墩d 佃t h cd i 虢r c n t 咖咖托t h a td i s p l a yt h ca d v 卸t a g 鹪0 ft h ep r 叩0 n i o n a l p l u s d 酮v a l i v cf c e d b a c k j 1 1t h j s d i s n a t i ，t h ed i s c i l s s i o 璐a b 伽tt h c 呻b l e m so ft h cd e s i 印o fp 州i 佃a l p l u s d e 巾a t i v c f e c ( 1 b a e k n t r o n e rf o rd e f i p t 甜s y s t e m sa 坞s n c s 也t h em a i nr e s u l t si nt h i sd i s i h t a t i 衄 a i ea sf b n o w s ( 1 ) ，n l ep r o b l e m s0 fi m p u l 砌n o v i i l g 锄dp o l e sp l a c e m e n t 缸ci n v e s t i g a t e df o r d c 矧p t o rs y s t e m s 岫d e rp 叩0 n i 咖a l - p h 睁d e 由撕v cf b c d b a c k 曲神a 雠c e 鼹a 巧觚d 跚f f i c i e n tc o n d i t i 蛐w l l i c hi st 0k c c pt h cp ! b 吐他g i l l 碣i m p u l 辩f t ，柚ds t a b l ei so b t a i n c db y u s j n gp p o r t i o n a l - p l u s - d c r i v a “y cf c e 曲a c k n 仃o l 锄dan c c e s s a 巧卸ds u 艏c i e n t n d i t j 伽 w h i c hi st ok e e pp o l e sp l a c c m e n ta r b i t 呻i sa l s oo b t a i n e d a tl 弱l ，an u m e r i c a le x 锄p l ei s 酉v e nt 0i l l u s t m t et h em e t h o d s ( 2 ) ，1 1 1 ep r o b l e mo fl i n e a 卜q u a d r a t i c0 p t i m a lc o n t r o l0 fd e s 翻p t o rs y s t e m sh 弱b c e nd e a l t w i t hi l lt h ep a p e r t h ep r o b l e mh 弱b e e nd i s c u s dw i t haq u a d 豫t i c 。0 s ti l l d e xw h i c hh 弱 d e r i v a t i v eo ft h es t a t e s as u f f i c i e n tc o n d i t i i s 舀v e n 如dt l l e 陀s u l ti sc x p r e s s e d 舔 p 刊) p o r t i o n a l - p h l s - d e r i v a t i v ef e e d b a c k n 删 ( 3 ) n l ep f o b l e mo fg u a 船n t e e d 殴咖t f o lf o r t h eu l - n a i nd e s c r i p t o rs y s t e m sh a sb e e n d i s c u s s e d n ep r o b l e mo fg i l a r 卸t e e dc o s tc o n t r o lw 弱d e a l tw i t hf o l ac l a s so fu n c e n a i n i v j ， 东北犬学硕士学位论文 a b s t 蛆c t d e s c r i p t o rs y s l e m s ，w h o s ec l a s si sw i t hp a r 锄e l e ru n c c r t a i n t i e sa n dn o 饷b o u n d e d a n dw i t h aq u a d m t i co 鸺ti n d e xw h i c hh a sd e f i v a t i v eo ft l i es t a t 懿t h ep u l l p o s eo ft h ep r o b l e mw 弱t 0 d e s i 印ap m p o n i 伽a l p l u s - d e 南a t i v es t a t cf e e d b a c k n 仃0 l l c r 跚c ht h 鸸f ；d ra l la d m i s s i b l e u n c e r t a i n t i e s ，t l i ed o d - l o o pd e s c r i p t o rs y s t e m sk e e pn o 册a l i z a t i o n 锄dr o b u s ts t a b i l i z a t i o n ， 乱t h es 锄et i m c 粕a d e q u a t el e v e lo faq u a d r a t i cc o s ti n d c x 锄b cg t l a r 雒t e e d a tl a s t ，a n u m e r i c a le x 锄p l ei s 沓v e nt oi l l u s t r a t et h em e t h o d s ( 4 ) 1 1 h ep r o b l e m0 fn 伽一仃a 酉l eg u a r a n t e e dc o s tc 0 n t r o lf o r 仰c c n a i nd e s c r i p t o rs y s t e m si s i l l 删u c c di nt l i c p a p c r d i s c l l s s e s t h ed e s i 印呻b l e mo fn - 触西l eg u 缸柚t e e dc o s t c o n t r o l l e rf b rad a 鼹0 fl i n e 盯d e s c f i p t o rs y s t e m sw i t l ls t n l c t i l r a lu n c c n a i n t i 锚al i n e a r q 岫d 瑚惦c s t 砌e x 嘶隘c hh 弱d e r i y 撕v co ft h e s t a t c si s 咖s i d e 豫d 舔ap e r f b 皿觚 m e a s i w bd i s c u 鼹t 1 1 ee x i s t e n c co ft h en o n 舰g i l eg u a u r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e 璐i nc 弱锶o fb o t h a d d i t i v e 柚dm u l t i p l 妇i v ep e n i i r b a t i o nb a d 衄d i s c t l 踞i n gt h c 她g m e n t t - ds y s t c m s b y 鹳i n g l y a p u n o vt h f y 柚dl i l i e 盯m 删xi n c q u a l i t ym e t h o d t h c n t r o l l e rg i l a m t e e st l 他r o b u s t s 臼i b i l i t yo ft h cc 1 0 d 1 0 0 ps y s t e m s 锄d 锄a d c q u a t el e v e l0 faq u a d 阳t i cc 吣ti n d e x a tl a s t ，a 肌m e r i c a le x 锄p l ef o rb i 劬c a si s 舀v 皿t 0i l l u s 缸a t et h ee 任e c t i v e n e 鹞o ft h et l l e o r y k e y w o r d s ：o p t i m a l0 0 n 仃0 l ；u n c c n a i n t y ；d e s c r i p t o rs y s t e m s ；g u m n t e e dc o s tc o n 昀l ； p r o p o n i o i l a l p l u s - d e 南a t i v ef c e d b a c k ；l m i s 衄e 盯m 掀i n e q u a l i t i 哟；n 彻- f r a 舀l e v 东北大学硕士学位论文 目 录 目录 独创性声明i 摘要。i i a b s 7 r 】 ；i a c t i v 第一章绪论1 1 1 弓i 言l 1 2 广义系统2 1 2 1 广义系统的结构特征 1 2 2 广义系统的研究方法 2 1 2 3 广义系统与正常系统的区别和联系3 1 2 4 广义系统的研究展望o 4 1 3 保性能控制 1 3 1 保性能控制的研究现状 5 1 3 2 保性能控制研究中存在的问题6 1 4 本文的主要工作。7 1 5 常用的基础知识。8 1 5 1 基础知识8 1 5 2 u i 及m a l l a b l m l 工具箱的简介 第二章广义系统中的比例导数反馈1 2 2 1 问题的描述与概念1 2 2 2 脉冲的消除和极点配置1 3 2 3 数值算例1 4 2 4 本章小结1 5 第三章线性二次型最优控制1 6 3 1 可正常化的线性二次型最优控制1 7 3 1 1 问题的描述1 7 3 1 2 主要结果1 8 东北大学硕士学位论文 目 录 3 2 线性二次型最优控制一2 0 3 2 1 问题的描述2 0 3 2 2 主要结果2 0 3 2 3 数值算例2 3 3 3 本章小结2 4 第四章不确定广义系统的保性能控制2 6 4 1 问题的描述与概念。2 7 4 2 系统的扩展和保性能控制2 8 4 3 保性能控制器的设计3 2 4 4 数值算例 4 5 本章小结 第五章不确定广义系统的非脆弱保性能控制。3 5 5 1 问题的描述与概念3 5 5 2 系统的扩展和保性能控制3 6 5 3 保性能控制器的设计3 8 5 4 数值算例4 0 5 5 文章小结4 0 第六章结束语4l 参考文献4 2 致谢。4 5 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 广义系统理论，经过几十年的发展已经日渐成熟，而且正被应用于越来越多的领域。 广义系统比正常系统提供更一般的描述，是正常系统的推广。 对于正常系统，导数反馈不一定比单一的比例反馈对系统的性能有更多的改进，但 是对于广义系统，导数反馈将减低系统对噪声的敏感性和改变系统的动态阶。本文中一 方面从消除系统中脉冲模式的角度，讨论导数反馈对系统的影响，并研究了比例导数反 馈在广义系统的极点配置的应用；另一方面应用比例导数反馈解决了一类带有状态导数 项二次性能指标的最优控制问题和具有参数不确定性的广义系统的保性能控制问题。 线性二次型最优控制问题也是广义系统中比较成熟的一部分，但是大多数的研究结 果都是基于这样一种性能指标【1 l ： j - 扩( f ，归r 鼢( f ，) + “7 胁r ( f 渺( f ) + h r ( f 渺o ) 协 这类控制问题虽然在理论上已经趋于成熟，但是由于构造状态反馈控制器需要知道系统 的全部状态信息，而这在实际中是不太现实的。为此，在本文中我们将在另一种带有状 态导数项的二次型性能指标下： j - _ b r o ) a ( f ) + 口r ( f 弘跏( f ) + j r o ) q 圣( f ) 扭 应用导数比例反馈的方法来构造控制器，文中我们统称这种控制器为状态比例导数反馈 控制器。并且这种性能指标能够使系统状态响应随着时间的增加更快地趋于零，从而缩 短系统达到稳定所需要的时间。 对于一个实际系统，仅仅具有稳定性是不够的，还需要考虑其他的一些性能。线性 二次型最优控制理论揭示了一个适当的二次型性能指标能反应系统的许多性能指标要 求，但是线性二次型最优控制理论是建立在被控对象的一个精确数学模型上的，其结果 对模型参数不确定的鲁棒性很差。为此，相应的我们在文中进一步地提出了广义参数不 确定系统的保性能控制问题。其基本思想是对满足匹配条件的范数有界的不确定连续广 义系统的保性能控制问题，设计一个状态导数比例反馈控制器，不仅使闭环系统是鲁棒 稳定的，而且还使闭环系统的性能指标具有一个确定的上界。 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 由于广义系统的保性能控制问题不仅要保证闭坏系统的鲁棒稳定性和满足性能指 标要求，还要求闭环系统是j 下则无脉冲的，所以广义系统的保性能控制问题比正常系统 的复杂的多。自从1 9 7 2 年c h 柚g 和p e n g 【2 1 在自适应控制中首次提出该方法以来，得到 了许多学者的关注，研究成果已经贯穿控制系统的各个领域。研究对象的模型从连续系 统到离散系统，从正常系统到广义系统，模型的不确定性从非结构化形式到结构化形式， 保性能控制的处理方法从r i c c a t i 方程到l m i 等方方面面，但所考虑的性能指标大多都 是如下两种形式的二次型性能指标： ，一了& r o ) ，k o ) + 口r o ) 尺“( f ) x 办或，- 芝o r ( 七) ，戈( 七) + r ( 七) 尺“( 七) ) ot - o 和 n 弘r o 皿。渺或者 卜营k r ( 七 ) o t - o 而本文中，我们将继续在如上的二次型性能指标下研究不确定广义系统的保性能控制问 题。 1 2 广义系统 1 2 1 广义系统的结构特征 随着现代控制理论研究的深入，以及向其他学科诸如航空、航天、能源、网络、电 力、石油、化工以及通讯等应用领域的渗透，人们发现了一类更具广泛形式的系统，也 就是广义系统，又称奇异系统、微分代数系统或隐式系统等，一般用微分代数方程描述 为 e o 弦o ) - ，o ( f ) ，比o ) ，f ) ， y o ) 一g o ( f ) “( f ) ，f ) ， 其中，o p ) ，h o ) ，f ) 和9 0 ( f ) ，h ( f ) ，f ) 表示工( f ) ，h ( f ) 和f 的刀维向量函数；x ( f ) ，“( f ) 和t 依次表示状态向量和时问变量；y ( f ) 为输出向量；e ( f ) 尺一般地，口刀七陋( f ) 】 + 肌( f ) ， y ( f ) - q o ) ， 其中，工( f ) 尺。，h ( f ) r 。和y ( f ) r ：e ，彳r 。期，丑尺1 “，c r ”为实数矩 阵。为确保广义系统对给定的允许初始状态有唯一解，总假定广义系统是正则的，即矩 阵( 妲一4 ) 的行列式不是恒等于零。上述广义系统表示线性时不变广义系统。 相应地，线性时不变离散广义系统表示为： 丘( 七+ 1 ) 。血仲) + 肌作) ， y ( 七) 一q ( 七) ，七一0 ，鼻 离散系统尽管区别于连续系统，却与之有着众多相似的概念和平行的性质。 q o ： 1 2 2 广义系统的研究方法 广义系统的研究方法主要有几何方法、频域方法和状态空间方法。几何方法是将广 义系统化为状态空问中的几何问题进行研究。它的优点是对系统结构有着独到的刻画， 例如广义系统的能控性结构、能控性子空间以及不变子空间的刻画等。而且，几何方法 简洁明了，避免了状态空间方法中大量繁杂的矩阵推导运算，且所产生的结果都可以化 为矩阵运算其缺点是对系统鲁棒性问题的分析无能为力。多变量频域方法是对状态空 间描述的广义系统采用频率域的系统描述和频率域的计算方法进行研究。频域法具有物 理直观性强，便于设计调节等优点。至于状态空间方法，是对状态空间描述的广义系统 主要采用矩阵运算和矩阵变换的计算方法，直接对时域系统进行研究，是广义系统理论 中最常用的软件支持而适宜在计算机上进行运算，因此该方法应用最广，已深入到系统 分析与综合的方方面面，深为控制工程师们所偏爱。 1 2 3 广义系统与正常系统的区别和联系 广义系统与正常系统相互联系对应，两者既存在内在的联系又有着本质的区别。 广义系统与j 下常系统的联系在于：如果上述各式子中的e 非奇异，则广义系统就成 为一个正常系统，因此，如果从矩阵的e 广泛取值的意义来考虑，广义系统是对正常系 东北大学硕士学位论文第一章绪论 统的推广。由于正常系统理论的研究基本成熟，已经形成一套较为完善的理论体系，所 以，为了与之区别，习惯上以e 为奇异矩阵作为广义系统的明显标志，从而使广义系统 理论成为一个独立的研究分支。 除上述矩阵e 的明显差异之外，广义系统与正常系统还存在许多本质的区别。例如， 当考虑线性时不变情况时，广义系统与正常系统的区别主要体现在以下几个方面： ( 1 ) 广义系统的状态响应中通常不仅含有正常系统所具有的指数解( 对应于有穷极 点) ，而且含有正常系统的状态响应中不出现的脉冲解和静态解( 对应于无穷极点) ，以 及输入的导数项，从而使广义系统出现了正常系统所不具有的脉冲行为。在离散情况下， 广义系统的状态x ( 七) 不仅需要七时刻以前的信息，还需要七时刻以后的信息，即离散广 义系统一般不再具有因果性，而正常系统都具有因果性。 ( 2 ) 正常系统的动态阶等于系统的维数，而广义系统的动态阶仅仅为g - ，口放陋) 。 ( 3 ) 正常系统的传递函数为真有理分式矩阵，而广义系统的传递函数通常还包含多 项式部分。 ( 4 ) 正常系统的齐次初值问题的解存在且唯一。但对于广义系统，齐次初值问题可 能是不相容的，即可能不存在解，即使有解，也未必唯一。 ( 5 ) 广义系统具有层次性，一层为对象的动态特性( 由微分方程或差分方程描述) ： 另一层为管理特征的静态特性( 由代数方程描述) ，而正常系统没有静态特征。 ( 6 ) 广义系统的极点，除了，一d e gd e t ( 妲一彳) 个有穷极点外，还有正常系统不具有 的( 刀一，) 个无穷极点，在这些无穷极点中又分为动态无穷极点和静态无穷极点。 仍在系统的结构参数扰动下，广义系统通常不再具有结构稳定性。 广义系统的这些特点反映了广义系统比正常系统在结构上变的复杂而富于新颖性， 在理论研究上更变得困难而具有挑战性。 1 2 4 广义系统的研究展望 广义系统的研究迄今已有二十几年的历史，取得了极大的发展，并逐渐形成一个内 容丰富的理论体系，成为现代控制理论的一个重要组成部分。那么，广义系统理论研究 将朝哪个方向发展，换句话说，广义系统理论在今后的研究重点是什么，这是理论界都 关心的问题。追踪广义系统理论的研究现状，可以看出，以下的几个方面可以作为今后 ( 2 ) 易于工程实现的广义系统控制设计。广义系统模型来源于工程实际，所以广义 系统理论的研究最终也要为实际的应用服务，因此一个好的设计方法应该易于工程的实 现，即能够提供一个利用现有的软件所实现的计算机仿真实验。 ( 3 ) 广义系统控制软件的编程。控制工程研究的各种设计方法的实现都离不开计算 机的帮助，编制通用的广义系统的控制软件是非常必要的，它对于广义系统理论的发展 必将起着积极的推动作用。 ( 4 ) 广义系统的应用。发掘广义系统的实际应用背景，将广义系统理论用于解决工 程实际问题，从而实现广义系统的应用，才能真正体现广义系统的价值。总之，最为一 门新兴的研究领域，广义系统理论仍处于不断完善、不断发展之中。仪器广泛的工程背 景，相信无论从理论本身，还是在工程实际的应用，都将会在学术界的关注下取得更大 的成果。 1 3 保性能控制 1 3 1 保性能控制的研究现状 不确定系统的保性能控制自从提出以来，随着不确定系统鲁棒二次镇定和h 。控制 状态空间方法研究所取得的进展，保性能控制问题的研究再次吸引了人们的注意，取得 了令人瞩目的成果。其研究已经贯穿控制系统的各个领域【”l ，如线性连续不确定系统、 离散不确定系统、时滞系统、不确定2 d 系统以及不确定广义系统等。薛安克【6 l 等人给 出了正常连续系统在保性能意义下不确定性的最大允许范围，建立了不确定性与闭坏系 统鲁棒保性能控制之间的关系，减小了鲁棒保性能控制系统分析和设计的保守性。 忍纪r ，阴【7 1 等人采用不确定系统二次镇定的眦打方程处理方法，提出了二次保性能概 念，利用非线性规划的方法，通过求解特定的眦打方程和不断优化得到最有保性能 东北大学硕士学位论文第一章绪论 控制矩阵。对于不确定离散系统，拖【8 l 等人通过将保性能控制问题转化为一个辅助线 性时不变系统的日。控制问题，采用h 。控制技术给出了控制器存在的一个充分条件， 又于1 9 9 9 年基于求解具有柳约束的凸优化问题给出了不确定离散系统的最优保性能 控制器【们。 在控制问题中，为了达到满意的控制效果，不仅要求控制系统具有稳定性，还要 求控制系统的动态性能满足一定的要求，这些是由其闭环系统的极点位置决定的，因而 有必要对闭环系统传递矩阵的极点进行约束。将闭环系统极点配置在复平面上某一圆 域，即d 稳定理论。通过缈印“疗d y 和舭叩玎矩阵方法，出现了许多控制器综合方法来 设计具有d 稳定的控制器【1 0 1 批算子理论在自动控制和信号处理中的应用研究中受 到广泛重视并取得很大发展。但是基于眈f f 口算子描述下的线性不确定系统保性能控制 结果还很少见【1 1 j 。 随着线性矩阵不等式及求解凸优化问题的内点法的提出，为许多问题的分析和求解 提供了有效的工具。心脚软件中线性矩阵不等式工具箱的推出，使得各种线性矩 阵不等式问题的求解更加方便、直接，也推动了基于线性矩阵不等式处理方法的保性能 控制的发展，因为对保性能控制率的求解往往能转化为线性矩阵不等式问题来求解，而 且能够方便地给出参数化表示。 1 3 2 保性能控制研究中存在的问题1 1 2 l ( 1 ) 状态反馈保性能控制，这是人们研究最多的一种保性能控制问题，也是研究成 果最为丰富最为成熟的一种设计方法。但由于构造状态反馈保性能控制律必须知道系统 的全部状态信息，这在实际工作中是相当困难的，几乎是不可能的。这一切都制约了状 态反馈保性能控制的发展。 ( 2 ) 状态的导数比例反馈控制，这种方法能够利用导数反馈和比例反馈的共同优点 来解决一类保性能控制问题，文中应用导数比例反馈来解决不确定广义系统的性能指标 带有状态的导数项时的保性能控制问题，得出了状态的导数比例反馈控制器。但是这方 面的理论尚未成熟，文中也是在一定的条件下，通过增广系统而得到，结论不具有普遍 意义。 东北大学硕士学位论文第一章绪论 ( 3 ) 输出反馈保性能控制，输出反馈保性能控制是解决状态反馈保性能控制所存在 问题的一种有效的方法，但由于设计输出反馈控制器的复杂性及计算量的浩大而使得这 方面的工作显得非常困难。因此对这方面的研究还存在着不足。 ( 4 ) 弹性保性能控制，弹性保性能控制是保性能控制研究中的一个新兴方向，人们 对其进行研究还是近几年的事情，它允许某个控制律在某个容许的条件下产生扰动而又 不影响系统的稳定性。但由于其比正常的保性能设计具备更强的条件和要求，使得在这 方面的工作显得非常困难。 ( 5 ) 保性能控制器中鲁棒性分析与综合方法，因为在不确定有界的假设下，利用不 等式放大技术，使得到的闭环系统的保性能控制鲁棒界的结论往往偏于保守，所以在这 方面有很多工作要做。 ( 6 ) 应用方面的问题，经过几十年来的发展，保性能控制问题已经取得了很大的进 展，并处于快速发展之中。但是保性控制理论还没有完全成熟，还没有建立起完整的理 论体系。同时相应的应用工具还是有局限性，使得在这方面的应用也具有局限性。尽管 如此，保性能控制在应用方面还是取得了一定的成果。 1 4 本文的主要工作 ( 1 ) 借助于一个增广的特殊的广义系统研究了系统状态的导数比例反馈在消除脉冲 及任意配置有穷极点的充分必要条件，从而使得我们可以用现有的理论方法去解决一类 广义系统的问题。 ( 2 ) 文中，我们用两种方法讨论了带有状态导数项性能指标的广义系统的线性二次 型最优控制问题。第一种方法是在一定的条件下，用导数比例反馈直接将系统正常化， 得到状态的导数比例反馈控制器。第二种方法是借助于增广的广义系统，利用现有的理 论结果去解决问题。 ( 3 ) 进一步地利用增广系统解决了系统中具有不确定性的广义系统的带状态导数项 性能指标的最优化问题，即广义系统的保性能控制。 ( 4 ) 考虑到控制器参数具有不确定性的情况，文中利用增广义系统在系统带有状态 导数项性能指标下设计了非脆弱的保性能控制器，保证了系统在控制器参数发生摄动时 也具有高度的稳定性。 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 5 常用的基础知识 1 5 1 基础知识 考虑如下的广义系统 戤( f ) 一血( f ) + 口o )x 1 0 f 。) 一工o( 1 4 ) 其中，z ( f ) r 和雎( f ) 尺_ 分别为状态和控制输入：e ，彳尺一和b 尺4 “为定常 矩阵，且e 为奇异矩阵。 考虑上述广义系统，其特征值分为： ( 1 ) 有穷( 动态) 模。正则矩阵束姬一彳的有穷特征值，即d e t 一4 ) 的根，共 d e gd e t ( 姬一彳) 一，个，其集合记为6 ( e ，么) 。 ( 2 ) 脉冲模。正则矩阵束姬一彳的无穷特征值，即当西。- 0 ，0 一h r 。时，满足 眺彳d ，七一1 2 a 的广义特征向量所对应的无穷特征值，共 r 口刀七( e ) 一厂- q 一，个。 ( 3 ) 静态模。满足式西。一0 的特征向量v 。所对应的无穷特征值，共万一鼋个。 有穷模和脉冲模归类为动态模，与静态模共同组成广义系统的全部特征值。 定义1 4 1 【1 3 l 如果矩阵对但，_ ) 正则且没有脉冲模，即，- g ，则称矩阵对俾，彳) 是 无脉冲的，或称广义系统( 1 4 ) 无脉冲 引理1 4 1 1 1 3 j ( & h ，补性质) 设p 、m 、q 为适维阵，则分块对称矩阵 瞄：】 负定当且仅当 q o 。 定义1 4 6 【”1 若存在状态反馈使广义系统( 1 4 ) 的闭环广义系统稳定，则称闭环广义 系统( 1 4 ) 是能稳( 定) 的。 引理1 4 3 设d 、e 、，是适当维的实矩阵，护0s 1 ，则对任意的 o ， d f e + e tf td 1 e d d t + le te 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 即 证明：注意到 ( 肋7 一 阿) r ( 函r 一 髓) o e t f td r d f es 昏d d l fe 引理1 4 4 呻1 广义系统( 1 4 ) 是能稳定的充分必要条件是 ，口n 七i 姬一爿曰i 一刀，v j c + r1 一 其中，石+ 一b c ，r e ( s ) o 表示右闭复半平面。 1 5 2 脚及心死。，| 毗柳工具箱的简介 由于目前许多控制系统分析设计问题即特殊约束条件均可转化为一组线性矩阵不 等式的可解问题来处理，考虑到无需参数调节给应用带来了方便，因而以线性矩阵不等 式为工具进行研究工作，已经越来越成为控制理论的潮流。出现了许多求解矩阵不等式 的优秀工具软件。下面介绍朋r n 如姗工具箱的基本知识。 在这里，删7 变量的定义和柳的描述以及城f 求解步骤不做介绍，仅对删，求 解器，对三个不同的问题，如何进行求解给出简单的说明： ( 1 ) 求解形如彳o ) b o ) 的，考虑是否有决策向量x 存在，以满足不等式。这 一问题由求解器脚o 来求解，脚测试其解的存在性，如果有解则给出m 打中决 策变量的值，由此可以得到m 中的各个变量的值。 ( 2 ) 在圳i 约束下最小化一个线性目标，即：在约束彳o ) 口o ) 下，最小化c r 工，工 为决策向量，x 由整个删7 系统的所有变量组成。c 为一个行向量，其作用在于定义决 策变量中需要最小化的目标，这时用求解器m i n a o 来求解。 ( 3 ) 广义特征值最小化问题：在下面的约束下最小化a ， c g ) d o ) ，o o k ；瓯+ r q o 所以性能指标可以化为下面的形式： 小圭f 。o r ( f ) 跏( f ) + 矿渺 ( 3 1 1 5 ) 其中 墨- 砭胱：+ r 州 o s 1ip + k jr k i + m t q m 一$ s 、s 3 东北大学硕士学位论文 第三章线性二次型最优控制 且墨和是都是对称阵 s ，| r k l + n 1 q m 以f ) 一 ，( f ) + 墨1 s ，( f ) ( 3 1 1 6 ) 由( 3 1 1 6 ) 式得 ，o ) 一w 心) 一墨1 跏( f )并代入系统( 3 1 1 4 ) 得： i ( f ) - 缸( f ) + ( w ( f ) 一墨1 s o ) ) 一( m 一孵1 s 冷o ) + w o ) - 殿( f ) + m 心)( 3 1 1 7 ) 其中 f im n s ? s 3 则系统( 3 1 1 1 ) 在目标函数，下的最优控制问题转化为正常系统( 3 1 1 7 ) 关于新的控制能 量函数啡) 在目标函数，。下的最优控制问题。 由假设2 可知伊，) 是能稳的，则用正常系统的最优化结果可得系统( 3 1 1 7 ) 在目标函 数下的最优控制 矿1 0 f ) 一一s 1 r 瓯o ) 其中工o ) 为最优轨线，对称正定阵g 是下面黎卡提方程的唯一解 g f + f l g g n s - 1 n t g + s t i q 得最优解m i l l - 誓瓯 综上得广义系统( 3 1 1 1 ) 的最优控制为 口o ) 一戤+ o ) + y 。p ) - 戤o ) 一墨1 趴o ) 一笥1 r 酝o ) - 一s 1 ( 墨一r g 冷( f ) + 戤o ) 东北大学硕士学位论丈 第三章线性二次型最优控制 2 线性二次型最优控制 3 2 1 问题的描述 考虑如下的广义定常线性系统 戤( f ) 一血( f ) + 曰h o ) ，x ( 0 ) - 而( 3 2 1 1 ) 其中x 为一维状态向量，h 为p 维输入向量，彳和曰为相应维数的常量矩阵，目标函数 为相对于状态和输入以及状态导数项构成的一个二次型性能函数： ， ( f ) ) 一扫。b r ( f ) r 1 0 f ) + h r 1 0 f 皿“o ) + 文r ( f ) 必o ) 协 ( 3 2 1 2 ) 其中加权阵p 和q 为刀阶半正定对称阵，r 为p 阶正定对称阵。加权阵p 、r 、q 是设 计者事先所选定的，j ， ( ”为h ( ) 的一个泛函。 我们所要解决的问题是寻找系统( 3 2 1 1 ) 的一个控制“o ) ，使得目标函数，最小。 基于系统( 3 2 1 1 ) ，我们得到如下的一个增广系统： 鳓。瞄二卜懵：，甲国 其中 川。网 引理3 2 1 嗍如果存在矩阵r ，使6 俾，彳+ 说) c 以，则称广义系统是能稳 的。 定义3 2 1 【1 3 l 如果广义系统( 3 2 1 1 ) 是j 下则，稳定且无脉冲的，则称广义系统( 3 2 1 1 ) 是容许的。 3 2 2 主要结果 假设l 广义系统( 3 2 1 1 ) 能稳的。 假设2 广义系统( 3 2 1 1 ) 是脉冲能控的。 定理3 2 1 对于系统( 3 2 1 1 ) ，在指标j 下的最优控制的充要条件是其控制输入具有 东北大学硕士学位论文第三章线性二次型最优控制 形式 h o ) 一一只_ 1 曰r 瓦j ( f ) 一r 以曰r m 9 ) 最优轨迹工。( f ) 为下述状态方程的解： 而最优性能指标为： 戤( f ) 一血。o ) + 肌(